Karya penelitian: "Sejarah munculnya persamaan kuadrat." Dari sejarah munculnya persamaan kuadrat
Dari sejarah persamaan kuadrat Penulis : siswa kelas 9 “A” Radchenko Svetlana Pembimbing : Alabugina I.A. guru matematika MBOU "Sekolah menengah No. 5 Guryevsk" wilayah Kemerovo Area subjek presentasi: matematika Dibuat untuk membantu guru Total 20 slide Isi Pendahuluan…………………………………… ………………………… ……………3 Dari sejarah kemunculannya persamaan kuadrat Persamaan Kuadrat di Babel Kuno………………………………….4 Persamaan Kuadrat di India……………………………………………………...5 Al -Khorezm ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….7 Persamaan kuadrat di Eropa abad Xll – XVll………………. ……… ………………………...8 3. Persamaan kuadrat hari ini…………………………………………………………….10 Metode mempelajari persamaan kuadrat……… …… ………………………11 10 cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat……………………………………….12 Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap ………………………… ……………………………………………………………… 13 Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap…………………………..14 Solusi dari kuadrat yang diberikan persamaan……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………… ……………………………………………….16 5. Kesimpulan. ……………………………………………………………………………… 18 1. 2. 6. Daftar pustaka yang digunakan…………………………… ……… ……………….19 2 Pengantar Untuk mempertimbangkan malang hari itu atau jam di mana Anda tidak belajar sesuatu yang baru, tidak menambah apapun untuk pendidikan Anda. Jan Amos Comenius 3 Persamaan kuadrat adalah fondasi tempat berdirinya bangunan aljabar yang megah. Mereka banyak digunakan dalam memecahkan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritmik, irasional dan transendental. Persamaan kuadrat dalam kursus sekolah aljabar menempati tempat terdepan. Banyak waktu sekolah dalam matematika dikhususkan untuk mempelajarinya. Pada dasarnya, persamaan kuadrat melayani tujuan praktis tertentu. Sebagian besar masalah tentang bentuk spasial dan hubungan kuantitatif dunia nyata harus diselesaikan berbagai macam persamaan, termasuk persamaan kuadrat. Dengan menguasai cara-cara pemecahannya, manusia menemukan jawaban atas berbagai pertanyaan dari ilmu pengetahuan dan teknologi. Dari sejarah munculnya persamaan kuadrat Babel Kuno: sudah sekitar 2000 tahun sebelum masehi, orang Babilonia tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap telah diketahui. Misalnya, di Babilonia Kuno, persamaan kuadrat berikut diselesaikan: 4 India Masalah yang diselesaikan dengan persamaan kuadrat ditemukan dalam risalah tentang astronomi "Aryabhattiam", yang ditulis oleh astronom dan matematikawan India Aryabhata pada tahun 499 M. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta, menguraikan aturan universal untuk memecahkan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik: ax2+bx=c; apalagi, diasumsikan bahwa semua koefisien di dalamnya, kecuali "a", bisa negatif. Aturan yang dirumuskan oleh ilmuwan pada dasarnya bertepatan dengan aturan modern. 5 Persamaan kuadrat Al-Khawarizmi: Risalah aljabar Al-Khawarizmi memberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis membuat daftar 6 jenis persamaan, yang menyatakannya sebagai berikut: “Persegi sama dengan akar”, mis. ax2 = bx.; "Persegi sama dengan angka", yaitu ax2 = c; "Akar sama dengan angka", mis. ax \u003d c; "Kuadrat dan angka sama dengan akar", mis. ax2 + c = bx; "Kuadrat dan akar sama dengan bilangan", yaitu ax2 + bx = c; "Akar dan bilangan sama dengan kuadrat", yaitu bx + c = ax2. 6 Bagaimana Diophantus menyusun dan memecahkan persamaan kuadrat: Salah satu matematikawan Yunani kuno yang paling aneh adalah Diophantus dari Alexandria. Sampai saat ini, baik tahun lahir maupun tanggal kematian Diophantus belum diklarifikasi; Ia diyakini hidup pada abad ke-3. IKLAN Dari karya-karya Diophantus, yang paling penting adalah Aritmatika, di mana 13 buku hanya 6 yang bertahan hingga hari ini. "Aritmatika" Diophantus tidak berisi eksposisi sistematis aljabar, tetapi berisi sejumlah masalah, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan menyusun persamaan berbagai derajat. Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya. 7 Persamaan kuadrat di Eropa Abad XII-XVII: Matematikawan Italia Leonard Fibonacci secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2 + bx = c dengan semua kemungkinan kombinasi tanda dan koefisien b, c, dirumuskan di Eropa pada tahun 1544 oleh Michael Stiefel. 8 François Viet Matematikawan Prancis F. Viet (1540-1603), memperkenalkan sistem simbol aljabar, mengembangkan dasar-dasar aljabar dasar. Dia adalah salah satu orang pertama yang mulai menunjuk angka dengan huruf, yang secara signifikan mengembangkan teori persamaan. Turunan dari rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dalam pandangan umum Viet memiliki, tetapi Viet hanya mengakui akar positif. 9 Persamaan kuadrat saat ini Kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat menjadi dasar untuk menyelesaikan persamaan lain dan sistemnya. Belajar memecahkan persamaan dimulai dengan jenisnya yang paling sederhana, dan program ini menyebabkan akumulasi bertahap dari kedua jenisnya dan "dana" dari transformasi yang identik dan setara, yang dengannya Anda dapat membawa persamaan sewenang-wenang ke yang paling sederhana. Proses pembentukan metode umum untuk menyelesaikan persamaan dalam kursus aljabar sekolah juga harus dibangun ke arah ini. Dalam kursus matematika sekolah menengah, siswa dihadapkan dengan kelas baru persamaan, sistem, atau dengan studi mendalam tentang persamaan yang sudah diketahui.10 Metode untuk mempelajari persamaan kuadrat Sejak awal mempelajari mata kuliah aljabar sistematik, mata kuliah utama perhatian diberikan pada metode untuk memecahkan persamaan kuadrat, yang menjadi objek studi khusus. Topik ini dicirikan oleh kedalaman presentasi dan kekayaan koneksi yang dibangun dengan bantuannya dalam pembelajaran, validitas logis dari presentasi. Oleh karena itu, ia menempati posisi luar biasa dalam garis persamaan dan ketidaksetaraan. Poin penting dalam studi persamaan kuadrat adalah pertimbangan teorema Vieta, yang menyatakan adanya hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat tereduksi. Kompleksitas penguasaan teorema Vieta dikaitkan dengan beberapa keadaan. Pertama-tama, perlu memperhitungkan perbedaan antara teorema langsung dan terbalik. 11 10 cara menyelesaikan persamaan kuadrat: Memfaktorkan ruas kiri persamaan. Metode seleksi persegi penuh. Solusi persamaan kuadrat dengan rumus. Solusi persamaan menggunakan teorema Vieta. Memecahkan persamaan dengan metode "transfer" Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat. Solusi grafis dari persamaan kuadrat. Memecahkan persamaan kuadrat dengan kompas dan penggaris. 12 Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan nomogram. Cara geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat tak lengkap 1) jika persamaan tersebut berbentuk ax2 = 0, maka persamaan tersebut memiliki satu akar x = 0; 2) jika persamaan berbentuk ax2 + bx = 0, maka digunakan metode faktorisasi: x (ax + b) = 0; jadi x = 0 atau ax + b = 0. Hasilnya, diperoleh dua akar: x1 = 0; x2 \u003d 3) jika persamaan memiliki bentuk ax2 + c \u003d 0, maka diubah menjadi bentuk ax2 \u003d - c dan kemudian x2. = Dalam kasus ketika -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, yaitu - \u003d m, di mana m>0, persamaan x2 \u003d m memiliki dua akar. Dengan demikian, persamaan kuadrat yang tidak lengkap dapat memiliki dua akar, satu akar, tanpa akar. 13 Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap. Ini adalah persamaan bentuk ax2 + bx + c = 0, di mana a, b, c diberikan angka, dan 0, x tidak diketahui. Persamaan kuadrat lengkap apa pun dapat dikonversi ke bentuk untuk menentukan jumlah akar persamaan kuadrat dan menemukan akar-akar ini. Kasus-kasus penyelesaian persamaan kuadrat berikut dipertimbangkan: D< 0, D = 0, D >0. 1. Jika D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D >0, maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki dua akar, yang ditemukan dengan rumus: ; 14 Penyelesaian persamaan kuadrat tereduksi F. Teorema Vieta: Jumlah akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akarnya sama dengan suku bebas. Dengan kata lain, jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 +px + q = 0, maka x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Kebalikan teorema teorema Vieta: Jika rumus (*) berlaku untuk bilangan x1, x2, p, q, maka x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 + px + q = 0. 