Եռանդամի բանաձևի գործոնավորում. Ինչպես գործոնավորել քառակուսի եռանկյունը՝ բանաձև

Քառակուսային եռանկյունների ֆակտորինգը դպրոցական առաջադրանքներից մեկն է, որը վաղ թե ուշ բախվում է բոլորին: Ինչպե՞ս դա անել: Ո՞րն է քառակուսի եռանդամի գործակցման բանաձևը: Եկեք քայլ առ քայլ պարզենք օրինակների օգնությամբ:

Ընդհանուր բանաձև

Քառակուսային եռանդամները գործոնացվում են քառակուսի հավասարում լուծելով: Սա պարզ խնդիր է, որը կարելի է լուծել մի քանի մեթոդներով. գտնելով տարբերակիչը՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, կա և գրաֆիկական մեթոդլուծումներ։ Առաջին երկու մեթոդներն ուսումնասիրվում են ավագ դպրոցում։

Ընդհանուր բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Առաջադրանքը կատարելու ալգորիթմ

Քառակուսային եռանկյունները գործոնավորելու համար անհրաժեշտ է իմանալ Վիտաի թեորեմը, ձեռքի տակ ունենալ լուծման ծրագիր, կարողանաք լուծում գտնել գրաֆիկորեն կամ փնտրել երկրորդ աստիճանի հավասարման արմատներ՝ օգտագործելով տարբերակիչ բանաձևը: Եթե ​​տրված է քառակուսի եռանկյուն, և այն պետք է գործոնացվի, ապա ալգորիթմը հետևյալն է.

1) Բնօրինակ արտահայտությունը հավասարեցնել զրոյի՝ հավասարում ստանալու համար:

2) Տրե՛ք նմանատիպ տերմիններ (անհրաժեշտության դեպքում):

3) Գտեք ցանկացածի արմատները հայտնի ձևով. Գրաֆիկական մեթոդԱվելի լավ է օգտագործել այն, եթե նախապես հայտնի է, որ արմատները ամբողջ թվեր են և փոքր թվեր։ Պետք է հիշել, որ արմատների թիվը հավասար է հավասարման առավելագույն աստիճանին, այսինքն՝ քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ։

4) փոխարինել արժեքը Xարտահայտության մեջ (1):

5) Գրի՛ր քառակուսի եռանդամների գործոնացումը.

Օրինակներ

Պրակտիկան թույլ է տալիս վերջապես հասկանալ, թե ինչպես է կատարվում այս խնդիրը: Օրինակները ցույց են տալիս քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիան.

անհրաժեշտ է ընդլայնել արտահայտությունը.

Եկեք դիմենք մեր ալգորիթմին.

1) x 2 -17x+32=0

2) համանման ժամկետները կրճատվում են

3) օգտագործելով Վիետայի բանաձևը, դժվար է արմատներ գտնել այս օրինակի համար, ուստի ավելի լավ է օգտագործել տարբերակիչ արտահայտությունը.

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Մեր գտած արմատները փոխարինենք տարրալուծման հիմնական բանաձևով.

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Այնուհետև պատասխանը կլինի հետևյալը.

x 2 -17x+32=(x-2.155)(x-14.845)

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք դիսկրիմինատորի գտած լուծումները համապատասխանում են Վիետայի բանաձևերին.

14,845 . 2,155=32

Այս արմատների համար կիրառվում է Վիետայի թեորեմը, դրանք ճիշտ են գտնվել, ինչը նշանակում է, որ մեր ստացած ֆակտորիզացիան նույնպես ճիշտ է։

Եկեք նմանապես ընդլայնենք 12x 2 + 7x-6:

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

Նախորդ դեպքում լուծումները ոչ ամբողջ թվային, այլ իրական թվեր էին, որոնք հեշտ է գտնել, եթե ձեր առջեւ հաշվիչը ունեք։ Հիմա եկեք նայենք ավելին բարդ օրինակ, որում արմատները բարդ կլինեն՝ գործակից x 2 + 4x + 9։ Օգտագործելով Վիետայի բանաձևը, արմատները հնարավոր չէ գտնել, իսկ դիսկրիմինանտը բացասական է: Արմատները կլինեն բարդ հարթության վրա:

D=-20

Դրա հիման վրա մենք ստանում ենք մեզ հետաքրքրող արմատները -4+2i*5 1/2 և -4-2i * 5 1/2 քանի որ (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Մենք ստանում ենք ցանկալի տարրալուծում, արմատները փոխարինելով ընդհանուր բանաձևով:

Մեկ այլ օրինակ՝ պետք է գործոնավորել 23x 2 -14x+7 արտահայտությունը:

Մենք ունենք հավասարումը 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Սա նշանակում է, որ արմատները 14+21.166i են և 14-21.166i. Պատասխանը կլինի.

