Կանոնավոր բազմանկյուն. Կանոնավոր բազմանկյունի կողմերի թիվը

Բժշկական տերմինների բառարան

Ռուսաց լեզվի բացատրական բառարան. Դ.Ն. Ուշակովը

բազմանկյուն

բազմանկյուն, մ (մատ.). Երեք, չորս և այլն ուղիղ գծերով սահմանափակված հարթ կերպարանք։

Ռուսաց լեզվի բացատրական բառարան. Ս.Ի.Օժեգով, Ն.Յու.Շվեդովա.

բազմանկյուն

A, m. Մաթեմատիկայի մեջ. երկրաչափական պատկեր, սահմանափակված փակ պոլիգիծով։

Ռուսաց լեզվի նոր բացատրական և ածանցյալ բառարան, T. F. Efremova.

բազմանկյուն

մ Երկրաչափական պատկեր, որը սահմանափակված է փակ բեկված գծով, որի օղակները կազմում են չորսից ավելի անկյուններ:

Հանրագիտարանային բառարան, 1998 թ

բազմանկյուն

ԲԱԶԱՆԳԱՆԻԿ (հարթության վրա) երկրաչափական պատկեր՝ սահմանափակված փակ ճեղքված գծով, որի շղթաները կոչվում են բազմանկյան կողմեր, իսկ դրանց ծայրերը՝ բազմանկյան գագաթներ։ Գագաձևերի քանակով առանձնանում են եռանկյունները, քառանկյունները և այլն։ Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն ամբողջությամբ գտնվում է ուղիղ գծի մի կողմում՝ կրելով նրա ցանկացած կողմը, իսկ հակառակ դեպքում՝ ոչ ուռուցիկ: Բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են:

Բազմանկյուն

փակված կոտրված գիծ. Ավելի մանրամասն M. ≈ ուղիղ, որը ստացվում է, եթե վերցնենք n ցանկացած A1, A2, ..., An կետեր և դրանցից յուրաքանչյուրը միացնենք հաջորդի հետ ուղիղ հատվածով, իսկ վերջին ≈ը՝ առաջինի հետ։ (տես Նկ. բրինձ. մեկ, բայց): A1, A2, ..., An կետերը կոչվում են M.-ի գագաթներ, իսկ A1A2, A2A3, ..., An-1An, AnA1 հատվածները ≈ նրա կողմերը։ Հետևյալում դիտարկվում են միայն հարթ M. (այսինքն, ենթադրվում է, որ M.-ն ընկած է մեկ հարթության մեջ): Մ.-ն կարող է խաչակնքվել (տես. բրինձ. մեկ, բ), և ինքնահատման կետերը կարող են չլինել դրա գագաթները:

Կան այլ տեսակետներ այն մասին, թե ինչ կարելի է դիտարկել M: Բազմանկյունը կարելի է անվանել հարթության միացված մաս, որի ամբողջ սահմանը բաղկացած է վերջավոր թվով ուղիղ հատվածներից, որոնք կոչվում են բազմանկյան կողմեր: Զանգվածն այս իմաստով կարող է լինել նաև հարթության բազմակի միացված մաս (տես Նկ. բրինձ. մեկ, դ), այսինքն՝ նման Մ.-ն կարող է ունենալ «բազմանկյուն անցքեր»։ Մենք համարում ենք նաև անվերջ M. ≈ հարթության մասեր, որոնք սահմանափակված են վերջավոր թվով ուղղագիծ հատվածներով և վերջավոր թվով կիսատողերով։

