տուն-Հովանոցներ և հովանոցներ-Trapezoid-ի միջին գիծը հավասար է ավելի մեծ հիմքի կեսին: Trapezium, trapezium-ի միջին գիծ, ​​եռանկյուն

Trapezoid-ի միջին գիծը հավասար է ավելի մեծ հիմքի կեսին: Trapezium, trapezium-ի միջին գիծ, ​​եռանկյուն

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ նրա հետ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

  • Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

  • Մեր հավաքած անձնական տվյալները մեզ թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
  • Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
  • Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
  • Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

  • Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով սահմանված կարգով, դատական ​​կարգը, դատական ​​գործընթացներում և/կամ հիմնված հանրային հարցումների կամ խնդրանքների վրա պետական ​​մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
  • Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, այդ թվում՝ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական՝ պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ նրա հետ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

  • Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլփոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

  • Մեր հավաքած անձնական տվյալները մեզ թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
  • Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
  • Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
  • Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

  • Այն դեպքում, երբ դա անհրաժեշտ է՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթում և (կամ) հիմնվելով Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա, բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
  • Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, այդ թվում՝ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական՝ պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Trapezoid-ի միջին գծի հայեցակարգը

Նախ, եկեք հիշենք, թե ինչ գործիչ է կոչվում trapezoid:

Սահմանում 1

Trapezoid-ը քառանկյուն է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն:

Այս դեպքում զուգահեռ կողմերը կոչվում են trapezoid-ի հիմքեր, իսկ ոչ զուգահեռները՝ trapezoid-ի կողմերը:

Սահմանում 2

Trapezoid-ի միջին գիծը գծային հատված է, որը միացնում է trapezoid-ի կողմերի միջնակետերը:

Տրապեզիայի միջին գծի թեորեմ

Այժմ մենք ներկայացնում ենք թեորեմը trapezoid-ի միջին գծի վերաբերյալ և այն ապացուցում վեկտորային մեթոդով:

Թեորեմ 1

Trapezoid-ի միջնագիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց գումարի կեսին:

Ապացույց.

Մեզ տրվի $ABCD$ $AD\ և\ BC$ հիմքերով trapezoid: Եվ թող $MN$ -- միջին գիծայս trapezoid (նկ. 1):

Նկար 1. Trapezoid- ի միջին գիծը

Եկեք ապացուցենք, որ $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$:

Դիտարկենք $\overrightarrow(MN)$ վեկտորը: Հաջորդը, մենք օգտագործում ենք պոլիգոնի կանոնը վեկտորի գումարման համար: Մի կողմից մենք ստանում ենք դա

Մյուս կողմից

Գումարելով վերջին երկու հավասարումները՝ ստանում ենք

Քանի որ $M$-ը և $N$-ը trapezoid-ի կողմերի միջնակետերն են, մենք ունենք

Մենք ստանում ենք.

Հետեւաբար

Նույն հավասարությունից (քանի որ $\overrightarrow(BC)$-ը և $\overrightarrow(AD)$-ը համակողմանի են և, հետևաբար, համագիծ), մենք ստանում ենք $MN||AD$:

Թեորեմն ապացուցված է.

Տրապիզոնի միջին գծի հայեցակարգի վերաբերյալ առաջադրանքների օրինակներ

Օրինակ 1

Trapezoid-ի կողմերը համապատասխանաբար $15\cm$ և $17\cm$ են։ Trapezoid-ի պարագիծը $52\cm$ է։ Գտե՛ք տրապեզի միջին գծի երկարությունը:

Լուծում.

Նշեք տրապեզի միջին գիծը $n$-ով:

Կողմերի գումարը կազմում է

Հետևաբար, քանի որ պարագիծը $52\cm$ է, հիմքերի գումարը կազմում է

Այսպիսով, թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

Պատասխան.$ 10 \ սմ $.

Օրինակ 2

Շրջանակի տրամագծի ծայրերը համապատասխանաբար $9$ սմ և $5$ սմ են նրա շոշափողից։Գտե՛ք այս շրջանագծի տրամագիծը։

Լուծում.

Եկեք մեզ տրվի $O$ կենտրոնով և $AB$ տրամագծով շրջան: Գծե՛ք $l$ շոշափողը և կառուցե՛ք $AD=9\ cm$ և $BC=5\ cm$ հեռավորությունները։ Գծենք $OH$ շառավիղը (նկ. 2):

Նկար 2.