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Բերենք մի օրինակ, որը կարելի է լուծել առանց խտրականի օգնության։

Թող անհրաժեշտ լինի քայքայվել քառակուսային հավասարում x 2 -32x+255. Ակնհայտ է, որ այն կարող է լուծվել նաև դիսկրիմինանտի միջոցով, բայց այս դեպքում արմատները գտնելն ավելի արագ է։

x 1 = 15

x 2 =17

Միջոցներ x 2 -32x+255 =(x-15) (x-17).

Այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես չափավորել քառակուսի եռանկյունները գծային գործակիցների: Դա անելու համար մենք պետք է հիշենք Վիետայի թեորեմը և դրա հակառակը: Այս հմտությունը կօգնի մեզ արագ և հարմար կերպով ընդլայնել քառակուսի եռանկյունները գծային գործակիցների, ինչպես նաև կհեշտացնի արտահայտություններից բաղկացած կոտորակների կրճատումը:

Այսպիսով, եկեք վերադառնանք քառակուսի հավասարմանը, որտեղ .

Այն, ինչ մենք ունենք ձախ կողմում, կոչվում է քառակուսի եռանկյուն:

Թեորեմը ճշմարիտ է.Եթե ​​- արմատները քառակուսի եռանկյուն, ապա ինքնությունը վավեր է

Որտեղ է առաջատար գործակիցը, հավասարման արմատներն են:

Այսպիսով, մենք ունենք քառակուսի հավասարում` քառակուսի եռանկյուն, որտեղ քառակուսի հավասարման արմատները կոչվում են նաև քառակուսի եռանդամի արմատներ: Հետևաբար, եթե մենք ունենք քառակուսի եռանդամի արմատներ, ապա այս եռանկյունը կարող է քայքայվել գծային գործոնների։

Ապացույց:

Այս փաստի ապացույցն իրականացվում է Վիետայի թեորեմի միջոցով, որը մենք քննարկել ենք նախորդ դասերում:

Հիշենք, թե ինչ է մեզ ասում Վիետայի թեորեմը.

Եթե ​​քառակուսի եռանդամի արմատներն են, որոնց համար , ապա .

Այս թեորեմից հետևում է հետևյալ պնդումը.

Մենք տեսնում ենք, որ Վիետայի թեորեմի համաձայն, այսինքն՝ փոխարինելով այս արժեքները վերը նշված բանաձևով, մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Ք.Ե.Դ.

Հիշեցնենք, որ մենք ապացուցեցինք այն թեորեմը, որ եթե քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա ընդլայնումը վավեր է:

Այժմ հիշենք քառակուսի հավասարման օրինակ, որի վրա մենք ընտրել ենք արմատներ՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը։ Այս փաստից մենք կարող ենք ստանալ հետևյալ հավասարությունը՝ շնորհիվ ապացուցված թեորեմի.

Այժմ ստուգենք այս փաստի ճիշտությունը՝ պարզապես բացելով փակագծերը.

Մենք տեսնում ենք, որ մենք ճիշտ ենք ֆակտորել, և ցանկացած եռանկյուն, եթե ունի արմատներ, այս թեորեմի համաձայն կարող է ֆակտորիզացվել գծային գործակիցների՝ ըստ բանաձևի.

Այնուամենայնիվ, եկեք ստուգենք, թե արդյոք նման ֆակտորիզացիան հնարավոր է որևէ հավասարման համար.

Վերցրեք, օրինակ, հավասարումը. Նախ, եկեք ստուգենք տարբերակիչ նշանը

Եվ մենք հիշում ենք, որ մեր սովորած թեորեմը կատարելու համար D-ն պետք է լինի 0-ից մեծ, ուստի այս դեպքում ֆակտորիզացիան ըստ մեր սովորած թեորեմի անհնար է։

Հետևաբար ձևակերպում ենք նոր թեորեմ՝ եթե քառակուսի եռանկյունը արմատներ չունի, ապա այն չի կարող քայքայվել գծային գործոնների։

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք Վիետայի թեորեմը՝ քառակուսի եռանկյունը գծային գործոնների տարրալուծելու հնարավորությունը, և այժմ կլուծենք մի քանի խնդիր։

Առաջադրանք թիվ 1

Այս խմբում մենք իրականում կլուծենք խնդիրը առաջադրվածին հակառակ: Մենք ունեինք հավասարում, և մենք գտանք դրա արմատները՝ գործակցելով այն: Այստեղ մենք կանենք հակառակը. Ենթադրենք, մենք ունենք քառակուսի հավասարման արմատներ

Հակադարձ խնդիրը սա է՝ գրեք քառակուսի հավասարում, օգտագործելով դրա արմատները:

Այս խնդիրը լուծելու 2 եղանակ կա.

