Գծային երկնիշ անկյունի սահմանում. Երկկողմանի անկյունները և դրանց հաշվարկման բանաձևը

Dihedral անկյուն. Երկկողմանի անկյան գծային անկյուն: Երկկողմանի անկյունը այն պատկերն է, որը կազմված է երկու կիսահարթություններից, որոնք չեն պատկանում նույն հարթությանը և ունեն ընդհանուր սահման՝ ուղիղ a. Երկկողմանի անկյուն կազմող կիսհարթությունները կոչվում են նրա դեմքեր, իսկ այդ կիսահարթությունների ընդհանուր սահմանը կոչվում է երկփեղկ անկյունի եզր։ Երկկողմանի անկյան գծային անկյունն այն անկյունն է, որի կողմերն այն ճառագայթներն են, որոնց երկայնքով երկանկյուն անկյան երեսները հատվում են երկնիստ անկյան եզրին ուղղահայաց հարթության հետ։ Յուրաքանչյուր երկուղի անկյուն ունի այնքան գծային անկյուններ, որքան ցանկանում եք. եզրի յուրաքանչյուր կետի միջով կարելի է գծել այս եզրին ուղղահայաց հարթություն. ճառագայթները, որոնց երկայնքով այս հարթությունը հատում է երկփեղկ անկյան երեսները և կազմում գծային անկյուններ։

Երկկողմանի անկյան բոլոր գծային անկյունները հավասար են միմյանց: Ապացուցենք, որ եթե KABC բուրգի հիմքի հարթությունից և նրա կողային երեսների հարթություններից կազմված երկանկյուն անկյունները հավասար են, ապա K գագաթից գծված ուղղահայաց հիմքը եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է։ ABC.

Ապացույց. Առաջին հերթին մենք կառուցում ենք հավասար երկփեղկ անկյունների գծային անկյուններ: Ըստ սահմանման, գծային անկյան հարթությունը պետք է ուղղահայաց լինի երկփեղկ անկյան եզրին: Ուստի երկփեղկ անկյան եզրը պետք է ուղղահայաց լինի գծային անկյան կողմերին։ Եթե ​​KO-ն ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը, ապա մենք կարող ենք նկարել OP ուղղահայաց AC-ին, OR ուղղահայաց CB-ին, OQ ուղղահայաց AB-ին, այնուհետև P, Q, R կետերը միացնել K կետին: Այսպիսով, մենք կկառուցենք պրոյեկցիա: թեք RK, QK, RK այնպես, որ AC, CB, AB եզրերը ուղղահայաց լինեն այս ելուստներին: Հետեւաբար, այս եզրերը նույնպես ուղղահայաց են թեքվածներին։ Եվ հետևաբար ROK, QOK, ROK եռանկյունների հարթությունները ուղղահայաց են երկփեղկ անկյան համապատասխան եզրերին և կազմում են այդ հավասար գծային անկյունները, որոնք նշված են պայմանում։ ROK, QOK, ROK ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են (քանի որ նրանք ունեն ընդհանուր OK ոտք և այս ոտքին հակառակ անկյունները հավասար են): Հետեւաբար, OR = OR = OQ: Եթե ​​գծենք O կենտրոնով և OP շառավղով շրջան, ապա ABC եռանկյան կողմերը ուղղահայաց են OP, OR և OQ շառավղներին և հետևաբար շոշափում են այս շրջանագծին:

Հարթության ուղղահայացություն. Ալֆա և բետա հարթությունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե դրանց խաչմերուկում ձևավորված երկանկյուն անկյուններից մեկի գծային անկյունը 90 է։ Երկու հարթությունների ուղղահայացության նշաններ Եթե երկու հարթություններից մեկն անցնում է մյուս հարթությանը ուղղահայաց գծով, ապա այդ հարթությունները։ ուղղահայաց են.

Նկարում պատկերված է ուղղանկյուն զուգահեռանիպեդ: Նրա հիմքերն են ABCD և A1B1C1D1 ուղղանկյունները: Իսկ AA1 BB1, CC1, DD1 կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին։ Հետևում է, որ AA1-ը ուղղահայաց է AB-ին, այսինքն՝ կողային երեսը ուղղանկյուն է: Այսպիսով, կարելի է հիմնավորել խորանարդի հատկությունները. խորանարդի մեջ բոլոր վեց երեսները ուղղանկյուն են։ Խորանարդի մեջ բոլոր վեց դեմքերը ուղղանկյուն են: Խորանարդի բոլոր երկանկյուն անկյունները ուղիղ են: Խորանարդի բոլոր երկանկյուն անկյունները ուղիղ են:

