Հետազոտական ​​աշխատանք. «Քառակուսի հավասարումների առաջացման պատմությունը»: Քառակուսային հավասարումների առաջացման պատմությունից.

Քառակուսային հավասարումների պատմությունից Հեղինակ՝ 9-րդ «Ա» դասարանի աշակերտ Ռադչենկո Սվետլանա Ղեկավար՝ Ալաբուգինա Ի.Ա. մաթեմատիկայի ուսուցիչ MBOU «Գուրևսկի թիվ 5 միջնակարգ դպրոց» Կեմերովոյի մարզի Ներկայացման թեմայի տարածքը. մաթեմատիկա Պատրաստված է ուսուցչին օգնելու համար Ընդամենը 20 սլայդ Բովանդակություն Ներածություն………………………………………… ……………………………………………3 Առաջացման պատմությունից քառակուսի հավասարումներՔառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում……………………………………….4 Քառակուսի հավասարումներ Հնդկաստանում…………………………………………………………………………………………………………… Ալ-Խորեզմում……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….7 Քառակուսի հավասարումներ Եվրոպայում Xll – XVll դդ.…………………… ………………………………………8 3. Քառակուսի հավասարումներ այսօր…………………………………………………………….10 Քառակուսի ուսումնասիրության մեթոդներ. հավասարումներ……………………………………11 Քառակուսային հավասարումների լուծման 10 եղանակ………………………………….12 Թերի քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ…………………… …………………………………………………………………………………………………………………… 13 Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ………………………………. .14 ​​Վերոնշյալ քառակուսի հավասարումների լուծումը…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………….16 5. Եզրակացություն. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1. 2. 6. Օգտագործված գրականության ցանկ………………………… ……………………….19 2 Ներածություն Դժբախտ համարել այն օրը կամ ժամը, երբ դուք նոր բան չեք սովորել, ոչինչ չի ավելացրել ձեր կրթությանը: Յան Ամոս Կոմենիուս 3 Քառակուսի հավասարումները այն հիմքն են, որի վրա հիմնված է հանրահաշվի վեհաշուք շենքը: Նրանք լայնորեն կիրառվում են եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծման համար։ Հանրահաշվի դպրոցական դասընթացում քառակուսի հավասարումները առաջատար տեղ են զբաղեցնում։ Մաթեմատիկայի դպրոցական շատ ժամանակ հատկացված է դրանք ուսումնասիրելուն: Հիմնականում քառակուսի հավասարումները ծառայում են կոնկրետ գործնական նպատակների: Իրական աշխարհի տարածական ձևերի և քանակական հարաբերությունների հետ կապված խնդիրների մեծ մասը հասնում է լուծմանը տարբեր տեսակներ հավասարումներ, այդ թվում՝ քառակուսային։ Մարդիկ, տիրապետելով դրանց լուծման ուղիներին, պատասխաններ են գտնում գիտության և տեխնիկայի տարբեր հարցերի։ Քառակուսային հավասարումների առաջացման պատմությունից Հին Բաբելոն. մ.թ.ա. մոտ 2000 տարի բաբելոնացիները գիտեին, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ: Հայտնի էին ինչպես ամբողջական, այնպես էլ թերի քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ։ Օրինակ, Հին Բաբելոնում լուծվել են հետևյալ քառակուսային հավասարումները. 4 Հնդկաստան Քառակուսային հավասարումների միջոցով լուծված խնդիրները գտնվում են աստղագիտության մասին տրակտատում «Արյաբհաթթիմ», որը գրվել է հնդիկ աստղագետ և մաթեմատիկոս Արյաբհաթայի կողմից 499 թ. Մեկ այլ հնդիկ գիտնական՝ Բրահմագուպտան, ուրվագծեց կանոնական ձևի վերածված քառակուսի հավասարումը լուծելու համընդհանուր կանոն. ax2+bx=c; ընդ որում, ենթադրվում էր, որ դրանում առկա բոլոր գործակիցները, բացի «ա»-ից, կարող են բացասական լինել։ Գիտնականի ձեւակերպած կանոնը էապես համընկնում է ժամանակակիցի հետ. 5 Ալ-Խվարեզմիի քառակուսային հավասարումներ. Ալ-Խվարեզմիի հանրահաշվական տրակտատը տալիս է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում: Հեղինակը թվարկում է 6 տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով հետևյալ կերպ. «Քառակուսիները հավասար են արմատներին», այսինքն. ax2 = bx.; «Քառակուսիները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 = c; «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ կացին \u003d c; «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն. ax2 + c = bx; «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 + bx = c; «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն. bx + c = ax2: 6 Ինչպես Դիոֆանտը կազմեց և լուծեց քառակուսի հավասարումներ. Հին հույն մաթեմատիկոսներից ամենայուրահատուկներից մեկը Դիոֆանտոս Ալեքսանդրացին էր: Մինչ այժմ պարզաբանված չեն Դիոֆանտոսի ոչ ծննդյան տարեթիվը, ոչ էլ մահվան տարեթիվը. Ենթադրվում է, որ նա ապրել է 3-րդ դարում։ ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ Դիոֆանտոսի աշխատություններից ամենակարեւորը թվաբանությունն է, որից մինչ օրս պահպանվել է 13 գիրք միայն 6-ը։ Դիոֆանտոսի «Թվաբանությունը» չի պարունակում հանրահաշվի սիստեմատիկ ցուցադրություն, սակայն պարունակում է մի շարք խնդիրներ, որոնք ուղեկցվում են բացատրություններով և լուծվում տարբեր աստիճանի հավասարումներ կազմելով։ Հավասարումներ կազմելիս Դիոֆանտը հմտորեն ընտրում է անհայտները՝ լուծումը պարզեցնելու համար։ 7 Քառակուսի հավասարումներ Եվրոպայում XII-XVII դդ. Իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Ֆիբոնաչին ինքնուրույն մշակեց խնդիրների լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջինն էր Եվրոպայում, ով մոտեցավ բացասական թվերի ներդրմանը: Քառակուսային հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը, որը կրճատվել է մեկ կանոնական ձևով x2 + bx = c նշանների և b, c գործակիցների բոլոր հնարավոր համակցություններով, ձևակերպվել է Եվրոպայում 1544 թվականին Մայքլ Շտիֆելի կողմից։ 8 Ֆրանսուա Վիետ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆ. Վիետը (1540-1603), ներմուծեց հանրահաշվական նշանների համակարգ, մշակեց տարրական հանրահաշվի հիմքերը։ Նա առաջիններից էր, ով սկսեց թվերը նշանակել տառերով, ինչը զգալիորեն զարգացրեց հավասարումների տեսությունը։ Քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևի ստացում ընդհանուր տեսարանՎիետն ունի, բայց Վիետը միայն դրական արմատներ է ճանաչել։ 9 Քառակուսային հավասարումներ այսօր Քառակուսային հավասարումներ լուծելու ունակությունը հիմք է հանդիսանում այլ հավասարումների և դրանց համակարգերի լուծման համար: Հավասարումներ լուծել սովորելը սկսվում է դրանց ամենապարզ տեսակներից, և ծրագիրը հանգեցնում է ինչպես դրանց տեսակների, այնպես էլ նույնական և համարժեք փոխակերպումների «ֆոնդի» աստիճանական կուտակմանը, որով կարող եք կամայական հավասարումը հասցնել ամենապարզին: Այս ուղղությամբ պետք է կառուցել նաև հանրահաշվի դպրոցական դասընթացում հավասարումների լուծման ընդհանրացված մեթոդների ձևավորման գործընթացը։ Ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի դասընթացում աշակերտներին բախվում են հավասարումների, համակարգերի նոր դասեր կամ արդեն հայտնի հավասարումների խորը ուսումնասիրություն 10 Քառակուսային հավասարումների ուսումնասիրման մեթոդներ Համակարգված հանրահաշվի դասընթացի ուսումնասիրության սկզբից ի վեր հիմնական ուշադրություն է դարձվում քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներին, որոնք դառնում են հատուկ ուսումնասիրության առարկա։ Այս թեմային բնորոշ է ներկայացման մեծ խորությունը և ուսուցման մեջ դրա օգնությամբ հաստատված կապերի հարստությունը, ներկայացման տրամաբանական վավերականությունը: Ուստի այն բացառիկ դիրք է գրավում հավասարումների և անհավասարությունների շարքում։ Քառակուսային հավասարումների ուսումնասիրության կարևոր կետ է Վիետայի թեորեմի դիտարկումը, որը նշում է կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև կապի առկայությունը։ Վիետայի թեորեմի յուրացման բարդությունը կապված է մի քանի հանգամանքների հետ։ Առաջին հերթին անհրաժեշտ է հաշվի առնել ուղիղ և հակադարձ թեորեմների տարբերությունը։ 11 Քառակուսային հավասարումներ լուծելու 10 եղանակ. Հավասարման ձախ կողմի գործոնավորում: Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ. Քառակուսային հավասարումների լուծում բանաձևով. Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ հավասարումների լուծում. Հավասարումների լուծում «փոխանցման» մեթոդով Քառակուսային հավասարման գործակիցների հատկությունները. Քառակուսային հավասարման գրաֆիկական լուծում. Քառակուսային հավասարումների լուծումը կողմնացույցով և ուղղանկյունով: 12 Քառակուսային հավասարումների լուծում նոմոգրամի միջոցով: Քառակուսային հավասարումների լուծման երկրաչափական եղանակ. Անավարտ քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ 1) եթե հավասարումն ունի ax2 = 0 ձև, ապա այն ունի մեկ արմատ x = 0; 2) եթե հավասարումն ունի ax2 + bx = 0 ձև, ապա կիրառվում է ֆակտորացման մեթոդը՝ x (ax + b) = 0; այնպես որ կամ x = 0 կամ ax + b = 0: Արդյունքում ստացվում է երկու արմատ. x1 = 0; x2 \u003d 3) եթե հավասարումն ունի ax2 + c \u003d 0 ձև, ապա այն վերածվում է ax2 \u003d - c ձևի, այնուհետև x2: = Այն դեպքում, երբ -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, այսինքն. - \u003d m, որտեղ m>0, x2 \u003d m հավասարումը ունի երկու արմատ: Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը կարող է ունենալ երկու արմատ, մեկ արմատ, առանց արմատ: 13 Ամբողջական քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ. Սրանք ax2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումներ են, որտեղ a, b, c տրված են թվեր, իսկ ≠ 0, x-ն անհայտն է: Ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում կարող է փոխարկվել ձևի, որպեսզի որոշվի քառակուսի հավասարման արմատների թիվը և գտնել այդ արմատները: Դիտարկվում են ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման հետևյալ դեպքերը՝ Դ< 0, D = 0, D >0. 1. Եթե Դ< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D >0, ապա քառակուսի հավասարումը ax2 + bx + c = 0 ունի երկու արմատ, որոնք հայտնաբերվում են բանաձեւերով. 14 Կրճատված քառակուսային հավասարումների լուծում Ֆ.Վիետայի թեորեմ.Տրված քառակուսային հավասարման արմատների գումարը հավասար է երկրորդ գործակցի՝ վերցված հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Այլ կերպ ասած, եթե x1 և x2 x2 +px + q = 0 հավասարման արմատներն են, ապա x1 + x2 = - p, x1 x2 = q: (*) Հակադարձ թեորեմ Վիետայի թեորեմին. Եթե (*) բանաձևերը վավեր են x1, x2, p, q թվերի համար, ապա x1 և x2 հավասարման արմատներն են x2 + px + q = 0: 15 Գործնական կիրառություններ Բասկարի կիրառական խնդիրների լուծման քառակուսի հավասարումներ (1114-1185) - XII դարի ամենամեծ հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ: Նա ղեկավարել է Ուջայնի աստղադիտարանը։ Բհասկարան գրել է «Siddhanta-shiromani» («Ուսուցման թագը») տրակտատը, որը բաղկացած է չորս մասից. «Lilavati»-ն նվիրված է թվաբանությանը, «Bizhdaganita»-ն՝ հանրահաշվին, «Goladhaya»-ն՝ ոլորտին, «Granhaganita»-ն. մոլորակների շարժումների տեսությանը: Բհասկարան ստացել է հավասարումների բացասական արմատներ, թեև կասկածում էր դրանց նշանակության վրա։ Նրան է պատկանում ամենավաղ հավերժական շարժման նախագծերից մեկը: 16 XII դարի հայտնի հնդիկ մաթեմատիկոսի խնդիրներից մեկը. Bhaskara. Bhaskara-ի լուծումը ցույց է տալիս, որ հեղինակը տեղյակ է եղել քառակուսի հավասարումների արմատների երկարժեքության մասին: 17 Եզրակացություն Քառակուսային հավասարումների լուծման գիտության զարգացումն անցել է երկար ու փշոտ ճանապարհ: Միայն Շտիֆելի, Վիետայի, Տարտալյայի, Կարդանոյի, Բոմբելիի, Ժիրարի, Դեկարտի, Նյուտոնի աշխատություններից հետո ընդունվեց քառակուսի հավասարումների լուծման գիտությունը. ժամանակակից տեսք. Քառակուսային հավասարումների արժեքը ոչ միայն խնդիրների լուծման նրբագեղության և հակիրճության մեջ է, թեև դա շատ կարևոր է: Պակաս կարևոր չէ այն փաստը, որ հարցեր լուծելիս քառակուսի հավասարումների կիրառման արդյունքում հաճախ հայտնաբերվում են նոր մանրամասներ, հետաքրքիր ընդհանրացումներ և ճշգրտումներ, որոնք հուշում են ստացված բանաձևերի և հարաբերությունների վերլուծությունը։ Ուսումնասիրելով քառակուսի հավասարումների զարգացման պատմությանն առնչվող գրականությունը և ինտերնետային ռեսուրսները՝ ես ինքս ինձ հարցրի. Հավանաբար, առաջին հերթին դա մարդկային մտքի պրպտողությունն է, որը գիտության զարգացման գրավականն է։ Աշխարհի էության, այս աշխարհում մարդու տեղի մասին հարցերը միշտ հետապնդում են մտածող, հետաքրքրասեր, ողջամիտ մարդկանց: Մարդիկ բոլոր ժամանակներում ձգտել են հասկանալ իրենց, իրենց տեղը աշխարհում: Ինքդ էլ նայիր, գուցե տուժում է քո բնական հետաքրքրասիրությունը, որովհետև տրվել ես առօրյային, ծուլությա՞նը։ Բազմաթիվ գիտնականների ճակատագիր՝ 18 օրինակ. Ոչ բոլոր անուններն են հայտնի և հայտնի: Մտածեք՝ ի՞նչ եմ ես ինձ շրջապատող մարդկանց համար: Բայց ամենակարեւորն այն է, թե ինչպես եմ ես վերաբերվում ինքս ինձ, արժանի՞ եմ հարգանքի։ Մտածեք դրա մասին... Հղումներ 1. Զվավիչ Լ.Ի. “Algebra Grade 8”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. « Հանրագիտարանային բառարաներիտասարդ մաթեմատիկոս», Մ., 1985. 3. Յու.Ն. Մակարիչև «Հանրահաշիվ 8 դասարան», Մ, 2012 թ. /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/ index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Շնորհակալություն ուշադրության համար 20

