Berechnung des relativen und absoluten Fehlers. Absolute und relative Messfehler

Der absolute Rechenfehler ergibt sich aus der Formel:

Das Modulo-Zeichen zeigt, dass es uns egal ist, welcher Wert größer und welcher kleiner ist. Wichtig, wie weit das ungefähre Ergebnis wich vom exakten Wert in die eine oder andere Richtung ab.

Der relative Rechenfehler ergibt sich aus der Formel:
, oder dasselbe:

Der relative Fehler wird angezeigt um wie viel Prozent das ungefähre Ergebnis weicht vom exakten Wert ab. Es gibt eine Version der Formel ohne Multiplikation mit 100 %, aber in der Praxis sehe ich fast immer die obige Version mit Prozentzahlen.

Nach einem kurzen Hintergrund kehren wir zu unserem Problem zurück, in dem wir den ungefähren Wert der Funktion berechnet haben Verwendung eines Differenzials.

Berechnen genauer Wert Funktionen mit dem Taschenrechner:
, streng genommen ist der Wert immer noch ein ungefährer Wert, aber wir werden ihn als genau betrachten. Solche Aufgaben kommen vor.

Berechnen Sie den absoluten Fehler:

Lassen Sie uns den relativen Fehler berechnen:
, Tausendstel Prozent erhalten, so dass das Differential nur eine große Annäherung lieferte.

Antworten: , absoluter Rechenfehler , relativer Rechenfehler

Das nächste Beispiel für unabhängige Lösung:

Beispiel 4

am Punkt . Berechnen Sie einen genaueren Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt, bewerten Sie die absoluten und relativen Berechnungsfehler.

Ein grobes Beispiel für die Abschlussarbeit und eine Antwort am Ende der Lektion.

Viele haben bemerkt, dass in allen betrachteten Beispielen Wurzeln auftauchen. Dies ist kein Zufall, in den meisten Fällen werden in dem betrachteten Problem tatsächlich Funktionen mit Wurzeln vorgeschlagen.

Aber für die leidenden Leser habe ich ein kleines Beispiel mit dem Arkussinus ausgegraben:

Beispiel 5

Berechnen Sie näherungsweise mit dem Differential den Wert der Funktion am Punkt

Auch dieses kurze, aber informative Beispiel dient der selbstständigen Entscheidung. Und ich ruhte mich ein wenig aus, um mit neuem Elan über eine besondere Aufgabe nachzudenken:

Beispiel 6

Rechnen Sie näherungsweise mit der Differenz, runden Sie das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Entscheidung: Was ist neu an der Aufgabe? Per Bedingung ist es erforderlich, das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen zu runden. Aber das ist es nicht, Schulaufgabe Runden, denke ich, fällt Ihnen nicht schwer. Es handelt sich darum, dass bei uns die Tangente mit dem Argument gegeben ist, die in Grad ausgedrückt wird. Was tun, wenn Sie aufgefordert werden, eine trigonometrische Funktion mit Grad zu lösen? zum Beispiel , usw.

Der Lösungsalgorithmus bleibt grundsätzlich erhalten, d. h. es muss, wie in den vorherigen Beispielen, die Formel angewendet werden

Schreiben Sie die offensichtliche Funktion auf

Der Wert muss als dargestellt werden. Ernsthafte Hilfe wird Wertetabelle trigonometrischer Funktionen . Übrigens, wer es nicht ausgedruckt hat, dem empfehle ich dies, da man im Laufe des Studiums der Höheren Mathematik dort nachschauen muss.

Bei der Analyse der Tabelle stellen wir einen „guten“ Wert der Tangente fest, der nahe bei 47 Grad liegt:

Auf diese Weise:

Nach vorläufiger Analyse Grad müssen in Radiant umgerechnet werden. Ja, und nur so!

BEIM dieses Beispiel direkt aus der trigonometrischen Tabelle können Sie das herausfinden. Die Formel für die Umrechnung von Grad in Radiant lautet: (Formeln finden Sie in derselben Tabelle).

Weitere Vorlage:

Auf diese Weise: (in Berechnungen verwenden wir den Wert ). Das Ergebnis wird, wie von der Bedingung gefordert, auf zwei Dezimalstellen gerundet.

Antworten:

Beispiel 7

Näherungsweise mit dem Differential rechnen, Ergebnis auf drei Dezimalstellen runden.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Komplette Lösung und die Antwort am Ende der Lektion.

Wie Sie sehen können, nichts Kompliziertes, wir übersetzen die Grade in Radiant und halten uns an den üblichen Lösungsalgorithmus.

Annäherungsrechnungen mit dem totalen Differential einer Funktion zweier Variablen

Alles wird sehr, sehr ähnlich sein. Wenn Sie also mit dieser speziellen Aufgabe auf diese Seite gekommen sind, empfehle ich Ihnen, sich zuerst mindestens ein paar Beispiele des vorherigen Absatzes anzusehen.

Um einen Absatz zu studieren, müssen Sie finden können partielle Ableitungen zweiter Ordnung , wo ohne sie. In der obigen Lektion habe ich die Funktion zweier Variablen mit dem Buchstaben bezeichnet. Im Hinblick auf die betrachtete Aufgabe ist es bequemer, die äquivalente Schreibweise zu verwenden.

Wie im Fall einer Funktion einer Variablen kann die Bedingung des Problems auf verschiedene Weise formuliert werden, und ich werde versuchen, alle auftretenden Formulierungen zu berücksichtigen.

Beispiel 8

Entscheidung: Egal wie die Bedingung geschrieben wird, in der Lösung selbst, um die Funktion zu bezeichnen, wiederhole ich, es ist besser, nicht den Buchstaben „Z“ zu verwenden, sondern .

Und hier ist die Arbeitsformel:

Vor uns liegt eigentlich die ältere Schwester der Formel des vorigen Absatzes. Die Variable ist gerade größer geworden. Was soll ich sagen, ich selbst der Lösungsalgorithmus ist grundsätzlich derselbe!

Als Bedingung ist es erforderlich, den ungefähren Wert der Funktion am Punkt zu finden.

Stellen wir die Zahl 3,04 als dar. Der Lebkuchenmann bittet darum, gegessen zu werden:
,

Stellen wir die Zahl 3,95 als dar. Die zweite Hälfte von Kolobok ist an der Reihe:
,

Und schau dir nicht alle möglichen Fuchstricks an, es gibt einen Lebkuchenmann - den musst du essen.

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an dem Punkt berechnen:

Das Differential einer Funktion an einem Punkt wird durch die Formel gefunden:

Aus der Formel folgt, dass Sie finden müssen partielle Ableitungen erster Ordnung und berechnen ihre Werte an der Stelle .

Berechnen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung am Punkt:

Gesamtdifferential am Punkt:

Damit ist nach der Formel der Näherungswert der Funktion an der Stelle:

Lassen Sie uns den genauen Wert der Funktion an dem Punkt berechnen:

Dieser Wert ist absolut korrekt.

Fehler werden mit Standardformeln berechnet, die bereits in diesem Artikel besprochen wurden.

Absoluter Fehler:

Relativer Fehler:

Antwort: , absoluter Fehler: , relativer Fehler:

Beispiel 9

Berechnen Sie den ungefähren Wert einer Funktion Bewerten Sie an einem Punkt, an dem ein volles Differential verwendet wird, den absoluten und relativen Fehler.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Wer sich näher mit diesem Beispiel beschäftigt, wird darauf achten, dass die Rechenfehler sehr, sehr auffällig ausgefallen sind. Dies geschah aus folgendem Grund: In der vorgeschlagenen Aufgabe sind die Inkremente der Argumente groß genug: .

Das allgemeine Muster ist a - Je größer diese Absolutwertinkremente sind, desto geringer ist die Genauigkeit der Berechnungen. So sind beispielsweise für einen ähnlichen Punkt die Inkremente klein: , und die Genauigkeit der ungefähren Berechnungen ist sehr hoch.

Dieses Merkmal gilt auch für den Fall einer Funktion einer Variablen (erster Teil der Lektion).

Beispiel 10

Entscheidung: Lassen Sie uns diesen Ausdruck näherungsweise berechnen, indem wir das totale Differential einer Funktion zweier Variablen verwenden:

Der Unterschied zu den Beispielen 8-9 besteht darin, dass wir zuerst eine Funktion aus zwei Variablen zusammensetzen müssen: . Wie die Funktion zusammengesetzt ist, ist, denke ich, jedem intuitiv klar.

Der Wert 4,9973 liegt nahe bei „fünf“, also: , .
Der Wert von 0,9919 liegt nahe bei „eins“, daher nehmen wir an: , .

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an dem Punkt berechnen:

Wir finden das Differential an einem Punkt durch die Formel:

Dazu berechnen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung am Punkt .

Die Ableitungen hier sind nicht die einfachsten, und Sie sollten vorsichtig sein:

;

.

