Tangentialer Ort. Tangente

\[(\Large(\text(Mittel- und Innenwinkel)))\]

Definitionen

Ein Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises liegt.

Ein einbeschriebener Winkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt.

Das Gradmaß eines Kreisbogens ist das Gradmaß des auf ihm ruhenden Mittelpunktswinkels.

Satz

Das Maß eines eingeschriebenen Winkels ist die Hälfte des Maßes des Bogens, den er abfängt.

Nachweisen

Wir werden den Beweis in zwei Schritten führen: Zuerst beweisen wir die Gültigkeit der Aussage für den Fall, dass eine der Seiten des einbeschriebenen Winkels einen Durchmesser enthält. Der Punkt \(B\) sei der Scheitelpunkt des einbeschriebenen Winkels \(ABC\) und \(BC\) der Durchmesser des Kreises:

Das Dreieck \(AOB\) ist gleichschenklig, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) ist also außen \(\Winkel AOC = \Winkel OAB + \Winkel ABO = 2\Winkel ABC\), wo \(\Winkel ABC = 0,5\cdot\Winkel AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Betrachten Sie nun einen beliebigen einbeschriebenen Winkel \(ABC\) . Zeichnen Sie den Kreisdurchmesser \(BD\) vom Scheitelpunkt des einbeschriebenen Winkels. Zwei Fälle sind möglich:

1) Der Durchmesser schneidet den Winkel in zwei Winkel \(\Winkel ABD, \Winkel CBD\) (für die der Satz wie oben bewiesen für jeden gilt, also gilt er auch für den ursprünglichen Winkel, der die Summe dieser Winkel ist zwei und ist daher gleich der Hälfte der Summe der Bögen, auf denen sie sich abstützen, d. h. gleich der Hälfte des Bogens, auf dem sie sich abstützen). Reis. ein.

2) der Durchmesser hat den Winkel nicht in zwei Winkel geschnitten, dann haben wir noch zwei neue einbeschriebene Winkel \(\Winkel ABD, \Winkel CBD\) , deren Seite den Durchmesser enthält, daher gilt für sie der Satz, dann ist es gilt auch für den ursprünglichen Winkel (der gleich der Differenz dieser beiden Winkel ist, also gleich der halben Differenz der Bögen, auf denen sie ruhen, also gleich dem halben Bogen, auf dem sie ruhen ruht). Reis. 2.

Konsequenzen

1. Einbeschriebene Winkel, die auf demselben Bogen basieren, sind gleich.

2. Ein einbeschriebener Winkel, der auf einem Halbkreis basiert, ist ein rechter Winkel.

3. Ein einbeschriebener Winkel ist gleich dem halben Zentriwinkel, bezogen auf denselben Bogen.

\[(\Large(\text(Tangente an Kreis)))\]

Definitionen

Es gibt drei Arten der gegenseitigen Anordnung einer Linie und eines Kreises:

1) die Gerade \(a\) schneidet den Kreis an zwei Punkten. Eine solche Gerade heißt Sekante. In diesem Fall ist der Abstand \(d\) vom Kreismittelpunkt zur Geraden kleiner als der Radius \(R\) des Kreises (Abb. 3).

2) die Gerade \(b\) schneidet den Kreis in einem Punkt. Eine solche Gerade wird Tangente genannt, und ihr gemeinsamer Punkt \(B\) wird Tangentenpunkt genannt. In diesem Fall \(d=R\) (Abb. 4).

Satz

1. Die Tangente an den Kreis steht senkrecht auf dem Radius, der zum Berührungspunkt gezogen wird.

2. Wenn die Linie durch das Ende des Radius des Kreises verläuft und senkrecht zu diesem Radius steht, dann ist sie tangential zum Kreis.

Folge

Die Tangentensegmente, die von einem Punkt an den Kreis gezogen werden, sind gleich.

Nachweisen

Ziehe vom Punkt \(K\) aus zwei Tangenten \(KA\) und \(KB\) an den Kreis:

Also \(OA\perp KA, OB\perp KB\) als Radien. Rechtwinklige Dreiecke \(\triangle KAO\) und \(\triangle KBO\) haben gleiche Schenkel und Hypotenuse, also \(KA=KB\) .

Folge

Der Mittelpunkt des Kreises \(O\) liegt auf der Winkelhalbierenden des Winkels \(AKB\), der von zwei Tangenten gebildet wird, die vom selben Punkt \(K\) gezogen werden.

\[(\Large(\text(Winkelsätze)))\]

Der Satz über den Winkel zwischen Sekanten

Der Winkel zwischen zwei Sekanten, die von demselben Punkt gezogen werden, ist gleich der halben Differenz der Gradmaße der von ihnen geschnittenen größeren und kleineren Bögen.

Nachweisen

Sei \(M\) ein Punkt, von dem aus zwei Sekanten gezogen werden, wie in der Abbildung gezeigt:

Lassen Sie uns das zeigen \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) ist dann die äußere Ecke des Dreiecks \(MAD\) \(\Winkel DAB = \Winkel DMB + \Winkel MDA\), wo \(\Winkel DMB = \Winkel DAB - \Winkel MDA\), aber die Winkel \(\angle DAB\) und \(\angle MDA\) sind dann eingeschrieben \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), was zu beweisen war.

Winkelsatz zwischen sich schneidenden Akkorden

Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Akkorden ist gleich der Hälfte der Summe der Gradmaße der von ihnen geschnittenen Bögen: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Nachweisen

\(\angle BMA = \angle CMD\) als vertikal.

Aus dem Dreieck \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Aber \(\Winkel AMD = 180^\circ - \Winkel CMD\), woraus wir schließen \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ Lächeln\over(CD)).\]

Satz über den Winkel zwischen einer Sehne und einer Tangente

Der Winkel zwischen der Tangente und der Sehne, die durch den Tangentenpunkt verläuft, ist gleich dem halben Gradmaß des von der Sehne subtrahierten Bogens.

Nachweisen

Die Linie \(a\) berühre den Kreis im Punkt \(A\) , \(AB\) sei die Sehne dieses Kreises, \(O\) sei sein Mittelpunkt. Die Gerade, die \(OB\) enthält, schneide \(a\) im Punkt \(M\) . Lassen Sie uns das beweisen \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Bezeichne \(\angle OAB = \alpha\) . Da \(OA\) und \(OB\) Radien sind, ist \(OA = OB\) und \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Auf diese Weise, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Da \(OA\) der zum Tangentenpunkt gezogene Radius ist, ist \(OA\perp a\) , also \(\angle OAM = 90^\circ\) , also \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Satz über Bögen, die durch gleiche Akkorde zusammengezogen werden

Gleiche Akkorde unterspannen gleiche Bögen, kleinere Halbkreise.

Und umgekehrt: Gleiche Bögen werden durch gleiche Akkorde zusammengezogen.

Nachweisen

1) Sei \(AB=CD\) . Lassen Sie uns beweisen, dass die kleineren Halbkreise des Bogens .