Տարբեր քաղաքակրթությունների ներկայացուցիչներ. Հին Եգիպտոս, Հին Բաբելոն, Հին Հունաստան, հին Հնդկաստան, Հին Չինաստան, միջնադարյան արևելք, Եվրոպա յուրացրել են քառակուսի հավասարումների լուծման տեխնիկան։

Առաջին անգամ Հին Եգիպտոսի մաթեմատիկոսները կարողացան լուծել քառակուսի հավասարումը։ Մաթեմատիկական պապիրուսներից մեկը պարունակում է խնդիրը.

«Գտե՛ք դաշտի այն կողմերը, որն ունի ուղղանկյունի ձև, եթե նրա մակերեսը 12 է, իսկ երկարությունները հավասար են լայնությանը»։ «Դաշտի երկարությունը 4 է», - ասվում է պապիրուսում:

Անցան հազարամյակներ, բացասական թվերը մտան հանրահաշիվ։ Լուծելով x² = 16 հավասարումը, ստանում ենք երկու թիվ՝ 4, -4:

Իհարկե, եգիպտական ​​հարցում մենք կվերցնեինք X = 4, քանի որ դաշտի երկարությունը կարող է լինել միայն դրական արժեք:

Մեզ հասած աղբյուրները ցույց են տալիս, որ հնագույն գիտնականներն ունեին անհայտ քանակությամբ խնդիրներ լուծելու որոշ ընդհանուր մեթոդներ: Բաբելոնյան տեքստերում նշված քառակուսի հավասարումների լուծման կանոնն ըստ էության նույնն է, ինչ ժամանակակիցը, սակայն հայտնի չէ, թե ինչպես են բաբելոնացիները «հասել այս կետին»։ Բայց հայտնաբերված գրեթե բոլոր պապիրուսներում և սեպագիր տեքստերում տրված են միայն լուծումների հետ կապված խնդիրներ։ Հեղինակները միայն երբեմն իրենց թվային հաշվարկներն էին տրամադրում միջին մեկնաբանություններով, ինչպիսիք են. «Նայի՛ր», «Արա՛», «Ճիշտ ես գտել»:

Հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտը գրել և լուծել է քառակուսի հավասարումներ։ Նրա «Թվաբանությունը» չի պարունակում հանրահաշվի համակարգված ներկայացում, այլ պարունակում է խնդիրների համակարգված շարք՝ ուղեկցված բացատրություններով և լուծված տարբեր աստիճանի հավասարումներ կազմելով։

Քառակուսային հավասարումների կազմման առաջադրանքներն արդեն հանդիպում են «Aria-bhatiam» աստղագիտական ​​տրակտատում, որը կազմվել է 499 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արիաբհաթայի կողմից։

Մեկ այլ հնդիկ գիտնական Բրահմագուպտան (VII դար) ուրվագծել է ընդհանուր կանոն ax² + bx = c ձևի քառակուսային հավասարումների լուծումներ.

Հին Հնդկաստանում դժվարին խնդիրների լուծման հասարակական մրցույթները սովորական էին: Նման մրցույթների մասին հնդկական հին գրքերից մեկում ասվում է հետևյալը. գիտնական մարդխավարել ուրիշի փառքը ժողովրդական ժողովներ, առաջարկելով և լուծելով հանրահաշվական խնդիրներ»։ Առաջադրանքները հաճախ դրված էին բանաստեղծական ձևով:

Ահա XII դարի հայտնի հնդիկ մաթեմատիկոսի խնդիրներից մեկը. Բասկարա.

