Ինչպես լուծել զրոյի հավասար կոտորակային հավասարումներ: Ռացիոնալ հավասարումներ

Պարզ ասած, սրանք հավասարումներ են, որոնցում կա առնվազն մեկը, որի փոփոխականը հայտարարում է:

Օրինակ:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Օրինակ ոչկոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ.

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Ինչպե՞ս են լուծվում կոտորակային ռացիոնալ հավասարումները:

Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների մասին, այն է, որ դուք պետք է գրեք դրանցում: Իսկ արմատները գտնելուց հետո անպայման ստուգեք դրանք թույլատրելիության համար։ Հակառակ դեպքում կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ, և ամբողջ լուծումը կհամարվի սխալ:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ.

Դուրս գրեք և «լուծեք» ՕՁ-ն։

Հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկեք ընդհանուր հայտարարով և կրճատեք ստացված կոտորակները: Հայտարարները կվերանան։

Գրի՛ր հավասարումը առանց փակագծերը բացելու։

Լուծե՛ք ստացված հավասարումը։

Ստուգեք հայտնաբերված արմատները ODZ-ով:

Ի պատասխան գրեք 7-րդ քայլի թեստն անցած արմատները:

Մի մտապահիր ալգորիթմը, 3-5 լուծված հավասարումներ, և այն ինքնին կհիշվի:

Օրինակ . Լուծել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Լուծում:

Պատասխան. \(3\).

Օրինակ . Գտեք \(=0\) կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները

Լուծում:

Պատասխան. \(\frac(1)(2)\):

Մենք արդեն սովորել ենք, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ: Այժմ ուսումնասիրված մեթոդները տարածենք ռացիոնալ հավասարումների վրա:

Ի՞նչ է ռացիոնալ արտահայտությունը: Մենք արդեն հանդիպել ենք այս հայեցակարգին։ Ռացիոնալ արտահայտություններկոչվում են թվերից, փոփոխականներից, դրանց աստիճաններից և մաթեմատիկական գործողությունների նշաններից կազմված արտահայտություններ։

Համապատասխանաբար, ռացիոնալ հավասարումները ձևի հավասարումներ են՝ , որտեղ - ռացիոնալ արտահայտություններ.

Նախկինում մենք դիտարկում էինք միայն այն ռացիոնալ հավասարումները, որոնք վերածվում են գծային: Այժմ դիտարկենք այն ռացիոնալ հավասարումները, որոնք կարելի է կրճատել մինչև քառակուսի:

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Կոտորակը 0 է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ նրա համարիչը 0 է, իսկ հայտարարը 0 չէ:

Մենք ստանում ենք հետևյալ համակարգը.

Համակարգի առաջին հավասարումը քառակուսի հավասարումն է։ Այն լուծելուց առաջ նրա բոլոր գործակիցները բաժանում ենք 3-ի։ Ստանում ենք.

Մենք ստանում ենք երկու արմատ. .

Քանի որ 2-ը երբեք հավասար չէ 0-ի, պետք է պահպանվեն երկու պայման. . Քանի որ վերը ստացված հավասարման արմատներից ոչ մեկը չի համապատասխանում փոփոխականի անվավեր արժեքներին, որոնք ստացվել են երկրորդ անհավասարությունը լուծելիս, դրանք երկուսն էլ այս հավասարման լուծումներն են:

Պատասխան..

Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

1. Բոլոր տերմինները տեղափոխեք ձախ կողմ, որպեսզի աջ կողմում ստացվի 0:

2. Ձախ կողմը ձևափոխի՛ր և պարզեցրո՛ւ, բոլոր կոտորակները բերի՛ր ընդհանուր հայտարարի:

3. Ստացված կոտորակը հավասարեցրե՛ք 0-ի հետևյալ ալգորիթմի համաձայն. .

4. Գրի՛ր այն արմատները, որոնք ստացվել են առաջին հավասարման մեջ և ի պատասխան բավարարել երկրորդ անհավասարությունը:

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ։

Օրինակ 2

Լուծե՛ք հավասարումը. .

Լուծում

Հենց սկզբում բոլոր պայմանները փոխանցում ենք ձախ կողմայնպես, որ 0-ը մնա աջ կողմում: Ստանում ենք.

Այժմ հավասարման ձախ կողմը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Այս հավասարումը համարժեք է համակարգին.

Համակարգի առաջին հավասարումը քառակուսի հավասարումն է։

Այս հավասարման գործակիցները՝ . Մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինատորը.

Մենք ստանում ենք երկու արմատ. .

Այժմ մենք լուծում ենք երկրորդ անհավասարությունը. գործակիցների արտադրյալը հավասար չէ 0-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ գործոններից ոչ մեկը հավասար չէ 0-ի:

Երկու պայման պետք է կատարվի. . Մենք ստանում ենք, որ առաջին հավասարման երկու արմատներից հարմար է միայն մեկը՝ 3։

Պատասխան..

Այս դասում մենք հիշեցինք, թե ինչ է ռացիոնալ արտահայտությունը, ինչպես նաև սովորեցինք, թե ինչպես լուծել ռացիոնալ հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների:

Հաջորդ դասին մենք կդիտարկենք ռացիոնալ հավասարումները որպես իրական իրավիճակների մոդելներ, ինչպես նաև կդիտարկենք շարժման խնդիրները:

Մատենագիտություն

1. Բաշմակով Մ.Ի. Հանրահաշիվ, 8-րդ դաս. - Մ.: Լուսավորություն, 2004:
2. Դորոֆեև Գ.Վ., Սուվորովա Ս.Բ., Բունիմովիչ Է.Ա. et al.Algebra, 8. 5th ed. - Մ.: Կրթություն, 2010 թ.
3. Նիկոլսկի Ս.Մ., Պոտապով Մ.Ա., Ռեշետնիկով Ն.Ն., Շևկին Ա.Վ. Հանրահաշիվ, 8-րդ դաս. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար. - Մ.: Կրթություն, 2006 թ.

1. Փառատոն մանկավարժական գաղափարներ "Հանրային դաս" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com():

Տնային աշխատանք

Առաջին հերթին, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես աշխատել ռացիոնալ կոտորակների հետ առանց սխալների, դուք պետք է սովորեք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը: Եվ ոչ միայն սովորելու համար, դրանք պետք է ճանաչվեն նույնիսկ այն ժամանակ, երբ սինուսները, լոգարիթմները և արմատները գործում են որպես տերմիններ:

Սակայն հիմնական գործիքը ռացիոնալ կոտորակի համարիչի և հայտարարի ֆակտորիզացիան է։ Դրան կարելի է հասնել երեք տարբեր եղանակներով.