Թեորեմ Ուղղանկյուն զուգահեռականի անկյունագծի քառակուսին հավասար է գումարինիր երեք չափերի քառակուսիները: Եկեք նորից դիմենք նկարին, և մենք կապացուցենք, որ AC12 \u003d AB2 + AD2 + AA12 Քանի որ CC1 եզրը ուղղահայաց է ABCD հիմքին, ապա AC1 անկյունը ճիշտ է: ACC1 ուղղանկյուն եռանկյունից, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, ստանում ենք AC12=AC2+CC12։ Բայց AC-ը ABCD ուղղանկյան անկյունագիծն է, ուստի AC2 = AB2+AD2: Նաև CC1 = AA1: Ուստի AC12=AB2+AD2+AA12 թեորեմն ապացուցված է։

Դասի նպատակը. Երկկողմանի անկյան և դրա գծային անկյան հայեցակարգի ներածություն։

Առաջադրանքներ.

Ուսումնական: դիտարկել այս հասկացությունների կիրառման առաջադրանքները, ձևավորել հարթությունների միջև անկյունը գտնելու կառուցողական հմտություն.

Զարգացող: զարգացում ստեղծագործական մտածողությունուսանողներ, ուսանողների անձնական ինքնազարգացում, ուսանողների խոսքի զարգացում;

Ուսումնական: մշակութային կրթություն մտավոր աշխատանք, հաղորդակցական մշակույթ, ռեֆլեկտիվ մշակույթ։

Դասի տեսակը: նոր գիտելիքներ սովորելու դաս

Դասավանդման մեթոդներ. բացատրական և պատկերավոր

Սարքավորումներ: համակարգիչ, ինտերակտիվ գրատախտակ։

Գրականություն:

Երկրաչափություն. 10-11 դասարաններ՝ դասագիրք. 10-11 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / [Լ. Ս. Աթանասյան, Վ. Ֆ. Բուտուզով, Ս. Բ. Կադոմցև և ուրիշներ] - 18-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2009. - 255 էջ.

Դասի պլան:

Կազմակերպչական պահ (2 րոպե)

Գիտելիքների թարմացում (5 րոպե)

Նոր նյութի ուսուցում (12 րոպե)

Ուսումնասիրված նյութի համախմբում (21 րոպե)

Տնային աշխատանք (2 րոպե)

Ամփոփում (3 րոպե)

Դասերի ընթացքում.

1. Կազմակերպչական պահ.

Ներառում է դասարանի ուսուցչի ողջույնը, դասի համար սենյակի պատրաստումը, բացակայողների ստուգումը:

2. Հիմնական գիտելիքների ակտուալացում.

Ուսուցիչ: Վերջին դասին դու գրեցիր անկախ աշխատանք. Ընդհանուր առմամբ աշխատանքը լավ էր գրված։ Հիմա մի փոքր կրկնենք. Ի՞նչ է կոչվում հարթության վրա գտնվող անկյուն:

Ուսանող: Հարթության անկյունը մի կետից բխող երկու ճառագայթներից կազմված պատկեր է:

Ուսուցիչ: Ի՞նչ է կոչվում տիեզերքում ուղիղների միջև եղած անկյունը:

Ուսանող: Տիեզերքում երկու հատվող գծերի միջև ընկած անկյունը ամենափոքրն է այն անկյուններից, որոնք ձևավորվում են այս ուղիղների ճառագայթների կողմից իրենց հատման կետում գտնվող գագաթի հետ:

Ուսանող: Անկյունը հատվող գծերի միջև ընկած անկյունն է, համապատասխանաբար, տվյալներին զուգահեռ:

Ուսուցիչ: Ինչպե՞ս է կոչվում ուղիղի և հարթության անկյունը:

Ուսանող: Անկյուն գծի և հարթության միջևՈւղիղ գծի և այս հարթության վրա դրա ելքի միջև եղած ցանկացած անկյուն կոչվում է:

3. Նոր նյութի ուսումնասիրություն.

Ուսուցիչ: Ստերեոմետրիայում նման անկյունների հետ մեկտեղ դիտարկվում է անկյունների մեկ այլ տեսակ՝ երկփեղկ անկյուններ։ Հավանաբար արդեն կռահեցիք, թե որն է այսօրվա դասի թեման, ուստի բացեք ձեր նոթատետրերը, գրեք այսօրվա օրը և դասի թեման։

Գրատախտակին և նոթատետրում գրել.

10.12.14.

Dihedral անկյուն.

