Տասնորդական կոտորակների բաժանում բնական թվի վրա. Բաժանում տասնորդական կոտորակի վրա - Գիտելիքի հիպերմարկետ

Բաժանում ըստ տասնորդականհանգում է բաժանելուն բնական թիվ.

Թիվը տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու կանոն

Թիվը տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու համար և՛ դիվիդենտում, և՛ բաժանարարում անհրաժեշտ է ստորակետը տեղափոխել աջ այնքան թվանշան, որքան տասնորդական կետից հետո կա բաժանարարում։ Դրանից հետո բաժանեք բնական թվի վրա։

Օրինակներ.

Կատարեք բաժանումը տասնորդականով.

Տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու համար պետք է ստորակետն աջ տեղափոխել այնքան թվանշան, որքան բաժանարարի տասնորդական կետից հետո, այսինքն՝ մեկ նշանով: Մենք ստանում ենք՝ 35.1: 1.8 \u003d 351: 18: Այժմ մենք կատարում ենք բաժանում անկյունով: Արդյունքում մենք ստանում ենք՝ 35.1: 1.8 = 19.5:

2) 14,76: 3,6

Տասնորդական կոտորակների բաժանումն իրականացնելու համար՝ և՛ դիվիդենտում, և՛ բաժանարարում, մենք ստորակետը տեղափոխում ենք աջ մեկ նշանով՝ 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36: Այժմ կատարում ենք բնական թվի վրա: Արդյունք՝ 14.76: 3.6 = 4.1:

Բնական թվի տասնորդական կոտորակի վրա բաժանում կատարելու համար անհրաժեշտ է և՛ դիվիդենտում, և՛ բաժանարարում աջ տեղափոխել այնքան նիշ, որքան տասնորդական կետից հետո կա բաժանարարում: Քանի որ ստորակետը այս դեպքում բաժանարարում գրված չէ, նիշերի բաց թողած թիվը լրացնում ենք զրոներով՝ 70: 1.75 \u003d 7000: 175: Ստացված բնական թվերը բաժանում ենք անկյունով՝ 70: 1.75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

Մեկ տասնորդական կոտորակը մյուսի բաժանելու համար ստորակետը տեղափոխում ենք աջ և՛ դիվիդենտում, և՛ բաժանարարում այնքան թվանշաններով, որքան բաժանարարում կա տասնորդական կետից հետո, այսինքն՝ երեք նիշով։ Այսպիսով, 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58: Տասնորդական կոտորակի վրա բաժանումը փոխարինվեց բնական թվով բաժանմամբ: Մենք կիսում ենք մի անկյուն: Մենք ունենք՝ 0.1218: 0.058 = 121.8: 58 = 2.1:

5) 0,0456: 3,8

Տասնորդականների գումարումը կատարվում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերը: Սա տեսնենք օրինակներով։

1) 0,132 + 2,354. Պայմանները մեկը մյուսի տակ ստորագրենք։

Այստեղ 2 հազարերորդական 4 հազարերորդականի գումարումից ստացվել է 6 հազարերորդական;
3 հարյուրերորդական 5 հարյուրերորդականի գումարումից ստացվել է 8 հարյուրերորդական;
1 տասներորդ գումարելով 3 տասներորդով -4 տասներորդով և
2 ամբողջ թվով 0 ամբողջ թիվ ավելացնելուց - 2 ամբողջ թիվ:

2) 5,065 + 7,83.

Երկրորդ ժամկետում հազարերորդականներ չկան, ուստի կարևոր է չսխալվել պայմանները միմյանց տակ ստորագրելիս։

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Այստեղ հազարերորդականներ ավելացնելիս ստանում ենք 21 հազարերորդական; մենք հազարերորդականների տակ գրեցինք 1, իսկ հարյուրերորդներին ավելացրինք 2, ուստի հարյուրերորդ տեղում ստացանք հետևյալ անդամները՝ 2 + 3 + 6 + 8 + 0; գումարով 19 հարյուրերորդական են տալիս, 9-ը հարյուրերորդականի տակ ենք ստորագրել, 1-ը հաշվվել է տասներորդական և այլն։

Այսպիսով, տասնորդական կոտորակներ ավելացնելիս պետք է պահպանել հետևյալ հերթականությունը. Որոշ տերմինների տասնորդական վայրերից աջ նրանք վերագրում են, գոնե մտավոր, այնպիսի զրոներ, որպեսզի տասնորդական կետից հետո բոլոր անդամներն ունենան. նույն թիվըթվանշաններ. Այնուհետև կատարեք գումարումը թվանշաններով՝ սկսած աջ կողմ, և ստացված գումարի մեջ դրեք ստորակետ նույն ուղղահայաց սյունակում, որտեղ այն գտնվում է այս տերմիններով:

§ 108. Տասնորդական կոտորակների հանում.

Տասնորդական թվերի հանումը կատարվում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերը հանելը: Սա ցույց տանք օրինակներով։

1) 9,87 - 7,32: Ստորագրենք ենթակետը մինուենդի տակ, որպեսզի նույն թվանշանի միավորները լինեն միմյանց տակ.

2) 16.29 - 4.75. Ստորագրենք ենթավերնագիրը մինուենդի տակ, ինչպես առաջին օրինակում.

Տասներորդները հանելու համար պետք է 6-ից վերցնել մեկ ամբողջ միավոր և այն բաժանել տասներորդների:

3) 14.0213-5.350712. Եկե՛ք ստորագրենք ենթակառուցվածքը մինուենդի տակ.

Հանումը կատարվել է հետևյալ կերպ. քանի որ մենք չենք կարող 0-ից հանել 2 միլիոներորդական, ապա պետք է նկատի ունենալ դեպի ձախ մոտակա թվանշանը, այսինքն՝ հարյուրհազարերորդականին, բայց հարյուրհազարերորդականի փոխարեն կա նաև զրո, ուստի վերցնում ենք 1։ 3-ից տասը հազարը և բաժանում ենք հարյուրհազարերորդականի, ստանում ենք 10 հարյուրհազարերորդական, որից 9-ը մնում է հարյուրհազարերորդական կատեգորիայի մեջ, իսկ 1 հարյուրհազարերորդը տրորվում է միլիոներորդականների, մենք ստանում ենք 10 միլիոներորդական: Այսպիսով, վերջին երեք թվանշաններով ստացանք՝ միլիոներորդականներ 10, հարյուրհազարերորդականներ 9, տասը հազարերորդներ 2։ Ավելի պարզության և հարմարության համար (չմոռանանք) այս թվերը գրվում են կրճատվածի համապատասխան կոտորակային թվանշանների վրա։ Այժմ մենք կարող ենք սկսել հանել: 10 միլիոներորդականից հանում ենք 2 միլիոներորդական, ստանում ենք 8 միլիոներորդ; 9 հարյուրհազարերորդականից հանում ենք 1 հարյուրհազարերորդական, ստանում ենք 8 հարյուրհազարերորդական և այլն։

Այսպիսով, տասնորդական կոտորակները հանելիս պահպանվում է հետևյալ հաջորդականությունը. ենթակետը ստորագրվում է կրճատվածի տակ այնպես, որ նույն թվանշանները լինեն մեկը մյուսի տակ, և բոլոր ստորակետները լինեն նույն ուղղահայաց սյունակում. աջ կողմում նրանք վերագրում են, թեկուզ մտովի, կրճատված կամ հանված այնքան զրո, որ նրանք ունենան նույն թվով թվանշաններ, ապա հանում են թվերով՝ սկսած աջ կողմից, և ստացված տարբերության մեջ ստորակետ են դնում. նույն ուղղահայաց սյունը, որում այն ​​գտնվում է կրճատված և հանված:

§ 109. Տասնորդական կոտորակների բազմապատկում.

Դիտարկենք տասնորդական կոտորակների բազմապատկման մի քանի օրինակ:

Այս թվերի արտադրյալը գտնելու համար կարող ենք պատճառաբանել հետևյալ կերպ. եթե գործակիցն ավելացվի 10 անգամ, ապա երկու գործակիցներն էլ կլինեն ամբողջ թվեր, և մենք կարող ենք դրանք բազմապատկել ըստ ամբողջ թվերի բազմապատկման կանոնների։ Բայց մենք գիտենք, որ երբ գործոններից մեկը մի քանի անգամ ավելանում է, արտադրանքը նույն չափով ավելանում է։ Սա նշանակում է, որ այն թիվը, որը ստացվում է ամբողջ թվային գործակիցների բազմապատկման արդյունքում, այսինքն՝ 28-ը 23-ով, 10 անգամ մեծ է իսկական արտադրյալից, իսկ իրական արտադրյալը ստանալու համար անհրաժեշտ է հայտնաբերված արտադրյալը կրճատել 10 անգամ։ Հետևաբար, այստեղ պետք է մեկ անգամ կատարել 10-ով բազմապատկելը և մեկ անգամ՝ 10-ով բաժանելը, սակայն բազմապատկումը և 10-ով բաժանումը կատարվում է՝ ստորակետը մեկ նշանով աջ և ձախ տեղափոխելով։ Հետևաբար, դուք պետք է դա անեք. բազմապատկիչում ստորակետը տեղափոխեք աջ մեկ նշանով, դրանից այն հավասար կլինի 23-ի, այնուհետև պետք է բազմապատկեք ստացված ամբողջ թվերը.

