տուն-Թեքահարթակներ-Համառոտ. Քառակուսի հավասարումներ և ավելի բարձր կարգի հավասարումներ: Քառակուսային հավասարումների զարգացման պատմությունը քառակուսի հավասարումների հնագույն ժամանակներում

Համառոտ. Քառակուսի հավասարումներ և ավելի բարձր կարգի հավասարումներ: Քառակուսային հավասարումների զարգացման պատմությունը քառակուսի հավասարումների հնագույն ժամանակներում

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում առաջատար տեղ են զբաղեցնում հավասարումները։ Նրանց ուսումնասիրությանը ավելի շատ ժամանակ է հատկացվում, քան դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի որևէ այլ թեմայի: Հավասարումների տեսության ուժն այն է, որ այն ոչ միայն տեսական նշանակություն ունի բնական օրենքների իմացության համար, այլև ծառայում է կոնկրետ գործնական նպատակների։ Իրական աշխարհում տարածական ձևերի և քանակական հարաբերությունների հետ կապված խնդիրների մեծ մասը հասնում է լուծմանը տարբեր տեսակներհավասարումներ։ Տիրապետելով դրանց լուծման ուղիներին՝ մարդիկ պատասխաններ են գտնում գիտության և տեխնիկայի տարբեր հարցերի (տրանսպորտ, գյուղատնտեսություն, արդյունաբերություն, կապ և այլն): Նաև հավասարումներ լուծելու կարողությունը զարգացնելու համար մեծ նշանակություն ունի ուսանողի ինքնուրույն աշխատանքը հավասարումներ լուծել սովորելիս: Ցանկացած թեմա ուսումնասիրելիս հավասարումները կարող են օգտագործվել որպես տեսական գիտելիքները համախմբելու, խորացնելու, կրկնելու և ընդլայնելու արդյունավետ միջոց՝ ուսանողների ստեղծագործական մաթեմատիկական գործունեության զարգացման համար:

Ժամանակակից աշխարհում հավասարումները լայնորեն կիրառվում են մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում և կարևոր կիրառական խնդիրներ լուծելիս։ Այս թեմային բնորոշ է մատուցման մեծ խորությունը և ուսուցման մեջ դրա օգնությամբ հաստատված կապերի հարստությունը և ներկայացման տրամաբանական վավերականությունը: Ուստի այն բացառիկ դիրք է գրավում հավասարումների գծում։ Ուսանողները սկսում են ուսումնասիրել «Քառակուսի եռանկյուններ» թեման՝ արդեն որոշակի փորձ կուտակելով՝ ունենալով հանրահաշվական և ընդհանուր մաթեմատիկական հասկացությունների, հասկացությունների և հմտությունների բավական մեծ պաշար: Մեծ չափով հենց այս թեմայի նյութի վրա է անհրաժեշտ սինթեզել հավասարումների հետ կապված նյութեր, իրականացնել պատմականության և մատչելիության սկզբունքները։

Համապատասխանությունթեման պատմականության սկզբունքների իրականացման անհրաժեշտությունն է և դրա իրականացման համար նյութի անբավարարությունը «Որոշում» թեմայով։ քառակուսի հավասարումներ».

Հետազոտական ​​խնդիրքառակուսի հավասարումների լուծման ուսուցման պատմական նյութի նույնականացում:

Աշխատանքի նպատակըմաթեմատիկայի դասերին քառակուսի հավասարումների վրա աշխատելու մասին պատկերացումների ձևավորում, «Քառակուսի հավասարումներ» թեմայով պատմականության տարրերով դասերի հավաքածուի ընտրություն։

Ուսումնասիրության օբյեկտ 8-րդ դասարանում քառակուսի հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով պատմականության տարրեր։

Ուսումնասիրության առարկաքառակուսի հավասարումներ և դասերի մշակում՝ պատմական նյութերով քառակուսի հավասարումներ լուծելու դասավանդման համար:

Առաջադրանքներ:

      կատարել գիտական ​​և մեթոդական գրականության վերլուծություն հետազոտական ​​խնդրի վերաբերյալ.

      վերլուծել դպրոցական դասագրքերը և դրանցում ընդգծել քառակուսի հավասարումների լուծման դասավանդման վայրը.

      ընտրեք դասերի մի շարք քառակուսի հավասարումներ լուծելու վերաբերյալ՝ օգտագործելով պատմական նյութեր:

Հետազոտության մեթոդներ:

      գրականության վերլուծություն «Քառակուսային հավասարումների լուծում» թեմայով.

      ուսանողների դիտարկում «Քառակուսային հավասարումների լուծում» թեմայով դասի ժամանակ.

      նյութի ընտրություն. դասեր «Քառակուսային հավասարումների լուծում» թեմայով՝ օգտագործելով պատմական տեղեկատվություն:

§ 1. Քառակուսային հավասարումների առաջացման պատմությունից

Հանրահաշիվն առաջացել է հավասարումների միջոցով տարբեր խնդիրներ լուծելու կապակցությամբ։ Որպես կանոն, խնդիրները պահանջում են գտնել մեկ կամ մի քանի անհայտներ՝ միաժամանակ իմանալով ցանկալի և տրված քանակությունների վրա կատարված որոշ գործողությունների արդյունքները: Նման խնդիրները հանգում են մեկ կամ մի քանի հավասարումների համակարգ լուծելուն, տրված մեծությունների վրա հանրահաշվական գործողությունների միջոցով պահանջվողները գտնելուն։ Հանրահաշիվն ուսումնասիրում է մեծությունների վրա կատարվող գործողությունների ընդհանուր հատկությունները։

Գծային և քառակուսի հավասարումների լուծման հանրահաշվական որոշ մեթոդներ հայտնի են եղել 4000 տարի առաջ Հին Բաբելոնում։

Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում

Ոչ միայն առաջին, այլև երկրորդ աստիճանի հավասարումների լուծման անհրաժեշտությունը դեռևս հին ժամանակներում առաջացել է հողամասերի տարածքների և տարածքների հայտնաբերման հետ կապված խնդիրների լուծման անհրաժեշտությամբ. հողային աշխատանքներռազմական բնույթի, ինչպես նաև բուն աստղագիտության և մաթեմատիկայի զարգացման հետ: Բաբելոնացիները կարողացան լուծել քառակուսի հավասարումներ մ.թ.ա. մոտ 2000 թվականին: Օգտագործելով ժամանակակից հանրահաշվական նշումը, կարող ենք ասել, որ նրանց սեպագիր տեքստերում, ի լրումն թերի, կան այնպիսիք, ինչպիսիք են, օրինակ, ամբողջական քառակուսի հավասարումները.

Այս հավասարումների լուծման կանոնը, որը սահմանված է բաբելոնյան տեքստերում, ըստ էության համընկնում է ժամանակակիցի հետ, սակայն հայտնի չէ, թե ինչպես են բաբելոնացիները հասել այս կանոնին։ Գրեթե բոլոր սեպագիր տեքստերը, որոնք մինչ այժմ գտնվել են, տալիս են միայն լուծումների հետ կապված խնդիրներ, որոնք ներկայացված են բաղադրատոմսերի տեսքով, առանց ցուցումների, թե ինչպես են դրանք հայտնաբերվել: Չնայած բարձր մակարդակՀանրահաշվի զարգացումը Բաբելոնում, սեպագիր տեքստերում բացակայում է բացասական թվի հասկացությունը և ընդհանուր մեթոդներքառակուսի հավասարումների լուծում.

Դիոֆանտոսի թվաբանությունը չի պարունակում հանրահաշվի համակարգված ներկայացում, բայց այն պարունակում է խնդիրների համակարգված շարք, որոնք ուղեկցվում են բացատրություններով և լուծվում տարբեր աստիճանի հավասարումներ կառուցելով։

Հավասարումներ կազմելիս Դիոֆանտը հմտորեն ընտրում է անհայտները՝ լուծումը պարզեցնելու համար։

Ահա, օրինակ, նրա առաջադրանքներից մեկը.

