Parametrische Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene. Parametrische Gleichungen Gleichung einer geraden Linie in parametrischer Form im Raum

Lesen Sie unbedingt diesen Absatz! Parametrische Gleichungen sind natürlich nicht das A und O der räumlichen Geometrie, sondern die Arbeitsameise vieler Probleme. Außerdem wird diese Art von Gleichungen oft unerwartet angewendet, und ich würde sagen, elegant.

Wenn der zu der Linie gehörende Punkt und der Richtungsvektor dieser Linie bekannt sind, dann sind die parametrischen Gleichungen dieser Linie durch das System gegeben:

Ich habe in den Lektionen über das eigentliche Konzept parametrischer Gleichungen gesprochen Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene und Ableitung einer parametrisch definierten Funktion.

Alles ist einfacher als eine gedämpfte Rübe, also müssen Sie die Aufgabe aufpeppen:

Beispiel 7

Entscheidung: Die Linien sind durch kanonische Gleichungen gegeben und in der ersten Stufe sollte man einen Punkt finden, der zu der Linie und ihrem Richtungsvektor gehört.

a) Entfernen Sie den Punkt und den Richtungsvektor aus den Gleichungen: . Sie können einen anderen Punkt wählen (wie das geht, ist oben beschrieben), aber es ist besser, den offensichtlichsten zu nehmen. Übrigens, um Fehler zu vermeiden, setzen Sie immer seine Koordinaten in die Gleichungen ein.

Lassen Sie uns die Parametergleichungen dieser Geraden aufstellen:

Der Vorteil parametrischer Gleichungen besteht darin, dass es mit ihrer Hilfe sehr einfach ist, andere Punkte der Linie zu finden. Lassen Sie uns zum Beispiel einen Punkt finden, dessen Koordinaten beispielsweise dem Wert des Parameters entsprechen:

Auf diese Weise:

b) Betrachten Sie die kanonischen Gleichungen . Die Auswahl eines Punktes ist hier einfach, aber heimtückisch: (Achten Sie darauf, die Koordinaten nicht zu verwechseln!!!). Wie ziehe ich einen Führungsvektor heraus? Sie können spekulieren, wozu diese Linie parallel ist, oder Sie können einen einfachen formalen Trick anwenden: Die Proportion ist „Y“ und „Z“, also schreiben wir den Richtungsvektor und setzen Null in den verbleibenden Raum: .

Wir bilden die Parametergleichungen der Geraden:

c) Lassen Sie uns die Gleichungen in der Form umschreiben, das heißt, "Z" kann alles sein. Und wenn überhaupt, dann lassen Sie zum Beispiel . Somit gehört der Punkt zu dieser Linie. Um den Richtungsvektor zu finden, verwenden wir die folgende formale Technik: In den Anfangsgleichungen stehen "x" und "y", und im Richtungsvektor schreiben wir an diesen Stellen Nullen: . An der verbleibenden Stelle setzen wir Einheit: . Anstelle von Eins reicht eine beliebige Zahl außer Null.

Wir schreiben die Parametergleichungen der Geraden:

Für das Training:

Beispiel 8

Schreiben Sie parametrische Gleichungen für die folgenden Zeilen:

Lösungen und Antworten am Ende der Lektion. Ihre Antworten können leicht von meinen Antworten abweichen, Tatsache ist, dass parametrische Gleichungen können auf mehr als eine Weise geschrieben werden. Es ist wichtig, dass Ihre und meine Richtungsvektoren kollinear sind und dass Ihr Punkt mit meinen Gleichungen "passt" (na ja, oder umgekehrt, mein Punkt mit Ihren Gleichungen).

Wie sonst kann man eine gerade Linie im Raum definieren? Ich möchte mir etwas mit dem Normalenvektor einfallen lassen. Die Zahl wird jedoch nicht funktionieren, für eine Raumlinie können Normalenvektoren in völlig unterschiedliche Richtungen schauen.

Eine andere Methode wurde bereits in der Lektion erwähnt Ebenengleichung und am Anfang dieses Artikels.

WINKEL ZWISCHEN DEN EBENEN

Betrachten wir zwei Ebenen α 1 und α 2, die jeweils durch die Gleichungen gegeben sind:

Unter Winkel zwischen zwei Ebenen meinen wir einen der von diesen Ebenen gebildeten Diederwinkel. Es ist offensichtlich, dass der Winkel zwischen den Normalenvektoren und den Ebenen α 1 und α 2 gleich einem der angegebenen benachbarten Flächenwinkel oder ist . So . weil und , dann

.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen Ebenen x+2j-3z+4=0 und 2 x+3j+z+8=0.

Bedingung der Parallelität zweier Ebenen.

Zwei Ebenen α 1 und α 2 sind genau dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren und parallel sind, also .

Zwei Ebenen sind also genau dann parallel zueinander, wenn die Koeffizienten an den entsprechenden Koordinaten proportional sind:

oder

Bedingung der Rechtwinkligkeit von Ebenen.