Քանի որ հավասարման արմատներն են, ուրեմն քառակուսի հավասարում է, որի արմատներին տրված են թվեր: Այժմ բացենք փակագծերը և ստուգենք.

Սա առաջին ձևն էր, որով մենք ստեղծեցինք քառակուսի հավասարում տրված արմատներով, որը չունի այլ արմատներ, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում ունի առավելագույնը երկու արմատ:

Այս մեթոդը ներառում է հակադարձ Վիետայի թեորեմի օգտագործումը:

Եթե ​​հավասարման արմատներն են, ապա դրանք բավարարում են այն պայմանին, որ .

Կրճատված քառակուսի հավասարման համար , , այսինքն այս դեպքում և .

Այսպիսով, մենք ստեղծել ենք քառակուսի հավասարում, որն ունի տրված արմատները։

Առաջադրանք թիվ 2

Հարկավոր է կրճատել ֆրակցիան։

Մենք ունենք եռանկյուն համարիչում և եռանդամ՝ հայտարարում, և եռանդամները կարող են գործոնացվել կամ չգործել: Եթե ​​և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը գործակցված են, ապա դրանց մեջ կարող են լինել հավասար գործոններ, որոնք կարող են կրճատվել:

Նախևառաջ պետք է գործոն դնել համարիչը:

Նախ, դուք պետք է ստուգեք, թե արդյոք այս հավասարումը կարող է ֆակտորիզացվել, եկեք գտնենք դիսկրիմինատորը: Քանի որ , նշանը կախված է արտադրանքից (պետք է լինի 0-ից փոքր), in այս օրինակում, այսինքն՝ տրված հավասարումն ունի արմատներ։

Լուծելու համար մենք օգտագործում ենք Վիետայի թեորեմը.

Այս դեպքում, քանի որ գործ ունենք արմատների հետ, բավական դժվար կլինի պարզապես արմատներ ընտրել։ Բայց մենք տեսնում ենք, որ գործակիցները հավասարակշռված են, այսինքն՝ եթե ենթադրենք, որ , և այս արժեքը փոխարինենք հավասարման մեջ, կստանանք հետևյալ համակարգը՝ 5-5=0։ Այսպիսով, մենք ընտրել ենք այս քառակուսի հավասարման արմատներից մեկը։

Մենք կփնտրենք երկրորդ արմատը՝ փոխարինելով այն, ինչ արդեն հայտնի է հավասարումների համակարգում, օրինակ՝ , այսինքն. .

Այսպիսով, մենք գտել ենք քառակուսի հավասարման երկու արմատները և կարող ենք փոխարինել դրանց արժեքները սկզբնական հավասարման մեջ՝ այն գործոնավորելու համար.

Եկեք հիշենք սկզբնական խնդիրը, մեզ անհրաժեշտ էր կրճատել կոտորակը:

Փորձենք խնդիրը լուծել՝ փոխարինելով:

Պետք է չմոռանալ, որ այս դեպքում հայտարարը չի կարող հավասար լինել 0-ի, այսինքն.

Եթե ​​այս պայմանները բավարարված են, ապա մենք կրճատել ենք սկզբնական կոտորակը մինչև ձևը:

Խնդիր թիվ 3 (առաջադրանք պարամետրով)

Պարամետրի ինչ արժեքներով է քառակուսի հավասարման արմատների գումարը

Եթե ​​արմատները տրված հավասարումըգոյություն ունենալ, ուրեմն , հարց՝ երբ.

Քառակուսային եռանկյունի ֆակտորինգկարող է օգտակար լինել C3 խնդրից կամ C5 պարամետրով խնդրի անհավասարությունները լուծելիս: Բացի այդ, շատ B13 բառային խնդիրներ շատ ավելի արագ կլուծվեն, եթե իմանաք Վիետայի թեորեմը:

Այս թեորեմը, իհարկե, կարելի է դիտարկել 8-րդ դասարանի տեսանկյունից, որում այն ​​առաջին անգամ է դասավանդվում։ Բայց մեր խնդիրն է լավ պատրաստվել միասնական պետական ​​քննությանը և սովորել հնարավորինս արդյունավետ լուծել քննական առաջադրանքները։ Ուստի այս դասում դիտարկվում է դպրոցականից մի փոքր տարբերվող մոտեցում:

Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ հավասարման արմատների բանաձևըՇատերը գիտեն (կամ գոնե տեսել են).