Խնդիր 2. «Գտե՛ք երկու թիվ՝ իմանալով, որ դրանց գումարը 20 է, իսկ արտադրյալը՝ 96»։

Դիոֆանտոսը պատճառաբանում է հետևյալ կերպ. խնդրի պայմաններից հետևում է, որ պահանջվող թվերը հավասար չեն, քանի որ եթե հավասար լինեին, ապա դրանց արտադրյալը ոչ թե 96-ի կլիներ, այլ 100-ի: Այսպիսով, դրանցից մեկը կլինի. կեսից ավելինդրանց գումարները, այսինքն.
. Մյուսն ավելի փոքր է, այսինքն.
. Նրանց միջև եղած տարբերությունը
. Հետևաբար հավասարումը.

Այստեղից
. Պահանջվող թվերից մեկը 12-ն է, մյուսը՝ 8. Լուծում
քանի որ Դիոֆանտոսը գոյություն չունի, քանի որ հունական մաթեմատիկան գիտեր միայն դրական թվեր:

Եթե ​​դուք լուծում եք այս խնդիրը՝ ընտրելով պահանջվող թվերից մեկը որպես անհայտ, կարող եք գալ հավասարման լուծման.

Հասկանալի է, որ անհրաժեշտ թվերի կես տարբերությունն ընտրելով որպես անհայտ՝ Դիոֆանտը պարզեցնում է լուծումը. նրան հաջողվում է խնդիրը հասցնել ոչ ամբողջական քառակուսային հավասարման լուծման:

Քառակուսի հավասարումներ Հնդկաստանում

Քառակուսային հավասարումների հետ կապված խնդիրներ կան արդեն «Արյաբհաթիամ» աստղագիտական ​​տրակտատում, որը կազմվել է 499 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արյաբհաթայի կողմից: Մեկ այլ հնդիկ գիտնական՝ Բրահմագուպտան (VII դ.), ուրվագծել է ընդհանուր կանոնքառակուսի հավասարումների լուծումներ, որոնք վերածվել են մեկ կանոնական ձևի.

(1)

(1) հավասարման դեպքում գործակիցները կարող են լինել նաև բացասական: Բրահմագուպտայի կանոնը ըստ էության նույնն է, ինչ մերը:

Հնդկաստանում սովորական էին դժվար խնդիրների լուծման հանրային մրցույթները։ Հնդկական հին գրքերից մեկում այսպիսի մրցույթների մասին ասվում է հետևյալը. «Ինչպես արևն իր փայլով խավարում է աստղերը, այնպես գիտուն մարդկխավարի փառքը ներս ժողովրդական ժողովներ, հանրահաշվական խնդիրներ առաջադրելով ու լուծելով»։ Խնդիրները հաճախ ներկայացվում էին բանաստեղծական տեսքով։

Սա 12-րդ դարի հայտնի հնդիկ մաթեմատիկոսի խնդիրներից մեկն է։ Բասկարներ.

Բհասկարայի լուծումը ցույց է տալիս, որ հեղինակը գիտեր, որ քառակուսի հավասարումների արմատները երկարժեք են։

3-րդ խնդրին համապատասխան հավասարումը հետևյալն է.

Բհասկարան քողի տակ գրում է.

և լրացնել ձախ կողմայս հավասարման քառակուսին, երկու կողմերին ավելացնում է 322, ապա ստանում.

Ալ-Խվարեզմիի քառակուսի հավասարումներ

Ալ-Խվարեզմիի հանրահաշվական տրակտատը տալիս է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը հաշվում է 6 տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով այսպես.


Ալ-Խվարեզմիի համար, ով խուսափում էր բացասական թվերի օգտագործումից, այս հավասարումներից յուրաքանչյուրի անդամները գումարվողներ են և ոչ թե հանվողներ։ Այս դեպքում ակնհայտորեն հաշվի չեն առնվում այն ​​հավասարումները, որոնք չունեն դրական լուծումներ։ Հեղինակը սահմանում է այս հավասարումների լուծման մեթոդներ՝ օգտագործելով ալ-ջաբր և ալ-մուկաբալ տեխնիկան: Նրա որոշումը, իհարկե, լիովին չի համընկնում մեր որոշման հետ։ Էլ չասած, որ այն զուտ հռետորական է, պետք է նշել, օրինակ, որ առաջին տիպի թերի քառակուսի հավասարումը լուծելիս Ալ-Խորեզմին, ինչպես բոլոր մաթեմատիկոսները մինչև 17-րդ դարը, հաշվի չեն առնում զրոյական լուծումը. հավանաբար այն պատճառով, որ կոնկրետ գործնականում դա նշանակություն չունի առաջադրանքների մեջ: Ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելիս Ալ-Խվարեզմին սահմանում է դրանց լուծման կանոնները՝ օգտագործելով որոշակի թվային օրինակներ, այնուհետև դրանց երկրաչափական ապացույցները։

Օրինակ բերենք.

Խնդիր 4. «Քառակուսինն ու 21 թիվը հավասար են 10 արմատի։ Գտեք արմատը» (նկատի ունի հավասարման արմատը
).

Լուծում․ արմատների թիվը կիսեք կիսով չափ, կստանաք 5, բազմապատկեք 5-ը, արտադրյալից հանեք 21, մնում է 4։ Վերցրեք արմատը 4-ից, կստանաք 2։ 5-ից հանեք 2, կստանաք 3, սա։ կլինի այն արմատը, որը դուք փնտրում եք: Կամ ավելացրեք 2-ը 5-ին, որը տալիս է 7, սա նույնպես արմատ է։

Ալ-Խվարեզմիի տրակտատը մեզ հասած առաջին գիրքն է, որը համակարգված կերպով սահմանում է քառակուսի հավասարումների դասակարգումը և տալիս դրանց լուծման բանաձևերը։

Քառակուսի հավասարումներ ԵվրոպայումXII- XVIIՎ.

Եվրոպայում Ալ-Խվարեզմիի մոդելով քառակուսի հավասարումների լուծման ձևերը առաջին անգամ ներկայացվել են «Աբակուսի գրքում», որը գրվել է 1202 թվականին։ Իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Ֆիբոնաչի. Հեղինակն ինքնուրույն մշակեց խնդիրների լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջինն էր Եվրոպայում, ով մոտեցավ բացասական թվերի ներմուծմանը։

Այս գիրքը նպաստեց հանրահաշվական գիտելիքների տարածմանը ոչ միայն Իտալիայում, այլև Գերմանիայում, Ֆրանսիայում և եվրոպական այլ երկրներում։ Այս գրքից բազմաթիվ խնդիրներ օգտագործվել են 14-17-րդ դարերի եվրոպական գրեթե բոլոր դասագրքերում։ Քառակուսային հավասարումներ լուծելու ընդհանուր կանոն՝ իջեցված մեկ կանոնական ձևի
b, c նշանների և գործակիցների բոլոր հնարավոր համակցությունների համար ձևակերպվել է Եվրոպայում 1544 թվականին Մ. Շտիֆելի կողմից։

Քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևի ստացում ընդհանուր տեսարանՎիետն ունի, բայց Վիետը միայն դրական արմատներ է ճանաչել։ Իտալացի մաթեմատիկոսներ Տարտալիան, Կարդանոն, Բոմբելլին առաջիններից էին 16-րդ դարում։ Բացի դրականներից, հաշվի են առնվում նաև բացասական արմատները։ Միայն 17-րդ դ. Ժիրարի, Դեկարտի, Նյուտոնի և այլ գիտնականների աշխատությունների շնորհիվ քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդը ժամանակակից ձև է ստանում։

Գործնական խնդիրների լուծման հանրահաշվական մեթոդների ակունքները կապված են գիտության հետ հին աշխարհ. Ինչպես հայտնի է մաթեմատիկայի պատմությունից, եգիպտացի, շումերական, բաբելոնյան գրագիրների ու հաշվիչների լուծած մաթեմատիկական խնդիրների մի զգալի մասը (մ.թ.ա. XX–VI դդ.) ունեցել է հաշվողական բնույթ։ Այնուամենայնիվ, նույնիսկ այն ժամանակ ժամանակ առ ժամանակ առաջանում էին խնդիրներ, որոնցում մեծության ցանկալի արժեքը որոշվում էր որոշակի անուղղակի պայմաններով, որոնք, մեր ժամանակակից տեսանկյունից, պահանջում էին հավասարման կամ հավասարումների համակարգի կազմություն: Սկզբում նման խնդիրներ լուծելու համար օգտագործվում էին թվաբանական մեթոդներ. Հետագայում սկսեցին ձևավորվել հանրահաշվական հասկացությունների սկիզբը։ Օրինակ, բաբելոնյան հաշվիչը կարողացել է լուծել այնպիսի խնդիրներ, որոնք ժամանակակից դասակարգման տեսանկյունից կարող են վերածվել երկրորդ աստիճանի հավասարումների։ Ստեղծվեց բառային խնդիրների լուծման մեթոդ, որը հետագայում հիմք հանդիսացավ հանրահաշվական բաղադրիչի մեկուսացման և դրա ինքնուրույն ուսումնասիրության համար։