15 Aplikasi praktis dari persamaan kuadrat untuk memecahkan masalah Bhaskar terapan ( 1114-1185) - matematikawan dan astronom India terbesar abad XII. Dia mengepalai observatorium astronomi di Ujjain. Bhaskara menulis risalah "Siddhanta-shiromani" ("Mahkota Pengajaran"), yang terdiri dari empat bagian: "Lilavati" dikhususkan untuk aritmatika, "Bizhdaganita" - untuk aljabar, "Goladhaya" - untuk bola, "Granhaganita" - dengan teori pergerakan planet. Bhaskara menerima akar persamaan negatif, meskipun ia meragukan signifikansinya. Dia memiliki salah satu proyek gerak abadi paling awal. 16 Salah satu masalah matematikawan India terkenal abad XII. Bhaskara: Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa penulis menyadari dua nilai dari akar persamaan kuadrat. 17 Kesimpulan Perkembangan ilmu pemecahan persamaan kuadrat telah melalui jalan yang panjang dan berduri. Hanya setelah karya Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes, Newton barulah ilmu memecahkan persamaan kuadrat mengadopsi tampilan modern. Nilai persamaan kuadrat tidak hanya terletak pada keanggunan dan singkatnya penyelesaian masalah, meskipun ini sangat penting. Yang tidak kalah penting adalah kenyataan bahwa sebagai hasil dari penggunaan persamaan kuadrat dalam memecahkan masalah, detail baru sering ditemukan, generalisasi yang menarik dapat dibuat dan penyempurnaan dibuat, yang didorong oleh analisis rumus dan hubungan yang diperoleh. Mempelajari literatur dan sumber daya Internet yang terkait dengan sejarah perkembangan persamaan kuadrat, saya bertanya pada diri sendiri: "Apa yang memotivasi para ilmuwan yang hidup di masa yang sulit untuk melakukan sains, bahkan di bawah ancaman kematian?" Mungkin, pertama-tama, keingintahuan pikiran manusia, yang merupakan kunci pengembangan sains. Pertanyaan tentang esensi Dunia, tentang tempat manusia di dunia ini menghantui setiap saat orang-orang yang berpikir, ingin tahu, dan berakal. Orang-orang telah berusaha untuk memahami diri mereka sendiri, tempat mereka di dunia setiap saat. Lihatlah ke dalam diri Anda juga, mungkin keingintahuan alami Anda menderita, karena Anda telah menyerah pada kehidupan sehari-hari, kemalasan? Nasib banyak ilmuwan - 18 contoh untuk diikuti. Tidak semua nama terkenal dan populer. Pikirkan: apa arti saya bagi orang-orang di sekitar saya? Tetapi yang paling penting adalah bagaimana perasaan saya tentang diri saya sendiri, apakah saya pantas dihormati? Pikirkan tentang ini... Referensi 1. Zvavich L.I. “Aljabar Kelas 8”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “ kamus ensiklopedis matematikawan muda”, M., 1985. 3. Yu.N. Makarychev “Aljabar Kelas 8”, M, 2012. /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/ index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Terima kasih atas perhatian Anda 20
Perwakilan dari berbagai peradaban: mesir kuno, Babel Kuno, Yunani kuno, india kuno, Cina kuno, Abad Pertengahan, Eropa menguasai teknik penyelesaian persamaan kuadrat.
Untuk pertama kalinya, matematikawan Mesir Kuno mampu memecahkan persamaan kuadrat. Salah satu papirus matematika berisi masalah:
"Temukan sisi-sisi lapangan yang berbentuk persegi panjang, jika luasnya 12, dan - panjangnya sama dengan lebarnya." “Panjang bidangnya adalah 4,” kata papirus.
Ribuan tahun berlalu, angka negatif memasuki aljabar. Memecahkan persamaan x² = 16, kita mendapatkan dua angka: 4, -4.
Tentu saja, dalam soal Mesir, kita akan mengambil X = 4, karena panjang medan hanya dapat berupa nilai positif.
Sumber-sumber yang telah sampai kepada kita menunjukkan bahwa para ilmuwan kuno memiliki beberapa metode umum untuk memecahkan masalah dengan jumlah yang tidak diketahui. Aturan untuk memecahkan persamaan kuadrat, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babel "sampai pada titik ini." Namun di hampir semua naskah papirus dan paku yang ditemukan, hanya masalah dengan solusi yang diberikan. Penulis hanya sesekali memberikan perhitungan numerik mereka dengan komentar jahat seperti: "Lihat!", "Lakukan!", "Anda menemukannya dengan benar!".
