տուն-Հովանոցներ և հովանոցներ-Բնական թվերի պատկերում թվային տողի վրա կետերով: Թվի մոդուլ (թվի բացարձակ արժեք), սահմանումներ, օրինակներ, հատկություններ

Բնական թվերի պատկերում թվային տողի վրա կետերով: Թվի մոդուլ (թվի բացարձակ արժեք), սահմանումներ, օրինակներ, հատկություններ

Մենք արդեն գիտենք, որ $R$ իրական թվերի բազմությունը կազմված է ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերից։

Ռացիոնալ թվերը միշտ կարող են ներկայացվել որպես տասնորդական (վերջավոր կամ անվերջ պարբերական):

Իռացիոնալ թվերը գրվում են որպես անվերջ, բայց չկրկնվող տասնորդականներ:

$R$ իրական թվերի բազմությունը ներառում է նաև $-\infty $ և $+\infty $ տարրերը, որոնց համար անհավասարությունները $-\infty

Դիտարկենք իրական թվերը ներկայացնելու ուղիները:

Ընդհանուր կոտորակներ

Սովորական կոտորակները գրվում են երկու բնական թվերի և հորիզոնական կոտորակային տողի միջոցով: Կոտորակի բարը իրականում փոխարինում է բաժանման նշանին: Գծից ներքեւ գտնվող թիվը հայտարարն է (բաժանարարը), տողից վերեւ գտնվող թիվը համարիչն է (բաժանելի):

Սահմանում

Կոտորակը կոչվում է պատշաճ, եթե նրա համարիչը փոքր է հայտարարից: Ընդհակառակը, կոտորակը կոչվում է անպատշաճ, եթե նրա համարիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարին:

Սովորական կոտորակների համար կան պարզ, գործնականում ակնհայտ համեմատման կանոններ ($m$,$n$,$p$ բնական թվեր են).

  1. նույն հայտարարներով երկու կոտորակներից ավելի մեծ համարիչ ունեցողը ավելի մեծ է, այսինքն $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ $m>n$-ի համար;
  2. նույն համարիչներով երկու կոտորակներից ավելի փոքր հայտարար ունեցողը ավելի մեծ է, այսինքն $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ $ m-ի դիմաց:
  3. ճիշտ կոտորակը միշտ մեկից փոքր է. ոչ պատշաճ կոտորակը միշտ մեկից մեծ է. Կոտորակը, որի համարիչը հավասար է հայտարարին, հավասար է մեկի.
  4. Ցանկացած ոչ պատշաճ կոտորակ ավելի մեծ է, քան ցանկացած պատշաճ կոտորակ:

Տասնորդական թվեր

Տասնորդական թվի (տասնորդական կոտորակի) նշումն ունի ձև՝ ամբողջ թիվ, տասնորդական կետ, կոտորակային մաս։ Սովորական կոտորակի տասնորդական նշումը կարելի է ստանալ՝ համարիչի «անկյունը» բաժանելով հայտարարի վրա։ Սա կարող է հանգեցնել կամ վերջավոր տասնորդական կոտորակի կամ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակի:

Սահմանում

Կոտորակային թվանշանները կոչվում են տասնորդական թվեր: Տվյալ դեպքում տասնորդական կետից հետո առաջին նիշը կոչվում է տասներորդական, երկրորդը՝ հարյուրերորդական, երրորդը՝ հազարերորդական թվանշան և այլն։

Օրինակ 1

Մենք որոշում ենք 3.74 տասնորդական թվի արժեքը: Մենք ստանում ենք՝ $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $:

Տասնորդական թիվը կարող է կլորացվել: Այս դեպքում դուք պետք է նշեք այն թվանշանը, որով կատարվում է կլորացումը:

Կլորացման կանոնը հետևյալն է.

  1. այս թվի աջ կողմում գտնվող բոլոր թվանշանները փոխարինվում են զրոներով (եթե այդ թվերը տասնորդական կետից առաջ են) կամ հանվում են (եթե այդ թվերը տասնորդական կետից հետո են).
  2. եթե տրված թվանշանին հաջորդող առաջին նիշը 5-ից փոքր է, ապա այս թվանշանի թվանշանը չի փոխվում.
  3. եթե տրված թվանշանին հաջորդող առաջին նիշը 5 կամ ավելի է, ապա այս թվի թվանշանը մեծանում է մեկով։

Օրինակ 2

  1. 17302 թիվը կլորացնենք մոտակա հազարին՝ 17000։
  2. Կլորացնենք 17378 թիվը մոտակա հարյուրին՝ 17400։
  3. 17378.45 թիվը կլորացնենք տասնյակների՝ 17380։
  4. Կլորացնենք 378.91434 թիվը մինչև հարյուրերորդականը՝ 378.91։
  5. Կլորացնենք 378.91534 թիվը մինչև հարյուրերորդականը՝ 378.92։

Տասնորդական թիվը սովորական կոտորակի վերածելը:

Դեպք 1

Տասնորդական թիվը վերջացող տասնորդական է:

Փոխակերպման մեթոդը ներկայացված է հետևյալ օրինակում.

Օրինակ 2

Մենք ունենք՝ $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $:

Կրճատեք ընդհանուր հայտարարի և ստացեք.

Կոտորակը կարող է կրճատվել՝ $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $:

Դեպք 2

Տասնորդական թիվը անսահման կրկնվող տասնորդական է:

Փոխակերպման մեթոդը հիմնված է այն փաստի վրա, որ պարբերական տասնորդական կոտորակի պարբերական մասը կարելի է համարել որպես անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումար։

Օրինակ 4

$0,\left(74\աջ)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $: Պրոգրեսիայի առաջին անդամը $a=0.74$ է, պրոգրեսիայի հայտարարը՝ $q=0.01$։

Օրինակ 5

$0,5\ձախ(8\աջ)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Պրոգրեսիայի առաջին անդամը $a=0.08$ է, պրոգրեսիայի հայտարարը՝ $q=0.1$։

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանների գումարը հաշվարկվում է $s=\frac(a)(1-q) $ բանաձևով, որտեղ $a$-ը առաջին անդամն է, իսկ $q$-ը՝ $ պրոգրեսիայի հայտարարը: \ձախ (0

Օրինակ 6

Եկեք փոխարկենք անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակը $0,\left(72\right)$ կանոնավորի։

Պրոգրեսիայի առաջին անդամը $a=0.72$ է, պրոգրեսիայի հայտարարը՝ $q=0.01$։ Մենք ստանում ենք. ) (11) $. Այսպիսով, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $:

Օրինակ 7

Եկեք փոխարկենք անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակը $0.5\ձախ(3\աջ)$ կանոնավորի։

Պրոգրեսիայի առաջին անդամը $a=0.03$ է, պրոգրեսիայի հայտարարը՝ $q=0.1$։ Մենք ստանում ենք. ) (30) $.