Auf drei Seiten also \(\angle AOB=\angle COD\) . Aber seit \(\angle AOB, \angle COD\) - Zentralwinkel basierend auf Bögen \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) bzw. dann \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Wenn \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), dann \(\triangle AOB=\triangle COD\) entlang zweier Seiten \(AO=BO=CO=DO\) und der Winkel zwischen ihnen \(\angle AOB=\angle COD\) . Also \(AB=CD\) .

Satz

Halbiert ein Radius eine Sehne, dann steht er senkrecht dazu.

Auch die Umkehrung gilt: Steht der Radius senkrecht auf der Sehne, dann halbiert der Schnittpunkt diese.

Nachweisen

1) Sei \(AN=NB\) . Beweisen wir, dass \(OQ\perp AB\) .

Betrachten Sie \(\triangle AOB\) : es ist gleichschenklig, weil \(OA=OB\) – Kreisradien. weil \(ON\) ist der zur Basis gezogene Median, dann ist es auch die Höhe, also \(ON\perp AB\) .

2) Sei \(OQ\perp AB\) . Beweisen wir, dass \(AN=NB\) .

Ebenso ist \(\triangle AOB\) gleichschenklig, \(ON\) ist die Höhe, also ist \(ON\) der Median. Daher \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Sätze bezüglich der Längen von Segmenten)))\]

Satz über das Produkt von Akkordsegmenten

Wenn sich zwei Sehnen eines Kreises schneiden, dann ist das Produkt der Segmente einer Sehne gleich dem Produkt der Segmente der anderen Sehne.

Nachweisen

Die Akkorde \(AB\) und \(CD\) sollen sich im Punkt \(E\) schneiden.

Betrachten Sie die Dreiecke \(ADE\) und \(CBE\) . In diesen Dreiecken sind die Winkel \(1\) und \(2\) gleich, da sie eingeschrieben sind und auf demselben Bogen \(BD\) beruhen, und die Winkel \(3\) und \(4\) gleich vertikal sind. Die Dreiecke \(ADE\) und \(CBE\) sind ähnlich (gemäß dem ersten Dreiecksähnlichkeitskriterium).

Dann \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), also \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Tangenten- und Sekantensatz

Das Quadrat eines Tangentensegments ist gleich dem Produkt aus der Sekante und ihrem äußeren Teil.

Nachweisen

Lassen Sie die Tangente durch den Punkt \(M\) gehen und berühren Sie den Kreis im Punkt \(A\) . Die Sekante gehe durch den Punkt \(M\) und schneide den Kreis an den Punkten \(B\) und \(C\), sodass \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Betrachten Sie die Dreiecke \(MBA\) und \(MCA\) : \(\angle M\) ist allgemein, \(\Winkel BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Nach dem Winkelsatz zwischen einer Tangente und einer Sekante gilt \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Somit sind die Dreiecke \(MBA\) und \(MCA\) in zwei Winkeln ähnlich.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke \(MBA\) und \(MCA\) haben wir: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), was äquivalent zu \(MB\cdot MC = MA^2\) ist.

Folge

Das Produkt der vom Punkt \(O\) gezogenen Sekante und ihres äußeren Teils hängt nicht von der Wahl der vom Punkt \(O\) gezogenen Sekante ab.

Der Artikel gibt eine detaillierte Erklärung der Definitionen, der geometrischen Bedeutung der Ableitung mit grafischer Notation. Die Gleichung der Tangente wird an Beispielen betrachtet, die Gleichungen der Tangente an Kurven 2. Ordnung werden gefunden.

Der Neigungswinkel der Geraden y \u003d k x + b wird als Winkel α bezeichnet, der von der positiven Richtung der x-Achse zur Geraden y \u003d k x + b in positiver Richtung gemessen wird.

In der Abbildung ist die Richtungsachse durch einen grünen Pfeil und einen grünen Bogen und der Neigungswinkel durch einen roten Bogen gekennzeichnet. Die blaue Linie bezieht sich auf eine gerade Linie.

Bestimmung 2

Die Steigung der Geraden y \u003d k x + b wird als numerischer Koeffizient k bezeichnet.

Die Steigung ist gleich der Steigung der Geraden, also k = t g α .

• Die Steigung der Geraden ist nur dann 0, wenn o x parallel ist und die Steigung gleich null ist, weil die Tangente von null 0 ist. Die Form der Gleichung ist also y = b.
• Wenn der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b scharf ist, dann sind die Bedingungen 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , und es gibt eine Zunahme im Diagramm.
• Wenn α \u003d π 2, dann ist die Position der Linie senkrecht zu x. Gleichheit wird durch die Gleichheit x = c angegeben, wobei der Wert c eine reelle Zahl ist.
• Ist der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b stumpf, so entspricht er den Bedingungen π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Eine Sekante ist eine Gerade, die durch 2 Punkte der Funktion f (x) geht. Mit anderen Worten, eine Sekante ist eine gerade Linie, die durch zwei beliebige Punkte auf dem Graphen einer bestimmten Funktion verläuft.

Die Abbildung zeigt, dass A B eine Sekante ist und f (x) eine schwarze Kurve ist, α ein roter Bogen ist, der den Neigungswinkel der Sekante anzeigt.

Wenn die Steigung einer Geraden gleich der Tangente des Neigungswinkels ist, ist es klar, dass die Tangente eines rechtwinkligen Dreiecks A B C in Bezug auf das gegenüberliegende Bein des benachbarten gefunden werden kann.

Bestimmung 4

Wir erhalten die Formel zur Bestimmung der Sekante der Form:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , wobei die Abszissen der Punkte A und B die Werte x A , x B und f (x A) , f (x B) sind die Wertefunktionen an diesen Punkten.

Offensichtlich wird die Steigung der Sekante durch die Gleichheit k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A oder k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x definiert B, und die Gleichung muss geschrieben werden als y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) oder
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Die Sekante teilt den Graphen visuell in 3 Teile: links von Punkt A, von A nach B, rechts von B. Die folgende Abbildung zeigt, dass es drei Sekanten gibt, die als gleich angesehen werden, das heißt, sie sind es mit einer ähnlichen Gleichung setzen.

Per Definition ist klar, dass in diesem Fall die Gerade und ihre Sekante zusammenfallen.

Eine Sekante kann den Graphen einer bestimmten Funktion mehrmals schneiden. Wenn es für die Sekante eine Gleichung der Form y \u003d 0 gibt, ist die Anzahl der Schnittpunkte mit der Sinuskurve unendlich.

Bestimmung 5

Tangente an den Graphen der Funktion f (x) im Punkt x 0 ; f (x 0) heißt Gerade, die durch einen gegebenen Punkt x 0 geht; f (x 0) , mit Vorhandensein eines Segments, das viele x-Werte in der Nähe von x 0 hat.

Beispiel 1

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an. Dann ist ersichtlich, dass die durch die Funktion y = x + 1 gegebene Linie an dem Punkt mit den Koordinaten (1 ; 2) als tangential zu y = 2 x angesehen wird. Zur Verdeutlichung müssen Diagramme mit Werten in der Nähe von (1; 2) betrachtet werden. Die Funktion y = 2 x ist schwarz markiert, die blaue Linie ist die Tangente, der rote Punkt ist der Schnittpunkt.

Offensichtlich verschmilzt y \u003d 2 x mit der Linie y \u003d x + 1.