Ուսուցիչ Երկկողմանի անկյան հայեցակարգը ներկայացնելու համար պետք է հիշել, որ տվյալ հարթության վրա գծված ցանկացած ուղիղ գիծ այս հարթությունը բաժանում է երկու կիսահարթության։(նկ. 1ա)

Ուսուցիչ Պատկերացրեք, որ մենք հարթությունը թեքել ենք ուղիղ գծի երկայնքով այնպես, որ եզրագծով երկու կիսհարթություններ այլևս չեն գտնվում նույն հարթության մեջ (նկ. 1, բ): Ստացված ցուցանիշը երկփեղկ անկյունն է: Երկկողմանի անկյունը այն պատկերն է, որը ձևավորվում է ուղիղ գծով և երկու կիսահրթիռներով՝ ընդհանուր սահմանով, որոնք չեն պատկանում նույն հարթությանը։ Երկկողմանի անկյուն կազմող կիսահարթությունները կոչվում են նրա դեմքեր։ Երկկողմանի անկյունն ունի երկու երես, այստեղից էլ կոչվում է երկնիշ անկյուն։ Ուղիղ գիծը` կիսահարթությունների ընդհանուր սահմանը, կոչվում է երկփեղկ անկյան եզր: Սահմանումը գրեք ձեր նոթատետրում:

Երկկողմանի անկյունը այն պատկերն է, որը ձևավորվում է ուղիղ գծով և երկու կիսահրթիռներով՝ ընդհանուր սահմանով, որոնք չեն պատկանում նույն հարթությանը։

Ուսուցիչ Առօրյա կյանքում մենք հաճախ ենք հանդիպում առարկաների, որոնք ունեն երկփեղկ անկյան ձև։ Բերեք օրինակներ։

Ուսանող : Կիսաբաց թղթապանակ։

Ուսանող : Սենյակի պատը հատակի հետ միասին։

Ուսանող : երկհարկանի տանիքներշենքեր։

Ուսուցիչ :Ճիշտ։ Իսկ նման օրինակները շատ են։

Ուսուցիչ Ինչպես գիտեք, հարթության վրա անկյունները չափվում են աստիճաններով: Դուք, հավանաբար, հարց ունեք, բայց ինչպե՞ս են չափվում երկփեղկ անկյունները: Դա արվում է հետևյալ կերպ.Երկկողմանի անկյան եզրին մենք նշում ենք ինչ-որ կետ, և այս կետից յուրաքանչյուր երեսի վրա մենք եզրին ուղղահայաց ճառագայթ ենք գծում։ Այս ճառագայթներից գոյացած անկյունը կոչվում է երկփեղկ անկյան գծային անկյուն։ Նոթատետրերում նկարիր:

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը.

Օ ∈ ա, ԱՕ ⊥ ա, ՎՕ ⊥ ա, Ս.ԱԲԴ- երկկողմանի անկյուն,∠ ԱՕԲերկփեղկ անկյան գծային անկյունն է։

Ուսուցիչ : Երկկողմանի անկյան բոլոր գծային անկյունները հավասար են: Ինքներդ ձեզ նման բան պատրաստեք.

Ուսուցիչ : Եկեք ապացուցենք դա։ Դիտարկենք երկու գծային անկյուններ AOB ևPQR. Ճառագայթներ ՕԱ ևՔՊպառկած են նույն դեմքի վրա և ուղղահայաց ենOQ, ինչը նշանակում է, որ դրանք համահունչ են: Նմանապես, ճառագայթները OB ևQRհամահեղինակ. Նշանակում է,∠ ԱՕԲ= ∠ PQR(ինչպես միակողմանի կողմերով անկյունները):

Ուսուցիչ Դե, հիմա մեր հարցի պատասխանն այն է, թե ինչպես է չափվում երկնիշ անկյունը:Երկկողմանի անկյան աստիճանի չափումը նրա գծային անկյան աստիճանի չափումն է։ 48-րդ էջի դասագրքից վերագծե՛ք սուր, աջ և բութ անկյան գծագրերը:

4. Ուսումնասիրված նյութի համախմբում.

Ուսուցիչ Կատարեք գծագրեր առաջադրանքների համար:

№ 1 . Տրված է՝ ԴABC, AC = BC, AB ընկած է հարթության մեջα, CD ⊥ α, C∉ ա. Կառուցեք երկնիստ անկյունի գծային անկյունCABD.

Ուսանող : Որոշում:ՍՄ ⊥ ԱԲ, DC ⊥ ԱԲ.∠ cmd - ցանկալի:

№ 2. Տրված է՝ ԴABC, ∠ Գ= 90°, մ.թ.ա. ընկած է հարթությունα, AO⊥ α, Ա∈ α.

Կառուցեք երկնիստ անկյունի գծային անկյունԱՎՍՈ.