Քանի որ $AD$ և $BC$-ը շոշափողի հեռավորություններն են, ապա $AD\bot l$ և $BC\bot l$ և քանի որ $OH$-ը շառավիղն է, ապա $OH\bot l$, հետևաբար $OH | \ձախ|AD\աջ||BC$. Այս ամենից մենք ստանում ենք, որ $ABCD$-ը trapezoid է, իսկ $OH$-ը նրա միջին գիծն է: Թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

\[(\Large(\text(կամայական trapezoid)))\]

Սահմանումներ

Trapezoid-ը ուռուցիկ քառանկյուն է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկու կողմերը զուգահեռ չեն:

Trapezoid-ի զուգահեռ կողմերը կոչվում են նրա հիմքերը, իսկ մյուս երկու կողմերը կոչվում են նրա կողմերը:

Trapezoid-ի բարձրությունը մի հիմքի ցանկացած կետից մյուս հիմքն ընկած ուղղահայացն է:

Թեորեմներ. trapezoid-ի հատկությունները

1) Կողքի անկյունների գումարը \(180^\circ\) է:

2) Անկյունագծերը տրապեզը բաժանում են չորս եռանկյունների, որոնցից երկուսը նման են, իսկ մյուս երկուսը հավասար են։

Ապացույց

1) Որովհետև \(AD\զուգահեռ BC\) , այնուհետև \(\անկյուն BAD\) և \(\անկյուն ABC\) այս տողերում միակողմանի են և \(AB\) հատվածը, հետևաբար, \(\անկյուն BAD +\անկյուն ABC=180^\circ\).

2) Որովհետև \(AD\զուգահեռ BC\) և \(BD\)-ը հատված է, այնուհետև \(\անկյուն DBC=\անկյուն BDA\) գտնվում է երկայնքով:
Նաև \(\անկյուն BOC=\անկյուն AOD\) որպես ուղղահայաց:
Հետեւաբար, երկու անկյուններում \(\եռանկյուն BOC \sim \եռանկյուն AOD\).

Ապացուցենք դա \(S_(\եռանկյուն AOB)=S_(\եռանկյուն COD)\). Թող \(h\) լինի trapezoid-ի բարձրությունը: Հետո \(S_(\եռանկյունի ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\եռանկյուն ACD)\). Ապա. \

Սահմանում

Trapezoid-ի միջին գիծը մի հատված է, որը միացնում է կողմերի միջնակետերը:

Թեորեմ

Trapezoid-ի միջնագիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց գումարի կեսին:


Ապացույց*

1) Ապացուցենք զուգահեռությունը.


Գծե՛ք \(MN"\զուգահեռ AD\) (\(N"\CD-ում\) ) գիծ \(M\) ) կետով): Այնուհետև Թալեսի թեորեմով (որովհետև \(MN"\զուգահեռ AD\զուգահեռ BC, AM=MB\)) \(N"\) կետը \(CD\) հատվածի միջնակետն է... Այսպիսով, \(N\) և \(N"\) կետերը կհամընկնեն:

2) Ապացուցենք բանաձեւը.

Եկեք նկարենք \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Թող լինի \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).


Այնուհետև, ըստ Թալեսի թեորեմի, \(M"\) և \(N"\) համապատասխանաբար \(BB"\) և \(CC"\ հատվածների միջնակետերն են: Այսպիսով, \(MM"\) միջին գիծն է \(\եռանկյունի ABB"\) , \(NN"\) միջին գիծն է \(\եռանկյունի DCC"\): Ահա թե ինչու: \

Որովհետեւ \(MN\զուգահեռ AD\զուգահեռ BC\)և \(BB", CC"\perp AD\) , ապա \(B"M"N"C"\) և \(BM"N"C\) ուղղանկյուններ են: Թալեսի թեորեմով \(MN\զուգահեռ AD\) և \(AM=MB\) ենթադրում են, որ \(B"M"=M"B\): Հետևաբար, \(B"M"N"C"\) և \(BM"N"C\) հավասար ուղղանկյուններ են, հետևաբար \(M"N"=B"C"=BC\) .