Matematikawan Yunani Diophantus menulis dan memecahkan persamaan kuadrat. "Aritmatika"-nya tidak memuat presentasi aljabar yang sistematis, tetapi berisi serangkaian masalah yang sistematis, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan menyusun persamaan dari berbagai derajat.
Tugas untuk menyusun persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi "Aria-bhatiam", yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Ariabhatta.
Sarjana India lainnya Brahmagupta (abad ke-7) menguraikan peraturan umum solusi persamaan kuadrat berbentuk ax² + bx = c.
Di India kuno, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Dalam salah satu buku India kuno tentang kompetisi semacam itu, berikut ini dikatakan: “Saat matahari menyinari bintang-bintang dengan kecemerlangannya, maka ilmuwan pria menutupi kemuliaan orang lain majelis populer, menyarankan dan memecahkan masalah aljabar". Tugas sering didandani dalam bentuk puitis.
Inilah salah satu masalah matematikawan India terkenal abad XII. Bhaskara:
Kawanan monyet lincah
Makan enak, bersenang-senang.
Bagian kedelapan dari mereka di alun-alun itu geli di tempat terbuka.
Dan dua belas di sepanjang tanaman merambat ... mulai melompat, menggantung ...
Berapa banyak monyet?
Anda memberitahu saya, dalam kawanan ini?
Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahwa ia mengetahui tentang nilai dua dari akar persamaan kuadrat.
Teks matematika Cina paling kuno yang sampai kepada kita berasal dari akhir abad ke-1 SM. SM. Pada abad II. SM. Matematika dalam Sembilan Buku telah ditulis. Kemudian, pada abad ke-7, itu dimasukkan dalam koleksi "Sepuluh Risalah Klasik", yang dipelajari selama berabad-abad. Risalah "Matematika dalam Sembilan Buku" menjelaskan cara mengekstrak Akar pangkat dua menggunakan rumus kuadrat jumlah dua bilangan.
Metode itu disebut "tian-yuan" (secara harfiah - " elemen langit”) - ini adalah bagaimana orang Cina menunjukkan jumlah yang tidak diketahui.
Manual pertama untuk memecahkan masalah, yang menjadi dikenal luas, adalah karya sarjana Baghdad abad ke-9. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Kata “al-jabr” – lama kelamaan berubah menjadi kata “aljabar” yang terkenal, dan karya al-Khawarizmi sendiri menjadi titik tolak perkembangan ilmu pemecahan persamaan. Risalah aljabar Al-Khawarizmi memberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis membuat daftar enam jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:
-akar kuadrat sama dengan, itu ah ² = bx;
-kuadrat sama dengan bilangan, itu ah ² = c;
-akar-akarnya sama dengan bilangan, yaitu, ax = c;
-kuadrat dan bilangan sama dengan akar, itu ah ²+ c \u003d bx;
-kuadrat dan akar sama dengan bilangan, itu ah ² + bx \u003d c;
-akar dan bilangan adalah persegi, yaitu bx + c = ax ²;
Risalah al-Khawarizmi adalah buku pertama yang sampai kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadrat disajikan secara sistematis dan formula untuk penyelesaiannya diberikan.
Rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat pada model al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam Kitab Abacus, yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi pada penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak tugas dari Kitab Abacus dimasukkan dalam hampir semua buku teks Eropa abad 16-17. dan bagian dari abad ke-18.
Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x ² + bx \u003d c, dengan semua kemungkinan kombinasi tanda-tanda koefisien b dan c, dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.
Vieta memiliki turunan umum dari rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, tetapi dia juga hanya mengenali akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama di abad ke-16. memperhitungkan selain akar positif dan negatif. Hanya pada abad ke-17, berkat karya Girard, Descartes, Newton, dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat menjadi bentuk modern.
Persamaan kuadrat di Babel Kuno pekerjaan tanah militer, serta dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Orang Babilonia tahu bagaimana memecahkan persamaan kuadrat sekitar 2000 tahun sebelum iman kita. Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks runcing mereka ada, selain yang tidak lengkap, seperti, misalnya, persamaan kuadrat lengkap: peraturan. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dinyatakan dalam bentuk resep, tanpa menunjukkan bagaimana mereka ditemukan. Meskipun level tinggi perkembangan aljabar di Babilonia, dalam teks cuneiform tidak ada konsep bilangan negatif dan metode umum solusi persamaan kuadrat.