1. Իրականում, ըստ կրճատված բազմապատկման բանաձևի. դրանք թույլ են տալիս բազմանդամը բաժանել մեկ կամ մի քանի գործոնի.
2. Քառակուսի եռանկյունը գործոնների վերածելով դիսկրիմինանտի միջոցով: Նույն մեթոդը թույլ է տալիս ստուգել, ​​որ որևէ եռանկյուն ընդհանրապես չի կարող ֆակտորիզացվել.
3. Խմբավորման մեթոդը ամենաբարդ գործիքն է, բայց այն միակն է, որն աշխատում է, եթե նախորդ երկուսը չեն աշխատել:

Ինչպես հավանաբար կռահեցիք այս տեսանյութի վերնագրից, մենք կրկին խոսելու ենք ռացիոնալ կոտորակների մասին: Բառացիորեն մի քանի րոպե առաջ ես ավարտեցի դասը տասներորդ դասարանցու հետ, և այնտեղ մենք վերլուծեցինք հենց այս արտահայտությունները։ Ուստի այս դասը նախատեսված է լինելու հատուկ ավագ դպրոցի աշակերտների համար։

Անշուշտ, հիմա շատերի մոտ հարց կառաջանա. «Ինչու՞ են 10-11-րդ դասարանների աշակերտները սովորում այնպիսի պարզ բաներ, ինչպիսիք են ռացիոնալ կոտորակները, քանի որ դա արվում է 8-րդ դասարանում»: Բայց դա է դժբախտությունը, որ մարդկանց մեծ մասն ուղղակի «անցնում է» այս թեմայի միջով։ 10-11-րդ դասարանում նրանք այլևս չեն հիշում, թե ինչպես են կատարվում 8-րդ դասարանից ռացիոնալ կոտորակների բազմապատկում, բաժանում, հանում և գումարում, և հենց այս պարզ գիտելիքի վրա է, որ հետագա, ավելին. բարդ կառուցվածքներ, որպես լոգարիթմական, եռանկյունաչափական հավասարումների և շատ այլ բարդ արտահայտությունների լուծում, ուստի ավագ դպրոցում առանց ռացիոնալ կոտորակների գործնականում անելիք չկա:

Խնդիրների լուծման բանաձևեր

Եկեք գործի անցնենք: Առաջին հերթին մեզ անհրաժեշտ է երկու փաստ՝ երկու բանաձևերի հավաքածու։ Նախևառաջ անհրաժեշտ է իմանալ կրճատ բազմապատկման բանաձևերը.

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$-ը քառակուսիների տարբերությունն է;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$-ը գումարի կամ տարբերության քառակուսին է ;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$-ը խորանարդների գումարն է;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \աջ)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$-ը խորանարդների տարբերությունն է։

IN մաքուր ձևդրանք չեն հանդիպում ոչ մի օրինակում և իրական լուրջ արտահայտություններում։ Հետևաբար, մեր խնդիրն է սովորել $a$ և $b$ տառերի տակ տեսնել շատ ավելի բարդ կառուցվածքներ, օրինակ՝ լոգարիթմներ, արմատներ, սինուսներ և այլն։ Դա կարելի է սովորել միայն մշտական ​​պրակտիկայի միջոցով: Այդ իսկ պատճառով ռացիոնալ կոտորակների լուծումը բացարձակապես անհրաժեշտ է։

Երկրորդ, միանգամայն ակնհայտ բանաձևը քառակուսի եռանկյունի ֆակտորիզացիան է.

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$-ը արմատներ են:

Մենք տեսական մասով ենք զբաղվել։ Բայց ինչպե՞ս լուծել իրական ռացիոնալ կոտորակները, որոնք դիտարկվում են 8-րդ դասարանում: Հիմա պատրաստվում ենք պարապելու։

Առաջադրանք թիվ 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((բ)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12աբ+16((բ)^(2)))(((բ)^(2))+4բ+4)\]

Փորձենք վերը նշված բանաձեւերը կիրառել ռացիոնալ կոտորակներ լուծելիս։ Նախ ուզում եմ բացատրել, թե ինչու է ընդհանրապես անհրաժեշտ ֆակտորիզացիա։ Փաստն այն է, որ առաջադրանքի առաջին մասի առաջին հայացքից ես ուզում եմ փոքրացնել խորանարդը քառակուսիով, բայց դա բացարձակապես անհնար է, քանի որ դրանք թվով և հայտարարով տերմիններ են, բայց ոչ մի դեպքում գործոններ չեն: .

Ի՞նչ է կոնկրետ հապավումը: Կրճատումը նման արտահայտությունների հետ աշխատելու հիմնական կանոնի օգտագործումն է։ Կոտորակի հիմնական հատկությունն այն է, որ մենք կարող ենք համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել նույն թվով, բացի «զրոյից»: Այս դեպքում, երբ փոքրացնում ենք, ապա, ընդհակառակը, բաժանում ենք «զրոյից» նույն թվի վրա։ Այնուամենայնիվ, մենք պետք է բաժանենք հայտարարի բոլոր անդամները նույն թվի վրա: Դուք չեք կարող դա անել: Իսկ համարիչը հայտարարով կրճատելու իրավունք ունենք միայն այն դեպքում, երբ երկուսն էլ գործոնացված են։ Եկեք անենք դա.

Այժմ դուք պետք է տեսնեք, թե կոնկրետ տարրում քանի տերմին կա, ըստ դրա, պարզեք, թե որ բանաձևը պետք է օգտագործեք:

Եկեք յուրաքանչյուր արտահայտությունը վերածենք ճշգրիտ խորանարդի.

Եկեք վերաշարադրենք համարիչը.

\[((\left(3a \աջ))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \աջ)\left(((\ձախ) (3a \աջ))^(2))+3a\cdot 4b+((\ ձախ (4b \աջ))^(2)) \աջ)\]

Եկեք նայենք հայտարարին. Մենք ընդլայնում ենք այն ըստ քառակուսիների տարբերության բանաձևի.

\[((բ)^(2))-4=((բ)^(2))-((2)^(2))=\ձախ(բ-2 \աջ)\ձախ(բ+2 \ ճիշտ)\]

Այժմ անդրադառնանք արտահայտության երկրորդ մասին.

Համարիչ:

Մնում է գործ ունենալ հայտարարի հետ.

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\ձախ(b+2 \աջ))^(2))\]

Վերաշարադրենք ամբողջ շինարարությունը՝ հաշվի առնելով վերը նշված փաստերը.

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \աջ))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \աջ))^(2 )) \աջ))(\ձախ(b-2 \աջ)\ձախ(b+2 \աջ))\cdot \frac(((\left(b+2 \աջ))^(2)))( ((\left(3a \աջ))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \աջ))^(2)))=\]

\[=\frac(\ ձախ (3a-4b \աջ)\ձախ (b+2 \աջ)) (\ ձախ (b-2 \աջ))\]

Ռացիոնալ կոտորակների բազմապատկման նրբությունները

Այս կոնստրուկցիաների հիմնական եզրակացությունը հետևյալն է.

• Ամեն բազմանդամ չէ, որ կարող է ֆակտորիզացվել:
• Նույնիսկ եթե այն քայքայված է, անհրաժեշտ է ուշադիր նայել, թե կոնկրետ որ բանաձևն է կրճատ բազմապատկման համար։

Դա անելու համար, նախ, մենք պետք է գնահատենք, թե քանի անդամ կա (եթե կան երկու, ապա այն, ինչ մենք կարող ենք անել, դրանք ընդլայնելն է կամ քառակուսիների տարբերության գումարով, կամ խորանարդների գումարով կամ տարբերությամբ, և եթե դրանք երեքն են, ապա սա, եզակիորեն, կա՛մ գումարի քառակուսին, կա՛մ տարբերության քառակուսին): Հաճախ է պատահում, որ կամ համարիչը կամ հայտարարը ընդհանրապես չեն պահանջում ֆակտորիզացիա, այն կարող է լինել գծային, կամ նրա դիսկրիմինատորը բացասական է:

Առաջադրանք թիվ 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Ընդհանրապես, այս խնդրի լուծման սխեման ոչնչով չի տարբերվում նախորդից՝ ուղղակի ավելի շատ գործողություններ կլինեն, և դրանք կդառնան ավելի բազմազան։

Սկսենք առաջին կոտորակից՝ նայենք նրա համարիչին և կատարենք հնարավոր փոխակերպումները.

Հիմա նայենք հայտարարին.

Երկրորդ կոտորակի հետ՝ համարիչում ընդհանրապես ոչինչ չի կարելի անել, քանի որ այն գծային արտահայտություն է, և դրանից որևէ գործակից հանել հնարավոր չէ։ Եկեք նայենք հայտարարին.