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

որտեղ «a, b» և «c»-ն «ax^2+bx+c» քառակուսի եռանդամի գործակիցներն են:

Որպեսզի սովորենք, թե ինչպես հեշտությամբ օգտագործել թեորեմը, եկեք հասկանանք, թե որտեղից է այն գալիս (սա իրականում կհեշտացնի հիշելը):

Եկեք ունենանք «ax^2+ bx+ c = 0» հավասարումը: Լրացուցիչ հարմարության համար բաժանեք այն «a»-ի և ստացեք «x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0»: Այս հավասարումը կոչվում է կրճատված քառակուսի հավասարում:

Դասի կարևոր գաղափար. ցանկացած քառակուսի բազմանդամ, որն ունի արմատներ, կարող է ընդլայնվել փակագծերի մեջ:Ենթադրենք, որ մերը կարող է ներկայացվել որպես «x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)», որտեղ «k» և « l` - որոշ հաստատուններ:

Տեսնենք, թե ինչպես են բացվում փակագծերը.

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Այսպիսով, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`:

Սա մի փոքր տարբերվում է դասական մեկնաբանությունից Վիետայի թեորեմա- դրանում մենք փնտրում ենք հավասարման արմատները: Ես առաջարկում եմ փնտրել պայմաններ բրա տարրալուծում- այս կերպ ձեզ հարկավոր չէ հիշել բանաձևի մինուսի մասին (նշանակում է՝ «x_1+x_2 = -\frac(b)(a)»): Բավական է ընտրել երկու այդպիսի թիվ, որոնց գումարը հավասար է միջին գործակցի, իսկ արտադրյալը՝ ազատ անդամին։

Եթե ​​մեզ պետք է հավասարման լուծում, ապա դա ակնհայտ է՝ «x=-k» կամ «x=-l» արմատները (քանի որ այս դեպքում փակագծերից մեկը կլինի զրո, ինչը նշանակում է, որ ամբողջ արտահայտությունը կլինի զրո: )

Ես ձեզ ցույց կտամ ալգորիթմը որպես օրինակ. Ինչպես ընդլայնել քառակուսի բազմանդամը փակագծերի մեջ:

Օրինակ մեկ. Քառակուսային եռանդամի ֆակտորինգի ալգորիթմ

Մեր ունեցած ուղին «x^2+5x+4» քառանկյունային եռանկյուն է:

Այն կրճատվում է (`x^2`-ի գործակիցը հավասար է մեկի): Նա արմատներ ունի։ (Վստահ լինելու համար կարող եք գնահատել դիսկրիմինատորը և համոզվել, որ այն զրոյից մեծ է):

Հետագա քայլերը (դուք պետք է սովորեք դրանք բոլորն ավարտելուց հետո վերապատրաստման առաջադրանքներ):

1. Գրեք հետևյալը. $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ փոխարենը թողեք կետերը ազատ տարածություն, այնտեղ կավելացնենք համապատասխան թվեր և նշաններ։
2. Դիտել բոլորը հնարավոր տարբերակները, ինչպես կարելի է «4» թիվը տարրալուծել երկու թվերի արտադրյալի։ Մենք ստանում ենք զույգ «թեկնածուներ» հավասարման արմատների համար՝ «2, 2» և «1, 4»:
3. Պարզեք, թե որ զույգից կարող եք ստանալ միջին գործակիցը: Ակնհայտորեն դա «1, 4» է:
4. Գրեք $$x^2+5x+4=(x \քառյակ 4)(x \քառյակ 1)$$։
5. Հաջորդ քայլը տեղադրվող թվերի դիմաց նշաններ տեղադրելն է։

   Ինչպե՞ս հասկանալ և ընդմիշտ հիշել, թե ինչ նշաններ պետք է հայտնվեն փակագծերի թվերից առաջ: Փորձեք բացել դրանք (փակագծեր): «x»-ից առաջ առաջին աստիճանի գործակիցը կլինի «(± 4 ± 1)» (մենք դեռ չգիտենք նշանները, պետք է ընտրել), և այն պետք է հավասար լինի «5»-ի: Ակնհայտ է, որ կլինեն երկու գումարած $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$:

   Կատարեք այս գործողությունը մի քանի անգամ (բարև ձեզ, մարզչական առաջադրանքներ!) և այլևս երբեք խնդիրներ չեք ունենա դրա հետ:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել «x^2+5x+4» հավասարումը, ապա այժմ այն ​​լուծելը դժվար չի լինի։ Դրա արմատները `-4, -1` են:

Օրինակ երկու. Տարբեր նշանների գործակիցներով քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիա

Եկեք լուծենք «x^2-x-2=0» հավասարումը: Անշուշտ, խտրականությունը դրական է:

Մենք հետևում ենք ալգորիթմին.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Գոյություն ունի երկուսի միայն մեկ գործակցում ամբողջ թվային գործակիցների՝ «2 · 1»:
3. Մենք բաց ենք թողնում կետը. ընտրություն չկա:
4. $$x^2-x-2=(x \չորս 2) (x \քառյակ 1).$$
5. Մեր թվերի արտադրյալը բացասական է (`-2` ազատ անդամն է), ինչը նշանակում է, որ դրանցից մեկը կլինի բացասական, իսկ մյուսը` դրական:
   Քանի որ դրանց գումարը հավասար է «-1»-ի («x»-ի գործակիցը), ապա «2»-ը բացասական կլինի (ինտուիտիվ բացատրությունն այն է, որ երկու թվերից մեծն է, այն ավելի ուժեղ «կքաշի» դեպի բացասական կողմը) Մենք ստանում ենք $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Երրորդ օրինակ. Քառակուսային եռանկյունի ֆակտորինգ

Հավասարումն է՝ «x^2+5x -84 = 0»:

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84-ի տարրալուծումը ամբողջ թվերի գործակիցների՝ «4 21, 6 14, 12 7, 2 42»:
3. Քանի որ մեզ անհրաժեշտ է, որ թվերի տարբերությունը (կամ գումարը) լինի 5, «7, 12» զույգը հարմար է։
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Հույս, այս քառակուսային եռանդամի ընդլայնումը փակագծերի մեջՊարզ է.

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հավասարման լուծում, ահա այն՝ «12, -7»:

Վերապատրաստման առաջադրանքներ

Ձեր ուշադրությանն եմ ներկայացնում մի քանի օրինակներ, որոնք հեշտ է լուծվում են Վիետայի թեորեմի միջոցով։(Օրինակները վերցված են «Մաթեմատիկա» ամսագրից, 2002 թ.)

1. «x^2+x-2=0»:
2. «x^2-x-2=0»:
3. «x^2+x-6=0»:
4. «x^2-x-6=0»:
5. «x^2+x-12=0»:
6. «x^2-x-12=0»:
7. «x^2+x-20=0»:
8. «x^2-x-20=0»:
9. «x^2+x-42=0»:
10. «x^2-x-42=0»:
11. «x^2+x-56=0»:
12. «x^2-x-56=0»:
13. «x^2+x-72=0»:
14. `x^2-x-72=0`
15. «x^2+x-110=0»:
16. «x^2-x-110=0»:
17. «x^2+x-420=0»:
18. «x^2-x-420=0»:

Հոդվածի գրվելուց մի քանի տարի անց հայտնվեց Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ քառակուսի բազմանդամի ընդլայնման 150 առաջադրանքների հավաքածու:

Հավանե՛ք և հարցեր տվեք մեկնաբանություններում։

Արտադրանք ստանալու համար բազմանդամների ընդլայնումը երբեմն կարող է շփոթեցնող թվալ: Բայց դա այնքան էլ դժվար չէ, եթե դուք քայլ առ քայլ հասկանում եք գործընթացը: Հոդվածում մանրամասն նկարագրված է, թե ինչպես կարելի է գործոնավորել քառակուսի եռանկյունը։

Շատերը չեն հասկանում, թե ինչպես կարելի է չափել քառակուսի եռանկյունը և ինչու է դա արվում: Սկզբում կարող է թվալ, որ դա ապարդյուն վարժություն է: Բայց մաթեմատիկայում ոչինչ իզուր չի արվում։ Փոխակերպումն անհրաժեշտ է արտահայտությունը պարզեցնելու և հաշվարկի դյուրինության համար:

ax²+bx+c ձևի բազմանդամը, կոչվում է քառակուսի եռանդամ:«ա» տերմինը պետք է լինի բացասական կամ դրական: Գործնականում այս արտահայտությունը կոչվում է քառակուսի հավասարում: Հետեւաբար, երբեմն նրանք դա այլ կերպ են ասում՝ ինչպես ընդլայնել քառակուսի հավասարումը:

Հետաքրքիր է!Բազմանդամը կոչվում է քառակուսի իր ամենամեծ աստիճանի՝ քառակուսու պատճառով: Եվ եռանկյուն՝ 3 բաղադրիչների պատճառով։

Բազմանդամների մի քանի այլ տեսակներ.

• գծային երկանդամ (6x+8);
• խորանարդ քառանդամ (x³+4x²-2x+9):

Քառակուսային եռանկյունի ֆակտորինգ

Նախ, արտահայտությունը հավասար է զրոյի, ապա պետք է գտնել x1 և x2 արմատների արժեքները: Կարող է արմատներ չլինեն, կարող են լինել մեկ կամ երկու արմատ: Արմատների առկայությունը որոշվում է տարբերակիչով: Դուք պետք է անգիր իմանաք դրա բանաձևը՝ D=b²-4ac:

Եթե ​​D արդյունքը բացասական է, արմատներ չկան։ Եթե ​​դրական է, ապա երկու արմատ կա. Եթե ​​արդյունքը զրոյական է, ապա արմատը մեկ է: Արմատները նույնպես հաշվարկվում են բանաձևով.