Gesamtdifferential am Punkt:

Somit ist der ungefähre Wert dieses Ausdrucks:

Lassen Sie uns mit einem Mikrorechner einen genaueren Wert berechnen: 2,998899527

Finden wir den relativen Rechenfehler:

Antworten: ,

Nur eine Veranschaulichung des Obigen, bei dem betrachteten Problem sind die Inkremente der Argumente sehr klein, und der Fehler stellte sich als fantastisch gering heraus.

Beispiel 11

Berechnen Sie ungefähr den Wert dieses Ausdrucks, indem Sie das Gesamtdifferential einer Funktion zweier Variablen verwenden. Berechnen Sie denselben Ausdruck mit einem Mikrorechner. Schätzen Sie den relativen Rechenfehler in Prozent ab.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Ein ungefähres Beispiel für den Abschluss am Ende der Lektion.

Wie bereits angemerkt, der privateste Gast in dieser Typ Aufgaben sind eine Art Wurzeln. Aber ab und zu gibt es noch andere Funktionen. Und ein letztes einfaches Beispiel zur Entspannung:

Beispiel 12

Berechnen Sie unter Verwendung des totalen Differentials einer Funktion zweier Variablen näherungsweise den Wert der Funktion if

Die Lösung befindet sich weiter unten auf der Seite. Achten Sie auch hier auf die Formulierung der Aufgaben der Lektion, in verschiedene Beispiele In der Praxis können die Formulierungen unterschiedlich sein, aber dies ändert nicht grundlegend das Wesen und den Algorithmus der Lösung.

Um ehrlich zu sein, wurde ich etwas müde, weil der Stoff langweilig war. Es war nicht pädagogisch am Anfang des Artikels zu sagen, aber jetzt ist es schon möglich =) Tatsächlich sind die Probleme der Computermathematik normalerweise nicht sehr schwierig, nicht sehr interessant, das Wichtigste ist vielleicht, nicht einen zu machen Fehler in gewöhnlichen Berechnungen.

Mögen die Tasten Ihres Taschenrechners nicht gelöscht werden!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2:

Entscheidung: Wir verwenden die Formel:
In diesem Fall: , ,

Auf diese Weise:

Antworten:

Beispiel 4:

Entscheidung: Wir verwenden die Formel:
In diesem Fall: , ,

Auf diese Weise:

Lassen Sie uns einen genaueren Wert der Funktion mit einem Mikrorechner berechnen:

Absoluter Fehler:

Relativer Fehler:

Antworten: , absoluter Rechenfehler , relativer Rechenfehler

Beispiel 5:

Entscheidung: Wir verwenden die Formel:

In diesem Fall: , ,

Auf diese Weise:

Antworten:

Beispiel 7:

Entscheidung: Wir verwenden die Formel:
In diesem Fall: , ,

Wie bereits erwähnt, verwenden wir beim Vergleich der Messgenauigkeit eines ungefähren Werts den absoluten Fehler.

Das Konzept des absoluten Fehlers

Der absolute Fehler eines Näherungswerts ist der Betrag der Differenz zwischen dem exakten Wert und dem Näherungswert.
Der absolute Fehler kann verwendet werden, um die Genauigkeit von Annäherungen derselben Größen zu vergleichen, und wenn wir die Genauigkeit von Annäherungen verschiedener Größen vergleichen wollen, dann reicht der absolute Fehler allein nicht aus.

Zum Beispiel: Die Länge eines A4-Blattes beträgt (29,7 ± 0,1) cm und die Entfernung von St. Petersburg nach Moskau beträgt (650 ± 1) km. Der absolute Fehler im ersten Fall überschreitet nicht einen Millimeter und im zweiten - einen Kilometer. Die Frage ist, die Genauigkeit dieser Messungen zu vergleichen.

Wenn Sie denken, dass die Länge des Blattes genauer gemessen wird, weil der absolute Fehler 1 mm nicht überschreitet. Dann liegst du falsch. Diese Werte können nicht direkt verglichen werden. Lassen Sie uns ein paar Argumente anstellen.

Bei der Messung der Blattlänge überschreitet der absolute Fehler 0,1 cm mal 29,7 cm nicht, dh in Prozent beträgt er 0,1 / 29,7 * 100 % = 0,33 % des gemessenen Werts.

Wenn wir die Entfernung von St. Petersburg nach Moskau messen, überschreitet der absolute Fehler 1 km pro 650 km nicht, was 1/650 * 100 % = 0,15 % des gemessenen Werts in Prozent entspricht. Wir sehen, dass die Entfernung zwischen Städten genauer gemessen wird als die Länge eines A4-Blatts.

Das Konzept des relativen Fehlers

Um die Qualität der Approximation zu beurteilen, wird hier ein neues Konzept des relativen Fehlers eingeführt. Relativer Fehler ist der Quotient aus der Division des absoluten Fehlers durch den Modul der Näherungswerte der gemessenen Größe. Üblicherweise wird der relative Fehler in Prozent ausgedrückt. In unserem Beispiel haben wir zwei relative Fehler von 0,33 % und 0,15 % erhalten.

Wie Sie vielleicht erraten haben, ist der relative Fehlerwert immer positiv. Das folgt aus der Tatsache, dass der absolute Fehler immer positiv ist, und wir teilen ihn durch den Modulus, und der Modulus ist auch immer positiv.

Bei allen Messungen, Abrundungen von Berechnungsergebnissen, recht komplexen Berechnungen ergibt sich zwangsläufig die eine oder andere Abweichung. Um eine solche Ungenauigkeit zu bewerten, werden üblicherweise zwei Indikatoren verwendet - dies sind absolute und relative Fehler.

Wenn wir das erhaltene Ergebnis vom genauen Wert der Zahl subtrahieren, erhalten wir die absolute Abweichung (außerdem wird beim Zählen das Kleinere subtrahiert). Wenn Sie beispielsweise 1370 auf 1400 runden, beträgt der absolute Fehler 1400-1382 = 18. Wenn Sie auf 1380 runden, beträgt die absolute Abweichung 1382-1380 = 2. Die absolute Fehlerformel lautet:

Δx = |x* - x|, hier

x* - wahrer Wert,

x ist ein Näherungswert.

Dieser Indikator allein reicht jedoch eindeutig nicht aus, um die Genauigkeit zu charakterisieren. Beurteilen Sie selbst, wenn der Gewichtsfehler 0,2 Gramm beträgt, dann ist es beim Wiegen von Chemikalien für die Mikrosynthese viel, beim Wiegen von 200 Gramm Wurst ist es ganz normal, und beim Messen des Gewichts eines Eisenbahnwaggons wird es möglicherweise nicht bemerkt überhaupt. Daher wird oft neben dem absoluten Fehler auch der relative Fehler angegeben oder berechnet. Die Formel für diesen Indikator sieht folgendermaßen aus:

Betrachten Sie ein Beispiel. Die Gesamtzahl der Schüler an der Schule sei 196. Runden wir diese Zahl auf 200 auf.

Die absolute Abweichung beträgt 200 - 196 = 4. Der relative Fehler beträgt 4/196 oder gerundet, 4/196 = 2 %.

Wenn also der wahre Wert einer bestimmten Größe bekannt ist, dann ist der relative Fehler des akzeptierten Näherungswerts das Verhältnis der absoluten Abweichung des Näherungswerts zum exakten Wert. In den meisten Fällen ist es jedoch sehr problematisch und manchmal sogar unmöglich, den wahren genauen Wert zu ermitteln. Daher ist es unmöglich, den genauen zu berechnen, aber es ist immer möglich, eine Zahl zu bestimmen, die immer etwas größer als der maximale absolute oder relative Fehler sein wird.

Beispiel: Ein Verkäufer wiegt eine Melone auf einer Waage. In diesem Fall beträgt das kleinste Gewicht 50 Gramm. Die Waage zeigte 2000 Gramm an. Dies ist ein ungefährer Wert. Das genaue Gewicht der Melone ist unbekannt. Wir wissen jedoch, dass es nicht mehr als 50 Gramm sein dürfen. Dann übersteigt das relative Gewicht 50/2000 = 2,5 % nicht.

Der Wert, der zunächst größer als der absolute Fehler oder im schlimmsten Fall gleich diesem ist, wird üblicherweise als begrenzender absoluter Fehler oder als absolute Fehlergrenze bezeichnet. Im vorherigen Beispiel sind es 50 Gramm. Auf ähnliche Weise wird der limitierende relative Fehler bestimmt, der im obigen Beispiel 2,5 % betrug.

Der Wert des Grenzfehlers ist nicht streng spezifiziert. Anstelle von 50 Gramm könnten wir also durchaus jede Zahl nehmen, die größer ist als das Gewicht des kleinsten Gewichts, sagen wir 100 g oder 150 g. In der Praxis wählt man jedoch Mindestwert. Und wenn er genau bestimmt werden kann, dient er gleichzeitig als Grenzfehler.

