Մանրամասն լուծումով ֆունկցիայի ուսումնասիրություն: Ինչպես ուսումնասիրել ֆունկցիան և գծագրել այն

Դիֆերենցիալ հաշվարկի կարևորագույն խնդիրներից մեկը մշակումն է ընդհանուր օրինակներգործառույթների վարքագծի ուսումնասիրություն:

Եթե ​​y \u003d f (x) ֆունկցիան շարունակական է միջակայքի վրա, և դրա ածանցյալը դրական է կամ հավասար է 0-ի (a, b) միջակայքում, ապա y \u003d f (x) մեծանում է (f "(x)-ով: 0): Եթե y \u003d f (x) ֆունկցիան հատվածի վրա շարունակական է, և դրա ածանցյալը բացասական է կամ հավասար է 0-ի (a,b) միջակայքում, ապա y=f(x) նվազում է (f"( x) 0)

Այն ինտերվալները, որոնցում ֆունկցիան չի նվազում կամ մեծանում, կոչվում են ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքեր։ Ֆունկցիայի միապաղաղության բնույթը կարող է փոխվել միայն նրա սահմանման տիրույթի այն կետերում, որտեղ փոխվում է առաջին ածանցյալի նշանը։ Այն կետերը, որտեղ ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը անհետանում կամ ընդհատվում է, կոչվում են կրիտիկական կետեր:

Թեորեմ 1 (1-ին բավարար պայման էքստրեմումի գոյության համար).

Թող y=f(x) ֆունկցիան սահմանվի x 0 կետում և թող լինի δ>0 այնպիսի հարևանություն, որ ֆունկցիան շարունակական լինի հատվածի վրա, տարբերվող (x 0 -δ, x 0)u( միջակայքում: x 0, x 0 + δ), և դրա ածանցյալը պահպանում է հաստատուն նշան այս միջակայքերից յուրաքանչյուրի վրա: Ապա եթե x 0 -δ, x 0) և (x 0, x 0 + δ) ածանցյալի նշանները տարբեր են, ապա x 0-ը ծայրահեղ կետ է, իսկ եթե դրանք համընկնում են, ապա x 0-ը ծայրահեղ կետ չէ: . Ավելին, եթե x0 կետով անցնելիս ածանցյալը փոխում է նշանը գումարածից մինուսի (x 0-ից ձախ, f "(x)> 0 է կատարվում, ապա x 0 առավելագույն կետն է, եթե ածանցյալը փոխում է նշանը. մինուսից գումարած (x 0-ի աջ կողմում կատարվում է f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են ֆունկցիայի ծայրահեղ կետեր, իսկ առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են նրա ծայրահեղ արժեքներ:

Թեորեմ 2 (տեղական էքստրեմումի համար անհրաժեշտ չափանիշ).

Եթե ​​y=f(x) ֆունկցիան ունի ծայրահեղություն x=x 0 հոսանքում, ապա կամ f'(x 0)=0 կամ f'(x 0) գոյություն չունի:
Տարբերվող ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերում նրա գրաֆիկի շոշափողը զուգահեռ է Ox առանցքին:

Ծայրահեղության ֆունկցիան ուսումնասիրելու ալգորիթմ.

1) Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը.
2) Գտեք կրիտիկական կետեր, այսինքն. կետեր, որտեղ ֆունկցիան շարունակական է, իսկ ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի:
3) Հաշվի առեք կետերից յուրաքանչյուրի հարևանությունը և ուսումնասիրեք ածանցյալի նշանը այս կետից աջ և ձախ:
4) Որոշեք ծայրահեղ կետերի կոորդինատները, կրիտիկական կետերի այս արժեքի համար փոխարինեք այս ֆունկցիային: Օգտագործելով բավարար էքստրեմալ պայմաններ՝ համապատասխան եզրակացություններ արեք։

Օրինակ 18. Հետազոտեք y=x 3 -9x 2 +24x ֆունկցիան

Լուծում.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4):
2) Ածանցյալը հավասարեցնելով զրոյի՝ գտնում ենք x 1 =2, x 2 =4: Այս դեպքում ածանցյալը սահմանվում է ամենուր. հետևաբար, բացի երկու հայտնաբերված կետերից, այլ կրիտիկական կետեր չկան։
3) y "=3(x-2)(x-4) ածանցյալի նշանը փոխվում է կախված միջակայքից, ինչպես ցույց է տրված նկար 1-ում: x=2 կետով անցնելիս ածանցյալը նշանը գումարածից փոխում է մինուսի, իսկ x=4 կետով անցնելիս՝ մինուսից պլյուս։
4) x=2 կետում ֆունկցիան ունի առավելագույն y max =20, իսկ x=4 կետում՝ նվազագույն y min =16:

Թեորեմ 3. (2-րդ բավարար պայման էքստրեմումի գոյության համար).

Թող f "(x 0) և f "" (x 0) գոյություն ունեն x 0 կետում: Ապա եթե f "" (x 0)> 0, ապա x 0 նվազագույն կետն է, իսկ եթե f "" (x 0): )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Հատվածի վրա y \u003d f (x) ֆունկցիան կարող է հասնել ամենափոքր (առնվազն) կամ ամենամեծ (առավելագույնը) արժեքին կամ (a; b) միջակայքում գտնվող ֆունկցիայի կրիտիկական կետերում կամ ծայրերում: հատվածի։

Հատվածի վրա y=f(x) շարունակական ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու ալգորիթմը.

1) Գտեք f "(x):
2) Գտեք այն կետերը, որոնցում f "(x) = 0 կամ f" (x) - գոյություն չունի, և դրանցից ընտրեք հատվածի ներսում գտնվողները:
3) Հաշվեք y \u003d f (x) ֆունկցիայի արժեքը 2-րդ պարբերությունում ստացված կետերում, ինչպես նաև հատվածի ծայրերում և ընտրեք դրանցից ամենամեծն ու ամենափոքրը. դրանք, համապատասխանաբար, ամենամեծն են ( ամենամեծ) և ամենափոքր (ամենափոքր) ֆունկցիայի արժեքները հատվածի վրա:

Օրինակ 19. Գտե՛ք y=x 3 -3x 2 -45+225 շարունակական ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը հատվածի վրա:

1) Հատվածի վրա ունենք y "=3x 2 -6x-45
2) y" ածանցյալը գոյություն ունի բոլոր x-ի համար: Գտնենք այն կետերը, որտեղ y"=0; մենք ստանում ենք.
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Հաշվե՛ք ֆունկցիայի արժեքը x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 կետերում.
Հատվածին է պատկանում միայն x=5 կետը։ Ֆունկցիայի հայտնաբերված արժեքներից ամենամեծը 225 է, իսկ ամենափոքրը 50 թիվն է: Այսպիսով, առավելագույնը = 225, առավելագույնը = 50:

Ուռուցիկության վրա ֆունկցիայի ուսումնասիրություն

Նկարում ներկայացված են երկու ֆունկցիաների գրաֆիկները: Դրանցից առաջինը շրջված է ուռուցիկությամբ դեպի վեր, երկրորդը` ուռուցիկությամբ ներքև:

y=f(x) ֆունկցիան շարունակական է հատվածի վրա և տարբերվող (a;b) միջակայքում, կոչվում է ուռուցիկ վերև (ներքև) այս հատվածի վրա, եթե axb-ի համար դրա գրաֆիկը բարձր չէ (ոչ ցածր) քան M 0 ցանկացած կետում գծված շոշափող (x 0 ;f(x0)), որտեղ axb.