Bagaimana Diophantus menyusun dan memecahkan persamaan kuadrat "Temukan dua bilangan, ketahuilah bahwa jumlah mereka adalah 20, dan hasilnya adalah 96" Diophantus berpendapat sebagai berikut: mengikuti dari kondisi masalah bahwa bilangan yang diinginkan tidak sama, karena jika mereka sama, maka hasil kali mereka bukan 96, tetapi 100. Jadi, salah satunya adalah lebih dari setengah jumlah mereka, yaitu 10+X, yang lain lebih kecil, mis. 10-X. Selisih keduanya adalah 2X Jadi X=2. Salah satu angka yang diinginkan adalah 12, yang lain adalah 8. Solusi X = -2 untuk Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengetahui bilangan positif. PERSAMAAN: atau yang lain:
Persamaan kuadrat di India Masalah persamaan kuadrat juga ditemukan dalam risalah astronomi "Aryabhattam", yang disusun pada tahun 499 oleh matematikawan dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta, menguraikan aturan umum untuk memecahkan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal: ax ² +bx=c, a>0 Bagian delapan dari mereka di alun-alun saya bersenang-senang di tempat terbuka. Dan dua belas sepanjang liana ... Mereka mulai melompat tergantung ... Berapa banyak monyet yang Anda katakan, dalam kawanan ini?. Persamaan yang sesuai dengan masalah: Baskara menulis dengan kedok: Tambahan sisi kiri ke alun-alun 0 Salah satu masalah matematikawan India terkenal abad ke-12 Bhaskara Sekawanan monyet lincah Setelah makan sepuasnya, mereka bersenang-senang. Bagian delapan dari mereka di alun-alun saya bersenang-senang di tempat terbuka. Dan dua belas sepanjang liana ... Mereka mulai melompat tergantung ... Berapa banyak monyet yang Anda katakan, dalam kawanan ini?. Persamaan yang sesuai dengan masalah: Baskara menulis dengan kedok: Ditambahkan sisi kiri ke persegi, "> 
Persamaan Kuadrat di Asia Kuno Beginilah cara ilmuwan Asia Tengah al-Khawarizmi memecahkan persamaan ini: Dia menulis: “Aturannya adalah ini: gandakan jumlah akar, x = 2x 5, dapatkan lima dalam soal ini, kalikan 5 dengan ini sama untuk itu, itu akan menjadi dua puluh lima, 5 5=25 tambahkan ini ke tiga puluh sembilan, itu akan menjadi enam puluh empat, 64 mengambil akar dari ini, itu akan menjadi delapan, 8 dan kurangi dari setengah jumlah akar, yaitu lima, 8-5 akan tetap 3 ini akan menjadi akar kuadrat yang Anda cari." Bagaimana dengan akar kedua? Akar kedua tidak ditemukan, karena bilangan negatif tidak diketahui. x x = 39
Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII-XVII. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2 + in + c = 0 dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh Stiefel. Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat di Eropa pertama kali dinyatakan pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonard Fibonacci. Vieta memiliki turunan umum dari rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, tetapi Vieta hanya mengenali akar positif. Hanya di abad ke-17 berkat karya Descartes, Newton dan ilmuwan lain, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern
Tentang Teorema Vieta Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, dengan nama Vieta, dirumuskan olehnya untuk pertama kalinya pada tahun 1591. Sebagai berikut: “Jika B + D dikalikan dengan AA adalah sama ke BD, maka A sama dengan B dan sama dengan D. Untuk memahami Vieta, harus diingat bahwa A, seperti vokal apa pun, berarti yang tidak diketahui (x kita), sedangkan vokal B, D adalah koefisien untuk yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas berarti: Jika persamaan kuadrat yang diberikan x 2 +px + q \u003d 0 memiliki akar real, maka jumlahnya sama dengan -p, dan hasil kali sama dengan q, yaitu adalah, x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 = q (jumlah akar dari persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan produk dari akar-akarnya sama dengan istilah bebas).