Այս ուսումնասիրությունն իրականացվել է մեկ այլ դարաշրջանում, նախ արաբ մաթեմատիկոսների կողմից (մ.թ. VI-X դդ.), ովքեր բացահայտել են բնորոշ գործողությունները, որոնց միջոցով հավասարումները վերածվել են. ստանդարտ տեսքհամանման տերմիններ բերելով, տերմինները հավասարման մի մասից մյուսը փոխանցելով նշանի փոփոխությամբ: Եվ հետո Վերածննդի եվրոպացի մաթեմատիկոսների կողմից, ովքեր երկար փնտրտուքների արդյունքում ստեղծեցին ժամանակակից հանրահաշվի լեզուն, տառերի օգտագործումը, թվաբանական գործողությունների նշանների ներմուծումը, փակագծերը և այլն: 16-րդ դարի վերջում. 17-րդ դարեր. Հանրահաշիվը որպես մաթեմատիկայի կոնկրետ մաս՝ իր առարկայով, մեթոդով և կիրառման ոլորտներով, արդեն ձևավորվել էր։ Նրա հետագա զարգացումը, մինչև մեր ժամանակները, բաղկացած էր մեթոդների կատարելագործումից, կիրառությունների շրջանակի ընդլայնումից, հասկացությունների հստակեցումից և մաթեմատիկայի այլ ճյուղերի հասկացությունների հետ դրանց կապերից։

Այսպիսով, հաշվի առնելով հավասարման հայեցակարգի հետ կապված նյութի կարևորությունն ու ընդարձակությունը, դրա ուսումնասիրությունը ք ժամանակակից մեթոդներմաթեմատիկան կապված է իր ծագման և գործունեության երեք հիմնական ոլորտների հետ.

Ինչպես Դիոֆանտը կազմեց և լուծեց քառակուսի հավասարումներ: Հետևաբար հավասարումը (10+x)(10 -x) =96 կամ՝ 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) x = -2 լուծումը գոյություն չունի Դիոֆանտոսի համար, քանի որ հունական մաթեմատիկան գիտեր միայն դրական թվեր։ .

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Քառակուսի հավասարումներ Հնդկաստանում. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Քառակուսի հավասարումներ ալ-Խորեզմիում. 1) «Քառակուսիները հավասար արմատներ են», այսինքն՝ ax2 + c = bx: 2) «Քառակուսիները հավասար են թվերին», այսինքն՝ ax2 = c. 3) «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ կացին = c. 4) «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն՝ ax2 + c = bx: 5) «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 + bx = c. 6) «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն՝ bx + c = ax2:

Քառակուսի հավասարումները Եվրոպայում 13-րդ և 17-րդ դարերում. x2 + bx = c, b գործակիցների նշանների բոլոր հնարավոր համակցությունների համար c-ն ձևակերպվել է Եվրոպայում միայն 1544 թվականին Մ. Շտիֆելի կողմից։

Վիետայի թեորեմի մասին. «Եթե B + D անգամ A - A 2-ը հավասար է BD-ին, ապա A-ն հավասար է B-ին և հավասար է D-ին»: Ժամանակակից հանրահաշվի լեզվով վերը նշված Վիետա ձևակերպումը նշանակում է՝ եթե (a + b)x - x2 = ab, այսինքն x2 - (a + b)x + ab = 0, ապա x1 = a, x2 = b:

Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ. 1. ՄԵԹՈԴ. Հավասարման ձախ կողմի գործոնավորում: Եկեք լուծենք x2 + 10 x - 24 = 0 հավասարումը։ Եկեք գործոնացնենք ձախ կողմը՝ x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Հետևաբար, հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ. (x + 12) (x - 2) = 0 Քանի որ արտադրյալը զրո է, ապա դրա գործակիցներից առնվազն մեկը. հավասար է զրոյի. Հետևաբար, հավասարման ձախ կողմը x = 2-ում դառնում է զրո, և նաև x = - 12-ում: Սա նշանակում է, որ 2 և - 12 թիվը x2 + 10 x - 24 = 0 հավասարման արմատներն են:

2. ՄԵԹՈԴ. Ամբողջական քառակուսի արդյունահանման մեթոդ: Եկեք լուծենք x2 + 6 x - 7 = 0 հավասարումը: Ձախ կողմում ընտրեք ամբողջական քառակուսի: Դրա համար x2 + 6 x արտահայտությունը գրում ենք հետևյալ ձևով՝ x2 + 6 x = x2 + 2 x 3։ Ստացված արտահայտության մեջ առաջին անդամը x թվի քառակուսին է, իսկ երկրորդը՝ կրկնապատիկը։ x-ի արտադրյալը 3-ով: Հետևաբար, ամբողջական քառակուսի ստանալու համար անհրաժեշտ է ավելացնել 32, քանի որ x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2: Այժմ մենք փոխակերպում ենք x2 + 6 x - 7 = 0 հավասարման ձախ կողմը, դրան գումարելով և հանելով 32: Մենք ունենք՝ x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Այսպիսով, այս հավասարումը կարող է գրվել հետևյալ կերպ. (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Հետևաբար, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, կամ x + 3 = -4, x2 = -7:

3. ՄԵԹՈԴ՝ լուծել քառակուսի հավասարումների բանաձևով. ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք 4 a-ով և հաջորդաբար կունենանք՝ 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac,

4. ՄԵԹՈԴ՝ Վիետայի թեորեմի միջոցով հավասարումների լուծում: Ինչպես հայտնի է, կրճատված քառակուսի հավասարումը ունի x2 + px + c = 0 ձև: (1) Դրա արմատները բավարարում են Վիետայի թեորեմը, որը a = 1-ի համար ունի x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = -. p ա) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 և x 2 = 1, քանի որ q = 2 > 0 և p = - 3 0 և p = 8 > 0. բ) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 և x 2 = 1, քանի որ q= - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 և x 2 = - 1, քանի որ q = - 9

5. ՄԵԹՈԴ՝ Հավասարումների լուծում «նետելու» մեթոդով: Դիտարկենք ax2 + bx + c = 0 քառակուսի հավասարումը, որտեղ a ≠ 0: Բազմապատկելով երկու կողմերը a-ով, մենք ստանում ենք հավասարումը a 2 x2 + abx + ac = 0: Թող ax = y, որտեղից x = y/a; ապա հանգում ենք y2 + ըստ + ac = 0 հավասարմանը, որը համարժեք է տրվածին։ Մենք գտնում ենք նրա y1 և y2 արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Վերջապես ստանում ենք x1 = y1/a և x1 = y2/a:

Օրինակ։ Լուծենք 2 x2 – 11 x + 15 = 0 հավասարումը. Լուծում. 2 գործակիցը «գցենք» ազատ անդամին, արդյունքում ստացվում է y2 – 11 y + 30 = 0 հավասարումը։ Ըստ Վիետայի թեորեմի՝ y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2. Պատասխան՝ 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3:

6. ՄԵԹՈԴ՝ Քառակուսային հավասարման գործակիցների հատկությունները: A. Թող տրվի ax2 + bx + c = 0 քառակուսի հավասարումը, որտեղ a ≠ 0: 1) Եթե a + b + c = 0 (այսինքն, գործակիցների գումարը զրո է), ապա x1 = 1, x2 = գ/ Ա. Ապացույց. Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով a ≠ 0-ի` ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը x 2 + b/a x + c/a = 0: Համաձայն Վիետայի թեորեմի՝ x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2. = 1 ց/ա. Ըստ պայմանի՝ a – b + c = 0, որտեղից b = a + c. Այսպիսով, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), այսինքն x1 = -1 և x2 = c/a, որը այն, ինչ պետք էր ապացուցել.

