Bestimmen Sie den Längen- und Richtungskosinus der Senkrechten. Richtungskosinus von Vektoren

Gegeben sei ein Vektor. Einheitsvektor in die gleiche Richtung wie (Vektor Vektor ) wird durch die Formel gefunden:

.

Lassen Sie die Achse Winkel mit den Koordinatenachsen bildet
.Richtungskosinus der Achse die Kosinuswerte dieser Winkel heißen: Wenn Richtung durch Einheitsvektor gegeben , dann dienen die Richtungskosinusse als Koordinaten, also:

.

Die Richtungskosinusse hängen zusammen durch die Beziehung:

Wenn Richtung durch einen beliebigen Vektor gegeben , finde dann den Einheitsvektor dieses Vektors und vergleiche ihn mit dem Ausdruck für den Einheitsvektor , werden:

Skalarprodukt

Skalarprodukt
zwei Vektoren und eine Zahl genannt, die dem Produkt ihrer Längen durch den Kosinus des Winkels zwischen ihnen entspricht:
.

Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:

Somit,
.

Die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts: Skalarprodukt von Vektor und Einheitsvektor gleich der Projektion des Vektors in die festgelegte Richtung , d.h.
.

Aus der Definition des Skalarprodukts folgt die folgende Tabelle der Multiplikation von orts
:

.

Wenn die Vektoren durch ihre Koordinaten gegeben sind
und
, d.h.
,
, dann multiplizieren wir diese Vektoren skalar und verwenden die Multiplikationstabelle von orts, um den Ausdruck für das Skalarprodukt zu erhalten
durch die Koordinaten der Vektoren:

.

Vektorprodukt

Kreuzprodukt eines Vektorspro Vektor Vektor genannt , deren Länge und Richtung durch die Bedingungen bestimmt wird:

Das Vektorprodukt hat folgende Eigenschaften:

Aus den ersten drei Eigenschaften folgt, dass die Vektormultiplikation einer Summe von Vektoren mit einer Summe von Vektoren den üblichen Regeln der Polynommultiplikation gehorcht. Es ist lediglich darauf zu achten, dass sich die Reihenfolge der Multiplikatoren nicht ändert.

Die Basiseinheitsvektoren werden wie folgt multipliziert:

Wenn ein
und
, dann können wir unter Berücksichtigung der Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren eine Regel zur Berechnung der Koordinaten des Vektorprodukts aus den Koordinaten der Faktorvektoren ableiten:

Wenn wir die oben erhaltenen Regeln für die Multiplikation von Orten berücksichtigen, dann:

Eine kompaktere Schreibweise eines Ausdrucks zur Berechnung der Koordinaten des Vektorprodukts zweier Vektoren lässt sich konstruieren, wenn wir das Konzept einer Matrixdeterminante einführen.

Betrachten Sie einen Sonderfall, wenn die Vektoren und gehören zum Flugzeug
, d.h. Sie können dargestellt werden als
und
.

Wenn die Koordinaten der Vektoren in Form einer Tabelle wie folgt geschrieben werden:
, dann können wir sagen, dass aus ihnen eine quadratische Matrix zweiter Ordnung gebildet wird, d.h. Größe
, bestehend aus zwei Zeilen und zwei Spalten. Jeder quadratischen Matrix ist eine Zahl zugeordnet, die sich nach bestimmten Regeln aus den Elementen der Matrix errechnet und als Determinante bezeichnet wird. Die Determinante einer Matrix zweiter Ordnung ist gleich der Differenz zwischen den Produkten der Elemente der Hauptdiagonale und der Nebendiagonale:

.

In diesem Fall:

Der Absolutwert der Determinante ist somit gleich der Fläche des auf den Vektoren aufgebauten Parallelogramms und wie an den Seiten.

Vergleichen wir diesen Ausdruck mit der Vektorproduktformel (4.7), dann gilt:

Dieser Ausdruck ist eine Formel zur Berechnung der Determinante einer Matrix dritter Ordnung aus der ersten Zeile.

Auf diese Weise:

Matrixdeterminante dritter Ordnung wird wie folgt berechnet:

und ist die algebraische Summe von sechs Termen.

Die Formel zur Berechnung der Determinante einer Matrix dritter Ordnung ist leicht zu merken, wenn Sie sie verwenden RegelSarrus, die wie folgt formuliert ist:

Jeder Term ist das Produkt von drei Elementen, die sich in unterschiedlichen Spalten und unterschiedlichen Reihen der Matrix befinden;

Das Pluszeichen hat die Produkte von Elementen, die Dreiecke mit einer Seite parallel zur Hauptdiagonalen bilden;

Das Minuszeichen wird den Produkten der Elemente gegeben, die zur Nebendiagonale gehören, und den beiden Produkten der Elemente, die Dreiecke mit Seiten parallel zur Nebendiagonale bilden.

Vektorrichtungskosinus.

Richtungskosinus des Vektors a sind die Kosinusse der Winkel, die der Vektor mit den positiven Halbachsen der Koordinaten bildet.