Այս ապրանքը 10 անգամ ավելի մեծ է, քան իրականը: Հետեւաբար, այն պետք է կրճատվի 10 անգամ, ինչի համար ստորակետը տեղափոխում ենք մեկ նիշ դեպի ձախ։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք

28 2,3 = 64,4.

Ստուգման նպատակով կարող եք տասնորդական կոտորակ գրել հայտարարով և կատարել գործողություն սովորական կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն, այսինքն.

2) 12,27 0,021.

Այս օրինակի և նախորդի տարբերությունն այն է, որ այստեղ երկու գործակիցներն էլ ներկայացված են տասնորդական կոտորակներով: Բայց այստեղ բազմապատկման գործընթացում մենք ուշադրություն չենք դարձնի ստորակետներին, այսինքն՝ ժամանակավորապես կավելացնենք բազմապատկիչը 100 անգամ, իսկ բազմապատկիչը՝ 1000 անգամ, ինչը կմեծացնի արտադրյալը 100000 անգամ։ Այսպիսով, 1227-ը բազմապատկելով 21-ով, ստանում ենք.

1 227 21 = 25 767.

Հաշվի առնելով, որ ստացված արդյունքը 100.000 անգամ մեծ է իրականից, այժմ մենք պետք է այն կրճատենք 100.000 անգամ՝ դրանում ճիշտ ստորակետ դնելով, ապա ստանում ենք.

32,27 0,021 = 0,25767.

Եկեք ստուգենք.

Այսպիսով, երկու տասնորդական կոտորակները բազմապատկելու համար բավական է, առանց ստորակետներին ուշադրություն դարձնելու, դրանք բազմապատկել որպես ամբողջ թվեր, իսկ արտադրյալում աջ կողմում ստորակետով առանձնացնել այնքան տասնորդական, որքան եղել է բազմապատկիչում և մեջ։ գործոնը միասին.

Վերջին օրինակում արդյունքը հինգ տասնորդական թվերով արտադրյալ է: Եթե ​​նման ավելի մեծ ճշգրտություն չի պահանջվում, ապա կատարվում է տասնորդական կոտորակի կլորացում։ Կլորացնելիս դուք պետք է օգտագործեք նույն կանոնը, որը նշված էր ամբողջ թվերի համար:

§ 110. Բազմապատկում աղյուսակների միջոցով.

Տասնորդական թվերի բազմապատկումը երբեմն կարելի է անել աղյուսակների միջոցով: Այդ նպատակով կարող եք, օրինակ, օգտագործել այդ բազմապատկման աղյուսակները երկնիշ թվեր, որի նկարագրությունը տրվել է ավելի վաղ։

1) 53-ը բազմապատկել 1,5-ով:

Մենք 53-ը կբազմապատկենք 15-ով: Աղյուսակում այս արտադրյալը հավասար է 795-ի: Մենք գտանք 53-ի արտադրյալը 15-ով, բայց մեր երկրորդ գործակիցը 10 անգամ պակաս էր, ինչը նշանակում է, որ արտադրյալը պետք է կրճատվի 10 անգամ, այսինքն.

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3-ը բազմապատկել 4.7-ով:

Նախ, եկեք աղյուսակում գտնենք 53-ի արտադրյալը 47-ով, այն կլինի 2491: Բայց քանի որ բազմապատկիչն ու բազմապատկիչը մեծացրել ենք ընդհանուր 100 անգամ, ուրեմն ստացված արտադրյալը 100 անգամ ավելի մեծ է, քան պետք է լինի. Այսպիսով, մենք պետք է կրճատենք այս ապրանքը 100-ով.

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0,53-ը բազմապատկել 7,4-ով:

Սկզբում մենք աղյուսակում գտնում ենք 53-ի 74-ի արտադրյալը. սա կլինի 3922։ Բայց քանի որ մենք բազմապատկիչն ավելացրել ենք 100 անգամ, իսկ բազմապատկիչը՝ 10 անգամ, արտադրյալն աճել է 1000 անգամ. այնպես որ մենք այժմ պետք է այն կրճատենք 1000 գործակցով.

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Տասնորդականների բաժանում.

Մենք կդիտարկենք տասնորդական բաժանումը հետևյալ հաջորդականությամբ.

1. Տասնորդական բաժանում ըստ ամբողջ թիվ,

1. Տասնորդական կոտորակի բաժանում ամբողջ թվի վրա.

1) 2.46-ը բաժանեք 2-ի:

Սկզբում բաժանեցինք 2-ի, հետո տասներորդների և վերջապես հարյուրերորդների:

2) 32,46-ը բաժանեք 3-ի:

32,46: 3 = 10,82.

3 տասնյակը բաժանեցինք 3-ի, հետո սկսեցինք 2 միավորը բաժանել 3-ի; քանի որ շահաբաժնի միավորների թիվը (2) փոքր է բաժանարարից (3), մենք պետք է 0 դնեինք քանորդի մեջ. Այնուհետև, մնացածը մենք քանդեցինք 4 տասներորդը և 24 տասներորդը բաժանեցինք 3-ի. ստացել է մասնավոր 8 տասներորդական և վերջապես բաժանել 6 հարյուրերորդականը:

3) 1,2345-ը բաժանեք 5-ի:

1,2345: 5 = 0,2469.

Այստեղ առաջին հերթին զրոյական թվեր են ստացվել, քանի որ մեկ ամբողջ թիվը չի բաժանվում 5-ի։

4) 13.58-ը բաժանեք 4-ի:

Այս օրինակի առանձնահատկությունն այն է, որ երբ մասնավորում ստացանք 9 հարյուրերորդական, հետո գտնվեց 2 հարյուրերորդականի հավասար մնացորդ, այս մնացորդը բաժանեցինք հազարերորդականի, ստացանք 20 հազարերորդական և բաժանումը հասցրինք ավարտին։

Կանոն.Տասնորդական կոտորակի բաժանումն ամբողջ թվով կատարվում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերի բաժանումը, և ստացված մնացորդները վերածվում են տասնորդական կոտորակների՝ ավելի ու ավելի փոքր. բաժանումը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև մնացորդը զրոյանա:

2. Տասնորդական կոտորակի բաժանումը տասնորդական կոտորակի վրա:

1) 2,46-ը բաժանեք 0,2-ի:

Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է տասնորդական կոտորակը բաժանել ամբողջ թվի: Մտածենք՝ կարելի՞ է արդյոք բաժանման այս նոր դեպքը նույնպես կրճատել նախորդի վրա։ Ժամանակին մենք դիտարկել ենք գործակիցի ուշագրավ հատկությունը, որը կայանում է նրանում, որ այն մնում է անփոփոխ՝ նույնքան անգամ ավելացնելով կամ նվազեցնելով շահաբաժինն ու բաժանարարը: Մենք հեշտությամբ կկատարեինք մեզ առաջարկվող թվերի բաժանումը, եթե բաժանարարը լիներ ամբողջ թիվ։ Դա անելու համար բավական է այն ավելացնել 10 անգամ, իսկ ճիշտ գործակից ստանալու համար անհրաժեշտ է շահաբաժինն ավելացնել նույնքան անգամ, այսինքն՝ 10 անգամ։ Այնուհետև այս թվերի բաժանումը կփոխարինվի հետևյալ թվերի բաժանմամբ.

և առանձնապես որևէ փոփոխություն կատարելու կարիք չկա։

Եկեք կատարենք այս բաժանումը.

Այսպիսով, 2.46: 0.2 = 12.3:

2) 1,25-ը բաժանեք 1,6-ի:

Մենք բաժանարարը (1.6) ավելացնում ենք 10 անգամ; որպեսզի գործակիցը չփոխվի, շահաբաժինն ավելացնում ենք 10 անգամ. 12 ամբողջ թվերը չեն բաժանվում 16-ի, ուստի մենք գրում ենք 0-ով և 125 տասներորդը բաժանում ենք 16-ի, ստացվում է 7 տասներորդ քանորդը, իսկ մնացածը 13 է։ Ուշադրություն դարձրեք հետևյալին.

ա) երբ ամբողջ թվերը չեն ստացվում քանորդում, ապա դրանց տեղում գրվում են զրո ամբողջ թվեր.

բ) երբ դիվիդենտի թվանշանը մնացորդին վերցնելուց հետո ստացվում է բաժանարարի վրա չբաժանվող թիվ, ապա քանորդում գրվում է զրո.

գ) երբ շահաբաժնի վերջին նիշը հանելուց հետո բաժանումը չի ավարտվում, ապա մնացորդներին զրոներ տալով` բաժանումը շարունակվում է.

դ) եթե շահաբաժինն ամբողջ թիվ է, ապա այն տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելիս դրա աճն իրականացվում է նրան զրոներ վերագրելով։

Այսպիսով, թիվը տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է բաժանարարի մեջ բաց թողնել ստորակետը, այնուհետև ավելացնել դիվիդենտը այնքան անգամ, որքան մեծացել է բաժանարարը, երբ ստորակետը հանվել է դրանում, այնուհետև կատարել բաժանումը ըստ. տասնորդական կոտորակը ամբողջ թվի վրա բաժանելու կանոնը.

§ 112. Մոտավոր քանորդ.