Metode faktorisasi adalah dengan membuat persamaan kuadrat umum menjadi bentuk: A(x)·B(x)=0, di mana A(x) dan B(x) adalah polinomial terhadap x. Tujuan: Menghilangkan faktor persekutuan dari kurung; Menggunakan rumus perkalian yang disingkat; metode pengelompokan. Cara: Contoh:
Akar persamaan kuadrat: Jika D>0, Jika D 0, Jika D"> 0, Jika D"> 0, Jika D" title="(!LANG: Akar kuadrat: Jika D>0, Jika D"> title="Akar persamaan kuadrat: Jika D>0, Jika D"> !}
X 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan Memecahkan persamaan menggunakan teorema Vieta X 2 + 3X - 10 \u003d 0 X 1 X 2 \u003d - 10, yang berarti akar-akarnya memiliki tanda yang berbeda X 1 + X 2 \u003d - 3, yang berarti akarnya lebih besar dalam nilai absolut - negatif Dengan pemilihan kami menemukan akarnya: X 1 \u003d - 5, X 2 \u003d 2 Misalnya:
0, sesuai dengan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita peroleh akar-akarnya: 5;6, lalu kita kembali ke akar-akar persamaan semula: 2,5; 3. Jawaban: 2.5; 3. Penyelesaian persamaan "title="(!LANG: Selesaikan persamaan: 2x 2 - 11x +15 = 0. Pindahkan koefisien 2 ke suku bebas y 2 - 11y +30 = 0. D>0, sesuai dengan teorema, kebalikan dari teorema Vieta, kita mendapatkan akar-akarnya: 5;6, kemudian kita kembali ke akar-akar persamaan semula: 2.5; 3. Jawaban: 2.5; 3. Penyelesaian persamaan" class="link_thumb"> 14 !} Selesaikan persamaan: 2x x +15 \u003d 0. Pindahkan koefisien 2 ke suku bebas yy +30 \u003d 0. D\u003e 0, menurut teorema, kebalikan dari teorema Vieta, kita mendapatkan akarnya: 5 ; 6, maka kita kembali ke akar persamaan semula: 2, lima; 3. Jawaban: 2.5; 3. Penyelesaian persamaan dengan metode "transfer" 0, sesuai dengan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita peroleh akar-akarnya: 5;6, lalu kita kembali ke akar-akar persamaan semula: 2,5; 3. Jawaban: 2.5; 3. Solusi dari persamaan "\u003e 0, menurut teorema, kebalikan dari teorema Vieta, kita mendapatkan akarnya: 5; 6, lalu kita kembali ke akar persamaan semula: 2.5; 3. Jawaban: 2.5 ; 3. Menyelesaikan persamaan menggunakan metode "transfer" > 0, sesuai dengan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita peroleh akar-akarnya: 5;6, kemudian kita kembali ke akar-akar persamaan semula: 2,5; 3. Jawaban: 2.5; 3. Penyelesaian persamaan "title="(!LANG: Selesaikan persamaan: 2x 2 - 11x +15 = 0. Pindahkan koefisien 2 ke suku bebas y 2 - 11y +30 = 0. D>0, sesuai dengan teorema, kebalikan dari teorema Vieta, kita mendapatkan akar-akarnya: 5;6, kemudian kita kembali ke akar-akar persamaan semula: 2.5; 3. Jawaban: 2.5; 3. Penyelesaian persamaan"> title="Selesaikan persamaan: 2x 2 - 11x +15 \u003d 0. Mari kita pindahkan koefisien 2 ke suku bebas y 2 - 11y +30 \u003d 0. D> 0, menurut teorema, kebalikan dari teorema Vieta, kita dapatkan akar-akarnya: 5;6, lalu kita kembali ke akar-akar persamaan semula: 2,5; 3. Jawaban: 2.5; 3. Solusi persamaan"> !}
Jika dalam persamaan kuadrat a + b + c \u003d 0, maka salah satu akarnya sama dengan 1, dan yang kedua menurut teorema Vieta sama dengan yang kedua menurut teorema Vieta adalah Jika dalam persamaan kuadrat a + c \u003d b, maka salah satu akarnya sama dengan (-1), dan yang kedua, menurut teorema Vieta, sama dengan Contoh: Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat 137x x - 157 = 0. a = 137 , b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, Jawaban: 1; 137x x - 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, Jawaban: 1;
Cara grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat Tanpa menggunakan rumus, persamaan kuadrat dapat diselesaikan secara grafis. Memecahkan persamaan Untuk melakukan ini, kita akan membuat dua grafik: X Y X 01 Y012 Jawaban: Absis titik potong grafik dan akan menjadi akar persamaan. Jika grafik-grafik tersebut berpotongan di dua titik, maka persamaan tersebut memiliki dua akar. Jika grafik berpotongan di satu titik, maka persamaan tersebut memiliki satu akar. Jika grafik tidak berpotongan, maka persamaan tidak memiliki akar. 1)y=x2 2)y=x+1
Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram Ini adalah cara lama dan tidak perlu dilupakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, ditempatkan di halaman 83 "Tabel matematika bernilai empat" Bradis V.M. Tabel XXII. Nomogram untuk menyelesaikan persamaan Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, menentukan akar persamaan dengan koefisiennya. Untuk persamaan, nomogram memberikan akar