Es ist klar, dass zwei Ebenen genau dann senkrecht stehen, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht stehen, also oder .

Auf diese Weise, .

Beispiele.

DIREKT IM RAUM.

VEKTORGLEICHUNG DIREKT.

PARAMETRISCHE GLEICHUNGEN DIREKT

Die Lage einer Geraden im Raum wird durch die Angabe eines beliebigen ihrer Fixpunkte vollständig bestimmt M 1 und einem Vektor parallel zu dieser Linie.

Ein Vektor parallel zu einer Geraden heißt führen der Vektor dieser Linie.

Also lass das gerade l geht durch einen Punkt M 1 (x 1 , j 1 , z 1) liegt auf einer geraden Linie parallel zum Vektor .

Betrachten Sie einen beliebigen Punkt M(x,y,z) auf einer geraden Linie. Das ist aus der Abbildung ersichtlich .

Die Vektoren und sind kollinear, also gibt es eine solche Zahl t, was , wo ist der Multiplikator t kann je nach Position des Punktes jeden numerischen Wert annehmen M auf einer geraden Linie. Faktor t heißt Parameter. Bezeichnet die Radiusvektoren von Punkten M 1 und M bzw. durch und erhalten wir . Diese Gleichung heißt Vektor Gerade Gleichung. Es zeigt, dass jeder Parameterwert t entspricht dem Radiusvektor eines Punktes M auf einer geraden Linie liegen.

Wir schreiben diese Gleichung in Koordinatenform. Beachte das , und von hier

Die resultierenden Gleichungen werden aufgerufen parametrisch Gerade Gleichungen.

Beim Ändern des Parameters t Koordinaten ändern x, j und z und Punkt M bewegt sich auf einer geraden Linie.

KANONISCHE GLEICHUNGEN DIREKT

Lassen M 1 (x 1 , j 1 , z 1) - ein Punkt, der auf einer geraden Linie liegt l, und ist sein Richtungsvektor. Nehmen Sie wieder einen beliebigen Punkt auf einer geraden Linie M(x,y,z) und betrachte den Vektor .

Es ist klar, dass die Vektoren und kollinear sind, daher müssen ihre jeweiligen Koordinaten proportional sein

– kanonisch Gerade Gleichungen.

Bemerkung 1. Beachten Sie, dass die kanonischen Gleichungen der Linie aus den parametrischen Gleichungen durch Eliminieren des Parameters erhalten werden könnten t. Tatsächlich erhalten wir aus den parametrischen Gleichungen oder .

Beispiel. Schreibe die Geradengleichung auf auf parametrische Weise.

Bezeichnen , somit x = 2 + 3t, j = –1 + 2t, z = 1 –t.

Bemerkung 2. Die Linie sei senkrecht zu einer der Koordinatenachsen, zum Beispiel der Achse Ochse. Dann steht der Richtungsvektor der Geraden senkrecht Ochse, somit, m=0. Folglich nehmen die parametrischen Gleichungen der Geraden die Form an

Eliminieren des Parameters aus den Gleichungen t, erhalten wir die Gleichungen der Geraden in der Form

Aber auch in diesem Fall vereinbaren wir, die kanonischen Gleichungen der Geraden formal in die Form zu schreiben . Wenn also der Nenner eines der Brüche Null ist, bedeutet dies, dass die Linie senkrecht zur entsprechenden Koordinatenachse steht.

Ebenso die kanonischen Gleichungen entspricht einer geraden Linie senkrecht zu den Achsen Ochse und Ey oder Parallelachse Unze.

Beispiele.

ALLGEMEINE GLEICHUNGEN EINE DIREKTE LINIE ALS SCHNITTLINIE ZWEI EBENEN

Durch jede gerade Linie im Raum verläuft eine unendliche Anzahl von Ebenen. Jeweils zwei von ihnen, die sich schneiden, definieren es im Raum. Daher sind die Gleichungen zweier solcher Ebenen, zusammen betrachtet, die Gleichungen dieser Geraden.

Im Allgemeinen zwei beliebige nicht parallele Ebenen, die durch die allgemeinen Gleichungen gegeben sind

bestimmen ihre Schnittlinie. Diese Gleichungen werden aufgerufen allgemeine Gleichungen gerade.

Beispiele.

Konstruieren Sie eine durch Gleichungen gegebene Gerade

Um eine Linie zu konstruieren, genügt es, zwei ihrer Punkte zu finden. Am einfachsten ist es, die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen zu wählen. Zum Beispiel der Schnittpunkt mit der Ebene xOy erhalten wir aus den Gleichungen einer Geraden, vorausgesetzt z= 0:

Wenn wir dieses System lösen, finden wir den Punkt M 1 (1;2;0).

Ebenso vorausgesetzt j= 0 erhalten wir den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene xOz:

Von den allgemeinen Gleichungen einer Geraden kann man zu ihren kanonischen oder parametrischen Gleichungen übergehen. Dazu müssen Sie einen Punkt finden M 1 auf der Linie und dem Richtungsvektor der Linie.