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\ ձախ (x-2 \աջ ))^(2))\]

Մենք անցնում ենք երրորդ մասի: Համարիչ:

Եկեք զբաղվենք վերջին կոտորակի հայտարարի հետ.

Վերաշարադրենք արտահայտությունը՝ հաշվի առնելով վերը նշված փաստերը.

\[\frac(3\ ձախ (1-2x \աջ))(2\ձախ (((x)^(2))+2x+4 \աջ))\cdot \frac(2x+1)((( \ձախ(x-2 \աջ))^(2))\cdot \frac(\left(2-x \աջ)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \աջ)) (\ ձախ (2x-1 \աջ)\ ձախ (2x+1 \աջ))=\]

\[=\frac(-3)(2\ձախ(2-x \աջ))=-\frac(3)(2\ձախ(2-x \աջ))=\frac(3)(2\ձախ (x-2 \աջ))\]

Լուծման նրբերանգները

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ չէ և միշտ չէ, որ հիմնված է կրճատված բազմապատկման բանաձևերի վրա, երբեմն բավական է փակագծում հաստատուն կամ փոփոխականին: Այնուամենայնիվ, կա նաև հակառակ իրավիճակը, երբ կան այնքան շատ տերմիններ կամ դրանք կառուցված են այնպես, որ դրանց կրճատ բազմապատկման բանաձևն ընդհանրապես անհնար է։ Այս դեպքում մենք օգնության ենք հասնում ունիվերսալ գործիք, մասնավորապես խմբավորման մեթոդը։ Սա այն է, ինչ մենք հիմա կկիրառենք հաջորդ խնդրի մեջ։

Առաջադրանք թիվ 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((բ)^(2))+25-10ա)(((ա)^(2))-((բ)^(2)))\]

Եկեք նայենք առաջին մասին.

\[((a)^(2))+ab=a\ձախ(a+b \աջ)\]

\[=5\ ձախ (ab \աջ) -\ ձախ (ab \ աջ) \ ձախ (a + b \ աջ) = \ ձախ (ab \ աջ) \ ձախ (5-1 \ ձախ (a + b \ աջ )\ճիշտ)=\]

\[=\ձախ (a-b \աջ)\ձախ (5-a-b \աջ)\]

Վերաշարադրենք բնօրինակ արտահայտությունը.

\[\frac(a\left(a+b \աջ))(\left(ab \աջ)\left(5-ab \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (բ)^(2))+25-10ա)(((ա)^(2))-((բ)^(2)))\]

Այժմ անդրադառնանք երկրորդ փակագծին.

\[((a)^(2))-((բ)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((բ)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \աջ)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \աջ))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b) \ճիշտ)\]

Քանի որ երկու տարր հնարավոր չէր խմբավորել, մենք խմբավորեցինք երեքը: Մնում է զբաղվել միայն վերջին կոտորակի հայտարարի հետ.

\[((a)^(2))-((բ)^(2))=\ձախ(a-b \աջ)\ձախ(a+b \աջ)\]

Հիմա եկեք վերաշարադրենք մեր ամբողջ կառուցվածքը.

\[\frac(a\left(a+b \աջ))(\left(ab \right)\left(5-ab \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \աջ) \left(a-5+b \աջ))(\left(ab \աջ)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \աջ))(( \ձախ(ab \աջ))^(2)))\]

Խնդիրը լուծված է, և այստեղ ավելին չի կարելի պարզեցնել։

Լուծման նրբերանգները

Մենք պարզեցինք խմբավորումը և ստացանք ևս մեկ շատ հզոր գործիք, որն ընդլայնում է ֆակտորիզացիայի հնարավորությունները: Բայց խնդիրն այն է, որ ներս իրական կյանքոչ ոք մեզ նման հստակ օրինակներ չի բերի, որտեղ կան մի քանի կոտորակներ, որոնց համար անհրաժեշտ է միայն ֆակտորիզացնել համարիչն ու հայտարարը, իսկ հետո, հնարավորության դեպքում, կրճատել դրանք։ Իրական արտահայտությունները շատ ավելի բարդ կլինեն։

Ամենայն հավանականությամբ, բացի բազմապատկումից և բաժանումից, կլինեն հանումներ և գումարումներ, բոլոր տեսակի փակագծեր - ընդհանուր առմամբ, դուք պետք է հաշվի առնեք գործողությունների հերթականությունը: Բայց ամենավատն այն է, որ տարբեր հայտարարներով կոտորակները հանելիս և գումարելիս դրանք պետք է կրճատվեն մեկ ընդհանուրի: Դա անելու համար նրանցից յուրաքանչյուրը պետք է տարրալուծվի գործոնների, այնուհետև այդ կոտորակները կվերածվեն. տվեք նմանատիպերը և շատ ավելին: Ինչպե՞ս դա անել ճիշտ, արագ, և միևնույն ժամանակ ստանալ միանշանակ ճիշտ պատասխանը: Ահա թե ինչի մասին մենք հիմա կխոսենք՝ օգտագործելով հետևյալ շինարարության օրինակը։

Առաջադրանք թիվ 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \աջ)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \աջ)\]

Դուրս գրենք առաջին կոտորակը և փորձենք դրանով զբաղվել առանձին.

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \աջ))(x)\]

Անցնենք երկրորդին։ Հաշվենք հայտարարի դիսկրիմինանտը.

Այն չի ֆակտորիզացվում, ուստի մենք գրում ենք հետևյալը.

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\ձախ(x+3 \աջ)\ձախ(((x)^(2))-3x+9 \աջ))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\ ձախ(x+3 \աջ)\ձախ(((x)^(2))-3x+9 \աջ)) \]

Առանձին-առանձին գրում ենք համարիչը.

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Հետևաբար, այս բազմանդամը չի կարող ֆակտորիզացվել։

Առավելագույնը, որ կարող էինք անել ու քայքայել, արդեն արել ենք։

Ընդհանուր առմամբ, մենք վերաշարադրում ենք մեր սկզբնական շինարարությունը և ստանում.

\[\frac(\ձախ(x+3 \աջ)\ձախ(((x)^(2))-3x+9 \աջ))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\ձախ(x+3 \աջ)\ձախ(((x)^(2))-3x+9 \աջ))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Ամեն ինչ, խնդիրը լուծված է։

Ճիշտն ասած, դա այնքան էլ հիանալի չէր: դժվար գործայնտեղ ամեն ինչ հեշտությամբ տարրալուծվեց գործոնների, արագ տրվեցին նմանատիպ տերմիններ և ամեն ինչ գեղեցիկ կրճատվեց։ Այսպիսով, հիմա եկեք փորձենք ավելի լուրջ լուծել խնդիրը։

Առաջադրանք թիվ 5

\[\left(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \աջ)\cdot \ձախ(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \աջ)\]

Նախ, անդրադառնանք առաջին փակագծով։ Հենց սկզբից մենք առանձին-առանձին հաշվի ենք առնում երկրորդ կոտորակի հայտարարը.

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x) ^(2))+2x+4 \աջ)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\ձախ(x-2 \աջ)\ ձախ (((x)^(2))+2x+4 \աջ))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\ձախ(x-2 \աջ)+((x)^(2))+8-\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ))( \ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\ ձախ(x-2) \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ)) =\frac(((\ձախ(x-2 \աջ))^(2)))(\ ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Այժմ աշխատենք երկրորդ կոտորակի հետ.

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(x+2 \աջ))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ ձախ (x-2 \աջ)) (\ ձախ (x-2 \ աջ) \ ձախ (x + 2 \ աջ)) =\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\ ձախ (x-2 \աջ)\ձախ(x+2 \աջ))\]

Մենք վերադառնում ենք մեր սկզբնական դիզայնին և գրում.

