Tabelle der Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren. Faktorisierung großer Zahlen

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Jede zusammengesetzte Zahl kann in Primfaktoren zerlegt werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten der Zerlegung. Beide Methoden führen zum gleichen Ergebnis.

Wie man eine Zahl in Primfaktoren zerlegt bequeme Weise? Lassen Sie uns anhand konkreter Beispiele überlegen, wie wir es besser machen können.

Beispiele. 1) Zerlege die Zahl 1400 in Primfaktoren.

1400 ist durch 2 teilbar. 2 ist eine Primzahl, die nicht faktorisiert werden muss. Wir erhalten 700. Teilen Sie es durch 2. Wir erhalten 350. Wir teilen 350 auch durch 2. Die resultierende Zahl 175 kann durch 5 geteilt werden. Das Ergebnis - z5 - wird erneut durch 5 geteilt. Summe - 7. Es kann nur durch geteilt werden 7. Wir haben 1, Division beendet.

Dieselbe Zahl kann unterschiedlich in Primfaktoren zerlegt werden:

1400 wird praktischerweise durch 10 geteilt. 10 ist keine Primzahl, also muss sie in Primfaktoren zerlegt werden: 10=2∙5. Das Ergebnis ist 140. Wir teilen es wieder durch 10=2∙5. Wir erhalten 14. Wenn 14 durch 14 geteilt wird, dann sollte es auch in das Produkt der Primfaktoren zerlegt werden: 14=2∙7.

Wir kamen also wieder zu der gleichen Zerlegung wie im ersten Fall, aber schneller.

Fazit: Bei der Zerlegung einer Zahl ist es nicht notwendig, sie nur durch Primteiler zu dividieren. Wir teilen durch das, was bequemer ist, zum Beispiel durch 10. Wir müssen nur daran denken, die zusammengesetzten Teiler in einfache Faktoren zu zerlegen.

2) Zerlege die Zahl 1620 in Primfaktoren.

Die Zahl 1620 wird am bequemsten durch 10 geteilt. Da 10 keine Primzahl ist, stellen wir sie als Produkt von Primfaktoren dar: 10=2∙5. Wir haben 162. Es ist praktisch, sie durch 2 zu teilen. Das Ergebnis ist 81. Die Zahl 81 kann durch 3 geteilt werden, aber 9 ist bequemer. Da 9 keine Primzahl ist, zerlegen wir sie als 9=3∙3. Wir haben 9. Wir teilen es auch durch 9 und zerlegen es in das Produkt der Primfaktoren.

Was bedeutet Faktorisieren? Wie kann man es machen? Was kann man aus der Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren lernen? Die Antworten auf diese Fragen werden mit konkreten Beispielen illustriert.

Definitionen:

Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei verschiedene Teiler hat.

Eine zusammengesetzte Zahl ist eine Zahl, die mehr als zwei Teiler hat.

zersetzen natürliche Zahl zu Faktoren bedeutet, es als Produkt natürlicher Zahlen darzustellen.

Eine natürliche Zahl in Primfaktoren zu zerlegen bedeutet, sie als Produkt von Primzahlen darzustellen.

Anmerkungen:

Bei der Entwicklung einer Primzahl ist einer der Faktoren gleich eins und der andere gleich dieser Zahl selbst.
Es macht keinen Sinn, von der Zerlegung der Einheit in Faktoren zu sprechen.
Eine zusammengesetzte Zahl kann in Faktoren zerlegt werden, die jeweils von 1 verschieden sind.

	Zerlegen wir die Zahl 150. 150 ist zum Beispiel 15 mal 10. 15 ist eine zusammengesetzte Zahl. Es kann in Primfaktoren von 5 und 3 zerlegt werden. 10 ist eine zusammengesetzte Zahl. Es kann in Primfaktoren von 5 und 2 zerlegt werden. Nachdem wir ihre Erweiterungen in Primfaktoren anstelle von 15 und 10 niedergeschrieben hatten, erhielten wir eine Zerlegung der Zahl 150.
	Die Zahl 150 kann auf andere Weise faktorisiert werden. Zum Beispiel ist 150 das Produkt der Zahlen 5 und 30. 5 ist eine Primzahl. 30 ist eine zusammengesetzte Zahl. Es kann als Produkt von 10 und 3 dargestellt werden. 10 ist eine zusammengesetzte Zahl. Es kann in Primfaktoren von 5 und 2 zerlegt werden. Die Zerlegung der Zahl 150 in Primfaktoren haben wir auf einem anderen Weg bekommen.
	Beachten Sie, dass die erste und die zweite Erweiterung identisch sind. Sie unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der Multiplikatoren. Es ist üblich, die Faktoren in aufsteigender Reihenfolge zu schreiben.
Jede zusammengesetzte Zahl kann bis zur Ordnung der Faktoren eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden.