Հետագա ներկայացումը հիմնված է վերևում տրված M-ի առաջին սահմանման վրա: Եթե M.-ն ինքն իրեն չի հատում (տես, օրինակ. բրինձ. մեկ, a և b), այնուհետև այն հարթության բոլոր կետերի բազմությունը բաժանում է երկու մասի ≈ վերջավոր (ներքին) և անսահման (արտաքին) այն իմաստով, որ եթե երկու կետերը պատկանում են այս մասերից մեկին. ապա դրանք կարող են միմյանց հետ կապել մի կտրված գիծ, ​​որը չի հատում Մ., իսկ եթե տարբեր մասեր, ուրեմն անհնար է։ Չնայած այս հանգամանքի կատարյալ ապացույցին, դրա խիստ ածանցումը երկրաչափության աքսիոմներից բավականին դժվար է (այսպես կոչված՝ Հորդանանի թեորեմը մաթեմատիկայի համար): Ինքնաթիռի ներքին հատվածը Մ–ի նկատմամբ ունի որոշակի մակերես։ Եթե ​​զանգվածը ինքնհատվում է, ապա այն կտրում է հարթությունը որոշակի թվով կտորների, որոնցից մեկը անսահման է (կոչվում է արտաքին զանգվածի նկատմամբ), իսկ մնացածները վերջավոր են, ուղղակի կապված են (կոչվում են ներքին), և Դրանցից յուրաքանչյուրի սահմանը իրենից չհատվող ինչ-որ զանգված է, որի կողմերը կան ամբողջական կողմեր ​​կամ կողմերի մասեր, իսկ գագաթները տվյալ Մ-ի գագաթները կամ ինքնահատման կետերն են։ Եթե ուղղություն տանք. M.-ի յուրաքանչյուր կողմը, այսինքն՝ նշեք, թե այն սահմանող երկու գագաթներից որն ենք համարելու սկիզբ, և որը ≈ վերջ, և ավելին, այնպես, որ յուրաքանչյուր կողմի սկիզբը լինի նախորդի վերջը։ մեկը, այնուհետև ստացվում է փակ բազմանկյուն ուղի, կամ կողմնորոշված ​​M, մնում է այս ճանապարհին հետևողից ձախ, իսկ հակառակ դեպքում բացասական ≈: Թող ինքնհատվող և կողմնորոշված ​​լինի Մ. եթե հարթության արտաքին մասում ընկած կետից դրա նկատմամբ ուղիղ գծի հատված գծեք դեպի իր ներքին կտորներից մեկի ներսում գտնվող կետը, և M.-ն այս հատվածը հատում է p անգամ ձախից աջ և q անգամ աջից։ դեպի ձախ, ապա p ≈ q թիվը (ամբողջ դրական, բացասական կամ զրո) կախված չէ արտաքին կետի ընտրությունից և կոչվում է այս կտորի գործակից: Այս կտորների սովորական մակերեսների գումարը, բազմապատկված նրանց գործակիցներով, համարվում է դիտարկվող փակ ճանապարհի «տարածքը» (կողմնորոշված ​​Մ.): Այս կերպ սահմանված «փակ ճանապարհի տարածքը» կարևոր դեր է խաղում մաթեմատիկական գործիքների տեսության մեջ (պլանաչափ և այլն). Այն այնտեղ սովորաբար ստացվում է ինտեգրալ ═ (բևեռային կոորդինատներով r, w) կամ ═ (in) ձևով Դեկարտյան կոորդինատներ x, y), որտեղ r շառավիղի վեկտորի վերջը կամ y օրդինատը մեկ անգամ անցնում է այս ճանապարհով:

n կողմերով ցանկացած ինքնուրույն չհատվող Մ.-ի ներքին անկյունների գումարը հավասար է (n ≈ 2)180╟-ի։ Մ.-ն կոչվում է ուռուցիկ (տես. բրինձ. մեկ, ա) եթե Մ–ի ոչ մի կողմ, անորոշորեն երկարաձգվելով, Մ–ը երկու մասի չի բաժանում։ Ուռուցիկ M.-ը կարող է բնութագրվել նաև հետևյալ հատկությամբ. հարթության ցանկացած երկու կետերը միացնող ուղիղ հատվածը, որը գտնվում է M.-ի ներսում, չի հատում M-ը: Ցանկացած ուռուցիկ M. ինքնանջատվում է, բայց ոչ հակառակը: Օրինակ, վրա բրինձ. մեկ, b-ը ցույց է տալիս ինքն իրեն չհատվող M., որը ուռուցիկ չէ, քանի որ PQ հատվածը, միացնելով նրա որոշ ներքին կետերը, հատում է Մ.