Punktkoordinaten M 1 erhalten wir aus diesem Gleichungssystem, indem wir einer der Koordinaten einen beliebigen Wert geben. Um den Richtungsvektor zu finden, beachten Sie, dass dieser Vektor senkrecht zu beiden Normalenvektoren stehen muss und . Also für den Richtungsvektor der Geraden l Sie können das Kreuzprodukt von Normalenvektoren nehmen:

.

Beispiel. Geben Sie die allgemeinen Geradengleichungen an zur kanonischen Form.

Finden Sie einen Punkt auf einer geraden Linie. Dazu wählen wir willkürlich eine der Koordinaten, zum Beispiel j= 0 und löse das Gleichungssystem:

Die Normalenvektoren der Ebenen, die die Linie definieren, haben Koordinaten Daher ist der Richtungsvektor gerade

. Somit, l: .

WINKEL ZWISCHEN DEN RECHTEN

Ecke zwischen geraden Linien im Raum nennen wir jeden der benachbarten Winkel, die durch zwei gerade Linien gebildet werden, die durch einen beliebigen Punkt parallel zu den Daten gezogen werden.

Gegeben seien zwei Geraden im Raum:

Offensichtlich kann der Winkel φ zwischen den Linien als der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren und genommen werden. Da erhalten wir dann gemäß der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren

Einer der Unterpunkte des Themas „Die Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene“ ist die Frage der Erstellung parametrischer Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Der folgende Artikel diskutiert das Prinzip der Zusammenstellung solcher Gleichungen für bestimmte bekannte Daten. Lassen Sie uns zeigen, wie man von parametrischen Gleichungen zu Gleichungen einer anderen Form übergeht; Lassen Sie uns die Lösung typischer Probleme analysieren.

Eine bestimmte Linie kann definiert werden, indem ein zu dieser Linie gehörender Punkt und ein Richtungsvektor für die Linie angegeben werden.

Angenommen, wir haben ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y gegeben. Außerdem ist die Gerade a gegeben, die den darauf liegenden Punkt M 1 (x 1, y 1) und den Richtungsvektor der gegebenen Geraden angibt a → = (a x , a y) . Wir geben eine Beschreibung der gegebenen Linie a unter Verwendung von Gleichungen.

Wir verwenden einen beliebigen Punkt M (x, y) und erhalten einen Vektor M 1 M →; berechne seine Koordinaten aus den Koordinaten der Start- und Endpunkte: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Lassen Sie uns das Ergebnis beschreiben: Die Linie ist durch eine Menge von Punkten M (x, y) gegeben, geht durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) und hat einen Richtungsvektor a → = (a x , a y) . Der spezifizierte Satz definiert nur dann eine gerade Linie, wenn die Vektoren M 1 M → = (x – x 1 , y – y 1) und a → = (a x , a y) kollinear sind.

Es gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Kollinearität von Vektoren, die in diesem Fall für die Vektoren M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) und a → = (a x , a y) als an geschrieben werden kann Gleichung:

M 1 M → = λ · a → , wobei λ eine reelle Zahl ist.

Bestimmung 1

Die Gleichung M 1 M → = λ · a → heißt vektorparametrische Geradengleichung.

In Koordinatenform sieht es so aus:

M 1 M → = λ ein → ⇔ x - x 1 = λ ein x y - y 1 = λ ein y ⇔ x = x 1 + ein x λ y = y 1 + ein y λ

Die Gleichungen des resultierenden Systems x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ heißen parametrische Gleichungen einer Geraden in einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Die Essenz des Namens ist wie folgt: Die Koordinaten aller Punkte der Linie können durch parametrische Gleichungen auf der Ebene der Form x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ bestimmt werden, wenn über alle reellen Werte iteriert wird des Parameters λ

Gemäß dem Obigen bestimmen die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie in der Ebene x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ eine gerade Linie, die in einem rechteckigen Koordinatensystem angegeben ist und durch den Punkt M 1 verläuft (x 1, y 1) und hat einen Leitvektor a → = (a x , a y) . Wenn also die Koordinaten eines bestimmten Punktes der Geraden und die Koordinaten ihres Richtungsvektors gegeben sind, ist es möglich, die parametrischen Gleichungen der gegebenen Geraden sofort aufzuschreiben.

Beispiel 1

Es ist notwendig, parametrische Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem aufzustellen, wenn der zugehörige Punkt M 1 (2, 3) und sein Richtungsvektor gegeben sind a → = (3 , 1) .