Այսպիսով, $0.5 \ ձախ (3 \ աջ) = \ frac (5) (10) +\ frac (1) (30) =\ frac (5 \ cdot 3) (10 \ cdot 3) +\ frac ( 1) (30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $:

Իրական թվերը կարելի է ներկայացնել թվային տողի կետերով:

Այս դեպքում մենք թվային առանցքը անվանում ենք անսահման գիծ, ​​որի վրա ընտրված են սկզբնակետը (կետ $O$), դրական ուղղությունը (նշված է սլաքով) և սանդղակը (արժեքները ցուցադրելու համար)։

Բոլոր իրական թվերի և թվային առանցքի բոլոր կետերի միջև կա մեկ առ մեկ համապատասխանություն. յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է մեկ թվի և, ընդհակառակը, յուրաքանչյուր թիվ համապատասխանում է մեկ կետի: Հետևաբար, իրական թվերի բազմությունը շարունակական է և անվերջ այնպես, ինչպես թվային տողը շարունակական է և անվերջ:

Իրական թվերի բազմության որոշ ենթաբազմություններ կոչվում են թվային միջակայքեր։ Թվային միջակայքի տարրերը $x\in R$ թվերն են, որոնք բավարարում են որոշակի անհավասարություն։ Թող $a\in R$, $b\in R$ և $a\le b$: Այս դեպքում բացերի տեսակները կարող են լինել հետևյալը.

  1. $\ձախ(a,\; b\աջ)$ ընդմիջում: Միաժամանակ $ ա
  2. Հատված $\left$: Ընդ որում՝ $a\le x\le b$։
  3. Կիսաբաժիններ կամ կիսամյակային ընդմիջումներ $\left$: Միևնույն ժամանակ $ a \le x
  4. Անսահման տարածություններ, օրինակ՝ $a

Մեծ նշանակություն ունի նաև մի տեսակ ինտերվալ, որը կոչվում է կետի հարևանություն։ Տրված $x_(0) \in R$ կետի հարևանությունը $\left(a,\; b\right)$ կամայական ինտերվալ է, որը պարունակում է այս կետը իր ներսում, այսինքն $a 0$ - 10-րդ շառավիղը։

Թվի բացարձակ արժեքը

$x$ իրական թվի բացարձակ արժեքը (կամ մոդուլը) ոչ բացասական իրական թիվ է $\left|x\right|$, որը սահմանվում է բանաձևով. $\left|x\right|=\left\(\ սկիզբ (զանգված) (գ) (\; \; x\; \; (\rm միացված)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm միացված)\; \; x

Երկրաչափական առումով $\left|x\right|$-ը նշանակում է իրական առանցքի վրա գտնվող $x$ և 0 կետերի միջև հեռավորությունը:

Բացարձակ արժեքների հատկությունները.

  1. սահմանումից հետևում է, որ $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
  2. գումարի մոդուլի և երկու թվերի տարբերության մոդուլի համար անհավասարությունները $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ անհավասարությունները ձախ|x-y\աջ|\le \ձախ|x\աջ|+\ձախ|y\աջ|$ և նաև $\ձախ|x+y\աջ|\ge \ձախ|x\աջ|-\ձախ|y \աջ|$,$\ ձախ|x-y\աջ|\ge \ձախ|x\աջ|-\ձախ|y\աջ|$;
  3. արտադրյալի մոդուլը և երկու թվերի քանորդի մոդուլը բավարարում են $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ և $\left հավասարությունները |\frac(x)(y) \աջ|=\frac(\ձախ|x\աջ|)(\ձախ|y\աջ|) $:

Հիմնվելով $a>0$ կամայական թվի բացարձակ արժեքի սահմանման վրա՝ կարելի է հաստատել նաև հետևյալ զույգ անհավասարությունների համարժեքությունը.

  1. եթե $ \ձախ|x\աջ|
  2. եթե $\left|x\right|\le a$ ապա $-a\le x\le a$;
  3. եթե $\left|x\right|>a$, ապա կամ $xa$;
  4. եթե $\left|x\right|\ge a$, ապա կամ $x\le -a$ կամ $x\ge a$:

Օրինակ 8

Լուծե՛ք $\left|2\cdot x+1\right| անհավասարությունը

Այս անհավասարությունը համարժեք է $-7 անհավասարություններին

Այստեղից մենք ստանում ենք՝ $-8

Թվային ուղիղ, թվային առանցք, այն ուղիղն է, որի վրա պատկերված են իրական թվեր։ Ուղիղ գծի վրա ընտրվում է սկզբնակետը՝ O կետը (O կետը ներկայացնում է 0) և L կետը, որը ներկայացնում է միավորը։ L կետը սովորաբար կանգնած է O կետից աջ: OL հատվածը կոչվում է միավորի հատված:

O կետի աջ կողմում գտնվող կետերը ներկայացնում են դրական թվեր: Կետերը ձախ կողմում են: Oh, պատկերեք բացասական թվեր: Եթե ​​X կետը ներկայացնում է դրական x թիվ, ապա հեռավորությունը OX = x: Եթե ​​X կետը ներկայացնում է x բացասական թիվ, ապա հեռավորությունը OX = - x:

Ուղիղ գծի վրա կետի դիրքը ցույց տվող թիվը կոչվում է այս կետի կոորդինատ։

Նկարում ներկայացված V կետն ունի 2 կոորդինատ, իսկ H կետը՝ -2,6:

Իրական թվի մոդուլը սկզբից մինչև այս թվին համապատասխան կետի հեռավորությունն է։ Նշեք x թվի մոդուլը, ուստի՝ | x |. Ակնհայտորեն, | 0 | = 0.

Եթե ​​x թիվը մեծ է 0-ից, ապա | x | = x, իսկ եթե x-ը փոքր է 0-ից, ապա | x | = - x. Մոդուլի այս հատկությունների վրա հիմնված է մոդուլի հետ բազմաթիվ հավասարումների և անհավասարությունների լուծումը:

Օրինակ՝ Լուծել հավասարումը | x - 3 | = 1.

Լուծում. Դիտարկենք երկու դեպք՝ առաջին դեպքը, երբ x -3 > 0, և երկրորդ դեպքը, երբ x - 3 0:

1. x - 3 > 0, x > 3.

Այս դեպքում | x - 3 | = x - 3.

Հավասարումը ստանում է x - 3 \u003d 1, x \u003d 4 ձևը: 4\u003e 3 - բավարարում է առաջին պայմանը:

2. x -3 0, x 3.

Այս դեպքում | x - 3 | = - x + 3

Հավասարումն ընդունում է x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2 ձևը: -2 3 - բավարարում է երկրորդ պայմանը:

Պատասխան՝ x = 4, x = -2:

Թվային արտահայտություններ.