Ամենակարևոր Մ.՝ եռանկյուններ, մասնավորապես ուղղանկյուն, հավասարաչափ, հավասարակողմ (կանոնավոր); քառանկյուններ, մասնավորապես՝ տրապիզոիդներ, զուգահեռներ, ռոմբուսներ, ուղղանկյուններ, քառակուսիներ։ Ուռուցիկ Մ.-ն կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա բոլոր կողմերը հավասար են, իսկ բոլոր ներքին անկյունները՝ հավասար։ Հին ժամանակներում նրանք գիտեին, թե ինչպես կառուցել ճիշտ M. շրջագծված շրջանագծի կողմում կամ շառավղով, օգտագործելով կողմնացույց և քանոն, միայն այն դեպքում, եթե M. կողմերի թիվը լինի m = 3 ╥ 2n, 4╥ 2n, 5 ╥ 2n: , 3 ╥ 5 ╥ 2n, որտեղ n ≈ ցանկացած դրական թիվ կամ զրո: 1801 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Կ. , p2, ... pk ≈ բազմազան պարզ թվեր═ (s ≈ դրական ամբողջ թիվ) ձևի. Մինչ այժմ հայտնի են միայն հինգ այդպիսի p՝ 3, 5, 17, 257, 65537: Գալուայի տեսությունից (տես Գալուայի տեսություն) հետևում է, որ ոչ մի այլ կանոնավոր մետր, բացի Գաուսի կողմից նշվածներից, չի կարող կառուցվել՝ օգտագործելով կողմնացույց և ուղիղ անկյուն. Այսպիսով, շինարարությունը հնարավոր է m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... և անհնար է m = 7, 9, 11, 13-ով: , 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս շրջագծված շրջանագծի շառավիղը, ներգծված շրջանագծի շառավիղը և կանոնավոր n-gon տարածքը (n = 3, 4, 5, 6, 8, 10), որի կողմը հավասար է. կ.

Սահմանված շրջանագծի շառավիղը

Ներգրված շրջանագծի շառավիղը

Հնգանկյունից սկսած՝ կան նաև ոչ ուռուցիկ (ինքնահատվող կամ աստղաձև) կանոնավոր Մ., այսինքն՝ այնպիսիք, որոնց բոլոր կողմերը հավասար են, և յուրաքանչյուր հաջորդ կողմ շրջված է նույն ուղղությամբ և նույն անկյան տակ։ հարգանք նախորդի նկատմամբ. Նման Մ–ի բոլոր գագաթները նույնպես ընկած են նույն շրջանագծի վրա։ Այդպիսին է, օրինակ, հնգաթև աստղը։ Վրա բրինձ. 2տրված են բոլոր կանոնավոր (և ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ) մատրիցները՝ եռանկյունից մինչև յոթանկյուն:

Լիտ. տես Արվեստում։ Բազմաթև.

Վիքիպեդիա

Բազմանկյուն

Բազմանկյուներկրաչափական պատկեր է, որը սովորաբար սահմանվում է որպես փակ կոտրված գիծ:

Կան երեք տարբեր տարբերակներԲազմանկյունների սահմանումներ.

• Հարթ փակ կոտրված գիծը ամենաընդհանուր դեպքն է.
• Հարթ փակ բազմանկյուն գիծ՝ առանց ինքնահատումների, որի ցանկացած երկու հարակից օղակները չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա.
• Ինքնաթիռի մի մասը, որը սահմանափակված է փակ բազմագծով, առանց ինքնահատումների. հարթ բազմանկյուն

Ամեն դեպքում, պոլիգծի գագաթները կոչվում են գագաթներըբազմանկյուն և դրա հատվածները - կուսակցություններբազմանկյուն.

Բազմանկյուն (այլ կերպ ասած)

• Բազմանկյունը երկրաչափության մեջ
• Քարե բազմանկյուն հավերժական սառույցի մեջ

Գրականության մեջ բազմանկյուն բառի օգտագործման օրինակներ.

Գիլմանը նույնիսկ ուրախ էր մռայլ անդունդը սուզվել իր սովորական խուլ մռնչյունով, թեև նույնիսկ այնտեղ շարունակվում էր երկու արարածների համառ հետապնդումը, որոնք նման էին ծիածանափայլ պղպջակների և մի փոքրիկ փուչիկների հավաքույթի: բազմանկյունկողքերը փոխվելով ասես կալեիդոսկոպի մեջ, առաջացրել է հատկապես սուր սպառնալիքի զգացում և անսովոր զայրացնող:

Մռայլ, մռնչյուն անդունդներ - կանաչ ժայռոտ բլրի լանջ - կտուր, որը փայլում է ծիածանի բոլոր գույներով - գրավչություն անհայտ մոլորակներ-- Եթերի սև պարույր -- սև մարդ -- կեղտոտ ծառուղի և ճռճռացող աստիճաններ -- ծեր կախարդուհի և փոքրիկ բրդոտ արարած երկար ժանիքներով -- փուչիկների խմբաքանակ և փոքր բազմանկյուն— տարօրինակ արևայրուք — թևի վերքեր — պառավի ձեռքերում մի փոքր ու անձև բան — ոտքերը ցեխով ծածկված — հեքիաթներ և սնահավատ օտարերկրացիների վախ — վերջապես ի՞նչ էր նշանակում այս ամենը։

Կարո՞ղ եմ ուղղանկյուն տեքստային շրջանակ պատրաստել բազմանկյունաստղի տեսքով?