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\ ձախ (x-2) \աջ)\ձախ(x+2 \աջ))=\frac(1)(x+2)\]

Հիմնական կետերը

Եվս մեկ անգամ, այսօրվա վիդեո դասընթացի հիմնական փաստերը.

1. Դուք պետք է «անգիր» իմանաք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը, և ոչ միայն իմանաք, այլ կարողանաք տեսնել այդ արտահայտություններում, որոնք դուք կհանդիպեք իրական խնդիրների մեջ: Այս հարցում մեզ կարող է օգնել հրաշալի կանոն. եթե կա երկու տերմին, ապա սա կամ քառակուսիների տարբերությունն է, կամ տարբերությունը կամ խորանարդի գումարը. եթե երեքը, ապա դա կարող է լինել միայն գումարի կամ տարբերության քառակուսին:
2. Եթե ​​որևէ կոնստրուկցիա հնարավոր չէ տարրալուծել՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը, ապա մեզ օգնության է գալիս կամ եռանկյունները գործակիցների վերածելու ստանդարտ բանաձևը կամ խմբավորման մեթոդը:
3. Եթե ​​ինչ-որ բան չի ստացվում, ուշադիր նայեք բնօրինակ արտահայտությունին, և արդյոք դրա հետ փոխակերպումներ ընդհանրապես պահանջվում են: Թերևս բավական կլինի միայն բազմապատկիչը հանել փակագծից, և դա շատ հաճախ պարզապես հաստատուն է։
4. Բարդ արտահայտություններում, որտեղ դուք պետք է անընդմեջ կատարեք մի քանի գործողություններ, մի մոռացեք բերել ընդհանուր հայտարարի, և միայն դրանից հետո, երբ բոլոր կոտորակները կրճատվեն դրան, համոզվեք, որ նույնը բերեք նոր համարիչում և այնուհետև նորից գործակցեք նոր համարիչը, հնարավոր է, որ կրճատվի:

Սա այն ամենն է, ինչ ես այսօր ուզում էի պատմել ձեզ ռացիոնալ կոտորակների մասին: Եթե ​​ինչ-որ բան պարզ չէ, կայքում դեռ կան բազմաթիվ վիդեո ձեռնարկներ, ինչպես նաև բազմաթիվ առաջադրանքներ անկախ լուծում. Այնպես որ, մնա մեզ հետ:

Այս հոդվածում ես ձեզ ցույց կտամ յոթ տեսակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմներ, որոնք փոփոխականների փոփոխության միջոցով վերածվում են քառակուսուների։ Շատ դեպքերում, փոխակերպումները, որոնք հանգեցնում են փոխարինման, շատ աննշան են, և դրանց մասին ինքնուրույն կռահելը բավականին դժվար է:

Հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի համար ես կբացատրեմ, թե ինչպես կարելի է փոփոխական փոփոխություն կատարել դրանում, իսկ հետո մանրամասն լուծումը ցույց կտամ համապատասխան վիդեո ձեռնարկում։

Դուք հնարավորություն ունեք ինքներդ շարունակել լուծել հավասարումները, այնուհետև ստուգել ձեր լուծումը տեսանյութի ձեռնարկով։

Այսպիսով, եկեք սկսենք:

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Նկատի ունեցեք, որ չորս փակագծերի արտադրյալը հավասարման ձախ կողմում է, իսկ թիվը՝ աջ կողմում։

1. Փակագծերը խմբավորենք երկուսի, որպեսզի ազատ անդամների գումարը նույնն է։

2. Բազմապատկեք դրանք:

3. Ներկայացնենք փոփոխականի փոփոխություն։

Մեր հավասարման մեջ առաջին փակագիծը խմբավորում ենք երրորդի հետ, իսկ երկրորդը՝ չորրորդին, քանի որ (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Այս պահին փոփոխական փոփոխությունը ակնհայտ է դառնում.

Մենք ստանում ենք հավասարումը

Պատասխան.

2 .

Այս տեսակի հավասարումը նման է նախորդին մեկ տարբերությամբ. հավասարման աջ կողմում թվի արտադրյալն է: Եվ դա լուծվում է բոլորովին այլ կերպ.

1. Փակագծերը խմբավորում ենք երկուսի, որպեսզի ազատ տերմինների արտադրյալը նույնն է։

2. Մենք բազմապատկում ենք յուրաքանչյուր զույգ փակագծերը:

3. Յուրաքանչյուր գործոնից փակագծից հանում ենք x-ը:

4. Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք .

5. Ներկայացնում ենք փոփոխականի փոփոխություն։

Այս հավասարման մեջ առաջին փակագիծը խմբավորում ենք չորրորդով, իսկ երկրորդը՝ երրորդով, քանի որ.

Նկատի ունեցեք, որ յուրաքանչյուր փակագծում գործակիցը և ազատ անդամը նույնն են: Յուրաքանչյուր փակագծից հանենք բազմապատկիչը.

Քանի որ x=0 սկզբնական հավասարման արմատը չէ, մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք . Մենք ստանում ենք.

Մենք ստանում ենք հավասարումը.

Պատասխան.

3 .

Նշենք, որ երկու կոտորակների հայտարարները պարունակում են քառակուսի եռանկյուններ, որի առաջատար գործակիցը և ազատ անդամը նույնն են։ Փակագծից հանում ենք, ինչպես երկրորդ տեսակի հավասարման մեջ։ Մենք ստանում ենք.

Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանեք x-ի.

Այժմ մենք կարող ենք ներկայացնել փոփոխականի փոփոխություն.

Մենք ստանում ենք t փոփոխականի հավասարումը.

4 .

Նշենք, որ հավասարման գործակիցները սիմետրիկ են կենտրոնականի նկատմամբ։ Նման հավասարումը կոչվում է վերադարձելի .

Այն լուծելու համար

1. Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք (Մենք կարող ենք դա անել, քանի որ x=0 հավասարման արմատը չէ։) Ստանում ենք.

2. Խմբավորել տերմինները հետևյալ կերպ.

3. Յուրաքանչյուր խմբում մենք հանում ենք ընդհանուր գործոնը.

4. Ներկայացնենք փոխարինում.

5. Արտահայտությունը արտահայտենք t-ով.

Այստեղից

Մենք ստանում ենք t-ի հավասարումը.

Պատասխան.

5. Միատարր հավասարումներ.

Հավասարումների, որոնք ունեն միատարր կառուցվածք, կարելի է հանդիպել էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս, այնպես որ դուք պետք է կարողանաք ճանաչել այն:

Միատարր հավասարումները ունեն հետևյալ կառուցվածքը.

Այս հավասարության մեջ A, B և C թվեր են, և նույն արտահայտությունները նշվում են քառակուսիով և շրջանով: Այսինքն՝ միատարր հավասարման ձախ կողմում նույն աստիճանն ունեցող միանդամների գումարն է (այս դեպքում միանդամների աստիճանը 2 է), իսկ ազատ անդամ չկա։

Միատարր հավասարումը լուծելու համար երկու կողմերն էլ բաժանում ենք

Ուշադրություն. Հավասարման աջ և ձախ կողմերը անհայտ պարունակող արտահայտությամբ բաժանելիս կարող եք կորցնել արմատները: Ուստի անհրաժեշտ է ստուգել, ​​թե արդյոք այն արտահայտության արմատները, որոնցով մենք բաժանում ենք հավասարման երկու մասերը, բուն հավասարման արմատներն են։

Եկեք գնանք առաջին ճանապարհով: Մենք ստանում ենք հավասարումը.

Այժմ մենք ներկայացնում ենք փոփոխականի փոխարինում.

Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը և ստացե՛ք t-ի երկքառակուսի հավասարում.

Պատասխան.կամ

7 .

Այս հավասարումն ունի հետևյալ կառուցվածքը.