Es kommt vor, dass der absolute Grenzfehler nicht angegeben ist. Dann sollte berücksichtigt werden, dass es gleich der halben Einheit der letzten angegebenen Ziffer (wenn es sich um eine Zahl handelt) oder der minimalen Teilungseinheit (wenn es sich um ein Instrument handelt). Für ein Millimeterlineal beträgt dieser Parameter beispielsweise 0,5 mm, und für eine ungefähre Zahl von 3,65 beträgt die absolute Grenzabweichung 0,005.

Bei der praktischen Durchführung des Messverfahrens ist unabhängig von der Genauigkeit der Messgeräte die Richtigkeit der Methodik und Gründlichkeit
Messungen weichen die Messergebnisse vom wahren Wert der Messgröße ab, d.h. Messfehler sind unvermeidlich. Bei der Auswertung des Fehlers wird statt des wahren Wertes der reale Wert genommen; Daher kann nur eine ungefähre Schätzung des Messfehlers gegeben werden. Beurteilung der Zuverlässigkeit des Messergebnisses, d.h. Die Bestimmung des Messfehlers ist eine der Hauptaufgaben der Messtechnik.
Fehler ist die Abweichung des Messergebnisses vom wahren Wert der Messgröße. Fehler können bedingt in Fehler von Messgeräten und Fehler des Messergebnisses unterteilt werden.
Fehler von Messgeräten wurden in Kapitel 3 besprochen.
Messfehler ist eine Zahl, die die möglichen Unsicherheitsgrenzen des Wertes der gemessenen Größe angibt.
Nachfolgend wird eine Klassifizierung vorgenommen und die Fehler des Messergebnisses berücksichtigt.
Als Zahlenausdruck unterscheiden absolut und relative Fehler.
Je nach Herkunft es gibt fehler instrumental, methodisch, Lesungen und Einstellungen.
Nach den Mustern der Manifestation Messfehler werden geteilt durch systematisch, progressiv, zufällig und grob.
Betrachten wir die angezeigten Messfehler genauer.

4.1. Absolute und relative Fehler

Absoluter Fehler D ist die Differenz zwischen dem gemessenen X und dem wahren X und den Werten der gemessenen Größe. Der absolute Fehler wird in Einheiten des Messwerts ausgedrückt: D = X - Chi.
Da der wahre Wert der Messgröße nicht bestimmt werden kann, wird in der Praxis stattdessen der tatsächliche Wert der Messgröße Xd verwendet. Der tatsächliche Wert wird experimentell ermittelt, indem genügend aufgetragen wird präzise Methoden und Messgeräte. Er weicht nur wenig vom wahren Wert ab und kann stattdessen zur Lösung des Problems verwendet werden. Bei der Eichung werden in der Regel die Messwerte beispielhafter Messgeräte als Ist-Wert genommen. Daher wird der absolute Fehler in der Praxis durch die Formel D » X - Xd gefunden. Relativer Fehler d ist das Verhältnis des absoluten Messfehlers zum wahren (realen) Wert der gemessenen Größe (wird normalerweise in Prozent ausgedrückt): .

4.2. Instrumentelle und methodische Fehler,
Messwerte und Einstellungen

instrumental(Instrumenten- oder Hardware-) Fehler sind solche, die zu einem gegebenen Messgerät gehören, bei dessen Prüfung festgestellt und in dessen Pass eingetragen werden können.
Diese Fehler sind auf konstruktive und technologische Mängel von Messgeräten sowie auf deren Verschleiß, Alterung oder Fehlfunktion zurückzuführen. Instrumentelle Fehler, aufgrund der Fehler der verwendeten Messgeräte, wurden in Kapitel 3 berücksichtigt.
Neben Instrumentenfehlern treten bei Messungen jedoch auch solche Fehler auf, die diesem Gerät nicht zugeschrieben werden können, nicht in seinem Pass angegeben werden können und aufgerufen werden methodisch, jene. nicht mit dem Gerät selbst verbunden, sondern mit der Methode seiner Verwendung.
Methodische Fehler aufgrund der Unvollkommenheit der Entwicklung der Theorie der Phänomene, die der Messmethode zugrunde liegt, der Ungenauigkeiten der Beziehungen, die verwendet werden, um eine Schätzung der gemessenen Größe zu finden, und auch aufgrund der Diskrepanz zwischen der gemessenen Größe und ihrem Modell entstehen.
Betrachten Sie Beispiele, die den methodischen Messfehler veranschaulichen.
Untersuchungsgegenstand ist eine Wechselspannungsquelle, deren Amplitudenwert Äh müssen gemessen werden. Auf Basis einer Vorstudie des Untersuchungsgegenstandes wurde ein Sinusspannungsgenerator als Modell angenommen. Unter Verwendung eines Voltmeters zur Messung der Effektivwerte von Wechselspannungen und Kenntnis der Beziehung zwischen den Effektiv- und Amplitudenwerten der Sinusspannung erhalten wir das Messergebnis in der Form ähm = × UV, wo UV- Voltmeter ablesen. Eine gründlichere Untersuchung des Objekts könnte zeigen, dass die Form der gemessenen Spannung von der Sinusform abweicht und eine korrektere Beziehung zwischen dem Wert des Messwerts und dem Voltmeterwert besteht ähm =k× UV, wo k¹ . Die Unvollkommenheit des akzeptierten Modells des Untersuchungsobjekts führt also zu einem methodischen Messfehler DU= × UV-k× UV.
Dieser Fehler kann entweder durch Berechnung des Wertes reduziert werden k basierend auf der Analyse der Form der Kurve der gemessenen Spannung oder durch Ersetzen des Messgeräts durch ein Voltmeter zur Messung der Amplitudenwerte von Wechselspannungen.
Ein sehr häufiger Grund für das Auftreten methodischer Fehler ist die Tatsache, dass wir bei der Organisation von Messungen gezwungen sind, nicht den Wert zu messen (oder absichtlich zu messen), der gemessen werden sollte, sondern einen anderen, nahe, aber nicht gleich.

Ein Beispiel für einen solchen methodischen Fehler ist der Fehler bei der Spannungsmessung mit einem Voltmeter mit endlichem Widerstand (Abb. 4.1).
Da das Voltmeter den Abschnitt des Stromkreises, in dem die Spannung gemessen wird, überbrückt, stellt sich heraus, dass es niedriger ist als vor dem Anschluss des Voltmeters. Und tatsächlich wird die Spannung, die das Voltmeter anzeigt, durch den Ausdruck bestimmt U=Ich×Rv. In Anbetracht dessen, dass der Strom im Stromkreis Ich=E/(Ri+Rv), dann
< .
Daher ist dieser Fehler für dasselbe Voltmeter, das wiederum an verschiedene Abschnitte der zu untersuchenden Schaltung angeschlossen ist, unterschiedlich: In Abschnitten mit niedrigem Widerstand ist er vernachlässigbar und in Abschnitten mit hohem Widerstand kann er sehr groß sein. Dieser Fehler könnte behoben werden, wenn das Voltmeter während der gesamten Betriebsdauer des Gerätes (wie an einem Kraftwerkspanel) ständig an diesem Schaltungsabschnitt angeschlossen wäre, was aber aus vielen Gründen nachteilig ist.
Es gibt häufig Fälle, in denen es generell schwierig ist, eine Messmethode anzugeben, die methodische Fehler ausschließt. Beispielsweise soll die Temperatur heißer Barren gemessen werden, die vom Ofen zum Walzwerk kommen. Die Frage ist, wo der Temperatursensor (z. B. ein Thermoelement) platziert werden soll: unter dem Rohling, seitlich oder über dem Rohling? Wo auch immer wir es platzieren, wir werden nicht die Innentemperatur des Rohlings messen, d.h. Wir werden einen erheblichen methodischen Fehler haben, da wir nicht das messen, was benötigt wird, sondern was einfacher ist (bohren Sie keinen Kanal in jeden Rohling, um ein Thermoelement in seiner Mitte zu platzieren).
Also die Hauptsache Unterscheidungsmerkmal methodische Fehler sind die Tatsache, dass sie nicht im Gerätepass angegeben werden können, sondern vom Experimentator selbst bei der Gestaltung der gewählten Messtechnik bewertet werden müssen, daher muss er klar zwischen dem tatsächlichen unterscheiden messbar sie die Größe von gemessen werden.
Lesefehler kommt von falschen Messwerten. Sie liegt an den subjektiven Eigenschaften des Beobachters (z. B. Interpolationsfehler, d. h. ungenaues Ablesen von Teilungsbrüchen auf der Instrumentenskala) und der Art des Ablesegeräts (z. B. Parallaxenfehler). Beim Einsatz digitaler Messgeräte treten keine Zählfehler auf, was einer der Gründe für deren Erfolg versprechende Natur ist.
Installationsfehler wird durch die Abweichung der Messbedingungen vom Normalzustand verursacht, d.h. Bedingungen, unter denen die Kalibrierung und Eichung von Messgeräten durchgeführt wurde. Dazu gehören beispielsweise Fehler durch falsche Installation des Geräts im Weltraum oder dessen Zeiger auf Null, durch Änderungen der Temperatur, der Versorgungsspannung und anderer Einflussgrößen.
Die betrachteten Fehlerarten eignen sich gleichermaßen zur Charakterisierung der Genauigkeit sowohl einzelner Messergebnisse als auch von Messgeräten.