Այս կերպ:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\աջ)\]

Թեորեմ՝ կամայական trapezoid-ի հատկություն

Հիմքերի միջնակետերը, տրապիզոնի անկյունագծերի հատման կետը և կողային կողմերի երկարացումների հատման կետը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա։


Ապացույց*
«Նման եռանկյուններ» թեման ուսումնասիրելուց հետո խորհուրդ է տրվում ծանոթանալ ապացույցին:

1) Ապացուցենք, որ \(P\) , \(N\) և \(M\) կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա:


Գծի՛ր \(PN\) ուղիղ (\(P\) կողմերի ընդարձակման կետն է, \(N\)՝ \(BC\) միջնակետը)։ Թող այն հատի \(AD\) կողմը \(M\) կետում: Եկեք ապացուցենք, որ \(M\)-ը \(AD\)-ի միջնակետն է:

Դիտարկենք \(\triangle BPN\) և \(\triangle APM\) . Նրանք նման են երկու անկյուններով (\(\անկյուն APM\) - ընդհանուր, \(\անկյուն PAM=\անկյուն PBN\), քանի որ համապատասխանում է \(AD\զուգահեռ BC\) և \(AB\) հատվածում): Նշանակում է. \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Դիտարկենք \(\triangle CPN\) և \(\triangle DPM\) . Նրանք նման են երկու անկյուններում (\(\անկյուն DPM\) - ընդհանուր, \(\անկյուն PDM=\անկյուն PCN\), քանի որ համապատասխանում են \(AD\զուգահեռ BC\) և \(CD\) հատվածում): Նշանակում է. \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Այստեղից \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Բայց \(BN=NC\) , հետևաբար \(AM=DM\) .

2) Փաստենք, որ \(N, O, M\) կետերը գտնվում են մեկ ուղիղ գծի վրա:


Թող \(N\) լինի \(BC\) միջնակետը, \(O\) անկյունագծերի հատման կետը։ Գծեք \(NO\) գիծ, ​​այն կհատի \(AD\) կողմը \(M\) կետում: Եկեք ապացուցենք, որ \(M\)-ը \(AD\)-ի միջնակետն է:

\(\եռանկյունի BNO\sim \եռանկյունի DMO\)երկու անկյան տակ (\(\անկյուն OBN=\անկյուն ODM\) ինչպես գտնվում է \(BC\զուգահեռ AD\) և \(BD\) կտրվածքում; \(\անկյուն BON=\անկյուն DOM\) որպես ուղղահայաց): Նշանակում է. \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Նմանապես \(\triangle CON\sim \եռանկյուն AOM\). Նշանակում է. \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Այստեղից \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Բայց \(BN=CN\) , հետևաբար \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Isosceles trapezoid)))\]

Սահմանումներ

Trapezoid-ը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա անկյուններից մեկը ուղիղ է:

Trapezoid-ը կոչվում է հավասարաչափ, եթե նրա կողմերը հավասար են:

Թեորեմներ՝ հավասարաչափ տրապիզոնի հատկությունները

1) Հավասարաչափ տրապիզը ունի հավասար հիմքի անկյուններ:

2) Հավասարաչափ տրապեզի անկյունագծերը հավասար են.

3) Շեղանկյուններից և հիմքից կազմված երկու եռանկյունները հավասարաչափ են:

Ապացույց

1) Դիտարկենք հավասարաչափ trapezoid \(ABCD\) .

\(B\) և \(C\) գագաթներից մենք դեպի \(AD\) կողմ ենք իջեցնում համապատասխանաբար \(BM\) և \(CN\) ուղղահայացները: Քանի որ \(BM\perp AD\) և \(CN\perp AD\) , ապա \(BM\perp AD\) ; \(AD\զուգահեռ BC\) , ապա \(MBCN\) զուգահեռագիծ է, հետևաբար \(BM = CN\) .

Հաշվի առեք ուղղանկյուն եռանկյուններ\(ABM\) և \(CDN\) . Քանի որ նրանք ունեն հավասար հիպոթենուսներ, և \(BM\) ոտքը հավասար է \(CN\) ոտքին, այս եռանկյունները համահունչ են, հետևաբար, \(\անկյուն DAB = \անկյուն CDA\) .

2)

Որովհետեւ \(AB=CD, \անկյուն A=\անկյուն D, AD\)- ընդհանուր, ապա առաջին նշանի վրա: Հետևաբար, \(AC=BD\) .