Ուսանող : Որոշում:ԱԲ ⊥ մ.թ.ա, ԲԸ⊥ Sun նշանակում է ՕՀ⊥ արև.∠ ACO - ցանկալի:

№ 3 . Տրված է՝ ԴABC, ∠ C \u003d 90 °, AB-ն ընկած է հարթության մեջα, CD⊥ α, C∉ ա. Կառուցելգծային երկփեղկ անկյունDABC.

Ուսանող : Որոշում: CK ⊥ ԱԲ, DC ⊥ AB,Դ.Կ ⊥ AB նշանակում է∠ DKC - ցանկալի:

№ 4 . Տրված է.DABC- քառաեդրոն,ԱՐԵԼ⊥ ABC.Կառուցե՛ք երկփեղկ անկյան գծային անկյունըԱ Բ Գ Դ.

Ուսանող : Որոշում:ԴՄ ⊥ արև,ԱՐԵԼ ⊥ BC նշանակում է OM⊥ արև;∠ OMD - ցանկալի:

5. Ամփոփում.

Ուսուցիչ: Ի՞նչ նոր սովորեցիք այսօրվա դասին:

Ուսանողները Ինչ է կոչվում երկանկյուն, գծային անկյուն, ինչպես է չափվում երկնիշ անկյունը:

Ուսուցիչ :Ի՞նչ կրկնեցիր:

Ուսանողները Ինչ է կոչվում հարթության անկյուն; գծերի միջև անկյուն:

6. Տնային աշխատանք.

Գրատախտակին և օրագրերում գրել. 22-րդ կետ, հ.167, հ.170։

Dihedral անկյան հայեցակարգը

Երկկողմանի անկյան հասկացությունը ներկայացնելու համար նախ հիշեցնում ենք ստերեոմետրիայի աքսիոմներից մեկը։

Ցանկացած հարթություն կարելի է բաժանել այս հարթության մեջ ընկած $a$ գծի երկու կիսահավասարությունների։ Այս դեպքում նույն կիսահարթության մեջ ընկած կետերը $a$ ուղիղ գծի նույն կողմում են, իսկ տարբեր կիսահարթություններում գտնվող կետերը՝ նույն կողմում։ տարբեր կողմեր$a$ ուղիղ գծից (նկ. 1):

Նկար 1.

Այս աքսիոմի վրա է հիմնված երկփեղկ անկյուն կառուցելու սկզբունքը։

Սահմանում 1

Ֆիգուրը կոչվում է dihedral անկյունեթե այն բաղկացած է նույն հարթությանը չպատկանող գծից և այս ուղիղի երկու կիսահարթություններից։

Այս դեպքում կոչվում են երկփեղկ անկյան կիսահարթություններ դեմքեր, և ուղիղ գիծը, որը բաժանում է կիսանավերը. dihedral եզր(նկ. 1):

Նկար 2. Dihedral անկյուն

Երկկողմանի անկյան աստիճանի չափում

Սահմանում 2

Մենք ընտրում ենք կամայական $A$ կետ եզրին: Եզրին ուղղահայաց և $A$ կետում հատվող երկու ուղիղների միջև անկյունը կոչվում է. գծային անկյուն երկնիշ անկյուն(նկ. 3):

Նկար 3

Ակնհայտ է, որ յուրաքանչյուր երկանկյուն անկյուն ունի անսահման թվով գծային անկյուններ:

Թեորեմ 1

Մեկ երկփեղկ անկյան բոլոր գծային անկյունները հավասար են միմյանց:

Ապացույց.

Դիտարկենք $AOB$ և $A_1(OB)_1$ երկու գծային անկյուններ (նկ. 4):

Նկար 4

Քանի որ $OA$ և $(OA)_1$ ճառագայթները գտնվում են միևնույն $\alpha $-ի կես հարթության մեջ և ուղղահայաց են մեկ ուղիղ գծի, դրանք համակողմանի են: Քանի որ $OB$ և $(OB)_1$ ճառագայթները գտնվում են միևնույն $\beta $ կիսահարթության մեջ և ուղղահայաց են մեկ ուղիղ գծի, դրանք համակողմանի են: Ուստի

\[\անկյուն AOB=\անկյուն A_1(OB)_1\]

Գծային անկյունների ընտրության կամայականության պատճառով: Մեկ երկփեղկ անկյան բոլոր գծային անկյունները հավասար են միմյանց:

Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում 3

Երկկողմանի անկյան աստիճանի չափումը երկիդրային անկյան գծային անկյան աստիճանի չափումն է։

Առաջադրանքների օրինակներ

Օրինակ 1

Տրվենք երկու ոչ ուղղահայաց հարթություններ $\alpha $ և $\beta $, որոնք հատվում են $m$ ուղիղի երկայնքով: $A$ կետը պատկանում է $\beta $ հարթությանը: $AB$-ը $m$ ուղղին ուղղահայաց է: $AC$-ը ուղղահայաց է $\alpha $ հարթությանը ($C$ կետը պատկանում է $\alpha $-ին): Ապացուցեք, որ $ABC$ անկյունը երկփեղկ անկյան գծային անկյունն է։

Ապացույց.