Նախորդ պարբերությունում մենք դիտարկել ենք տասնորդական կոտորակների բաժանումը, և մեր լուծած բոլոր օրինակներում բաժանումը հասցվել է մինչև վերջ, այսինքն՝ ստացվել է ճշգրիտ գործակից։ Այնուամենայնիվ, շատ դեպքերում ճշգրիտ գործակիցը հնարավոր չէ ստանալ, անկախ նրանից, թե որքան հեռու ենք բաժանումը: Ահա այսպիսի մի դեպք՝ 53-ը բաժանեք 101-ի։

Մենք արդեն ստացել ենք գործակիցի հինգ նիշ, բայց բաժանումը դեռ չի ավարտվել, և հույս չկա, որ այն երբևէ կավարտվի, քանի որ այն թվերը, որոնք նախկինում հանդիպել ենք, սկսում են երևալ մնացածի մեջ: Թվերը նույնպես կկրկնվեն քանորդում՝ ակնհայտորեն, 7 թվից հետո կհայտնվի 5 թիվը, հետո՝ 2, և այդպես անվերջ։ Նման դեպքերում բաժանումն ընդհատվում է և սահմանափակվում գործակիցի առաջին մի քանի թվերով։ Այս մասնավորը կոչվում է մոտավոր.Ինչպես կատարել բաժանումը այս դեպքում, մենք ցույց կտանք օրինակներով:

Թող պահանջվի 25-ը բաժանել 3-ի: Ակնհայտ է, որ ճշգրիտ քանորդը, որն արտահայտվում է որպես ամբողջ թիվ կամ տասնորդական կոտորակ, չի կարող ստացվել նման բաժանումից: Հետևաբար, մենք կփնտրենք մոտավոր գործակից.

25: 3 = 8, իսկ մնացորդը 1

Մոտավոր գործակիցը 8 է; այն, իհարկե, ճշգրիտ քանորդից փոքր է, քանի որ կա 1-ի մնացորդ: Ճշգրիտ գործակիցը ստանալու համար անհրաժեշտ է գտնված մոտավոր գործակիցին, այսինքն՝ 8-ին ավելացնել այն կոտորակը, որը ստացվում է մնացորդը բաժանելուց: , հավասար է 1-ի, 3-ով; դա կլինի կոտորակ 1/3: Սա նշանակում է, որ ճշգրիտ գործակիցը կհայտնվի որպես խառը թիվ 8 1/3: Քանի որ 1/3-ը պատշաճ կոտորակ է, այսինքն՝ կոտորակ, մեկից պակաս, ապա, դեն նետելով այն, ենթադրում ենք սխալ, որը մեկից պակաս. Մասնավոր 8 կամք մոտավոր գործակից մինչև մեկ թերություն ունեցող.Եթե ​​8-ի փոխարեն վերցնենք 9, ապա թույլ ենք տալիս նաև սխալ, որը մեկից փոքր է, քանի որ կավելացնենք ոչ թե ամբողջ միավոր, այլ 2/3: Նման մասնավոր կամք մոտավոր գործակից մինչև մեկ՝ ավելցուկով։

Հիմա մեկ այլ օրինակ բերենք. Թող պահանջվի 27-ը բաժանել 8-ի: Քանի որ այստեղ մենք չենք ստանա ճշգրիտ գործակից, որն արտահայտված է որպես ամբողջ թիվ, մենք կփնտրենք մոտավոր գործակից.

27: 8 = 3, իսկ մնացորդը 3:

Այստեղ սխալը 3/8 է, այն մեկից պակաս է, ինչը նշանակում է, որ մոտավոր գործակիցը (3) գտնվել է մինչև մեկ թերություն ունեցող: Շարունակում ենք բաժանումը. 3-ի մնացած մասը բաժանում ենք տասներորդների, ստանում ենք 30 տասներորդ; Բաժանենք դրանք 8-ի։

Տեղում առանձնացրինք տասներորդ, իսկ մնացած բ տասներորդները։ Եթե ​​սահմանափակվենք հատկապես 3.3 թվով, իսկ մնացած 6-ը դեն նետենք, ապա թույլ կտանք մեկ տասներորդից պակաս սխալ: Ինչո՞ւ։ Որովհետև ճշգրիտ գործակիցը կստացվեր, երբ 3.3-ին գումարեինք 6 տասներորդը 8-ի բաժանելու արդյունքը. այս բաժանումից կլինի 6/80, ինչը մեկ տասներորդից պակաս է: (Ստուգե՜ ճշգրիտ մինչև մեկ տասներորդը(թերություն ունեցող):

Շարունակենք բաժանումը ևս մեկ տասնորդական տեղ գտնելու համար։ Դա անելու համար մենք 6 տասներորդը բաժանում ենք հարյուրերորդի և ստանում ենք 60 հարյուրերորդական; Բաժանենք դրանք 8-ի։

Մասնավոր երրորդ տեղում ստացվել է 7, իսկ մնացածում՝ 4 հարյուրերորդական; եթե դրանք դեն նետենք, ապա թույլ ենք տալիս հարյուրերորդից պակաս սխալ, քանի որ 8-ի բաժանված 4 հարյուրերորդը հարյուրերորդից փոքր է: Նման դեպքերում ասում են, որ գործակիցը գտնված է: ճշգրիտ մինչև հարյուրերորդը(թերություն ունեցող):

Օրինակում, որը մենք այժմ դիտարկում ենք, կարող եք ստանալ ճշգրիտ գործակիցը, որն արտահայտված է որպես տասնորդական կոտորակ: Դա անելու համար բավական է վերջին մնացորդը՝ 4 հարյուրերորդականը, բաժանել հազարերորդականի և բաժանել 8-ի։

Այնուամենայնիվ, դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում անհնար է ստույգ գործակից ստանալ, և պետք է սահմանափակվել դրա մոտավոր արժեքներով: Այժմ մենք կքննարկենք նման օրինակ.

40: 7 = 5,71428571...

Թվի վերջում գտնվող կետերը ցույց են տալիս, որ բաժանումը ավարտված չէ, այսինքն՝ հավասարությունը մոտավոր է։ Սովորաբար մոտավոր հավասարությունը գրվում է այսպես.

40: 7 = 5,71428571.

Վերցրինք գործակիցը ութ տասնորդական թվերով։ Բայց եթե այդքան մեծ ճշգրտություն չի պահանջվում, կարելի է սահմանափակվել գործակիցի ամբողջ մասով, այսինքն՝ 5 (ավելի ճիշտ՝ 6) թվով. ավելի մեծ ճշտության համար կարելի է հաշվի առնել տասներորդները, իսկ գործակիցը հավասար է 5,7-ի; եթե ինչ-ինչ պատճառներով այս ճշգրտությունը բավարար չէ, ապա մենք կարող ենք կանգ առնել հարյուրերորդականների վրա և վերցնել 5,71 և այլն: Եկեք դուրս գրենք առանձին գործակիցները և անվանենք դրանք:

Առաջին մոտավոր գործակիցը մինչև մեկ 6:

Երկրորդ » » » մեկ տասներորդը 5.7.

Երրորդ » » » մինչեւ հարյուրերորդական 5.71.

Չորրորդ » » » 5.714-ի մինչև հազարերորդականը.

Այսպիսով, մինչև որոշների մոտավոր գործակիցը գտնելու համար, օրինակ՝ 3-րդ տասնորդական թիվը (այսինքն՝ մինչև հազարերորդական), բաժանումը դադարեցվում է հենց այս նշանը գտնելուն պես։ Այս դեպքում պետք է հիշել § 40-ում ամրագրված կանոնը.

§ 113. Ամենապարզ խնդիրները հետաքրքրության համար.

Տասնորդական կոտորակներն ուսումնասիրելուց հետո կլուծենք ևս մի քանի տոկոսային խնդիր։

Այս խնդիրները նման են այն խնդիրներին, որոնք մենք լուծեցինք սովորական կոտորակների բաժնում. բայց հիմա հարյուրերորդականները կգրենք տասնորդական կոտորակների տեսքով, այսինքն՝ առանց հստակ նշանակված հայտարարի։

Առաջին հերթին, դուք պետք է կարողանաք հեշտությամբ անցնել սովորական կոտորակից տասնորդական կոտորակի, որի հայտարարը 100 է: Դա անելու համար անհրաժեշտ է համարիչը բաժանել հայտարարի.

Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս, թե ինչպես է % (տոկոս) նշանով թիվը փոխարինվում 100 հայտարարով տասնորդականով.

Այժմ դիտարկենք մի քանի խնդիր:

1. Տրված թվի տոկոսների հայտնաբերում.

Առաջադրանք 1.Մեկ գյուղում ապրում է ընդամենը 1600 մարդ։ Երեխաների քանակը դպրոցական տարիքկազմում է 25%-ը ընդհանուր թիվըբնակիչներ. Քանի՞ դպրոցահասակ երեխա կա այս գյուղում։

Այս հարցում պետք է գտնել 1600-ի 25%-ը կամ 0.25-ը: Խնդիրը լուծվում է բազմապատկելով.