Betrachten Sie zur Bestimmung der Tangente das Verhalten der Tangente A B bei unendlicher Annäherung von Punkt B an Punkt A. Zur Verdeutlichung stellen wir eine Figur dar.

Die durch die blaue Linie angezeigte Sekante A B tendiert zur Position der Tangente selbst, und der Neigungswinkel der Sekante α beginnt sich zum Neigungswinkel der Tangente selbst α x zu neigen.

Bestimmung 6

Die Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d f (x) am Punkt A ist die Grenzposition der Sekante A B bei B, die zu A tendiert, dh B → A.

Nun wenden wir uns der Betrachtung der geometrischen Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt zu.

Gehen wir weiter zur Betrachtung der Sekante A B für die Funktion f (x), wobei A und B mit den Koordinaten x 0, f (x 0) und x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) und ∆ x ist als Inkrement des Arguments bezeichnet. Nun nimmt die Funktion die Form ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) an. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Bild als Beispiel.

Betrachten Sie das resultierende rechtwinklige Dreieck A B C. Wir verwenden die Definition der Tangente für die Lösung, dh wir erhalten das Verhältnis ∆ y ∆ x = t g α . Aus der Definition einer Tangente folgt, dass lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Gemäß der Ableitungsregel an einem Punkt haben wir, dass die Ableitung f (x) am Punkt x 0 die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments heißt, wobei ∆ x → 0, dann bezeichnet als f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Daraus folgt, dass f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, wobei k x als Steigung der Tangente bezeichnet wird.

Das heißt, wir erhalten, dass f ' (x) am Punkt x 0 existieren kann und, wie die Tangente an den gegebenen Graphen der Funktion am Kontaktpunkt gleich x 0 , f 0 (x 0) , wo der Wert der Steigung der Tangente am Punkt ist gleich der Ableitung am Punkt x 0 . Dann erhalten wir, dass k x = f "(x 0) .

Die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist, dass das Konzept der Existenz einer Tangente an den Graphen an demselben Punkt gegeben ist.

Um die Gleichung einer geraden Linie in der Ebene zu schreiben, muss der Punkt, durch den sie verläuft, eine Steigung haben. Seine Bezeichnung wird als x 0 am Schnittpunkt genommen.

Die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d f (x) am Punkt x 0, f 0 (x 0) hat die Form y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Dies bedeutet, dass der Endwert der Ableitung f "(x 0) die Position der Tangente bestimmen kann, dh vertikal unter der Bedingung lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ und lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ oder gar keine Abwesenheit unter der Bedingung lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Die Position der Tangente hängt vom Wert ihrer Steigung ab k x \u003d f "(x 0). Wenn sie parallel zur Achse o x ist, erhalten wir k k \u003d 0, wenn sie parallel zu o y - k x \u003d ∞ und der Form ist der Tangentengleichung x \u003d x 0 steigt mit k x > 0 , nimmt mit k x ab< 0 .

Beispiel 2

Stellen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 an einem Punkt mit den Koordinaten (1; 3) mit der Definition des Winkels von zusammen Neigung.

Entscheidung

Nach Annahme haben wir, dass die Funktion für alle reellen Zahlen definiert ist. Wir erhalten, dass der Punkt mit den durch die Bedingung (1 ; 3) angegebenen Koordinaten der Kontaktpunkt ist, dann ist x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Es ist notwendig, die Ableitung am Punkt mit dem Wert -1 zu finden. Das verstehen wir

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Der Wert von f ’ (x) am Kontaktpunkt ist die Steigung der Tangente, die gleich der Tangente der Steigung ist.

Dann ist k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Daraus folgt, dass α x = a r c t g 3 3 = π 6

Antworten: die Tangentengleichung nimmt die Form an

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel in einer grafischen Darstellung.

Die schwarze Farbe wird für den ursprünglichen Funktionsgraphen verwendet, die blaue Farbe ist das Tangentenbild, der rote Punkt ist der Berührungspunkt. Die Abbildung rechts zeigt eine vergrößerte Ansicht.

Beispiel 3

Finden Sie die Existenz einer Tangente an den Graphen einer gegebenen Funktion heraus
y = 3 x - 1 5 + 1 am Punkt mit den Koordinaten (1 ; 1) . Stelle eine Gleichung auf und bestimme den Neigungswinkel.

Entscheidung

Nach Annahme haben wir, dass der Definitionsbereich der gegebenen Funktion die Menge aller reellen Zahlen ist.

Kommen wir zur Ermittlung der Ableitung

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Wenn x 0 = 1 , dann ist f ' (x) nicht definiert, aber die Grenzen werden geschrieben als lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ und lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , was Existenz vertikale Tangente an bedeutet Punkt (1 ; 1) .

Antworten: Die Gleichung hat die Form x \u003d 1, wobei der Neigungswinkel gleich π 2 ist.

Lassen Sie es uns zur Verdeutlichung grafisch darstellen.

Beispiel 4

Finden Sie die Punkte des Funktionsgraphen y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , wobei

1. Die Tangente existiert nicht;
2. Die Tangente ist parallel zu x;
3. Die Tangente ist parallel zur Linie y = 8 5 x + 4 .

Entscheidung

Dabei ist auf den Definitionsbereich zu achten. Nach Annahme haben wir, dass die Funktion auf der Menge aller reellen Zahlen definiert ist. Erweitern Sie den Modul und lösen Sie das System mit Intervallen x ∈ - ∞ ; 2 und [-2; +∞) . Das verstehen wir

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Die Funktion muss differenziert werden. Wir haben das

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Wenn x = - 2, dann existiert die Ableitung nicht, weil die einseitigen Grenzen an dieser Stelle nicht gleich sind:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Wir berechnen den Wert der Funktion am Punkt x \u003d - 2, wo wir das bekommen

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, dh die Tangente an der Punkt (- 2; - 2) wird nicht existieren.
2. Die Tangente ist parallel zu x, wenn die Steigung Null ist. Dann k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Das heißt, es ist notwendig, die Werte eines solchen x zu finden, wenn die Ableitung der Funktion es auf Null bringt. Das heißt, die Werte ​​\u200b\u200bvon f '(x) und werden Berührungspunkte sein, an denen die Tangente parallel zu x ist.

Wenn x ∈ - ∞ ; - 2 , dann - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , und für x ∈ (- 2 ; + ∞) erhalten wir 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Wir berechnen die entsprechenden Werte der Funktion

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Daher - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 werden als die gewünschten Punkte des Graphen der Funktion betrachtet.

Betrachten Sie eine grafische Darstellung der Lösung.

Die schwarze Linie ist der Graph der Funktion, die roten Punkte sind die Berührungspunkte.

1. Wenn die Linien parallel sind, sind die Steigungen gleich. Dann müssen die Punkte des Funktionsgraphen gesucht werden, an denen die Steigung gleich dem Wert 8 5 ist. Dazu müssen Sie eine Gleichung der Form y "(x) = 8 5 lösen. Wenn dann x ∈ - ∞; - 2, erhalten wir - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, und wenn x ∈ ( - 2 ; + ∞) , dann 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Die erste Gleichung hat keine Wurzeln, weil die Diskriminante kleiner als Null ist. Schreiben wir das auf

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Eine andere Gleichung hat dann zwei reelle Wurzeln

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Fahren wir fort, um die Werte der Funktion zu finden. Das verstehen wir

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punkte mit Werten - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 sind die Punkte, an denen die Tangenten parallel zur Linie y = 8 5 x + 4 sind.