Նկար գծենք ըստ խնդրի վիճակի (նկ. 5):

Նկար 5

Դա ապացուցելու համար հիշեցնում ենք հետևյալ թեորեմը

Թեորեմ 2:Թեքվածի հիմքով անցնող ուղիղ գիծը ուղղահայաց է նրա ելուստին։

Քանի որ $AC$-ը $\alpha $ հարթությանը ուղղահայաց է, ապա $C$ կետը $A$ կետի պրոյեկցիան է $\alpha $ հարթության վրա: Այսպիսով, $BC$-ը թեք $AB$-ի պրոյեկցիան է: Թեորեմ 2-ով $BC$-ն ուղղահայաց է երկփեղկ անկյան եզրին:

Այնուհետև $ABC$ անկյունը բավարարում է երկփեղկ անկյան գծային անկյունը որոշելու բոլոր պահանջները։

Օրինակ 2

Երկկողմանի անկյունը $30^\circ$ է։ Դեմքերից մեկի վրա գտնվում է $A$ կետը, որը գտնվում է մյուս երեսից $4$ սմ հեռավորության վրա։Գտե՛ք հեռավորությունը $A$ կետից մինչև երկփեղկ անկյունի եզրը։

Որոշում.

Եկեք նայենք նկար 5-ին:

Ենթադրությամբ ունենք $AC=4\cm$։

Երկկողմանի անկյան աստիճանի չափման սահմանմամբ մենք ունենք, որ $ABC$ անկյունը հավասար է $30^\circ$-ի։

Եռանկյունը $ABC$ է ուղղանկյուն եռանկյուն. Սուր անկյան սինուսի սահմանմամբ

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Այս դասը նախատեսված է ինքնուսուցումթեմա «Երկկողմանի անկյուն». Այս գործունեության ընթացքում ուսանողներին կներկայացվի ամենակարևոր երկրաչափական ձևերից մեկը՝ երկփեղկ անկյունը: Նաև դասի ընթացքում մենք պետք է սովորենք, թե ինչպես կարելի է որոշել դիտարկվածի գծային անկյունը երկրաչափական պատկերիսկ որքա՞ն է պատկերի հիմքի երկնիշ անկյունը:

Կրկնենք, թե ինչ է անկյունը հարթության վրա և ինչպես է այն չափվում։

Բրինձ. 1. Ինքնաթիռ

Դիտարկենք α հարթությունը (նկ. 1): Մի կետից Օդուրս է գալիս երկու ճառագայթ ՕՎև ՕԱ.

Սահմանում. Միևնույն կետից բխող երկու ճառագայթներից կազմված պատկերը կոչվում է անկյուն։

Անկյունը չափվում է աստիճաններով և ռադիաններով:

Հիշենք, թե ինչ է ռադիանը։

Բրինձ. 2. Ռադիան

Եթե ​​ունենք կենտրոնական անկյուն, որի աղեղի երկարությունը հավասար է շառավղին, ապա այդպիսի կենտրոնական անկյունը կոչվում է 1 ռադիանի անկյուն։ , ∠ ԱՕԲ= 1 ռադ (նկ. 2):

Ռադիանների և աստիճանների հարաբերությունները:

ուրախ.

Մենք հասկանում ենք, երջանիկ: (). Հետո,

Սահմանում. dihedral անկյունկոչվում է ուղիղ գծով ձևավորված գործիչ աև երկու կիսահրթիռներ՝ ընդհանուր սահմանով անույն ինքնաթիռին չպատկանող.

Բրինձ. 3. Կես ինքնաթիռներ

Դիտարկենք α և β երկու կիսահավասարություններ (նկ. 3): Նրանց ընդհանուր սահմանն է ա. Այս ցուցանիշը կոչվում է երկփեղկ անկյուն:

Տերմինաբանություն

α և β կիսահավասարությունները երկանկյուն անկյան երեսներն են։

Ուղիղ աերկանկյուն անկյան եզրն է։

Ընդհանուր եզրին ա dihedral անկյուն ընտրել կամայական կետ Օ(նկ. 4): α կետից կիս հարթությունում Օվերականգնել ուղղահայացը ՕԱդեպի ուղիղ գիծ ա. Նույն կետից Օβ երկրորդ կիսահարթությունում կառուցում ենք ուղղահայացը ՕՎդեպի կողոսկրը ա. Ստացվեց անկյուն ԱՕԲ, որը կոչվում է երկփեղկ անկյան գծային անկյուն։