B. Եթե երկրորդ գործակիցը b = 2 k զույգ թիվ է, ապա B արմատների բանաձևը: Վերոհիշյալ x2 + px + q = 0 հավասարումը համընկնում է ընդհանուր հավասարման հետ, որտեղ a = 1, b = p և c = ք. Հետևաբար, կրճատված քառակուսի հավասարման համար արմատային բանաձևն է

7. ՄԵԹՈԴ՝ քառակուսի հավասարման գրաֆիկական լուծում: Եթե ​​x2 + px + q = 0 հավասարման մեջ երկրորդ և երրորդ անդամները տեղափոխենք աջ կողմ, կստանանք x2 = - px - q: Կառուցենք y = x2 և y = - px - q կախվածության գրաֆիկները:

Օրինակ 1) Գրաֆիկորեն լուծենք x2 - 3 x - 4 = 0 հավասարումը (նկ. 2): Լուծում. Եկեք հավասարումը գրենք x2 = 3 x + 4 ձևով: Կառուցեք պարաբոլա y = x2 և ուղիղ y = 3 x + 4: Ուղիղ y = 3 x + 4 կարելի է կառուցել օգտագործելով երկու M կետ (0; 4) և N (3; 13) . Պատասխան՝ x1 = - 1; x2 = 4

8. ՄԵԹՈԴ՝ քառակուսի հավասարումների լուծում՝ կողմնացույցի և քանոնի միջոցով: գտնելով քառակուսի կողմնացույցի և քանոնի արմատները (նկ. 5): հավասարումներ Այնուհետև, սեկանտային թեորեմով, մենք ունենք OB OD = OA OC, որտեղից OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a: ax2 + bx + c = 0 օգտագործելով

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Շրջանակի շառավիղը մեծ է կենտրոնի օրդինատից (AS > SK, կամ R. > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. ՄԵՂՈԴ. Քառակուսային հավասարումների լուծում նոմոգրամի միջոցով: z 2 + pz + q = 0. Նոմոգրամի կորագիծ սանդղակը կառուցված է ըստ բանաձևերի (նկ. 11). Ենթադրելով OS = p, ED = q, OE = a (բոլորը սմ-ով), Եռանկյունների նմանությունից: SAN և CDF մենք ստանում ենք համամասնությունը

Օրինակներ. 1) z 2 - 9 z + 8 = 0 հավասարման համար նոմոգրամը տալիս է z 1 = 8, 0 և z 2 = 1, 0 արմատները (նկ. 12): 2) Նոմոգրամի միջոցով լուծում ենք 2 z 2 - 9 z + 2 = 0 հավասարումը: Այս հավասարման գործակիցները բաժանում ենք 2-ի, ստանում ենք z 2 - 4 հավասարումը, 5 z + 1 = 0: Նոմոգրամը տալիս է. արմատները z 1 = 4 և z 2 = 0, 5: 3) z 2 - 25 z + 66 = 0 հավասարման համար p և q գործակիցները սանդղակից դուրս են, մենք կատարում ենք z = 5 t փոխարինումը, ստանում ենք. t 2 - 5 t + 2, 64 = 0 հավասարումը, որը լուծում ենք նոմոգրամների միջոցով և ստանում t 1 = 0.6 և t 2 = 4. 4, որից z 1 = 5 t 1 = 3. 0 և z 2 = 5 t. 2 = 22. 0:

10. ՄԵԹՈԴ՝ Քառակուսային հավասարումների լուծման երկրաչափական մեթոդ: Օրինակներ. 1) Լուծենք x2 + 10 x = 39 հավասարումը: Բնօրինակում այս խնդիրը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. «Քառակուսին և տասը արմատը հավասար են 39-ի» (նկ. 15): Բնօրինակ քառակուսի x պահանջվող կողմի համար մենք ստանում ենք

y2 + 6 y - 16 = 0. Լուծումը ներկայացված է Նկ. 16, որտեղ y2 + 6 y = 16, կամ y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Լուծում. y2 + 6 y + 9 և 16 + 9 արտահայտությունները երկրաչափորեն ներկայացնում են նույն քառակուսին, իսկ սկզբնական y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 հավասարումը նույն հավասարումն է։ Դրանից մենք ստանում ենք, որ y + 3 = ± 5, կամ y1 = 2, y2 = - 8 (նկ. 16):

Քառակուսային հավասարումների պատմությունից.

ա) Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում

Ոչ միայն առաջին, այլև երկրորդ աստիճանի հավասարումների լուծման անհրաժեշտությունը նույնիսկ հին ժամանակներում առաջացել է հողամասերի տարածքների հայտնաբերման և ռազմական բնույթի պեղումների հետ կապված խնդիրների լուծման անհրաժեշտությամբ. ինչպես աստղագիտության և մաթեմատիկայի զարգացման դեպքում: Քառակուսի հավասարումները կարող էին լուծվել մոտ 2000 մ.թ.ա. բաբելոնացիներ. Օգտագործելով ժամանակակից հանրահաշվական նշումը, կարող ենք ասել, որ նրանց սեպագիր տեքստերում, ի լրումն թերի, կան այնպիսիք, ինչպիսիք են, օրինակ, ամբողջական քառակուսի հավասարումները.

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Այս հավասարումների լուծման կանոնը, որը սահմանված է բաբելոնյան տեքստերում, ըստ էության համընկնում է ժամանակակիցի հետ, սակայն հայտնի չէ, թե ինչպես են բաբելոնացիները հասել այս կանոնին։ Գրեթե բոլոր սեպագիր տեքստերը, որոնք մինչ այժմ գտնվել են, տալիս են միայն լուծումների հետ կապված խնդիրներ, որոնք ներկայացված են բաղադրատոմսերի տեսքով, առանց ցուցումների, թե ինչպես են դրանք հայտնաբերվել:

Չնայած Բաբելոնում հանրահաշվի զարգացման բարձր մակարդակին, սեպագիր տեքստերում բացակայում է բացասական թվի հայեցակարգը և քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր մեթոդները։

Դիոֆանտոսի թվաբանությունը չի պարունակում հանրահաշվի համակարգված ներկայացում, բայց այն պարունակում է խնդիրների համակարգված շարք, որոնք ուղեկցվում են բացատրություններով և լուծվում տարբեր աստիճանի հավասարումներ կառուցելով։

Հավասարումներ կազմելիս Դիոֆանտը հմտորեն ընտրում է անհայտները՝ լուծումը պարզեցնելու համար։

Ահա, օրինակ, նրա առաջադրանքներից մեկը.

Խնդիր 2. «Գտե՛ք երկու թիվ՝ իմանալով, որ դրանց գումարը 20 է, իսկ արտադրյալը՝ 96»։

Դիոֆանտոսը պատճառաբանում է հետևյալ կերպ. խնդրի պայմաններից հետևում է, որ պահանջվող թվերը հավասար չեն, քանի որ եթե դրանք հավասար լինեին, ապա նրանց արտադրյալը ոչ թե հավասար կլիներ 96-ի, այլ 100-ի: Այսպիսով, դրանցից մեկը կլինի ավելի քան. դրանց գումարի կեսը, այսինքն՝ 10 + x. Մյուսը ավելի քիչ է, այսինքն 10 - x: Նրանց միջև տարբերությունը 2 անգամ է: Հետևաբար հավասարումը.

(10+x)(10-x) =96,

կամ


100 -x 2 = 96:

Այսպիսով, x = 2: Պահանջվող թվերից մեկը 12-ն է, մյուսը` 8: X = - 2 լուծումը գոյություն չունի Դիոֆանտոսի համար, քանի որ հունական մաթեմատիկան գիտեր միայն դրական թվեր:

Եթե ​​դուք լուծում եք այս խնդիրը՝ ընտրելով պահանջվող թվերից մեկը որպես անհայտ, կարող եք գալ հավասարման լուծման.

Հասկանալի է, որ անհրաժեշտ թվերի կես տարբերությունն ընտրելով որպես անհայտ՝ Դիոֆանտը պարզեցնում է լուծումը. նրան հաջողվում է խնդիրը հասցնել ոչ լրիվ քառակուսային հավասարման լուծման։
բ) Քառակուսի հավասարումներ Հնդկաստանում.