4.3. Systematische, fortschreitende, zufällige und grobe Fehler

Systematischer Messfehler Dc ist die Komponente des Messfehlers, die konstant bleibt oder sich bei wiederholten Messungen des gleichen Werts regelmäßig ändert.
Die Gründe für das Auftreten systematischer Fehler lassen sich in der Regel schon bei der Vorbereitung und Durchführung von Messungen feststellen. Diese Gründe sind sehr vielfältig: die Unvollkommenheit der verwendeten Messgeräte und -methoden, die fehlerhafte Installation des Messgeräts, der Einfluss äußerer Faktoren (Einflussgrößen) auf die Parameter der Messgeräte und auf das Messobjekt selbst, die Mängel von das Messverfahren (methodische Fehler), individuelle Eingenschaften Bediener (subjektive Fehler) usw. . Je nach Art der Manifestation werden systematische Fehler in konstante und variable Fehler unterteilt. Zu den Konstanten zählen beispielsweise Fehler durch ungenaue Einstellung des Messwerts, falsche Teilung der Instrumentenskala, falsche Installation des Instruments in Bezug auf die Richtung von Magnetfeldern usw. Variable systematische Fehler sind auf den Einfluss von Einflussgrößen auf den Messvorgang zurückzuführen und können beispielsweise auftreten, wenn sich die Spannung der Stromquelle des Geräts ändert, externe Magnetfelder, die Frequenz der gemessenen Wechselspannung usw. Die Haupt Merkmal systematischer Fehler ist, dass ihre Abhängigkeit von den Einflussgrößen einer bestimmten Gesetzmäßigkeit unterliegt. Dieses Gesetz kann untersucht werden, und das Messergebnis kann verfeinert werden, indem ggf. geändert wird Zahlenwerte diese Fehler werden ermittelt. Eine andere Möglichkeit, den Einfluss systematischer Fehler zu verringern, besteht darin, solche Messverfahren einzusetzen, die es ermöglichen, den Einfluss systematischer Fehler auszuschließen, ohne deren Werte zu bestimmen (z. B. das Substitutionsverfahren).
Je näher das Messergebnis am wahren Wert der Messgröße liegt, desto kleiner sind die verbleibenden nicht ausgeschlossenen systematischen Fehler. Das Vorhandensein ausgeschlossener systematischer Fehler bestimmt die Korrektheit von Messungen, eine Qualität, die die Nähe systematischer Fehler zu Null widerspiegelt. Das Messergebnis wird so richtig sein, wie es nicht durch systematische Fehler verfälscht wird, und je richtiger, desto kleiner sind diese Fehler.
progressiv(oder Drift) werden als unvorhersehbare Fehler bezeichnet, die sich im Laufe der Zeit langsam ändern. Diese Fehler werden in der Regel durch Alterungsprozesse bestimmter Geräteteile verursacht (Entladung von Netzteilen, Alterung von Widerständen, Kondensatoren, Verformung mechanischer Teile, Schrumpfung von Papierband in selbstaufzeichnenden Instrumenten usw.). Progressive Fehler zeichnen sich dadurch aus, dass sie korrigiert werden können, indem nur zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Korrektur eingeführt wird, und dann wieder unvorhersehbar zunehmen. Im Gegensatz zu systematischen Fehlern, die durch eine einmal gefundene Korrektur für die gesamte Lebensdauer des Geräts korrigiert werden können, erfordern progressive Fehler daher eine kontinuierliche Wiederholung der Korrektur, und je öfter, desto kleiner sollte ihr Restwert sein. Eine weitere Eigenschaft progressiver Fehler ist, dass ihre zeitliche Veränderung ein nichtstationärer Zufallsprozess ist und sie daher im Rahmen einer gut entwickelten Theorie stationärer Zufallsprozesse nur bedingt beschreibbar sind.
Zufälliger Messfehler ist der Anteil des Messfehlers, der sich bei wiederholten Messungen derselben Größe zufällig ändert. Zufällige Fehler können in Wert und Vorzeichen nicht bestimmt werden, sie können aufgrund ihrer chaotischen Veränderung durch den gleichzeitigen Einfluss verschiedener voneinander unabhängiger Faktoren auf das Messergebnis nicht direkt berücksichtigt werden. Zufällige Fehler werden bei Mehrfachmessungen derselben Größe (Einzelmessungen werden in diesem Fall als Beobachtungen bezeichnet) durch dieselben Messgeräte unter denselben Bedingungen durch denselben Beobachter, d.h. bei gleichgenauen (äquidispersen) Messungen. Der Einfluss zufälliger Fehler auf das Messergebnis wird durch Methoden der mathematischen Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie berücksichtigt.
Grobe Messfehler - zufällige Messfehler, die deutlich über den unter den gegebenen Fehlerbedingungen zu erwartenden liegen.
Grobe Fehler (Miss) werden normalerweise durch falsche Messwerte auf dem Instrument, einen Fehler bei der Aufzeichnung von Beobachtungen, das Vorhandensein einer stark beeinflussenden Größe, eine Fehlfunktion von Messgeräten und andere Gründe verursacht. Grobe Fehler enthaltende Messergebnisse werden in der Regel nicht berücksichtigt, grobe Fehler wirken sich also kaum auf die Messgenauigkeit aus. Einen Fehler zu finden ist nicht immer einfach, besonders bei einer Einzelmessung; Es ist oft schwierig, einen groben Fehler von einem großen Zufallsfehler zu unterscheiden. Wenn grobe Fehler üblich sind, werden wir alle Messergebnisse in Zweifel ziehen. Daher beeinträchtigen grobe Fehler die Gültigkeit von Messungen.
Zum Schluss der beschriebenen Aufteilung der Fehler der Mittelwerte und Messergebnisse in zufällige, progressive und systematische Komponenten muss beachtet werden, dass eine solche Aufteilung eine sehr vereinfachte Methode ihrer Analyse ist. Daher sollte immer daran erinnert werden, dass diese Komponenten des Fehlers in Wirklichkeit zusammen auftreten und einen einzigen nichtstationären Zufallsprozess bilden. In diesem Fall kann der Fehler des Messergebnisses als Summe aus zufälligen und systematischen Dc-Fehlern dargestellt werden: D = Dc +. Die Messfehler enthalten eine Zufallskomponente, daher sollte sie als Zufallsvariable betrachtet werden.
Die Betrachtung der Art der Manifestation von Messfehlern zeigt uns, dass uns die Wahrscheinlichkeitstheorie und die mathematische Statistik den einzig richtigen Weg zur Bewertung von Fehlern bieten.

4.4. Probabilistischer Ansatz zur Beschreibung von Fehlern

Gesetze der Verteilung zufälliger Fehler. Zufällige Fehler werden während einer Reihe von Messungen des gleichen Werts erkannt. In diesem Fall stimmen die Messergebnisse in der Regel nicht überein, da aufgrund des Gesamteinflusses vieler unterschiedlicher Faktoren, die nicht berücksichtigt werden können, jede neue Messung auch einen neuen Zufallswert der Messgröße ergibt. Beim richtiges Verhalten Messungen, einer ausreichenden Anzahl von ihnen und dem Ausschluss systematischer Fehler und Fehlschläge kann argumentiert werden, dass der wahre Wert der gemessenen Größe nicht über die bei diesen Messungen erhaltenen Werte hinausgeht. Er bleibt unbekannt, bis der theoretisch wahrscheinliche Wert des Zufallsfehlers bestimmt ist.
Lassen Sie den Wert von A messen P mal und beobachtete die Werte a1, a2, a3,…,a ich,...,ein. Der zufällige absolute Fehler einer einzelnen Messung wird durch die Differenz bestimmt
Di = ai - A . (4.1)
Grafisch sind die Ergebnisse der Einzelmessungen in den Abb. 3 und 4 dargestellt. 4.2.
Für eine ausreichend große Anzahl P dieselben Fehler werden wiederholt, wenn sie mehrere diskrete Werte haben, und daher ist es möglich, die relative Häufigkeit (Häufigkeit) ihres Auftretens festzustellen, d. h. das Verhältnis der Anzahl empfangener identischer Daten mi zu Gesamtzahl Messungen vorgenommen P. Im weiteren Verlauf der Messungen werden die Mengen SONDERN Diese Frequenz ändert sich nicht, daher kann sie als Wahrscheinlichkeit eines Fehlers bei diesen Messungen betrachtet werden: p(KI) = mi / n.