Թեորեմ 4. Թող y=f(x) ֆունկցիան ունենա երկրորդ ածանցյալ հատվածի x ներքին կետում և շարունակական լինի այս հատվածի ծայրերում: Այնուհետև, եթե f""(x)0 անհավասարությունը բավարարված է (a;b) միջակայքում, ապա ֆունկցիան դեպի ներքեւ ուռուցիկ է հատվածի վրա; եթե f""(x)0 անհավասարությունը բավարարված է (а;b) միջակայքում, ապա ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի վեր:

Թեորեմ 5. Եթե y \u003d f (x) ֆունկցիան ունի երկրորդ ածանցյալ (a; b) միջակայքի վրա և եթե այն փոխում է նշանը x 0 կետով անցնելիս, ապա M (x 0 ; f (x 0)) թեքության կետ է:

Շեղման կետերը գտնելու կանոն.

1) Գտեք կետեր, որտեղ f""(x) գոյություն չունի կամ անհետանում է:
2) Քննեք առաջին քայլում հայտնաբերված յուրաքանչյուր կետի ձախ և աջ կողմում գտնվող f""(x) նշանը:
3) Թեորեմ 4-ի հիման վրա եզրակացություն արեք.

Օրինակ 20. Գտե՛ք y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ֆունկցիայի գծապատկերի ծայրակետերը և թեքման կետերը:

Մենք ունենք f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Ակնհայտորեն, f"(x)=0 x 1 =0-ի համար, x 2 =1: Ածանցյալը x=0 կետով անցնելիս նշանը մինուսից փոխում է գումարածի, իսկ x=1 կետով անցնելիս նշանը չի փոխում։ Սա նշանակում է, որ x=0 նվազագույն կետն է (y min =12), իսկ x=1 կետում ծայրահեղություն չկա: Հաջորդը, մենք գտնում ենք . Երկրորդ ածանցյալը անհետանում է x 1 =1, x 2 =1/3 կետերում: Երկրորդ ածանցյալի նշանները փոխվում են հետևյալ կերպ՝ ճառագայթի վրա (-∞;) ունենք f""(x)>0, (;1) միջակայքում ունենք f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Հետևաբար, x=-ը ֆունկցիայի գրաֆիկի թեքման կետն է (ուռուցիկությունից ներքև ուռուցիկության վերև անցում), իսկ x=1-ը նույնպես թեքության կետ է (ուռուցիկությունից դեպի ներքև անցում): Եթե ​​x=, ապա y= ; եթե, ապա x=1, y=13:

Գրաֆիկի ասիմպտոտը գտնելու ալգորիթմ

I. Եթե y=f(x) x → a , ապա x=a-ն ուղղահայաց ասիմպտոտ է:
II. Եթե ​​y=f(x) որպես x → ∞ կամ x → -∞, ապա y=A-ն հորիզոնական ասիմպտոտն է:
III. Թեք ասիմպտոտը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ ալգորիթմը.
1) Հաշվել. Եթե ​​սահմանը գոյություն ունի և հավասար է b-ի, ապա y=b-ը հորիզոնական ասիմպտոտն է. եթե , ապա անցեք երկրորդ քայլին:
2) Հաշվել. Եթե ​​այս սահմանը գոյություն չունի, ապա ասիմպտոտ չկա. եթե այն կա և հավասար է k-ի, ապա անցեք երրորդ քայլին։
3) Հաշվել. Եթե ​​այս սահմանը գոյություն չունի, ապա ասիմպտոտ չկա. եթե այն գոյություն ունի և հավասար է b-ի, ապա անցեք չորրորդ քայլին:
4) Գրի՛ր y=kx+b թեք ասիմպտոտի հավասարումը։

Օրինակ 21. Գտեք ֆունկցիայի ասիմպտոտ

1)
2)
3)
4) Թեք ասիմպտոտային հավասարումն ունի ձևը

Ֆունկցիայի ուսումնասիրության և դրա գրաֆիկի կառուցման սխեման

I. Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը:
II. Գտե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։
III. Գտեք ասիմպտոտներ:
IV. Գտեք հնարավոր ծայրահեղության կետերը:
V. Գտեք կրիտիկական կետեր:
VI. Օժանդակ գծագրի օգնությամբ ուսումնասիրիր առաջին և երկրորդ ածանցյալների նշանը: Որոշե՛ք ֆունկցիայի մեծացման և նվազման տարածքները, գտե՛ք գրաֆիկի ուռուցիկության ուղղությունը, ծայրագույն կետերը և թեքման կետերը։
VII. Կառուցեք գրաֆիկ՝ հաշվի առնելով 1-6-րդ պարբերություններում կատարված ուսումնասիրությունը:

Օրինակ 22. Գրեք ֆունկցիայի գրաֆիկ՝ համաձայն վերը նշված սխեմայի

Լուծում.
I. Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է, բացառությամբ x=1-ի:
II. Քանի որ x 2 +1=0 հավասարումը իրական արմատներ չունի, ուրեմն ֆունկցիայի գրաֆիկը չունի Ox առանցքի հետ հատման կետեր, այլ հատում է Oy առանցքը (0; -1) կետում։
III. Պարզաբանենք ասիմպտոտների գոյության հարցը։ Հետազոտում ենք ֆունկցիայի վարքագիծը խզման կետի մոտ x=1: Քանի որ y → ∞ x → -∞-ի համար, y → +∞ x → 1+-ի համար, ապա x=1 տողը ֆունկցիայի գրաֆիկի ուղղահայաց ասիմպտոտն է։
Եթե ​​x → +∞(x → -∞), ապա y → +∞(y → -∞); հետևաբար, գրաֆիկը չունի հորիզոնական ասիմպտոտ: Հետագայում՝ սահմանների առկայությունից