Antworten: schwarze Linie - Diagramm der Funktion, rote Linie - Diagramm y \u003d 8 5 x + 4, blaue Linie - Tangenten an Punkten - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Es ist möglich, eine unendliche Anzahl von Tangenten für gegebene Funktionen zu haben.

Beispiel 5

Schreiben Sie die Gleichungen aller verfügbaren Tangenten der Funktion y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , die senkrecht auf der Linie y = - 2 x + 1 2 stehen.

Entscheidung

Um die Tangentengleichung zu erstellen, müssen der Koeffizient und die Koordinaten des Tangentenpunkts basierend auf der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Linien ermittelt werden. Die Definition klingt so: Das Produkt der Steigungen, die senkrecht zu den Geraden stehen, ist gleich - 1, d. h. es wird geschrieben als k x · k ⊥ = - 1. Aus der Bedingung, dass die Steigung senkrecht zur Geraden steht und gleich k ⊥ = - 2 ist, ist k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Jetzt müssen wir die Koordinaten der Berührungspunkte finden. Sie müssen x finden, danach seinen Wert für eine bestimmte Funktion. Beachten Sie das aus der geometrischen Bedeutung der Ableitung an dem Punkt
x 0 erhalten wir das k x \u003d y "(x 0) . Aus dieser Gleichheit finden wir die x-Werte für die Berührungspunkte.

Das verstehen wir

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 Sünde 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 Sünde 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ Sünde 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Diese trigonometrische Gleichung wird verwendet, um die Ordinaten der Berührungspunkte zu berechnen.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk oder 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk oder 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk oder x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z ist die Menge der ganzen Zahlen.

x Anlaufstellen gefunden. Jetzt müssen Sie zur Suche nach y-Werten gehen:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - Sünde 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 oder y 0 = 3 - 1 - Sünde 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 oder y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 oder y 0 = - 4 5 + 1 3

Von hier erhalten wir, dass 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sind Berührungspunkte.

Antworten: die notwendigen Gleichungen werden als geschrieben

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Betrachten Sie für eine visuelle Darstellung die Funktion und die Tangente an der Koordinatenlinie.

Die Abbildung zeigt, dass die Position der Funktion im Intervall [-10; 10 ] , wobei die schwarze Linie der Graph der Funktion ist, die blauen Linien Tangenten sind, die senkrecht zur gegebenen Linie der Form y = - 2 x + 1 2 stehen. Rote Punkte sind Berührungspunkte.

Die kanonischen Kurvengleichungen 2. Ordnung sind keine einwertigen Funktionen. Tangentengleichungen für sie werden nach bekannten Schemata erstellt.

Tangente zum Kreis

Um einen Kreis zu setzen, der an einem Punkt x c e n t e r zentriert ist; y c e n t e r und Radius R, wird die Formel x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 verwendet.

Diese Gleichheit kann als Vereinigung zweier Funktionen geschrieben werden:

y = R 2 - x - x Mitte 2 + y Mitte r y = - R 2 - x - x Mitte 2 + y Mitte

Die erste Funktion befindet sich oben und die zweite unten, wie in der Abbildung gezeigt.

Um eine Kreisgleichung an einem Punkt x 0 aufzustellen; y 0 , das sich im oberen oder unteren Halbkreis befindet, sollten Sie die Gleichung des Funktionsgraphen der Form y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r oder y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + finden y c e n t e r an der angegebenen Stelle.

Wenn an den Punkten x c e n t e r ; y c e n t e r + R und x c e n t e r ; y c e n t e r - R Tangenten können durch die Gleichungen y = y c e n t e r + R und y = y c e n t e r - R und an den Punkten x c e n t e r + R gegeben werden; y c e n t e r und
x c e n t e r - R ; y c e n t e r parallel zu y, dann erhalten wir Gleichungen der Form x = x c e n t e r + R und x = x c e n t e r - R .

Tangente an Ellipse

Wenn die Ellipse bei x c e n t e r zentriert ist; y c e n t e r mit den Halbachsen a und b , dann kann es durch die Gleichung x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 gegeben werden .

Eine Ellipse und ein Kreis können bezeichnet werden, indem zwei Funktionen kombiniert werden, nämlich die obere und die untere Halbellipse. Dann bekommen wir das

y = b a a 2 - (x - x Mitte) 2 + y Mitte y = - b a a 2 - (x - x Mitte) 2 + y Mitte

Liegen die Tangenten an den Scheitelpunkten der Ellipse, dann sind sie parallel zu x oder zu y. Betrachten Sie zur Verdeutlichung die folgende Abbildung.

Beispiel 6

Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 an Punkten mit x-Werten gleich x = 2 .

Entscheidung

Es gilt Berührungspunkte zu finden, die dem Wert x = 2 entsprechen. Wir nehmen eine Substitution in die bestehende Gleichung der Ellipse vor und erhalten diese

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Dann 2 ; 5 3 2 + 5 und 2 ; - 5 3 2 + 5 sind die Tangentenpunkte, die zur oberen und unteren Halbellipse gehören.

Lassen Sie uns weitergehen, um die Gleichung einer Ellipse in Bezug auf y zu finden und aufzulösen. Das verstehen wir

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Es ist offensichtlich, dass die obere Halbellipse durch eine Funktion der Form y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 und die untere y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 angegeben wird.

Wir wenden den Standardalgorithmus an, um die Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion in einem Punkt zu formulieren. Wir schreiben, dass die Gleichung für die erste Tangente im Punkt 2 ; 5 3 2 + 5 aussehen wird

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Damit erhalten wir die Gleichung der zweiten Tangente mit dem Wert am Punkt
2; - 5 3 2 + 5 wird

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafisch werden Tangenten wie folgt bezeichnet:

Tangente an Übertreibung

Wenn die Hyperbel einen Mittelpunkt im Punkt x c e n t e r hat; y c e n t e r und Eckpunkte x c ​​e n t e r + α ; y c e n t e r und x c e n t e r - α ; y c e n t e r , die Ungleichung x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ist gegeben, wenn mit Knoten x c e n t e r ; y c e n t e r + b und x c e n t e r ; y c e n t e r - b ist dann gegeben durch die Ungleichung x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = -1 .

Eine Hyperbel kann als zwei kombinierte Funktionen der Form dargestellt werden

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r oder y = b a (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n - x - t e r = c e n t e r (x. be r y) ) 2 + a 2 + y c e n t e r

Im ersten Fall sind die Tangenten parallel zu y und im zweiten Fall parallel zu x.

Daraus folgt, dass man, um die Gleichung einer Tangente an eine Hyperbel zu finden, herausfinden muss, zu welcher Funktion der Tangentenpunkt gehört. Um dies zu bestimmen, ist es notwendig, eine Substitution in den Gleichungen vorzunehmen und sie auf Identität zu überprüfen.