Քառակուսային հավասարումների հետ կապված խնդիրներ կան արդեն «Արյաբհաթիամ» աստղագիտական ​​տրակտատում, որը կազմվել է 499 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արյաբհաթայի կողմից։ Մեկ այլ հնդիկ գիտնական՝ Բրահմագուպտան (7-րդ դար), սահմանեց մեկ կանոնական ձևով կրճատված քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոն.

Օ՜ 2 + բx = c, a > 0

Հավասարման մեջ գործակիցները բացառությամբ Ա, կարող է բացասական լինել։ Բրահմագուպտայի կանոնը ըստ էության նույնն է, ինչ մերը։

Հնդկաստանում սովորական էին դժվար խնդիրների լուծման հանրային մրցույթները։ Հին հնդկական գրքերից մեկում այսպիսի մրցույթների մասին ասվում է հետևյալը. «Ինչպես արևն իր փայլով գերազանցում է աստղերին, այնպես էլ գիտուն մարդն իր փառքը կգերազանցի հանրային ժողովներում՝ առաջարկելով և լուծելով հանրահաշվական խնդիրներ»։ Խնդիրները հաճախ ներկայացվում էին բանաստեղծական տեսքով։

Սա 12-րդ դարի հայտնի հնդիկ մաթեմատիկոսի խնդիրներից մեկն է։ Բասկարներ.

Առաջադրանք 3.


Բհասկարայի լուծումը ցույց է տալիս, որ հեղինակը գիտեր, որ քառակուսի հավասարումների արմատները երկարժեք են։

3-րդ խնդրին համապատասխանող հավասարումը հետևյալն է.

Բհասկարան քողի տակ գրում է.

x 2 - 64x = - 768

և այս հավասարման ձախ կողմը քառակուսու լրացնելու համար երկու կողմերին ավելացնում ենք 32 2, ապա ստանում ենք.

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48:

գ) Քառակուսի հավասարումներ Ալ-Խորեզմիի կողմից

Ալ-Խվարեզմիի հանրահաշվական տրակտատը տալիս է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը հաշվում է 6 տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով այսպես.


  1. «Քառակուսիները հավասար են արմատներին», այսինքն՝ կացին 2 = bx:

  2. «Քառակուսիները հավասար են թվերին», այսինքն՝ կացին 2 = c.

  3. «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ կացին = գ։

  4. «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն՝ կացին 2 + c = bx:

  5. «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ կացին 2 + bx = c:

  6. «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն՝ bx + c == կացին 2:
Ալ-Խվարեզմիի համար, ով խուսափում էր բացասական թվերի օգտագործումից, այս հավասարումներից յուրաքանչյուրի անդամները գումարվողներ են և ոչ թե հանվողներ։ Այս դեպքում ակնհայտորեն հաշվի չեն առնվում այն ​​հավասարումները, որոնք չունեն դրական լուծումներ։ Հեղինակը սահմանում է այս հավասարումների լուծման մեթոդներ՝ օգտագործելով ալ-ջաբր և ալ-մուկաբալ տեխնիկան: Նրա որոշումը, իհարկե, լիովին չի համընկնում մեր որոշման հետ։ Էլ չենք խոսում այն ​​մասին, որ այն զուտ հռետորական է, պետք է նշել, օրինակ, որ առաջին տիպի թերի քառակուսի հավասարումը լուծելիս Ալ-Խորեզմին, ինչպես և բոլոր մաթեմատիկոսները մինչև 17-րդ դարը, հաշվի չեն առնում զրոն. լուծում, հավանաբար այն պատճառով, որ կոնկրետ գործնականում դա նշանակություն չունի առաջադրանքների մեջ: Ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելիս Ալ-Խվարեզմին սահմանում է դրանց լուծման կանոնները՝ օգտագործելով որոշակի թվային օրինակներ, այնուհետև դրանց երկրաչափական ապացույցները։

Օրինակ բերենք.

Խնդիր 4. «Քառակուսինն ու 21 թիվը հավասար են 10 արմատի։ Գտե՛ք արմատը» (նկատի ունի x 2 + 21 = 10x հավասարման արմատը):

Լուծում․ արմատների թիվը կիսեք կիսով չափ, կստանաք 5, բազմապատկեք 5-ը, արտադրյալից հանեք 21, մնում է 4։ Վերցրեք արմատը 4-ից, կստանաք 2։ 5-ից հանեք 2, կստանաք 3, սա։ կլինի ցանկալի արմատը: Կամ 5-ին ավելացրեք 2, որը տալիս է 7, սա նույնպես արմատ է։

Ալ-Խորեզմիի տրակտատը մեզ հասած առաջին գիրքն է, որը համակարգված կերպով սահմանում է քառակուսի հավասարումների դասակարգումը և տալիս դրանց լուծման բանաձևերը։

դ) Քառակուսի հավասարումները Եվրոպայում 13-17-րդ դդ.

Եվրոպայում ալ-Խավարիզմի մոդելով քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը առաջին անգամ ներկայացվել են «Աբակուսի գրքում», որը գրվել է 1202 թվականին իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի կողմից: Այս ծավալուն աշխատությունը, որն արտացոլում է մաթեմատիկայի ազդեցությունը ինչպես իսլամական երկրներից, այնպես էլ Հին Հունաստան, առանձնանում է ինչպես ամբողջականությամբ, այնպես էլ մատուցման հստակությամբ։ Հեղինակն ինքնուրույն մշակեց խնդիրների լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջինն էր Եվրոպայում, ով մոտեցավ բացասական թվերի ներմուծմանը։ Նրա գիրքը նպաստել է հանրահաշվական գիտելիքների տարածմանը ոչ միայն Իտալիայում, այլեւ Գերմանիայում, Ֆրանսիայում եւ եվրոպական այլ երկրներում։ Աբակուսի գրքից բազմաթիվ խնդիրներ օգտագործվել են 16-17-րդ դարերի եվրոպական գրեթե բոլոր դասագրքերում։ և մասամբ XVIII.

Քառակուսային հավասարումներ լուծելու ընդհանուր կանոն՝ կրճատվելով մեկ կանոնական ձևով

x 2 + bx = c,

գործակիցների նշանների բոլոր հնարավոր համակցությունների համար բ, ՀետԵվրոպայում ձեւակերպվել է միայն 1544 թվականին Մ.Շտիֆելի կողմից։

Քառակուսային հավասարումը ընդհանուր ձևով լուծելու բանաձևի ածանցումը հասանելի է Վիետայում, բայց Վիետան ճանաչեց միայն դրական արմատներ: Իտալացի մաթեմատիկոսներ Տարտալիան, Կարդանոն, Բոմբելլին առաջիններից էին 16-րդ դարում։ Բացի դրականներից, հաշվի են առնվում նաև բացասական արմատները։ Միայն 17-րդ դ. Ժիրարի, Դեկարտի, Նյուտոնի և այլ գիտնականների աշխատությունների շնորհիվ քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդը ժամանակակից ձև է ստանում։

Գործնական խնդիրների լուծման հանրահաշվական մեթոդների ակունքները կապված են հին աշխարհի գիտության հետ։ Ինչպես հայտնի է մաթեմատիկայի պատմությունից, եգիպտական, շումերական, բաբելոնացի գրագիր-հաշվիչներով (մ. թ. ա. XX–VI դդ.) լուծված մաթեմատիկական բնույթի խնդիրների մի զգալի մասը հաշվողական բնույթ են կրել։ Այնուամենայնիվ, նույնիսկ այն ժամանակ ժամանակ առ ժամանակ առաջանում էին խնդիրներ, որոնցում մեծության ցանկալի արժեքը որոշվում էր որոշակի անուղղակի պայմաններով, որոնք, մեր ժամանակակից տեսանկյունից, պահանջում էին հավասարման կամ հավասարումների համակարգի կազմություն: Սկզբում նման խնդիրներ լուծելու համար օգտագործվում էին թվաբանական մեթոդներ. Հետագայում սկսեցին ձևավորվել հանրահաշվական հասկացությունների սկիզբը։ Օրինակ, բաբելոնյան հաշվիչներն կարողացան լուծել խնդիրներ, որոնք կարելի է նվազեցնել տեսանկյունից ժամանակակից դասակարգումերկրորդ աստիճանի հավասարումների. Ստեղծվեց բառային խնդիրների լուծման մեթոդ, որը հետագայում հիմք հանդիսացավ հանրահաշվական բաղադրիչի մեկուսացման և դրա ինքնուրույն ուսումնասիրության համար։