Entscheidung

Basierend auf den Anfangsdaten erhalten wir: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Die parametrischen Gleichungen sehen folgendermaßen aus:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Lassen Sie uns klar veranschaulichen:

Antwort: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Zu beachten ist: wenn der Vektor a → = (a x , a y) dient als Richtungsvektor der Linie a, und die Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) gehören zu dieser Linie, dann kann sie durch Aufstellen parametrischer Gleichungen der Form bestimmt werden: x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , sowie diese Option: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Zum Beispiel ist uns ein Richtungsvektor einer Geraden gegeben a → \u003d (2, - 1) sowie die zu dieser Linie gehörenden Punkte M 1 (1, - 2) und M 2 (3, - 3). Dann wird die Gerade durch parametrische Gleichungen bestimmt: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ oder x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Beachten Sie auch die folgende Tatsache: Wenn a → = (a x , a y) der Richtungsvektor der Geraden a ist, dann ist jeder der Vektoren auch ihr Richtungsvektor μ a → = (μ a x , μ a y) , wobei μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Somit kann eine Gerade a auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch parametrische Gleichungen definiert werden: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ für jeden von Null verschiedenen Wert von μ.

Angenommen, die Linie a ist durch die Parametergleichungen x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ gegeben. Dann a → = (2 , - 5) - Richtungsvektor dieser Linie. Und auch jeder der Vektoren μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 wird zum Richtungsvektor für die gegebene Gerade. Betrachten Sie zur Verdeutlichung einen bestimmten Vektor - 2 · a → = (- 4 , 10) , er entspricht dem Wert μ = - 2 . In diesem Fall kann die gegebene Gerade auch durch die Parametergleichungen x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ bestimmt werden.

Übergang von parametrischen Gleichungen einer Geraden in einer Ebene zu anderen Gleichungen einer gegebenen Geraden und umgekehrt

Bei der Lösung einiger Probleme ist die Verwendung parametrischer Gleichungen nicht die optimale Option, dann wird es notwendig, die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie in Gleichungen einer geraden Linie eines anderen Typs zu übersetzen. Mal sehen, wie es geht.

Parametrische Gleichungen der geraden Linie x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ entsprechen der kanonischen Gleichung der geraden Linie auf der Ebene x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Wir lösen jede der Parametergleichungen in Bezug auf den Parameter λ, setzen die rechten Teile der erhaltenen Gleichungen gleich und erhalten die kanonische Gleichung der gegebenen Geraden:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

In diesem Fall sollte es nicht peinlich sein, wenn ein x oder ein y gleich Null sein wird.

Beispiel 2

Es ist notwendig, den Übergang von den parametrischen Gleichungen der Geraden x = 3 y = - 2 - 4 · λ zur kanonischen Gleichung durchzuführen.

Entscheidung

Wir schreiben die gegebenen parametrischen Gleichungen in der folgenden Form: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Wir drücken den Parameter λ in jeder der Gleichungen aus: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Wir setzen die rechten Teile des Gleichungssystems gleich und erhalten die benötigte kanonische Gleichung einer Geraden in der Ebene:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Antworten: x - 3 0 = y + 2 - 4

Falls es notwendig ist, die Gleichung der geraden Linie der Form A x + B y + C = 0 aufzuschreiben, während die parametrischen Gleichungen der geraden Linie in der Ebene gegeben sind, ist es notwendig, zuerst die zu machen Übergang zur kanonischen Gleichung und dann zur allgemeinen Geradengleichung. Schreiben wir die gesamte Abfolge der Aktionen auf:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Beispiel 3

Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung einer geraden Linie aufzuschreiben, wenn die parametrischen Gleichungen, die sie definieren, gegeben sind: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Entscheidung

Machen wir zunächst den Übergang zur kanonischen Gleichung:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Der resultierende Anteil ist identisch mit der Gleichheit - 3 · (x + 1) = 2 · y. Lassen Sie uns die Klammern öffnen und die allgemeine Gleichung der Geraden erhalten: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Antwort: 3x + 2y + 3 = 0

Um eine Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung, eine Gleichung einer geraden Linie in Segmenten oder eine normale Gleichung einer geraden Linie zu erhalten, ist es gemäß der obigen Handlungslogik erforderlich, die allgemeine Gleichung einer geraden Linie zu erhalten , und daraus einen weiteren Übergang durchzuführen.

Betrachten Sie nun die umgekehrte Aktion: Schreiben Sie die Parametergleichungen einer Geraden für eine andere gegebene Form der Gleichungen dieser Geraden.

Der einfachste Übergang: von der kanonischen Gleichung zu den parametrischen. Gegeben sei die kanonische Gleichung der Form: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Wir nehmen jede der Beziehungen dieser Gleichheit gleich dem Parameter λ:

x - x 1 ein x = y - y 1 ein y = λ ⇔ λ = x - x 1 ein x λ = y - y 1 ein y

Lösen wir die resultierenden Gleichungen für die Variablen x und y:

x = x 1 + ein x λ y = y 1 + ein y λ

Beispiel 4

Es ist notwendig, die Parametergleichungen der Geraden aufzuschreiben, wenn die kanonische Gleichung der Geraden in der Ebene bekannt ist: x - 2 5 = y - 2 2

Entscheidung

Lassen Sie uns die Teile der bekannten Gleichung mit dem Parameter λ gleichsetzen: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Aus der erhaltenen Gleichheit erhalten wir die Parametergleichungen der Geraden: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Antwort: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Wenn es notwendig ist, von einer gegebenen allgemeinen Gleichung einer geraden Linie, einer Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung oder einer Gleichung einer geraden Linie in Segmenten zu parametrischen Gleichungen überzugehen, ist es notwendig, die ursprüngliche Gleichung auf die zu bringen kanonischen und dann den Übergang zu parametrischen Gleichungen vornehmen.