Um die Richtungskosinusse des Vektors a zu finden, müssen die entsprechenden Koordinaten des Vektors durch den Modul des Vektors geteilt werden.

Eigentum: Die Summe der Quadrate der Richtungskosinusse ist gleich eins.

So im Falle eines Flugzeugproblems Richtungskosinus des Vektors a = (ax; ay) werden durch die Formeln gefunden:

Ein Beispiel für die Berechnung des Richtungskosinus eines Vektors:

Finden Sie die Richtungskosinusse des Vektors a = (3; 4).

Lösung: |a| =

Also rein Fall eines räumlichen Problems Richtungskosinus des Vektors a = (ax; ay; az) werden durch die Formeln gefunden:

Ein Beispiel für die Berechnung des Richtungskosinus eines Vektors

Finden Sie die Richtungskosinusse des Vektors a = (2; 4; 4).

Lösung: |a| =

"Wie man den Richtungskosinus eines Vektors findet"

Mit alpha, beta und gamma bezeichnen wir die Winkel, die der Vektor a mit der positiven Richtung der Koordinatenachsen bildet (siehe Abb. 1). Die Kosinusse dieser Winkel heißen Richtungskosinusse des Vektors a.

Da die Koordinaten a im kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem gleich den Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen sind, gilt a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (Gamma). Also: cos (alpha)=a1||a|, cos(beta)=a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Außerdem ist |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Also cos(alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Es sollte die Haupteigenschaft von Richtungskosinussen beachtet werden. Die Summe der Quadrate der Richtungskosinusse des Vektors ist gleich eins. Tatsächlich ist cos^2(alpha)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Erster Weg

Beispiel: gegeben: Vektor a=(1, 3, 5). Finde seinen Richtungskosinus. Entscheidung. In Übereinstimmung mit dem, was wir gefunden haben, schreiben wir aus: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Somit kann die Antwort in folgender Form geschrieben werden: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).

Zweiter Weg

Bei der Bestimmung der Richtungskosinusse des Vektors a können Sie die Technik zur Bestimmung der Winkelkosinusse mithilfe des Skalarprodukts anwenden. In diesem Fall meinen wir die Winkel zwischen a und den Richtungseinheitsvektoren der rechtwinkligen kartesischen Koordinaten i, j und k. Ihre Koordinaten sind (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Es sei daran erinnert, dass das Skalarprodukt von Vektoren wie folgt definiert ist.

Wenn der Winkel zwischen den Vektoren φ ist, dann ist das Skalarprodukt zweier Winde (per Definition) eine Zahl gleich dem Produkt der Module der Vektoren durch cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Dann, wenn b=i, dann (a, i) = |a||i|cos(alpha) oder a1 = |a|cos(alpha). Weiterhin werden alle Aktionen ähnlich wie bei Methode 1 durchgeführt, wobei die Koordinaten j und k berücksichtigt werden.

das sind die Kosinusse der Winkel, die der Vektor mit den positiven Halbachsen der Koordinaten bildet. Die Richtungskosinusse definieren eindeutig die Richtung des Vektors. Wenn ein Vektor die Länge 1 hat, dann sind seine Richtungskosinusse gleich seinen Koordinaten. Im Allgemeinen gilt für einen Vektor mit Koordinaten ( a; b; c) Richtungskosinus sind gleich:

wobei a, b, g die Winkel sind, die der Vektor mit den Achsen bildet x, j, z bzw.

21) Zerlegung eines Vektors in Vektoren. Der Ort der Koordinatenachse wird mit bezeichnet, die Achsen mit , die Achsen mit (Abb. 1).

Für jeden Vektor, der in der Ebene liegt, findet folgende Zerlegung statt:

Wenn der Vektor im Raum liegt, dann hat die Entwicklung nach Einheitsvektoren der Koordinatenachsen die Form:

22)Skalarprodukt zwei Nicht-Null-Vektoren und die Zahl gleich dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen heißt:

23) Winkel zwischen zwei Vektoren

Wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren spitz ist, dann ist ihr Skalarprodukt positiv; wenn der Winkel zwischen den Vektoren stumpf ist, dann ist das Skalarprodukt dieser Vektoren negativ. Das Skalarprodukt zweier Nicht-Null-Vektoren ist genau dann Null, wenn diese Vektoren orthogonal sind.

24) Die Bedingung der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Vektoren.

Die Bedingung der Rechtwinkligkeit von Vektoren
Vektoren sind genau dann senkrecht, wenn ihr inneres Produkt 0 ist. Gegeben sind zwei Vektoren a(xa;ya) und b(xb;yb). Diese Vektoren sind senkrecht, wenn der Ausdruck xaxb + yayb = 0 ist.

25) Vektorprodukt zweier Vektoren.

Ein Vektorprodukt zweier nicht-kollinearer Vektoren ist ein Vektor c=a×b, der die folgenden Bedingungen erfüllt: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Die Vektoren a, b, c bilden das rechte Tripel von Vektoren.

26) Kollineare und koplanare Vektoren.