Բրինձ. 4. Dihedral անկյան չափում

Եկեք ապացուցենք բոլոր գծային անկյունների հավասարությունը տրված երկփեղկ անկյան համար:

Եկեք ունենանք երկփեղկ անկյուն (նկ. 5): Ընտրեք մի կետ Օև կետ Մոտ 1ուղիղ գծի վրա ա. Կառուցենք կետին համապատասխան գծային անկյուն Օ, այսինքն՝ գծում ենք երկու ուղղահայաց ՕԱև ՕՎα և β հարթություններում, համապատասխանաբար, մինչև եզրը ա. Մենք ստանում ենք անկյունը ԱՕԲերկփեղկ անկյան գծային անկյունն է։

Բրինձ. 5. Ապացույցի նկարազարդում

Մի կետից Մոտ 1նկարեք երկու ուղղահայաց OA 1և OB 1դեպի կողոսկրը ահամապատասխանաբար α և β հարթություններում և ստացեք երկրորդ գծային անկյունը A 1 O 1 B 1.

Ճառագայթներ O 1 A 1և ՕԱհամակողմանի են, քանի որ դրանք գտնվում են նույն կիսահարթության մեջ և զուգահեռ են միմյանց, ինչպես նույն ուղիղին երկու ուղղահայաց ա.

Նմանապես, ճառագայթները Մոտավորապես 1-ը 1-ումև ՕՎհավասարեցված, ինչը նշանակում է ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1որպես համակողմանի կողմերով անկյուններ, ինչը պետք է ապացուցվեր։

Գծային անկյան հարթությունը ուղղահայաց է երկփեղկ անկյան եզրին:

Ապացուցել: ա ⊥ AOW.

Բրինձ. 6. Ապացույցի նկարազարդում

Ապացույց:

ՕԱ ⊥ աշինարարությամբ, ՕՎ ⊥ աշինարարությամբ (նկ. 6):

Մենք ստանում ենք այդ գիծը աուղղահայաց երկու հատվող գծերին ՕԱև ՕՎինքնաթիռից դուրս ԱՕԲ, որը նշանակում է ուղիղ ահարթությանը ուղղահայաց ՕԱԲ, որը պետք է ապացուցվեր։

Երկկողմանի անկյունը չափվում է իր գծային անկյունով: Սա նշանակում է, որ այնքան աստիճանի ռադիաններ են պարունակվում գծային անկյան մեջ, այնքան ռադիանների աստիճաններ են պարունակվում նրա երկուղի անկյունում։ Դրան համապատասխան առանձնանում են երկփեղկ անկյունների հետևյալ տեսակները.

Սուր (նկ. 6)

Դիեդրալ անկյունը սուր է, եթե նրա գծային անկյունը սուր է, այսինքն. .

Ուղիղ (նկ. 7)

Երկկողմանի անկյունը ճիշտ է, երբ նրա գծային անկյունը 90 ° է - Բութ (նկ. 8)

Երկկողմանի անկյունը բութ է, երբ նրա գծային անկյունը բութ է, այսինքն. .

Բրինձ. 7. Ուղիղ անկյուն

Բրինձ. 8. Բութ անկյուն

Իրական թվերով գծային անկյուններ կառուցելու օրինակներ

ABCԴ- քառաեդրոն:

1. Կառուցեք երկանկյուն անկյան գծային անկյունը եզրով ԱԲ.

Բրինձ. 9. Խնդրի նկարազարդում

Շինություն:

Խոսքը երկփեղկ անկյան մասին է, որը գոյանում է եզրով ԱԲև դեմքեր ԱԲԴև ABC(նկ. 9):

Եկեք ուղիղ գիծ քաշենք ԴՀհարթությանը ուղղահայաց ABC, Հուղղահայացի հիմքն է։ Եկեք գծենք թեք ԴՄգծին ուղղահայաց AB,Մ- թեքված հիմք: Երեք ուղղանկյունների թեորեմով մենք եզրակացնում ենք, որ թեքության պրոյեկցիան Ն.Մնաև ուղղահայաց ԱԲ.

Այսինքն՝ կետից Մվերականգնեց եզրին երկու ուղղահայաց ԱԲերկու կողմից ԱԲԴև ABC. Մենք ստացանք գծային անկյուն ԴMN.

նկատել, որ ԱԲ, երկփեղկ անկյան եզրը, ուղղահայաց գծային անկյան հարթությանը, այսինքն՝ հարթությանը. ԴMN. Խնդիրը լուծված է.