Die statistische Abhängigkeit der Auftrittswahrscheinlichkeit zufälliger Fehler von ihrem Wert wird genannt Fehlerverteilungsgesetz bzw Wahrscheinlichkeitsverteilungsgesetz. Dieses Gesetz bestimmt die Art des Auftretens verschiedener Ergebnisse einzelner Messungen. Es gibt zwei Arten der Beschreibung von Verteilungsgesetzen: Integral- und Differential.
Integrales Gesetz, oder WahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionF( D ) zufälliger Fehler Di ini-ten Erfahrung, nennen sie eine Funktion, deren Wert für jedes D die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist R(D), was darin besteht, dass der Zufallsfehler Di Werte annimmt, die kleiner als ein gewisser Wert D sind, d.h. Funktion F( D ) = P[ Di < D ]. Wenn sich D von -¥ auf +¥ ändert, nimmt diese Funktion Werte von 0 bis 1 an und nimmt nicht ab. Es existiert für alle Zufallsvariablen, sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche (Abbildung 4.3 a).
Wenn ein F(D) symmetrisch um einen Punkt SONDERN, entsprechende Wahrscheinlichkeit 0,5, dann ist die Verteilung der Beobachtungsergebnisse symmetrisch zum wahren Wert SONDERN. In diesem Fall ist es ratsam F(D) Verschiebung entlang der Abszisse um den Wert DA, d.h. die systematische Komponente des Fehlers ausschließen (DA =DC) und erhalten Sie die Verteilungsfunktion der Zufallskomponente des Fehlers D=(Abb. 4.3 b). FehlerwahrscD unterscheidet sich von der Wahrscdes Zufallsanteils des Fehlers nur durch eine Verschiebung entlang der Abszissenachse um den Wert des systematischen Anteils des Fehlers Gleichstrom.
Differentialgesetz Wahrscheinlichkeitsverteilungen für einen zufälligen Fehler mit stetiger und differenzierbarer Verteilungsfunktion F(D) Rufen Sie die Funktion auf . Diese Abhängigkeit ist Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte. Ein Wkann haben andere Form nach dem Gesetz der Fehlerverteilung. Für F(D) in Abb. gezeigt. 4.3 b, Verteilungskurve f(D) hat eine Form, die der Form einer Glocke nahe kommt (Abb. 4.3 c).
Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens zufälliger Fehler wird durch die von der Kurve begrenzte Fläche bestimmt f(D) oder dessen Teil und die x-Achse (Abb. 4.3 c). Abhängig vom betrachteten Fehlerintervall .

Bedeutung f(D)dD Es gibt ein Wahrscheinlichkeitselement, das der Fläche eines Rechtecks ​​​​mit einer Basis entspricht dD und Abszisse D1,D2, Quantile genannt. Als F(+¥)= 1, dann die Gleichheit ,
jene. Bereich unter der Kurve f(D) nach der Normalisierungsregel ist sie gleich eins und gibt die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse wieder.
In der Praxis elektrischer Messungen ist eines der häufigsten Verteilungsgesetze für zufällige Fehler normales Gesetz(Gauß).
mathematischer Ausdruck normales Gesetz hat die Form
,
wo f(D)- Wahrscheinlichkeitsdichte des zufälligen Fehlers D = einich-EIN; s - Standardabweichung. Die Standardabweichung kann als zufällige Abweichung der Beobachtungsergebnisse Di ausgedrückt werden (siehe Formel (4.1)):
.
Die Art der durch diese Gleichung beschriebenen Kurven für zwei Werte von s ist in Abb. 4.4. Aus diesen Kurven ist ersichtlich, dass je kleiner s ist, desto häufiger treten kleine Zufallsfehler auf, d.h. desto genauer die Messungen. In der Messpraxis gibt es andere Verteilungsgesetze, die auf der Grundlage statistischer Verarbeitung aufgestellt werden können.

Versuchsdaten. Einige der gebräuchlichsten Verteilungsgesetze sind in GOST 8.011-84 "Indikatoren für die Messgenauigkeit und Formen der Darstellung von Messergebnissen" angegeben.
Die Hauptmerkmale der Verteilungsgesetze sind erwarteter Wert und Streuung.
Mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen ist sein Wert, um den die Ergebnisse der einzelnen Beobachtungen gruppiert werden. Mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen M[X] ist definiert als die Summe der Produkte aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen durch die Wahrscheinlichkeit dieser Werte .
Für stetige Zufallsvariablen muss man auf Integration zurückgreifen, wofür man die Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeitsdichte kennen muss X, d.h. f(x), wo x=D. Dann .
Dieser Ausdruck bedeutet, dass die mathematische Erwartung gleich der Summe unendlich vieler Produkte aller möglichen Werte der Zufallsvariablen ist Xüber unendlich kleine Flächen f(x)dx, wo f(x) - Ordinaten für jeden X, a dx- elementare Segmente der x-Achse.
Bei einer Normalverteilung zufälliger Fehler ist der mathematische Erwartungswert des zufälligen Fehlers Null (Abb. 4.4). Wenn wir die Normalverteilung der Ergebnisse betrachten, entspricht die mathematische Erwartung dem wahren Wert der gemessenen Größe, den wir mit bezeichnen A.
Der systematische Fehler ist in diesem Fall die Abweichung mathematische Erwartung Beobachtungsergebnisse vom wahren Wert SONDERN Messwert: Dc = M[X]-EIN, und der zufällige Fehler ist die Differenz zwischen dem Ergebnis einer einzelnen Beobachtung und der mathematischen Erwartung: .
Die Streuung einer Reihe von Beobachtungen charakterisiert den Grad der Streuung (Streuung) der Ergebnisse einzelner Beobachtungen um die mathematische Erwartung:
D[X] =Dx=M[(ai-mx)2].
Je kleiner die Varianz, desto geringer die Streuung der Einzelergebnisse, desto genauer die Messungen. Die Streuung wird jedoch in Einheiten pro Quadrat der gemessenen Größe ausgedrückt. Als Maß für die Genauigkeit einer Beobachtungsreihe wird daher am häufigsten die Standardabweichung (RMS) verwendet, gleich der Wurzel zum Quadrat der Streuung: .
Die betrachtete Normalverteilung von Zufallsvariablen, einschließlich zufälliger Fehler, ist theoretisch, daher sollte die beschriebene Normalverteilung als „ideal“ angesehen werden, d.h. als theoretische Basis zufällige Fehler und deren Einfluss auf das Messergebnis zu untersuchen.
Außerdem werden Möglichkeiten zur Anwendung dieser Verteilung in der Praxis mit unterschiedlichen Annäherungsgraden skizziert. Es wird auch eine andere Verteilung (Studentenverteilung) betrachtet, die für kleine Beobachtungszahlen verwendet wird.
Schätzungen von Fehlern in den Ergebnissen direkter Messungen. Lass es halten P direkte Messungen der gleichen Menge. Im Allgemeinen ist der Fehler bei jedem Messvorgang unterschiedlich:
Dich =ai-EIN,
wobei Di der Fehler der i-ten Messung ist; ai- Ergebnis der i-ten Messung.
Da der wahre Wert der gemessenen Größe EIN unbekannt ist, kann der zufällige absolute Fehler nicht direkt berechnet werden. In praktischen Berechnungen statt EIN Verwenden Sie seine Punktzahl. Es wird normalerweise angenommen, dass der wahre Wert ist das arithmetische Mittel einer Messreihe:
. (4.2)
wo aich- Ergebnisse einzelner Messungen; P - Anzahl der Messungen.
Nun können wir ähnlich wie in Ausdruck (4.1) die Abweichung des Ergebnisses jeder Messung vom Mittelwert bestimmen :
(4.3)
wo v ich- Abweichung des Ergebnisses einer Einzelmessung vom Mittelwert. Es sei daran erinnert, dass die Summe der Abweichungen des Messergebnisses vom Mittelwert Null ist und die Summe ihrer Quadrate minimal ist, d.h.
und mind.
Diese Eigenschaften werden bei der Verarbeitung von Messergebnissen verwendet, um die Korrektheit von Berechnungen zu kontrollieren.
Berechnen Sie dann die Wertschätzung mittlerer quadratischer Fehler für eine bestimmte Messreihe

. (4.4)
Nach der Wahrscheinlichkeitstheorie ist für eine ausreichend große Anzahl von Messungen mit unabhängigen zufälligen Fehlern die Schätzung S konvergiert in der Wahrscheinlichkeit zu s. Auf diese Weise,