Beispiel 7

Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Hyperbel x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 an Punkt 7; - 3 3 - 3 .

Entscheidung

Es ist notwendig, den Datensatz der Lösung zum Finden der Hyperbel mit 2 Funktionen zu transformieren. Das verstehen wir

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 oder y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Es ist notwendig herauszufinden, zu welcher Funktion der gegebene Punkt mit den Koordinaten 7 gehört; - 3 3 - 3 .

Um die erste Funktion zu überprüfen, ist es offensichtlich notwendig y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , dann gehört der Punkt nicht zum Graphen, da die Gleichheit nicht erfüllt ist.

Für die zweite Funktion gilt y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , was bedeutet, dass der Punkt zu dem gegebenen Graphen gehört. Von hier aus sollten Sie den Steigungskoeffizienten finden.

Das verstehen wir

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Antworten: Die Tangentengleichung kann dargestellt werden als

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Es wird wie folgt visualisiert:

Tangente an die Parabel

Um die Gleichung der Tangente an die Parabel y \u003d a x 2 + b x + c am Punkt x 0, y (x 0) zu erstellen, müssen Sie den Standardalgorithmus verwenden, dann hat die Gleichung die Form y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Eine solche Tangente am Scheitelpunkt ist parallel zu x.

Die Parabel x = a y 2 + b y + c sollte als Vereinigung zweier Funktionen definiert werden. Daher müssen wir die Gleichung nach y lösen. Das verstehen wir

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Lassen Sie es uns grafisch darstellen als:

Um herauszufinden, ob ein Punkt x 0 , y (x 0) zu einer Funktion gehört, folgen Sie vorsichtig dem Standardalgorithmus. Eine solche Tangente wird in Bezug auf die Parabel parallel zu y sein.

Beispiel 8

Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen x - 2 y 2 - 5 y + 3, wenn wir eine Tangentensteigung von 150 ° haben.

Entscheidung

Wir beginnen die Lösung, indem wir die Parabel als zwei Funktionen darstellen. Das verstehen wir

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Der Wert der Steigung ist gleich dem Wert der Ableitung am Punkt x 0 dieser Funktion und gleich dem Tangens der Steigung.

Wir bekommen:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Von hier aus bestimmen wir den Wert von x für die Berührungspunkte.

Die erste Funktion wird geschrieben als

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Offensichtlich gibt es keine wirklichen Wurzeln, da wir einen negativen Wert erhalten haben. Wir schließen daraus, dass es für eine solche Funktion keine Tangente mit einem Winkel von 150 ° gibt.

Die zweite Funktion wird geschrieben als

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Wir haben, dass die Berührungspunkte - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Antworten: die Tangentengleichung nimmt die Form an

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Lassen Sie es uns so grafisch darstellen:

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Eine Linie, die nur einen gemeinsamen Punkt mit einem Kreis hat, wird als Tangente an den Kreis bezeichnet, und ihr gemeinsamer Punkt wird als Berührungspunkt zwischen der Linie und dem Kreis bezeichnet.

Satz (Eigenschaft einer Tangente an einen Kreis)

Die Tangente an den Kreis steht senkrecht auf dem Radius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird.

Gegeben

A - Kontaktpunkt

Beweisen:po

Nachweisen.

Beweisen wir die Methode "per Widerspruch".

Angenommen, p ist OA, dann ist OA schräg zur Geraden p.

Wenn wir vom Punkt O aus eine Senkrechte OH zur Geraden p zeichnen, ist ihre Länge kleiner als der Radius: OH< ОА=r

Wir erhalten, dass der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie p (OH) kleiner ist als der Radius (r), was bedeutet, dass die Linie p eine Sekante ist (d.h. sie hat zwei gemeinsame Punkte mit dem Kreis), was der Bedingung des Satzes (p-Tangens) widerspricht.

Die Annahme ist also falsch, also steht die Linie p senkrecht auf OA.

Satz (Eigenschaft von Tangentialsegmenten, die von einem Punkt aus gezogen werden)

Die Segmente der Tangenten an den Kreis, die von einem Punkt aus gezogen werden, sind gleich und bilden gleiche Winkel mit der geraden Linie, die durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises verläuft.

Gegeben: ca. (Oder)

AB und AC sind Tangenten an die env. (Oder)

Beweisen: AB=AC

Nachweisen

1) OB AB, OS AC, als Radien zum Kontaktpunkt gezogen (Tangenteneigenschaft)

2) Betrachten Sie tr. AOV usw. AOS - p / j

AO - insgesamt

OB=OC (als Radien)

Also ABO \u003d AOC (entlang Hypotenuse und Bein). Somit,

AB \u003d AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Satz (Vorzeichen einer Tangente)

Wenn eine Gerade durch das Ende eines auf einem Kreis liegenden Radius geht und senkrecht auf diesem Radius steht, dann ist sie eine Tangente.

Gegeben: ОА – Kreisradius

Beweisen: p- Tangente an den Kreis

Nachweisen

OA - Radius des Kreises (nach Bedingung) (OA \u003d r)

OA - senkrecht von O zur Linie p (OA \u003d d)

Also, r=OA=d, also haben die Linie p und der Kreis einen gemeinsamen Punkt.

Daher ist die Linie p eine Tangente an den Kreis. h.t.d.

3. Eigenschaft von Akkorden und Sekanten.

Tangenten- und Sekanteneigenschaften

DEFINITION

Umfang wird der Ort der Punkte genannt, die von einem Punkt gleich weit entfernt sind, der als Mittelpunkt des Kreises bezeichnet wird.

Eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, wird aufgerufen Akkord(in der Abbildung ist es ein Segment). Der Akkord, der durch die Mitte des Kreises geht, wird aufgerufen Durchmesser Kreise.

1. Die Tangente steht senkrecht auf dem zum Berührungspunkt gezogenen Radius.

2. Segmente von Tangenten, die von einem Punkt gezogen werden, sind gleich.

3. Zieht man von einem außerhalb des Kreises liegenden Punkt eine Tangente und eine Sekante, so ist das Quadrat der Länge der Tangente gleich dem Produkt der Sekante mit ihrem äußeren Teil.

Meistens sind es geometrische Probleme, die Bewerbern, Absolventen und Teilnehmern an Mathematikolympiaden Schwierigkeiten bereiten. Wenn Sie sich die Statistiken der USE im Jahr 2010 ansehen, sehen Sie, dass etwa 12% der Teilnehmer mit der geometrischen Aufgabe C4 begonnen haben und nur 0,2% der Teilnehmer eine volle Punktzahl erhalten haben, und im Allgemeinen stellte sich die Aufgabe als heraus der schwierigste von allen vorgeschlagenen.