Beispiel 5

Es ist notwendig, die Parametergleichungen der Geraden mit der bekannten allgemeinen Gleichung dieser Geraden aufzuschreiben: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Entscheidung

Wir transformieren die gegebene allgemeine Gleichung in eine Gleichung der kanonischen Form:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Wir setzen beide Teile der Gleichheit mit dem Parameter λ gleich und erhalten die benötigten parametrischen Gleichungen der Geraden:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Antworten: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Beispiele und Probleme mit Parametergleichungen einer Geraden in einer Ebene

Betrachten wir die häufigsten Arten von Problemen mit parametrischen Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

1. Bei Problemen des ersten Typs werden die Koordinaten von Punkten angegeben, unabhängig davon, ob sie zu einer durch parametrische Gleichungen beschriebenen geraden Linie gehören oder nicht.

Die Lösung solcher Probleme basiert auf der folgenden Tatsache: Die aus den Parametergleichungen x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ bestimmten Zahlen (x, y) für einen reellen Wert λ sind die Koordinaten von a Punkt, der zu der geraden Linie gehört, die durch diese Parametergleichungen beschrieben wird.

Beispiel 6

Es ist notwendig, die Koordinaten eines Punktes zu bestimmen, der auf einer geraden Linie liegt, die durch die parametrischen Gleichungen x = 2 – 1 6 · λ y = – 1 + 2 · λ für λ = 3 gegeben ist.

Entscheidung

Wir setzen den bekannten Wert λ = 3 in die gegebenen parametrischen Gleichungen ein und berechnen die gewünschten Koordinaten: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Antworten: 1 1 2 , 5

Auch das folgende Problem ist möglich: Gegeben sei ein Punkt M 0 (x 0, y 0) auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem und es soll festgestellt werden, ob dieser Punkt zu der durch die parametrischen Gleichungen x = x beschriebenen Gerade gehört 1 + ein x λ y = y 1 + ein y λ .

Um ein solches Problem zu lösen, ist es notwendig, die Koordinaten eines gegebenen Punktes in die bekannten parametrischen Gleichungen einer geraden Linie einzusetzen. Wenn festgestellt wird, dass ein solcher Wert des Parameters λ = λ 0 möglich ist, bei dem beide Parametergleichungen wahr sind, dann gehört der gegebene Punkt zu der gegebenen Geraden.

Beispiel 7

Punkte M 0 (4, – 2) und N 0 (– 2, 1) sind gegeben. Es ist zu bestimmen, ob sie zu der durch die parametrischen Gleichungen x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ definierten Geraden gehören.

Entscheidung

Wir setzen die Koordinaten des Punktes M 0 (4, - 2) in die gegebenen parametrischen Gleichungen ein:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Wir schließen daraus, dass der Punkt M 0 zu einer gegebenen Linie gehört, weil entspricht dem Wert λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Es ist offensichtlich, dass es keinen solchen Parameter λ gibt, dem der Punkt N 0 entsprechen wird. Mit anderen Worten, die gegebene Linie geht nicht durch den Punkt N 0 (– 2 , 1) .

Antworten: Punkt M 0 gehört zu einer gegebenen Linie; der Punkt N 0 gehört nicht zu der gegebenen Linie.

1. Bei Problemen des zweiten Typs ist es erforderlich, parametrische Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem zu erstellen. Das einfachste Beispiel eines solchen Problems (mit bekannten Koordinaten des Punktes der Linie und des Richtungsvektors) wurde oben betrachtet. Schauen wir uns nun Beispiele an, in denen Sie zuerst die Koordinaten des Richtungsvektors finden und dann die parametrischen Gleichungen aufschreiben müssen.

Punkt M 1 1 2 , 2 3 ist gegeben. Es ist notwendig, parametrische Gleichungen einer geraden Linie, die durch diesen Punkt verläuft, und einer parallelen geraden Linie x 2 \u003d y - 3 - 1 zu erstellen.

Entscheidung

Je nach Bedingung des Problems ist die gerade Linie, deren Gleichung wir vorankommen müssen, parallel zur geraden Linie x 2 \u003d y - 3 - 1. Dann ist es möglich, als Richtungsvektor einer Geraden, die durch einen bestimmten Punkt verläuft, den Richtungsvektor einer Geraden x 2 = y - 3 - 1 zu verwenden, den wir in der Form schreiben: a → = (2, - 1) . Nun sind alle notwendigen Daten bekannt, um die gewünschten parametrischen Gleichungen aufzustellen:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Antworten: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Beispiel 9

Punkt M 1 (0, - 7) ist gegeben. Es ist notwendig, die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie zu schreiben, die durch diesen Punkt senkrecht zur geraden Linie 3 x – 2 y – 5 = 0 verläuft.