. (4.5)
Da das arithmetische Mittel ebenfalls eine Zufallsvariable ist, ist das Konzept der Standardabweichung des arithmetischen Mittels sinnvoll. Dieser Wert wird durch das Symbol sav gekennzeichnet. Man kann das für unabhängige Fehler zeigen
. (4.6)
Der Wert von sav charakterisiert den Ausbreitungsgrad . Wie oben erwähnt, dient als Schätzung des wahren Werts des Messwerts, d.h. ist das Endergebnis der durchgeführten Messungen. Daher wird sav auch als mittlerer quadratischer Fehler des Messergebnisses bezeichnet.
In der Praxis wird der nach Formel (4.5) berechnete Wert von s verwendet, wenn es notwendig ist, die Genauigkeit des verwendeten Messverfahrens zu charakterisieren: Ist das Verfahren genau, dann ist die Streuung der Ergebnisse einzelner Messungen gering, d.h. wenig s-Wert . Der Wert von sp , berechnet nach (4.6) wird verwendet, um die Genauigkeit des Messergebnisses einer bestimmten Größe zu charakterisieren, d.h. das Ergebnis, das durch mathematische Verarbeitung der Ergebnisse einer Anzahl einzelner direkter Messungen erhalten wird.
Bei der Auswertung der Messergebnisse wird das Konzept manchmal verwendet maximal oder Fehlergrenze, deren Wert in Anteilen von s oder S bestimmt wird. Derzeit gibt es unterschiedliche Kriterien Festlegen des maximalen Fehlers, d. h. der Grenzen des Toleranzfeldes ± D, in das zufällige Fehler passen müssen. Die Definition des maximalen Fehlers D = 3s (oder 3 S). BEIM In letzter Zeit basierend Informationstheorie Messungen empfiehlt Professor P. V. Novitsky, den Wert D = 2s zu verwenden.
Wir führen nun wichtige Konzepte ein Vertrauensniveau und Konfidenzintervall. Wie oben erwähnt, das arithmetische Mittel , als Ergebnis einiger Messreihen erhalten, ist eine Schätzung des wahren Wertes SONDERN und stimmt in der Regel nicht damit überein, sondern unterscheidet sich durch den Wert des Fehlers. Lassen Rd es besteht die Möglichkeit, dass unterscheidet sich von SONDERN höchstens D, d.h. R(-D< SONDERN< + D)=Rd. Wahrscheinlichkeit Rd namens Konfidenzwahrscheinlichkeit, und den Wertebereich des Messwertes aus - D zu + D- Konfidenzintervall.
Die obigen Ungleichungen bedeuten das mit Wahrscheinlichkeit Rd Konfidenzintervall von - D zu + D enthält die wahre Bedeutung SONDERN. Um den Zufallsfehler vollständig zu charakterisieren, sind also zwei Zahlen erforderlich - die Konfidenzwahrscheinlichkeit und das ihr entsprechende Konfidenzintervall. Ist das Verteilungsgesetz der Irrtumswahrscheinlichkeiten bekannt, so kann aus einer gegebenen Konfidenzwahrscheinlichkeit ein Konfidenzintervall bestimmt werden. Insbesondere für eine ausreichend große Anzahl von Messungen ist es oft gerechtfertigt, das Normalgesetz zu verwenden, während für eine kleine Anzahl von Messungen (P< 20), deren Ergebnisse zur Normalverteilung gehören, sollte die Student-Verteilung verwendet werden. Diese Verteilung hat eine Wahrscheinlichkeitsdichte, die praktisch mit der normalen für große übereinstimmt P, aber deutlich anders als normal bei klein P.
Im Tisch. 4.1 zeigt die sogenannten Quantile der Student-Verteilung ½ t(n)½ Rd für die Anzahl der Messungen P= 2 - 20 und Konfidenzwahrscheinlichkeiten R = 0,5 - 0,999.
Wir weisen jedoch darauf hin, dass in der Regel keine studentischen Verteilungstabellen für Werte angegeben werden P und Straße, und für Werte m =n-1 und a \u003d 1 - Rd, was bei der Verwendung zu beachten ist. Zur Bestimmung des Konfidenzintervalls sind die Daten erforderlich P und Rd Finde Quantil ½ t(n)½Rd und berechne die Werte Ein = - sp× ½ t(n)½Rdi Ein V = + sp× ½ t(n)½Rd, die die untere und obere Grenze des Konfidenzintervalls darstellen.

Nachdem die Konfidenzintervalle für eine gegebene Konfidenzwahrscheinlichkeit gemäß der obigen Methodik ermittelt wurden, wird das Messergebnis in das Formular eingetragen ; D=Dн¸ DV; Rd,
wo - Bewertung des wahren Werts des Messergebnisses in Einheiten des Messwerts; D - Messfehler; Dâ = + sp× ½ t(n)½Рд und Dн = - sp× ½ t(n)½Rd - Ober- und Untergrenze des Messfehlers; Rd - Konfidenzwahrscheinlichkeit.

Tabelle 4.1

Abschätzung von Fehlern in den Ergebnissen indirekter Messungen. Bei indirekten Messungen der gewünschte Wert SONDERN in funktionalem Zusammenhang mit einer oder mehreren direkt gemessenen Größen: X,j,..., t. Betrachten Sie den einfachsten Fall der Bestimmung des Fehlers für eine Variable, wenn EIN= F(x). Bezeichnet den absoluten Messfehler der Größe X durch ±Dx erhalten wir A+ D EIN= F(x± D x).
Entwickeln wir die rechte Seite dieser Gleichheit zu einer Taylor-Reihe und vernachlässigen die Erweiterungsterme, die Dx zu einer höheren Potenz als der ersten enthalten, erhalten wir
A+DA » F(x) ± Dx oder DA » ± Dx.
Der relative Messfehler der Funktion wird aus dem Ausdruck ermittelt
.
Wenn der gemessene Wert SONDERN ist eine Funktion mehrerer Variablen: A=F(x,y,...,t), dann der absolute Fehler des Ergebnisses indirekter Messungen
.
Partielle relative Fehler der indirekten Messung werden durch die Formeln bestimmt ; usw. Relativer Fehler des Messergebnisses
.
Lassen Sie uns auch auf die Merkmale der Schätzung des Ergebnisses einer indirekten Messung bei Vorhandensein eines zufälligen Fehlers eingehen.
Schätzung des zufälligen Fehlers der Ergebnisse indirekter Größenmessungen SONDERN wir nehmen an, dass die systematischen Fehler in den Messungen der Größen x, y,…, t ausgeschlossen sind und zufällige Fehler bei der Messung gleicher Größen nicht voneinander abhängen.
Bei indirekten Messungen wird der Wert der gemessenen Größe durch die Formel gefunden ,
wo sind die durchschnittlichen oder gewichteten Durchschnittswerte der Mengen x, y,…, t .
Zur Berechnung der Standardabweichung des Messwerts SONDERN Es ist ratsam, die bei Messungen erhaltenen Standardabweichungen zu verwenden x, y,…, t .
BEIM Gesamtansicht Zur Bestimmung der Standardabweichung s der indirekten Messung wird folgende Formel verwendet:
, (4.7)
wo Dx ;Dy ;…;Dt- die sogenannten partiellen Fehler der indirekten Messung ; ; …; ; ; ; … ; — partielle Ableitungen SONDERN An x, y,…, t ;sx; sy ,…,st, …— Standardabweichungen der Messergebnisse x, y,…, t .
Betrachten wir einige Sonderfälle der Anwendung von Gleichung (4.7), wenn die funktionale Abhängigkeit zwischen indirekt und direkt gemessenen Größen durch die Formel ausgedrückt wird A=k× xa× jb× zg , wo k- numerischer Koeffizient (dimensionslos).
Formel (4.7) nimmt in diesem Fall folgende Form an:
.
Wenn ein ein =b=g = 1 und A=k× x× j× z, dann wird die relative Fehlerformel zur Form vereinfacht .
Diese Formel ist beispielsweise anwendbar, um die Standardabweichung einer Volumenmessung aus den Höhen-, Breiten- und Tiefenmessungen eines quaderförmigen Tanks zu berechnen.

4.5. Regeln für die Summierung von zufälligen und systematischen Fehlern
Der Fehler komplexer Messgeräte hängt von den Fehlern seiner einzelnen Knoten (Blöcke) ab. Fehler werden nach bestimmten Regeln zusammengefasst.
Lassen Sie beispielsweise das Messgerät bestehen aus m Blöcke, von denen jeder unabhängige Zufallsfehler aufweist. Gleichzeitig werden die absoluten Werte des quadratischen Mittelwertes sk oder Maximum Mk Fehler für jeden Block.
Arithmetische Summierung oder gibt den maximalen Fehler des Geräts an, der eine vernachlässigbare Wahrscheinlichkeit hat und daher selten zur Beurteilung der Genauigkeit des Geräts als Ganzes verwendet wird. Nach der Fehlertheorie sind die resultierenden Fehler sres und Mrez bestimmt durch quadratische Addition oder .
Der resultierende relative Messfehler wird analog ermittelt: . (4.8)
Gleichung (4.8) kann verwendet werden, um die zulässigen Fehler einzelner Blöcke von in der Entwicklung befindlichen Geräten mit einem gegebenen Gesamtmessfehler zu bestimmen. Beim Entwerfen eines Geräts werden ihnen normalerweise gleiche Fehler für die einzelnen darin enthaltenen Blöcke gegeben. Wenn es mehrere Fehlerquellen gibt, die das Endergebnis der Messung unterschiedlich beeinflussen (oder das Gerät aus mehreren Blöcken mit unterschiedlichen Fehlern besteht), sollten Gewichtungsfaktoren in Formel (4.8) eingeführt werden. Ki :
, (4.9)
wobei d1, d2, …, dm die relativen Fehler einzelner Knoten (Blöcke) sind Messgerät; k1,k2, … ,km- Koeffizienten, die den Grad des Einflusses des zufälligen Fehlers dieses Blocks auf das Messergebnis berücksichtigen.
Wenn das Messgerät (oder seine Blöcke) auch systematische Fehler hat, wird der Gesamtfehler durch deren Summe bestimmt: Der gleiche Ansatz gilt für mehr Komponenten.
Bei der Bewertung des Einflusses partieller Fehler ist zu berücksichtigen, dass die Genauigkeit von Messungen hauptsächlich von betragsmäßig großen Fehlern abhängt und einige der kleinsten Fehler überhaupt vernachlässigt werden können. Teilfehler wird auf der Grundlage der sogenannten geschätzt das Kriterium des vernachlässigbaren Fehlers, das ist wie folgt. Nehmen wir an, dass der Gesamtfehler dres durch Formel (4.8) unter Berücksichtigung aller bestimmt wird m Teilfehler, unter denen einige Fehler di einen kleinen Wert haben. Weicht der ohne Berücksichtigung des Fehlers di berechnete Gesamtfehler d¢res um nicht mehr als 5 % von dres ab, d.h. drez-d¢rez< 0,05×dрез или 0,95×dрезIn der Praxis technischer Berechnungen wird häufig ein weniger strenges Kriterium verwendet - in diese Formeln wird ein Koeffizient von 0,4 eingeführt.