1600 0.25 = 400 (երեխաներ):

Հետեւաբար, 1600-ի 25%-ը 400 է:

Այս առաջադրանքը հստակ հասկանալու համար օգտակար է հիշել, որ բնակչության յուրաքանչյուր հարյուրին բաժին է ընկնում դպրոցահասակ 25 երեխա: Հետևաբար, բոլոր դպրոցահասակ երեխաների թիվը գտնելու համար նախ կարող եք պարզել, թե քանի հարյուր կա 1600 (16) թվի մեջ, այնուհետև 25-ը բազմապատկել հարյուրավոր թվով (25 x 16 = 400): Այս կերպ Դուք կարող եք ստուգել լուծման վավերականությունը:

Առաջադրանք 2.Խնայբանկերը ավանդատուներին տալիս են տարեկան եկամտի 2%-ը։ Տարեկան որքա՞ն եկամուտ կստանա ավանդատուն, ով ավանդ է ներդրել՝ ա) 200 ռուբլի. բ) 500 ռուբլի. գ) 750 ռուբլի: դ) 1000 ռուբլի:

Բոլոր չորս դեպքում էլ խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ կլինի հաշվարկել նշված գումարներից 0,02-ը, այսինքն՝ այդ թվերից յուրաքանչյուրը պետք է բազմապատկվի 0,02-ով։ Եկեք անենք դա:

ա) 200 0,02 = 4 (ռուբլի),

բ) 500 0,02 = 10 (ռուբլի),

գ) 750 0,02 = 15 (ռուբլի),

դ) 1000 0.02 = 20 (ռուբլի):

Այս դեպքերից յուրաքանչյուրը կարող է ստուգվել հետևյալ նկատառումներով. Խնայբանկերը ավանդատուներին տալիս են եկամտի 2%-ը, այսինքն՝ խնայողությունների մեջ դրված գումարի 0,02-ը։ Եթե ​​գումարը լիներ 100 ռուբլի, ապա դրանից 0,02-ը կլիներ 2 ռուբլի: Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր հարյուրը ավանդատուին բերում է 2 ռուբլի։ եկամուտը։ Հետևաբար, դիտարկված յուրաքանչյուր դեպքում բավական է պարզել, թե քանի հարյուր է տրված թվով, և 2 ռուբլին բազմապատկել այս հարյուրավորներով։ Օրինակ ա) հարյուրավոր 2, այսպես

2 2 \u003d 4 (ռուբլի):

Օրինակ դ) հարյուրավորները 10 են, ինչը նշանակում է

2 10 \u003d 20 (ռուբլի):

2. Թիվ գտնելն իր տոկոսով:

Առաջադրանք 1.Գարնանը դպրոցն ավարտել է 54 աշակերտ, որը կազմում է աշակերտների ընդհանուր թվի 6%-ը։ Քանի՞ աշակերտ է եղել դպրոցում նախկինում ուսումնական տարին?

Նախ պարզաբանենք այս խնդրի իմաստը։ Դպրոցն ավարտել է 54 աշակերտ, որը կազմում է ընդհանուր սովորողների 6%-ը կամ, այլ կերպ ասած, դպրոցի բոլոր աշակերտների 6 հարյուրերորդականը (0,06): Սա նշանակում է, որ մենք գիտենք աշակերտների (54) թվով և (0,06) կոտորակով արտահայտված մասը, և այս կոտորակից պետք է գտնել ամբողջ թիվը։ Այսպիսով, մեր առջև կանգնած է թիվն իր կոտորակով գտնելու սովորական խնդիր (§ 90, էջ 6): Այս տեսակի խնդիրները լուծվում են բաժանման միջոցով.

Սա նշանակում է, որ դպրոցում սովորել է 900 աշակերտ։

Օգտակար է ստուգել նման խնդիրները՝ լուծելով հակադարձ խնդիրը, այսինքն՝ խնդիրը լուծելուց հետո դուք պետք է գոնե ձեր մտքում լուծեք առաջին տեսակի խնդիրը (գտնելով տրված թվի տոկոսը). վերցրեք գտնված թիվը ( 900) ինչպես տրված է և դրանից գտե՛ք լուծված խնդրի մեջ նշված տոկոսը, այն է՝

900 0,06 = 54.

Առաջադրանք 2.Ընտանիքը ամսվա ընթացքում սննդի վրա ծախսում է 780 ռուբլի, որը կազմում է հոր ամսական եկամտի 65%-ը։ Որոշեք նրա ամսական եկամուտը.

Այս առաջադրանքն ունի նույն նշանակությունը, ինչ նախորդը: Այն տալիս է ամսական վաստակի մի մասը՝ արտահայտված ռուբլով (780 ռուբլի) և ցույց է տալիս, որ այդ մասը կազմում է ընդհանուր շահույթի 65%-ը կամ 0,65-ը։ Եվ ցանկալին ամբողջ վաստակն է.

780: 0,65 = 1 200.

Հետեւաբար, ցանկալի վաստակը 1200 ռուբլի է:

3. Գտնելով թվերի տոկոսը.

Առաջադրանք 1.Դպրոցի գրադարանն ընդհանուր առմամբ ունի 6000 գիրք: Դրանց թվում են մաթեմատիկայի վերաբերյալ 1200 գիրք։ Մաթեմատիկայի գրքերի քանի՞ տոկոսն է կազմում գրադարանի գրքերի ընդհանուր թիվը:

Մենք արդեն դիտարկել ենք (§97) այս կարգի խնդիրները և եկել այն եզրակացության, որ երկու թվերի տոկոսը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել այս թվերի հարաբերակցությունը և այն բազմապատկել 100-ով:

Մեր առաջադրանքում մենք պետք է գտնենք 1200 և 6000 թվերի տոկոսը։

Մենք նախ գտնում ենք նրանց հարաբերակցությունը, այնուհետև այն բազմապատկում ենք 100-ով.

Այսպիսով, 1200 և 6000 թվերի տոկոսը 20 է։ Այսինքն՝ մաթեմատիկայի գրքերը կազմում են բոլոր գրքերի ընդհանուր թվի 20%-ը։

Ստուգելու համար մենք լուծում ենք հակադարձ խնդիրը՝ գտնել 6000-ի 20%-ը.

6 000 0,2 = 1 200.

Առաջադրանք 2.Գործարանը պետք է ստանա 200 տոննա ածուխ։ Արդեն մատակարարվել է 80 տոննա, քանի՞ տոկոս ածուխ է մատակարարվել գործարան.

Այս խնդիրը հարցնում է, թե քանի տոկոս է կազմում մի թիվը (80) մյուսը (200): Այս թվերի հարաբերակցությունը կլինի 80/200։ Եկեք այն բազմապատկենք 100-ով.

Սա նշանակում է, որ ածուխի 40%-ը մատակարարվել է։

Եթե ​​ձեր երեխան չի կարող սովորել, թե ինչպես բաժանել տասնորդական թվերը, ապա դա պատճառ չէ նրան մաթեմատիկայի ընդունակ համարելու համար:

Ամենայն հավանականությամբ, նա պարզապես չի հասկացել, թե ինչպես է դա արվել։ Պետք է օգնել երեխային և ամենապարզ, գրեթե խաղային ձևով պատմել նրան կոտորակների և դրանցով կատարվող գործողությունների մասին։ Եվ դրա համար մենք պետք է ինքներս ինչ-որ բան հիշենք.

Կոտորակային արտահայտություններն օգտագործվում են, երբ մենք խոսում ենքոչ ամբողջ թվերի մասին.Եթե ​​կոտորակը մեկից փոքր է, ապա այն նկարագրում է ինչ-որ բանի մի մասը, եթե ավելին է՝ մի քանի ամբողջական մասեր և մեկ այլ կտոր։ Կոտորակները նկարագրվում են 2 արժեքով՝ հայտարարով, որը բացատրում է, թե քանի հավասար մասերի է բաժանված թիվը, և համարիչ, որը ցույց է տալիս, թե քանի այդպիսի մասերի նկատի ունենք։

Ենթադրենք, դուք տորթը կտրել եք 4 հավասար մասերի և դրանցից 1-ը տվել եք ձեր հարևաններին։ Հայտարարը կլինի 4։ Իսկ համարիչը կախված է նրանից, թե ինչ ենք ուզում նկարագրել։ Եթե ​​խոսենք այն մասին, թե որքան է տրվել հարեւաններին, ապա համարիչը 1 է, իսկ եթե խոսում ենք այն մասին, թե որքան է մնացել, ապա 3։

Կարկանդակի օրինակում հայտարարը 4 է, իսկ «1 օր - շաբաթվա 1/7» արտահայտության մեջ՝ 7։ Ցանկացած հայտարարով կոտորակային արտահայտությունն է. ընդհանուր կոտորակ.

