Քառանկյուն բուրգի ծավալը. Երկրաչափական պատկերներ

բուրգեր

Դիտարկենք կամայական α հարթություն, կամայական ուռուցիկ n-անկյուն Ա 1 Ա 2 ... A n , որը գտնվում է այս հարթությունում, և S կետ, որը չի գտնվում α հարթության մեջ։

Սահմանում 1. Բուրգ ( n - ածուխի բուրգ)կանչել S կետը բազմանկյան բոլոր կետերին միացնող հատվածներով կազմված պատկերը Ա 1 Ա 2 ... A n (նկ. 1) .

Դիտողություն 1. Հիշենք, որ բազմանկյունը Ա 1 Ա 2 ... A n բաղկացած է փակ կոտրված գծից Ա 1 Ա 2 ... A n և ինքնաթիռի այն հատվածը, որը սահմանափակված է դրանով:

Սահմանում 2.

Տետրաեդրա. Կանոնավոր տետրաեդրա

Սահմանում 5. Կամայական եռանկյուն բուրգը կոչվում է քառանիստ:

Հայտարարություն. Ցանկացած կանոնավոր եռանկյուն բուրգի համար հակառակ եզրերը զույգ-զույգ ուղղահայաց են:

Ապացույց. Դիտարկենք SABC կանոնավոր եռանկյուն բուրգը և նրա մի զույգ հակառակ եզրերը, ինչպիսիք են AC և BS: Թող D-ը նշանակի AC եզրի միջնակետը: Քանի որ BD և SD հատվածները միջնագիծ են ABC և ASC հավասարաչափ եռանկյունների մեջ, ապա BD և SD ուղղահայաց են AC եզրին (նկ. 4):

որտեղ D տառը նշանակում է AC եզրի միջնակետը (նկ. 6):

Պյութագորասի թեորեմով BSO եռանկյունից մենք գտնում ենք

Պատասխանել.

Բուրգի ծավալի, կողային և ընդհանուր մակերեսի բանաձևեր

Ներկայացնում ենք հետևյալ նշումը

Ապա ճշմարիտ են հետևյալները բուրգի կողային և ամբողջ մակերեսի ծավալը, մակերեսը հաշվարկելու բանաձևեր:

քառանկյուն բուրգԲազմեյդրոնը կոչվում է այն բազմանիստը, որի հիմքը քառակուսի է, իսկ բոլոր կողային երեսները նույնական հավասարաչափ եռանկյուններ են:

Այս պոլիեդրոնն ունի բազմաթիվ տարբեր հատկություններ.

• Նրա կողային կողիկներն ու կից dihedral անկյուններհավասար են միմյանց;
• Կողային երեսների տարածքները նույնն են.
• Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքում ընկած է քառակուսի;
• Բուրգի գագաթից իջած բարձրությունը հատվում է հիմքի անկյունագծերի հատման կետի հետ։

Այս բոլոր հատկությունները հեշտացնում են գտնելը: Այնուամենայնիվ, բավականին հաճախ, բացի դրանից, պահանջվում է հաշվարկել պոլիէդրոնի ծավալը: Դա անելու համար կիրառեք քառանկյուն բուրգի ծավալի բանաձևը.

Այսինքն, բուրգի ծավալը հավասար է բուրգի բարձրության և հիմքի մակերեսի արտադրյալի մեկ երրորդին: Քանի որ այն հավասար է իր հավասար կողմերի արտադրյալին, մենք անմիջապես մուտքագրում ենք քառակուսի մակերեսի բանաձևը ծավալային արտահայտության մեջ։
Դիտարկենք քառանկյուն բուրգի ծավալը հաշվարկելու օրինակ:

Թող տրվի քառանկյուն բուրգ, որի հիմքում ընկած է a = 6 սմ կողմ ունեցող քառակուսի, բուրգի կողային երեսը b = 8 սմ է, գտե՛ք բուրգի ծավալը։

Տրված բազմանիստի ծավալը գտնելու համար մեզ անհրաժեշտ է նրա բարձրության երկարությունը։ Ուստի մենք այն կգտնենք՝ կիրառելով Պյութագորասի թեորեմը։ Նախ, եկեք հաշվարկենք շեղանկյունի երկարությունը: Կապույտ եռանկյունում դա կլինի հիպոթենուսը: Հարկ է նաև հիշել, որ քառակուսու անկյունագծերը հավասար են միմյանց և կիսով չափ բաժանված են հատման կետում.