Մեկնաբանություն. Երկկողմանի անկյունը կարող է նշանակվել հետևյալ կերպ. ԴABC, որտեղ

ԱԲ- ծայրը և կետերը Դև Հետպառկել անկյունի տարբեր կողմերում:

2. Կառուցեք երկանկյուն անկյան գծային անկյունը եզրով AC.

Եկեք ուղղահայաց գծենք ԴՀդեպի ինքնաթիռ ABCև թեք ԴՆգծին ուղղահայաց ԱՍ.Երեք ուղղանկյունների թեորեմով մենք ստանում ենք դա ՀՆ- թեք նախագծում ԴՆդեպի ինքնաթիռ ABC,նաև ուղղահայաց ԱՍ.ԴՆՀ- երկփեղկ անկյան գծային անկյուն կողով AC.

քառաեդրոնում ԴABCբոլոր եզրերը հավասար են: Կետ Մ- կողոսկրի կեսը AC. Ապացուցեք, որ անկյունը ԴՄ.Վ- երկփեղկ անկյան գծային անկյուն ԴՈՒԴ, այսինքն՝ եզրով երկփեղկ անկյուն AC. Դրա եզրերից մեկն է ACԴ, երկրորդ - ԴԻԱ(նկ. 10):

Բրինձ. 10. Խնդրի նկարազարդում

Որոշում:

Եռանկյուն ADC- հավասարակողմ, ԴՄմիջինն է և հետևաբար բարձրությունը: Նշանակում է, ԴՄ ⊥ ԱՍ.Նմանապես, եռանկյունին ԱATԳ- հավասարակողմ, ATՄմիջինն է, հետևաբար՝ բարձրությունը: Նշանակում է, VM ⊥ ԱՍ.

Այսպիսով, կետից Մկողիկներ ACԵրկկողմանի անկյունը վերականգնեց երկու ուղղահայաց ԴՄև VMայս եզրին երկփեղկ անկյունի երեսներում:

Այսպիսով, ∠ ԴՄATԵրկկողմանի անկյան գծային անկյունն է, որը պետք է ապացուցվեր։

Այսպիսով, մենք սահմանել ենք երկփեղկ անկյունը, երկիդրային անկյան գծային անկյունը։

Հաջորդ դասում մենք կդիտարկենք գծերի և հարթությունների ուղղահայացությունը, այնուհետև կիմանանք, թե ինչ է երկնիստ անկյունը պատկերների հիմքում:

Հղումներ «Երկանկյուն անկյուն», «Երկանկյուն երկրաչափական պատկերների հիմքում» թեմայով.

1. Երկրաչափություն. 10-11 դասարան. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար / Շարիգին Ի.Ֆ. - Մ .: Բուստարդ, 1999 թ. - 208 էջ: հիվանդ.
2. Երկրաչափություն. 10-րդ դասարան. դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար մաթեմատիկայի խորը և պրոֆիլային ուսումնասիրությամբ / Ե. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-րդ հրատարակություն, կարծրատիպ. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: ill.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru():
4. Tutoronline.ru ().

Տնային աշխատանք «Երկկողմանի անկյուն» թեմայով, պատկերների հիմքում երկիդրային անկյունի որոշում.

Երկրաչափություն. 10-11 դասարան. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար (հիմնական և պրոֆիլային մակարդակներ) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-րդ հրատարակություն, ուղղված և լրացված - Մ.: Մնեմոզինա, 2008. - 288 էջ: հիվանդ.

Առաջադրանքներ 2, 3 էջ 67.

Որքա՞ն է երկփեղկ անկյան գծային անկյունը: Ինչպե՞ս կառուցել այն:

ABCԴ- քառաեդրոն: Կառուցեք երկանկյուն անկյան գծային անկյուն եզրով.

ա) ATԴբ) ԴՀԵՏ.

ABCԴԱ 1 Բ 1 Գ 1 Դ 1 - խորանարդ Դիեդրալ անկյան գծային անկյուն A 1 ABCկողով ԱԲ. Որոշեք դրա աստիճանի չափը:

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Սլայդի նախադիտումը միայն տեղեկատվական նպատակների համար է և կարող է չներկայացնել ներկայացման ամբողջ ծավալը: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը։

Դասի նպատակները. ներկայացնել երկփեղկ անկյան հայեցակարգը և դրա գծային անկյունը.

Դասերի ընթացքում

I. Կազմակերպչական պահ.

Տեղեկացրեք դասի թեման, ձևավորեք դասի նպատակները:

II. Սովորողների գիտելիքների ակտուալացում (սլայդ 2, 3):

1.Նոր նյութի ուսումնասիրության նախապատրաստում.