Թվային արտահայտությունը մեկ կամ մի քանի թվերի և ֆունկցիաների հավաքածու է, որոնք միացված են թվաբանական օպերատորներով և փակագծերով:
Թվային արտահայտությունների օրինակներ.

Թվային արտահայտության արժեքը թիվ է։
Թվային արտահայտության մեջ գործողությունները կատարվում են հետևյալ հաջորդականությամբ.

1. Գործողությունները փակագծերում:

2. Ֆունկցիաների հաշվարկ.

3. Ցուցադրում

4. Բազմապատկում և բաժանում.

5. Գումարում և հանում.

6. Նույն տիպի գործողությունները կատարվում են ձախից աջ:

Այսպիսով, առաջին արտահայտության արժեքը կլինի ինքնին թիվը 12.3
Երկրորդ արտահայտության արժեքը հաշվարկելու համար մենք գործողությունները կկատարենք հետևյալ հաջորդականությամբ.



1. Փակագծերում արված գործողությունները կատարե՛ք հետևյալ հաջորդականությամբ՝ սկզբում 2-ը բարձրացնում ենք երրորդ աստիճանի, ապա ստացված թվից հանում ենք 11.

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. 3-ը բազմապատկել 4-ով:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Կատարեք գործողությունները հաջորդաբար ձախից աջ.

12 + (-3) = 9.
Փոփոխականներով արտահայտությունը մեկ կամ մի քանի թվերի, փոփոխականների և ֆունկցիաների հավաքածու է, որոնք միացված են թվաբանական օպերատորներով և փակագծերով: Փոփոխականներով արտահայտությունների արժեքները կախված են դրանում ներառված փոփոխականների արժեքներից: Գործողությունների հաջորդականությունն այստեղ նույնն է, ինչ թվային արտահայտությունների համար: Երբեմն օգտակար է պարզեցնել արտահայտությունները փոփոխականներով՝ կատարելով տարբեր գործողություններ՝ փակագծեր, փակագծերի ընդլայնում, խմբավորում, կոտորակների կրճատում, համանմանների կրճատում և այլն։ Նաև արտահայտությունները պարզեցնելու համար հաճախ օգտագործվում են տարբեր բանաձևեր, օրինակ՝ կրճատված բազմապատկման բանաձևեր, տարբեր ֆունկցիաների հատկություններ և այլն։

Հանրահաշվական արտահայտություններ.

Հանրահաշվական արտահայտությունը մեկ կամ մի քանի հանրահաշվական մեծություններ է (թվեր և տառեր), որոնք փոխկապակցված են հանրահաշվական գործողությունների նշաններով. լինեն ամբողջ թվեր) և այդ գործողությունների հաջորդականության նշանները (սովորաբար տարբեր տեսակի փակագծեր): Հանրահաշվական արտահայտության մեջ ներառված արժեքների թիվը պետք է լինի վերջավոր:

Հանրահաշվական արտահայտության օրինակ.

«Հանրահաշվային արտահայտությունը» շարահյուսական հասկացություն է, այսինքն՝ ինչ-որ բան հանրահաշվական արտահայտություն է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն ենթարկվում է որոշակի քերականական կանոնների (տես Ֆորմալ քերականություն)։ Եթե ​​հանրահաշվական արտահայտության տառերը համարվում են փոփոխականներ, ապա հանրահաշվական արտահայտությունը ձեռք է բերում հանրահաշվական ֆունկցիայի իմաստ։

Թիվ 1. Ռացիոնալ թվերի հատկությունները.

կարգուկանոն . Ցանկացած ռացիոնալ թվերի համար և կա մի կանոն, որը թույլ է տալիս եզակիորեն նույնականացնել դրանց միջև երեքից միայն մեկը և մեկը հարաբերություններ: "", "" կամ "". Այս կանոնը կոչվում է պատվիրման կանոնև ձևակերպված է հետևյալ կերպ. երկու դրական թվեր միացված են նույն առնչությամբ, ինչ երկու ամբողջ թիվ; երկու ոչ դրական թվեր և կապված են նույն հարաբերակցությամբ, ինչ երկու ոչ բացասական թվեր և. եթե հանկարծ ոչ թե բացասական, այլ բացասական, ապա.

կոտորակների գումարում

Ավելացման գործողություն . գումարման կանոն, որը դրանք համապատասխանեցնում է ինչ-որ ռացիոնալ թվի հետ։ Այս դեպքում համարն ինքնին կոչվում է գումարը թվերը նշանակվում է u, և կոչվում է այդպիսի թվի հայտնաբերման գործընթացը ամփոփում. Գումարի կանոնն ունի հետևյալ ձևը. .

բազմապատկման գործողություն . Ցանկացած ռացիոնալ թվերի համար եւ կա այսպես կոչված բազմապատկման կանոն, որը դրանք համապատասխանեցնում է ինչ-որ ռացիոնալ թվի հետ։ Այս դեպքում համարն ինքնին կոչվում է աշխատանք Նշվում է թվերը ii, և կոչվում է նաև այդպիսի թվի հայտնաբերման գործընթացը բազմապատկում. Բազմապատկման կանոնը հետևյալն է. .

Անցումային պատվերի հարաբերություններ.Ռացիոնալ թվերի ցանկացած եռակի համար, և եթե պակաս է և պակաս, ապա պակաս, և եթե հավասար և հավասար է, ապա հավասար:

փոխադարձություն հավելում.Ռացիոնալ տերմինների տեղերի փոփոխությունից գումարը չի փոխվում։

Ասոցիատիվություն հավելում.Երեք ռացիոնալ թվերի գումարման հերթականությունը չի ազդում արդյունքի վրա։

Հասանելիությունզրո . Գոյություն ունի 0 ռացիոնալ թիվ, որը գումարելիս պահպանում է բոլոր մյուս ռացիոնալ թիվը:

Հակառակ թվերի առկայությունը.Ցանկացած ռացիոնալ թիվ ունի հակադիր ռացիոնալ թիվ, որը գումարելիս տալիս է 0:

Բազմապատկման փոխադարձություն.Ռացիոնալ գործոնների տեղերը փոխելով՝ ապրանքը չի փոխվում։

Բազմապատկման ասոցիատիվություն.Երեք ռացիոնալ թվերի բազմապատկման կարգը չի ազդում արդյունքի վրա։

Հասանելիությունմիավորներ . Կա ռացիոնալ թիվ 1, որը պահպանում է յուրաքանչյուր այլ ռացիոնալ թիվ, երբ բազմապատկվում է:

Հասանելիությունփոխադարձ թվեր . Ցանկացած ոչ զրոյական ռացիոնալ թիվ ունի հակադարձ ռացիոնալ թիվ, որի բազմապատկումը տալիս է 1:

բաշխվածություն բազմապատկում գումարման նկատմամբ.Բազմապատկման գործողությունը համահունչ է բաշխման օրենքի միջոցով գումարման գործողությանը.