Բազմանդրոն, որի հիմքն է բազմանկյուն, իսկ մնացած դեմքերը եռանկյուններ են՝ ընդհանուր գագաթով։

Հետևաբար, անհրաժեշտ էր նախանշել, թե որտեղ և ինչպես ճիշտ տեղակայել ռեզերվները արևմտյան ուղղությամբ և անկանոն ձևով. բազմանկյունԿալինինի ճակատ.

Ձեր առջև՝ սխալ մեկը, որը կտրուկ գնաց դեպի հյուսիս բազմանկյունկոչվում է Մանջուրիա:

Եթե ​​գրաֆիկական շրջանակը օվալ է կամ բազմանկյուն

Եթե ​​տեքստի շրջանակը օվալ է կամ բազմանկյուն, ապա այս տարբերակը դառնում է անհասանելի:

Վերցվում են նույն զանգվածով երեք կամ ավելի առարկաներ, որոնք տեղադրվում են հավասարակողմի գագաթներում բազմանկյունև արագանում են մինչև նույն անկյունային արագությունը՝ համեմատած իրենց ընդհանուր զանգվածի կենտրոնի հետ։

Գրեթե իր կամքին հակառակ, նա սավառնում էր մթնշաղի անդունդի միջով, հետևելով ծիածանափայլ պղպջակների և մի փոքրիկ փուչիկների բազմանկյուներբ նա նկատեց, որ իրենից հեռու գտնվող հսկա պրիզմաների եզրերը զարմանալիորեն կանոնավոր կրկնվող անկյուններ էին կազմում։

Հարթ, կույս, սպիտակ, տեղ-տեղ շարժումներից աղավաղված, անթիվ-անհամար բազմանկյուններեզրագծված բաց ջրի սև շերտերով:

Օ՜, տեսնել Արգուսի աչքով բազմանկյուններմարջան և մանրաթելեր, որոնք հյուսված են երեսների մեջ, և մանրաթելերի ներսը:

Սրանք քամուց հղկված կավե թաքիրներ են՝ ճեղքված անթիվ-անհամար բազմանկյուններ, հարթ, որպես սահադաշտ, կոշտ, ինչպես բետոն։

Ահա մի ֆալիկաձև շատրվան, որը երևում էր կա՛մ կամարի տակից, կա՛մ պորտիկի տակից, դելֆինի վրա նստած Նեպտունի հետ, ասորական սյուներով մի դարպաս և նորից կամար։ անորոշ ձև, եռանկյունների կույտի նման մի բան և բազմանկյուններ, և նրանցից յուրաքանչյուրի գագաթը պսակված էր կենդանու արձանիկով՝ կաղնու, կապիկի, առյուծի։

Նկարները կարող են տեղակայվել ոչ միայն ուղղանկյուն գրաֆիկական շրջանակներում, այլև փոփոխված բազմանկյուններև օվալներ:

Բազմանկյունների տեսակները.

Քառանկյուններ

Քառանկյուններ, համապատասխանաբար, բաղկացած են 4 կողմերից և անկյուններից։

Կողմերն ու անկյունները, որոնք գտնվում են միմյանց դեմ, կոչվում են հակառակը.

Շեղանկյունները ուռուցիկ քառանկյունները բաժանում են եռանկյունների (տես նկարը):

Ուռուցիկ քառանկյան անկյունների գումարը 360° է (օգտագործելով բանաձևը՝ (4-2)*180°):

զուգահեռագրություններ

Զուգահեռագիծուռուցիկ քառանկյուն է՝ հակադիր զուգահեռ կողմերով (նկարում համարակալված է 1)։

Զուգահեռագծի հակառակ կողմերն ու անկյունները միշտ հավասար են:

Իսկ հատման կետում անկյունագծերը կիսով չափ բաժանված են:

Trapeze

Trapezeէ նաև քառանկյուն, և trapezeմիայն երկու կողմերն են զուգահեռ, որոնք կոչվում են հիմքերը. Մյուս կողմերն են կողմերը.