Մաթեմատիկոսները, ինչպես բոլորը, փորձում են իրենց կյանքը հեշտացնել։ Ահա թե ինչու են հայտնագործվել տասնորդական կոտորակները։ Դրանցում հայտարարը 10-ն է կամ 10-ի բազմապատիկները (100, 1000, 10000 և այլն), և դրանք գրվում են հետևյալ կերպ՝ թվի ամբողջական բաղադրիչը կոտորակայինից առանձնացվում է ստորակետով։ Օրինակ՝ 5.1-ը 5 ամբողջ թիվ է և 1 տասներորդը, իսկ 7.86-ը՝ 7 ամբողջ թիվ և 86 հարյուրերորդական։

Մի փոքր շեղում - ոչ թե ձեր երեխաների, այլ ինքներդ ձեզ համար: Մեզ մոտ ընդունված է կոտորակային մասն առանձնացնել ստորակետով։ Արտերկրում, հաստատված ավանդույթի համաձայն, ընդունված է այն առանձնացնել կետով։ Հետևաբար, եթե արտասահմանյան տեքստում հանդիպեք նման նշագրման, մի զարմացեք:

Կոտորակների բաժանում

Նման թվերով յուրաքանչյուր թվաբանական գործողություն ունի իր առանձնահատկությունները, բայց այժմ մենք կփորձենք սովորել, թե ինչպես բաժանել տասնորդական կոտորակները: Կոտորակը կարելի է բաժանել բնական թվի կամ մեկ այլ կոտորակի վրա։

Այս թվաբանական գործողության յուրացումը հեշտացնելու համար անհրաժեշտ է հիշել մի պարզ բան.

Սովորելով կարգավորել ստորակետերը՝ կարող եք օգտագործել բաժանման նույն կանոնները, ինչ ամբողջ թվերի համար:

Դիտարկենք կոտորակը բնական թվի բաժանելը: Սյունակի բաժանման տեխնոլոգիան արդեն պետք է հայտնի լինի ձեզ նախկինում ծածկված նյութից: Ընթացակարգը կատարվում է նույն կերպ. Շահաբաժինը բաժանվում է բաժանարարի վրա: Հենց որ հերթը հասնում է ստորակետից առաջ վերջին նշանին, ստորակետը նույնպես դրվում է մասնավորի մեջ, այնուհետև բաժանումն ընթանում է սովորական ձևով։

Այսինքն, բացի ստորակետի քանդումից՝ ամենատարածված բաժանումը, իսկ ստորակետը շատ դժվար չէ։

Կոտորակի բաժանումը կոտորակի վրա

Օրինակները, որոնցում պետք է մեկ կոտորակային արժեք բաժանել մյուսի վրա, շատ բարդ են թվում: Բայց իրականում դրանց հետ գործ ունենալը բոլորովին էլ դժվար չէ։ Շատ ավելի հեշտ կլինի մեկ տասնորդական կոտորակը բաժանել մյուսի վրա, եթե ձերբազատվեք բաժանարարի ստորակետից:

Ինչպե՞ս դա անել: Եթե ​​դուք պետք է դասավորեք 90 մատիտ 10 տուփի մեջ, քանի՞ մատիտ կլինի դրանցից յուրաքանչյուրում: 9. Եկեք երկու թվերն էլ բազմապատկենք 10-ով - 900 մատիտով և 100 տուփով: Քանի՞սը յուրաքանչյուրում: 9. Նույն սկզբունքը գործում է տասնորդական թիվը բաժանելիս։

Բաժանարարն ընդհանրապես ազատվում է ստորակետից, մինչդեռ դիվիդենտը ստորակետը տեղափոխում է աջ այնքան նիշ, որքան նախկինում եղել է բաժանարարում: Եվ հետո կատարվում է սովորական բաժանումը սյունակի մեջ, որը մենք քննարկեցինք վերևում: Օրինակ:

25,6/6,4 = 256/64 = 4;

10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;

100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.

Շահաբաժինը պետք է բազմապատկվի և բազմապատկվի 10-ով, մինչև բաժանարարը դառնա ամբողջ թիվ: Հետեւաբար, այն կարող է ունենալ լրացուցիչ զրոներ աջ կողմում:

40,6/0,58 =4060/58=70.

Դրանում ոչ մի վատ բան չկա: Հիշեք մատիտի օրինակը. պատասխանը չի փոխվում, եթե երկու թվերն էլ ավելացնեք նույն չափով: Սովորական կոտորակը ավելի դժվար է բաժանվում, հատկապես, եթե համարիչում և հայտարարում ընդհանուր գործակիցներ չկան։

Այս առումով տասնորդականը բաժանելը շատ ավելի հարմար է։ Այստեղ ամենադժվար մասը ստորակետերով փաթաթելու հնարքն է, բայց ինչպես տեսանք, այն հեշտ է դուրս բերել: Կարողանալով դա փոխանցել ձեր երեխային, դրանով դուք սովորեցնում եք նրան բաժանել տասնորդական կոտորակները:

Այս պարզ կանոնին տիրապետելով՝ ձեր տղան կամ ձեր աղջիկը շատ ավելի վստահ կզգան մաթեմատիկայի դասերին և, ով գիտի, գուցե տարվեն այս առարկայով։ Մաթեմատիկական մտածելակերպը հազվադեպ է դրսևորվում վաղ մանկությունից, երբեմն պետք է մղել, հետաքրքրություն։

Օգնելով երեխային տնային առաջադրանքների հարցում՝ դուք ոչ միայն կբարելավեք ակադեմիական առաջադիմությունը, այլև կընդլայնեք նրա հետաքրքրությունների շրջանակը, ինչի համար նա ժամանակի ընթացքում շնորհակալ կլինի ձեզ:

Դպրոցում այս գործողությունները ուսումնասիրվում են պարզից մինչև բարդ: Հետևաբար, անշուշտ անհրաժեշտ է տիրապետել այս գործողությունների վրա կատարվող ալգորիթմին պարզ օրինակներ. Որպեսզի հետագայում տասնորդական կոտորակները սյունակի բաժանելու դժվարություններ չլինեն: Ի վերջո, սա ամենաշատն է դժվար տարբերակնմանատիպ առաջադրանքներ.

Այս առարկան պահանջում է հետևողական ուսումնասիրություն: Գիտելիքների բացերն այստեղ անընդունելի են։ Այս սկզբունքը պետք է սովորի յուրաքանչյուր աշակերտ արդեն առաջին դասարանում։ Հետեւաբար, եթե մի քանի դաս անընդմեջ բաց թողնեք, ստիպված կլինեք ինքներդ տիրապետել նյութին։ Հակառակ դեպքում հետագայում խնդիրներ կառաջանան ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլեւ դրա հետ կապված այլ առարկաների հետ կապված։

Մաթեմատիկայի հաջող ուսումնասիրության երկրորդ նախապայմանը սյունակում բաժանման օրինակներին անցնելն է միայն գումարումը, հանումը և բազմապատկումը յուրացնելուց հետո:

Երեխայի համար դժվար կլինի բաժանել, եթե նա չի սովորել բազմապատկման աղյուսակը: Ի դեպ, ավելի լավ է դա սովորել Պյութագորասի աղյուսակից։ Ավելորդ բան չկա, իսկ բազմապատկումն այս դեպքում ավելի հեշտ է մարսվում։

Ինչպե՞ս են բնական թվերը բազմապատկվում սյունակում:

Եթե ​​դժվարանում է օրինակներ լուծել սյունակում բաժանման և բազմապատկման համար, ապա անհրաժեշտ է սկսել խնդիրը լուծել բազմապատկմամբ: Քանի որ բաժանումը բազմապատկման հակադարձ է.

1. Երկու թվեր բազմապատկելուց առաջ պետք է ուշադիր նայել դրանք։ Ընտրեք ավելի շատ թվանշան ունեցողը (ավելի երկար), նախ գրեք այն։ Երկրորդը դրեք դրա տակ։ Ընդ որում, համապատասխան կատեգորիայի համարները պետք է լինեն նույն կատեգորիայի տակ։ Այսինքն՝ առաջին թվի ամենաաջ թվանշանը պետք է լինի երկրորդի ամենաաջ թվանշանից վեր։
2. Բազմապատկեք ներքևի թվի ամենաաջ թվանշանը վերևի թվի յուրաքանչյուր թվով՝ սկսած աջից: Պատասխանը գրի՛ր տողի տակ, որպեսզի վերջին թվանշանը լինի այն թվանշանի տակ, որով այն բազմապատկվել է։
3. Նույնը կրկնեք ներքևի համարի մյուս թվանշանի հետ։ Բայց բազմապատկման արդյունքը պետք է մեկ նիշ տեղափոխվի ձախ: Այս դեպքում նրա վերջին թվանշանը կլինի այն թվի տակ, որով այն բազմապատկվել է:

Շարունակեք այս բազմապատկումը սյունակում մինչև երկրորդ բազմապատկիչի թվերը սպառվեն: Այժմ դրանք պետք է ծալել: Սա կլինի ցանկալի պատասխանը։

Տասնորդական կոտորակների սյունակի մեջ բազմապատկելու ալգորիթմ

Նախ, պետք է պատկերացնել, որ տրված են ոչ թե տասնորդական կոտորակներ, այլ բնական։ Այսինքն՝ հեռացրեք ստորակետները դրանցից և անցեք այնպես, ինչպես նկարագրված է նախորդ դեպքում։

Տարբերությունը սկսվում է այն պահից, երբ գրվում է պատասխանը: Այս պահին անհրաժեշտ է հաշվել բոլոր այն թվերը, որոնք գտնվում են տասնորդական կետերից հետո երկու կոտորակներում: Դրանցից քանիսն է պետք պատասխանի վերջից հաշվել և այնտեղ ստորակետ դնել։

Հարմար է այս ալգորիթմը ցույց տալ օրինակով՝ 0,25 x 0,33:

Ինչպե՞ս սկսել սովորել բաժանել:

Նախքան սյունակում բաժանման օրինակներ լուծելը, ենթադրվում է, որ պետք է հիշել այն թվերի անունները, որոնք առկա են բաժանման օրինակում: Դրանցից առաջինը (բաժանողը) բաժանելին է։ Երկրորդը (բաժանված է դրանով) բաժանարար է։ Պատասխանը մասնավոր է։

Դրանից հետո, օգտագործելով պարզ ամենօրյա օրինակ, մենք կբացատրենք այս մաթեմատիկական գործողության էությունը: Օրինակ, եթե դուք վերցնում եք 10 քաղցրավենիք, ապա հեշտ է դրանք հավասարապես բաժանել մայրիկի և հայրիկի միջև։ Բայց ի՞նչ, եթե անհրաժեշտ լինի դրանք բաժանել ձեր ծնողներին և եղբորը:

Դրանից հետո կարելի է ծանոթանալ բաժանման կանոններին եւ յուրացնել դրանք կոնկրետ օրինակներով։ Սկզբում պարզ, իսկ հետո անցնելով ավելի ու ավելի բարդի:

Թվերը սյունակի բաժանելու ալգորիթմ

Նախ ներկայացնում ենք բնական թվերի՝ վրա բաժանվող կարգը միանիշ. Դրանք հիմք են հանդիսանալու նաև բազմանիշ բաժանարարների կամ տասնորդական կոտորակների համար: Միայն դրանից հետո ենթադրվում է փոքր փոփոխություններ կատարել, բայց դրա մասին ավելի ուշ.

• Նախքան սյունակում բաժանումը կատարելը, դուք պետք է պարզեք, թե որտեղ են դիվիդենտը և բաժանարարը:
• Դիվիդենտը գրեք: Նրա աջ կողմում բաժանարար է։
• Ձախից և ներքևից մի անկյուն նկարեք վերջին անկյունի մոտ:
• Որոշեք թերի դիվիդենտը, այսինքն՝ այն թիվը, որը կլինի նվազագույնը բաժանման համար։ Սովորաբար այն բաղկացած է մեկ թվանշանից, առավելագույնը՝ երկու։
• Ընտրիր այն թիվը, որը պատասխանում առաջինը կգրվի։ Այն պետք է լինի այն թվով, թե քանի անգամ է բաժանարարը տեղավորվում դիվիդենտում:
• Գրի՛ր այս թիվը բաժանարարով բազմապատկելու արդյունքը։
• Գրի՛ր այն թերի բաժանարարի տակ։ Կատարել հանում.
• Մնացած մասում տեղափոխեք առաջին թվանշանը այն մասից հետո, որն արդեն բաժանված է:
• Կրկին ընտրեք պատասխանի համարը:
• Կրկնել բազմապատկում և հանում: Եթե ​​մնացորդը զրոև շահաբաժինն ավարտված է, ապա օրինակն արված է: Հակառակ դեպքում կրկնել քայլերը՝ քանդել թիվը, վերցնել թիվը, բազմապատկել, հանել։

Ինչպե՞ս լուծել երկար բաժանումը, եթե բաժանարարում մեկից ավելի թվանշան կա:

Ալգորիթմն ինքնին լիովին համընկնում է վերը նկարագրվածի հետ: Տարբերությունը կլինի թերի դիվիդենտի թվանշանների թիվը: Հիմա դրանք պետք է լինեն առնվազն երկուսը, բայց եթե պարզվի, որ դրանք բաժանարարից պակաս են, ապա ենթադրվում է, որ այն աշխատում է առաջին երեք թվանշաններով։

Այս բաժանման մեջ կա ևս մեկ նրբերանգ. Փաստն այն է, որ մնացորդը և դրան տեղափոխվող գործիչը երբեմն բաժանարարի չեն բաժանվում: Այնուհետև ենթադրվում է հերթականությամբ վերագրել ևս մեկ գործիչ։ Բայց միեւնույն ժամանակ պատասխանը պետք է լինի զրո։ Եթե ​​եռանիշ թվերը բաժանված են սյունակի, ապա կարող է անհրաժեշտ լինել քանդել ավելի քան երկու թվանշան: Այնուհետև ներմուծվում է կանոնը՝ պատասխանում զրոները պետք է լինեն մեկով պակաս, քան հանված թվանշանները։

Նման բաժանումը կարող եք դիտարկել՝ օգտագործելով օրինակը՝ 12082: 863:

• Նրա մեջ կիսատ բաժանվողը 1208 թիվն է։ 863 թիվը դրվում է միայն մեկ անգամ։ Ուստի ի պատասխան ենթադրվում է դնել 1, իսկ 1208-ի տակ գրել 863։
• Հանելուց հետո մնացորդը 345 է։
• Նրան պետք է քանդել 2 համարը:
• 3452 թվի մեջ չորս անգամ տեղավորվում է 863-ը։
• Ի պատասխան պետք է գրվի չորսը. Ընդ որում, երբ բազմապատկվում է 4-ով, ստացվում է այս թիվը։
• Հանելուց հետո մնացածը զրո է։ Այսինքն՝ բաժանումն ավարտված է։

Օրինակի պատասխանը 14 է:

Իսկ եթե շահաբաժինն ավարտվի զրոյով:

Թե՞ մի քանի զրո: Այս դեպքում ստացվում է զրոյական մնացորդ, իսկ դիվիդենտում դեռ զրոներ կան։ Մի հուսահատվեք, ամեն ինչ ավելի հեշտ է, քան կարող է թվալ: Բավական է միայն պատասխանին վերագրել բոլոր այն զրոները, որոնք մնացել են չբաժանված։

Օրինակ՝ 400-ը պետք է բաժանել 5-ի։ Թերի շահաբաժինը 40 է։ Դրա մեջ հինգը դրվում է 8 անգամ։ Սա նշանակում է, որ պատասխանը պետք է գրվի 8։ Հանեցնելիս մնացորդ չի մնում։ Այսինքն՝ բաժանումն ավարտված է, բայց դիվիդենտում մնում է զրոն։ Այն պետք է ավելացվի պատասխանին։ Այսպիսով, 400-ը 5-ի բաժանելով՝ ստացվում է 80։

Իսկ եթե ձեզ անհրաժեշտ է տասնորդական թիվը բաժանել:

Կրկին այս թիվը բնական թվի տեսք ունի, եթե ոչ ամբողջ թիվը կոտորակայինից բաժանող ստորակետը։ Սա հուշում է, որ տասնորդական կոտորակների բաժանումը սյունակի նման է վերը նկարագրվածին:

Միակ տարբերությունը կլինի ստորակետը: Ենթադրվում է, որ այն պետք է անմիջապես պատասխանել, հենց որ կոտորակային մասից առաջին թվանշանը հանվի։ Մեկ այլ կերպ կարելի է այսպես ասել՝ ավարտվել է ամբողջական մասի բաժանումը - դրե՛ք ստորակետ և շարունակե՛ք լուծումը։

Տասնորդական կոտորակներով սյունակի բաժանման օրինակներ լուծելիս պետք է հիշել, որ տասնորդական կետից հետո մասին կարող է վերագրվել ցանկացած թվով զրո: Երբեմն դա անհրաժեշտ է թվերը մինչև վերջ ավարտելու համար։

Երկու տասնորդականների բաժանում

Դա կարող է բարդ թվալ: Բայց միայն սկզբում։ Չէ՞ որ կոտորակների սյունակի բաժանումը բնական թվով արդեն պարզ է։ Այսպիսով, մենք պետք է կրճատենք այս օրինակը արդեն ծանոթ ձևի:

Դյուրին դարձրեք: Դուք պետք է բազմապատկեք երկու կոտորակները 10-ով, 100-ով, 1000-ով կամ 10000-ով, կամ գուցե մեկ միլիոնով, եթե առաջադրանքը դա պահանջում է: Ենթադրվում է, որ բազմապատկիչն ընտրվի՝ ելնելով այն բանից, թե քանի զրո կա բաժանարարի տասնորդական մասում: Այսինքն՝ արդյունքում ստացվում է, որ ստիպված կլինեք կոտորակը բաժանել բնական թվի։

Եվ դա կլինի վատագույն դեպքում։ Ի վերջո, կարող է պարզվել, որ այս գործառնությունից ստացված դիվիդենտը դառնում է ամբողջ թիվ։ Այնուհետև կոտորակների սյունակի բաժանմամբ օրինակի լուծումը կկրճատվի մինչև պարզ տարբերակգործողություններ բնական թվերով։

Որպես օրինակ՝ 28.4 բաժանված 3.2-ի.