Պատվերի հարաբերության կապը հավելման գործողության հետ.Նույն ռացիոնալ թիվը կարելի է ավելացնել ռացիոնալ անհավասարության ձախ և աջ կողմերին:

Պատվերի կապի կապը բազմապատկման գործողության հետ.Ռացիոնալ անհավասարության ձախ և աջ կողմերը կարելի է բազմապատկել նույն դրական ռացիոնալ թվով։

Արքիմեդի աքսիոմա . Ինչ էլ որ լինի ռացիոնալ թիվը, դուք կարող եք վերցնել այնքան միավոր, որ դրանց գումարը գերազանցի:

Թիվ 2. Իրական թվի մոդուլ.

Սահմանում . Ոչ բացասական իրական x-ի մոդուլն ինքնին թիվն է՝ | x | = x; x բացասական իրական թվի մոդուլը հակառակ թիվն է՝ I x | = - x.

Մի խոսքով, գրված է այսպես.

2. Իրական թվի մոդուլի երկրաչափական նշանակությունը

Վերադառնանք իրական թվերի R բազմությանը և դրա երկրաչափությանը մոդելներ- թվային գիծ. Մենք տողի վրա նշում ենք a և b երկու կետերը (երկու իրական թվեր a և b), նշում ենք (a, b) կետերի միջև հեռավորությունը (- հունական այբուբենի «ro» տառը): Այս հեռավորությունը հավասար է b - a, եթե b > a (նկ. 101), հավասար է a - b, եթե a > b (նկ. 102), վերջապես, այն զրո է, եթե a = b:

Բոլոր երեք դեպքերն էլ ընդգրկված են մեկ բանաձևով.

բ) Հավասարում | x + 3.2 | = 2 վերաշարադրել ձևով | x - (- 3.2) | \u003d 2 և հետագա (x, - 3.2) \u003d 2. Կոորդինատների գծի վրա կա երկու կետ, որոնք հեռացվում են 3.2 կետից 2-ի հավասար հեռավորության վրա: Սրանք կետեր են - 5.2 և - 1.2 (Նկար . 104): Այսպիսով, հավասարումը ունի երկու արմատ-5.2 և -1.2:

№4.ԻՐԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԿԱԶՄ

Ռացիոնալ թվերի բազմության և իռացիոնալ թվերի բազմության միավորումը կոչվում է բազմություն վավեր (կամ նյութական ) թվեր . Իրական թվերի բազմությունը նշանակվում է նշանով Ռ. Ակնհայտորեն, .

Իրական թվերը ցուցադրվում են թվային առանցք Օ՜կետեր (նկ.): Այս դեպքում յուրաքանչյուր իրական թիվ համապատասխանում է թվային առանցքի որոշակի կետի, իսկ առանցքի յուրաքանչյուր կետին համապատասխանում է որոշակի իրական թվի։

Ուստի «իրական թիվ» բառերի փոխարեն կարելի է ասել «կետ»։

Թիվ 5. թվային բացեր.

Բաց տեսակը

երկրաչափական պատկերներ

Նշանակում

Անհավասարություններ օգտագործելով գրելը

Ինտերվալ

Կես ընդմիջում

Կես ընդմիջում

բաց ճառագայթ

բաց ճառագայթ

Թիվ 6. Թվային ֆունկցիա.

Թող տրվի մի շարք, եթե յուրաքանչյուր համարին վերագրվի մեկ համար y, ապա մենք ասում ենք, որ նկարահանման հրապարակում Դթվային ֆունկցիան :

y = զ (x),

Մի փունջ Դկանչեց գործառույթի շրջանակը և նշվում է Դ (զ (x)): Բոլոր տարրերի հավաքածու զ (x), որտեղ կոչվում է ֆունկցիայի տիրույթ և նշվում է Ե (զ (x)).

Թիվ xհաճախ զանգահարել ֆունկցիայի փաստարկ կամ անկախ փոփոխական, և թիվը y- կախված փոփոխական կամ, ըստ էության, ֆունկցիան փոփոխական x. Արժեքին համապատասխան թիվը կոչվում է ֆունկցիայի արժեքը մի կետում և նշանակում կամ

Գործառույթ սահմանելու համար զ, անհրաժեշտ է նշել.

1) դրա սահմանման տիրույթը Դ (զ (x));

2) նշեք կանոնը զ, ըստ որի յուրաքանչյուր արժեք կապված է ինչ-որ արժեքի հետ y = զ (x).

№7. հակադարձ ֆունկցիա,

Հակադարձ ֆունկցիա

Եթե ​​արգումենտի և ֆունկցիայի դերերը հակադարձված են, ապա xդառնում է ֆունկցիա y. Այս դեպքում խոսվում է նոր ֆունկցիայի մասին, որը կոչվում է հակադարձ ֆունկցիա։Ենթադրենք, մենք ունենք ֆունկցիա.

v = u 2 ,

որտեղ u- փաստարկ, ա v- գործառույթ: Եթե ​​փոխենք նրանց դերերը, կստանանք u որպես ֆունկցիա v :

Եթե ​​երկու ֆունկցիաներում էլ արգումենտը նշանակենք որպես x , և գործառույթի միջոցով y, ապա մենք ունենք երկու գործառույթ.

որոնցից յուրաքանչյուրը մյուսի հակառակն է:

ՕՐԻՆՆԵՐ. Այս գործառույթները հակադարձ են միմյանց.

1) մեղք xեւ arcsin x, քանի որ եթե y= մեղք x, ապա x= Arcsin y;

2) cos xև Արկկոսը x, քանի որ եթե y= cos x, ապա x= Arccos y;

3) թան xեւ Arctan x, քանի որ եթե y= թան x, ապա x= Արկտան y;

4) ե xև ln x, քանի որ եթե y= ե x, ապա x=ln y.

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ- մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, որոնք հակադարձ են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին: Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները սովորաբար ներառում են վեց ֆունկցիա.

    arcsine(խորհրդանիշը: arcsin)

    աղեղային կոսինուս(խորհրդանիշը՝ arccos)

    աղեղային շոշափող(նշումը՝ arctg; արտասահմանյան գրականության մեջ arctan)

    աղեղային շոշափող(նշումը՝ arcctg; արտասահմանյան գրականության մեջ arccotan)

    կամարակապ(խորհրդանիշը՝ arcsec)

    arccosecant(նշումը՝ arccosec; արտասահմանյան գրականության մեջ arccsc)

№8. Հիմնական տարրական գործառույթներ. Տարրական գործառույթներ

Հարկ է նշել, որ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները բազմարժեք են (անսահման նշանակալի), դրանց հետ աշխատելիս օգտագործվում են այսպես կոչված հիմնական արժեքները։

№9. Կոմպլեքս թվեր

գրվում են այսպես. ա+ երկ. Այստեղ աև բ – իրական թվեր, ա ես – երևակայական միավոր, այսինքն. ես 2 = –1. Թիվ ա կանչեց abscissa, ա բ – օրդինալհամալիր համարը ա+ բ.ի. Երկու կոմպլեքս թվեր ա+ երկ և ա – երկ կանչեց զուգորդելկոմպլեքս թվեր.