Նկարում տրապիզոիդը համարակալված է 2 և 7 համարներով:

Ինչպես եռանկյունում.

Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա trapezoid է հավասարաչափ;

Եթե ​​անկյուններից մեկն ուղիղ է, ապա տրապեզոիդն է ուղղանկյուն.

Trapezoid-ի միջին գիծը հիմքերի գումարի կեսն է և դրանց զուգահեռ:

Ռոմբուս

Ռոմբուսզուգահեռագիծ է, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Բացի զուգահեռագծի հատկություններից, ռոմբուսներն ունեն իրենց հատուկ հատկությունը. ռոմբի անկյունագծերը ուղղահայաց ենմիմյանց և ռոմբուսի անկյունները կիսել.

Նկարում ռոմբուսը համարակալված է 5-ով։

Ուղղանկյուններ

Ուղղանկյուն- սա զուգահեռագիծ է, որում յուրաքանչյուր անկյուն ճիշտ է (տես 8-րդ նկարում):

Բացի զուգահեռագծի հատկություններից, ուղղանկյուններն ունեն իրենց հատուկ հատկությունը. ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են.

քառակուսիներ

Քառակուսիուղղանկյուն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են (#4):

Այն ունի ուղղանկյունի և ռոմբի հատկություններ (քանի որ բոլոր կողմերը հավասար են):

Հարթության այն հատվածը, որը սահմանափակված է փակ բեկված գծով, կոչվում է բազմանկյուն։

Այս կոտրված գծի հատվածները կոչվում են կուսակցություններբազմանկյուն. AB, BC, CD, DE, EA (նկ. 1) - ABCDE բազմանկյան կողմերը: Բազմանկյունի բոլոր կողմերի գումարը կոչվում է իր պարագծային.

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն գտնվում է իր կողմերից որևէ մեկի մի կողմում, անորոշ ժամանակով երկարացված է երկու գագաթներից դուրս:

MNPKO բազմանկյունը (նկ. 1) ուռուցիկ չի լինի, քանի որ այն գտնվում է KP ուղիղ գծի մեկից ավելի կողմերում:

Մենք կդիտարկենք միայն ուռուցիկ բազմանկյունները:

Բազմանկյունի երկու կից կողմերից կազմված անկյունները կոչվում են նրա ներքինանկյունները և դրանց գագաթները - բազմանկյուն գագաթներ.

Բազմանկյան երկու ոչ հարակից գագաթները միացնող գծային հատվածը կոչվում է բազմանկյան անկյունագիծ։

AC, AD - բազմանկյան անկյունագծեր (նկ. 2):

Բազմանկյունի ներքին անկյուններին կից անկյունները կոչվում են բազմանկյան արտաքին անկյուններ (նկ. 3):

Կախված անկյունների (կողմերի) քանակից՝ բազմանկյունը կոչվում է եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն և այլն։

Ասում են, որ երկու բազմանկյունները հավասար են, եթե դրանք կարող են վերադրվել:

Ներգրված և շրջագծված բազմանկյուններ

Եթե ​​բազմանկյան բոլոր գագաթները ընկած են շրջանագծի վրա, ապա բազմանկյունը կոչվում է մակագրվածշրջանագծի մեջ, և շրջանը նկարագրվածբազմանկյունի մոտ (նկ.):

Եթե ​​բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագծին, ապա կոչվում է բազմանկյուն նկարագրվածշրջանագծի շուրջ, և շրջանը կոչվում է մակագրվածբազմանկյունի մեջ (նկ.):

Բազմանկյունների նմանություն

Նույնանուն երկու բազմանկյունները կոչվում են նման, եթե դրանցից մեկի անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուսի անկյուններին, իսկ բազմանկյունների միանման կողմերը համաչափ են։

Կոչվում են նույն անունով բազմանկյունները նույն թիվըկողմերը (անկյունները):

Նմանատիպ բազմանկյունների կողմերը կոչվում են նման, եթե համապատասխանաբար միացնում են գագաթները։ հավասար անկյուններ(բրինձ):

Այսպիսով, օրինակ, որպեսզի ABCDE բազմանկյունը նման լինի A'B'C'D'E' բազմանկյունին, անհրաժեշտ է, որ՝ E = ∠E' և, բացի այդ, AB / A'B' = BC /: B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A':

Նմանատիպ բազմանկյունների պարագծի հարաբերակցությունը

Նախ դիտարկենք մի շարք հավասար հարաբերակցությունների հատկությունը: Եկեք, օրինակ, ունենանք հարաբերություններ՝ 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2:

Գտնենք այս հարաբերությունների նախորդ անդամների գումարը, ապա՝ նրանց հաջորդ անդամների գումարը և գտնենք ստացված գումարների հարաբերակցությունը, ստանում ենք.