Կապիկների թրթռուն երամ

Լավ ուտել, զվարճանալ:

Դրանց ութերորդ մասը հրապարակում զվարճանում էր բացատում։

Եվ տասներկու խաղողի երկայնքով ... սկսեցին ցատկել, կախված ...​

Քանի կապիկ կար

Դուք ինձ ասում եք, այս հոտի մեջ:

Բհասկարայի լուծումը ցույց է տալիս, որ նա գիտեր քառակուսի հավասարումների արմատների երկարժեքության մասին։

Մեզ հասած ամենահին չինական մաթեմատիկական տեքստերը թվագրվում են մ.թ.ա 1-ին դարի վերջին: մ.թ.ա. II դարում։ մ.թ.ա. Գրվել է մաթեմատիկան ինը գրքում։ Հետագայում՝ 7-րդ դարում, այն ներառվել է «Տասը դասական տրակտատներ» ժողովածուի մեջ, որն ուսումնասիրվել է երկար դարեր։ «Մաթեմատիկան ինը գրքում» տրակտատում բացատրվում է, թե ինչպես կարելի է հանել Քառակուսի արմատօգտագործելով երկու թվերի գումարի քառակուսու բանաձևը.

Մեթոդը կոչվում էր «տյան-յուան» (բառացի՝ « երկնային տարր”) - այսպես են չինացիները նշել անհայտ մեծություն:​

Խնդիրների լուծման առաջին ձեռնարկը, որը լայնորեն հայտնի դարձավ, 9-րդ դարի բաղդադագետի աշխատությունն էր։ Մուհամմադ բին Մուսա ալ-Խվարիզմի. «Ալ-Ջաբր» բառը ժամանակի ընթացքում վերածվեց հանրահայտ «հանրահաշիվ» բառի, և Ալ-Խվարեզմիի աշխատանքն ինքնին դարձավ ելակետ հավասարումների լուծման գիտության զարգացման գործում: Ալ-Խորեզմիի հանրահաշվական տրակտատը տալիս է գծային և քառակուսային հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը թվարկում է վեց տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով հետևյալ կերպ.

-քառակուսի հավասար արմատներ, այսինքն ախ ² = bx;

-հավասար թվով քառակուսիներ, այսինքն ախ ² = գ;

-արմատները թվին հավասար են, այսինքն՝ կացին = c;

-քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին, այսինքն ախ ²+ c \u003d bx;

-քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին, այսինքն ախ ² + bx \u003d c;

-Արմատները և թվերը քառակուսի են, այսինքն bx + c = կացին ²;

Ալ-Խվարեզմիի տրակտատը մեզ հասած առաջին գիրքն է, որտեղ համակարգված կերպով ներկայացված է քառակուսի հավասարումների դասակարգումը և տրված են դրանց լուծման բանաձևերը։

Եվրոպայում ալ-Խվարիզմի մոդելով քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը առաջին անգամ ներկայացվել են Աբակուսի գրքում, որը գրվել է 1202 թվականին իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի կողմից: Հեղինակն ինքնուրույն մշակել է խնդիրների լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջինն է Եվրոպայում, ով մոտեցել է բացասական թվերի ներդրմանը։ Նրա գիրքը նպաստել է հանրահաշվական գիտելիքների տարածմանը ոչ միայն Իտալիայում, այլեւ Գերմանիայում, Ֆրանսիայում եւ եվրոպական այլ երկրներում։ «Աբակոսի գրքից» բազմաթիվ առաջադրանքներ տեղ են գտել 16-17-րդ դարերի եվրոպական գրեթե բոլոր դասագրքերում։ և XVIII դ.

Քառակուսային հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը, որը վերածվել է մեկ կանոնական x ձևի ² + bx \u003d c, b և c գործակիցների նշանների բոլոր հնարավոր համակցություններով, ձևակերպվել է Եվրոպայում միայն 1544 թվականին Մ. Շտիֆելի կողմից:

Վիետան ունի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևի ընդհանուր ածանցավորում, բայց նա նաև ճանաչում է միայն դրական արմատներ։ Իտալացի մաթեմատիկոսներ Տարտալիան, Կարդանոն, Բոմբելլին առաջիններից էին 16-րդ դարում։ հաշվի առնել դրական և բացասական արմատներից բացի. Միայն 17-րդ դարում Ժիրարի, Դեկարտի, Նյուտոնի և այլ գիտնականների աշխատությունների շնորհիվ քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդը ժամանակակից տեսք ստացավ։

​

​

Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում հողային աշխատանքներռազմական բնույթը, ինչպես նաև բուն աստղագիտության և մաթեմատիկայի զարգացումը։ Բաբելոնացիները գիտեին, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ մեր հավատքից մոտ 2000 տարի առաջ: Օգտագործելով ժամանակակից հանրահաշվական նշումը, կարող ենք ասել, որ նրանց սեպագիր տեքստերում, ի լրումն թերի, կան, օրինակ, ամբողջական քառակուսի հավասարումներ՝ կանոնակարգեր։ Գրեթե բոլոր սեպագիր տեքստերը, որոնք մինչ այժմ գտնվել են, տալիս են միայն լուծումների հետ կապված խնդիրներ, որոնք ներկայացված են բաղադրատոմսերի ձևով, առանց որևէ նշման, թե ինչպես են դրանք հայտնաբերվել: Չնայած բարձր մակարդակՀանրահաշվի զարգացումը Բաբելոնում, սեպագիր տեքստերում բացակայում է բացասական թվի հասկացությունը և ընդհանուր մեթոդներքառակուսի հավասարումների լուծումներ.

Ինչպես Դիոֆանտը կազմեց և լուծեց քառակուսի հավասարումները «Գտեք երկու թիվ՝ իմանալով, որ դրանց գումարը 20 է, իսկ արտադրյալը՝ 96», Դիոֆանտոսը պնդում է հետևյալ կերպ. խնդրի պայմանից հետևում է, որ ցանկալի թվերը հավասար չեն, քանի որ. եթե նրանք հավասար լինեին, ապա նրանց արտադրյալը կլիներ ոչ թե 96, այլ 100: Այսպիսով, դրանցից մեկը կլիներ. կեսից ավելինդրանց գումարները, այսինքն. 10+X, մյուսը ավելի փոքր է, այսինքն. 10-X. Նրանց միջև տարբերությունը 2X է, հետևաբար X=2: Ցանկալի թվերից մեկը 12-ն է, մյուսը՝ 8-ը։ X = -2 լուծումը Դիոֆանտոսի համար գոյություն չունի, քանի որ հունական մաթեմատիկան գիտեր միայն դրական թվեր։ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ. կամ այլ կերպ.