Bei der Zerlegung großer Zahlen in Primfaktoren wird ein Spalteneintrag verwendet:

Die kleinste Primzahl, durch die 216 teilbar ist, ist 2.

Teilen Sie 216 durch 2. Wir erhalten 108.

Die resultierende Zahl 108 ist durch 2 teilbar.

Machen wir die Division. Als Ergebnis erhalten wir 54.

Laut Teilbarkeitstest durch 2 ist die Zahl 54 durch 2 teilbar.

Nach Division erhalten wir 27.

Die Zahl 27 endet mit einer ungeraden Zahl 7. Es

Nicht durch 2 teilbar. Die nächste Primzahl ist 3.

Teilen Sie 27 durch 3. Wir erhalten 9. Die kleinste Primzahl

Die Zahl, durch die 9 teilbar ist, ist 3. Drei ist selbst eine Primzahl, die durch sich selbst und durch Eins teilbar ist. Teilen wir 3 durch uns selbst. Als Ergebnis haben wir 1.

Die Zahl ist nur durch diese teilbar Primzahlen, die Teil seiner Zersetzung sind.
Eine Zahl ist nur durch solche zusammengesetzten Zahlen teilbar, deren Zerlegung in Primfaktoren vollständig in ihr enthalten ist.

Betrachten Sie Beispiele:

4900 ist durch die Primzahlen 2, 5 und 7 teilbar (sie sind in der Erweiterung der Zahl 4900 enthalten), aber beispielsweise nicht durch 13 teilbar.

11 550 75. Dies liegt daran, dass die Erweiterung der Nummer 75 vollständig in der Erweiterung der Nummer 11550 enthalten ist.

Das Ergebnis der Division ist das Produkt der Faktoren 2, 7 und 11.

11550 ist nicht durch 4 teilbar, da es eine zusätzliche 2 in der Erweiterung von 4 gibt.

Ermitteln Sie den Quotienten aus der Division der Zahl a durch die Zahl b, wenn diese Zahlen wie folgt in Primfaktoren zerlegt werden a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Die Zerlegung der Zahl b ist vollständig in der Zerlegung der Zahl a enthalten.

Das Ergebnis der Division von a durch b ist das Produkt der drei Zahlen, die bei der Erweiterung von a übrig bleiben.

Die Antwort lautet also: 30.

Referenzliste

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Rurukin A. N., Tschaikowsky I. V. Aufgaben für den Kurs Mathematik Klasse 5-6. - M.: ZSch MEPHI, 2011.
Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tschaikowsky K.G. Mathematik 5-6. Zuschuss für Schüler der 6. Klasse Fernschule MEPHI. - M.: ZSch MEPHI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Mathematik: Lehrbuch-Gesprächspartner für die 5.-6. Klasse des Gymnasiums. - M.: Pädagogik, Lehrerbibliothek Mathematik, 1989.

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Internetportal Math-portal.ru ().

Hausaufgaben

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik 6. - M.: Mnemozina, 2012. Nr. 127, Nr. 129, Nr. 141.
Sonstige Aufgaben: Nr. 133, Nr. 144.

Eine große Zahl zu faktorisieren ist keine leichte Aufgabe. Die meisten Menschen finden es schwierig, vier- oder fünfstellige Zahlen zu zerlegen. Um den Vorgang zu vereinfachen, schreiben Sie die Zahl über die beiden Spalten.

Zerlegen wir die Zahl 6552.

Teilen Sie die gegebene Zahl durch den kleinsten Primteiler (außer 1), der die gegebene Zahl ohne Rest teilt. Schreibe diesen Divisor in die linke Spalte und das Ergebnis der Division in die rechte Spalte. Wie oben erwähnt, lassen sich gerade Zahlen leicht faktorisieren, da ihr kleinster Primfaktor immer 2 ist (ungerade Zahlen haben unterschiedliche kleinste Primfaktoren).

In unserem Beispiel ist 6552 eine gerade Zahl, also ist 2 der kleinste Primfaktor. 6552 ÷ 2 = 3276. Schreiben Sie 2 in die linke Spalte und 3276 in die rechte Spalte.

Teilen Sie als Nächstes die Zahl in der rechten Spalte durch den kleinsten Primteiler (außer 1), der die angegebene Zahl ohne Rest teilt. Schreiben Sie diesen Divisor in die linke Spalte und das Ergebnis der Division in die rechte Spalte (setzen Sie diesen Vorgang fort, bis in der rechten Spalte 1 übrig bleibt).