Այն լուծելու համար անհրաժեշտ է ընտրել հավասարման ձախ կողմում գտնվող լրիվ քառակուսին:

Ամբողջական քառակուսի ընտրելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել կամ հանել կրկնակի արտադրյալը: Այնուհետև մենք ստանում ենք գումարի կամ տարբերության քառակուսին: Սա շատ կարևոր է փոփոխականի հաջող փոխարինման համար:

Սկսենք կրկնակի արտադրյալը գտնելուց: Դա կլինի փոփոխականը փոխարինելու բանալին: Մեր հավասարման մեջ կրկնակի արտադրյալն է

Հիմա եկեք պարզենք, թե որն է մեզ համար ավելի հարմար՝ գումարի քառակուսի՞ն, թե՞ տարբերության: Դիտարկենք, սկզբի համար, արտահայտությունների գումարը.

Լավ! այս արտահայտությունը ճիշտ հավասար է արտադրյալի կրկնակի: Այնուհետև փակագծերում գումարի քառակուսին ստանալու համար անհրաժեշտ է գումարել և հանել կրկնակի արտադրյալը.

Մենք շարունակում ենք խոսել հավասարումների լուծում. Այս հոդվածում մենք կկենտրոնանանք ռացիոնալ հավասարումներև մեկ փոփոխականով ռացիոնալ հավասարումների լուծման սկզբունքներ։ Նախ, եկեք պարզենք, թե ինչպիսի հավասարումներ են կոչվում ռացիոնալ, տանք ամբողջ թվերի ռացիոնալ և կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների սահմանումը և բերենք օրինակներ: Հաջորդը, մենք ձեռք կբերենք ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմներ և, իհարկե, կդիտարկենք բնորոշ օրինակների լուծումները բոլոր անհրաժեշտ բացատրություններով:

Էջի նավարկություն.

Հնչած սահմանումների հիման վրա բերում ենք ռացիոնալ հավասարումների մի քանի օրինակ։ Օրինակ, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , բոլորը ռացիոնալ հավասարումներ են:

Ցուցադրված օրինակներից երևում է, որ ռացիոնալ հավասարումները, ինչպես նաև այլ տեսակների հավասարումները կարող են լինել կամ մեկ փոփոխականով, կամ երկու, երեք և այլն։ փոփոխականներ. Հաջորդ պարբերություններում կխոսենք մեկ փոփոխականով ռացիոնալ հավասարումների լուծման մասին։ Երկու փոփոխականներով հավասարումների լուծումև նրանց մեծ թվովարժանի են հատուկ ուշադրության:

Ռացիոնալ հավասարումները անհայտ փոփոխականների թվի վրա բաժանելուց բացի, դրանք բաժանվում են նաև ամբողջ թվերի և կոտորակների։ Տանք համապատասխան սահմանումները։

Սահմանում.

Ռացիոնալ հավասարումը կոչվում է ամբողջ, եթե նրա և ձախ և աջ մասերը ամբողջ թվով ռացիոնալ արտահայտություններ են։

Սահմանում.

Եթե ​​ռացիոնալ հավասարման մասերից գոնե մեկը կոտորակային արտահայտություն է, ապա այդպիսի հավասարումը կոչվում է. կոտորակային ռացիոնալ(կամ կոտորակային ռացիոնալ):

Հասկանալի է, որ ամբողջ թվային հավասարումները չեն պարունակում բաժանում ըստ փոփոխականի, ընդհակառակը, կոտորակային ռացիոնալ հավասարումները պարտադիր պարունակում են բաժանում փոփոխականով (կամ փոփոխականով` հայտարարով): Այսպիսով, 3 x+2=0 և (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5ամբողջ ռացիոնալ հավասարումներ են, դրանց երկու մասերն էլ ամբողջ թվային արտահայտություններ են: A և x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների օրինակներ են:

Եզրափակելով այս պարբերությունը՝ եկեք ուշադրություն դարձնենք այն փաստին, որ այս պահին հայտնի գծային և քառակուսի հավասարումները ամբողջական ռացիոնալ հավասարումներ են:

Ամբողջ թվերի հավասարումների լուծում

Ամբողջական հավասարումների լուծման հիմնական մոտեցումներից մեկը դրանց կրճատումն է համարժեքի հանրահաշվական հավասարումներ. Դա միշտ կարելի է անել՝ կատարելով հավասարման հետևյալ համարժեք փոխակերպումները.

• նախ, սկզբնական ամբողջ թվի հավասարման աջ կողմի արտահայտությունը հակառակ նշանով փոխանցվում է ձախ կողմին՝ աջ կողմում զրո ստանալու համար.
• դրանից հետո հավասարման ձախ կողմում ստացվում է ստանդարտ տեսք.

Արդյունքում ստացվում է հանրահաշվական հավասարում, որը համարժեք է սկզբնական ամբողջ հավասարմանը: Այսպիսով, ամենապարզ դեպքերում ամբողջ հավասարումների լուծումը կրճատվում է մինչև գծային կամ քառակուսի հավասարումների լուծում, իսկ ընդհանուր դեպքում՝ մինչև n աստիճանի հանրահաշվական հավասարման լուծում։ Պարզության համար վերլուծենք օրինակի լուծումը։

Օրինակ.

Գտեք ամբողջ հավասարման արմատները 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Լուծում.

Այս ամբողջ հավասարման լուծումը նվազեցնենք համարժեք հանրահաշվական հավասարման լուծմանը: Դա անելու համար նախ արտահայտությունը աջից տեղափոխում ենք ձախ, արդյունքում հասնում ենք հավասարմանը. 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Եվ, երկրորդը, ձախ կողմում ձևավորված արտահայտությունը վերածում ենք ստանդարտ ձևի բազմանդամի՝ կատարելով անհրաժեշտը. 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Այսպիսով, սկզբնական ամբողջ թվի հավասարման լուծումը վերածվում է լուծման քառակուսային հավասարում x 2 −5 x−6=0 .

Հաշվեք դրա դիսկրիմինատորը D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, այն դրական է, ինչը նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու իրական արմատ, որոնք մենք գտնում ենք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևով.

Լիովին վստահ լինելու համար եկեք անենք ստուգելով հավասարման հայտնաբերված արմատները. Նախ, մենք ստուգում ենք 6-րդ արմատը, փոխարինում այն ​​x փոփոխականի փոխարեն սկզբնական ամբողջական հավասարման մեջ. 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, որը նույնն է՝ 63=63 ։ Սա վավեր թվային հավասարում է, ուստի x=6 իսկապես հավասարման արմատն է: Այժմ մենք ստուգում ենք −1 արմատը, ունենք 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, որտեղից, 0=0: x=−1-ի համար սկզբնական հավասարումը նույնպես վերածվել է իրական թվային հավասարության, հետևաբար x=−1-ը նույնպես հավասարման արմատն է։

Պատասխան.

6 , −1 .

Այստեղ պետք է նաև նշել, որ «ամբողջ հավասարման ուժ» տերմինը կապված է ամբողջ հավասարման հանրահաշվական հավասարման տեսքով ներկայացման հետ։ Մենք տալիս ենք համապատասխան սահմանումը.

Սահմանում.

Ամբողջ հավասարման աստիճանըանվանել դրան համարժեք հանրահաշվական հավասարման աստիճան:

Ըստ այս սահմանման՝ նախորդ օրինակի ամբողջ հավասարումն ունի երկրորդ աստիճան։

Սրա վրա կարելի է ավարտել ողջ ռացիոնալ հավասարումների լուծմամբ, եթե ոչ մեկի, այլ .... Ինչպես հայտնի է, երկրորդից բարձր աստիճանի հանրահաշվական հավասարումների լուծումը կապված է էական դժվարությունների հետ, իսկ չորրորդից բարձր աստիճանի հավասարումների դեպքում ընդհանրապես արմատների ընդհանուր բանաձևեր չկան։ Հետևաբար, երրորդ, չորրորդ և ավելի բարձր աստիճանների ամբողջ հավասարումները լուծելու համար հաճախ պետք է դիմել լուծման այլ մեթոդների:

Նման դեպքերում, երբեմն մոտեցումը լուծելու ամբողջ ռացիոնալ հավասարումների հիման վրա ֆակտորացման մեթոդ. Միևնույն ժամանակ հետևում են հետևյալ ալգորիթմին.