Vektoren sind kollinear, wenn die Abszisse des ersten Vektors zur Abszisse des zweiten in der gleichen Beziehung steht wie die Ordinate des ersten zur Ordinate des zweiten. Es sind zwei Vektoren gegeben a (xa;ja) und b (xb;ja). Diese Vektoren sind kollinear, wenn x ein = xb und ja = ja, wo R.

Vektoren −→ a,−→b und −→ c namens koplanar wenn es eine Ebene gibt, zu der sie parallel sind.

27) Mischprodukt aus drei Vektoren. Mischprodukt von Vektoren- Skalarprodukt von Vektor a und Vektorprodukt der Vektoren b und c. Finden Sie das gemischte Produkt der Vektoren a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Entscheidung:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Der Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Ebene. Der Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist gleich der Quadratwurzel der Summe der quadrierten Differenzen der gleichen Koordinaten dieser Punkte.

29) Die diesbezügliche Aufteilung des Segments. Wenn der Punkt M(x; y) auf einer Geraden liegt, die durch zwei gegebene Punkte ( , ) und ( , ) geht, und die Beziehung gegeben ist, in der der Punkt M die Strecke teilt, dann sind die Koordinaten des Punktes M bestimmt durch die Formeln

Wenn der Punkt M der Mittelpunkt des Segments ist, werden seine Koordinaten durch die Formeln bestimmt

30-31. Steigung einer Geraden heißt Tangente der Steigung dieser Geraden. Die Steigung einer Geraden wird üblicherweise mit dem Buchstaben bezeichnet k. Dann per Definition

Liniengleichung mit Steigung hat die Form wo k- Winkelkoeffizient der Geraden, b ist eine reelle Zahl. Die Gleichung einer Geraden mit einer Steigung kann jede Gerade setzen, die nicht parallel zur Achse ist Ey(bei einer Geraden parallel zur y-Achse ist die Steigung nicht definiert).

33. Allgemeine Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene. Gleichung eingeben Es gibt allgemeine Geradengleichung Oxy. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und C sind folgende Sonderfälle möglich:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - die Linie verläuft durch den Ursprung

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - die Linie verläuft parallel zur Ox-Achse

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - die Linie ist parallel zur Oy-Achse

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - die gerade Linie fällt mit der Oy-Achse zusammen

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - die gerade Linie fällt mit der Ox-Achse zusammen

34.Gleichung einer Geraden in Segmenten auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy hat die Form wo a und b sind einige reelle Zahlen ungleich Null. Dieser Name ist kein Zufall, da die absoluten Werte von Zahlen a und b gleich den Längen der Segmente, die die Gerade auf den Koordinatenachsen schneidet Ochse und Ey(Segmente werden vom Ursprung aus gezählt). Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten macht es also einfach, diese gerade Linie in einer Zeichnung zu erstellen. Markieren Sie dazu Punkte mit Koordinaten und in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in der Ebene und verbinden Sie diese mit einem Lineal mit einer Geraden.

35. Die Normalengleichung einer Geraden hat die Form

wo ist der Abstand von der Geraden zum Ursprung;  ist der Winkel zwischen der Normalen der Geraden und der Achse.

Die Normalgleichung erhält man aus der allgemeinen Gleichung (1) durch Multiplikation mit dem Normierungsfaktor , das Vorzeichen von  ist entgegengesetzt zu dem von .

Die Kosinusse der Winkel zwischen der Linie und den Koordinatenachsen heißen Richtungskosinus,  ist der Winkel zwischen Linie und Achse,  ist zwischen Linie und Achse:

Somit kann die Normalgleichung geschrieben werden als

Entfernung vom Punkt zu gerade wird durch die Formel bestimmt

36. Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Linie wird nach folgender Formel berechnet:

wobei x 0 und y 0 die Koordinaten des Punktes sind und A, B und C die Koeffizienten aus der allgemeinen Geradengleichung sind

37. Die allgemeine Gleichung einer geraden Linie auf eine normale bringen. Die Gleichung und die Ebene unterscheiden sich in diesem Zusammenhang in nichts anderem als der Anzahl der Terme in den Gleichungen und der Dimension des Raums. Deshalb werde ich zuerst alles über das Flugzeug sagen und am Ende eine Reservierung über die gerade Linie machen.
Die allgemeine Gleichung der Ebene sei gegeben: Ax + By + Cz + D = 0.
;. wir bekommen das System: g;Mc=cosb, MB=cosaBringen wir es zur Normalform. Dazu multiplizieren wir beide Gleichungsteile mit dem Normierungsfaktor M. Wir erhalten: Max + Mvu + MSz + MD = 0. In diesem Fall МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa erhalten wir das System:

M2 B2 = cos2b
M2 C2=cos2g

Addiert man alle Gleichungen des Systems, erhält man M*(A2 + B2 + C2) = 1. Nun muss man hier nur noch M ausdrücken, um zu wissen, mit welchem ​​Normierungsfaktor die ursprüngliche allgemeine Gleichung multipliziert werden muss, um sie zu normalisieren form:
M \u003d - + 1 / ROOT KV A2 + B2 + C2
MD muss immer kleiner als Null sein, daher wird das Vorzeichen der Zahl M entgegengesetzt zum Vorzeichen der Zahl D genommen.
Bei der Geradengleichung ist alles beim Alten, nur der Term C2 sollte einfach aus der Formel für M gestrichen werden.