4.6. Formen der Darstellung von Messergebnissen

Das Ergebnis einer Messung ist nur dann wertvoll, wenn ihr Unsicherheitsintervall abgeschätzt werden kann, d.h. Maß an Zuverlässigkeit. Daher muss das Messergebnis den Wert der gemessenen Größe und die Eigenschaften der Genauigkeit dieses Werts enthalten, bei denen es sich um systematische und zufällige Fehler handelt. Quantitative Fehlerindikatoren, Methoden ihrer Darstellung sowie Formen der Darstellung von Messergebnissen werden von GOST 8.011-72 „Indikatoren für die Messgenauigkeit und Formen der Darstellung von Messergebnissen“ geregelt. Betrachten wir die Hauptformen der Darstellung von Messergebnissen.
Der Fehler des Ergebnisses einer direkten Einzelmessung hängt von vielen Faktoren ab, wird aber in erster Linie durch den Fehler der verwendeten Messgeräte bestimmt. Daher kann in erster Näherung der Fehler des Messergebnisses gleichgesetzt werden
Fehler, der an einem bestimmten Punkt im Messbereich das verwendete Messgerät charakterisiert.
Fehler von Messgeräten variieren im Messbereich. Daher ist es in jedem Fall für jede Messung erforderlich, den Fehler des Messergebnisses mit den Formeln (3.19) - (3.21) zur Normierung des Fehlers des entsprechenden Messgeräts zu berechnen. Es sollten sowohl die absoluten als auch die relativen Fehler des Messergebnisses berechnet werden, da der erste für die Rundung des Ergebnisses und seine korrekte Erfassung und der zweite für ein eindeutiges Vergleichsmerkmal seiner Genauigkeit benötigt wird.
Für verschiedene Merkmale der SI-Fehlernormalisierung werden diese Berechnungen auf unterschiedliche Weise durchgeführt, also betrachten wir drei typische Fälle.
1. Die Geräteklasse wird als einzelne Zahl angegeben q, im Kreis eingeschlossen. Dann ist der relative Fehler des Ergebnisses (in Prozent) g = q, und sein absoluter Fehler D x=q× x/ 100.
2. Die Klasse des Geräts wird durch eine Zahl angegeben p(kein Kreis). Dann der absolute Fehler des Messergebnisses D x=p× xk / 100 wo xk- Die Messgrenze, an der es durchgeführt wurde, und der relative Messfehler (in Prozent) wird durch die Formel gefunden ,
d.h. in diesem Fall beim Messen, außer zum Ablesen des Messwertes X muss festgelegt werden und die Grenze der Messungen xk, Andernfalls ist es nicht möglich, den Fehler des Ergebnisses später zu berechnen.
3. Die Geräteklasse wird im Formular durch zwei Zahlen angegeben CD. In diesem Fall ist es bequemer, den relativen Fehler zu berechnen d Ergebnis nach Formel (3.21), und finden Sie erst dann den absoluten Fehler als Dx=d× x/100.
Nach Durchführung der Fehlerberechnungen wird eines der Formulare zur Darstellung des Messergebnisses in folgender Form verwendet: X;± D und d, wo X- Messwert; D- absoluter Messfehler; d-relativer Messfehler. Beispielsweise wird folgender Eintrag gemacht: „Die Messung wurde mit einem relativen Fehler durchgeführt d= … %. Messwert x = (A± D), wo SONDERN- Messergebnis.
Deutlicher ist es jedoch, die Grenzen des Unsicherheitsintervalls des Messwerts in der Form anzugeben: x = (EIN-D)¸(A+D) oder (EIN-D)< х < (A+D) Angabe der Maßeinheiten.
Eine andere Form der Darstellung des Messergebnisses wird wie folgt eingestellt: X; D aus Dн Vor DV; R, wo X- Messergebnis in Einheiten der gemessenen Größe; D,Dн,DV- jeweils der Messfehler mit Unter- und Obergrenze in gleichen Einheiten; R- die Wahrscheinlichkeit, mit der der Messfehler innerhalb dieser Grenzen liegt.
GOST 8.011-72 erlaubt auch andere Formen der Darstellung von Messergebnissen, die sich von den oben genannten Formen dadurch unterscheiden, dass sie die Merkmale der systematischen und zufälligen Komponenten des Messfehlers getrennt angeben. Gleichzeitig werden für den systematischen Fehler seine probabilistischen Eigenschaften angegeben. In diesem Fall sind die Hauptmerkmale des systematischen Fehlers der mathematische Erwartungswert M [ Dxc], Standardabweichungen[ Dxc] und sein Konfidenzintervall. Eine Trennung des systematischen und zufälligen Anteils des Fehlers ist sinnvoll, wenn das Messergebnis in der weiteren Datenverarbeitung verwendet wird, z. B. bei der Ermittlung des Ergebnisses indirekter Messungen und der Bewertung seiner Genauigkeit, bei der Summierung von Fehlern usw.

Jede der in GOST 8.011-72 vorgesehenen Formen der Darstellung des Messergebnisses muss die erforderlichen Daten enthalten, auf deren Grundlage das Konfidenzintervall für den Fehler des Messergebnisses bestimmt werden kann. Im allgemeinen Fall kann ein Konfidenzintervall aufgestellt werden, wenn die Form des Fehlerverteilungsgesetzes und die wichtigsten numerischen Eigenschaften dieses Gesetzes bekannt sind.

Das wichtigste qualitative Merkmal jedes Instrumentensensors ist der Messfehler des gesteuerten Parameters. Der Messfehler des Instruments ist der Betrag der Diskrepanz zwischen dem, was der Instrumentensensor anzeigt (gemessen) und dem, was er tatsächlich ist. Der Messfehler des jeweiligen Sensortyps ist in der Begleitdokumentation (Pass, Bedienungsanleitung, Eichprozedur) angegeben, die diesem Sensor beiliegt.

Je nach Darstellungsform werden die Fehler eingeteilt in absolut, relativ und gegeben Fehler.

Absoluter Fehler- Dies ist die Differenz zwischen dem vom Sensor gemessenen Wert von Hism und dem tatsächlichen Wert Xd dieses Werts.

Der tatsächliche Wert Xd der gemessenen Größe ist der experimentell gefundene Wert der gemessenen Größe so nah wie möglich an ihrem wahren Wert. Einfach ausgedrückt ist der tatsächliche Wert von Xd der von einem Referenzinstrument gemessene oder von einem Kalibrator erzeugte Wert oder ein hochpräziser Sollwert. Der absolute Fehler wird in denselben Einheiten wie der Messwert ausgedrückt (z. B. m3/h, mA, MPa usw.). Da der gemessene Wert entweder größer oder kleiner als sein tatsächlicher Wert sein kann, kann der Messfehler entweder mit einem Pluszeichen (das Instrument zeigt zu hohe Werte an) oder mit einem Minuszeichen (das Instrument unterschätzt) angegeben werden.

Relativer Fehler ist das Verhältnis des absoluten Messfehlers Δ zum tatsächlichen Wert Xd der Messgröße.

Der relative Fehler wird in Prozent ausgedrückt oder ist eine dimensionslose Größe und kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen.

Reduzierter Fehler ist das Verhältnis des absoluten Messfehlers Δ zum Normwert Xn, der über den gesamten Messbereich oder einen Teil davon konstant ist.

Der Normierungswert Xn hängt von der Art der Instrumentensensorskala ab:

1. Wenn die Sensorskala einseitig ist und die untere Messgrenze Null ist (z. B. die Sensorskala von 0 bis 150 m3/h), dann wird Xn gleich der oberen Messgrenze genommen (in unserem Fall Xn = 150 m3/h).
2. Wenn die Sensorskala einseitig ist, aber die untere Messgrenze ungleich Null ist (zB die Sensorskala reicht von 30 bis 150 m3/h), dann wird Xn gleich der Differenz zwischen dem oberen und unteren Messwert genommen Grenzen (in unserem Fall Xn = 150-30 = 120 m3/h ).
3. Wenn die Sensorskala zweiseitig ist (z. B. von -50 bis +150 ˚С), dann ist Хn gleich der Breite des Sensormessbereichs (in unserem Fall Хn = 50+150 = 200 ˚С).