Իրական թվերը կարող են ներկայացվել ուղիղ գծի կետերով, ինչպես ցույց է տրված նկարում, որտեղ A կետը ներկայացնում է 4 թիվը, իսկ B կետը ներկայացնում է -5 թիվը: Նույն թվերը կարելի է ներկայացնել նաև OA, OB հատվածներով՝ հաշվի առնելով ոչ միայն դրանց երկարությունը, այլև ուղղությունը։

Թվային ուղիղի յուրաքանչյուր կետ M պատկերում է իրական թվեր (ռացիոնալ, եթե OM հատվածը համադրելի է երկարության միավորի հետ, և իռացիոնալ, եթե այն անհամեմատելի է): Այսպիսով, թվային տողում տեղ չկա բարդ թվերի համար։

Բայց կոմպլեքս թվերը կարելի է ներկայացնել թվային հարթության վրա: Դա անելու համար մենք ընտրում ենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հարթության վրա՝ երկու առանցքների վրա նույն մասշտաբով:

Կոմպլեքս համարը a + b iներկայացված է M կետով, որում x աբսցիսան հավասար է աբսցիսային ակոմպլեքս թիվ, իսկ y-ի օրդինատը հավասար է օրդինատին բհամալիր համարը.

Այս հոդվածում մենք մանրամասն կվերլուծենք թվի բացարձակ արժեքը. Մենք կտանք թվի մոդուլի տարբեր սահմանումներ, կներկայացնենք նշում և կտանք գրաֆիկական նկարազարդումներ: Այս դեպքում մենք դիտարկում ենք թվի մոդուլը ըստ սահմանման գտնելու տարբեր օրինակներ։ Դրանից հետո մենք թվարկում և հիմնավորում ենք մոդուլի հիմնական հատկությունները։ Հոդվածի վերջում մենք կխոսենք այն մասին, թե ինչպես է որոշվում և գտնվում բարդ թվի մոդուլը։

Էջի նավարկություն.

Թվի մոդուլ - սահմանում, նշում և օրինակներ

Նախ ներկայացնում ենք մոդուլի նշանակում. a թվի մոդուլը կգրվի որպես , այսինքն՝ թվից ձախ և աջ կդնենք ուղղահայաց գծեր, որոնք կազմում են մոդուլի նշանը։ Բերենք մի երկու օրինակ։ Օրինակ, modulo -7-ը կարող է գրվել որպես ; 4,125 մոդուլը գրված է որպես , իսկ մոդուլը գրված է որպես .

Մոդուլի հետևյալ սահմանումը վերաբերում է, հետևաբար, և ամբողջ թվերին, և ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերին, ինչպես իրական թվերի բազմության բաղկացուցիչ մասերին: Մենք կխոսենք բարդ թվի մոդուլի մասին:

Սահմանում.

Ա-ի մոդուլըկամ ինքնին a թիվն է, եթե a-ն դրական թիվ է, կամ −a թիվը՝ a թվի հակառակը, եթե a-ն բացասական թիվ է, կամ 0, եթե a=0:

Թվի մոդուլի բարձրաձայնված սահմանումը հաճախ գրվում է հետևյալ ձևով , այս նշումը նշանակում է, որ եթե a>0 , եթե a=0 , և եթե a<0 .

Գրառումը կարող է ներկայացվել ավելի կոմպակտ ձևով . Այս նշումը նշանակում է, որ եթե (a-ն մեծ է կամ հավասար է 0-ին), և եթե a<0 .

Կա նաև ռեկորդ . Այստեղ պետք է առանձին բացատրել այն դեպքը, երբ a=0: Այս դեպքում ունենք , բայց −0=0, քանի որ զրո համարվում է իրեն հակադիր թիվ։

Եկեք բերենք թվի մոդուլը գտնելու օրինակներտրված սահմանմամբ։ Օրինակ՝ եկեք գտնենք 15 և . Սկսենք գտնելուց: Քանի որ 15 թիվը դրական է, նրա մոդուլը, ըստ սահմանման, հավասար է հենց այս թվին, այսինքն՝ . Որքա՞ն է թվի մոդուլը: Քանի որ բացասական թիվ է, ուրեմն դրա մոդուլը հավասար է թվին հակառակ թվին, այսինքն՝ թվին . Այսպիսով, .

Այս պարբերության վերջում տալիս ենք մեկ եզրակացություն, որը շատ հարմար է գործնականում կիրառել թվի մոդուլը գտնելիս։ Թվի մոդուլի սահմանումից բխում է, որ թվի մոդուլը հավասար է մոդուլի նշանի տակ գտնվող թվին, անկախ նրա նշանից, և վերը քննարկված օրինակներից դա շատ պարզ երևում է։ Հնչած հայտարարությունը բացատրում է, թե ինչու է կոչվում նաև թվի մոդուլը թվի բացարձակ արժեքը. Այսպիսով, թվի մոդուլը և թվի բացարձակ արժեքը նույնն են:

Թվի մոդուլը որպես հեռավորություն

Երկրաչափական առումով թվի մոդուլը կարելի է մեկնաբանել այսպես հեռավորությունը. Եկեք բերենք հեռավորության առումով թվի մոդուլի որոշում.

Սահմանում.

Ա-ի մոդուլըկոորդինատային գծի սկզբնակետից a թվին համապատասխանող կետի հեռավորությունն է։

Այս սահմանումը համահունչ է առաջին պարբերությունում տրված թվի մոդուլի սահմանմանը: Եկեք բացատրենք այս կետը: Հեռավորությունը սկզբից մինչև դրական թվին համապատասխանող կետը հավասար է այս թվին։ Զրոն համապատասխանում է սկզբնակետին, ուստի սկզբնակետից մինչև 0 կոորդինատով կետ հեռավորությունը զրո է (միավոր հատվածի որևէ հատված կազմող ոչ մի հատված և ոչ մի հատված պետք չէ հետաձգել՝ O կետից դեպի կետ հասնելու համար։ 0 կոորդինատով): Հեռավորությունը սկզբնակետից մինչև բացասական կոորդինատ ունեցող կետը հավասար է տվյալ կետի կոորդինատին հակառակ թվին, քանի որ այն հավասար է սկզբնակետից մինչև այն կետը, որի կոորդինատը հակառակ թիվն է։

Օրինակ՝ 9 թվի մոդուլը 9 է, քանի որ սկզբնակետից մինչև 9 կոորդինատով կետի հեռավորությունը ինը է։ Բերենք մեկ այլ օրինակ. −3.25 կոորդինատով կետը գտնվում է O կետից 3.25 հեռավորության վրա, ուստի .