38.Die allgemeine Gleichung der Ebene im Raum heißt eine Gleichung der Form

wo EIN 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

Im dreidimensionalen Raum in einem kartesischen Koordinatensystem wird jede Ebene durch eine Gleichung 1. Grades (Lineargleichung) beschrieben. Umgekehrt definiert jede lineare Gleichung eine Ebene.

40.Gleichung einer Ebene in Segmenten. In einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz im dreidimensionalen Raum eine Gleichung der Form , wo a, b und c reelle Zahlen außer Null werden aufgerufen Ebenengleichung in Segmenten. Absolute Zahlenwerte a, b und c gleich den Längen der Segmente, die die Ebene auf den Koordinatenachsen schneidet Ochse, Ey und Unze jeweils vom Ursprung gezählt. Nummernschild a, b und c zeigt, in welcher Richtung (positiv oder negativ) die Segmente auf den Koordinatenachsen aufgetragen sind

41) Normalgleichung der Ebene.

Die normale Gleichung einer Ebene ist ihre Gleichung, geschrieben in der Form

wobei , , die Richtungskosinusse der Normalen der Ebene sind, z

p ist der Abstand vom Ursprung zur Ebene. Bei der Berechnung der Richtungskosinusse der Normalen ist zu beachten, dass sie vom Ursprung zur Ebene gerichtet sind (wenn die Ebene durch den Ursprung geht, ist die Wahl der positiven Richtung der Normalen gleichgültig).

42) Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene.Die Ebene sei durch die Gleichung gegeben und einen Punkt gegeben. Dann wird der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene durch die Formel bestimmt

Nachweisen. Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene ist per Definition die Länge der Senkrechten, die von einem Punkt zu einer Ebene fällt

Winkel zwischen Ebenen

Die Ebenen und seien durch die Gleichungen bzw. gegeben. Es ist erforderlich, den Winkel zwischen diesen Ebenen zu finden.

Die sich schneidenden Ebenen bilden vier Diederwinkel: zwei stumpfe und zwei spitze oder vier gerade, und beide stumpfen Winkel sind einander gleich, und beide spitzen sind ebenfalls einander gleich. Wir werden immer nach einem spitzen Winkel suchen. Um seinen Wert zu bestimmen, nehmen wir einen Punkt auf der Schnittlinie der Ebenen und an diesem Punkt in jeder

Ebenen zeichnen wir Senkrechte zur Schnittlinie.

Eigentum:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

b) Definition linearer Operationen

die Summe zweier nicht kollinearer Vektoren und wird als Vektor bezeichnet, der aus dem gemeinsamen Ursprung der Vektoren entlang der Diagonale des Parallelogramms stammt, das auf diesen Vektoren aufgebaut ist

Die Differenz von Vektoren und wird als Summe eines Vektors und eines dem Vektor entgegengesetzten Vektors bezeichnet: . Verbinden Sie die Anfänge der Vektoren und , dann wird der Vektor vom Ende des Vektors zum Ende des Vektors gerichtet.

Arbeit Vektor zu einer Zahl heißt Vektor mit Modul und for und for . Geometrisch bedeutet Multiplikation mit einer Zahl, den Vektor um den Faktor 1 zu „dehnen“, dabei die Richtung bei beizubehalten und bei in die entgegengesetzte Richtung zu wechseln.

Aus den obigen Regeln zum Addieren von Vektoren und Multiplizieren mit einer Zahl folgen die offensichtlichen Aussagen:

1. (Addition ist kommutativ);

2. (Addition ist assoziativ);

3. (Existenz eines Nullvektors);

4. (Existenz des entgegengesetzten Vektors);

5. (Addition ist assoziativ);

6. (Multiplikation mit einer Zahl ist distributiv);

7. (Vektoraddition ist distributiv);

c) Skalarprodukt und seine Haupteigenschaften

Skalarprodukt zweier Vektoren ungleich Null heißt die Zahl, die gleich dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen ist. Wenn mindestens einer der beiden Vektoren Null ist, dann ist der Winkel zwischen ihnen nicht definiert und das Skalarprodukt wird als Null betrachtet. Das Skalarprodukt von Vektoren und wird bezeichnet

, wo und sind die Längen der Vektoren bzw. und ist der Winkel zwischen den Vektoren und .

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst wird Punktquadrat genannt.

Eigenschaften des Skalarprodukts.

Für beliebige Vektoren gilt und gilt: Punktprodukteigenschaften:

Kommutativitätseigenschaft des Skalarprodukts;

Distributivitätseigenschaft oder ;

assoziative Eigenschaft oder , wobei eine beliebige reelle Zahl ist;

Das Skalarquadrat eines Vektors ist immer nicht negativ, und genau dann, wenn der Vektor Null ist.