Entscheidung

Als Richtungsvektor der Geraden, deren Gleichung aufzustellen ist, kann man den Normalenvektor der Geraden 3 x - 2 y - 5 = 0 nehmen. Seine Koordinaten sind (3 , - 2) . Wir schreiben die erforderlichen parametrischen Gleichungen der Geraden:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Antworten: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Bei Problemen des dritten Typs ist es erforderlich, von parametrischen Gleichungen einer bestimmten geraden Linie zu anderen Arten von Gleichungen überzugehen, die sie bestimmen. Wir haben die Lösung solcher Beispiele oben betrachtet, wir werden noch eine geben.

Gegeben sei eine Gerade auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, definiert durch die parametrischen Gleichungen x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Es ist notwendig, die Koordinaten eines Normalenvektors dieser Linie zu finden.

Entscheidung

Um die gewünschten Koordinaten des Normalenvektors zu bestimmen, gehen wir von parametrischen Gleichungen auf die allgemeine Gleichung über:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Die Koeffizienten der Variablen x und y liefern uns die benötigten Koordinaten des Normalenvektors. Somit hat der Normalenvektor der Linie x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ die Koordinaten 1 , 3 4 .

Antworten: 1 , 3 4 .

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Die Parametergleichungen einer Geraden ergeben sich elementar aus der kanonischen Gleichung dieser Geraden, die die Form hat. Nehmen wir als Parameter den Wert, mit dem der linke und der rechte Teil der kanonischen Gleichung multipliziert werden können.

Da einer der Nenner zwangsläufig von Null verschieden ist und der entsprechende Zähler beliebige Werte annehmen kann, ist der Wertebereich des Parameters die gesamte Achse der reellen Zahlen: .

Wir erhalten oder schließlich

Gleichungen (1) sind die gewünschten Parametergleichungen der Geraden. Diese Gleichungen erlauben eine mechanische Interpretation. Wenn wir davon ausgehen, dass der Parameter die Zeit ist, die von einem Anfangsmoment an gemessen wird, dann bestimmen die parametrischen Gleichungen das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes in einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit (eine solche Bewegung erfolgt durch Trägheit).

Beispiel 1 Stellen Sie auf einer Ebene die parametrischen Gleichungen einer Geraden auf, die durch einen Punkt verläuft und einen Richtungsvektor hat.

Entscheidung. Wir setzen die Daten des Punktes und des Richtungsvektors in (1) ein und erhalten:

Bei Problemen ist es oft erforderlich, die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie in andere Arten von Gleichungen umzuwandeln und aus Gleichungen anderer Arten parametrische Gleichungen einer geraden Linie zu erhalten. Schauen wir uns ein paar solcher Beispiele an. Um die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie in umzuwandeln allgemeine Geradengleichung zuerst sollten sie auf die kanonische Form reduziert werden und dann aus der kanonischen Gleichung, um die allgemeine Gleichung der geraden Linie zu erhalten

Beispiel 2 Schreibe die Geradengleichung auf

im Allgemeinen.

Entscheidung. Zunächst bringen wir die Parametergleichungen der Geraden auf die kanonische Gleichung:

Weitere Umformungen bringen die Gleichung auf die allgemeine Form:

Etwas schwieriger ist es, eine allgemeine Gleichung in Parametergleichungen einer Geraden umzuwandeln, aber auch für diese Aktion lässt sich ein klarer Algorithmus aufstellen. Zuerst können wir die allgemeine Gleichung umwandeln in Steigungsgleichung und finden Sie daraus die Koordinaten eines Punktes, der zu der Linie gehört, indem Sie einer der Koordinaten einen beliebigen Wert geben. Wenn die Koordinaten des Punktes und der Richtungsvektor bekannt sind (aus der allgemeinen Gleichung), können die parametrischen Gleichungen der geraden Linie geschrieben werden.

Beispiel 3 Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie in Form von parametrischen Gleichungen.

Entscheidung. Wir bringen die allgemeine Geradengleichung in eine Gleichung mit Steigung:

Wir finden die Koordinaten eines Punktes, der zu der Linie gehört. Geben Sie einer der Koordinaten des Punktes einen beliebigen Wert

Aus der Gleichung einer Geraden mit Steigung erhalten wir eine weitere Koordinate des Punktes:

Damit kennen wir den Punkt und den Richtungsvektor . Wir setzen ihre Daten in (1) ein und erhalten die gewünschten Parametergleichungen der Geraden:

Beispiel 4 Finden Sie die Steigung einer geraden Linie, die durch parametrische Gleichungen gegeben ist

Entscheidung. Die Parametergleichungen einer Geraden müssen zuerst in die kanonische, dann in die allgemeine und schließlich in die Steigungsgleichung umgewandelt werden.