• Նախ, դրանք պետք է բազմապատկվեն 10-ով, քանի որ երկրորդ թվի մեջ տասնորդական կետից հետո կա միայն մեկ նիշ: Բազմապատկելով կստացվի 284 և 32:
• Ենթադրվում է, որ դրանք բաժանված են։ Եվ միանգամից ամբողջ թիվը 284 է 32-ով։
• Պատասխանի համար առաջին համընկնող թիվը 8-ն է։ Այն բազմապատկելով՝ ստացվում է 256։ Մնացածը՝ 28։
• Ամբողջական մասի բաժանումն ավարտված է, և պատասխանում ենթադրվում է ստորակետ դնել։
• Քանդել մինչև մնացորդը 0:
• Կրկին վերցրեք 8-ը:
• Մնացածը՝ 24. Դրան ավելացրեք ևս 0։
• Այժմ դուք պետք է վերցնեք 7-ը:
• Բազմապատկման արդյունքը 224 է, մնացորդը՝ 16։
• Քանդեք ևս 0։ Վերցրեք 5 և ստացեք ուղիղ 160։ Մնացածը 0 է։

Բաժանումն ավարտված է. 28.4:3.2 օրինակի արդյունքը 8.875 է:

Իսկ եթե բաժանարարը լինի 10, 100, 0,1 կամ 0,01:

Ինչպես բազմապատկման դեպքում, այստեղ էլ երկար բաժանման կարիք չկա։ Բավական է միայն ստորակետը տեղափոխել աջ կողմըորոշակի թվով թվանշանների համար: Ավելին, այս սկզբունքով կարելի է օրինակներ լուծել ինչպես ամբողջ թվերով, այնպես էլ տասնորդական կոտորակներով։

Այսպիսով, եթե ձեզ անհրաժեշտ է բաժանել 10-ի, 100-ի կամ 1000-ի, ապա ստորակետը տեղափոխվում է ձախ այնքան թվանշաններով, որքան զրոներ կան բաժանարարում: Այսինքն, երբ թիվը բաժանվում է 100-ի, ստորակետը պետք է երկու նիշով տեղափոխվի ձախ: Եթե ​​դիվիդենտը բնական թիվ է, ապա ենթադրվում է, որ ստորակետը նրա վերջում է:

Այս գործողությունը տալիս է նույն արդյունքը, կարծես թիվը բազմապատկվի 0,1-ով, 0,01-ով կամ 0,001-ով: Այս օրինակներում ստորակետը նույնպես ձախ կողմ է տեղափոխվում կոտորակային մասի երկարությանը հավասար թվով թվանշաններով։

0,1-ով (և այլն) բաժանելիս կամ 10-ով (և այլն) բազմապատկելիս ստորակետը պետք է տեղափոխվի աջ մեկ նիշով (կամ երկու, երեք՝ կախված զրոների քանակից կամ կոտորակային մասի երկարությունից):

Հարկ է նշել, որ դիվիդենտում տրված թվանշանների թիվը կարող է բավարար չլինել: Այնուհետև բացակայող զրոները կարող են վերագրվել ձախ (ամբողջական մասում) կամ աջ (տասնորդական կետից հետո):

Պարբերական կոտորակների բաժանում

Այս դեպքում դուք չեք կարողանա ստույգ պատասխան ստանալ սյունակի բաժանելիս։ Ինչպե՞ս լուծել օրինակ, եթե հանդիպում է կետ ունեցող կոտորակ: Այստեղ անհրաժեշտ է անցնել սովորական կոտորակներին։ Եվ հետո կատարեք դրանց բաժանումը նախկինում ուսումնասիրված կանոնների համաձայն:

Օրինակ, դուք պետք է բաժանեք 0, (3) 0,6-ի: Առաջին կոտորակը պարբերական է։ Այն վերածվում է 3/9 կոտորակի, որը կրճատումից հետո կտա 1/3։ Երկրորդ կոտորակը վերջնական տասնորդականն է: Նույնիսկ ավելի հեշտ է գրել սովորականը` 6/10, որը հավասար է 3/5-ի: Սովորական կոտորակների բաժանման կանոնը նախատեսում է բաժանումը փոխարինել բազմապատկմամբ, իսկ բաժանարարը՝ թվի փոխադարձով։ Այսինքն, օրինակը հանգում է նրան, որ 1/3-ը բազմապատկենք 5/3-ով: Պատասխանը 5/9 է:

Եթե ​​օրինակն ունի տարբեր կոտորակներ...

Այնուհետև կան մի քանի հնարավոր լուծումներ. Նախ, դուք կարող եք փորձել վերածել սովորական կոտորակը տասնորդականի: Այնուհետև բաժանեք արդեն երկու տասնորդական՝ ըստ վերը նշված ալգորիթմի։

Երկրորդ, յուրաքանչյուր վերջնական տասնորդական կոտորակ կարող է գրվել որպես ընդհանուր կոտորակ: Դա պարզապես միշտ չէ, որ հարմար է: Ամենից հաճախ նման ֆրակցիաները հսկայական են: Այո, և պատասխանները ծանր են: Ուստի առաջին մոտեցումն առավել նախընտրելի է համարվում։

Դիտարկենք այս լույսի ներքո տասնորդականների բաժանման օրինակներ:

Օրինակ.

Տասնորդական 1.2-ը բաժանեք տասնորդական 0.48-ի:

Որոշում.

Պատասխան.

1,2:0,48=2,5 .

Օրինակ.

Պարբերական տասնորդական 0.(504)-ը բաժանեք տասնորդական 0.56-ի:

Որոշում.

Պարբերական տասնորդական կոտորակը վերածենք սովորականի. Մենք նաև թարգմանում ենք 0,56 վերջնական տասնորդական կոտորակը սովորականի, ունենք 0,56 \u003d 56/100: Այժմ մենք կարող ենք սկզբնական տասնորդականները բաժանելուց անցնել սովորական կոտորակների բաժանմանը և ավարտել հաշվարկները.

Ստացված սովորական կոտորակը վերածենք տասնորդական կոտորակի՝ սյունակի համարիչը բաժանելով հայտարարի վրա.

Պատասխան.

0,(504):0,56=0,(900) .

Անսահման ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակների բաժանման սկզբունքըտարբերվում է վերջավոր և պարբերական տասնորդական կոտորակները բաժանելու սկզբունքից, քանի որ չկրկնվող տասնորդական կոտորակները չեն կարող վերածվել սովորական կոտորակների։ Անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակների բաժանումը կրճատվում է վերջավոր տասնորդական կոտորակների բաժանումը, որի համար այն իրականացվում է. կլորացնելով թվերըմինչև որոշակի մակարդակ։ Ընդ որում, եթե թվերից մեկը, որով կատարվում է բաժանումը, վերջնական կամ պարբերական տասնորդական կոտորակ է, ապա այն նույնպես կլորացվում է նույն թվանշանով, ինչ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը։

Օրինակ.

Անվերջ չկրկնվող տասնորդական 0,779... բաժանեք վերջնական տասնորդական 1,5602-ի վրա:

Որոշում.

Նախ, դուք պետք է կլորացնեք տասնորդական կոտորակները՝ անվերջ չկրկնվող տասնորդական կոտորակի բաժանումից անցնելու վերջավոր տասնորդական կոտորակների բաժանմանը: Մենք կարող ենք կլորացնել մինչև հարյուրերորդական՝ 0,779…≈0,78 և 1,5602≈1,56: Այսպիսով, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Պատասխան.

0,779…:1,5602≈0,5 .

Բնական թվի բաժանումը տասնորդական կոտորակի վրա և հակառակը

Բնական թիվը տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու և տասնորդական կոտորակը բնական թվի վրա բաժանելու մոտեցման էությունը չի տարբերվում տասնորդական կոտորակների բաժանման էությունից: Այսինքն՝ վերջավոր և պարբերական կոտորակները փոխարինվում են սովորական կոտորակներով, իսկ անվերջ ոչ պարբերական կոտորակները կլորացվում են։

Պատկերացնելու համար դիտարկենք տասնորդական կոտորակը բնական թվի վրա բաժանելու օրինակը:

Օրինակ.

25,5 տասնորդական կոտորակը բաժանե՛ք 45 բնական թվի վրա։

Որոշում.

25,5 տասնորդական կոտորակը փոխարինելով սովորական 255/10=51/2 կոտորակով, բաժանումը կրճատվում է մինչև սովորական կոտորակը բնական թվի բաժանել՝ . Ստացված կոտորակը տասնորդական նշումով 0,5 (6) է:

Պատասխան.

25,5:45=0,5(6) .

Տասնորդական կոտորակի բաժանումը բնական թվի վրա սյունակի վրա

Վերջնական տասնորդական կոտորակների բաժանումը բնական թվերի վրա հարմար կերպով իրականացվում է սյունակի միջոցով՝ անալոգիայի միջոցով բնական թվերի սյունակի վրա բաժանման հետ: Ահա բաժանման կանոնը.

Դեպի տասնորդական թիվը բնական թվի վրա բաժանել սյունակի վրա, անհրաժեշտ:

• 0-ի բաժանվող տասնորդական կոտորակի մեջ մի քանի թվանշան ավելացրեք աջից (բաժանման ընթացքում, անհրաժեշտության դեպքում, կարող եք ավելացնել ցանկացած թվով զրո, բայց այդ զրոները կարող են անհրաժեշտ չլինել);
• կատարել տասնորդական կոտորակի սյունակով բաժանում բնական թվի համաձայն բնական թվերի սյունակով բաժանելու բոլոր կանոնների համաձայն, բայց երբ ավարտվում է տասնորդական կոտորակի ամբողջական մասի բաժանումը, ապա մասնավորում անհրաժեշտ է. դրեք ստորակետ և շարունակեք բաժանումը։

Միանգամից ասենք, որ վերջավոր տասնորդական կոտորակը բնական թվի վրա բաժանելու արդյունքում կարող է ստացվել կամ վերջնական տասնորդական կոտորակ, կամ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ։ Իրոք, 0-ից տարբեր բաժանվող կոտորակի բոլոր տասնորդական տեղերը բաժանելուց հետո մենք կարող ենք ստանալ կա՛մ մնացորդ 0, և՛ վերջնական տասնորդական կոտորակ, կա՛մ մնացորդը կսկսի պարբերաբար կրկնվել, և մենք կստանանք պարբերական տասնորդական: մաս.