Եթե ​​դիսկրիմինանտը հաշվարկելիս արդյունքը զրոյական է, կարող եք օգտագործել որևէ բանաձև: Գործնականում բանաձևը պարզապես կրճատվում է. -b / 2a:

Բանաձևեր համար տարբեր իմաստներտարբերակիչները տարբերվում են.

Եթե ​​D-ն դրական է.

Եթե ​​D-ը զրո է.

Առցանց հաշվիչներ

Համացանցում կա առցանց հաշվիչ. Այն կարող է օգտագործվել ֆակտորիզացիայի համար: Որոշ ռեսուրսներ հնարավորություն են տալիս քայլ առ քայլ դիտել լուծումը։ Նման ծառայություններն օգնում են ավելի լավ հասկանալ թեման, բայց դուք պետք է փորձեք լավ հասկանալ այն:

Օգտակար տեսանյութ՝ քառակուսի եռանկյունի ֆակտորինգ

Օրինակներ

Հրավիրում ենք դիտելու պարզ օրինակներ, ինչպես գործոնավորել քառակուսի հավասարումը:

Օրինակ 1

Սա հստակ ցույց է տալիս, որ արդյունքը երկու x է, քանի որ D-ն դրական է: Նրանք պետք է փոխարինվեն բանաձևով: Եթե ​​արմատները բացասական են, ապա բանաձևի նշանը փոխվում է հակառակը:

Մենք գիտենք քառակուսի եռանդամի գործակցման բանաձևը՝ a(x-x1)(x-x2): Արժեքները դնում ենք փակագծերում՝ (x+3)(x+2/3): Իշխանության մեջ ժամկետից առաջ թիվ չկա: Սա նշանակում է, որ այնտեղ կա, իջնում ​​է։

Օրինակ 2

Այս օրինակը հստակ ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է լուծել մեկ արմատ ունեցող հավասարումը:

Մենք փոխարինում ենք ստացված արժեքը.

Օրինակ 3

Տրված է՝ 5x²+3x+7

Նախ, եկեք հաշվարկենք դիսկրիմինանտը, ինչպես նախորդ դեպքերում:

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Խտրականը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներ չկան:

Արդյունքը ստանալուց հետո պետք է բացել փակագծերը և ստուգել արդյունքը։ Բնօրինակ եռանկյունը պետք է հայտնվի:

Այլընտրանքային լուծում

Որոշ մարդիկ երբեք չեն կարողացել ընկերանալ խտրականի հետ։ Գոյություն ունի քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիայի մեկ այլ եղանակ: Հարմարության համար մեթոդը ցուցադրվում է օրինակով:

Տրված է՝ x²+3x-10

Մենք գիտենք, որ պետք է ստանանք 2 փակագիծ՝ (_)(_): Երբ արտահայտությունն այսպիսի տեսք ունի՝ x²+bx+c, յուրաքանչյուր փակագծի սկզբում դնում ենք x՝ (x_)(x_): Մնացած երկու թվերն այն արտադրյալն են, որը տալիս է «c», այսինքն՝ այս դեպքում -10: Թե ինչ թվեր են դրանք պարզելու միակ միջոցը ընտրությունն է: Փոխարինված թվերը պետք է համապատասխանեն մնացած ժամկետին:

Օրինակ՝ բազմապատկում հետևյալ թվերըտալիս է -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ոչ
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ոչ
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ոչ
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Տեղավորվում է.

Սա նշանակում է, որ x2+3x-10 արտահայտության փոխակերպումն ունի հետևյալ տեսքը՝ (x-2)(x+5):

Կարևոր.Դուք պետք է զգույշ լինեք, որպեսզի չշփոթեք նշանները:

Բարդ եռանդամի ընդլայնում

Եթե ​​«ա»-ն մեկից մեծ է, ապա սկսվում են դժվարությունները: Բայց ամեն ինչ այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է։

Ֆակտորիզացնելու համար նախ պետք է տեսնել, թե արդյոք ինչ-որ բան կարելի է հաշվի առնել:

Օրինակ՝ տրված է 3x²+9x-30 արտահայտությունը: Այստեղ փակագծերից հանված է 3 թիվը.