Somit ist die Steigung einer gegebenen Geraden:

Beispiel 5 Stellen Sie parametrische Gleichungen einer geraden Linie auf, die durch einen Punkt und eine senkrechte Linie verläuft

In den kanonischen Gleichungen der geraden Linie wird jeder der Brüche mit einem Parameter gleichgesetzt t:

Wir erhalten Gleichungen, die die aktuellen Koordinaten jedes Punktes der Geraden durch den Parameter ausdrücken t.

somit haben die parametrischen Gleichungen der Geraden die Form:

Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Seien zwei Punkte M 1 (x1,y1,z1) und M2 (x2,y2,z2). Die Gleichungen einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte geht, werden auf die gleiche Weise erhalten wie eine ähnliche Gleichung in einer Ebene. Daher geben wir sofort die Form dieser Gleichung an.

Eine gerade Linie am Schnittpunkt zweier Ebenen. Allgemeine Gleichung einer Geraden im Raum.

Wenn wir zwei nicht parallele Ebenen betrachten, ist ihr Schnittpunkt eine gerade Linie.

Wenn die Normalenvektoren und nicht kollinear.

Im Folgenden zeigen wir bei der Betrachtung von Beispielen eine Möglichkeit, solche Geradengleichungen in kanonische Gleichungen umzuwandeln.

5.4 Winkel zwischen zwei Geraden. Bedingung der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden.

Ein Winkel zwischen zwei geraden Linien im Raum ist jeder Winkel, der durch zwei gerade Linien gebildet wird, die durch einen beliebigen Punkt parallel zu den Daten gezogen werden.

Zwei Linien seien durch ihre kanonischen Gleichungen gegeben.

Für den Winkel zwischen zwei Geraden nehmen wir den Winkel zwischen den Richtungsvektoren.

und

Die Rechtwinkligkeitsbedingung zweier Geraden reduziert sich auf die Rechtwinkligkeitsbedingung ihrer Richtungsvektoren und , also auf die Nullgleichheit des Skalarprodukts: oder in Koordinatenform: .

Die Bedingung der Parallelität zweier Geraden wird auf die Bedingung der Parallelität ihrer Richtungsvektoren und reduziert

5.5 Gegenseitige Anordnung einer Geraden und einer Ebene.

Gegeben seien die Gleichungen der Geraden:

und Flugzeuge. Der Winkel zwischen der Linie und der Ebene ist einer der beiden benachbarten Winkel, die durch die Linie und ihre Projektion auf die Ebene gebildet werden (Abbildung 5.5).

Abbildung 5.5

Wenn die Linie senkrecht zur Ebene steht, sind der Richtungsvektor der Linie und der Normalenvektor zur Ebene kollinear. Damit wird die Bedingung der Rechtwinkligkeit einer Geraden und einer Ebene auf die Bedingung kollinearer Vektoren reduziert

Bei Parallelität einer Geraden und einer Ebene stehen ihre oben angegebenen Vektoren senkrecht aufeinander. Daher wird die Bedingung der Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene auf die Bedingung der Rechtwinkligkeit der Vektoren reduziert; jene. ihr Skalarprodukt ist Null oder in Koordinatenform: .

Nachfolgend finden Sie Beispiele für die Lösung von Problemen im Zusammenhang mit dem Thema von Kapitel 5.

Beispiel 1:

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch Punkt A (1,2,4) senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen geraden Linie verläuft:

Entscheidung:

Wir verwenden die Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Als Punkt nehmen wir den Punkt A (1,2,4), durch den die Ebene die Bedingung passiert.

Wenn wir die kanonischen Gleichungen der Linie kennen, kennen wir den Vektor parallel zur Linie.

Da die Linie durch die Bedingung senkrecht auf der gewünschten Ebene steht, kann der Richtungsvektor als Normalenvektor der Ebene genommen werden.

Damit erhalten wir die Ebenengleichung in der Form:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Beispiel 2:

Im Flugzeug finden 4x-7y+5z-20=0 ein Punkt P, für den OP gleiche Winkel mit den Koordinatenachsen bildet.

Entscheidung:

Machen wir eine schematische Zeichnung. (Abbildung 5.6)

beim

Abbildung 5.6

Der leere Punkt Р hat die Koordinaten . Da der Vektor die gleichen Winkel mit den Koordinatenachsen bildet, sind die Richtungskosinusse dieses Vektors einander gleich

Finden wir die Projektionen des Vektors:

dann sind die Richtungskosinusse dieses Vektors leicht zu finden.

Aus der Gleichheit der Richtungskosinus folgt die Gleichheit:

x p \u003d y p \u003d z p

da der Punkt P auf der Ebene liegt, macht das Einsetzen der Koordinaten dieses Punktes in die Gleichung der Ebene ihn zu einer Identität.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Bzw: y r=10; z p=10.