Այժմ կարմիր եռանկյունից գտնում ենք մեզ անհրաժեշտ h բարձրությունը: Այն հավասար կլինի.

Փոխարինեք պահանջվող արժեքները և գտեք բուրգի բարձրությունը.

Այժմ, իմանալով բարձրությունը, մենք կարող ենք փոխարինել բուրգի ծավալի բանաձևի բոլոր արժեքները և հաշվարկել պահանջվող արժեքը.

Ահա թե ինչպես, իմանալով մի քանի պարզ բանաձևեր, մենք կարողացանք հաշվարկել կանոնավոր քառանկյուն բուրգի ծավալը։ Մի մոռացեք, որ այս արժեքը չափվում է խորանարդ միավորներով:

Այստեղ հավաքված են հիմնական տեղեկություններ բուրգերի և հարակից բանաձևերի և հասկացությունների մասին: Դրանք բոլորն էլ քննությանը նախապատրաստվելիս ուսումնասիրվում են մաթեմատիկայի կրկնուսույցի մոտ։

Դիտարկենք հարթություն, բազմանկյուն պառկած դրա մեջ և մի կետ S, որը չի ընկած դրա մեջ: Միացնել S-ը բազմանկյան բոլոր գագաթներին: Ստացված բազմանիստը կոչվում է բուրգ: Հատվածները կոչվում են կողային եզրեր: Բազմանկյունը կոչվում է հիմք, իսկ S կետը՝ բուրգի գագաթ։ Կախված n թվից՝ բուրգը կոչվում է եռանկյուն (n=3), քառանկյուն (n=4), հնգանկյուն (n=5) և այլն։ Այլընտրանքային վերնագիրեռանկյուն բուրգ - քառաեդրոն. Բուրգի բարձրությունը նրա գագաթից բազային հարթությանը գծված ուղղահայացն է:

Բուրգը կոչվում է ճիշտ, եթե կանոնավոր բազմանկյուն, իսկ բուրգի բարձրության հիմքը (ուղղահայաց հիմքը) նրա կենտրոնն է։

Ուսուցչի մեկնաբանությունը:
Մի շփոթեք «կանոնավոր բուրգ» և «կանոնավոր քառաեդրոն» հասկացությունները։ Կանոնավոր բուրգում կողային եզրերը պարտադիր չէ, որ հավասար լինեն հիմքի եզրերին, սակայն կանոնավոր քառանիստում եզրերի բոլոր 6 եզրերը հավասար են։ Սա նրա սահմանումն է։ Հեշտ է ապացուցել, որ հավասարությունը ենթադրում է, որ բազմանկյան P կենտրոնը բարձրության հիմքով, ուստի կանոնավոր քառաեդրոնը կանոնավոր բուրգ է։

Ի՞նչ է ապոտեմը:
Բուրգի ապոտեմը նրա կողային երեսի բարձրությունն է: Եթե ​​բուրգը կանոնավոր է, ապա նրա բոլոր ապոտեմները հավասար են։ Հակառակը ճիշտ չէ։

Մաթեմատիկայի դասախոսը իր տերմինաբանության մասին. բուրգերի հետ աշխատանքը 80%-ով կառուցված է երկու տեսակի եռանկյունների միջոցով.
1) ՍԿ ապոտեմ և ՍՊ բարձրություն պարունակող
2) պարունակող կողային եզրը SA և դրա պրոյեկցիոն ՊԱ

Այս եռանկյունների հղումները պարզեցնելու համար մաթեմատիկայի դասավանդողի համար ավելի հարմար է անվանել դրանցից առաջինը. ապոթեմիկ, և երկրորդ ծովափնյա. Ցավոք, ոչ մի դասագրքում չեք գտնի այս տերմինաբանությունը, և ուսուցիչը ստիպված է այն միակողմանի ներմուծել։

Բուրգի ծավալի բանաձևը:
1), որտեղ է բուրգի հիմքի մակերեսը և բուրգի բարձրությունը
2) որտեղ է մակագրված ոլորտի շառավիղը և բուրգի ընդհանուր մակերեսն է:
3) , որտեղ MN-ը ցանկացած երկու հատվող եզրերի հեռավորությունն է, և այն զուգահեռագծի տարածքն է, որը ձևավորվում է մնացած չորս եզրերի միջնակետերով:

Pyramid Height Base Property:

P կետը (տես նկարը) համընկնում է բուրգի հիմքում գտնվող ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ, եթե բավարարված է հետևյալ պայմաններից մեկը.
1) Բոլոր ապոթեմները հավասար են
2) Բոլոր կողային երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը
3) Բոլոր ապոտեմները հավասարապես հակված են դեպի բուրգի բարձրությունը
4) Բուրգի բարձրությունը հավասարապես թեքված է բոլոր կողային երեսներին

Մաթեմատիկայի դաստիարակի մեկնաբանությունՆկատի ունեցեք, որ բոլոր տարրերը միավորված են մեկով ընդհանուր սեփականությունԱյսպես թե այնպես, կողմնակի դեմքերը ամենուր մասնակցում են (ապոթեմները դրանց տարրերն են): Հետևաբար, դասավանդողը կարող է առաջարկել ավելի քիչ ճշգրիտ, բայց ավելի հարմար ձևակերպում մտապահման համար. P կետը համընկնում է ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ, բուրգի հիմքի հետ, եթե դրա կողային երեսների մասին որևէ հավասար տեղեկատվություն կա: Դա ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ բոլոր ապոթեմիկ եռանկյունները հավասար են:

P կետը համընկնում է բուրգի հիմքի մոտ գտնվող շրջագծի կենտրոնի հետ, եթե երեք պայմաններից մեկը ճիշտ է.
1) Բոլոր կողային եզրերը հավասար են
2) Բոլոր կողային կողերը հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը
3) Բոլոր կողային կողերը հավասարապես թեքված են դեպի բարձրությունը

Երբ մարդ լսում է «բուրգ» բառը, անմիջապես հիշում է եգիպտական ​​վեհաշուք կառույցները։ Այնուամենայնիվ, հին քարե հսկաները միայն բուրգերի դասի ներկայացուցիչներից մեկն են: Այս հոդվածում մենք երկրաչափական տեսանկյունից դիտարկում ենք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հատկությունները:

Ի՞նչ է բուրգը ընդհանրապես:

Երկրաչափության մեջ այն հասկացվում է որպես եռաչափ պատկեր, որը կարելի է ձեռք բերել հարթ բազմանկյան բոլոր գագաթները միացնելով մեկ կետի հետ, որը գտնվում է այս բազմանկյունից տարբեր հարթության վրա: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս 4 թվեր, որոնք բավարարում են այս սահմանումը.

Մենք տեսնում ենք, որ առաջին պատկերն ունի եռանկյուն հիմք, երկրորդը՝ քառանկյուն։ Վերջին երկուսը ներկայացված են հինգ և վեցանկյուն հիմքով: բայց կողային մակերեսԲոլոր բուրգերը ձևավորվում են եռանկյուններով: Նրանց թիվը ճիշտ հավասար է բազայի բազմանկյան կողմերի կամ գագաթների թվին։

Բուրգերի հատուկ տեսակ, որոնք տարբերվում են դասի մյուս ներկայացուցիչներից կատարյալ համաչափությամբ, կանոնավոր բուրգերն են։ Որպեսզի ցուցանիշը ճիշտ լինի, պետք է բավարարվեն հետևյալ երկու նախադրյալները.

• հիմքը պետք է լինի կանոնավոր բազմանկյուն;
• Նկարի կողային մակերեսը պետք է կազմված լինի հավասար հավասարաչափ եռանկյուններից:

Նշենք, որ երկրորդ պարտադիր պայմանը կարող է փոխարինվել մեկ այլով. բուրգի վերևից հիմքին գծված ուղղահայացը (կողային եռանկյունների հատման կետը) պետք է հատի այս հիմքը իր երկրաչափական կենտրոնում։

Այժմ եկեք անցնենք հոդվածի թեմային և մտածենք, թե կանոնավոր քառանկյուն բուրգի որ հատկություններն են բնութագրում այն։ Նախ, եկեք նկարում ցույց տանք, թե ինչ տեսք ունի այս ցուցանիշը:

Նրա հիմքը քառակուսի է։ Կողմերը ներկայացնում են 4 միանման հավասարաչափ եռանկյուններ (կարող են լինել նաև հավասարակողմ՝ քառակուսու կողմի երկարության և պատկերի բարձրության որոշակի հարաբերակցությամբ)։ Բուրգի գագաթից իջեցված բարձրությունը կհատի հրապարակը նրա կենտրոնում (անկյունագծերի հատման կետը):