3) Որովհետև \(\եռանկյուն ABD=\եռանկյուն ACD\), ապա \(\անկյուն BDA=\անկյուն CAD\) . Հետևաբար, \(\եռանկյուն AOD\) եռանկյունը հավասարաչափ է: Նմանապես կարելի է ապացուցել, որ \(\BOC եռանկյունը\) հավասարաչափ է:

Թեորեմներ՝ հավասարաչափ տրապիզոնի նշաններ

1) Եթե տրապիզոնի հիմքի անկյունները հավասար են, ապա այն հավասարաչափ է:

2) Եթե տրապիզոնի անկյունագծերը հավասար են, ապա այն հավասարաչափ է:

Ապացույց

Դիտարկենք trapezoid \(ABCD\) այնպիսին, որ \(\անկյուն A = \անկյուն D\) .


Եկեք լրացնենք trapezoid-ը մինչև \(AED\) եռանկյունին, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Քանի որ \(\անկյուն 1 = \անկյուն 2\) , ապա \(AED\) եռանկյունը հավասարաչափ է և \(AE = ED\) . \(1\) և \(3\) անկյունները հավասար են \(AD\) և \(BC\) զուգահեռ ուղիղներին և \(AB\) հատվածին: Նմանապես, \(2\) և \(4\) անկյունները հավասար են, բայց \(\անկյուն 1 = \անկյուն 2\) , ապա \(\անկյուն 3 = \անկյուն 1 = \անկյուն 2 = \անկյուն 4\), հետևաբար, \(BEC\) եռանկյունը նույնպես հավասարաչափ է և \(BE = EC\) .

Ի վերջո \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), այսինքն \(AB = CD\) , որը պետք է ապացուցվեր։

2) Թող \(AC=BD\) . Որովհետեւ \(\եռանկյուն AOD\sim \եռանկյուն BOC\), ապա դրանց նմանության գործակիցը նշում ենք \(k\)-ով։ Ապա եթե \(BO=x\) , ապա \(OD=kx\) . Նման է \(CO=y \Rightarrow AO=ky\)-ին:


Որովհետեւ \(AC=BD\) , ապա \(x+kx=y+ky \Աջ սլաք x=y\) . Այսպիսով, \(\եռանկյուն AOD\) հավասարաչափ է և \(\անկյուն OAD=\անկյուն ODA\) .

Այսպիսով, ըստ առաջին նշանի \(\եռանկյուն ABD=\եռանկյուն ACD\) (\(AC=BD, \անկյուն OAD=\անկյուն ODA, AD\)- ընդհանուր): Այսպիսով, \(AB=CD\) , այսպես.

Այս հոդվածում մենք կփորձենք հնարավորինս լիարժեք արտացոլել trapezoid-ի հատկությունները: Մասնավորապես, մենք կխոսենք ընդհանուր նշաններեւ trapezoid-ի հատկությունները, ինչպես նաեւ ներգծված trapezoid-ի եւ trapezoid-ի մեջ ներգծված շրջանագծի հատկությունների մասին: Կանդրադառնանք նաև հավասարաչափ և ուղղանկյուն trapezoid-ի հատկություններին։

Դիտարկված հատկությունների միջոցով խնդրի լուծման օրինակը կօգնի ձեզ դասավորել ձեր գլխում ամեն ինչ և ավելի լավ հիշել նյութը:

Trapeze և բոլոր-բոլոր-բոլորը

Սկսելու համար, եկեք համառոտ հիշենք, թե ինչ է trapezoid- ը և ինչ այլ հասկացություններ են կապված դրա հետ:

Այսպիսով, trapezoid- ը քառանկյուն պատկեր է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են միմյանց (դրանք հիմքերն են): Եվ երկուսը զուգահեռ չեն՝ սրանք կողմերն են։

Trapezoid-ում բարձրությունը կարելի է բաց թողնել՝ հիմքերին ուղղահայաց: Գծված են միջին գիծը և անկյունագծերը։ Եվ նաև trapezoid-ի ցանկացած անկյունից հնարավոր է գծել կիսաչափ։

Pro տարբեր հատկություններկապված այս բոլոր տարրերի և դրանց համակցությունների հետ, մենք հիմա կխոսենք:

Trapezoid-ի անկյունագծերի հատկությունները

Որպեսզի ավելի պարզ լինի, կարդալիս ուրվագծեք ACME trapezoid-ը թղթի վրա և դրա մեջ գծեք անկյունագծեր:

  1. Եթե ​​գտնեք շեղանկյուններից յուրաքանչյուրի միջնակետերը (այս կետերը կոչենք X և T) և միացնեք դրանք, կստանաք հատված: Trapezoid-ի անկյունագծերի հատկություններից մեկն այն է, որ XT հատվածը գտնվում է միջին գծի վրա: Իսկ դրա երկարությունը կարելի է ստանալ՝ հիմքերի տարբերությունը երկուսի բաժանելով. XT \u003d (a - b) / 2.
  2. Մեր առաջ նույն ACME trapezoid է: Շեղանկյունները հատվում են O կետում։ Դիտարկենք AOE և IOC եռանկյունները, որոնք կազմված են անկյունագծերի հատվածներից՝ տրապեզի հիմքերի հետ միասին։ Այս եռանկյունները նման են. k եռանկյունների նմանության գործակիցն արտահայտվում է տրապեզի հիմքերի հարաբերությամբ. k = AE/KM:
    AOE և IOC եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը նկարագրվում է k 2 գործակցով:
  3. Նույն trapezium-ը, նույն անկյունագծերը հատվում են O կետում: Միայն այս անգամ մենք կդիտարկենք եռանկյունները, որոնք անկյունագծային հատվածները ձևավորել են trapezoid-ի կողմերի հետ միասին: AKO և EMO եռանկյունների մակերեսները հավասար են, նրանց մակերեսները նույնն են:
  4. Trapezoid- ի մեկ այլ հատկություն ներառում է անկյունագծերի կառուցումը: Այսպիսով, եթե AK-ի և ME-ի կողմերը շարունակենք ավելի փոքր հիմքի ուղղությամբ, ապա վաղ թե ուշ դրանք կհատվեն ինչ-որ կետի: Այնուհետև ուղիղ գիծ գծեք trapezoid-ի հիմքերի միջով: Այն հատում է հիմքերը X և T կետերում:
    Եթե ​​հիմա երկարացնենք XT ուղիղը, ապա այն կմիավորի O trapezoid-ի անկյունագծերի հատման կետը, այն կետը, որտեղ հատվում են X և T հիմքերի կողերի ընդարձակումները և միջնակետերը։
  5. Անկյունագծերի հատման կետով մենք գծում ենք հատված, որը կմիացնի տրապեզի հիմքերը (T-ն ընկած է KM-ի փոքր հիմքի վրա, X-ը՝ ավելի մեծ AE-ի): Անկյունագծերի հատման կետը այս հատվածը բաժանում է հետևյալ հարաբերությամբ. TO/OH = KM/AE.
  6. Իսկ այժմ անկյունագծերի հատման կետով մենք գծում ենք տրապեզի (a և b) հիմքերին զուգահեռ հատված։ Խաչմերուկը այն կբաժանի երկու հավասար մասերի: Դուք կարող եք գտնել հատվածի երկարությունը՝ օգտագործելով բանաձևը 2ab/(a + b).

Trapezoid-ի միջին գծի հատկությունները

Տրապեզիում գծե՛ք միջին գիծը նրա հիմքերին զուգահեռ:

  1. Trapezoid-ի միջին գծի երկարությունը կարելի է հաշվարկել հիմքերի երկարությունները ավելացնելով և դրանք կիսով չափ բաժանելով. m = (a + b)/2.
  2. Եթե ​​որևէ հատված (օրինակ՝ բարձրություն) գծեք տրապիզոնի երկու հիմքերի միջով, ապա միջին գիծը այն կբաժանի երկու հավասար մասերի։

Trapezoid-ի կիսադիրի հատկությունը

Ընտրեք տրապեզի ցանկացած անկյուն և գծեք կիսորդ: Վերցրեք, օրինակ, մեր տրապիզոիդ ACME-ի KAE անկյունը: Ինքնուրույն ավարտելով շինարարությունը, դուք հեշտությամբ կարող եք տեսնել, որ բիսեկտորը կտրում է հիմքից (կամ դրա շարունակությունը ուղիղ գծի վրա հենց նկարից դուրս) նույն երկարության հատվածը, ինչ կողմը:

Trapezoid անկյան հատկությունները

  1. Կողքին կից երկու զույգ անկյուններից որն էլ ընտրեք, զույգի անկյունների գումարը միշտ 180 0 է՝ α + β = 180 0 և γ + δ = 180 0:
  2. Trapezoid-ի հիմքերի միջնակետերը միացրեք TX հատվածով: Հիմա եկեք նայենք տրապիզոնի հիմքերի անկյուններին: Եթե ​​դրանցից որևէ մեկի համար անկյունների գումարը 90 0 է, ապա TX հատվածի երկարությունը հեշտ է հաշվարկել՝ հիմնվելով հիմքերի երկարությունների տարբերության վրա՝ բաժանված կիսով չափ. TX \u003d (AE - KM) / 2.
  3. Եթե ​​trapezoid-ի անկյան կողմերի միջով զուգահեռ գծեր են գծվում, ապա դրանք անկյան կողմերը կբաժանեն համամասնական հատվածների:

Հավասարասրուն (հավասարաչափ) տրապիզոնի հատկությունները

  1. Հավասարաչափ տրապիզոիդում հիմքերից որևէ մեկի անկյունները հավասար են:
  2. Այժմ նորից կառուցեք trapezoid, որպեսզի ավելի հեշտ պատկերացնեք, թե ինչի մասին է խոսքը: Ուշադիր նայեք AE-ի հիմքին - M-ի հակառակ հիմքի գագաթը նախագծված է AE պարունակող գծի որոշակի կետի վրա: A գագաթից մինչև M գագաթի ելքային կետի հեռավորությունը և հավասարաչափ տրապիզոնի միջնագիծը հավասար են:
  3. Մի քանի խոսք հավասարաչափ տրապիզոնի անկյունագծերի հատկության մասին՝ դրանց երկարությունները հավասար են։ Եվ նաև այս անկյունագծերի թեքության անկյունները դեպի տրապեզի հիմքը նույնն են։
  4. Միայն հավասարաչափ տրապեզիի մոտ կարելի է նկարագրել շրջան, քանի որ քառանկյունի հակառակ անկյունների գումարը 180 0 դրա համար պարտադիր պայման է:
  5. Հավասարաչափ տրապիզոնի հատկությունը բխում է նախորդ պարբերությունից. եթե շրջանագիծը կարելի է նկարագրել տրապիզոնի մոտ, ապա այն հավասարաչափ է:
  6. Հավասարաչափ տրապեզիի հատկանիշներից հետևում է տրապեզի բարձրության հատկությանը. եթե նրա անկյունագծերը հատվում են ուղիղ անկյան տակ, ապա բարձրության երկարությունը հավասար է հիմքերի գումարի կեսին. h = (a + b)/2.
  7. Տրապիզոնի հիմքերի միջնակետերով կրկին գծեք TX գիծը. Եվ միևնույն ժամանակ TX-ը հավասարաչափ տրապիզոնի համաչափության առանցքն է։
  8. Այս անգամ ավելի մեծ հիմքի (եկեք այն անվանենք ա) բարձրությունը տրապեզի հակառակ գագաթից: Դուք կստանաք երկու կտրվածք: Մեկի երկարությունը կարելի է գտնել, եթե հիմքերի երկարությունները գումարվեն և բաժանվեն կիսով չափ. (ա+բ)/2. Երկրորդը ստանում ենք, երբ փոքրը հանում ենք մեծ հիմքից և ստացված տարբերությունը բաժանում ենք երկուսի. (ա – բ)/2.

Շրջանակով գծագրված տրապիզոնի հատկությունները

Քանի որ մենք արդեն խոսում ենք շրջանագծի մեջ ներգծված տրապիզոնի մասին, եկեք ավելի մանրամասն կանգ առնենք այս խնդրի վրա։ Մասնավորապես, որտեղ է շրջանագծի կենտրոնը տրապիզոնի նկատմամբ: Այստեղ էլ խորհուրդ է տրվում շատ չծուլանալ մատիտ վերցնել ու ինչ նկարել կքննարկվիստորև. Այսպիսով, դուք ավելի արագ կհասկանաք, և ավելի լավ կհիշեք:

  1. Շրջանակի կենտրոնի գտնվելու վայրը որոշվում է տրապիզոիդի անկյունագծի թեքության անկյան տակ դեպի իր կողմը: Օրինակ, տրապեզոիդի վերևից անկյունագիծ կարող է առաջանալ դեպի կողքի ուղիղ անկյան տակ: Այս դեպքում ավելի մեծ հիմքը հատում է շրջագծի կենտրոնը հենց մեջտեղում (R = ½AE):
  2. Շեղանկյունը և կողմը կարող են հանդիպել տակ սուր անկյուն- ապա շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է trapezoid-ի ներսում:
  3. Շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը կարող է լինել տրապիզոիդից դուրս՝ նրա մեծ հիմքից այն կողմ, եթե տրապիզոնի անկյունագծի և կողային կողմի միջև կա բութ անկյուն։
  4. Trapezoid ACME-ի անկյունագծով և մեծ հիմքով ձևավորված անկյունը իրեն համապատասխանող կենտրոնական անկյան կեսն է. MAE = ½ ԻՄ.
  5. Հակիրճ շրջագծի շառավիղը գտնելու երկու եղանակի մասին: Մեթոդ առաջին. ուշադիր նայեք ձեր նկարին. ի՞նչ եք տեսնում: Դուք հեշտությամբ կնկատեք, որ անկյունագիծը տրապիզոիդը բաժանում է երկու եռանկյունի: Շառավիղը կարելի է գտնել եռանկյան կողմի և հակառակ անկյան սինուսի հարաբերության միջոցով՝ բազմապատկելով երկուսով: Օրինակ, R \u003d AE / 2 * sinAME. Նմանապես, բանաձևը կարող է գրվել երկու եռանկյունների ցանկացած կողմի համար:
  6. Մեթոդ երկրորդ. մենք գտնում ենք շրջագծված շրջանագծի շառավիղը եռանկյունու տարածքի միջով, որը ձևավորվում է տրապիզոնի անկյունագծով, կողմով և հիմքով. R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Շրջանակով շրջագծված տրապիզոնի հատկությունները

Դուք կարող եք շրջանագիծ գրել trapezoid-ում, եթե բավարարված է մեկ պայման: Ավելին դրա մասին ստորև: Եվ միասին թվերի այս համադրությունը մի շարք հետաքրքիր հատկություններ ունի։

  1. Եթե ​​շրջանագիծը գրված է տրապիզոիդում, ապա նրա միջին գծի երկարությունը հեշտությամբ կարելի է գտնել՝ ավելացնելով կողմերի երկարությունները և ստացված գումարը կիսով չափ բաժանելով. m = (c + d)/2.
  2. Շրջանակով շրջագծված trapezoid ACME-ի համար հիմքերի երկարությունների գումարը հավասար է կողմերի երկարությունների գումարին. AK + ME = KM + AE.
  3. Տրապիզոնի հիմքերի այս հատկությունից հետևում է հակառակ պնդումը.
  4. R շառավղով շրջանագծի շոշափող կետը, որը ներգծված է տրապիզոիդում, կողային կողմը բաժանում է երկու հատվածի, դրանք անվանենք a և b։ Շրջանի շառավիղը կարելի է հաշվարկել բանաձևով. r = √ab.
  5. Եվ ևս մեկ գույք. Որպեսզի չշփոթվեք, ինքներդ նկարեք այս օրինակը։ Մենք ունենք հին լավ ACME trapezoid, որը շրջագծված է շրջանագծի շուրջ: Նրանում գծված են անկյունագծեր, որոնք հատվում են O կետում: Շեղանկյունների և կողմերի հատվածներից կազմված AOK և EOM եռանկյունները ուղղանկյուն են:
    Այս եռանկյունների բարձրությունները, որոնք իջեցվել են մինչև հիպոթենուսները (այսինքն՝ տրապեզոիդի կողմերը), համընկնում են ներգծված շրջանագծի շառավղների հետ։ Իսկ trapezoid-ի բարձրությունը նույնն է, ինչ ներգծված շրջանագծի տրամագիծը։

Ուղղանկյուն trapezoid-ի հատկությունները

Տրապիզոն կոչվում է ուղղանկյուն, որի անկյուններից մեկը ճիշտ է: Եվ դրա հատկությունները բխում են հենց այս հանգամանքից։

  1. Ուղղանկյուն տրապիզոիդն ունի հիմքերին ուղղահայաց կողմերից մեկը։
  2. Կից տրապեզի բարձրությունը և կողմը Աջ անկյունը, հավասար են։ Սա թույլ է տալիս հաշվարկել ուղղանկյուն trapezoid-ի տարածքը (ընդհանուր բանաձև S = (a + b) * h/2) ոչ միայն բարձրության, այլեւ աջ անկյան հարակից կողմի միջով:
  3. Ուղղանկյուն trapezoid-ի համար վերը նկարագրված trapezoid diagonals-ի ընդհանուր հատկությունները տեղին են:

Տրապիզոնի որոշ հատկությունների ապացույցներ

Անկյունների հավասարությունը հավասարաչափ տրապեզի հիմքում.