D) Vektorprodukt und seine Eigenschaften

Vektorprodukt Vektor a zu Vektor b wird als Vektor c bezeichnet, dessen Länge numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms ist, das auf den Vektoren a und b aufgebaut ist, senkrecht zur Ebene dieser Vektoren und so gerichtet ist, dass die geringste Drehung von a nach b erfolgt um den Vektor c ist entgegen dem Uhrzeigersinn, wenn man ihn vom Endvektor c aus betrachtet

Formeln zur Berechnung des Kreuzprodukts von Vektoren

Vektorprodukt zwei Vektoren a = (a x ; a y ; a z ) und b = (b x ; b y ; b z ) in kartesischen Koordinaten ist ein Vektor, dessen Wert mit den folgenden Formeln berechnet werden kann:

• Das Kreuzprodukt zweier Nicht-Null-Vektoren a und b ist genau dann Null, wenn die Vektoren kollinear sind.
• Der Vektor c, der gleich dem Kreuzprodukt der von Null verschiedenen Vektoren a und b ist, steht senkrecht zu diesen Vektoren.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene

A) die Gleichung einer Geraden mit Steigung

Steigung einer Geraden heißt Tangente der Steigung dieser Geraden.

Die Steigung einer Geraden wird üblicherweise mit dem Buchstaben bezeichnet k. Dann per Definition.

Wenn die Linie parallel zur y-Achse ist, dann existiert die Steigung nicht (in diesem Fall sagt man auch, dass die Steigung gegen unendlich geht).

Eine positive Steigung einer Geraden zeigt eine Zunahme in ihrem Funktionsgraphen an, eine negative Steigung eine Abnahme. Die Gleichung einer Geraden mit Steigung hat die Form y=kx+b, wobei k die Steigung der Geraden und b eine reelle Zahl ist. Die Gleichung einer Geraden mit Steigung kann jede Gerade angeben, die nicht parallel zur Oy-Achse ist (bei einer Geraden parallel zur Y-Achse ist die Steigung nicht definiert).

B) Arten von Geradengleichungen

Die gleichung namens die allgemeine Geradengleichung auf der Oberfläche.

Jede Gleichung ersten Grades mit zwei Variablen x und j nett , wo SONDERN, BEIM und Mit sind einige reelle Zahlen, und SONDERN und BEIM gleichzeitig ungleich Null, definiert eine Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy in der Ebene, und jede gerade Linie in der Ebene ist durch eine Gleichung der Form gegeben .

Geradengleichung , wobei a und b einige andere reelle Zahlen als Null genannt Gleichung einer Geraden in Segmenten. Dieser Name ist kein Zufall, da die absoluten Werte von Zahlen a und b gleich den Längen der Segmente, die die Gerade auf den Koordinatenachsen schneidet Ochse und Ey(Segmente werden vom Ursprung aus gezählt).

Geradengleichung , wobei x und j sind Variablen, und k und b sind einige reelle Zahlen, genannt Gleichung einer Geraden mit einer Steigung (k- Winkelkoeffizient)

Kanonische Gleichung einer Geraden in einer Ebene in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem Oxy hat die Form , wobei und einige reelle Zahlen sind und und gleichzeitig ungleich Null sind.

Es ist offensichtlich, dass die durch die kanonische Geradengleichung definierte Gerade durch den Punkt geht. Die in den Nennern der Brüche stehenden Zahlen und sind wiederum die Koordinaten des Richtungsvektors dieser Geraden. Also die kanonische Geradengleichung im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy in der Ebene entspricht einer Geraden, die durch den Punkt verläuft und einen Richtungsvektor hat.

Parametrische Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene sieht aus wie , wobei und einige reelle Zahlen sind und und gleichzeitig ungleich Null sind, und ein Parameter ist, der beliebige reelle Werte annimmt.

Parametrische Gleichungen einer Geraden stellen über einen Parameter eine implizite Beziehung zwischen den Abszissen und Ordinaten der Punkte einer Geraden her (daher der Name dieser Art von Geradengleichungen).

Ein Zahlenpaar , das durch die parametrischen Gleichungen der geraden Linie für einen reellen Wert des Parameters berechnet wird, sind die Koordinaten eines Punktes auf der geraden Linie. Zum Beispiel, wenn wir haben , das heißt, der Punkt mit Koordinaten liegt auf einer Geraden.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Koeffizienten und bei dem Parameter in den parametrischen Gleichungen der Geraden die Koordinaten des Richtungsvektors dieser Geraden sind

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht

Seien zwei Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) im Raum gegeben, dann ist die Gleichung einer geraden Linie, die durch diese Punkte verläuft:

Wenn einer der Nenner gleich Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden In der Ebene vereinfacht sich die oben geschriebene Geradengleichung:

wenn x 1 ≠ x 2 und x = x 1 wenn x 1 = x 2.

Bruch = k wird aufgerufen Neigungsfaktor gerade.

C) Berechnung des Winkels zwischen zwei Linien

wenn zwei Linien gegeben sind y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , dann wird der spitze Winkel zwischen diesen Linien definiert als

.

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2 . Zwei Geraden sind senkrecht, wenn k 1 = -1/ k 2 .