Լուծելով x 2 -2x-1=0 հավասարումը, ստանում ենք հնարավոր ծայրահեղության երկու միավոր.
x 1 =1-√2 և x 2 =1+√2

V. Կրիտիկական կետերը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք երկրորդ ածանցյալը.

Քանի որ f""(x)-ը չի անհետանում, կրիտիկական կետեր չկան:
VI. Մենք ուսումնասիրում ենք առաջին և երկրորդ ածանցյալների նշանը: Հնարավոր ծայրահեղ կետերը, որոնք պետք է դիտարկել՝ x 1 =1-√2 և x 2 =1+√2, ֆունկցիայի գոյության տարածքը բաժանեք միջակայքերի (-∞;1-√2), (1-√2): ;1+√2) և (1+√2;+∞):

Այս ընդմիջումներից յուրաքանչյուրում ածանցյալը պահպանում է իր նշանը՝ առաջինում՝ գումարած, երկրորդում՝ մինուս, երրորդում՝ պլյուս։ Առաջին ածանցյալի նշանների հաջորդականությունը կգրվի հետևյալ կերպ՝ +, -, +:
Մենք ստանում ենք, որ ֆունկցիան (-∞;1-√2)-ում մեծանում է, (1-√2;1+√2)-ում նվազում է, իսկ (1+√2;+∞) կրկին մեծանում է: Ծայրահեղ կետերը՝ առավելագույնը x=1-√2-ում, ընդ որում՝ f(1-√2)=2-2√2 նվազագույնը՝ x=1+√2-ում, ընդ որում՝ f(1+√2)=2+2√2: (-∞;1)-ում գրաֆիկը ուռուցիկ է դեպի վեր, իսկ (1;+∞)-ի վրա՝ դեպի ներքև:
VII Կազմենք ստացված արժեքների աղյուսակ

VIII Ստացված տվյալների հիման վրա կառուցում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկի ուրվագիծը

Ֆունկցիաների ուսումնասիրության և դրանց գծապատկերների կառուցման հղման կետերը բնորոշ կետերն են՝ ընդհատման, ծայրահեղության, թեքման, կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը։ Դիֆերենցիալ հաշվարկի օգնությամբ կարելի է հաստատել ֆունկցիաների փոփոխության բնորոշ գծերը՝ ավելացում և նվազում, առավելագույն և նվազագույն, գրաֆիկի ուռուցիկության և գոգավորության ուղղություն, ասիմպտոտների առկայություն։

Ֆունկցիայի գրաֆիկի ուրվագիծը կարելի է (և պետք է) գծել ասիմպտոտներն ու ծայրամասային կետերը գտնելուց հետո, և ուսումնասիրության ընթացքում հարմար է լրացնել ֆունկցիայի ուսումնասիրության ամփոփ աղյուսակը։

Սովորաբար օգտագործվում է ֆունկցիայի հետազոտության հետևյալ սխեման.

1.Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը, շարունակականության միջակայքերը և ընդմիջման կետերը.

2.Ուսումնասիրեք զույգ կամ կենտ ֆունկցիան (գրաֆիկի առանցքային կամ կենտրոնական համաչափություն.

3.Գտեք ասիմպտոտներ (ուղղահայաց, հորիզոնական կամ թեք):

4.Գտե՛ք և ուսումնասիրե՛ք ֆունկցիայի, նրա ծայրահեղ կետերի ավելացման և նվազման միջակայքերը:

5.Գտե՛ք կորի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը, նրա թեքման կետերը:

6.Գտե՛ք կորի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ, եթե դրանք կան:

7.Կազմել ուսումնասիրության ամփոփ աղյուսակ:

8.Կառուցեք գրաֆիկ՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը՝ ըստ վերը նշված կետերի։

Օրինակ.Ուսումնասիրել գործառույթը

և դա գծագրել:

7. Կազմենք ֆունկցիայի ուսումնասիրության ամփոփ աղյուսակ, որտեղ մուտքագրելու ենք բոլոր բնորոշ կետերը և դրանց միջև եղած միջակայքերը։ Հաշվի առնելով ֆունկցիայի հավասարությունը՝ ստանում ենք հետևյալ աղյուսակը.

Այսօր մենք ձեզ հրավիրում ենք մեզ հետ ուսումնասիրել և գծել ֆունկցիայի գրաֆիկը: Այս հոդվածը մանրակրկիտ ուսումնասիրելուց հետո դուք ստիպված չեք լինի երկար ժամանակ քրտնել այս կարգի առաջադրանքը կատարելու համար: Հեշտ չէ ուսումնասիրել և կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկ, աշխատանքը ծավալուն է, պահանջում է առավելագույն ուշադրություն և հաշվարկների ճշգրտություն։ Նյութի ընկալումը հեշտացնելու համար մենք աստիճանաբար կուսումնասիրենք նույն գործառույթը, կբացատրենք մեր բոլոր գործողություններն ու հաշվարկները։ Բարի գալուստ մաթեմատիկայի զարմանալի և հետաքրքրաշարժ աշխարհ: Գնա՛

Դոմեն

Ֆունկցիան ուսումնասիրելու և գծագրելու համար դուք պետք է իմանաք մի քանի սահմանումներ: Ֆունկցիան մաթեմատիկայի հիմնական (հիմնական) հասկացություններից է։ Այն արտացոլում է մի քանի փոփոխականների (երկու, երեք կամ ավելի) կախվածությունը փոփոխություններով: Ֆունկցիան ցույց է տալիս նաև բազմությունների կախվածությունը։

Պատկերացրեք, որ մենք ունենք երկու փոփոխական, որոնք ունեն որոշակի փոփոխությունների միջակայք: Այսպիսով, y-ը x-ի ֆունկցիա է, պայմանով, որ երկրորդ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանի երկրորդի մեկ արժեքին: Այս դեպքում y փոփոխականը կախված է, և այն կոչվում է ֆունկցիա։ Ընդունված է ասել, որ x և y փոփոխականները գտնվում են այս կախվածության ավելի հստակության համար կառուցվում է ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Ի՞նչ է ֆունկցիայի գրաֆիկը: Սա կոորդինատային հարթության վրա գտնվող կետերի հավաքածու է, որտեղ x-ի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է y-ի մեկ արժեքին: Գրաֆիկները կարող են տարբեր լինել՝ ուղիղ գիծ, ​​հիպերբոլա, պարաբոլա, սինուսոիդ և այլն։

Ֆունկցիայի գրաֆիկը չի կարող գծվել առանց հետազոտության: Այսօր մենք կսովորենք, թե ինչպես կատարել հետազոտություն և գծել ֆունկցիայի գրաֆիկ: Ուսումնառության ընթացքում շատ կարևոր է գրառումներ կատարելը։ Այսպիսով, առաջադրանքը հաղթահարելը շատ ավելի հեշտ կլինի: Առավել հարմար ուսումնական պլան.