• նախ նրանք ձգտում են հավասարման աջ կողմում ունենալ զրո, դրա համար նրանք արտահայտությունը տեղափոխում են ամբողջ հավասարման աջ կողմից ձախ.
• այնուհետև ձախ կողմում ստացված արտահայտությունը ներկայացվում է որպես մի քանի գործոնների արտադրյալ, ինչը թույլ է տալիս անցնել մի քանի ավելի պարզ հավասարումների մի շարք:

Ամբողջ հավասարումը ֆակտորիզացիայի միջոցով լուծելու վերը նշված ալգորիթմը պահանջում է մանրամասն բացատրություն՝ օգտագործելով օրինակ:

Օրինակ.

Լուծե՛ք ամբողջ հավասարումը (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Լուծում.

Նախ, ինչպես միշտ, արտահայտությունը աջից փոխանցում ենք հավասարման ձախ կողմը՝ չմոռանալով փոխել նշանը, ստանում ենք. (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0: Այստեղ միանգամայն ակնհայտ է, որ նպատակահարմար չէ ստացված հավասարման ձախ կողմը վերածել ստանդարտ ձևի բազմանդամի, քանի որ դա կտա ձևի չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում: x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, որի լուծումը դժվար է։

Մյուս կողմից, ակնհայտ է, որ x 2 −10·x+13 կարելի է գտնել ստացված հավասարման ձախ կողմում՝ դրանով իսկ այն ներկայացնելով որպես արտադրյալ։ Մենք ունենք (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ստացված հավասարումը համարժեք է սկզբնական ամբողջ հավասարմանը, և այն, իր հերթին, կարող է փոխարինվել երկու քառակուսի հավասարումների բազմությամբ x 2 −10·x+13=0 և x 2 −2·x−1=0: Դժվար չէ գտնել դրանց արմատները՝ օգտագործելով հայտնի արմատային բանաձևերը դիսկրիմինանտի միջոցով, արմատները հավասար են: Դրանք սկզբնական հավասարման ցանկալի արմատներն են:

Պատասխան.

Այն նաև օգտակար է ամբողջ ռացիոնալ հավասարումների լուծման համար: նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդ. Որոշ դեպքերում այն ​​թույլ է տալիս անցնել այնպիսի հավասարումների, որոնց աստիճանը ցածր է սկզբնական ամբողջ թվի հավասարման աստիճանից:

Օրինակ.

Գտեք ռացիոնալ հավասարման իրական արմատները (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Լուծում.

Այս ամբողջ ռացիոնալ հավասարումը հանրահաշվական հավասարման կրճատելը, մեղմ ասած, այնքան էլ լավ գաղափար չէ, քանի որ այս դեպքում մենք կհասնենք ռացիոնալ արմատներ չունեցող չորրորդ աստիճանի հավասարման լուծման անհրաժեշտությանը: Ուստի ստիպված կլինեք այլ լուծում փնտրել։

Այստեղ հեշտ է տեսնել, որ կարող եք ներմուծել նոր y փոփոխական և փոխարինել x 2 +3 x արտահայտությունը դրանով։ Նման փոխարինումը մեզ տանում է դեպի (y+1) 2 +10=−2 (y−4) ամբողջ հավասարումը, որը −2 (y−4) արտահայտությունը ձախ կողմ տեղափոխելուց և արտահայտության հետագա փոխակերպումից հետո ձևավորվել է. այնտեղ, վերածվում է y 2 +4 y+3=0 հավասարման: Այս y=−1 և y=−3 հավասարման արմատները հեշտ է գտնել, օրինակ՝ դրանք կարելի է գտնել Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմի հիման վրա։

Այժմ անցնենք նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդի երկրորդ մասին, այն է՝ հակադարձ փոխարինում կատարելուն։ Հակադարձ փոխարինումը կատարելուց հետո մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ x 2 +3 x=−1 և x 2 +3 x=−3 , որոնք կարելի է վերաշարադրել x 2 +3 x+1=0 և x 2 +3 x+3. =0. Համաձայն քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևի՝ մենք գտնում ենք առաջին հավասարման արմատները։ Իսկ երկրորդ քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, քանի որ նրա դիսկրիմինանտը բացասական է (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ):

Պատասխան.

Ընդհանրապես, երբ գործ ունենք բարձր աստիճանի ամբողջ թվային հավասարումների հետ, միշտ պետք է պատրաստ լինենք փնտրելու ոչ ստանդարտ մեթոդկամ դրանց լուծման արհեստական ​​սարք։

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծում

Նախ, օգտակար կլինի հասկանալ, թե ինչպես լուծել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ ձևի, որտեղ p(x) և q(x) ռացիոնալ ամբողջ թվային արտահայտություններ են: Եվ հետո մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է նվազեցնել մնացած կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծումը նշված ձևի հավասարումների լուծմանը:

Հավասարումը լուծելու մոտեցումներից մեկը հիմնված է հետևյալ հայտարարության վրա. u/v թվային կոտորակը, որտեղ v-ն ոչ զրոյական թիվ է (հակառակ դեպքում մենք կհանդիպենք, որը սահմանված չէ), զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրա համարիչը։ զրո է, ապա այն է, եթե և միայն, եթե u=0: Այս պնդման ուժով հավասարման լուծումը կրճատվում է մինչև p(x)=0 և q(x)≠0 երկու պայմանի կատարումը:

Այս եզրակացությունը համահունչ է հետևյալին կոտորակային ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ. Լուծել ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը

• լուծել ամբողջ ռացիոնալ հավասարումը p(x)=0 ;
• և ստուգեք, արդյոք q(x)≠0 պայմանը բավարարված է յուրաքանչյուր հայտնաբերված արմատի համար, մինչդեռ
• եթե ճիշտ է, ապա այս արմատը սկզբնական հավասարման արմատն է.
• եթե ոչ, ապա այս արմատը կողմնակի է, այսինքն՝ սկզբնական հավասարման արմատը չէ։

Վերլուծենք հնչյունավորված ալգորիթմի կիրառման օրինակ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը լուծելիս։

Օրինակ.

Գտե՛ք հավասարման արմատները.

Լուծում.

Սա ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումն է, որտեղ p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0:

Այս կարգի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմի համաձայն նախ պետք է լուծենք 3·x−2=0 հավասարումը: Սա գծային հավասարում է, որի արմատը x=2/3 է:

Մնում է ստուգել այս արմատը, այսինքն՝ ստուգել՝ արդյոք այն բավարարում է 5·x 2 −2≠0 պայմանին։ x-ի փոխարեն 2/3 թիվը փոխարինում ենք 5 x 2 −2 արտահայտությամբ, ստանում ենք . Պայմանը բավարարված է, ուստի x=2/3 սկզբնական հավասարման արմատն է։

Պատասխան.

2/3 .