Այս ուսումնասիրությունն իրականացվել է մեկ այլ դարաշրջանում, նախ արաբ մաթեմատիկոսների կողմից (մ.թ. VI-X դդ.), ովքեր հայտնաբերել են բնորոշ գործողություններ, որոնց միջոցով հավասարումները ստանդարտ ձևի են բերվել. նշանի փոփոխություն. Եվ հետո Վերածննդի եվրոպացի մաթեմատիկոսների կողմից, ովքեր երկար փնտրտուքների արդյունքում ստեղծեցին ժամանակակից հանրահաշվի լեզուն, տառերի օգտագործումը, թվաբանական գործողությունների նշանների ներմուծումը, փակագծերը և այլն: 16-րդ դարի վերջում. 17-րդ դարեր. Հանրահաշիվը որպես մաթեմատիկայի կոնկրետ մաս՝ իր առարկայով, մեթոդով և կիրառման ոլորտներով, արդեն ձևավորվել էր։ Նրա հետագա զարգացումը, մինչև մեր ժամանակները, բաղկացած էր մեթոդների կատարելագործումից, կիրառությունների շրջանակի ընդլայնումից, հասկացությունների հստակեցումից և մաթեմատիկայի այլ ճյուղերի հասկացությունների հետ դրանց կապերից։

Այսպիսով, հաշվի առնելով հավասարման հայեցակարգին առնչվող նյութի կարևորությունն ու ընդարձակությունը, մաթեմատիկայի ժամանակակից մեթոդներում դրա ուսումնասիրությունը կապված է դրա ծագման և գործունեության երեք հիմնական ոլորտների հետ:

Քառակուսային հավասարումների պատմությունից Հեղինակ՝ 9-րդ «Ա» դասարանի աշակերտուհի Սվետլանա Ռադչենկո Ղեկավար՝ Ալաբուգինա Ի.Ա. մաթեմատիկայի ուսուցիչ MBOU «Գուրևսկի թիվ 5 միջնակարգ դպրոց» Կեմերովոյի շրջան Ներկայացման առարկան՝ մաթեմատիկա Պատրաստված է ուսուցչին օգնելու համար Ընդամենը 20 սլայդ Բովանդակություն Ներածություն…………………………………………………… ……………………………3 Քառակուսային հավասարումների առաջացման պատմությունից Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում………………………………….4 Քառակուսի հավասարումներ Հնդկաստանում………………… ………………………………5 Քառակուսի հավասարումներ Ալ-Խավարիզմում……………………………………6 Ինչպես Դիոֆանտը կազմեց և լուծեց քառակուսի հավասարումներ………………………… ..... 7 քառակուսի հավասարումներ Եվրոպայում Xll – XVll դարեր……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………11 10 եղանակներ լուծելու քառակուսի հավասարումներ………………………….12 Լուծման ալգորիթմ Թերի քառակուսի հավասարումներ…………………………13 Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ………………………………..14 Տրված քառակուսի հավասարումների լուծում………………………………… ……15 4. Քառակուսային հավասարումների գործնական կիրառությունները կիրառական խնդիրների լուծման համար…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. . …………………………………………………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Օգտագործված հղումների ցանկ…………………… …………………………………….19 2 Ներածություն Դժբախտ համարեք այն օրը կամ ժամը, երբ դուք ոչ մի նոր բան չեք սովորել, ոչինչ չեք ավելացրել ձեր կրթությանը: Յան Ամոս Կոմենիուս 3 Քառակուսի հավասարումները այն հիմքն են, որի վրա հենվում է հանրահաշվի վեհաշուք շենքը: Նրանք լայնորեն կիրառվում են եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծման համար։ Դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում առաջատար տեղ են զբաղեցնում քառակուսի հավասարումները։ Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում շատ ժամանակ է հատկացվում նրանց ուսումնասիրությանը: Հիմնականում քառակուսի հավասարումները ծառայում են կոնկրետ գործնական նպատակների: Իրական աշխարհում տարածական ձևերի և քանակական հարաբերությունների հետ կապված խնդիրների մեծ մասը հանգում է տարբեր տեսակի հավասարումների, այդ թվում՝ քառակուսային: Տիրապետելով դրանց լուծման ուղիներին՝ մարդիկ գտնում են գիտության և տեխնիկայի տարբեր հարցերի պատասխաններ։ Քառակուսային հավասարումների առաջացման պատմությունից Հին Բաբելոն. մ.թ.ա. մոտ 2000 տարի բաբելոնացիները գիտեին, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ: Հայտնի էին ինչպես ամբողջական, այնպես էլ թերի քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ։ Օրինակ, Հին Բաբելոնում լուծվել են հետևյալ քառակուսային հավասարումները. 4 Հնդկաստան Քառակուսային հավասարումների միջոցով լուծված խնդիրները գտնվում են աստղագիտության մասին տրակտատում «Արյաբհաթթայը», որը գրվել է հնդիկ աստղագետ և մաթեմատիկոս Արյաբհաթայի կողմից 499 թ. Մեկ այլ հնդիկ գիտնական՝ Բրահմագուպտան, ուրվագծել է քառակուսի հավասարման լուծման համընդհանուր կանոն՝ մինչև իր կանոնական ձևը. ax2+bx=c; Ընդ որում, ենթադրվում էր, որ դրանում առկա բոլոր գործակիցները, բացի «ա»-ից, կարող են բացասական լինել։ Գիտնականի ձեւակերպած կանոնը էապես համընկնում է ժամանակակիցի հետ. 5 Քառակուսային հավասարումներ Ալ-Խորեզմիի կողմից. Ալ-Խորեզմիի հանրահաշվական տրակտատում տրված է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը հաշվում է 6 տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով հետևյալ կերպ. «Քառակուսիները հավասար են արմատներին», այսինքն. ax2 = bx.; «Քառակուսիները հավասար են թվերին», այսինքն՝ ax2 = c; «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ կացին = c; «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն. ax2 + c = bx; «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 + bx = c; «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն՝ bx + c = ax2: 6 Ինչպես Դիոֆանտը կազմեց և լուծեց քառակուսի հավասարումներ. Հին հույն ամենաեզակի մաթեմատիկոսներից մեկը Դիոֆանտ Ալեքսանդրացին էր: Դիոֆանտոսի ոչ ծննդյան տարեթիվը, ոչ էլ մահվան տարեթիվը ճշտված չեն. Ենթադրվում է, որ նա ապրել է 3-րդ դարում։ ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ Դիոֆանտոսի գործերից ամենագլխավորը թվաբանությունն է, որից մինչ օրս պահպանվել է 13 գիրք միայն 6-ը։ Դիոֆանտոսի թվաբանությունը չի պարունակում հանրահաշվի համակարգված ներկայացում, սակայն պարունակում է մի շարք խնդիրներ, որոնք ուղեկցվում են բացատրություններով և լուծվում տարբեր աստիճանի հավասարումներ կառուցելով։ Հավասարումներ կազմելիս Դիոֆանտը հմտորեն ընտրում է անհայտները՝ լուծումը պարզեցնելու համար։ 7 քառակուսի հավասարումներ Եվրոպայում 12-17-րդ դարերում. Իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Ֆիբոնաչին ինքնուրույն մշակեց խնդիրների լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջինն էր Եվրոպայում, ով ներկայացրեց բացասական թվեր: Քառակուսային հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը, որը վերածվել է մեկ կանոնական ձևի x2 + bх = с նշանների և b, c գործակիցների բոլոր հնարավոր համակցությունների համար ձևակերպվել է Եվրոպայում 1544 թվականին Միքայել Շտիֆելի կողմից։ 8 Ֆրանսուա Վիետը ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆ. Վիետը (1540-1603), ներմուծեց հանրահաշվական նշանների համակարգ և մշակեց տարրական հանրահաշվի հիմքերը։ Նա առաջիններից էր, ով թվերը նշում էր տառերով, ինչը զգալիորեն զարգացրեց հավասարումների տեսությունը։ Ընդհանուր ձևով քառակուսի հավասարումը լուծելու բանաձևի ածանցումը հասանելի է Վիետից, բայց Վիետը ճանաչեց միայն դրական արմատներ: 9 Քառակուսային հավասարումներ այսօր Քառակուսային հավասարումներ լուծելու կարողությունը հիմք է հանդիսանում այլ հավասարումների և դրանց համակարգերի լուծման համար: Հավասարումներ լուծել սովորելը սկսվում է դրանց ամենապարզ տեսակներից, և ծրագիրը որոշում է ինչպես դրանց տեսակների, այնպես էլ նույնական և համարժեք փոխակերպումների «ֆոնդը» աստիճանական կուտակումը, որի օգնությամբ դուք կարող եք կամայական հավասարումը հասցնել ամենապարզին: Այս ուղղությամբ պետք է կառուցվի նաև դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում հավասարումների լուծման ընդհանրացված տեխնիկայի մշակման գործընթացը: Ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի դասընթացում ուսանողները բախվում են հավասարումների, համակարգերի կամ արդեն հայտնի հավասարումների խորը ուսումնասիրության հետ: վճարվում է քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներին, որոնք դառնում են հատուկ ուսումնասիրության առարկա։ Այս թեմային բնորոշ է մատուցման մեծ խորությունը և ուսուցման մեջ դրա օգնությամբ հաստատված կապերի հարստությունը և ներկայացման տրամաբանական վավերականությունը: Ուստի այն բացառիկ դիրք է գրավում հավասարումների և անհավասարությունների շարքում։ Քառակուսային հավասարումների ուսումնասիրության կարևոր կետ է Վիետայի թեորեմի դիտարկումը, որը նշում է կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև կապի առկայությունը։ Վիետայի թեորեմի յուրացման դժվարությունը պայմանավորված է մի քանի հանգամանքներով. Առաջին հերթին անհրաժեշտ է հաշվի առնել ուղիղ և հակադարձ թեորեմների տարբերությունը։ 11 Քառակուսային հավասարումներ լուծելու 10 եղանակ. Հավասարման ձախ կողմի գործոնավորում: Ամբողջական քառակուսի ընտրելու մեթոդ. Քառակուսային հավասարումների լուծում բանաձևով. Վիետայի թեորեմի միջոցով հավասարումների լուծում. Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման գործակիցների հատկությունները: Քառակուսային հավասարման գրաֆիկական լուծում. Քառակուսային հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով կողմնացույց և քանոն: 12 Քառակուսային հավասարումների լուծում նոմոգրամի միջոցով: Քառակուսային հավասարումների լուծման երկրաչափական մեթոդ. Անավարտ քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ 1) եթե հավասարումն ունի ax2 = 0 ձև, ապա այն ունի մեկ արմատ x = 0; 2) եթե հավասարումը ունի ax2 + bx = 0 ձև, ապա կիրառվում է ֆակտորացման մեթոդը՝ x (ax + b) = 0; սա նշանակում է կամ x = 0 կամ ax + b = 0: Արդյունքում մենք ստանում ենք երկու արմատ. x1 = 0; x2 = 3) եթե հավասարումը ունի ax2 + c = 0 ձև, ապա այն վերածվում է ax2 = - c ձևի, այնուհետև x2.= Այն դեպքում, երբ -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, այսինքն. - = m, որտեղ m>0, x2 = m հավասարումը ունի երկու արմատ Այսպիսով, անավարտ քառակուսի հավասարումը կարող է ունենալ երկու արմատ, մեկ արմատ կամ առանց արմատների: 13 Ամբողջական քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ. Սրանք ax2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումներ են, որտեղ a, b, c տրված են թվեր, իսկ ≠ 0, x-ը անհայտ է: Ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում կարող է վերածվել ձևի, որպեսզի որոշվի քառակուսի հավասարման արմատների թիվը և գտնել այդ արմատները: Դիտարկվում են ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման հետևյալ դեպքերը՝ Դ< 0, D = 0, D >0. 1. Եթե Դ< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, ապա քառակուսի հավասարումը ax2 + bx + c = 0 ունի երկու արմատ, որոնք հայտնաբերվում են բանաձեւերով. 14 Կրճատված քառակուսային հավասարումների լուծում Ֆ. Վիետայի թեորեմ. Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով վերցված երկրորդ գործակցին, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Այլ կերպ ասած, եթե x1 և x2 x2 +px + q = 0 հավասարման արմատներն են, ապա x1 + x2 = - p, x1 x2 = q: (*) Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմ. Եթե (*) բանաձևերը վավեր են x1, x2, p, q թվերի համար, ապա x1 և x2 հավասարման արմատներն են x2 + px + q = 0: 15 Գործնական կիրառություններ Կիրառական խնդիրների լուծման քառակուսի հավասարումների Բհասկար (1114-1185) - 12-րդ դարի ամենամեծ հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ: Նա ղեկավարել է Ուջայնի աստղադիտարանը։ Բհասկարան գրել է «Siddhanta-shiromani» («Ուսուցման թագ») տրակտատը, որը բաղկացած է չորս մասից. «Lilavati»-ն նվիրված է թվաբանությանը, «Bizhaganita»-ն՝ հանրահաշվին, «Goladhaya»-ն՝ գնդերի, «Granhaganita»-ն՝ մոլորակների շարժումների տեսություն. Բհասկարան ստացավ հավասարումների բացասական արմատները, թեև կասկածում էր դրանց նշանակության վրա։ Նրան է պատկանում հավերժ շարժման մեքենայի ամենավաղ նմուշներից մեկը: 16 12-րդ դարի հնդիկ հայտնի մաթեմատիկոսի խնդիրներից մեկը. Bhaskara. Bhaskara-ի լուծումը ցույց է տալիս, որ հեղինակը գիտեր, որ քառակուսի հավասարումների արմատները երկարժեք են: 17 Եզրակացություն Քառակուսային հավասարումների լուծման գիտության զարգացումն անցել է երկար ու փշոտ ճանապարհ: Միայն Շտիֆելի, Վիետայի, Տարթալիայի, Կարդանոյի, Բոմբելիի, Ժիրարի, Դեկարտի և Նյուտոնի աշխատություններից հետո քառակուսի հավասարումների լուծման գիտությունը ստացավ իր ժամանակակից ձևը։ Քառակուսային հավասարումների նշանակությունը ոչ միայն խնդիրների լուծման նրբագեղության և հակիրճության մեջ է, թեև դա նույնպես շատ կարևոր է։ Նույնքան կարևոր է, որ հարցեր լուծելիս քառակուսի հավասարումների կիրառման արդյունքում հաճախ հայտնաբերվեն նոր մանրամասներ, հետաքրքիր ընդհանրացումներ և պարզաբանումներ, որոնք առաջարկվում են ստացված բանաձևերի և հարաբերությունների վերլուծությամբ: Ուսումնասիրելով քառակուսի հավասարումների զարգացման պատմության հետ կապված գրականություն և ինտերնետային ռեսուրսներ՝ ես ինքս ինձ հարցրի. Հավանաբար, առաջին հերթին դա մարդկային մտքի պրպտողությունն է, որը գիտության զարգացման գրավականն է։ Աշխարհի էության, այս աշխարհում մարդու տեղի մասին հարցերը հետապնդում են մտածողությունը, հետաքրքրասեր, խելացի մարդկանց բոլոր ժամանակներում: Մարդիկ միշտ ձգտել են հասկանալ իրենց և աշխարհում իրենց տեղը: Նայեք ձեր ներսում, գուցե ձեր բնական հետաքրքրասիրությունը տառապանքն է, որովհետև տրվել եք առօրյա կյանքին և ծուլությանը: Շատ գիտնականների ճակատագրերը 18 օրինակներ են, որոնց կարելի է հետևել: Ոչ բոլոր անուններն են հայտնի և հայտնի: Մտածեք դրա մասին. ինչպիսի՞ն եմ ես իմ մտերիմ մարդկանց համար: Բայց ամենակարևորն այն է, թե ինչպես եմ ես ինձ վերաբերվում, արժանի՞ եմ հարգանքի։ Մտածեք դրա մասին... Հղումներ 1. Զվավիչ Լ.Ի. “Algebra 8th class”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. « Հանրագիտարանային բառարաներիտասարդ մաթեմատիկոս», Մ., 1985. 3. Yu.N.Makarychev «Algebra 8th class», M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Շնորհակալություն դուք ուշադրության համար 20

Տարբեր քաղաքակրթությունների ներկայացուցիչներ. Հին Եգիպտոս, Հին Բաբելոն, Հին Հունաստան, Հին Հնդկաստան, Հին Չինաստան, Միջնադարյան Արևելք, Եվրոպան տիրապետել է քառակուսի հավասարումների լուծման տեխնիկային։

Առաջին անգամ Հին Եգիպտոսի մաթեմատիկոսները կարողացան լուծել քառակուսի հավասարումը։ Մաթեմատիկական պապիրուսներից մեկը պարունակում է հետևյալ խնդիրը.