Je früher wir Schülerinnen und Schülern schöne oder in ihrer Lösung unerwartete Aufgaben bieten, desto eher interessieren und fesseln sie sie ernsthaft und nachhaltig. Aber wie schwierig ist es, in der 7. Klasse interessante und komplexe Aufgaben zu finden, wenn das systematische Studium der Geometrie gerade erst beginnt. Was kann man einem mathematisch interessierten Studenten bieten, der nur die Gleichheitszeichen von Dreiecken, die Eigenschaften benachbarter und senkrechter Winkel kennt? Es ist jedoch möglich, das Konzept einer Tangente an einen Kreis als eine gerade Linie einzuführen, die einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat; Akzeptieren Sie, dass der zum Kontaktpunkt gezeichnete Radius senkrecht zur Tangente ist. Natürlich lohnt es sich, alle möglichen Fälle der Lage zweier Kreise und gemeinsamer Tangenten zu berücksichtigen, die von null bis vier gezogen werden können. Durch den Beweis der nachfolgend vorgeschlagenen Theoreme ist es möglich, den Aufgabenkatalog für Siebtklässler deutlich zu erweitern. Gleichzeitig beweisen Sie nebenbei wichtige oder einfach interessante und unterhaltsame Fakten. Da zudem viele Aussagen nicht im Schulbuch enthalten sind, können sie sowohl im Unterricht als auch mit Absolventen bei der Wiederholung von Planimetrie diskutiert werden. Diese Tatsachen erwiesen sich im letzten Studienjahr als relevant. Da viele diagnostische Arbeiten und die Arbeit der USE selbst ein Problem enthielten, für dessen Lösung es notwendig war, die unten bewiesene Eigenschaft des Tangentensegments zu verwenden.

T1 Segmente von Tangenten an einen Kreis, aus dem gezogen wird
ein Punkt gleich ist (Abb. 1)

Das war's mit dem Satz, den Siebtklässler erstmal einführen können.
Im Beweisprozess haben wir das Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke verwendet und sind zu dem Schluss gekommen, dass der Mittelpunkt des Kreises auf der Winkelhalbierenden liegt BCA.
Nebenbei erinnerten wir uns daran, dass die Winkelhalbierende der Ort der Punkte des inneren Bereichs des Winkels ist, der von seinen Seiten gleich weit entfernt ist. Die Lösung eines alles andere als trivialen Problems basiert auf diesen Tatsachen, die sogar Anfängern im Studium der Geometrie zugänglich sind.

1. Winkelhalbierende SONDERN, BEIM und Mit konvexes Viereck A B C D schneiden sich in einem Punkt. Strahlen AB und Gleichstrom in einem Punkt schneiden E, und die Strahlen
Sonne und ANZEIGE am Punkt F. Beweisen Sie, dass ein nicht konvexes Viereck AECF Die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich.

Lösung (Abb. 2). Lassen Ö ist der Schnittpunkt dieser Winkelhalbierenden. Dann Ö von allen Seiten des Vierecks gleich weit entfernt A B C D, also
ist der Mittelpunkt eines Kreises, der einem Viereck einbeschrieben ist. Nach Satz 1 Gleichheiten sind richtig: AR = AK, ER = EP, FT = FK. Wir addieren den linken und rechten Teil Term für Term, wir erhalten die richtige Gleichheit:

(AR + ER) + FT = (AK +FK) + EP; AE + (FC + CT) = AF + (EU + PC). Als ST = RS, dann AE + FC = AF + EU, was zu beweisen war.

Betrachten wir ein Problem mit ungewöhnlicher Formulierung, zu dessen Lösung es genügt, den Satz zu kennen 1 .

2. Gibt es n-Eck, dessen Seiten aufeinanderfolgend 1, 2, 3, ... sind, n in die der Kreis eingeschrieben werden kann?

Entscheidung. Sagen wir so n-gon existiert. SONDERN 1 SONDERN 2 =1, …, SONDERN n-1 SONDERN n= n– 1,SONDERN n SONDERN 1 = n. B 1 , …, B n sind die entsprechenden Berührungspunkte. Dann nach Satz 1 EIN 1 B 1 = EIN 1 B n< 1, n – 1 < EIN n B n< n. Durch die Eigenschaft von Tangentialsegmenten EIN n B n= EIN n B n-1 . Aber, EIN n B n-1< EIN n-1 SONDERN n= n- 1. Widerspruch. Daher nein n-gon, das die Bedingung des Problems erfüllt.

T 2 Die Summen der gegenüberliegenden Seiten eines umschriebenen Vierecks
Kreise sind gleich (Abb. 3)

Schulkinder beweisen diese Eigenschaft des beschriebenen Vierecks in der Regel leicht. Nach dem Beweis des Satzes 1 , es ist eine Trainingsübung. Diese Tatsache kann verallgemeinert werden - die Summen der Seiten des umschriebenen geraden Ecks, durch eins genommen, sind gleich. Zum Beispiel für ein Sechseck ABCDEF Rechts: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

Lösung (Abb. 1). Da die Vierecke ABEF und ECDF einbeschrieben sind, ist nach Satz 2 Ð ABEF = 2(AB + EF) und Ð ECDF = 2(CD + EF) bedingt

PABEF – PECDF = 2(AB + EF) – 2(CD + EF) = 2p. AB-CD=p. AB = a + p.

Lösung (Abb. 5). Nach Satz 1 MB = MX und PC = RX. Also der Umfang des Dreiecks DU SAGTEST gleich der Summe der Segmente AB und ALS. Oder doppelte Tangente an den Exkreis für ein Dreieck DU SAGTEST . Der Wert des MOP-Winkels wird durch den halben Wert des Winkels gemessen WOS, was nicht von der Wahl des Punktes abhängt X.

Lösung (Abb. 6). Methode eins (algebraisch). Lassen AK \u003d AN \u003d x, dann BK = BM = c - x, CM = CN = a - c + x. AC = AN + NC, dann können wir eine Gleichung für schreiben x: b \u003d x + (a - c + x). Woher .

Methode zwei (geometrisch). Wenden wir uns dem Diagramm zu. Segmente mit gleichen Tangenten, einzeln genommen, ergeben einen Halbumfang
Dreieck. Rot und Grün bilden eine Seite a. Dann das für uns interessante Segment x = p - a. Natürlich sind die erzielten Ergebnisse konsistent.

. W

4. Ermitteln Sie den Radius eines Kreises, der einem rechtwinkligen Dreieck mit Beinen einbeschrieben ist ein, b und Hypotenuse mit. Lösung (Abb. 8). T wie OMCN- quadratisch, dann ist der Radius des Inkreises gleich dem Segment der Tangente CN. .

5. Beweisen Sie, dass die Berührungspunkte des Inkreises und des Exkreises mit der Seite des Dreiecks symmetrisch zum Mittelpunkt dieser Seite sind.

Lösung (Abb. 9). Beachten Sie, dass AK das Segment der Tangente des Exkreises für das Dreieck ist ABC. Nach Formel (2) . VM- Liniensegment Tangente InKreis für Dreieck ABC. Nach Formel (1) . AK = VM, und das bedeutet, dass die Punkte K und M gleich weit von der Seitenmitte entfernt AB, Q.E.D.

6. An zwei Kreise werden zwei gemeinsame Außentangenten und eine Innentangente gezogen. Die innere Tangente schneidet die äußeren an Punkten A, B und berührt Kreise an Punkten Ein 1 und IN 1 . Beweise das AA 1 \u003d BB 1.