Cara Geometris Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Pada zaman dahulu, ketika geometri lebih berkembang daripada aljabar, persamaan kuadrat diselesaikan tidak secara aljabar, tetapi secara geometris. Dan di sini, misalnya, bagaimana orang Yunani kuno memecahkan persamaan: atau Ekspresi dan geometris memberikan kuadrat yang sama, dan persamaan aslinya adalah persamaan yang sama. Di mana kita mendapatkan apa, atau
Kesimpulan Metode pengambilan keputusan ini perlu mendapat perhatian, karena tidak semuanya tercermin dalam buku teks matematika sekolah; menguasai teknik-teknik ini akan membantu siswa menghemat waktu dan memecahkan persamaan secara efisien; butuh di keputusan cepat karena penggunaan sistem tes ujian masuk;
Dari sejarah persamaan kuadrat.a) Persamaan kuadrat di Babel kuno
Kebutuhan untuk memecahkan persamaan tidak hanya dari yang pertama, tetapi juga dari tingkat kedua, pada zaman kuno, disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan menemukan bidang tanah dan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta untuk pengembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat mampu memecahkan sekitar 2000 SM. Babilonia. Menerapkan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks paku mereka ada, selain yang tidak lengkap, seperti, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:
x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14
Aturan untuk memecahkan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babel sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dinyatakan dalam bentuk resep, tanpa menunjukkan bagaimana mereka ditemukan.
Meskipun perkembangan aljabar tingkat tinggi di Babel, teks-teks runcing tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk memecahkan persamaan kuadrat.
Dalam "Aritmatika" Diophantus tidak ada presentasi aljabar yang sistematis, namun berisi serangkaian masalah yang sistematis, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan menyusun persamaan dari berbagai derajat.
Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.
Di sini, misalnya, adalah salah satu tugasnya.
Tugas 2. "Menemukan dua angka, mengetahui bahwa jumlah mereka adalah 20 dan produk mereka adalah 96."
Diophantus berpendapat sebagai berikut: mengikuti dari kondisi masalah bahwa angka yang diinginkan tidak sama, karena jika mereka sama, maka produk mereka tidak akan menjadi 96, tetapi 100. Dengan demikian, salah satunya akan lebih dari setengah dari mereka jumlah, yaitu .10 + x. Yang lainnya lebih kecil, yaitu 10 - x. Selisih keduanya adalah 2x. Oleh karena itu persamaan:
(10+x)(10-x)=96,
atau
100 -x 2 = 96.
Jadi x = 2. Salah satu bilangan yang diinginkan adalah 12, yang lainnya adalah 8. Solusi x = - 2 untuk Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.
Jika kita memecahkan masalah ini, memilih salah satu bilangan yang tidak diketahui sebagai bilangan yang tidak diketahui, maka kita dapat sampai pada solusi persamaan:
Jelas bahwa Diophantus menyederhanakan solusi dengan memilih setengah selisih dari angka yang diinginkan sebagai yang tidak diketahui; ia berhasil mengurangi masalah untuk memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap.
b) Persamaan kuadrat di India.
Masalah untuk persamaan kuadrat sudah ditemukan di jalur astronomi "Aryabhattam", yang disusun pada tahun 499 oleh matematikawan dan astronom India Aryabahatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan aturan umum untuk memecahkan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal
Oh 2 + Bx = c, > 0
Dalam persamaan, koefisien , kecuali tetapi, bisa negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan kita.
Di India, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Dalam salah satu buku India kuno, berikut ini dikatakan tentang kompetisi semacam itu: "Seperti halnya matahari menyinari bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang yang terpelajar akan lebih cemerlang daripada kemuliaannya dalam pertemuan-pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar." Tugas sering didandani dalam bentuk puitis.
Inilah salah satu masalah matematikawan India terkenal abad XII. Bhaskara.
Tugas 3.
Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa penulis menyadari dua nilai dari akar persamaan kuadrat.