Թվի մոդուլի հնչեցված սահմանումը երկու թվերի տարբերության մոդուլը որոշելու հատուկ դեպք է։

Սահմանում.

Երկու թվերի տարբերության մոդուլ a և b հավասար է a և b կոորդինատներով կոորդինատային գծի կետերի հեռավորությանը:


Այսինքն, եթե A(a) և B(b) կոորդինատային ուղղի կետերը տրված են, ապա A կետից B կետ հեռավորությունը հավասար է a և b թվերի տարբերության մոդուլին։ Եթե ​​որպես B կետ վերցնենք O կետը (հղման կետ), ապա կստանանք այս պարբերության սկզբում տրված թվի մոդուլի սահմանումը։

Թվի մոդուլի որոշումը թվաբանական քառակուսի արմատի միջոցով

Երբեմն հայտնաբերվել մոդուլի որոշումը թվաբանական քառակուսի արմատի միջոցով.

Օրինակ՝ հաշվարկենք −30 թվերի մոդուլները և հիմնվելով այս սահմանման վրա. Մենք ունենք . Նմանապես, մենք հաշվարկում ենք երկու երրորդի մոդուլը. .

Թվի մոդուլի սահմանումը թվաբանական քառակուսի արմատով նույնպես համահունչ է սույն հոդվածի առաջին պարբերությունում տրված սահմանմանը։ Եկեք ցույց տանք: Թող a-ն լինի դրական թիվ, իսկ −a-ն՝ բացասական: Հետո և , եթե a=0 , ապա .

Մոդուլի հատկությունները

Մոդուլն ունի մի շարք բնորոշ արդյունքներ. մոդուլի հատկությունները. Այժմ մենք կտանք դրանցից հիմնականը և առավել հաճախ օգտագործվողը։ Այս հատկությունները հիմնավորելիս կհիմնվենք հեռավորության վրա թվի մոդուլի սահմանման վրա։

    Սկսենք մոդուլի առավել ակնհայտ հատկությունից − Թվի մոդուլը չի ​​կարող բացասական թիվ լինել. Բառացի ձևով այս հատկությունն ունի ցանկացած a թվի ձև: Այս հատկությունը շատ հեշտ է հիմնավորել՝ թվի մոդուլը հեռավորությունն է, իսկ հեռավորությունը չի կարող արտահայտվել որպես բացասական թիվ։

    Անցնենք մոդուլի հաջորդ հատկությանը։ Թվի մոդուլը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այդ թիվը զրո է. Զրոյի մոդուլը ըստ սահմանման զրո է: Զրոն համապատասխանում է սկզբնակետին, կոորդինատային գծի ոչ մի այլ կետ չի համապատասխանում զրոյին, քանի որ յուրաքանչյուր իրական թիվ կապված է կոորդինատային գծի մեկ կետի հետ: Նույն պատճառով, զրոյից բացի ցանկացած թիվ համապատասխանում է սկզբնակետից տարբեր կետի: Իսկ սկզբնակետից մինչև O կետից այլ կետ հեռավորությունը հավասար չէ զրոյի, քանի որ երկու կետերի միջև հեռավորությունը հավասար է զրոյի, եթե և միայն եթե այդ կետերը համընկնում են: Վերոնշյալ պատճառաբանությունը վկայում է, որ միայն զրոյի մոդուլը հավասար է զրոյի։

    Առաջ շարժվել. Հակառակ թվերն ունեն հավասար մոդուլներ, այսինքն՝ ցանկացած թվի համար a . Իրոք, կոորդինատային գծի երկու կետերը, որոնց կոորդինատները հակադիր թվեր են, գտնվում են սկզբից նույն հեռավորության վրա, ինչը նշանակում է, որ հակադիր թվերի մոդուլները հավասար են։

    Մոդուլի հաջորդ հատկությունը հետևյալն է. երկու թվերի արտադրյալի մոդուլը հավասար է այս թվերի մոդուլների արտադրյալին, այսինքն, . Ըստ սահմանման՝ a և b թվերի արտադրյալի մոդուլը կա՛մ a b է, եթե , կա՛մ −(a b), եթե ։ Իրական թվերի բազմապատկման կանոններից բխում է, որ a և b թվերի մոդուլների արտադրյալը հավասար է կամ a b , , կամ −(a b) , եթե , որն ապացուցում է դիտարկվող հատկությունը։

    a-ի մոդուլը b-ի բաժանելու մոդուլը հավասար է a-ի մոդուլը b-ի մոդուլին բաժանելու գործակցին., այսինքն, . Եկեք հիմնավորենք մոդուլի այս հատկությունը: Քանի որ գործակիցը հավասար է արտադրյալին, ապա . Նախկին սեփականության ուժով ունենք . Մնում է միայն օգտագործել հավասարությունը, որը վավեր է թվի մոդուլի սահմանման շնորհիվ:

    Հետևյալ մոդուլի հատկությունը գրված է որպես անհավասարություն. , a , b և c կամայական իրական թվեր են։ Գրավոր անհավասարությունը ոչ այլ ինչ է, քան եռանկյունի անհավասարություն. Որպեսզի դա պարզ լինի, վերցնենք A(a), B(b) , C(c) կետերը կոորդինատային ուղիղի վրա և դիտարկենք այլասերված եռանկյունին ABC, որի գագաթները գտնվում են նույն ուղիղի վրա: Ըստ սահմանման՝ տարբերության մոդուլը հավասար է AB հատվածի երկարությանը, AC հատվածի երկարությանը և CB հատվածի երկարությանը։ Քանի որ եռանկյան որևէ կողմի երկարությունը չի գերազանցում մյուս երկու կողմերի երկարությունների գումարը, անհավասարությունը , հետևաբար, անհավասարությունը նույնպես պահպանվում է։

    Հենց նոր ապացուցված անհավասարությունը շատ ավելի տարածված է ձևի մեջ . Գրավոր անհավասարությունը սովորաբար դիտարկվում է որպես մոդուլի առանձին հատկություն հետևյալ ձևակերպմամբ. Երկու թվերի գումարի մոդուլը չի ​​գերազանցում այս թվերի մոդուլների գումարը«. Բայց անհավասարությունն ուղղակիորեն բխում է անհավասարությունից, եթե դրա մեջ b-ի փոխարեն դնենք −b և վերցնենք c=0:

Համալիր թվերի մոդուլ

Եկեք տանք կոմպլեքս թվի մոդուլի որոշում. Թող մեզ տրվի համալիր համարը, գրված է հանրահաշվական ձևով, որտեղ x-ը և y-ը որոշ իրական թվեր են, որոնք համապատասխանաբար ներկայացնում են տրված z համալիր թվի իրական և երևակայական մասերը և երևակայական միավոր է:

Սահմանում.