Lösung (Abb. 10). Stop ... Aber was gibt es zu entscheiden? Es ist nur eine andere Formulierung des vorherigen Problems. Es ist offensichtlich, dass einer der Kreise einbeschrieben ist und der andere der Exkreis für ein Dreieck ist ABC. Und die Segmente AA1 und BB1 Segmenten entsprechen AK und VM Aufgaben 5. Es ist bemerkenswert, dass das bei der Allrussischen Olympiade für Schulkinder in Mathematik vorgeschlagene Problem auf so offensichtliche Weise gelöst wird.

7. Die Seiten des Fünfecks sind in der Reihenfolge 5, 6, 10, 7, 8. Beweisen Sie, dass in dieses Fünfeck kein Kreis eingeschrieben werden kann.

Lösung (Abb. 11). Nehmen wir an, das Fünfeck ABCDE Sie können einen Kreis einschreiben. Außerdem die Parteien AB, BC, CD, DE und EA gleich 5, 6, 10, 7 bzw. 8 sind. F, G, H, M und N. Lassen Sie die Länge des Segments AF entspricht X.

Dann bf = FD – AF = 5 – x = BG. GC = BC – BG = = 6 – (5 – x) = 1 + x = CH. Usw: HD = DM = 9 – x; MICH = DE = x – 2, EIN = 10 – X.

Aber, AF = EIN. Das ist 10 - X = X; X= 5. Allerdings ist das Segment der Tangente AF kann nicht gleich sein AB. Der daraus resultierende Widerspruch beweist, dass in ein gegebenes Fünfeck kein Kreis eingeschrieben werden kann.

8. Ein Kreis ist in ein Sechseck eingeschrieben, seine Seiten in der Umgehungsreihenfolge sind 1, 2, 3, 4, 5. Ermitteln Sie die Länge der sechsten Seite.

Entscheidung. Natürlich kann das Tangentensegment auch als bezeichnet werden X, schreiben Sie wie in der vorherigen Aufgabe eine Gleichung und erhalten Sie eine Antwort. Aber es ist viel effizienter und effektiver, die Anmerkung zum Theorem zu verwenden 2 : Die Seitensummen des umschriebenen Sechsecks, durch eins genommen, sind gleich.

Dann ist 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, wo X- unbekannte sechste Seite, X = 3.

Lösung (Abb.12). Da die Längen aller Seiten ganze Zahlen sind, sind die Bruchteile der Längen der Segmente gleich BT, BP, DM, DN, AK und BEIM. Wir haben BEIM + Fernseher= 1 und die Bruchteile der Längen der Segmente BEIM und Fernseher sind gleich. Dies ist nur möglich, wenn BEIM + Fernseher= 0,5. Nach Satz 1 WT + BP.
Meint, BP= 0,5. Beachten Sie, dass die Bedingung CD= 3 stellte sich als unbeansprucht heraus. Offensichtlich nahmen die Autoren des Problems eine andere Lösung an. Antwort: 0,5.

10. In einem Viereck ABCD AD=DC, AB=3, BC=5. Kreise in Dreiecke eingeschrieben ABD und CBD berühren Sie das Segment BD an Punkten M und N bzw. Finde die Länge eines Segments MN.

Lösung (Abb. 13). MN = DN - DM. Nach Formel (1) für Dreiecke DBA und DBC bzw. haben wir:

11. In einem Viereck A B C D Sie können einen Kreis einschreiben. Kreise in Dreiecke eingeschrieben ABD und CBD Radien haben R und r bzw. Finden Sie den Abstand zwischen den Mittelpunkten dieser Kreise.

Lösung (Abb. 13). Da, durch die Bedingung, das Viereck A B C D eingeschrieben, nach Satz 2 wir haben: AB + DC = AD + BC. Lassen Sie uns die Idee verwenden, das vorherige Problem zu lösen. . Das bedeutet, dass die Berührungspunkte der Kreise mit dem Segment DM Spiel. Der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Kreise ist gleich der Summe der Radien. Antworten: R + r.

Tatsächlich ist bewiesen, dass sich die Bedingung in einem Viereck befindet A B C D Sie können einen Kreis einschreiben, der der Bedingung entspricht - in einem konvexen Viereck A B C D Kreise in Dreiecke eingeschrieben ABC und ADC sich gegenseitig berühren. Das Gegenteil trifft zu.

Es wird vorgeschlagen, diese beiden zueinander inversen Aussagen in der folgenden Aufgabe zu beweisen, die als Verallgemeinerung dieser betrachtet werden kann.

12. In einem konvexen Viereck A B C D (Reis. vierzehn) Kreise, die in Dreiecke eingeschrieben sind ABC und ADC sich gegenseitig berühren. Beweisen Sie, dass Kreise in Dreiecke eingeschrieben sind ABD und vdc berühren sich auch.

13. In einem Dreieck ABC mit den Parteien ein, b und c auf der Seite Sonne markierter Punkt D so dass die Kreise in die Dreiecke eingeschrieben sind ABD und ACD berühren Sie das Segment ANZEIGE an einer Stelle. Finde die Länge eines Segments BD.

Lösung (Abb. 15). Wir wenden Formel (1) für Dreiecke an ADC und adb, rechnen DM zwei

Es stellt sich heraus, D- Berührungspunkt mit der Seite Sonne Kreis in ein Dreieck eingeschrieben ABC. Das Gegenteil ist der Fall: Wenn die Spitze eines Dreiecks mit dem Tangentenpunkt des einbeschriebenen Kreises auf der gegenüberliegenden Seite verbunden ist, berühren sich die in die resultierenden Dreiecke einbeschriebenen Kreise.

14. Zentren Ö 1 , Ö 2 und Ö 3 An den Ecken des Dreiecks befinden sich drei sich nicht schneidende Kreise mit gleichem Radius. Von Punkten Ö 1 , Ö 2 , Ö In 3 werden Tangenten an diese Kreise gezogen, wie in der Figur gezeigt.

Es ist bekannt, dass diese sich schneidenden Tangenten ein konvexes Sechseck bildeten, dessen Seiten durch eine rot und blau gefärbt sind. Beweisen Sie, dass die Summe der Längen der roten Segmente gleich der Summe der Längen der blauen Segmente ist.

Lösung (Abb. 16). Es ist wichtig zu verstehen, wie man die Tatsache nutzt, dass gegebene Kreise die gleichen Radien haben. Beachten Sie, dass die Segmente BR und DM gleich sind, was aus der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke folgt Ö 1 BR und Ö 2 BM. Ähnlich DL = DP, FN = FK. Wir addieren die Gleichheiten Term für Term und subtrahieren dann von den resultierenden Summen dieselben Segmente von Tangenten, die von den Scheitelpunkten gezogen werden SONDERN, Mit, und E Hexagon ABCDEF: AR und AK, CL und CM, DE und EP. Wir bekommen, was wir brauchen.

Hier ist ein Beispiel für ein Stereometrieproblem, das beim XII. Internationalen Mathematikturnier für Gymnasiasten „A. N. Kolmogorov Memory Cup“ vorgeschlagen wurde.