1. Դոմեն.
2. Շարունակականություն.
3. Զույգ կամ կենտ.
4. Պարբերականություն.
5. Ասիմպտոտներ.
6. Զրոներ.
7. Մշտականություն.
8. Բարձրանալը և իջնելը.
9. Ծայրահեղություններ.
10. Ուռուցիկություն և գոգավորություն.

Սկսենք առաջին կետից. Եկեք գտնենք սահմանման տիրույթը, այսինքն՝ ինչ ընդմիջումներով է մեր ֆունկցիան գոյություն ունենում՝ y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36): Մեր դեպքում ֆունկցիան գոյություն ունի x-ի ցանկացած արժեքի համար, այսինքն՝ սահմանման տիրույթը R է: Սա կարելի է գրել xՕR տեսքով:

Շարունակականություն

Այժմ մենք պատրաստվում ենք ուսումնասիրել անջատման գործառույթը: Մաթեմատիկայի մեջ «շարունակություն» տերմինը առաջացել է շարժման օրենքների ուսումնասիրության արդյունքում։ Ի՞նչ է անսահման: Տարածություն, ժամանակ, որոշ կախվածություններ (օրինակ՝ S և t փոփոխականների կախվածությունը շարժման խնդիրներում), տաքացվող օբյեկտի ջերմաստիճանը (ջուր, տապակ, ջերմաչափ և այլն), շարունակական գիծ (այսինքն՝ մեկ. որը կարելի է նկարել առանց թերթիկի մատիտից հանելու):

Գրաֆիկը համարվում է շարունակական, եթե այն ինչ-որ պահի չի կոտրվում: Նման գրաֆիկի առավել ակնհայտ օրինակներից մեկը սինուսային ալիքն է, որը կարող եք տեսնել այս հատվածի նկարում: Ֆունկցիան շարունակական է x0 կետում, եթե բավարարված են մի շարք պայմաններ.

• ֆունկցիան սահմանվում է տվյալ կետում.
• աջ և ձախ սահմանները մի կետում հավասար են.
• սահմանը հավասար է x0 կետի ֆունկցիայի արժեքին։

Եթե ​​առնվազն մեկ պայման չկատարվի, ապա ասում են, որ ֆունկցիան խախտում է: Իսկ այն կետերը, որտեղ ֆունկցիան ընդհատվում է, կոչվում են ընդմիջման կետեր: Գործառույթի օրինակ, որը «կկոտրվի», երբ գրաֆիկորեն ցուցադրվի, հետևյալն է. y=(x+4)/(x-3): Ավելին, y x = 3 կետում գոյություն չունի (քանի որ անհնար է բաժանել զրոյի):

Գործառույթում, որը մենք ուսումնասիրում ենք (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) ամեն ինչ պարզվեց, քանի որ գրաֆիկը շարունակական է լինելու:

Զույգ, կենտ

Այժմ ուսումնասիրեք գործառույթը հավասարության համար: Սկսենք մի փոքր տեսությունից: Զույգ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որը բավարարում է f (-x) = f (x) պայմանը x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար (արժեքների միջակայքից): Օրինակներն են.

• մոդուլ x (գրաֆիկը նման է նժույգի, գրաֆիկի առաջին և երկրորդ քառորդների կիսադիր);
• x քառակուսի (պարաբոլա);
• կոսինուս x (կոսինուսային ալիք):

Նկատի ունեցեք, որ այս բոլոր գրաֆիկները սիմետրիկ են, երբ դիտարկվում են y առանցքի նկատմամբ:

Այդ դեպքում ո՞րն է կոչվում կենտ ֆունկցիա: Սրանք այն գործառույթներն են, որոնք բավարարում են պայմանը՝ f (-x) \u003d - f (x) x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար: Օրինակներ.

• հիպերբոլա;
• խորանարդ պարաբոլա;
• սինուսոիդ;
• շոշափող և այլն:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս ֆունկցիաները սիմետրիկ են կետի նկատմամբ (0:0), այսինքն՝ սկզբնաղբյուրը: Ելնելով հոդվածի այս բաժնում ասվածից՝ զույգ և կենտ ֆունկցիան պետք է ունենա հատկություն՝ x-ը պատկանում է սահմանումների բազմությանը և -x-ը նույնպես։

Եկեք քննենք ֆունկցիան հավասարության համար: Մենք տեսնում ենք, որ նա չի համապատասխանում նկարագրություններից ոչ մեկին: Հետևաբար, մեր ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։

Ասիմպտոտներ

Սկսենք սահմանումից. Ասիմպտոտը կոր է, որը հնարավորինս մոտ է գրաֆիկին, այսինքն՝ ինչ-որ կետից հեռավորությունը ձգտում է զրոյի: Ասիմպտոտների երեք տեսակ կա.

• ուղղահայաց, այսինքն, y առանցքին զուգահեռ;
• հորիզոնական, այսինքն x-առանցքին զուգահեռ;
• թեք.

Ինչ վերաբերում է առաջին տեսակին, ապա այս տողերը պետք է փնտրել որոշ կետերում.

• բացը;
• տիրույթի ծայրերը.

Մեր դեպքում ֆունկցիան շարունակական է, իսկ սահմանման տիրույթը R է։ Հետևաբար, ուղղահայաց ասիմպտոտներ չկան։

Ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հորիզոնական ասիմպտոտ, որը բավարարում է հետևյալ պահանջը՝ եթե x-ը հակված է դեպի անսահմանություն կամ մինուս անսահմանություն, իսկ սահմանը հավասար է որոշակի թվի (օրինակ՝ a): Այս դեպքում y=a-ն հորիզոնական ասիմպտոտն է։ Մեր ուսումնասիրած ֆունկցիայում հորիզոնական ասիմպտոտներ չկան։

Շեղ ասիմպտոտը գոյություն ունի միայն այն դեպքում, եթե բավարարված են երկու պայման.