Քառակուսային հավասարումներ Հնդկաստանում Քառակուսային հավասարումների վերաբերյալ խնդիրներ կան նաև «Արյաբհաթամ» աստղագիտական ​​տրակտատում, որը կազմվել է 499 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արյաբհաթայի կողմից։ Մեկ այլ հնդիկ գիտնական՝ Բրահմագուպտան, ուրվագծել է քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը՝ կրճատված մեկ կանոնական ձևով. ax ² +bx=c, a>0: Դրանց ութերորդ մասը հրապարակում ես զվարճացա բացատում: Եվ տասներկու լիանաների երկայնքով… Նրանք սկսեցին ցատկել կախված… Քանի՞ կապիկ էիր, ասա՛ ինձ, այս հոտում: Խնդրին համապատասխան հավասարումը Բասկարան գրում է ձախ կողմդեպի հրապարակ 0 12-րդ դարի հանրահայտ հնդիկ մաթեմատիկոսի խնդիրներից մեկը Բհասկարա Փրփրուն կապիկների երամը կուշտ ուտելուց հետո նրանք զվարճացան։ Դրանց ութերորդ մասը հրապարակում ես զվարճացա բացատում: Եվ տասներկու լիանաների երկայնքով… Նրանք սկսեցին ցատկել կախված… Քանի՞ կապիկ էիր, ասա՛ ինձ, այս հոտում: Խնդրին համապատասխան հավասարումը. Բասկարան քողի տակ գրում է. Ձախ կողմը լրացրեց քառակուսու վրա, «>

Քառակուսի հավասարումներ Հին Ասիայում Ահա թե ինչպես է կենտրոնասիացի գիտնական ալ-Խվարեզմին լուծել այս հավասարումը. Նա գրել է. «Կանոնն այսպիսին է. կրկնապատկել արմատների թիվը, x = 2x 5, ստանալ հինգ այս խնդրի մեջ, 5-ը բազմապատկել այս հավասարով: դրան կկազմի քսանհինգ, 5 5=25 սա ավելացրեք երեսունինը, կլինի վաթսունչորս, 64 վերցրեք սրա արմատը, կլինի ութ, 8 և այս կեսից հանեք արմատների թիվը։ , այսինքն հինգը, 8-5-ը կմնա 3 սա կլինի ձեր փնտրած քառակուսու արմատը»։ Ինչ վերաբերում է երկրորդ արմատին: Երկրորդ արմատը չի գտնվել, քանի որ բացասական թվերը հայտնի չեն: x x = 39

Քառակուսի հավասարումները Եվրոպայում XIII-XVII դդ. Քառակուսային հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը, որը վերածվել է մեկ կանոնական ձևի x2 + in + c = 0, ձևակերպվել է Եվրոպայում միայն 1544 թվականին Շտիֆելի կողմից: Եվրոպայում քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը առաջին անգամ սահմանվել են 1202 թվականին իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Ֆիբոնաչիի կողմից: Վիետան ունի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևի ընդհանուր ածանցավորում, բայց Վիետան ճանաչեց միայն դրական արմատներ: Միայն 17-րդ դ Դեկարտի, Նյուտոնի և այլ գիտնականների աշխատությունների շնորհիվ քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդը ստանում է ժամանակակից ձև.

Վիետայի թեորեմի մասին Վիետա անունը կրող քառակուսի հավասարման գործակիցների և նրա արմատների միջև կապն արտահայտող թեորեմն առաջին անգամ ձևակերպվել է նրա կողմից 1591թ.-ին: Հետևյալը. BD-ին, ապա A-ն հավասար է B-ին և հավասար է D-ին: Վիետային հասկանալու համար պետք է հիշել, որ A-ն, ինչպես ցանկացած ձայնավոր, նշանակում էր անհայտը (մեր x-ը), մինչդեռ B, D ձայնավորները անհայտի գործակիցներ են։ Ժամանակակից հանրահաշվի լեզվով Vieta-ի վերը նշված ձևակերպումը նշանակում է. Եթե տրված քառակուսի հավասարումը x 2 +px + q \u003d 0 ունի իրական արմատներ, ապա դրանց գումարը հավասար է -p-ի, իսկ արտադրյալը հավասար է q-ի, որ է, x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 = q (տվյալ քառակուսի հավասարման արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով վերցված երկրորդ գործակցին, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է. անվճար ժամկետով):

Գործոնացման մեթոդը ընդհանուր քառակուսի հավասարումը բերելն է այն ձևին. A(x)·B(x)=0, որտեղ A(x) և B(x)-ը բազմանդամներ են x-ի նկատմամբ: Նպատակը. փակագծերից հանել ընդհանուր գործոնը. Օգտագործելով կրճատ բազմապատկման բանաձևեր; խմբավորման մեթոդ. Ճանապարհներ. Օրինակ.

Քառակուսային հավասարման արմատները՝ Եթե D>0, Եթե D 0, If D"> 0, If D"> 0, If D" title="(!LANG: Քառակուսի արմատներ. Եթե D>0, Եթե D"> title="Քառակուսային հավասարման արմատները՝ Եթե D>0, Եթե D"> !}

X 1-ը և x 2-ը հավասարման արմատներն են Հավասարումների լուծում Վիետայի թեորեմի միջոցով X 2 + 3X - 10 \u003d 0 X 1 X 2 \u003d - 10, ինչը նշանակում է, որ արմատներն ունեն տարբեր նշաններ X 1 + X 2 \u003d - 3, ինչը նշանակում է, որ արմատն ավելի մեծ է բացարձակ արժեքով - բացասական Ընտրությամբ մենք գտնում ենք արմատները՝ X 1 \u003d - 5, X 2 \u003d 2 Օրինակ.