  • Դուք հավանաբար արդեն կռահել եք, որ այստեղ մեզ կրկին անհրաժեշտ է ACME trapezoid - նկարեք հավասարաչափ տրապիզոիդ: M գագաթից AK-ի կողքին զուգահեռ MT ուղիղ գծե՛ք (MT || AK):

Ստացված AKMT քառանկյունը զուգահեռագիծ է (AK || MT, KM || AT): Քանի որ ME = KA = MT, ∆ MTE-ը հավասարաչափ է, իսկ MET = MTE:

ԱԿ || MT, հետևաբար MTE = KAE, MET = MTE = KAE:

Որտեղ AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME:

Ք.Ե.Դ.

Հիմա, հիմնվելով հավասարաչափ trapezoid-ի հատկության վրա (անկյունագծերի հավասարություն) մենք ապացուցում ենք, որ trapezium ACME-ը հավասարաչափ է:

  • Սկսելու համար գծենք ուղիղ գիծ МХ – МХ || ԿԵ. Մենք ստանում ենք KMHE զուգահեռագիծ (հիմք - MX || KE և KM || EX):

∆AMH-ը հավասարաչափ է, քանի որ AM = KE = MX, և MAX = MEA:

MX || KE, KEA = MXE, հետևաբար MAE = MXE:

Պարզվեց, որ AKE և EMA եռանկյունները հավասար են միմյանց, քանի որ AM \u003d KE և AE երկու եռանկյունների ընդհանուր կողմն է: Եվ նաև MAE \u003d MXE: Կարող ենք եզրակացնել, որ AK = ME, և, հետևաբար, հետևում է, որ AKME trapezoid-ը հավասարաչափ է:

Կրկնելու առաջադրանք

ACME trapezoid-ի հիմքերը 9 սմ և 21 սմ են, ԿԱ-ի կողմը, որը հավասար է 8 սմ-ի, ավելի փոքր հիմքով կազմում է 150 0 անկյուն։ Դուք պետք է գտնեք trapezoid- ի տարածքը:

Լուծում. K գագաթից իջեցնում ենք բարձրությունը մինչև տրապիզոնի ավելի մեծ հիմքը: Եվ եկեք սկսենք դիտարկել trapezoid-ի անկյունները:

AEM և KAN անկյունները միակողմանի են: Դա նշանակում է, որ նրանք գումարում են 1800: Հետեւաբար, KAN = 30 0 (հիմնված է trapezoid-ի անկյունների հատկության վրա):

Այժմ դիտարկենք ուղղանկյուն ∆ANK-ը (կարծում եմ, այս կետն ակնհայտ է ընթերցողների համար առանց լրացուցիչ ապացույցների): Դրանից մենք գտնում ենք KH տրապեզի բարձրությունը - եռանկյունու մեջ այն ոտք է, որը գտնվում է 30 0 անկյան դիմաց: Հետևաբար, KN \u003d ½AB \u003d 4 սմ:

Trapezoid-ի մակերեսը հայտնաբերվում է բանաձևով՝ S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 սմ 2:

Հետբառ

Եթե ​​դուք ուշադիր և մտածված ուսումնասիրել եք այս հոդվածը, չափազանց ծույլ չէիք ձեր ձեռքերում մատիտով տրապիզոիդներ նկարել վերը նշված բոլոր հատկությունների համար և գործնականում վերլուծել դրանք, դուք պետք է լավ տիրապետեիք նյութին:

Այստեղ, իհարկե, շատ տեղեկություններ կան՝ բազմազան ու երբեմն նույնիսկ շփոթեցնող՝ այնքան էլ դժվար չէ շփոթել նկարագրված trapezoi-ի հատկությունները մակագրվածի հատկությունների հետ։ Բայց դուք ինքներդ տեսաք, որ տարբերությունը հսկայական է։

Այժմ դուք ունեք բոլորի մանրամասն ամփոփում ընդհանուր հատկություններ trapezoid. Ինչպես նաև հավասարաչափ և ուղղանկյուն trapezoids-ի հատուկ հատկություններն ու առանձնահատկությունները: Այն շատ հարմար է օգտագործել թեստերին և քննություններին պատրաստվելու համար։ Փորձեք ինքներդ և կիսվեք հղումը ձեր ընկերների հետ:

blog.site, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Առնչվող գրառումներ.