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Այնուհետև այն կարելի է գտնել y=kx+b բանաձևով։ Կրկին, մեր դեպքում չկան թեք ասիմպտոտներ:

Գործառույթների զրոներ

Հաջորդ քայլը ֆունկցիայի գրաֆիկը զրոների համար ուսումնասիրելն է: Շատ կարևոր է նաև նշել, որ ֆունկցիայի զրոները գտնելու հետ կապված առաջադրանքը տեղի է ունենում ոչ միայն ֆունկցիայի գրաֆիկի ուսումնասիրության և գծագրման ժամանակ, այլ նաև որպես անկախ առաջադրանք և որպես անհավասարություններ լուծելու միջոց: Ձեզանից կարող է պահանջվել գտնել ֆունկցիայի զրոները գրաֆիկի վրա կամ օգտագործել մաթեմատիկական նշում:

Այս արժեքները գտնելը կօգնի ձեզ ավելի ճշգրիտ գծագրել գործառույթը: Պարզ բառերով, ֆունկցիայի զրոն x փոփոխականի արժեքն է, որի դեպքում y \u003d 0: Եթե ​​դուք փնտրում եք ֆունկցիայի զրոներ գրաֆիկի վրա, ապա պետք է ուշադրություն դարձնել այն կետերին, որտեղ գրաֆիկը հատվում է x առանցքի հետ։

Ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել հետևյալ հավասարումը y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0։ Անհրաժեշտ հաշվարկները կատարելուց հետո ստանում ենք հետևյալ պատասխանը.

նշան հաստատունություն

Ֆունկցիայի (գրաֆիկայի) ուսումնասիրության և կառուցման հաջորդ փուլը նշանի կայունության միջակայքերի հայտնաբերումն է: Սա նշանակում է, որ մենք պետք է որոշենք, թե որ ինտերվալներում է ֆունկցիան ընդունում դրական արժեք, իսկ որ միջակայքում՝ բացասական: Նախորդ բաժնում հայտնաբերված գործառույթների զրոները մեզ կօգնեն դա անել: Այսպիսով, մենք պետք է ուղիղ գիծ կառուցենք (գրաֆիկից առանձին) և ֆունկցիայի զրոները բաշխենք դրա երկայնքով ճիշտ հերթականությամբ՝ ամենափոքրից մինչև ամենամեծը։ Այժմ դուք պետք է որոշեք, թե ստացված միջակայքներից որն է «+» նշանը, և որը «-»:

Մեր դեպքում ֆունկցիան դրական արժեք է ընդունում միջակայքերի վրա.

• 1-ից 4;
• 9-ից մինչև անսահմանություն:

Բացասական նշանակություն.

• մինուս անսահմանությունից մինչև 1;
• 4-ից 9-ը:

Սա բավականին հեշտ է որոշել: Ինտերվալից ցանկացած թիվ փոխարինիր ֆունկցիայի մեջ և տես, թե ինչ նշան է պատասխանը (մինուս կամ գումարած):

Աճող և նվազող ֆունկցիա

Ֆունկցիան ուսումնասիրելու և կառուցելու համար մենք պետք է պարզենք, թե որտեղ է գրաֆիկը մեծանալու (բարձրանալ Oy-ի վրա), և որտեղ այն ընկնելու (սողալ y առանցքի երկայնքով):

Ֆունկցիան մեծանում է միայն այն դեպքում, եթե x փոփոխականի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է y-ի ավելի մեծ արժեքին: Այսինքն, x2-ը մեծ է x1-ից, իսկ f(x2)-ը մեծ է f(x1-ից): Իսկ նվազող ֆունկցիայի մեջ մենք լրիվ հակառակ երեւույթ ենք դիտում (որքան x, այնքան քիչ y): Աճման և նվազման միջակայքերը որոշելու համար անհրաժեշտ է գտնել հետևյալը.

• շրջանակը (մենք արդեն ունենք);
• ածանցյալ (մեր դեպքում՝ 1/3 (3x^2-28x+49);
• լուծել 1/3(3x^2-28x+49)=0 հավասարումը.

Հաշվարկներից հետո մենք ստանում ենք արդյունքը.

Մենք ստանում ենք. ֆունկցիան մեծանում է մինուս անվերջությունից մինչև 7/3 և 7-ից մինչև անվերջություն միջակայքում, իսկ 7/3-ից 7-ի միջակայքում նվազում է:

Ծայրահեղություններ

Հետազոտված y=1/3 (x^3-14x^2+49x-36) ֆունկցիան շարունակական է և գոյություն ունի x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար: Ծայրահեղ կետը ցույց է տալիս այս ֆունկցիայի առավելագույնը և նվազագույնը: Մեր դեպքում չկան, ինչը մեծապես հեշտացնում է շինարարական խնդիրը։ Հակառակ դեպքում դրանք հայտնաբերվում են նաև ածանցյալ ֆունկցիայի միջոցով։ Գտնելուց հետո մի մոռացեք դրանք նշել գծապատկերում:

Ուռուցիկություն և գոգավորություն

Շարունակում ենք ուսումնասիրել y(x) ֆունկցիան։ Այժմ մենք պետք է ստուգենք այն ուռուցիկության և գոգավորության համար: Այս հասկացությունների սահմանումները բավականին դժվար է ընկալել, ավելի լավ է ամեն ինչ վերլուծել օրինակներով։ Թեստի համար ֆունկցիան ուռուցիկ է, եթե այն չնվազող ֆունկցիա է: Համաձայնեք, սա անհասկանալի է։

Մենք պետք է գտնենք երկրորդ կարգի ֆունկցիայի ածանցյալը։ Ստանում ենք՝ y=1/3(6x-28): Այժմ աջ կողմը հավասարեցնում ենք զրոյի և լուծում ենք հավասարումը։ Պատասխան՝ x=14/3: Մենք գտել ենք թեքության կետը, այսինքն՝ այն վայրը, որտեղ գրաֆիկը ուռուցիկից դառնում է գոգավոր կամ հակառակը։ Մինուս անվերջությունից մինչև 14/3 միջակայքում ֆունկցիան ուռուցիկ է, իսկ 14/3-ից մինչև գումարած անվերջություն՝ գոգավոր։ Շատ կարևոր է նաև նշել, որ գրաֆիկի թեքման կետը պետք է լինի հարթ և փափուկ, չպետք է լինեն սուր անկյուններ:

Լրացուցիչ կետերի սահմանում

Մեր խնդիրն է ուսումնասիրել և գծել ֆունկցիայի գրաֆիկը: Մենք ավարտել ենք ուսումնասիրությունը, հիմա ֆունկցիան գծագրելը դժվար չի լինի։ Կոորդինատային հարթության վրա կորի կամ ուղիղ գծի ավելի ճշգրիտ և մանրամասն վերարտադրման համար կարող եք գտնել մի քանի օժանդակ կետեր: Դրանք հաշվարկելը բավականին հեշտ է: Օրինակ՝ վերցնում ենք x=3, լուծում ենք ստացված հավասարումը և գտնում y=4։ Կամ x=5 և y=-5 և այլն: Դուք կարող եք վերցնել այնքան լրացուցիչ միավորներ, որքան անհրաժեշտ է կառուցելու համար: Նրանցից հայտնաբերված է առնվազն 3-5-ը։