0, ըստ Վիետայի թեորեմի հակառակ թեորեմի, մենք ստանում ենք արմատները՝ 5, 6, այնուհետև վերադառնում ենք սկզբնական հավասարման արմատներին՝ 2.5; 3. Պատասխան՝ 2.5; 3. «title="(!LANG: Լուծե՛ք հավասարումը. 2x 2 - 11x +15 = 0. 2 գործակիցը փոխանցե՛ք ազատ անդամին y 2 - 11y +30 = 0. D>0, ըստ. թեորեմը, Վիետայի թեորեմի հակադարձը, ստանում ենք արմատները՝ 5;6, ապա վերադառնում ենք սկզբնական հավասարման արմատներին՝ 2,5, 3, պատասխան՝ 2,5, 3. Հավասարման լուծում." class="link_thumb"> 14 !}Լուծե՛ք հավասարումը` 2x x +15 \u003d 0. 2 գործակիցը փոխանցենք yy +30 \u003d 0 ազատ անդամին: D> 0, ըստ թեորեմի՝ Վիետայի թեորեմի հակադարձ, ստանում ենք արմատները՝ 5. 6, այնուհետև մենք վերադառնում ենք սկզբնական հավասարման արմատներին՝ 2, հինգ; 3. Պատասխան՝ 2.5; 3. Հավասարումների լուծում «փոխանցման» մեթոդով. 0, ըստ Վիետայի թեորեմի հակառակ թեորեմի, մենք ստանում ենք արմատները՝ 5, 6, այնուհետև վերադառնում ենք սկզբնական հավասարման արմատներին՝ 2.5; 3. Պատասխան՝ 2.5; 3. «\u003e 0» հավասարման լուծումը, ըստ թեորեմի՝ Վիետայի թեորեմի հակադարձ, ստանում ենք արմատները՝ 5; 6, ապա վերադառնում ենք սկզբնական հավասարման արմատներին՝ 2.5; 3. Պատասխան՝ 2.5. 3. Հավասարումները լուծելով «փոխանցման» մեթոդով» > 0, Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմի համաձայն ստանում ենք արմատները՝ 5;6, այնուհետև վերադառնում ենք սկզբնական հավասարման արմատներին՝ 2,5; 3. Պատասխան՝ 2.5; 3. «title="(!LANG: Լուծե՛ք հավասարումը. 2x 2 - 11x +15 = 0. 2 գործակիցը փոխանցե՛ք ազատ անդամին y 2 - 11y +30 = 0. D>0, ըստ. թեորեմը, Վիետայի թեորեմի հակադարձը, ստանում ենք արմատները՝ 5;6, ապա վերադառնում ենք սկզբնական հավասարման արմատներին՝ 2,5, 3, պատասխան՝ 2,5, 3. Հավասարման լուծում."> title="Լուծե՛ք հավասարումը 2x 2 - 11x +15 \u003d 0։ 2 գործակիցը տեղափոխենք y 2 - 11y +30 \u003d 0 ազատ անդամին։ D> 0, ըստ թեորեմի՝ Վիետայի թեորեմի հակադարձը, մենք. ստացեք արմատները՝ 5, 6, այնուհետև վերադառնում ենք սկզբնական հավասարումների արմատներին՝ 2,5; 3. Պատասխան՝ 2.5; 3. Հավասարման լուծում"> !}

Եթե ​​քառակուսի հավասարման մեջ a + b + c \u003d 0, ապա արմատներից մեկը հավասար է 1-ի, իսկ երկրորդը, ըստ Վիետայի թեորեմի, հավասար է երկրորդին, ըստ Վիետայի թեորեմի, եթե քառակուսային հավասարման մեջ a + c \u003d b, ապա արմատներից մեկը հավասար է (-1), իսկ երկրորդը, ըստ Վիետայի թեորեմի, հավասար է օրինակին. Քառակուսային հավասարման գործակիցների հատկությունները 137x x - 157 = 0. a = 137. , b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0: x 1 = 1, Պատասխան՝ 1; 137x x - 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0: x 1 = 1, Պատասխան՝ 1;

Քառակուսային հավասարումը լուծելու գրաֆիկական եղանակ Առանց բանաձևերի օգտագործման՝ քառակուսի հավասարումը կարելի է լուծել գրաֆիկորեն. Լուծենք հավասարումը Դա անելու համար կկառուցենք երկու գրաֆիկ՝ X Y X 01 Y012 Պատասխան՝ Գրաֆիկների հատման կետերի աբսցիսները և կլինեն հավասարման արմատները։ Եթե ​​գրաֆիկները հատվում են երկու կետով, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ։ Եթե ​​գրաֆիկները հատվում են մի կետում, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ: Եթե ​​գրաֆիկները չեն հատվում, ապա հավասարումը արմատներ չունի: 1)y=x2 2)y=x+1

Քառակուսային հավասարումների լուծում նոմոգրամի միջոցով Սա քառակուսի հավասարումների լուծման հին և անարժանաբար մոռացված մեթոդ է, որը տեղադրված է էջ 83 «Չորսարժեք մաթեմատիկական աղյուսակներ» Բրադիս Վ.Մ. Աղյուսակ XXII. Հավասարման լուծման նոմոգրամ Այս նոմոգրամը թույլ է տալիս, առանց քառակուսի հավասարման լուծելու, իր գործակիցներով որոշել հավասարման արմատները։ Հավասարման համար նոմոգրամը տալիս է արմատները

Քառակուսային հավասարումների լուծման երկրաչափական եղանակներ Հնում, երբ երկրաչափությունն ավելի զարգացած էր, քան հանրահաշիվը, քառակուսի հավասարումները լուծվում էին ոչ թե հանրահաշվորեն, այլ երկրաչափական եղանակով։ Եվ ահա, օրինակ, թե ինչպես են հին հույները լուծել հավասարումը. կամ Արտահայտությունները և երկրաչափական առումով տալիս են նույն քառակուսին, իսկ սկզբնական հավասարումը նույն հավասարումն է: որտեղի՞ց ինչ, կամ

Եզրակացություն Այս որոշման մեթոդները արժանի են ուշադրության, քանի որ դրանք ոչ բոլորն են արտացոլված դպրոցական մաթեմատիկայի դասագրքերում. Այս տեխնիկայի յուրացումը կօգնի ուսանողներին խնայել ժամանակը և արդյունավետորեն լուծել հավասարումները. կարիք ներս արագ որոշումընդունելության քննությունների թեստային համակարգի կիրառման շնորհիվ.