Կոմպլեքս թվի մոդուլը z=x+i y կոչվում է տրված կոմպլեքս թվի իրական և երևակայական մասերի քառակուսիների գումարի թվաբանական քառակուսի արմատ։

Z կոմպլեքս թվի մոդուլը նշանակվում է որպես , ապա կոմպլեքս թվի մոդուլի հնչյունային սահմանումը կարելի է գրել այսպես. .

Այս սահմանումը թույլ է տալիս հաշվել ցանկացած բարդ թվի մոդուլը հանրահաշվական նշումով: Օրինակ, եկեք հաշվարկենք բարդ թվի մոդուլը։ Այս օրինակում կոմպլեքս թվի իրական մասը , իսկ երևակայական մասը մինուս չորսն է: Այնուհետև կոմպլեքս թվի մոդուլի սահմանմամբ ունենք .

Կոմպլեքս թվի մոդուլի երկրաչափական մեկնաբանությունը կարելի է տալ հեռավորության վրա՝ իրական թվի մոդուլի երկրաչափական մեկնաբանության անալոգիայով։

Սահմանում.

Համալիր թվերի մոդուլ z-ը բարդ հարթության սկզբից մինչև այս հարթության z թվին համապատասխանող կետն է:

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ O կետից մինչև կոորդինատներով (x, y) կետի հեռավորությունը գտնում ենք, հետևաբար, , որտեղ . Հետևաբար, կոմպլեքս թվի մոդուլի վերջին սահմանումը համընկնում է առաջինի հետ։

Այս սահմանումը նաև թույլ է տալիս անմիջապես նշել, թե ինչ է համալիր z թվի մոդուլը, եթե այն գրված է եռանկյունաչափական ձևով. կամ էքսպոնենցիալ ձևով։ Այստեղ . Օրինակ՝ կոմպլեքս թվի մոդուլը 5 է, իսկ կոմպլեքս թվի մոդուլը .

Կարելի է նաև տեսնել, որ բարդ թվի և նրա բարդ խոնարհվածի արտադրյալը տալիս է իրական և երևակայական մասերի քառակուսիների գումարը: Իսկապես, . Ստացված հավասարությունը մեզ թույլ է տալիս բարդ թվի մոդուլի ևս մեկ սահմանում տալ:

Սահմանում.

Համալիր թվերի մոդուլ z-ն այս թվի և նրա բարդ խոնարհվածի արտադրյալի թվաբանական քառակուսի արմատն է, այսինքն՝ .

Եզրափակելով՝ նշում ենք, որ համապատասխան ենթաբաժնում ձևակերպված մոդուլի բոլոր հատկությունները վավեր են նաև կոմպլեքս թվերի համար։

Մատենագիտություն.

  • Վիլենկին Ն.Յա. և այլն Մաթեմատիկա. Դասարան 6. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար.
  • Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 8 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
  • Lunts G.L., Elsgolts L.E. Կոմպլեքս փոփոխականի գործառույթները՝ դասագիրք բուհերի համար.
  • Պրիվալով Ի.Ի. Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսության ներածություն։

Մենք արդեն գիտենք, որ $R$ իրական թվերի բազմությունը կազմված է ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերից։

Ռացիոնալ թվերը միշտ կարող են ներկայացվել որպես տասնորդական (վերջավոր կամ անվերջ պարբերական):

Իռացիոնալ թվերը գրվում են որպես անվերջ, բայց չկրկնվող տասնորդականներ:

$R$ իրական թվերի բազմությունը ներառում է նաև $-\infty $ և $+\infty $ տարրերը, որոնց համար անհավասարությունները $-\infty

Դիտարկենք իրական թվերը ներկայացնելու ուղիները:

Ընդհանուր կոտորակներ

Սովորական կոտորակները գրվում են երկու բնական թվերի և հորիզոնական կոտորակային տողի միջոցով: Կոտորակի բարը իրականում փոխարինում է բաժանման նշանին: Գծից ներքեւ գտնվող թիվը հայտարարն է (բաժանարարը), տողից վերեւ գտնվող թիվը համարիչն է (բաժանելի):

Սահմանում

Կոտորակը կոչվում է պատշաճ, եթե նրա համարիչը փոքր է հայտարարից: Ընդհակառակը, կոտորակը կոչվում է անպատշաճ, եթե նրա համարիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարին:

Սովորական կոտորակների համար կան պարզ, գործնականում ակնհայտ համեմատման կանոններ ($m$,$n$,$p$ բնական թվեր են).

  1. նույն հայտարարներով երկու կոտորակներից ավելի մեծ համարիչ ունեցողը ավելի մեծ է, այսինքն $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ $m>n$-ի համար;
  2. նույն համարիչներով երկու կոտորակներից ավելի փոքր հայտարար ունեցողը ավելի մեծ է, այսինքն $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ $ m-ի դիմաց:
  3. ճիշտ կոտորակը միշտ մեկից փոքր է. ոչ պատշաճ կոտորակը միշտ մեկից մեծ է. Կոտորակը, որի համարիչը հավասար է հայտարարին, հավասար է մեկի.
  4. Ցանկացած ոչ պատշաճ կոտորակ ավելի մեծ է, քան ցանկացած պատշաճ կոտորակ:

Տասնորդական թվեր

Տասնորդական թվի (տասնորդական կոտորակի) նշումն ունի ձև՝ ամբողջ թիվ, տասնորդական կետ, կոտորակային մաս։ Սովորական կոտորակի տասնորդական նշումը կարելի է ստանալ՝ համարիչի «անկյունը» բաժանելով հայտարարի վրա։ Սա կարող է հանգեցնել կամ վերջավոր տասնորդական կոտորակի կամ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակի:

Սահմանում

Կոտորակային թվանշանները կոչվում են տասնորդական թվեր: Տվյալ դեպքում տասնորդական կետից հետո առաջին նիշը կոչվում է տասներորդական, երկրորդը՝ հարյուրերորդական, երրորդը՝ հազարերորդական թվանշան և այլն։

Օրինակ 1

Մենք որոշում ենք 3.74 տասնորդական թվի արժեքը: Մենք ստանում ենք՝ $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $:

Տասնորդական թիվը կարող է կլորացվել: Այս դեպքում դուք պետք է նշեք այն թվանշանը, որով կատարվում է կլորացումը:

Կլորացման կանոնը հետևյալն է.