Somit hat der gesuchte Punkt P die Koordinaten P (10; 10; 10)

Beispiel 3:

Gegeben seien zwei Punkte A (2, -1, -2) und B (8, -7,5). Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt B verläuft, senkrecht zur Strecke AB.

Entscheidung:

Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Als Punkt verwenden wir Punkt B (8, -7,5) und als Vektor senkrecht zur Ebene Vektor. Finden wir die Projektionen des Vektors:

dann erhalten wir die Gleichung der Ebene in der Form:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Beispiel 4:

Finden Sie die Gleichung einer Ebene, die parallel zur OY-Achse verläuft und durch die Punkte K(1,-5,1) und M(3,2,-2) geht.

Entscheidung:

Da die Ebene parallel zur OY-Achse ist, verwenden wir die unvollständige Gleichung der Ebene.

Ax+Cz+D=0

Da die Punkte K und M in der Ebene liegen, erhalten wir zwei Bedingungen.

Drücken wir aus diesen Bedingungen die Koeffizienten A und C durch D aus.

Wir setzen die gefundenen Koeffizienten in die unvollständige Gleichung der Ebene ein:

da , dann reduzieren wir D:

Beispiel 5:

Finde die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9) geht

Entscheidung:

Lassen Sie uns die Gleichung einer Ebene verwenden, die durch 3 gegebene Punkte geht.

Setzen wir die Koordinaten der Punkte M, K, R als ersten, zweiten und dritten ein, erhalten wir:

Erweitern Sie die Determinante entlang der 1. Zeile.

Beispiel 6:

Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte M 1 (8, -3,1) verläuft; M 2 (4,7,2) und senkrecht zur Ebene 3x+5y-7z-21=0

Entscheidung:

Machen wir eine schematische Zeichnung (Abbildung 5.7)

Abbildung 5.7

Wir bezeichnen die gegebene Ebene P 2 und die gewünschte Ebene P 2. . Aus der Gleichung einer gegebenen Ebene Р 1 bestimmen wir die Projektionen des Vektors senkrecht zur Ebene Р 1.

Der Vektor kann durch Paralleltranslation zur Ebene P 2 verschoben werden, da je nach Problemstellung die Ebene P 2 senkrecht zur Ebene P 1 steht, was bedeutet, dass der Vektor parallel zur Ebene P 2 ist .

Finden wir die Projektionen des Vektors, der in der Ebene Р 2 liegt:

jetzt haben wir zwei Vektoren und liegen in der Ebene R 2 . Offensichtlich ist der Vektor gleich dem Vektorprodukt der Vektoren und wird senkrecht zur Ebene P 2 sein, da er senkrecht zur Ebene P 2 und daher ihr Normalenvektor ist.

Die Vektoren und sind durch ihre Projektionen gegeben, also:

Als nächstes verwenden wir die Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zum Vektor verläuft. Als Punkt können Sie jeden der Punkte M 1 oder M 2 nehmen, zum Beispiel M 1 (8, -3,1); Als Normalenvektor zur Ebene Р 2 nehmen wir .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Beispiel 7:

Eine Gerade wird durch den Schnittpunkt zweier Ebenen definiert. Finden Sie die kanonischen Gleichungen der Geraden.

Entscheidung:

Wir haben eine Gleichung in der Form:

Muss einen Punkt finden x 0, y 0, z 0), durch die Gerade und Richtungsvektor verlaufen.

Wir wählen willkürlich eine der Koordinaten. Zum Beispiel, z=1, dann erhalten wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

Damit haben wir einen Punkt gefunden, der auf der gewünschten Geraden (2,0,1) liegt.

Als Richtungsvektor der gewünschten Geraden nehmen wir das Kreuzprodukt der Vektoren und , die seither Normalenvektoren sind , also parallel zur gewünschten Linie.

Der Richtungsvektor der Geraden hat also Projektionen . Verwenden der Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft:

Die gesuchte kanonische Gleichung hat also die Form:

Beispiel 8:

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts einer Geraden und Flugzeug 2x+3y+3z-8=0

Entscheidung:

Schreiben wir die gegebene Geradengleichung in parametrischer Form.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

jeder Punkt der geraden Linie entspricht einem einzelnen Wert des Parameters t. Um den Parameter zu finden t entsprechend dem Schnittpunkt der Geraden und der Ebene setzen wir den Ausdruck in die Gleichung der Ebene ein x, y, züber Parameter t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

dann die Koordinaten des gewünschten Punktes

der gewünschte Schnittpunkt hat die Koordinaten (1;1;1).

Beispiel 9:

Finden Sie die Gleichung einer Ebene, die durch parallele Linien geht.

Machen wir eine schematische Zeichnung (Abbildung 5.9)

Abbildung 5.9

Aus den gegebenen Liniengleichungen und bestimmen wir die Projektionen der Richtungsvektoren dieser Linien. Wir finden die Projektionen des in der Ebene P liegenden Vektors und nehmen die Punkte und aus den kanonischen Gleichungen der Linien M 1 (1, -1,2) und M 2 (0,1, -2).