16. Gegeben sei eine fünfeckige Pyramide SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Es gibt einen Geltungsbereich w, die alle Kanten der Pyramide und einer anderen Kugel berührt w 1 , die alle Seiten der Basis berührt A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 und Verlängerungen der seitlichen Rippen SA1, SA2, SA3, SA4, SA5 für die Oberseiten der Basis. Beweisen Sie, dass die Spitze der Pyramide von den Ecken der Basis gleich weit entfernt ist. (Berlov S.L., Karpov D.V.)

17. BENUTZEN. Diagnostische Arbeit 8. Dezember 2009, С–4. Dana Trapez A B C D, deren Grundlagen BC= 44,ANZEIGE = 100, AB=CD= 35. Kreis tangiert Linien ANZEIGE und AC berührt die Seite CD am Punkt K. Finden Sie die Länge des Segments CK.VDC und BDA, berühren Sie die Seite BD an Punkten E und F. Finden Sie die Länge des Segments EF.

Entscheidung. Zwei Fälle sind möglich (Abb. 20 und Abb. 21). Unter Verwendung von Formel (1) finden wir die Längen der Segmente DE und D.F..

Im ersten Fall ANZEIGE = 0,1AC, CD = 0,9AC. In dieser Sekunde - ANZEIGE = 0,125AC, CD = 1,125AC. Wir ersetzen die Daten und erhalten die Antwort: 4,6 oder 5,5.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung /

1. Der Umfang eines gleichschenkligen Trapezes ist einem Kreis einbeschrieben 2r. Finden Sie die Projektion der Diagonalen des Trapezes auf die größere Basis. (1/2r)

2. Offene Bank von USE-Problemen in der Mathematik. UM 4. Zu einem Kreis, der in ein Dreieck eingeschrieben ist ABC (Abb. 22), Es werden drei Tangenten gezeichnet. Die Umfänge der abgeschnittenen Dreiecke sind 6, 8, 10. Finde den Umfang dieses Dreiecks. (24)

3. In ein Dreieck ABC eingeschriebener Kreis. MN- Tangente an den Kreis MО AC, NО BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Finden Sie den Umfang eines Dreiecks MNC. (12)

4. Einem Kreis, der einem Quadrat mit der Seite a einbeschrieben ist, wird eine Tangente gezogen, die zwei seiner Seiten schneidet. Berechne den Umfang des abgeschnittenen Dreiecks. (a)

5. In ein Fünfeck mit Seiten ist ein Kreis eingeschrieben a, d, c, d und e. Finden Sie die Segmente, in die der Berührungspunkt die Seite gleich teilt a.

6. In ein Dreieck mit den Seiten 6, 10 und 12 ist ein Kreis einbeschrieben. An den Kreis wird eine Tangente gezogen, die zwei große Seiten schneidet. Berechne den Umfang des abgeschnittenen Dreiecks. (Sechszehn)

7. CD ist der Median des Dreiecks ABC. Kreise in Dreiecke eingeschrieben ACD und BCD, berühren Sie das Segment CD an Punkten M und N. Finden MN, Wenn AC – Sonne = 2. (1)

8. In einem Dreieck ABC mit den Parteien ein, b und c auf der Seite Sonne markierter Punkt D. Zu Kreisen, die in Dreiecke eingeschrieben sind ABD und ACD, wird eine gemeinsame Tangente gezogen, die sich schneidet ANZEIGE am Punkt M. Finde die Länge eines Segments BIN. (Länge BIN hängt nicht von der Position des Punktes ab D und
gleich ½ ( c + b - a))

9. In ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Radiuskreis einbeschrieben a. Der Radius des Kreises tangiert die Hypotenuse und die Verlängerungen der Beine R. Finde die Länge der Hypotenuse. ( Ra)

10. In einem Dreieck ABC Die Seitenlängen sind bekannt: AB = mit, AC = b, Sonne = a. Ein in ein Dreieck einbeschriebener Kreis tangiert eine Seite AB am Punkt Ab 1. Der Exkreis ist tangential zur Verlängerung der Seite AB pro Punkt SONDERN am Punkt Ab 2. Bestimmen Sie die Länge des Segments S1 S2. (b)

11. Ermitteln Sie die Seitenlängen des Dreiecks, geteilt durch den Berührungspunkt des einbeschriebenen Kreises mit Radius 3 cm in Segmente von 4 cm und 3 cm (7, 24 und 25 cm in einem rechtwinkligen Dreieck).

12. Soros-Olympiade 1996, 2. Runde, 11. Klasse. Dreieck gegeben ABC, an deren Seiten Punkte markiert sind A1, B1, C1. Radien von Kreisen, die in Dreiecke eingeschrieben sind AC 1 B 1 , BC 1 A 1 , CA 1 B 1 gleich hinein r. Radius eines Kreises, der einem Dreieck einbeschrieben ist A 1 B 1 C 1 gleich R. Finden Sie den Radius eines Kreises, der in ein Dreieck eingeschrieben ist ABC. (R +r).

Die Aufgaben 4–8 sind R. K. Gordins Aufgabenbuch „Geometry. Planimetrie." Moskau. Verlag MTSNMO. 2004.

Direkte ( MN), der nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat ( EIN), wird genannt Tangente zum Kreis.

Der gemeinsame Punkt wird in diesem Fall aufgerufen Berührungspunkt.

Existenzmöglichkeit Tangente, und außerdem durch einen beliebigen Punkt gezogen werden Kreise, als Anlaufstelle, wird durch folgendes belegt Satz.

Lassen Sie es erforderlich sein Kreise zentriert Ö Tangente durch einen Punkt EIN. Dazu ab dem Punkt EIN, wie von der Mitte, beschreiben Bogen Radius AO, und vom Punkt Ö, als Zentrum, schneiden wir diesen Bogen an Punkten B und Mit Kompasslösung gleich dem Durchmesser des gegebenen Kreises.

Nach dem Ausgeben dann Akkorde OB und Betriebssystem, verbinden Sie den Punkt EIN mit Punkten D und E wo diese Akkorde den gegebenen Kreis schneiden. Direkte ANZEIGE und AE - Tangente an den Kreis Ö. Das geht aus der Konstruktion eigentlich hervor Dreiecke AOB und AOC gleichschenklig(AO = AB = AC) mit Basen OB und Betriebssystem, gleich dem Durchmesser des Kreises Ö.

Als OD und OE sind dann die Radien D - Mitte OB, a E- Mitte Betriebssystem, meint ANZEIGE und AE - Mediane zu den Basen gleichschenkliger Dreiecke gezeichnet und daher senkrecht zu diesen Basen. Wenn direkt DA und EA senkrecht zu den Radien OD und OE, dann sind sie es Tangenten.

Folge.

Zwei Tangenten, die von demselben Punkt an den Kreis gezogen werden, sind gleich und bilden gleiche Winkel mit der Linie, die diesen Punkt mit dem Mittelpunkt verbindet.

So AD=AE und ∠ OAD = ∠OAE weil rechtwinklige Dreiecke AOD und AOE ein gemeinsames haben Hypotenuse AO und gleich Beine OD und OE(als Radien) gleich sind. Beachten Sie, dass hier das Wort „Tangente“ die eigentliche „ Tangentensegment” vom angegebenen Punkt zum Kontaktpunkt.