3 (x²+3x-10): Արդյունքն արդեն հայտնի եռանդամն է։ Պատասխանն ունի հետևյալ տեսքը՝ 3(x-2)(x+5)

Ինչպե՞ս քայքայվել, եթե քառակուսի տերմինը բացասական է: Այս դեպքում փակագծերից հանվում է -1 թիվը։ Օրինակ՝ -x²-10x-8: Այնուհետև արտահայտությունը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սխեման քիչ է տարբերվում նախորդից: Պարզապես մի քանի նոր բան կա: Ենթադրենք տրված է արտահայտությունը՝ 2x²+7x+3: Պատասխանը գրված է նաև 2 փակագծերում, որոնք անհրաժեշտ է լրացնել (_)(_): 2-րդ փակագծում գրվում է x, իսկ 1-ինում՝ ինչ է մնացել։ Կարծես հետևյալն է՝ (2x_)(x_): Հակառակ դեպքում կրկնվում է նախորդ սխեման։

3 թիվը տրվում է թվերով.

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Մենք լուծում ենք հավասարումները՝ փոխարինելով այս թվերը։ Վերջին տարբերակը հարմար է. Սա նշանակում է, որ 2x²+7x+3 արտահայտության փոխակերպումն ունի հետևյալ տեսքը՝ (2x+1)(x+3):

Այլ դեպքեր

Միշտ չէ, որ հնարավոր է փոխակերպել արտահայտությունը: Երկրորդ մեթոդով հավասարումը լուծելը պարտադիր չէ։ Բայց տերմինները ապրանքի վերածելու հնարավորությունը ստուգվում է միայն դիսկրիմինատորի միջոցով։

Արժե զբաղվել քառակուսի հավասարումների լուծումով, որպեսզի բանաձևերն օգտագործելիս դժվարություններ չլինեն։

Օգտակար տեսանյութ՝ եռանդամի ֆակտորինգ

Եզրակացություն

Դուք կարող եք այն օգտագործել ցանկացած ձևով: Բայց ավելի լավ է երկուսն էլ պարապել, մինչև դրանք ավտոմատ դառնան: Նաև սովորելը, թե ինչպես լավ լուծել քառակուսի հավասարումներ և գործոնային բազմանդամներ, անհրաժեշտ է նրանց համար, ովքեր ծրագրում են իրենց կյանքը կապել մաթեմատիկայի հետ: Բոլոր հետևյալ մաթեմատիկական թեմաները կառուցված են սրա վրա։

Առցանց հաշվիչ.
Երկանդամի քառակուսու մեկուսացում և քառակուսի եռանդամի գործակցում:

Նրանք. Խնդիրները հանգում են \(p, q\) և \(n, m\) թվերը գտնելուն:

Ծրագիրը ոչ միայն տալիս է խնդրի պատասխանը, այլև ցուցադրում է լուծման գործընթացը։

Այս ծրագիրը կարող է օգտակար լինել միջնակարգ դպրոցների ավագ դպրոցի աշակերտների համար՝ նախապատրաստվելու համար թեստերև քննություններ՝ միասնական պետական ​​քննությունից առաջ գիտելիքները ստուգելիս, որպեսզի ծնողները վերահսկեն մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը:

Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է դաստիարակ վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք հնարավորինս արագ կատարել ձեր մաթեմատիկայի կամ հանրահաշվի տնային աշխատանքը: Այս դեպքում կարող եք նաև օգտվել մեր ծրագրերից՝ մանրամասն լուծումներով։

Այսպիսով, դուք կարող եք անցկացնել ձեր սեփական ուսուցումը և/կամ վերապատրաստումը ձեր կրտսեր եղբայրների կամ քույրերի համար, մինչդեռ բարձրանում է կրթության մակարդակը խնդիրների լուծման ոլորտում:

Եթե ​​դուք ծանոթ չեք քառակուսի եռանկյունի մուտքագրման կանոններին, խորհուրդ ենք տալիս ծանոթանալ դրանց։

Քառակուսային բազմանդամի մուտքագրման կանոններ
Ցանկացած լատինատառ կարող է հանդես գալ որպես փոփոխական։

Օրինակ՝ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) և այլն:
Թվերը կարող են մուտքագրվել որպես ամբողջական կամ կոտորակային թվեր:

Ընդ որում, կոտորակային թվերը կարող են մուտքագրվել ոչ միայն տասնորդականի, այլև սովորական կոտորակի տեսքով։
Տասնորդական կոտորակներ մուտքագրելու կանոններ.
Տասնորդական կոտորակներում կոտորակային մասը կարելի է բաժանել ամբողջ մասից կամ կետով կամ ստորակետով: Օրինակ, կարող եք մուտք գործելտասնորդականներ

այսպես՝ 2.5x - 3.5x^2
Սովորական կոտորակներ մուտքագրելու կանոններ.