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Նույնը մենք ստանում ենք, եթե վերցնենք մի շարք այլ հարաբերություններ, օրինակ՝ 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3, ապա գտնում ենք այս գումարների հարաբերակցությունը, մենք ստանում ենք.

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Երկու դեպքում էլ հավասար հարաբերությունների շարքի նախորդ անդամների գումարը կապված է նույն շարքի հաջորդ անդամների գումարի հետ, քանի որ այս հարաբերություններից որևէ մեկի նախորդ անդամը կապված է հաջորդի հետ:

Մենք եզրակացրեցինք այս հատկությունը՝ դիտարկելով մի շարք թվային օրինակներ: Դա կարելի է եզրակացնել խիստ և ընդհանուր ձևով:

Այժմ դիտարկենք նմանատիպ բազմանկյունների պարագծերի հարաբերակցությունը:

Թող ABCDE բազմանկյունը նման լինի A'B'C'D'E բազմանկյունին (նկ.):

Այս բազմանկյունների նմանությունից հետևում է, որ

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Ելնելով մեր ստացած մի շարք հավասար հարաբերությունների հատկությունից՝ կարող ենք գրել.

Մեր վերցրած հարաբերությունների նախորդ անդամների գումարը առաջին բազմանկյան պարագիծն է (P), իսկ այս հարաբերությունների հաջորդ անդամների գումարը երկրորդ բազմանկյան պարագիծն է (P'), ուստի P/P' = AB / A'B '.

հետևաբար, Նմանատիպ բազմանկյունների պարագծերը կապված են որպես դրանց համապատասխան կողմեր:

Նմանատիպ բազմանկյունների տարածքների հարաբերակցությունը

Թող ABCDE-ն և A'B'C'D'E-ը լինեն նմանատիպ բազմանկյուններ (նկ.):

Հայտնի է, որ ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' եւ ΔADE ~ ΔA'D'E'։

Բացի այդ,

Քանի որ այս համամասնությունների երկրորդ հարաբերությունները հավասար են, ինչը բխում է բազմանկյունների նմանությունից, ապա

Օգտագործելով մի շարք հավասար հարաբերակցությունների հատկությունը՝ ստանում ենք.

որտեղ S և S' այս նմանատիպ բազմանկյունների մակերեսներն են:

հետևաբար, Նմանատիպ բազմանկյունների մակերեսները կապված են նույն կողմերի քառակուսիների հետ:

Ստացված բանաձևը կարող է փոխարկվել այս ձևի. S / S '= (AB / A'B ') 2

Կամային բազմանկյունի տարածք

Թող պահանջվի հաշվարկել կամայական քառանկյուն ABDC-ի տարածքը (նկ.):

Նրա մեջ գծենք անկյունագիծ, օրինակ՝ մ.թ. Ստանում ենք երկու եռանկյուն ABD և ACD, որոնց մակերեսները կարող ենք հաշվարկել։ Այնուհետև մենք գտնում ենք այս եռանկյունների մակերեսների գումարը: Ստացված գումարը արտահայտելու է տվյալ քառանկյան մակերեսը:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել հնգանկյան մակերեսը, ապա մենք նույն կերպ ենք վարվում՝ գագաթներից մեկից գծում ենք անկյունագծեր։ Ստանում ենք երեք եռանկյուն, որոնց մակերեսները կարող ենք հաշվարկել։ Այսպիսով, մենք կարող ենք գտնել այս հնգանկյունի տարածքը: Մենք նույնն ենք անում ցանկացած բազմանկյունի տարածքը հաշվարկելիս:

Բազմանկյուն նախագծման տարածք

Հիշենք, որ գծի և հարթության անկյունը տվյալ գծի և հարթության վրա դրա ելքի անկյունն է (նկ.):

Թեորեմ. Բազմանկյունի ուղղանկյուն ելքի մակերեսը հարթության վրա հավասար է նախագծված բազմանկյան մակերեսին՝ բազմապատկված բազմանկյան հարթության և պրոյեկցիոն հարթության կողմից ձևավորված անկյան կոսինուսով:

Յուրաքանչյուր բազմանկյուն կարելի է բաժանել եռանկյունների, որոնց մակերեսների գումարը հավասար է բազմանկյունի մակերեսին։ Հետևաբար, բավական է ապացուցել եռանկյունու թեորեմը:

Թող ΔABC-ն նախագծվի հարթության վրա Ռ. Դիտարկենք երկու դեպք.