Satz. Die geraden Linien Ax + Vy + C \u003d 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB proportional sind. Wenn auch С 1 = λС, dann fallen die Geraden zusammen. Als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden werden die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden gefunden.

D) Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden

Bedingungen für die Parallelität zweier Linien:

a) Wenn die Geraden durch Gleichungen mit Steigung gegeben sind, dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität die Gleichheit ihrer Steigungen:

k 1 = k 2 .

b) Für den Fall, dass die Linien durch Gleichungen in allgemeiner Form (6) gegeben sind, ist die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität, dass die Koeffizienten an den entsprechenden Stromkoordinaten in ihren Gleichungen proportional sind, d.h.

Bedingungen für die Rechtwinkligkeit zweier Geraden:

a) In dem Fall, dass die Geraden durch die Gleichungen (4) mit einer Steigung gegeben sind, ist die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit, dass ihre Steigungen reziprok in der Größe und entgegengesetzt im Vorzeichen sind, d.h.

Diese Bedingung kann auch in das Formular geschrieben werden

k 1 k 2 = -1.

b) Sind die Geradengleichungen in der allgemeinen Form (6) gegeben, so ist die Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit (notwendig und hinreichend) die Erfüllung der Gleichheit

EIN 1 EIN 2 + B 1 B 2 = 0.

Funktionsgrenze

A) Sequenzlimit

Das Konzept einer Grenze wurde von Newton in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts und von Mathematikern des 18. Jahrhunderts wie Euler und Lagrange verwendet, aber sie verstanden die Grenze intuitiv. Die ersten strengen Definitionen des Grenzwerts einer Folge wurden 1816 von Bolzano und 1821 von Cauchy gegeben.

Die Nummer wird angerufen die Grenze der Zahlenfolge, wenn die Folge unendlich klein ist, d.h. alle ihre Elemente, beginnend mit einigen, kleiner sind als jede im Voraus genommene positive Zahl.

Für den Fall, dass eine Zahlenfolge einen Grenzwert in Form einer reellen Zahl hat, wird sie aufgerufen konvergierend zu dieser Nummer. Andernfalls wird die Sequenz aufgerufen abweichend . Wenn es außerdem unbegrenzt ist, wird angenommen, dass seine Grenze gleich unendlich ist.

Wenn außerdem alle Elemente einer unbeschränkten Folge, beginnend mit einer Zahl, ein positives Vorzeichen haben, dann sagen wir, dass der Grenzwert einer solchen Folge gleich ist plus unendlich .

Wenn die Elemente einer unbegrenzten Folge, ausgehend von einer Zahl, ein negatives Vorzeichen haben, dann sagen sie, dass die Grenze einer solchen Folge gleich ist minus unendlich .

B) Funktionsgrenze

Funktionsgrenze (Funktionsgrenze) an einem bestimmten Punkt, der den Definitionsbereich einer Funktion begrenzt, ist ein solcher Wert, zu dem der Wert der betrachteten Funktion tendiert, wenn ihr Argument gegen einen bestimmten Punkt tendiert.

Funktionsgrenze ist eine Verallgemeinerung des Begriffs des Grenzwerts einer Folge: Unter Grenzwert einer Funktion an einem Punkt wurde zunächst der Grenzwert einer Folge von Elementen des Funktionsbereichs verstanden, der sich aus Bildern von Punkten einer Folge von Elementen zusammensetzt des Definitionsbereichs der Funktion, der zu einem gegebenen Punkt konvergiert (die Grenze, an der betrachtet wird); Wenn eine solche Grenze existiert, konvergiert die Funktion gegen den angegebenen Wert; wenn eine solche Grenze nicht existiert, dann sagt man, dass die Funktion divergiert.

Funktionsgrenze- eines der Grundkonzepte der mathematischen Analyse. Der Wert wird aufgerufen Grenze (Grenzwert) einer Funktion an einem Punkt , wenn für eine beliebige Folge von Punkten, die zu konvergieren, aber nicht eines ihrer Elemente enthalten (d. h. in einer punktierten Nachbarschaft ), die Folge von Werten der Funktion zu konvergiert.

Der Wert wird aufgerufen Grenze (Grenzwert) einer Funktion am Punkt , wenn es für irgendeine im Voraus genommene positive Zahl eine ihr entsprechende positive Zahl gibt, so dass für alle Argumente, die die Bedingung erfüllen, die Ungleichung erfüllt ist.

C) zwei bemerkenswerte Grenzen

· Erste bemerkenswerte Grenze:

Konsequenzen

·

·

·

· Zweite bemerkenswerte Grenze:

Konsequenzen

1.

2.

3.

4.

5. zum ,

6.

D) infinitesimale und unendlich große Funktionen

Funktion y=f(x) namens unendlich klein beim x→a oder wann x→∞ wenn oder , d.h. Eine infinitesimale Funktion ist eine Funktion, deren Grenzwert an einem bestimmten Punkt Null ist.

wenn funktion y=f(x) vertretbar bei x→a als Summe einer konstanten Zahl b und unendlich klein α(x): f(x)=b+ α(x) dann .