Դավադրություն

Մենք պետք է ուսումնասիրեինք ֆունկցիան (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y: Հաշվարկների ընթացքում բոլոր անհրաժեշտ նշանները կատարվել են կոորդինատային հարթության վրա։ Մնում է միայն գրաֆիկ կառուցել, այսինքն՝ միացնել բոլոր կետերը միմյանց հետ։ Կետերը միացնելը հարթ և ճշգրիտ է, սա հմտության խնդիր է. մի փոքր պրակտիկա և ձեր ժամանակացույցը կատարյալ կլինի:

Ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրության և դրա գրաֆիկը գծելու համար առաջարկվում է հետևյալ սխեման.
Ա) գտնել սահմանման տիրույթը, ընդմիջման կետերը. ուսումնասիրել ֆունկցիայի վարքագիծը ընդհատման կետերի մոտ (գտե՛ք ֆունկցիայի սահմանները ձախ և աջ այս կետերում): Նշեք ուղղահայաց ասիմպտոտները:
Բ) որոշել ֆունկցիայի հավասարությունը կամ տարօրինակությունը և եզրակացություն անել համաչափության առկայության մասին. Եթե ​​, ապա ֆունկցիան հավասար է, սիմետրիկ OY առանցքի նկատմամբ; համար, ֆունկցիան կենտ է, սիմետրիկ՝ ծագման նկատմամբ. իսկ եթե ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է։
Գ) գտնել ֆունկցիայի հատման կետերը OY և OX կոորդինատային առանցքների հետ (եթե հնարավոր է), որոշել ֆունկցիայի կայունության միջակայքերը. Ֆունկցիայի նշանի կայունության միջակայքի սահմանները որոշվում են այն կետերով, որոնցում ֆունկցիան հավասար է զրոյի (ֆունկցիայի զրոները) կամ գոյություն չունի, և այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթի սահմաններով։ Այն ընդմիջումներով, որտեղ ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքի վերևում, իսկ որտեղ՝ այս առանցքից ցածր:
Դ) գտնել ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը, որոշել դրա զրոները և կայունության միջակայքերը: Այն ընդմիջումներով, որտեղ ֆունկցիան մեծանում է, և որտեղ այն նվազում է: Եզրակացություն արեք ծայրահեղությունների առկայության մասին (կետեր, որտեղ առկա են ֆունկցիան և ածանցյալը, և երբ այն անցնում է, երբ այն փոխում է նշանը: Եթե նշանը գումարածից փոխում է մինուս, ապա այս պահին ֆունկցիան ունի առավելագույնը, իսկ եթե մինուսից մինչև գումարած, ապա նվազագույն): Գտեք ֆունկցիայի արժեքները ծայրահեղ կետերում:
Ե) գտե՛ք երկրորդ ածանցյալը, նրա զրոները և կայունության միջակայքերը: Այն ընդմիջումներով, որտեղ< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Ե) գտնել թեք (հորիզոնական) ասիմպտոտներ, որոնց հավասարումները ունեն ձևը ; որտեղ
.
ժամը ֆունկցիայի գրաֆիկը կունենա երկու թեք ասիմպտոտ, և x-ի յուրաքանչյուր արժեքը և կարող է համապատասխանել b-ի երկու արժեքին:
է) լրացուցիչ կետեր գտնել գրաֆիկը ճշգրտելու համար (անհրաժեշտության դեպքում) և գծապատկեր կառուցել:

Օրինակ 1 Հետազոտեք ֆունկցիան և գծեք դրա գրաֆիկը: Լուծում. Ա) սահմանման տիրույթ; Ֆունկցիան շարունակական է սահմանման տիրույթում. – բեկման կետ, քանի որ ; . Այնուհետև ուղղահայաց ասիմպտոտն է:
Բ)
դրանք. y(x)-ը ընդհանուր ֆունկցիա է:
Գ) Գտնում ենք գրաֆիկի հատման կետերը OY առանցքի հետ. սահմանում ենք x=0; ապա y(0)=–1, այսինքն. ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է առանցքը (0;-1) կետում։ Ֆունկցիայի զրոները (գրաֆիկի հատման կետերը OX առանցքի հետ) ենթադրում ենք y=0; ապա
.
Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտը փոքր է զրոյից, ուստի զրոներ չկան: Ապա հաստատունության միջակայքերի սահմանը x=1 կետն է, որտեղ ֆունկցիան գոյություն չունի։
Յուրաքանչյուր ընդմիջումներում ֆունկցիայի նշանը որոշվում է մասնակի արժեքների մեթոդով.

Դիագրամից երևում է, որ ինտերվալում ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքի տակ, իսկ OX առանցքի վերևում գտնվող միջակայքում։
Դ) Մենք պարզում ենք կրիտիկական կետերի առկայությունը:
.
Կրիտիկական կետերը (որտեղ կամ չկա) հայտնաբերվում են հավասարություններից և .

Ստանում ենք՝ x1=1, x2=0, x3=2: Եկեք ստեղծենք օժանդակ աղյուսակ

Աղյուսակ 1

(Առաջին տողը պարունակում է կրիտիկական կետերը և ընդմիջումները, որոնցում այս կետերը բաժանվում են OX առանցքով, երկրորդ տողում նշվում են ածանցյալի արժեքները կրիտիկական կետերում և նշանները միջակայքերի վրա: Նշանները որոշվում են մեթոդով: մասնակի արժեքների: Երրորդ տողը ցույց է տալիս y(x) ֆունկցիայի արժեքները կրիտիկական կետերում և ցույց է տալիս ֆունկցիայի վարքագիծը՝ թվային առանցքի համապատասխան ընդմիջումներով աճող կամ նվազող: Բացի այդ, նվազագույնի առկայությունը կամ նշվում է առավելագույնը:
Ե) Գտե՛ք ֆունկցիայի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը.
; մենք աղյուսակ ենք կառուցում, ինչպես Դ պարբերությունում); միայն երկրորդ տողում մենք գրում ենք նշանները, իսկ երրորդում նշում ենք ուռուցքի տեսակը։ Որովհետեւ ; ապա կրիտիկական կետմեկ x=1.
աղյուսակ 2

x=1 կետը թեքության կետն է:
Ե) Գտեք թեք և հորիզոնական ասիմպտոտներ

Ապա y=x-ը թեք ասիմպտոտ է։
Է) Ստացված տվյալների համաձայն կառուցում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկը

1). Գործառույթի շրջանակը.
Ակնհայտ է, որ այս ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային տողի վրա, բացառությամբ «» և «» կետերի, քանի որ Այս կետերում հայտարարը հավասար է զրոյի և, հետևաբար, ֆունկցիան գոյություն չունի, իսկ գծերը և ուղղահայաց ասիմպտոտներ են:

2). Ֆունկցիայի վարքագիծը, երբ արգումենտը ձգտում է դեպի անսահմանություն, ընդհատման կետերի առկայություն և թեք ասիմպտոտների ստուգում:
Եկեք նախ ստուգենք, թե ֆունկցիան ինչպես է իրեն պահում ձախ և աջ անսահմանությանը մոտենալիս:

Այսպիսով, ժամը , ֆունկցիան հակված է 1-ի, այսինքն. հորիզոնական ասիմպտոտն է։
Անդադար կետերի հարևանությամբ ֆունկցիայի վարքագիծը սահմանվում է հետևյալ կերպ.