Օրինակներ լուծելիս անդրադառնանք տասնորդական կոտորակները բնական թվերի սյունակով բաժանելու բոլոր բարդություններին:

Օրինակ.

Տասնորդական 65,14 թիվը բաժանեք 4-ի:

Որոշում.

Կատարենք տասնորդական կոտորակի բաժանումը բնական թվի վրա սյունակի վրա։ Եկեք 65,14 կոտորակի գրառման մեջ աջ գումարենք մի զույգ զրո, մինչդեռ ստանում ենք նրան հավասար 65,1400 տասնորդական կոտորակը (տես հավասար և անհավասար տասնորդական կոտորակներ)։ Այժմ դուք կարող եք սկսել 65.1400 տասնորդական կոտորակի ամբողջական մասը 4 բնական թվի վրա սյունակով բաժանել.

Սա ավարտում է տասնորդական կոտորակի ամբողջական մասի բաժանումը: Այստեղ մասնավոր կերպով դուք պետք է դնեք տասնորդական կետ և շարունակեք բաժանումը.

Մենք հասել ենք 0-ի մնացորդին, այս փուլում սյունակով բաժանումն ավարտվում է: Արդյունքում ունենք 65.14:4=16.285։

Պատասխան.

65,14:4=16,285 .

Օրինակ.

164,5-ը բաժանեք 27-ի։

Որոշում.

Տասնորդական կոտորակը բնական թվի վրա բաժանենք սյունակի վրա։ Ամբողջական մասը բաժանելուց հետո ստանում ենք հետևյալ պատկերը.

Այժմ մենք ստորակետ ենք դնում մասնավոր և շարունակում ենք բաժանումը սյունակով.

Այժմ պարզ երևում է, որ 25-ի, 7-ի և 16-ի մնացորդները սկսել են կրկնվել, մինչդեռ 9-րդ, 2-րդ և 5-րդ թվերը կրկնվում են քանորդում։ Այսպիսով, տասնորդական 164,5-ը 27-ի բաժանելով, ստացվում է պարբերական տասնորդական 6,0(925) :

Պատասխան.

164,5:27=6,0(925) .

Տասնորդական կոտորակների բաժանումը սյունակի վրա

Տասնորդական կոտորակի բաժանումը տասնորդական կոտորակի վրա կարելի է կրճատել մինչև տասնորդական կոտորակը բնական թվի վրա սյունակի վրա բաժանելը: Դա անելու համար շահաբաժինն ու բաժանարարը պետք է բազմապատկել այնպիսի թվով 10, կամ 100, կամ 1000 և այլն, որպեսզի բաժանարարը դառնա բնական թիվ, իսկ հետո բնական թվի վրա բաժանվի սյունակով։ Մենք կարող ենք դա անել բաժանման և բազմապատկման հատկությունների շնորհիվ, քանի որ a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) և այլն:

Այլ կերպ ասած, վերջացող տասնորդականը բաժանել վերջավոր տասնորդականի, անհրաժեշտ է:

• դիվիդենտում և բաժանարարում ստորակետը տեղափոխեք աջ այնքան նիշով, որքան կա բաժանարարի տասնորդական կետից հետո, եթե միևնույն ժամանակ դիվիդենտում բավարար նիշ չկա ստորակետը տեղափոխելու համար, ապա պետք է ավելացնել. պահանջվող գումարըզրոներ աջ կողմում;
• դրանից հետո կատարիր տասնորդական կոտորակի սյունակի բաժանումը բնական թվով։

Օրինակ լուծելիս դիտարկենք այս կանոնի կիրառումը տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու համար:

Օրինակ.

Կատարեք 7.287 սյունակի բաժանում 2.1-ի վրա:

Որոշում.

Եկեք այս տասնորդական կոտորակների ստորակետը տեղափոխենք մեկ նիշ դեպի աջ, դա մեզ թույլ կտա 7.287 տասնորդական կոտորակը 2.1-ի վրա բաժանելուց անցնել 72.87 տասնորդական կոտորակը 21 բնական թվի վրա: Բաժանենք սյունակի վրա.

Պատասխան.

7,287:2,1=3,47 .

Օրինակ.

Տասնորդական 16.3-ը բաժանեք տասնորդական 0.021-ի:

Որոշում.

Ստորակետը դիվիդենտում և բաժանարարը տեղափոխեք աջ 3 նիշով: Ակնհայտ է, որ բաժանարարում բավարար թվեր չկան ստորակետը կրելու համար, ուստի եկեք աջ կողմում ավելացնենք անհրաժեշտ թվով զրոներ: Այժմ 16300.0 կոտորակի սյունակը բաժանենք 21 բնական թվի.

Այս պահից սկսում են կրկնվել 4, 19, 1, 10, 16 և 13 մնացորդները, ինչը նշանակում է, որ գործակիցի 1, 9, 0, 4, 7 և 6 թվերը նույնպես կկրկնվեն։ Արդյունքում մենք ստանում ենք 776,(190476) պարբերական տասնորդական կոտորակ:

Պատասխան.

16,3:0,021=776,(190476) .

Նկատի ունեցեք, որ հնչեցված կանոնը թույլ է տալիս բնական թիվը բաժանել վերջնական տասնորդական կոտորակի վրա սյունակի վրա:

Օրինակ.

3 բնական թիվը բաժանեք տասնորդական կոտորակի վրա 5.4.

Որոշում.

Ստորակետ 1 նիշը աջ տեղափոխելուց հետո գալիս ենք 30,0 թիվը 54-ի բաժանելուն։ Բաժանենք սյունակի վրա.
.

Այս կանոնը կարող է կիրառվել նաև անվերջ տասնորդական կոտորակները 10-ի, 100-ի, ...-ի բաժանելիս: Օրինակ՝ 3,(56):1000=0,003(56) և 593,374…:100=5,93374…:

Տասնորդական թվերը բաժանելով 0,1, 0,01, 0,001 և այլն:

Քանի որ 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100 և այլն, ապա սովորական կոտորակի վրա բաժանման կանոնից հետևում է, որ տասնորդական կոտորակը բաժանելը 0,1, 0,01, 0,001 և այլն: դա ասես տրված տասնորդականը բազմապատկենք 10-ով, 100-ով, 1000-ով և այլն: համապատասխանաբար.

Այլ կերպ ասած, տասնորդական կոտորակը 0.1, 0.01, ... բաժանելու համար անհրաժեշտ է ստորակետը տեղափոխել աջ 1, 2, 3, ... թվանշաններով, իսկ եթե տասնորդական կոտորակի թվանշանները բավարար չեն. տեղափոխեք ստորակետը, այնուհետև անհրաժեշտ է անհրաժեշտ թիվը ավելացնել աջ զրոներին:

Օրինակ՝ 5.739:0.1=57.39 և 0.21:0.00001=21000:

Նույն կանոնը կարող է կիրառվել անվերջ տասնորդականները 0,1, 0,01, 0,001 և այլն բաժանելիս։ Այս դեպքում պետք է շատ զգույշ լինել պարբերական կոտորակների բաժանման հարցում, որպեսզի չսխալվես կոտորակի պարբերության հետ, որը ստացվում է բաժանման արդյունքում։ Օրինակ՝ 7.5(716):0.01=757,(167), քանի որ ստորակետը տասնորդական կոտորակի 7.5716716716 ... երկու նիշ դեպի աջ տեղափոխելուց հետո ունենք 757.167167 ... գրառումը: Անսահման ոչ պարբերական տասնորդականներով ամեն ինչ ավելի պարզ է. 394,38283…:0,001=394382,83… .

Կոտորակի կամ խառը թվի բաժանումը տասնորդականի և հակառակը

Ընդհանուր կոտորակի կամ խառը թվի բաժանումը վերջավոր կամ կրկնվող տասնորդականի կամ վերջավոր կամ կրկնվող տասնորդականի բաժանումը ընդհանուր կոտորակի կամ խառը թիվկրճատվում է սովորական կոտորակների բաժանմանը։ Դա անելու համար տասնորդական կոտորակները փոխարինվում են համապատասխան սովորական կոտորակներով, իսկ խառը թիվը ներկայացվում է որպես ոչ պատշաճ կոտորակ:

Անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը սովորական կոտորակի կամ խառը թվի և հակառակը բաժանելիս պետք է անցնել տասնորդական կոտորակների բաժանմանը` սովորական կոտորակը կամ խառը թիվը փոխարինելով համապատասխան տասնորդական կոտորակով:

Մատենագիտություն.

• Մաթեմատիկա: ուսումնասիրություններ. 5 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-րդ հրտ., ջնջված է։ - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 էջ: հիվանդ. ISBN 5-346-00699-0.
• Մաթեմատիկա.Դասարան 6: Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ / [Ն. Յա.Վիլենկին և ուրիշներ]: - 22-րդ հրատ., Վեր. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-00897-2 ։
• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.