  1. այս թվի աջ կողմում գտնվող բոլոր թվանշանները փոխարինվում են զրոներով (եթե այդ թվերը տասնորդական կետից առաջ են) կամ հանվում են (եթե այդ թվերը տասնորդական կետից հետո են).
  2. եթե տրված թվանշանին հաջորդող առաջին նիշը 5-ից փոքր է, ապա այս թվանշանի թվանշանը չի փոխվում.
  3. եթե տրված թվանշանին հաջորդող առաջին նիշը 5 կամ ավելի է, ապա այս թվի թվանշանը մեծանում է մեկով։

Օրինակ 2

  1. 17302 թիվը կլորացնենք մոտակա հազարին՝ 17000։
  2. Կլորացնենք 17378 թիվը մոտակա հարյուրին՝ 17400։
  3. 17378.45 թիվը կլորացնենք տասնյակների՝ 17380։
  4. Կլորացնենք 378.91434 թիվը մինչև հարյուրերորդականը՝ 378.91։
  5. Կլորացնենք 378.91534 թիվը մինչև հարյուրերորդականը՝ 378.92։

Տասնորդական թիվը սովորական կոտորակի վերածելը:

Դեպք 1

Տասնորդական թիվը վերջացող տասնորդական է:

Փոխակերպման մեթոդը ներկայացված է հետևյալ օրինակում.

Օրինակ 2

Մենք ունենք՝ $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $:

Կրճատեք ընդհանուր հայտարարի և ստացեք.

Կոտորակը կարող է կրճատվել՝ $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $:

Դեպք 2

Տասնորդական թիվը անսահման կրկնվող տասնորդական է:

Փոխակերպման մեթոդը հիմնված է այն փաստի վրա, որ պարբերական տասնորդական կոտորակի պարբերական մասը կարելի է համարել որպես անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումար։

Օրինակ 4

$0,\left(74\աջ)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $: Պրոգրեսիայի առաջին անդամը $a=0.74$ է, պրոգրեսիայի հայտարարը՝ $q=0.01$։

Օրինակ 5

$0,5\ձախ(8\աջ)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Պրոգրեսիայի առաջին անդամը $a=0.08$ է, պրոգրեսիայի հայտարարը՝ $q=0.1$։

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանների գումարը հաշվարկվում է $s=\frac(a)(1-q) $ բանաձևով, որտեղ $a$-ը առաջին անդամն է, իսկ $q$-ը՝ $ պրոգրեսիայի հայտարարը: \ձախ (0

Օրինակ 6

Եկեք փոխարկենք անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակը $0,\left(72\right)$ կանոնավորի։

Պրոգրեսիայի առաջին անդամը $a=0.72$ է, պրոգրեսիայի հայտարարը՝ $q=0.01$։ Մենք ստանում ենք. ) (11) $. Այսպիսով, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $:

Օրինակ 7

Եկեք փոխարկենք անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակը $0.5\ձախ(3\աջ)$ կանոնավորի։

Պրոգրեսիայի առաջին անդամը $a=0.03$ է, պրոգրեսիայի հայտարարը՝ $q=0.1$։ Մենք ստանում ենք. ) (30) $.

Այսպիսով, $0.5 \ ձախ (3 \ աջ) = \ frac (5) (10) +\ frac (1) (30) =\ frac (5 \ cdot 3) (10 \ cdot 3) +\ frac ( 1) (30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $:

Իրական թվերը կարելի է ներկայացնել թվային տողի կետերով:

Այս դեպքում մենք թվային առանցքը անվանում ենք անսահման գիծ, ​​որի վրա ընտրված են սկզբնակետը (կետ $O$), դրական ուղղությունը (նշված է սլաքով) և սանդղակը (արժեքները ցուցադրելու համար)։

Բոլոր իրական թվերի և թվային առանցքի բոլոր կետերի միջև կա մեկ առ մեկ համապատասխանություն. յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է մեկ թվի և, ընդհակառակը, յուրաքանչյուր թիվ համապատասխանում է մեկ կետի: Հետևաբար, իրական թվերի բազմությունը շարունակական է և անվերջ այնպես, ինչպես թվային տողը շարունակական է և անվերջ:

Իրական թվերի բազմության որոշ ենթաբազմություններ կոչվում են թվային միջակայքեր։ Թվային միջակայքի տարրերը $x\in R$ թվերն են, որոնք բավարարում են որոշակի անհավասարություն։ Թող $a\in R$, $b\in R$ և $a\le b$: Այս դեպքում բացերի տեսակները կարող են լինել հետևյալը.

  1. $\ձախ(a,\; b\աջ)$ ընդմիջում: Միաժամանակ $ ա
  2. Հատված $\left$: Ընդ որում՝ $a\le x\le b$։
  3. Կիսաբաժիններ կամ կիսամյակային ընդմիջումներ $\left$: Միևնույն ժամանակ $ a \le x
  4. Անսահման տարածություններ, օրինակ՝ $a

Մեծ նշանակություն ունի նաև մի տեսակ ինտերվալ, որը կոչվում է կետի հարևանություն։ Տրված $x_(0) \in R$ կետի հարևանությունը $\left(a,\; b\right)$ կամայական ինտերվալ է, որը պարունակում է այս կետը իր ներսում, այսինքն $a 0$ - 10-րդ շառավիղը։

Թվի բացարձակ արժեքը

$x$ իրական թվի բացարձակ արժեքը (կամ մոդուլը) ոչ բացասական իրական թիվ է $\left|x\right|$, որը սահմանվում է բանաձևով. $\left|x\right|=\left\(\ սկիզբ (զանգված) (գ) (\; \; x\; \; (\rm միացված)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm միացված)\; \; x

Երկրաչափական առումով $\left|x\right|$-ը նշանակում է իրական առանցքի վրա գտնվող $x$ և 0 կետերի միջև հեռավորությունը:

Բացարձակ արժեքների հատկությունները.

  1. սահմանումից հետևում է, որ $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
  2. գումարի մոդուլի և երկու թվերի տարբերության մոդուլի համար անհավասարությունները $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ անհավասարությունները ձախ|x-y\աջ|\le \ձախ|x\աջ|+\ձախ|y\աջ|$ և նաև $\ձախ|x+y\աջ|\ge \ձախ|x\աջ|-\ձախ|y \աջ|$,$\ ձախ|x-y\աջ|\ge \ձախ|x\աջ|-\ձախ|y\աջ|$;
  3. արտադրյալի մոդուլը և երկու թվերի քանորդի մոդուլը բավարարում են $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ և $\left հավասարությունները |\frac(x)(y) \աջ|=\frac(\ձախ|x\աջ|)(\ձախ|y\աջ|) $:

Հիմնվելով $a>0$ կամայական թվի բացարձակ արժեքի սահմանման վրա՝ կարելի է հաստատել նաև հետևյալ զույգ անհավասարությունների համարժեքությունը.

  1. եթե $ \ձախ|x\աջ|
  2. եթե $\left|x\right|\le a$ ապա $-a\le x\le a$;
  3. եթե $\left|x\right|>a$, ապա կամ $xa$;
  4. եթե $\left|x\right|\ge a$, ապա կամ $x\le -a$ կամ $x\ge a$:

Օրինակ 8

Լուծե՛ք $\left|2\cdot x+1\right| անհավասարությունը

Այս անհավասարությունը համարժեք է $-7 անհավասարություններին

Այստեղից մենք ստանում ենք՝ $-8

Առնչվող գրառումներ.