Նրանք. ձախ կողմում գտնվող անջատման կետերին մոտենալիս ֆունկցիան անսահմանորեն նվազում է, իսկ աջում՝ անսահմանորեն մեծանում:
Մենք որոշում ենք թեք ասիմպտոտի առկայությունը՝ հաշվի առնելով հավասարությունը.

Չկան թեք ասիմպտոտներ:

3). Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր.
Այստեղ անհրաժեշտ է դիտարկել երկու իրավիճակ՝ գտնել հատման կետը Ox առանցքի և Oy առանցքի հետ։ X առանցքի հետ հատման նշանը ֆունկցիայի զրոյական արժեքն է, այսինքն. դուք պետք է լուծեք հավասարումը.

Այս հավասարումը արմատներ չունի, հետևաբար, այս ֆունկցիայի գրաֆիկը Ox առանցքի հետ հատման կետեր չունի։
Oy առանցքի հետ հատման նշանը x \u003d 0 արժեքն է: Այս դեպքում
,
դրանք. - ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը Oy առանցքի հետ:

4).Ծայրահեղ կետերի և աճի և նվազման միջակայքերի որոշում:
Այս խնդիրը ուսումնասիրելու համար մենք սահմանում ենք առաջին ածանցյալը.
.
Մենք զրոյի ենք հավասարեցնում առաջին ածանցյալի արժեքը։
.
Կոտորակը զրո է, երբ նրա համարիչը զրո է, այսինքն. .
Որոշենք ֆունկցիայի ավելացման և նվազման միջակայքերը։

Այսպիսով, ֆունկցիան ունի մեկ ծայրահեղ կետ և գոյություն չունի երկու կետերում:
Այսպիսով, ֆունկցիան մեծանում է ընդմիջումներով, և նվազում է ընդմիջումներով և .

5). Թեքման կետերը և ուռուցիկության և գոգավորության տարածքները:
Ֆունկցիայի վարքագծի այս բնութագիրը որոշվում է երկրորդ ածանցյալի միջոցով: Եկեք նախ որոշենք թեքության կետերի առկայությունը: Ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալն է

For և ֆունկցիան գոգավոր է;

համար և ֆունկցիան ուռուցիկ է:

6). Ֆունկցիայի գրաֆիկի գծագրում:
Օգտագործելով կետերում հայտնաբերված արժեքները, մենք կառուցում ենք ֆունկցիայի սխեմատիկ գրաֆիկ.

Լուծում
Տրված ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ոչ պարբերական ֆունկցիա է։ Դրա գրաֆիկն անցնում է սկզբնաղբյուրով, քանի որ .
Տվյալ ֆունկցիայի տիրույթը փոփոխականի բոլոր արժեքներն են, բացառությամբ և-ի, որոնցում անհետանում է կոտորակի հայտարարը:
Հետևաբար, կետերը և ֆունկցիայի ընդմիջման կետերն են:
Որովհետեւ ,

Որովհետեւ ,
, ապա կետը երկրորդ տեսակի ընդհատման կետ է։
Ուղիղ գծերը և ֆունկցիայի գրաֆիկի ուղղահայաց ասիմպտոտներն են:
Շեղ ասիմպտոտային հավասարումներ, որտեղ, .
ժամը ,
.
Այսպիսով, համար և ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի մեկ ասիմպտոտ:
Գտնենք ֆունկցիայի մեծացման և նվազման միջակայքերը և ծայրահեղությունների կետերը։
.
At և, հետևաբար, at ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը և ֆունկցիան մեծանում է:
Համար, հետևաբար, համար ֆունկցիան նվազում է։
համար գոյություն չունի, .
, հետևաբար, ժամը ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է։
ժամը , հետևաբար, ժամը ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է։

, , կետերով անցնելիս փոխում է նշանը։ Երբ , ֆունկցիան սահմանված չէ, հետևաբար, ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի մեկ թեքման կետ:
Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Կատարեք ամբողջական ուսումնասիրություն և գծեք ֆունկցիայի գրաֆիկ

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Գործառույթի շրջանակը. Քանի որ ֆունկցիան կոտորակ է, պետք է գտնել հայտարարի զրոները:

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1։

Ֆունկցիայի սահմանման տարածքից բացառում ենք x=1x=1 միակ կետը և ստանում.

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞):

2) Եկեք ուսումնասիրենք ֆունկցիայի վարքագիծը անջատման կետի մոտակայքում։ Գտեք միակողմանի սահմաններ.

Քանի որ սահմանները հավասար են անսահմանության, x=1x=1 կետը երկրորդ տեսակի ընդհատում է, x=1x=1 ուղիղը ուղղահայաց ասիմպտոտ է։

3) Որոշենք ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։

Գտնենք OyOy օրդինատների առանցքի հետ հատման կետերը, որոնց համար հավասարում ենք x=0x=0:

Այսպիսով, OyOy առանցքի հետ հատման կետն ունի (0;8)(0;8) կոորդինատներ:

Գտնենք OxOx աբսցիսային առանցքի հետ հատման կետերը, որոնց համար սահմանել ենք y=0y=0:

Հավասարումը չունի արմատներ, ուստի OxOx առանցքի հետ հատման կետեր չկան:

Նկատի ունեցեք, որ x2+8>0x2+8>0 ցանկացած xx-ի համար: Հետևաբար, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) համար y>0y>0 ֆունկցիան (ընդունում է դրական արժեքներ, գրաֆիկը գտնվում է x առանցքի վերևում), x∈(1;+∞) համար։ )x∈(1; +∞) y ֆունկցիա<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ, քանի որ.

5) Մենք ուսումնասիրում ենք ֆունկցիան պարբերականության համար: Ֆունկցիան պարբերական չէ, քանի որ այն կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա է։

6) Մենք ուսումնասիրում ենք ծայրահեղությունների և միապաղաղության ֆունկցիան: Դա անելու համար մենք գտնում ենք ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը.