In unserem Beispiel: 3276 ÷ 2 = 1638. Schreiben Sie in die linke Spalte 2 und in die rechte Spalte 1638. Weiter: 1638 ÷ 2 = 819. Schreiben Sie 2 in die linke Spalte und 819 in die rechte Spalte.

Sie haben eine ungerade Zahl; Für solche Zahlen ist es schwieriger, den kleinsten Primteiler zu finden. Wenn Sie eine ungerade Zahl erhalten, versuchen Sie, sie durch die kleinsten ungeraden Primzahlen zu teilen: 3, 5, 7, 11.

In unserem Beispiel hast du die ungerade Zahl 819. Teile sie durch 3: 819 ÷ 3 = 273. Schreibe 3 in die linke Spalte und 273 in die rechte Spalte.
Versuchen Sie bei der Auswahl von Teilern alle Primzahlen bis zu Quadratwurzel vom größten Teiler, den du gefunden hast. Wenn kein Teiler die Zahl gleichmäßig teilt, hast du höchstwahrscheinlich eine Primzahl und kannst aufhören zu rechnen.

Fahren Sie mit dem Dividieren von Zahlen durch Primfaktoren fort, bis in der rechten Spalte eine 1 übrig bleibt (wenn Sie eine Primzahl in der rechten Spalte erhalten, teilen Sie sie durch sich selbst, um 1 zu erhalten).

Fahren wir mit unserem Beispiel fort:
- Teilen Sie durch 3: 273 ÷ 3 = 91. Es gibt keinen Rest. Schreiben Sie 3 in die linke Spalte und 91 in die rechte Spalte.
- Teilen Sie durch 3. 91 ist teilbar durch 3 mit Rest, also teilen Sie durch 5. 91 ist teilbar durch 5 mit Rest, also teilen Sie durch 7: 91 ÷ 7 = 13. Es gibt keinen Rest. Schreiben Sie 7 in die linke Spalte und 13 in die rechte Spalte.
- Teilen Sie durch 7. 13 ist teilbar durch 7 mit Rest, also teilen Sie durch 11. 13 ist teilbar durch 11 mit Rest, also teilen Sie durch 13: 13 ÷ 13 = 1. Es gibt keinen Rest. Schreiben Sie in die linke Spalte 13 und in die rechte Spalte 1. Ihre Berechnungen sind abgeschlossen.

Die linke Spalte zeigt die Primfaktoren der ursprünglichen Zahl. Mit anderen Worten, wenn Sie alle Zahlen aus der linken Spalte multiplizieren, erhalten Sie die Zahl, die über den Spalten steht. Wenn derselbe Faktor mehrmals in der Liste der Faktoren vorkommt, verwenden Sie Exponenten, um dies anzuzeigen. In unserem Beispiel erscheint 2 viermal in der Multiplikatorliste; Schreiben Sie diese Faktoren als 2 4 , nicht als 2*2*2*2.

In unserem Beispiel ist 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Sie haben die Zahl 6552 in Primfaktoren zerlegt (die Reihenfolge der Faktoren in dieser Notation spielt keine Rolle).

Was bedeutet Faktorisieren? Das bedeutet, Zahlen zu finden, deren Produkt gleich der ursprünglichen Zahl ist.

Betrachten Sie ein Beispiel, um zu verstehen, was es bedeutet, zu faktorisieren.

Ein Beispiel für die Faktorisierung einer Zahl

Faktorisiere die Zahl 8.

Die Zahl 8 kann als Produkt von 2 mal 4 dargestellt werden:

Darstellung von 8 als Produkt von 2 * 4 und damit die Faktorisierung.

Beachten Sie, dass dies nicht die einzige Faktorisierung von 8 ist.

Immerhin wird 4 wie folgt faktorisiert:

Von hier aus können 8 dargestellt werden:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Überprüfen wir unsere Antwort. Lassen Sie uns herausfinden, was die Faktorisierung gleich ist:

Das heißt, wir haben die ursprüngliche Nummer erhalten, die Antwort ist richtig.

Zerlege die Zahl 24

Wie kann man die Zahl 24 faktorisieren?

Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

Die Zahl 8 kann als Produkt von 3 mal 8 dargestellt werden:

Hier wird die Zahl 24 faktorisiert. Aber die Aufgabe sagt "die Zahl 24 zu faktorisieren", d.h. wir brauchen Primfaktoren. Und in unserer Erweiterung ist 3 ein Primfaktor und 8 kein Primfaktor.