Այս բուրգն ունի 5 երես (քառակուսի և չորս եռանկյուն), 5 գագաթ (դրանցից չորսը պատկանում են հիմքին) և 8 եզր։ չորրորդ կարգի, անցնելով բուրգի բարձրությունից, այն վերածում է իր մեջ՝ պտտելով 90 o ։

Եգիպտոսի բուրգերԳիզայում կանոնավոր քառանկյուն են:

Չորս հիմնական գծային պարամետրեր

Սկսենք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի մաթեմատիկական հատկությունների դիտարկումը բարձրության, հիմքի կողմի երկարության, կողային եզրի և ապոտեմի բանաձևերով: Միանգամից ասենք, որ այս բոլոր մեծությունները կապված են միմյանց հետ, ուստի բավական է իմանալ դրանցից միայն երկուսը, որպեսզի միանշանակ հաշվարկենք մնացած երկուսը։

Ենթադրենք, որ հայտնի են բուրգի h բարձրությունը և քառակուսի հիմքի կողմի երկարությունը a, ապա b կողային եզրը հավասար կլինի.

b = √(a 2 / 2 + h 2)

Այժմ մենք տալիս ենք ապոտեմի a b երկարության բանաձևը (եռանկյան բարձրությունը՝ իջեցված հիմքի կողմը).

a b = √(a 2 / 4 + h 2)

Ակնհայտ է, որ b կողային եզրը միշտ մեծ է a b ապոտեմից:

Երկու արտահայտություններն էլ կարող են օգտագործվել բոլոր չորս գծային բնութագրերը որոշելու համար, եթե հայտնի են մյուս երկու պարամետրերը, օրինակ a b և h:

Նկարի մակերեսը և ծավալը

Սրանք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի երկու ավելի կարևոր հատկություններ են: Նկարի հիմքն ունի հետևյալ տարածքը.

Յուրաքանչյուր ուսանող գիտի այս բանաձևը. Կողային մակերեսի մակերեսը, որը ձևավորվում է չորս նույնական եռանկյուններով, կարելի է որոշել բուրգի a b ապոտեմի միջոցով հետևյալ կերպ.

Եթե ​​a b-ն անհայտ է, ապա այն կարող է որոշվել նախորդ պարբերության բանաձևերով h բարձրության կամ b եզրի միջոցով:

Քննարկվող նկարի ընդհանուր մակերեսը S o և S b տարածքների գումարն է.

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

Բուրգի բոլոր երեսների հաշվարկված տարածքը ներկայացված է ստորև բերված նկարում՝ որպես դրա մաքրում:

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հատկությունների նկարագրությունը ամբողջական չի լինի, եթե հաշվի չառնեք դրա ծավալը որոշելու բանաձևը: Այս արժեքը դիտարկվող բուրգի համար հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Այսինքն, V-ը հավասար է գործչի բարձրության և դրա հիմքի տարածքի արտադրյալի երրորդ մասին:

Կանոնավոր կտրված քառանկյուն բուրգի հատկությունները

Այս ցուցանիշը կարող եք ստանալ օրիգինալ բուրգից: Դրա համար անհրաժեշտ է կտրել վերին մասըհարթ բուրգեր. Կտրված հարթության տակ մնացած գործիչը կկոչվի կտրված բուրգ:

Առավել հարմար է ուսումնասիրել կտրված բուրգի բնութագրերը, եթե դրա հիմքերը զուգահեռ են միմյանց: Այս դեպքում ստորին և վերին հիմքերը կլինեն նմանատիպ բազմանկյուններ: Որովհետև քառանկյունի մեջ աջ բուրգհիմքը քառակուսի է, ապա կտրվածքի ընթացքում ձևավորված հատվածը նույնպես քառակուսի է լինելու, բայց ավելի փոքր չափի։

Կտրված պատկերի կողային մակերեսը ձևավորվում է ոչ թե եռանկյուններով, այլ հավասարաչափ տրապիզոիդներով։

Այս բուրգի կարևոր հատկություններից է դրա ծավալը, որը հաշվարկվում է բանաձևով.

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

Այստեղ h-ն նկարի հիմքերի միջև եղած հեռավորությունն է, S o1, S o2՝ ստորին և վերին հիմքերի մակերեսները։