Umgekehrt, wenn, dann f(x)=b+α(x), wo Axt) ist bei unendlich klein x→a.

Folge 1. Wenn und dann.

Folge 2. Ob c= const, dann.

Wenn die Funktion f(x) ist bei unendlich groß x→a, dann Funktion 1 /f(x) ist bei unendlich klein x→a.

Wenn die Funktion f(x)- unendlich klein bei x→a(oder x→∞) und verschwindet dann nicht y= 1/f(x) ist eine unendliche Funktion. Die einfachsten Eigenschaften von unendlich kleinen und unendlich großen Funktionen können mit den folgenden bedingten Beziehungen geschrieben werden: EIN≠ 0

D) Offenlegung von Unsicherheiten. Die Regel von L'Hopital

wichtigsten Arten von Unsicherheiten: Null dividiert durch Null ( 0 zu 0), unendlich geteilt durch unendlich, null mal unendlich, unendlich minus unendlich, eins hoch unendlich, null hoch null, unendlich hoch null.

Die Regel von L'Hopital sehr weit verbreitet für Grenzberechnungen wenn es eine Unsicherheit der Form Null geteilt durch Null, Unendlich geteilt durch Unendlich gibt.

Diese Arten von Unsicherheiten werden auf Null mal Unendlich und Unendlich minus Unendlich reduziert.

Wenn und wenn funktioniert f(x) und g(x) in einer Umgebung des Punktes differenzierbar sind, dann

Falls die Unsicherheit nach Anwendung der L'Hopital-Regel nicht verschwindet, kann sie erneut angewendet werden.

Berechnung von Derivaten

A) die Ableitungsregel einer komplexen Funktion

Lassen Sie ist komplexe Funktion , wobei die Funktion ein Zwischenargument ist. Lassen Sie uns zeigen, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion findet, wenn man die Ableitung für die Funktion (wir bezeichnen sie mit ) und die Ableitung für die Funktion kennt.

Satz 1. Wenn eine Funktion an einem Punkt eine Ableitung hat x, und die Funktion hat eine Ableitung am Punkt (), dann die komplexe Funktion am Punkt x hat eine Ableitung und = .

Andernfalls ist die Ableitung einer komplexen Funktion gleich dem Produkt der Ableitung der gegebenen Funktion in Bezug auf das Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments.

B) Differentiation einer parametrisch gegebenen Funktion

Die Funktion sei parametrisch gegeben, also in der Form:

wobei die Funktionen und über ein bestimmtes Intervall des Parameters definiert und kontinuierlich sind. Lassen Sie uns die Differenzen aus dem rechten und linken Teil jeder der Gleichheiten finden:

Um die zweite Ableitung zu finden, führen wir die folgenden Transformationen durch:

C) das Konzept der logarithmischen Ableitung einer Funktion

Die logarithmische Ableitung einer positiven Funktion heißt Ableitung. Da erhalten wir also nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion für die logarithmische Ableitung folgende Beziehung:

.

Unter Verwendung der logarithmischen Ableitung ist es praktisch, die gewöhnliche Ableitung in Fällen zu berechnen, in denen der Logarithmus die Form der Funktion vereinfacht.

Das Wesen einer solchen Differenzierung ist wie folgt: Zuerst wird der Logarithmus der gegebenen Funktion gefunden und erst dann wird daraus die Ableitung berechnet. Es sei eine Funktion gegeben. Wir logarithmieren die linke und rechte Seite dieses Ausdrucks:

Und dann, wenn wir die gewünschte Ableitung ausdrücken, haben wir als Ergebnis:

D) Ableitung der Umkehrfunktion

Wenn y=f(x) und x=g(y) ein Paar zueinander inverser Funktionen sind und die Funktion y=f(x) eine Ableitung f"(x) hat, dann ist die Ableitung der Umkehrfunktion g"( x)=1/f" (x).

Somit sind die Ableitungen zueinander inverser Funktionen reziprok. Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion:

E) Ableitung einer impliziten Funktion

Wenn die Funktion einer Variablen durch die Gleichung beschrieben wird j=f(x), wobei die Variable j auf der linken Seite, während die rechte Seite nur vom Argument abhängt x, dann sagen wir, dass die Funktion gegeben ist ausdrücklich. Beispielsweise sind die folgenden Funktionen explizit definiert:

j= Sünde x,j=x 2+2x+5,j=lncos x.

Bei vielen Aufgaben kann die Funktion jedoch gegeben sein implizit, d.h. in Form einer Gleichung

F(x,j)=0.

um die Ableitung zu finden j′( x) einer implizit definierten Funktion, muss sie nicht in eine explizite Form konvertiert werden. Dazu die Gleichung kennen F(x,j)=0, machen Sie einfach Folgendes:

Zuerst müssen Sie beide Seiten der Gleichung in Bezug auf die Variable differenzieren x, vorausgesetzt, dass j ist eine differenzierbare Funktion x und Verwenden der Regel zum Berechnen der Ableitung einer komplexen Funktion. In diesem Fall ist die Ableitung von Null (auf der rechten Seite) ebenfalls gleich Null.
Kommentar: Wenn die rechte Seite nicht Null ist, d.h. die implizite Gleichung hat die Form

f(x,j)=g(x,j),

dann differenzieren wir die linke und rechte Seite der Gleichung.