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման լուծմանը կարելի է մոտենալ մի փոքր այլ դիրքից: Այս հավասարումը համարժեք է սկզբնական հավասարման x փոփոխականի p(x)=0 ամբողջ հավասարմանը: Այսինքն՝ դուք կարող եք հետևել սրան կոտորակային ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ :

• լուծել p(x)=0 հավասարումը ;
• գտնել ODZ փոփոխական x ;
• վերցրեք թույլատրելի արժեքների տարածաշրջանին պատկանող արմատները - դրանք բնօրինակ կոտորակային ռացիոնալ հավասարման ցանկալի արմատներն են:

Օրինակ՝ այս ալգորիթմի միջոցով լուծենք կոտորակային ռացիոնալ հավասարում։

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.

Նախ լուծում ենք x 2 −2·x−11=0 քառակուսային հավասարումը: Դրա արմատները կարելի է հաշվարկել օգտագործելով արմատային բանաձևը նույնիսկ երկրորդ գործակցի համար, մենք ունենք D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, Եվ .

Երկրորդ, մենք գտնում ենք x փոփոխականի ODZ-ը սկզբնական հավասարման համար: Այն բաղկացած է բոլոր թվերից, որոնց համար x 2 +3 x≠0 , որը նույնն է x (x+3)≠0, որտեղից x≠0 , x≠−3:

Մնում է ստուգել, ​​թե արդյոք առաջին քայլում հայտնաբերված արմատները ներառված են ODZ-ում: Ակնհայտորեն այո։ Հետևաբար, սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարումն ունի երկու արմատ.

Պատասխան.

Նկատի ունեցեք, որ այս մոտեցումն ավելի շահավետ է, քան առաջինը, եթե ODZ-ը հեշտությամբ գտնվի, և հատկապես ձեռնտու է, եթե p(x)=0 հավասարման արմատները իռացիոնալ են, օրինակ, , կամ ռացիոնալ, բայց բավականին մեծ համարիչ և/կամ հայտարար, օրինակ՝ 127/1101 և -31/59: Դա պայմանավորված է նրանով, որ նման դեպքերում q(x)≠0 պայմանի ստուգումը կպահանջի զգալի հաշվողական ջանքեր, և ավելի հեշտ է բացառել կողմնակի արմատները ODZ-ից։

Մնացած դեպքերում, հավասարումը լուծելիս, հատկապես, երբ p(x)=0 հավասարման արմատները ամբողջ թվեր են, ավելի ձեռնտու է օգտագործել վերը նշված ալգորիթմներից առաջինը։ Այսինքն՝ խորհուրդ է տրվում անմիջապես գտնել p(x)=0 ամբողջ հավասարման արմատները, այնուհետև ստուգել, ​​թե արդյոք նրանց համար բավարարված է q(x)≠0 պայմանը և չգտնել ODZ-ը, այնուհետև լուծել հավասարումը։ p(x)=0 այս ODZ-ում: Դա պայմանավորված է նրանով, որ նման դեպքերում սովորաբար ավելի հեշտ է ստուգում կատարել, քան ODZ-ը գտնելը։

Դիտարկենք երկու օրինակների լուծումը` նախանշված նրբերանգները լուսաբանելու համար:

Օրինակ.

Գտե՛ք հավասարման արմատները.

Լուծում.

Նախ մենք գտնում ենք ամբողջ հավասարման արմատները (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, կազմվել է կոտորակի համարիչի միջոցով։ Ձախ կողմայս հավասարման արտադրյալն է, իսկ ճիշտը զրոյական է, հետևաբար, ըստ ֆակտորիզացիայի միջոցով հավասարումների լուծման մեթոդի, այս հավասարումը համարժեք է չորս հավասարումների բազմությանը 2 x−1=0, x−6=0, x. 2 −5 x+14= 0 , x+1=0: Այս հավասարումներից երեքը գծային են, իսկ մեկը՝ քառակուսային, մենք կարող ենք դրանք լուծել։ Առաջին հավասարումից գտնում ենք x=1/2, երկրորդից՝ x=6, երրորդից՝ x=7, x=−2, չորրորդից՝ x=−1։

Գտնված արմատներով բավականին հեշտ է ստուգել դրանք՝ տեսնելու, թե արդյոք սկզբնական հավասարման ձախ կողմում գտնվող կոտորակի հայտարարը չի անհետանում, և այնքան էլ հեշտ չէ ODZ-ն որոշել, քանի որ դա պետք է լուծի Հինգերորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում. Հետեւաբար, մենք կհրաժարվենք գտնել ODZ-ը՝ հօգուտ արմատների ստուգման։ Դա անելու համար մենք դրանք հերթով փոխարինում ենք արտահայտության մեջ x փոփոխականի փոխարեն x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, ստացվել է փոխարինումից հետո և համեմատել դրանք զրոյի հետ՝ (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Այսպիսով, 1/2-ը, 6-ը և −2-ը սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման ցանկալի արմատներն են, իսկ 7-ը և −1-ը՝ կողմնակի արմատներ:

Պատասխան.

1/2 , 6 , −2 .

Օրինակ.

Գտե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները:

Լուծում.

Նախ գտնում ենք հավասարման արմատները (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Այս հավասարումը համարժեք է երկու հավասարումների բազմության՝ քառակուսին 5·x 2 −7·x−1=0 և գծային x−2=0: Համաձայն քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևի՝ մենք գտնում ենք երկու արմատ, իսկ երկրորդ հավասարումից ունենք x=2։

Ստուգել, ​​թե արդյոք հայտարարը չի անհետանում x-ի հայտնաբերված արժեքներում, բավականին տհաճ է: Իսկ սկզբնական հավասարման մեջ x փոփոխականի ընդունելի արժեքների միջակայքը որոշելը բավականին պարզ է: Ուստի մենք գործելու ենք ՕՁ-ի միջոցով։

Մեր դեպքում սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման x փոփոխականի ODZ-ը կազմված է բոլոր թվերից, բացառությամբ նրանց, որոնց համար x 2 +5·x−14=0 պայմանը բավարարված է։ Այս քառակուսային հավասարման արմատներն են x=−7 և x=2, որոնցից մենք եզրակացնում ենք ODZ-ի մասին. այն կազմված է բոլոր x-ից այնպես, որ .

Մնում է ստուգել՝ արդյոք գտնված արմատները և x=2-ը պատկանում են թույլատրելի արժեքների շրջանին։ Արմատները - պատկանում են, հետևաբար, դրանք սկզբնական հավասարման արմատներն են, իսկ x=2-ը չի պատկանում, հետևաբար, այն կողմնակի արմատ է։

Պատասխան.

Օգտակար կլինի նաև առանձին անդրադառնալ այն դեպքերին, երբ թիվը համարիչում է ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարման մեջ, այսինքն, երբ p (x)-ը ներկայացված է ինչ-որ թվով: Որտեղ

• եթե այս թիվը տարբերվում է զրոյից, ապա հավասարումը չունի արմատներ, քանի որ կոտորակը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրա համարիչը զրո է.
• եթե այս թիվը զրո է, ապա հավասարման արմատը ODZ-ից ցանկացած թիվ է:

Օրինակ.

Լուծում.

Քանի որ հավասարման ձախ կողմում գտնվող կոտորակի համարիչում կա ոչ զրոյական թիվ, ոչ մի x-ի համար այս կոտորակի արժեքը չի կարող հավասար լինել զրոյի: Հետևաբար, այս հավասարումը արմատներ չունի։

Պատասխան.

ոչ մի արմատ:

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.