Առաջին ածանցյալը հավասարեցնենք զրոյի և գտնենք անշարժ կետերը (որոնցում y′=0y′=0).

Ստացանք երեք կրիտիկական կետ՝ x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4: Մենք ֆունկցիայի ողջ տիրույթը բաժանում ենք ինտերվալների ըստ տրված կետերի և որոշում ենք ածանցյալի նշանները յուրաքանչյուր միջակայքում.

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) y′ ածանցյալի համար<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) y′>0y′>0 ածանցյալի համար ֆունկցիան մեծանում է այս ընդմիջումներով:

Այս դեպքում x=−2x=−2-ը լոկալ նվազագույն կետ է (ֆունկցիան նվազում է, հետո մեծանում), x=4x=4-ը՝ տեղական առավելագույն կետ (ֆունկցիան մեծանում է, հետո նվազում է)։

Եկեք գտնենք ֆունկցիայի արժեքները այս կետերում.

Այսպիսով, նվազագույն կետը (−2;4)(−2;4) է, առավելագույն կետը՝ (4;−8)(4;−8):

7) Մենք ուսումնասիրում ենք ֆունկցիան թեքությունների և ուռուցիկության համար: Գտնենք ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը.

Երկրորդ ածանցյալը հավասարեցնել զրոյի.

Ստացված հավասարումը չունի արմատներ, հետևաբար չկան թեքման կետեր: Ավելին, երբ x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 բավարարված է, այսինքն՝ ֆունկցիան գոգավոր է, երբ x∈(1;+∞)x∈(1): ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Մենք ուսումնասիրում ենք ֆունկցիայի վարքը անվերջության վրա, այսինքն՝ ժամը .

Քանի որ սահմաններն անսահման են, հորիզոնական ասիմպտոտներ չկան:

Փորձենք որոշել y=kx+by=kx+b ձևի թեք ասիմպտոտները։ Մենք հաշվարկում ենք k,bk,b արժեքները ըստ հայտնի բանաձևերի.

Մենք գտանք, որ ֆունկցիան ունի մեկ թեք ասիմպտոտ y=−x−1y=−x−1։

9) Լրացուցիչ միավորներ. Եկեք հաշվարկենք ֆունկցիայի արժեքը որոշ այլ կետերում, որպեսզի ավելի ճշգրիտ կառուցենք գրաֆիկ:

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Ստացված տվյալների հիման վրա կկառուցենք գրաֆիկ, այն կլրացնենք x=1x=1 (կապույտ), y=−x−1y=−x−1 (կանաչ) ասիմպտոտներով և կնշենք բնորոշ կետերը (y-ի հետ հատումը. - առանցքը մանուշակագույն է, ծայրերը՝ նարնջագույն, լրացուցիչ կետերը՝ սև):

Առաջադրանք 4. Երկրաչափական, տնտեսական խնդիրներ (պատկերացում չունեմ, թե ինչ, ահա խնդիրների մոտավոր ընտրություն՝ լուծումներով և բանաձևերով)

Օրինակ 3.23. ա

Լուծում. xԵվ y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2: Քանի որ x = a/4-ը միակ կրիտիկական կետն է, եկեք ստուգենք, թե արդյոք ածանցյալի նշանը փոխվում է այս կետով անցնելիս։ xa/4 S «> 0, իսկ x >a/4 S»-ի համար< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет ամենաբարձր արժեքըգործառույթները։ Այսպիսով, կայքի առավել բարենպաստ հարաբերակցությունը խնդրի տվյալ պայմաններում y = 2x է:

Օրինակ 3.24.

Լուծում.
R = 2, H = 16/4 = 4:

Օրինակ 3.22.Գտե՛ք f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ֆունկցիայի ծայրահեղությունը:

Լուծում.Քանի որ f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), ապա ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը x 1 \u003d 2 և x 2 \u003d 3: Ծայրահեղ կետերը կարող են լինել միայն այս կետերում: Այսպիսով, երբ x 1 \u003d 2 կետով անցնելիս ածանցյալը փոխում է նշանը գումարածից մինուսի, ապա այս պահին ֆունկցիան ունի առավելագույնը: Երբ անցնում է x 2 \u003d 3 կետով, ածանցյալը փոխում է նշանը մինուսից դեպի գումարած, հետևաբար, x 2 \u003d 3 կետում ֆունկցիան ունի նվազագույն: Ֆունկցիայի արժեքների հաշվարկը կետերով
x 1 = 2 և x 2 = 3, մենք գտնում ենք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը՝ առավելագույնը f(2) = 14 և նվազագույնը f(3) = 13:

Օրինակ 3.23.Մոտակայքում անհրաժեշտ է ուղղանկյուն տարածք կառուցել քարե պատայնպես, որ երեք կողմից պարսպապատված էր մետաղյա ցանցով, իսկ չորրորդ կողմից՝ կից պատին։ Դրա համար կա ա վազող մետրցանցեր. Ինչ հարաբերակցությամբ կունենա հարթակը ամենամեծ տարածքը?

Լուծում.Նշեք կայքի կողմերը միջով xԵվ y. Կայքի տարածքը S = xy է: Թող լինի yպատին հարող կողմի երկարությունն է։ Այնուհետև, ըստ պայմանի, պետք է լինի 2x + y = a հավասարությունը: Հետևաբար y = a - 2x և S = x(a - 2x), որտեղ
0 ≤ x ≤ a/2 (տարածքի երկարությունը և լայնությունը չեն կարող բացասական լինել): S "= a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4-ի համար, որտեղից
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2: Քանի որ x = a/4-ը միակ կրիտիկական կետն է, եկեք ստուգենք, թե արդյոք ածանցյալի նշանը փոխվում է այս կետով անցնելիս։ xa/4 S «> 0, իսկ x >a/4 S»-ի համար< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Օրինակ 3.24.Պահանջվում է V=16p ≈ 50 մ 3 տարողությամբ փակ գլանաձեւ բաք։ Ինչպիսի՞ն պետք է լինի տանկի չափերը (շառավիղ R և բարձրություն H), որպեսզի դրա արտադրության համար օգտագործվի նվազագույն քանակությամբ նյութ:

Լուծում.Մխոցի ընդհանուր մակերեսը S = 2pR (R + H): Մենք գիտենք մխոցի ծավալը V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2: Հետևաբար, S(R) = 2p(R 2 +16/R): Մենք գտնում ենք այս ֆունկցիայի ածանցյալը.
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 R 3 \u003d 8-ի համար, հետևաբար,
R = 2, H = 16/4 = 4:

Նմանատիպ տեղեկատվություն.