Lösen Sie die resultierende Gleichung nach der Ableitung j′( x).

Das Konzept eines Derivats

A) Definition eines Derivats

Ableitung der Funktion Differenzierung Integration.

j xx

Ableitungsdefinition

Betrachten Sie die Funktion f(x x 0. Dann die Funktion f(x) ist ein differenzierbar am Punkt x 0 und sie Derivat wird durch die Formel bestimmt

f′( x 0) = limΔ x→0Δ jΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

Ableitung der Funktion- eines der Grundkonzepte der Mathematik, und in der mathematischen Analyse nimmt die Ableitung neben dem Integral einen zentralen Platz ein. Der Prozess des Auffindens der Ableitung wird aufgerufen Differenzierung. Die Umkehroperation – die Wiederherstellung einer Funktion aus einer bekannten Ableitung – wird genannt Integration.

Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt charakterisiert die Änderungsrate der Funktion an diesem Punkt. Eine Schätzung der Änderungsrate kann durch Berechnen des Verhältnisses der Funktionsänderung Δ erhalten werden j zur entsprechenden Änderung des Arguments Δ x. Bei der Definition der Ableitung wird ein solches Verhältnis in der Grenze unter der Bedingung Δ berücksichtigt x→0. Kommen wir zu einer strengeren Formulierung:

Ableitungsdefinition

Betrachten Sie die Funktion f(x), dessen Definitionsbereich ein offenes Intervall um den Punkt herum enthält x 0. Dann die Funktion f(x) ist ein differenzierbar am Punkt x 0 und sie Derivat wird durch die Formel bestimmt

f′( x 0) = limΔ x→0Δ jΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

B) die geometrische Bedeutung der Ableitung

Die Ableitung der für einen bestimmten Wert berechneten Funktion ist gleich der Tangente des Winkels, der durch die positive Richtung der Achse und die positive Richtung der Tangente gebildet wird, die an den Graphen dieser Funktion am Punkt mit der Abszisse gezogen wird:

Hat eine Funktion an einem Punkt eine endliche Ableitung, so kann sie in einer Umgebung durch eine lineare Funktion angenähert werden

Die Funktion heißt Tangente an am Punkt Zahl.

D) Tabelle der Ableitungen der einfachsten Elementarfunktionen

Def. 1.5.6. Richtungskosinus Vektor a nennen wir die Kosinusse der Winkel, die dieser Vektor jeweils mit den Basisvektoren bildet, ich , j , k .

Vektorrichtungskosinus a = (X, beim, z) werden durch die Formeln gefunden:

Die Summe der Quadrate der Richtungskosinusse ist gleich eins:

Vektorrichtungskosinus a sind die Koordinaten seines orth: .

Seien die Basisvektoren ich , j , k von einem gemeinsamen Punkt gezogen Ö. Wir gehen davon aus, dass die Orte die positiven Richtungen der Achsen festlegen Oh, OU, Unze. Punktesammlung Ö (Ursprung) und einer orthonormalen Basis ich , j , k namens Kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem im Raum. Lassen SONDERN ist ein beliebiger Punkt im Raum. Vektor a = OA= x ich + j j + z k namens Radius-Vektor Punkte SONDERN, die Koordinaten dieses Vektors ( x, j, z) werden auch Punktkoordinaten genannt SONDERN(Symbol: SONDERN(x, j, z)). Koordinatenachsen Oh, OU, Unze auch Achse genannt Abszisse, Achse Ordinate, Achse bewerben.

Wenn der Vektor durch die Koordinaten seines Startpunkts gegeben ist BEIM 1 (x 1 , j 1 , z 1) und Endpunkt BEIM 2 (x 2 , j 2 , z 2), dann sind die Koordinaten des Vektors gleich der Differenz zwischen den Koordinaten des Endes und des Anfangs: (seit ).

Kartesische rechtwinklige Koordinatensysteme in der Ebene und auf der Geraden werden genauso mit entsprechenden quantitativen (dimensionsbezogenen) Änderungen definiert.

Lösung typischer Aufgaben.

Beispiel 1 Finden Sie die Längen- und Richtungskosinusse eines Vektors a = 6ich – 2j -3k .

Entscheidung. Vektorlänge: . Richtungskosinus: .

Beispiel 2 Finden Sie Vektorkoordinaten a , die mit den Koordinatenachsen gleiche spitze Winkel bilden, wenn die Länge dieses Vektors gleich ist.

Entscheidung. Da dann Einsetzen in Formel (1.6), erhalten wir . Vektor a bildet mit den Koordinatenachsen spitze Winkel, also die Ortho . Daher finden wir die Koordinaten des Vektors .

Beispiel 3 Drei nicht koplanare Vektoren sind gegeben e 1 = 2ich – k , e 2 = 3ich + 3j , e 3 = 2ich + 3k . Vektor zerlegen d = ich + 5j - 2k Basis e 1 , e 2 , e 3 .