Der angegebene Fehler wird in Prozent ausgedrückt oder ist ein dimensionsloser Wert und kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen.

Nicht selten wird in der Beschreibung eines bestimmten Sensors nicht nur der Messbereich angegeben, beispielsweise von 0 bis 50 mg/m3, sondern auch der Ablesebereich, beispielsweise von 0 bis 100 mg/m3. Der angegebene Fehler ist in diesem Fall auf das Ende des Messbereichs, also auf 50 mg/m3, normiert, und im Anzeigebereich von 50 bis 100 mg/m3 wird der Messfehler des Sensors überhaupt nicht bestimmt - Tatsächlich kann der Sensor alles anzeigen und jeden Messfehler haben. Der Messbereich des Sensors kann in mehrere Teilmessbereiche unterteilt werden, für die jeweils ein eigener Fehler sowohl in der Größe als auch in der Darstellungsform bestimmt werden kann. Gleichzeitig können bei der Kalibrierung solcher Sensoren für jeden Teilbereich eigene beispielhafte Messgeräte verwendet werden, deren Liste im Kalibrierverfahren für dieses Gerät angegeben ist.

Bei manchen Geräten ist in den Pässen statt des Messfehlers die Genauigkeitsklasse angegeben. Zu diesen Instrumenten gehören mechanische Manometer, die Bimetallthermometer, Thermostate, Durchflussmesser, Zeigeramperemeter und Voltmeter für den Schalttafeleinbau usw. anzeigen. Die Genauigkeitsklasse ist ein allgemeines Merkmal von Messgeräten, das durch die Grenzen zulässiger Grund- und Zusatzfehler sowie eine Reihe anderer Eigenschaften bestimmt wird, die die Genauigkeit der mit ihrer Hilfe durchgeführten Messungen beeinflussen. Gleichzeitig ist die Genauigkeitsklasse kein direktes Merkmal der Genauigkeit der mit diesem Gerät durchgeführten Messungen, sondern weist nur auf einen möglichen instrumentellen Anteil des Messfehlers hin. Die Genauigkeitsklasse des Geräts wird gemäß GOST 8.401-80 auf seine Waage oder sein Gehäuse angewendet.

Bei der Zuordnung einer Genauigkeitsklasse zu einem Gerät wird diese aus dem Bereich 1·10 n ausgewählt; 1,5 10n; (1,6 10n); 2 10n; 2,5 10n; (3 10n); 4 10n; 5 10n; 6 10n; (wobei n = 1, 0, -1, -2 usw.). Die in Klammern angegebenen Werte der Genauigkeitsklassen sind für neu entwickelte Messgeräte nicht etabliert.

Die Bestimmung des Messfehlers von Sensoren erfolgt beispielsweise während ihrer periodischen Überprüfung und Kalibrierung. Mit Hilfe verschiedener Einsteller und Kalibratoren werden bestimmte Werte einer bestimmten physikalischen Größe mit hoher Genauigkeit generiert und die Messwerte des verifizierten Sensors mit den Messwerten eines beispielhaften Messgeräts verglichen, an dem der gleiche Wert der physikalischen Größe liegt ist versorgt. Darüber hinaus wird der Messfehler des Sensors sowohl während des Vorwärtshubs (Erhöhung der gemessenen physikalischen Größe vom Minimum zum Maximum der Skala) als auch während des Rückwärtshubs (Reduzierung des Messwerts vom Maximum zum Minimum) kontrolliert die Skala). Dies liegt daran, dass aufgrund der elastischen Eigenschaften des empfindlichen Elements des Sensors (Drucksensormembran), unterschiedlicher Intensität chemischer Reaktionen (elektrochemischer Sensor), thermischer Trägheit usw. Die Sensormesswerte sind unterschiedlich, je nachdem, wie sich die auf den Sensor einwirkende physikalische Größe ändert: abnimmt oder zunimmt.

Sehr oft muss gemäß dem Eichverfahren das Ablesen der Sensormesswerte während des Eichvorgangs nicht nach seiner Anzeige oder Skala erfolgen, sondern nach dem Wert des Ausgangssignals, beispielsweise nach dem Wert des Ausgangsstroms des Stromausgangs 4 ... 20 mA.

Bei einem kalibrierten Drucksensor mit einer Messskala von 0 bis 250 mbar beträgt der relative Hauptmessfehler über den gesamten Messbereich 5 %. Der Sensor hat einen Stromausgang von 4…20 mA. Der Kalibrator beaufschlagt den Sensor mit einem Druck von 125 mbar, sein Ausgangssignal beträgt 12,62 mA. Es muss festgestellt werden, ob die Sensormesswerte innerhalb akzeptabler Grenzen liegen.

Zunächst muss berechnet werden, wie hoch der Ausgangsstrom des Sensors Iout.t bei einem Druck Pt = 125 mbar sein soll.

Iout.t \u003d Ish.out.min + ((Ish.out.max - Ish.out.min) / (Rsh.max - Rsh.min)) * Pt

wobei Iout.t der Ausgangsstrom des Sensors bei einem gegebenen Druck von 125 mbar, mA ist.

Ish.out.min – minimaler Sensorausgangsstrom, mA. Bei einem Sensor mit einem Ausgang von 4…20 mA ist Ish.out.min = 4 mA, bei einem Sensor mit einem Ausgang von 0…5 oder 0…20 mA ist Ish.out.min = 0.

Ish.out.max - maximaler Ausgangsstrom des Sensors, mA. Für einen Sensor mit einem Ausgang von 0…20 oder 4…20 mA ist Ish.out.max = 20 mA, für einen Sensor mit einem Ausgang von 0…5 mA ist Ish.out.max = 5 mA.

Psh.max - maximale Skala des Drucksensors, mbar. Rsh.max = 250 mbar.

Psh.min - minimale Drucksensorskala, mbar. Rsh.min = 0 mbar.

Pt ist der Druck, der vom Kalibrator zum Sensor geliefert wird, mbar. RT = 125 mbar.

Durch Einsetzen der bekannten Werte erhalten wir:

Iout.t = 4 + ((20-4)/(250-0))*125 = 12 mA

Das heißt, bei einem an den Sensor angelegten Druck von 125 mbar sollte sein Stromausgang 12 mA betragen. Wir berücksichtigen, innerhalb welcher Grenzen sich der berechnete Wert des Ausgangsstroms ändern kann, da der relative Hauptmessfehler ± 5% beträgt.

ΔIout.t \u003d 12 ± (12 * 5%) / 100% \u003d (12 ± 0,6) mA

Das heißt, bei einem am Sensor anliegenden Druck von 125 mbar sollte das Ausgangssignal an seinem Stromausgang im Bereich von 11,40 bis 12,60 mA liegen. Je nach Problemstellung haben wir ein Ausgangssignal von 12,62 mA, was bedeutet, dass unser Sensor nicht in den vom Hersteller angegebenen Messfehler passte und abgeglichen werden muss.

Der hauptsächliche relative Messfehler unseres Sensors ist:

δ = ((12,62 – 12,00)/12,00)*100 % = 5,17 %

Die Verifizierung und Kalibrierung von Messinstrumenten sollte unter normalen Umgebungsbedingungen für atmosphärischen Druck, Feuchtigkeit und Temperatur und bei der Nennversorgungsspannung des Sensors durchgeführt werden, da höhere oder niedrigere Temperatur und Versorgungsspannung zu zusätzlichen Messfehlern führen können. Die Nachweisbedingungen sind im Nachweisverfahren festgelegt. Geräte, deren Messfehler nicht in den durch das Überprüfungsverfahren festgelegten Rahmen passten, werden entweder neu justiert und justiert und anschließend erneut geprüft, oder wenn die Justierung beispielsweise aufgrund von Alterung oder übermäßiger Verformung keine Ergebnisse gebracht hat des Sensors werden sie repariert. Ist eine Reparatur nicht möglich, werden die Geräte zurückgewiesen und außer Betrieb genommen.

Wurden die Geräte dennoch repariert, unterliegen sie nicht mehr der periodischen, sondern der Ersteichung mit Erfüllung aller im Eichverfahren für diese Art der Eichung festgelegten Punkte. In einigen Fällen wird das Gerät speziell geringfügigen Reparaturen unterzogen (), da es je nach Verifizierungsmethode aufgrund von Unterschieden in der Menge der verwendeten beispielhaften Messgeräte viel einfacher und billiger ist, eine Erstverifizierung durchzuführen als eine regelmäßige Verifizierung periodische und primäre Überprüfung.

Um die gewonnenen Erkenntnisse zu festigen und zu testen, empfehle ich Doing.