Այս կոտորակային ռացիոնալ հավասարման ձախ կողմում գտնվող կոտորակի համարիչը զրո է, ուստի այս կոտորակի արժեքը զրո է ցանկացած x-ի համար, որի համար դա իմաստ ունի: Այլ կերպ ասած, այս հավասարման լուծումը x-ի ցանկացած արժեք է այս փոփոխականի DPV-ից:

Մնում է որոշել ընդունելի արժեքների այս շրջանակը: Այն ներառում է բոլոր այն արժեքները, որոնց համար x 4 +5 x 3 ≠0: x 4 +5 x 3 \u003d 0 հավասարման լուծումները 0 և −5 են, քանի որ այս հավասարումը համարժեք է x 3 (x + 5) \u003d 0 հավասարմանը, և այն, իր հերթին, համարժեք է համակցությանը. երկու հավասարումների x 3 \u003d 0 և x +5=0, որտեղից տեսանելի են այս արմատները: Հետևաբար, ընդունելի արժեքների ցանկալի միջակայքը ցանկացած x է, բացառությամբ x=0 և x=−5:

Այսպիսով, կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը ունի անսահման շատ լուծումներ, որոնք ցանկացած թվեր են, բացառությամբ զրո և մինուս հինգ:

Պատասխան.

Վերջապես, ժամանակն է խոսել կամայական կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման մասին: Դրանք կարելի է գրել որպես r(x)=s(x) , որտեղ r(x) և s(x) ռացիոնալ արտահայտություններ են, և դրանցից առնվազն մեկը կոտորակային է: Նայելով առաջ՝ մենք ասում ենք, որ դրանց լուծումը կրճատվում է մեզ արդեն ծանոթ ձևի հավասարումների լուծման վրա։

Հայտնի է, որ հակադիր նշանով տերմինի փոխանցումը հավասարման մի մասից մյուսը հանգեցնում է համարժեք հավասարման, ուստի r(x)=s(x) հավասարումը համարժեք է r(x)−s հավասարմանը։ (x)=0.

Մենք նաև գիտենք, որ ցանկացածը կարող է նույնականորեն հավասար լինել այս արտահայտությանը: Այսպիսով, մենք միշտ կարող ենք փոխակերպել r(x)−s(x)=0 հավասարման ձախ կողմի ռացիոնալ արտահայտությունը ձևի նույնականորեն հավասար ռացիոնալ կոտորակի:

Այսպիսով, մենք սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարումից r(x)=s(x) անցնում ենք հավասարմանը, և դրա լուծումը, ինչպես պարզեցինք վերևում, վերածվում է p(x)=0 հավասարման լուծմանը:

Բայց այստեղ անհրաժեշտ է հաշվի առնել այն փաստը, որ r(x)−s(x)=0-ով, այնուհետև p(x)=0-ով փոխարինելիս, x փոփոխականի թույլատրելի արժեքների միջակայքը կարող է ընդլայնվել: .

Հետևաբար, սկզբնական r(x)=s(x) և p(x)=0 հավասարումը, որին մենք եկել ենք, կարող են համարժեք չլինել, և լուծելով p(x)=0 հավասարումը, կարող ենք ստանալ արմատներ. որոնք կլինեն սկզբնական հավասարման կողմնակի արմատները r(x)=s(x) . Հնարավոր է պարզել և պատասխանի մեջ չներառել կողմնակի արմատները՝ կա՛մ ստուգում կատարելով, կա՛մ ստուգելով, որ դրանք պատկանում են սկզբնական հավասարման ODZ-ին:

Մենք ամփոփում ենք այս տեղեկատվությունը կոտորակային ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ r(x)=s(x). r(x)=s(x) կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է

• Ստացեք զրո աջ կողմում՝ արտահայտությունը աջ կողմից հակառակ նշանով տեղափոխելով։
• Կատարե՛ք գործողություններ կոտորակների և բազմանդամների հետ հավասարման ձախ կողմում՝ դրանով իսկ այն վերածելով ձևի ռացիոնալ կոտորակի:
• Լուծե՛ք p(x)=0 հավասարումը:
• Բացահայտել և բացառել կողմնակի արմատները, որն արվում է դրանք փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ կամ ստուգելով դրանց պատկանելությունը սկզբնական հավասարման ODZ-ին:

Ավելի պարզության համար մենք ցույց կտանք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ամբողջ շղթան.
.

Անցնենք մի քանի օրինակների լուծումները՝ լուծման մանրամասն բացատրությամբ, որպեսզի պարզաբանենք տվյալ տեղեկատվական բլոկն։

Օրինակ.

Լուծե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարում.

Լուծում.

Մենք գործելու ենք հենց նոր ստացված լուծման ալգորիթմի համաձայն։ Եվ նախ տերմինները հավասարման աջից տեղափոխում ենք ձախ կողմ, արդյունքում անցնում ենք հավասարմանը:

Երկրորդ քայլում մենք պետք է ստացված հավասարման ձախ կողմի կոտորակային ռացիոնալ արտահայտությունը փոխարկենք կոտորակի ձևի: Դա անելու համար մենք կատարում ենք ռացիոնալ կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի և պարզեցնում ենք ստացված արտահայտությունը՝ . Այսպիսով, մենք գալիս ենք հավասարմանը.

Վրա հաջորդ քայլըպետք է լուծենք −2 x−1=0 հավասարումը։ Գտեք x=−1/2:

Մնում է ստուգել, ​​թե արդյոք գտնված −1/2 թիվը սկզբնական հավասարման կողմնակի արմատն է։ Դա անելու համար կարող եք ստուգել կամ գտնել սկզբնական հավասարման ODZ x փոփոխականը: Եկեք ցույց տանք երկու մոտեցումները:

Սկսենք ստուգումից: x փոփոխականի փոխարեն −1/2 թիվը փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ, ստանում ենք , որը նույնն է՝ −1=−1։ Փոխարինումը տալիս է ճիշտ թվային հավասարություն, հետևաբար, x=−1/2 սկզբնական հավասարման արմատն է։

Այժմ մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է կատարվում ալգորիթմի վերջին քայլը ODZ-ի միջոցով: Սկզբնական հավասարման թույլատրելի արժեքների միջակայքը բոլոր թվերի բազմությունն է, բացառությամբ −1-ի և 0-ի (x=−1-ի և x=0-ի դեպքում կոտորակների հայտարարները անհետանում են): Նախորդ քայլում հայտնաբերված x=−1/2 արմատը պատկանում է ODZ-ին, հետևաբար, x=−1/2 սկզբնական հավասարման արմատն է։

Պատասխան.

−1/2 .

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ.

Օրինակ.

Գտե՛ք հավասարման արմատները.

Լուծում.

Մենք պետք է լուծենք կոտորակային ռացիոնալ հավասարում, եկեք անցնենք ալգորիթմի բոլոր քայլերը։

Նախ, մենք տերմինը տեղափոխում ենք աջ կողմից ձախ, ստանում ենք .

Երկրորդ, մենք վերափոխում ենք ձախ կողմում ձևավորված արտահայտությունը. Արդյունքում մենք հասնում ենք x=0 հավասարմանը:

Դրա արմատն ակնհայտ է՝ զրո է։

Չորրորդ քայլում մնում է պարզել, թե արդյոք հայտնաբերված արմատը դրսից չէ սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման համար: Երբ այն փոխարինվում է սկզբնական հավասարման մեջ, ստացվում է արտահայտությունը: Ակնհայտ է, որ դա իմաստ չունի, քանի որ այն պարունակում է բաժանում զրոյի: Այստեղից մենք եզրակացնում ենք, որ 0-ը կողմնակի արմատ է: Հետևաբար, սկզբնական հավասարումը արմատներ չունի։

7 , որը հանգեցնում է հավասարմանը . Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ ձախ կողմի հայտարարի արտահայտությունը պետք է հավասար լինի աջ կողմի, այսինքն՝ . Այժմ եռյակի երկու մասերից հանում ենք. Ըստ անալոգիայի, որտեղից և հետագա:

Ստուգումը ցույց է տալիս, որ երկու հայտնաբերված արմատներն էլ սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատներն են:

Պատասխան.

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։
• Հանրահաշիվ:Դասարան 9: Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2009. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-021134-5 ։