ա) Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում

Ոչ միայն առաջին, այլև երկրորդ աստիճանի հավասարումներ լուծելու անհրաժեշտությունը դեռևս հին ժամանակներում առաջացել է ռազմական բնույթի հողատարածքների և հողային աշխատանքների հայտնաբերման, ինչպես նաև զարգացման հետ կապված խնդիրների լուծման անհրաժեշտությամբ։ բուն աստղագիտության և մաթեմատիկայի. Քառակուսային հավասարումները կարողացան լուծել մոտ 2000 մ.թ.ա. բաբելոնացիներ. Կիրառելով ժամանակակից հանրահաշվական նշումը, կարող ենք ասել, որ նրանց սեպագիր տեքստերում, ի լրումն թերի, կան այնպիսիք, ինչպիսիք են, օրինակ, ամբողջական քառակուսի հավասարումները.

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14

Բաբելոնյան տեքստերում ամրագրված այս հավասարումների լուծման կանոնը, ըստ էության, համընկնում է ժամանակակիցի հետ, սակայն հայտնի չէ, թե ինչպես են բաբելոնացիները եկել այս կանոնին։ Առայժմ հայտնաբերված գրեթե բոլոր սեպագիր տեքստերը տալիս են միայն լուծումների հետ կապված խնդիրներ, որոնք նշված են բաղադրատոմսերի ձևով, առանց որևէ նշման, թե ինչպես են դրանք հայտնաբերվել:

Չնայած Բաբելոնում հանրահաշվի զարգացման բարձր մակարդակին, սեպագիր տեքստերում բացակայում է բացասական թվի հայեցակարգը և քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր մեթոդները։

«Թվաբանություն» Դիոֆանտում չկա հանրահաշվի համակարգված ներկայացում, սակայն այն պարունակում է խնդիրների համակարգված շարք՝ ուղեկցվող բացատրություններով և լուծված տարբեր աստիճանի հավասարումներ կազմելով։

Հավասարումներ կազմելիս Դիոֆանտը հմտորեն ընտրում է անհայտները՝ լուծումը պարզեցնելու համար։

Ահա, օրինակ, նրա առաջադրանքներից մեկը.

Առաջադրանք 2. «Գտե՛ք երկու թիվ՝ իմանալով, որ դրանց գումարը 20 է, իսկ արտադրյալը՝ 96»։

Դիոֆանտոսը պնդում է հետևյալ կերպ. խնդրի պայմանից հետևում է, որ ցանկալի թվերը հավասար չեն, քանի որ եթե դրանք հավասար լինեին, ապա նրանց արտադրյալը կլիներ ոչ թե 96, այլ 100։ Այսպիսով, դրանցից մեկը կլինի նրանց կեսից ավելին։ գումար, այսինքն .10 + x. Մյուսը ավելի փոքր է, այսինքն 10 - x: Նրանց միջև տարբերությունը 2 անգամ է: Հետևաբար հավասարումը.

(10+x)(10-x)=96,

կամ

Հետևաբար, x = 2: Ցանկալի թվերից մեկը 12-ն է, մյուսը` 8: X = - 2 լուծումը Դիոֆանտոսի համար գոյություն չունի, քանի որ հունական մաթեմատիկան գիտեր միայն դրական թվեր:

Եթե ​​այս խնդիրը լուծենք՝ որպես անհայտ ընտրելով անհայտ թվերից մեկը, ապա կարող ենք գալ հավասարման լուծմանը.

Հասկանալի է, որ Դիոֆանտը պարզեցնում է լուծումը՝ ընտրելով ցանկալի թվերի կես տարբերությունը որպես անհայտ; նրան հաջողվում է խնդիրը հասցնել ոչ ամբողջական քառակուսային հավասարման լուծման:
բ) Քառակուսի հավասարումներ Հնդկաստանում.

Քառակուսային հավասարումների խնդիրներն արդեն հանդիպում են «Արյաբհաթամ» աստղագիտական ​​տրակտատում, որը կազմվել է 499 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արյաբահաթայի կողմից։ Մեկ այլ հնդիկ գիտնական՝ Բրահմագուպտան (7-րդ դար), ուրվագծել է քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոն՝ կրճատված մեկ կանոնական ձևով.

Օ՜ 2 + բx = c, a > 0

Հավասարման մեջ գործակիցները, բացառությամբ բայց, կարող է բացասական լինել։ Բրահմագուպտայի կանոնը ըստ էության համընկնում է մերի հետ։

Հնդկաստանում դժվարին խնդիրների լուծման հասարակական մրցույթները սովորական էին։ Հին հնդկական գրքերից մեկում այսպիսի մրցույթների մասին ասվում է հետևյալը. «Ինչպես արևն իր փայլով գերազանցում է աստղերին, այնպես էլ գիտուն մարդն իր փառքը կգերազանցի հանրային ժողովներում՝ առաջարկելով և լուծելով հանրահաշվական խնդիրներ»: Առաջադրանքները հաճախ դրված էին բանաստեղծական ձևով:

Ահա XII դարի հայտնի հնդիկ մաթեմատիկոսի խնդիրներից մեկը. Բասկարա.

Առաջադրանք 3.

3-րդ խնդրին համապատասխան հավասարումը հետևյալն է.

Բհասկարան քողի տակ գրում է.

x 2 - 64x = - 768

և այս հավասարման ձախ կողմը քառակուսին լրացնելու համար երկու կողմերին ավելացնում ենք 32 2, ապա ստանում ենք.

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48:

գ) Ալ-Խվարեզմիի քառակուսի հավասարումներ

Ալ-Խվարեզմիի հանրահաշվական տրակտատը տալիս է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը թվարկում է 6 տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով այսպես.

1. 
   «Քառակուսիները հավասար են արմատներին», այսինքն՝ կացին 2 = bx:
2. 
   «Քառակուսիները հավասար են թվին», այսինքն՝ կացին 2 = c.
3. 
   «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ կացին = գ։
4. 
   «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն՝ կացին 2 + c \u003d bx:
5. 
   «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ կացին 2 + bx \u003d c.
6. 
   «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն՝ bx + c == կացին 2:

Օրինակ բերենք.