Persamaan yang sesuai dengan masalah 3 adalah:
Bhaskara menulis dengan kedok:
x 2 - 64x = - 768
dan, untuk melengkapi sisi kiri persamaan ini ke kuadrat, tambahkan 32 2 ke kedua sisinya, sehingga diperoleh:
x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x 1 = 16, x 2 = 48.
c) persamaan kuadrat Al-Khawarizmi
Risalah aljabar Al-Khawarizmi memberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis membuat daftar 6 jenis persamaan, yang menyatakannya sebagai berikut:
“Kuadrat sama dengan akar-akarnya”, yaitu ax 2 = bx.
"Persegi sama dengan angka", yaitu ax 2 = c.
"Akar sama dengan bilangan", yaitu ax = c.
"Kuadrat dan angka sama dengan akar", mis. ax 2 + c \u003d bx.
"Kuadrat dan akar sama dengan angka", mis. ax 2 + bx \u003d c.
“Akar dan bilangan sama dengan kuadrat”, yaitu bx + c == ax 2.
Mari kita ambil contoh.
Soal 4. “Persegi dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akar "(artinya akar persamaan x 2 + 21 \u003d 10x).
Solusi: bagi jumlah akar menjadi dua, Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan dirinya sendiri, kurangi 21 dari produk, sisa 4. Ambil akar 4, Anda mendapatkan 2. Kurangi 2 dari 5, Anda mendapatkan 3, ini akan menjadi akar yang diinginkan. Atau tambahkan 2 hingga 5, yang akan menghasilkan 7, ini juga merupakan root.
Risalah Al-Khawarizmi adalah buku pertama yang sampai kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadrat disajikan secara sistematis dan formula untuk penyelesaiannya diberikan.
d) Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII-XVII.
Rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat pada model al-Khwarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam "Book of the Abacus", yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang sangat banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika dari negara-negara Islam dan Yunani Kuno, dibedakan oleh kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi pada penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak tugas dari Kitab Abacus masuk ke hampir semua buku teks Eropa abad 16-17. dan sebagian XVIII.
Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal
x 2 + bx \u003d c,
untuk semua kemungkinan kombinasi tanda-tanda koefisien B, dari diformulasikan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.
Vieta memiliki turunan umum dari rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, namun, Vieta hanya mengenali akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama di abad ke-16. Memperhitungkan, selain akar positif, dan negatif. Hanya di abad XVII. berkat karya Girard, Descartes, Newton, dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat terlihat modern.
Asal usul metode aljabar untuk memecahkan masalah praktis terkait dengan sains dunia kuno. Seperti diketahui dari sejarah matematika, sebagian besar masalah yang bersifat matematis, yang diselesaikan oleh komputer juru tulis Mesir, Sumeria, Babilonia (abad XX-VI SM), memiliki karakter yang diperhitungkan. Namun, bahkan kemudian, dari waktu ke waktu, masalah muncul di mana nilai yang diinginkan dari suatu kuantitas ditentukan oleh beberapa kondisi tidak langsung, yang membutuhkan, dari sudut pandang modern kita, perumusan persamaan atau sistem persamaan. Awalnya, metode aritmatika digunakan untuk memecahkan masalah seperti itu. Kemudian, awal dari representasi aljabar mulai terbentuk. Misalnya, kalkulator Babilonia mampu memecahkan masalah yang dapat direduksi dalam hal klasifikasi modern untuk persamaan derajat kedua. Sebuah metode untuk memecahkan masalah teks telah dibuat, yang kemudian menjadi dasar untuk menyoroti komponen aljabar dan studi independennya.
Studi ini sudah dilakukan di era lain, pertama oleh matematikawan Arab (abad VI-X M), yang memilih tindakan karakteristik dimana persamaan direduksi menjadi tampilan standar pengurangan istilah yang sama, transfer istilah dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan perubahan tanda. Dan kemudian oleh ahli matematika Eropa Renaisans, sebagai hasil dari pencarian panjang, mereka menciptakan bahasa aljabar modern, penggunaan huruf, pengenalan simbol untuk operasi aritmatika, tanda kurung, dll. Pada pergantian tanggal 16- abad ke-17. aljabar sebagai bagian tertentu dari matematika, memiliki subjek, metode, area aplikasinya sendiri, telah terbentuk. Perkembangan selanjutnya, hingga saat ini, terdiri dari peningkatan metode, perluasan ruang lingkup aplikasi, klarifikasi konsep dan hubungannya dengan konsep cabang matematika lainnya.
Jadi, mengingat pentingnya dan luasnya materi yang terkait dengan konsep persamaan, studinya di metodologi modern matematika dikaitkan dengan tiga bidang utama asal dan fungsinya.