Ի՞նչ է կոչվում հարթության վրա գտնվող անկյուն:

Ի՞նչ է կոչվում տիեզերքում ուղիղների միջև եղած անկյունը:

Ինչպե՞ս է կոչվում ուղիղի և հարթության անկյունը:

Ձևակերպե՛ք երեք ուղղանկյունների թեորեմը

III. Նոր նյութ սովորելը.

• Dihedral անկյան հայեցակարգը.

MN գծի միջով անցնող երկու կիսահրթիռներով կազմված պատկերը կոչվում է երկփեղկ անկյուն (սլայդ 4):

Կիսահարթությունները դեմքեր են, ուղիղ MN-ը երկանկյուն անկյան եզր է:

Առօրյա կյանքում ո՞ր առարկաներն ունեն երկանկյուն անկյան ձև: (Սլայդ 5)

• ACH և CHD հարթությունների միջև անկյունը ACND երկնիշ անկյունն է, որտեղ CH-ը եզր է: A և D կետերը գտնվում են այս անկյան երեսների վրա: Անկյուն AFD-ն ACHD երկփեղկ անկյան գծային անկյունն է (սլայդ 6):

• Գծային անկյուն կառուցելու ալգորիթմ (սլայդ 7):

1 ճանապարհ. Եզրին վերցրեք ցանկացած O կետ և ուղղահայացներ գծեք այս կետին (PO DE, KO DE) և ստացեք ROCK անկյունը գծային:

2 ճանապարհ. Վերցրեք K կետը մի կիսահարթության մեջ և երկու ուղղահայաց գցեք նրանից մյուս կիսահավասարության վրա և եզրին (KO և KR), այնուհետև PODE հակադարձ TTP թեորեմով:

• Երկկողմանի անկյան բոլոր գծային անկյունները հավասար են (սլայդ 8): Ապացույց. OA և O 1 A 1 ճառագայթները համուղղված են, OB և O 1 B 1 ճառագայթները նույնպես ուղղորդված են, BOA և B 1 O 1 A 1 անկյունները հավասար են որպես համակցված կողմերով անկյուններ:

• Երկկողմանի անկյան աստիճանի չափումը նրա գծային անկյան աստիճանի չափումն է (սլայդ 9):

IV. Ուսումնասիրված նյութի համախմբում.

• Խնդիրների լուծում (բանավոր՝ ըստ պատրաստի գծագրերի). (Սլայդներ 10-12)

1. RAVS - բուրգ; ACB անկյունը 90° է, PB ուղիղը ուղղահայաց է ABC հարթությանը: Ապացուցեք, որ PCB անկյունը երկնիշ անկյան գծային անկյուն է

2. RAVS - բուրգ; AB \u003d BC, D- ը AC հատվածի միջնակետն է, PB ուղիղ գիծը ուղղահայաց է ABC հարթությանը: Ապացուցեք, որ PDB անկյունը AC եզրով երկփեղկ անկյան գծային անկյունն է:

3. PABCD - բուրգ; PB ուղիղը ուղղահայաց է ABC հարթությանը, BC-ն ուղղահայաց է DC-ին: Ապացուցեք, որ PKB անկյունը դիեզրային անկյան գծային անկյուն է CD եզրով:

• Գծային անկյուն կառուցելու առաջադրանքներ (սլայդներ 13-14):

1. Կառուցե՛ք AC եզրով երկանկյուն անկյան գծային անկյուն, եթե RABC բուրգում ABC երեսը կանոնավոր եռանկյուն է, O-ը միջնամասերի հատման կետն է, RO ուղիղը ուղղահայաց է ABC հարթությանը։

2. Տրված է ABCD ռոմբ, PC-ի ուղիղ գիծը ուղղահայաց է ABCD հարթությանը:

Կառուցեք երկանկյուն անկյան գծային անկյուն BD եզրով և երկնիստ անկյան գծային անկյուն AD եզրով:

• Հաշվողական առաջադրանք. (Սլայդ 15)

ABCD զուգահեռագրում ADC անկյունը 120 0 է, AD = 8 սմ,

DC = 6 սմ, ուղիղ գծով PC-ն ուղղահայաց է ABC հարթությանը, PC = 9 սմ:

Գտեք երկանկյուն անկյան արժեքը AD եզրով և զուգահեռագծի մակերեսով:

V. Տնային աշխատանք (սլայդ 16):

էջ 22, թիվ 168, 171։

Օգտագործված գրքեր.

1. Երկրաչափություն 10-11 Լ.Ս.Աթանասյան.
2. Սևոստյանովայի «Դիեդրալ անկյուններ» թեմայով առաջադրանքների համակարգը (Մուրմանսկ), ամսագիր Մաթեմատիկա դպրոցում 198 ...