Խնդիր 4. «Քառակուսին և 21 թիվը հավասար են 10 արմատի։ Գտեք արմատը «(նշանակում է x 2 + 21 \u003d 10x հավասարման արմատը):

Լուծում. Արմատների թիվը կիսով չափ կիսեք, կստանաք 5, բազմապատկեք 5-ը, արտադրյալից հանեք 21, մնում է 4: Վերցրեք 4-ի արմատը, կստանաք 2: Հինգից հանեք 2, կստանաք 3, սա կլինի ցանկալի արմատը. Կամ 5-ին ավելացրեք 2, որը կտա 7, սա նույնպես արմատ է։

Ալ-Խվարեզմիի տրակտատը մեզ հասած առաջին գիրքն է, որտեղ համակարգված կերպով ներկայացված է քառակուսի հավասարումների դասակարգումը և տրված են դրանց լուծման բանաձևերը։

դ) Քառակուսի հավասարումները Եվրոպայում XIII-XVII դդ.

Եվրոպայում ալ-Խավարիզմի մոդելով քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը առաջին անգամ ներկայացվել են «Աբակուսի գրքում», որը գրվել է 1202 թվականին իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի կողմից։ Այս ծավալուն աշխատությունը, որն արտացոլում է մաթեմատիկայի ազդեցությունը ինչպես իսլամի, այնպես էլ Հին Հունաստանի երկրներից, առանձնանում է ինչպես ամբողջականությամբ, այնպես էլ մատուցման հստակությամբ: Հեղինակն ինքնուրույն մշակել է խնդիրների լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջինն է Եվրոպայում, ով մոտեցել է բացասական թվերի ներդրմանը։ Նրա գիրքը նպաստել է հանրահաշվական գիտելիքների տարածմանը ոչ միայն Իտալիայում, այլեւ Գերմանիայում, Ֆրանսիայում եւ եվրոպական այլ երկրներում։ Աբակուսի գրքից շատ առաջադրանքներ անցել են 16-17-րդ դարերի եվրոպական գրեթե բոլոր դասագրքերում։ և մասամբ XVIII.

Քառակուսային հավասարումներ լուծելու ընդհանուր կանոն՝ կրճատվելով մեկ կանոնական ձևով

x 2 + bx \u003d c,

գործակիցների նշանների բոլոր հնարավոր համակցությունների համար բ, սկսածԵվրոպայում ձեւակերպվել է միայն 1544 թվականին Մ.Շտիֆելի կողմից։

Վիետան ունի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևի ընդհանուր ածանցավորում, բայց Վիետան ճանաչեց միայն դրական արմատներ: Իտալացի մաթեմատիկոսներ Տարտալիան, Կարդանոն, Բոմբելլին առաջիններից էին 16-րդ դարում։ Հաշվի առեք, բացի դրականից, և բացասական արմատներից: Միայն XVII դ. Ժիրարի, Դեկարտի, Նյուտոնի և այլ գիտնականների աշխատությունների շնորհիվ քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդը ժամանակակից տեսք է ստանում։

Գործնական խնդիրների լուծման հանրահաշվական մեթոդների ակունքները կապված են գիտության հետ հին աշխարհ. Ինչպես հայտնի է մաթեմատիկայի պատմությունից, եգիպտական, շումերական, բաբելոնացի գրագիր-համակարգիչների կողմից լուծված մաթեմատիկական բնույթի խնդիրների մի զգալի մասը (մ.թ.ա. XX–VI դդ.) ունեցել է հաշվարկային բնույթ։ Այնուամենայնիվ, նույնիսկ այդ ժամանակ ժամանակ առ ժամանակ առաջանում էին խնդիրներ, որոնցում մեծության ցանկալի արժեքը սահմանվում էր ինչ-որ անուղղակի պայմաններով, որոնք պահանջում էին, մեր ժամանակակից տեսանկյունից, ձևակերպել հավասարում կամ հավասարումների համակարգ։ Սկզբում նման խնդիրներ լուծելու համար օգտագործվում էին թվաբանական մեթոդներ. Հետագայում սկսեցին ձևավորվել հանրահաշվական ներկայացումների սկիզբը։ Օրինակ, բաբելոնյան հաշվիչներ կարողացան լուծել խնդիրներ, որոնք կարող են կրճատվել առումով ժամանակակից դասակարգումերկրորդ աստիճանի հավասարումներին։ Ստեղծվեց տեքստային խնդիրների լուծման մեթոդ, որը հետագայում հիմք հանդիսացավ հանրահաշվական բաղադրիչի ընդգծման և դրա ինքնուրույն ուսումնասիրության համար։

Այս ուսումնասիրությունն արդեն իրականացվել է մեկ այլ դարաշրջանում, նախ արաբ մաթեմատիկոսների կողմից (մ.թ. VI-X դդ.), ովքեր առանձնացրել են այն բնորոշ գործողությունները, որոնցով հավասարումները վերածվել են. ստանդարտ տեսքհամանման տերմինների կրճատում, տերմինների փոխանցում հավասարման մի մասից մյուսը՝ նշանի փոփոխությամբ։ Եվ հետո Վերածննդի եվրոպացի մաթեմատիկոսները երկար փնտրտուքների արդյունքում ստեղծեցին ժամանակակից հանրահաշվի լեզուն, տառերի կիրառումը, թվաբանական գործողությունների նշանների ներմուծումը, փակագծերը և այլն։ 16-ի սահմանին 17-րդ դարեր. Արդեն ձևավորվել է հանրահաշիվը որպես մաթեմատիկայի կոնկրետ մաս՝ ունենալով իր առարկան, մեթոդը, կիրառական տարածքները։ Նրա հետագա զարգացումը, մինչև մեր ժամանակները, բաղկացած էր մեթոդների կատարելագործումից, կիրառությունների շրջանակի ընդլայնումից, հասկացությունների հստակեցումից և դրանց կապերը մաթեմատիկայի այլ ճյուղերի հասկացությունների հետ։

Այսպիսով, հաշվի առնելով հավասարման հայեցակարգի հետ կապված նյութի կարևորությունն ու ընդարձակությունը, դրա ուսումնասիրությունը ք ժամանակակից մեթոդաբանությունմաթեմատիկան կապված է իր ծագման և գործունեության երեք հիմնական ոլորտների հետ.