«Գտեք ուղղանկյունի ձև ունեցող դաշտի կողմերը, եթե նրա մակերեսը 12 է, իսկ երկարությունները՝ լայնությանը»: «Դաշտի երկարությունը 4 է», - նշվում է պապիրուսում։

Անցան հազարամյակներ, և բացասական թվերը մտան հանրահաշիվ: Լուծելով x²= 16 հավասարումը, ստանում ենք երկու թիվ՝ 4, –4:

Իհարկե, եգիպտական ​​հարցում մենք կվերցնեինք X = 4, քանի որ դաշտի երկարությունը կարող է լինել միայն դրական մեծություն:

Մեզ հասած աղբյուրները ցույց են տալիս, որ հնագույն գիտնականներն ունեին անհայտ քանակությամբ խնդիրներ լուծելու որոշ ընդհանուր տեխնիկա: Բաբելոնյան տեքստերում ամրագրված քառակուսի հավասարումների լուծման կանոնը, ըստ էության, նույնն է, ինչ ժամանակակիցը, սակայն հայտնի չէ, թե ինչպես են բաբելոնացիները «հասել այսքան հեռու»։ Բայց հայտնաբերված գրեթե բոլոր պապիրուսներում և սեպագիր տեքստերում տրված են միայն լուծումների հետ կապված խնդիրներ։ Հեղինակները միայն երբեմն իրենց թվային հաշվարկներն են տրամադրել աննշան մեկնաբանություններով, ինչպիսիք են.

Հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտը կազմել և լուծել է քառակուսի հավասարումներ։ Նրա Թվաբանությունը չի պարունակում հանրահաշվի համակարգված ներկայացում, բայց այն պարունակում է խնդիրների համակարգված շարք, որոնք ուղեկցվում են բացատրություններով և լուծվում տարբեր աստիճանի հավասարումներ կառուցելով։

Քառակուսի հավասարումներ կազմելու հետ կապված խնդիրներ կան արդեն «Արիա-բհաթիամ» աստղագիտական ​​տրակտատում, որը կազմվել է 499 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արյաբհաթայի կողմից։

Մեկ այլ հնդիկ գիտնական Բրահմագուպտան (VII դար) ուրվագծել է ax² + bx = c ձևի քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը:

Հին Հնդկաստանում դժվարին խնդիրների լուծման հանրային մրցույթները սովորական էին: Նման մրցույթների մասին հնդկական հին գրքերից մեկում ասվում է հետևյալը. «Ինչպես արևն իր փայլով գերազանցում է աստղերին, այնպես էլ գիտուն մարդը հանրային հավաքներում կգերազանցի ուրիշի փառքը՝ առաջարկելով և լուծելով հանրահաշվական խնդիրներ»: Խնդիրները հաճախ ներկայացվում էին բանաստեղծական տեսքով։

Սա 12-րդ դարի հայտնի հնդիկ մաթեմատիկոսի խնդիրներից մեկն է։ Բասկարներ.

Թրթռուն կապիկների երամ

Սրտանց կերած՝ զվարճացա։

Դրանց ութերորդ մասը խաղում էր հրապարակի բացատում։

Իսկ վազերի վրա տասներկուսը... սկսեցին ցատկել՝ կախված...​

Քանի՞ կապիկ կար:

Ասա ինձ, այս փաթեթում:

Բհասկարայի լուծումը ցույց է տալիս, որ նա գիտեր, որ քառակուսի հավասարումների արմատները երկարժեք են։

Մեզ հասած ամենահին չինական մաթեմատիկական տեքստերը թվագրվում են 1-ին դարի վերջին: մ.թ.ա. II դարում։ մ.թ.ա. Գրվել է մաթեմատիկան ինը գրքում։ Հետագայում՝ 7-րդ դարում, այն ներառվել է «Տասը դասական տրակտատներ» ժողովածուում, որն ուսումնասիրվել է երկար դարեր։ «Մաթեմատիկան ինը գրքում» տրակտատում բացատրվում է, թե ինչպես կարելի է հանել Քառակուսի արմատօգտագործելով երկու թվերի գումարի քառակուսու բանաձևը.

Մեթոդը կոչվում էր «Tian Yuan» (բառացիորեն « երկնային տարր«) - այսպես են չինացիները նշել անհայտ մեծություն։​

Խնդիրների լուծման առաջին ձեռնարկը, որը լայնորեն հայտնի դարձավ, 9-րդ դարի Բաղդադի գիտնականի աշխատանքն էր: Մուհամմադ բին Մուսա ալ-Խվարիզմի. «Ալ-Ջաբր» բառը ժամանակի ընթացքում վերածվեց հանրահայտ «հանրահաշիվ» բառի, և Ալ-Խորեզմիի աշխատանքն ինքնին դարձավ ելակետ հավասարումների լուծման գիտության զարգացման մեջ: Ալ-Խվարեզմիի հանրահաշվական տրակտատը տալիս է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը հաշվում է վեց տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով այսպես.

-քառակուսի հավասար արմատներ, այսինքն՝ ահ ² = bх;

-հավասար թվով քառակուսիներ, այսինքն՝ ահ ² = s;

-արմատները հավասար են թվին, այսինքն՝ կացին = c;

-քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին, այսինքն՝ ահ ²+ c = bх;

-քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին, այսինքն՝ ահ ² + bх = с;

-Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների, այսինքն՝ bx + c = կացին ²;

Ալ-Խվարեզմիի տրակտատը մեզ հասած առաջին գիրքն է, որը համակարգված կերպով սահմանում է քառակուսի հավասարումների դասակարգումը և տալիս դրանց լուծման բանաձևերը։

Եվրոպայում ալ-Խվարեզմիի օրինակով ստեղծված քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը առաջին անգամ ներկայացվել են Աբակուսի գրքում, որը գրվել է 1202 թվականին իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի կողմից: Հեղինակն ինքնուրույն մշակել է խնդիրների լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջինն է Եվրոպայում, որ ներկայացրել է բացասական թվեր։ Նրա գիրքը նպաստել է հանրահաշվական գիտելիքների տարածմանը ոչ միայն Իտալիայում, այլեւ Գերմանիայում, Ֆրանսիայում եւ եվրոպական այլ երկրներում։ «Աբակոսի գրքից» բազմաթիվ խնդիրներ տեղ են գտել 16-17-րդ դարերի եվրոպական գրեթե բոլոր դասագրքերում։ և մասամբ 18-րդ դ.

Ընդհանուր կանոն՝ քառակուսի հավասարումների լուծման համար, որոնք վերածվել են մեկ կանոնական x ձևի ² + bх = с, b և с գործակիցների նշանների բոլոր հնարավոր համակցությունների համար ձևակերպվել է Եվրոպայում միայն 1544 թվականին Մ. Շտիֆելի կողմից:

Վիետան ունի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևի ընդհանուր ածանցավորում, բայց նա նաև ճանաչում է միայն դրական արմատներ։ Իտալացի մաթեմատիկոսներ Տարտալիան, Կարդանոն, Բոմբելլին առաջիններից էին 16-րդ դարում։ Դրական ու բացասական արմատներից բացի, հաշվի են առնվում։ Միայն 17-րդ դարում Ժիրարի, Դեկարտի, Նյուտոնի և այլ գիտնականների աշխատությունների շնորհիվ քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդը ստացավ իր ժամանակակից տեսքը։

​

​

Առնչվող հրապարակումներ.