Միայն ամբողջ թիվը կարող է լինել կոտորակի համարիչ, հայտարար և ամբողջ թիվ:

Հայտարարը չի կարող բացասական լինել: /
Թվային կոտորակ մուտքագրելիս համարիչը հայտարարից բաժանվում է բաժանման նշանով. &
Ամբողջ մասը բաժանված է կոտորակից ամպերսանդ նշանով.
Մուտք՝ 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

Արդյունք՝ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Արտահայտություն մուտքագրելիսկարող եք օգտագործել փակագծերը
. Այս դեպքում լուծելիս նախ պարզեցվում է ներմուծված արտահայտությունը։

Օրինակ՝ 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2) Օրինակ

մանրամասն լուծումԵրկանդամի քառակուսու մեկուսացում: $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \աջ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\ձախ (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \աջ)^2 \աջ)-\frac(9) )(2) = $$ $$2\ձախ(x+\frac(1)(2) \աջ)^2-\frac(9)(2) $$Պատասխան. $$2x^2+2x-4 = 2\ձախ(x+\frac(1)(2) \աջ)^2-\frac(9)(2) $$Ֆակտորիզացիա.
$$ ax^2+bx+c \աջ սլաք a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2 \ ձախ (x^2 + x-2 \աջ) = $$ $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \աջ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\ձախ (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \աջ)^2 \աջ)-\frac(9) )(2) = $$ $$2\ձախ(x+\frac(1)(2) \աջ)^2-\frac(9)(2) $$$$2x^2+2x-4 = 2 \ձախ (x -1 \աջ) \ձախ (x +2 \աջ) $$

Պարզվեց, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հնարավոր է, որ դուք միացված եք AdBlock-ին:
Այս դեպքում անջատեք այն և թարմացրեք էջը։

Որովհետև Խնդիրը լուծելու պատրաստ շատ մարդիկ կան, ձեր խնդրանքը հերթագրված է։
Մի քանի վայրկյանից լուծումը կհայտնվի ստորև։
Խնդրում ենք սպասել վրկ...

Եթե ​​դուք լուծման մեջ սխալ է նկատել, ապա այս մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևում։
Մի մոռացեք նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք ինչ մտնել դաշտերում.

Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.

Մի փոքր տեսություն.

Երկանդամի քառակուսու մեկուսացում քառակուսի եռանդամից

Եթե ​​քառակուսի եռանկյուն ax 2 +bx+c ներկայացված է a(x+p) 2 +q, որտեղ p և q են. իրական թվեր, հետո ասում են, որ ից քառակուսի եռանկյուն, երկանդամի քառակուսին ընդգծված է.

2x 2 +12x+14 եռանդամից հանում ենք երկանդամի քառակուսին։

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Դա անելու համար պատկերացրեք 6x-ը որպես 2*3*x-ի արտադրյալ, այնուհետև գումարեք և հանեք 3 2: Մենք ստանում ենք.
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Դա. Մենք քառակուսի եռանդամից հանել քառակուսի երկանդամըև ցույց տվեց, որ.
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Քառակուսային եռանկյունի ֆակտորինգ

Եթե ​​քառակուսի եռանկյուն ax 2 +bx+c ներկայացված է a(x+n)(x+m) ձևով, որտեղ n-ը և m-ն իրական թվեր են, ապա գործողությունը կատարված է: քառակուսային եռանկյունի ֆակտորիզացիա.

Օրինակով ցույց տանք, թե ինչպես է կատարվում այս փոխակերպումը։

2x 2 +4x-6 քառակուսի եռանկյունը չափենք:

Փակագծերից հանենք a գործակիցը, այսինքն. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Փոխակերպենք արտահայտությունը փակագծերում.
Դա անելու համար պատկերացրեք 2x-ը որպես 3x-1x տարբերություն, իսկ -3-ը որպես -1*3: Մենք ստանում ենք.
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Դա. Մենք գործոնավորել է քառակուսի եռանկյունըև ցույց տվեց, որ.
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Նկատի ունեցեք, որ քառակուսային եռանդամի ֆակտորավորումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե այս եռանդամին համապատասխանող քառակուսի հավասարումն ունի արմատներ։
Նրանք. մեր դեպքում հնարավոր է գործոնավորել 2x 2 +4x-6 եռանկյունը, եթե 2x 2 +4x-6 =0 քառակուսի հավասարումը արմատներ ունի։ Գործոնացման գործընթացում մենք պարզեցինք, որ 2x 2 + 4x-6 = 0 հավասարումը ունի երկու արմատ 1 և -3, քանի որ. այս արժեքներով 2(x-1)(x+3)=0 հավասարումը վերածվում է իսկական հավասարության։