ա) ΔABS կողմերից մեկը հարթությանը զուգահեռ է Ռ;

բ) ΔABC կողմերից ոչ մեկը զուգահեռ չէ Ռ.

Հաշվի առեք առաջին դեպքըթող [AB] || Ռ.

Նկարիր (AB) հարթության միջով Ռ 1 || Ռև նախագծեք ΔABC ուղղահայաց վրա Ռ 1 և շարունակ Ռ(բրինձ); մենք ստանում ենք ΔABC 1 և ΔA’B’C:

Ըստ պրոյեկցիոն հատկության՝ մենք ունենք ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, և հետևաբար

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Նկարենք ⊥ և D 1 C 1 հատվածը: Այնուհետև ⊥ , a \(\ overbrace(CD_1C_1)\) = φ անկյունն է ΔABC հարթության և հարթության միջև։ Ռմեկ . Ահա թե ինչու

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | ԱԲ | | C 1 D 1 | = 1/2 | ԱԲ | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

և, հետևաբար, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Անցնենք դիտարկմանը երկրորդ դեպք. Նկարեք ինքնաթիռ Ռ 1 || Ռայդ գագաթով ΔАВС, հեռավորությունը, որից մինչև հարթություն Ռամենափոքրը (թող լինի A գագաթ):

Եկեք նախագծենք ΔABC հարթության վրա Ռ 1 և Ռ(բրինձ); թող դրա կանխատեսումները լինեն համապատասխանաբար ΔAB 1 C 1 և ΔA’B’C’:

Թող (մ.թ.ա.) ∩ էջ 1 = D. Հետո

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Բազմանկյունի հատկություններ

Բազմանկյունը երկրաչափական պատկեր է, որը սովորաբար սահմանվում է որպես փակ բազմագիծ՝ առանց ինքնահատումների (պարզ բազմանկյուն (նկ. 1ա)), բայց երբեմն թույլատրվում են ինքնահատումներ (այդ դեպքում բազմանկյունը պարզ չէ)։

Բազմուղիների գագաթները կոչվում են բազմանկյան գագաթներ, իսկ հատվածները՝ բազմանկյան կողմեր։ Բազմանկյունի գագաթները կոչվում են հարևաններ, եթե դրանք նրա կողմերից մեկի ծայրերն են: Բազմանկյան ոչ հարևան գագաթները միացնող ուղիղ հատվածները կոչվում են անկյունագծեր:

անկյուն (կամ ներսի անկյուն) տվյալ գագաթում ուռուցիկ բազմանկյունի այն անկյունն է, որը ձևավորվում է այս գագաթի վրա զուգակցվող նրա կողմերից, մինչդեռ անկյունը դիտարկվում է բազմանկյան կողմից: Մասնավորապես, անկյունը կարող է գերազանցել 180°-ը, եթե բազմանկյունը ուռուցիկ չէ:

Ուռուցիկ բազմանկյան արտաքին անկյունը տվյալ գագաթին այն անկյունն է, որը հարում է այդ գագաթին գտնվող բազմանկյան ներքին անկյունին: Ընդհանուր առմամբ արտաքին անկյուն 180°-ի և ներքին անկյան տարբերությունն է: -gon-ի յուրաքանչյուր գագաթից > 3-ի համար դուրս եկեք - 3 անկյունագիծ, հետևաբար ընդհանուր թիվը a -gon-ի անկյունագծերը հավասար են:

Երեք գագաթներով բազմանկյունը կոչվում է եռանկյուն, չորսով` քառանկյուն, հինգով` հնգանկյուն և այլն:

Բազմանկյունի հետ nգագաթները կոչվում է n-քառակուսի.

Հարթ բազմանկյունը պատկեր է, որը բաղկացած է բազմանկյունից և նրանով սահմանափակված տարածքի վերջավոր մասից։

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե բավարարված է հետևյալ (համարժեք) պայմաններից մեկը.

• 1. այն ընկած է իր հարևան գագաթները միացնող ցանկացած ուղիղ գծի մի կողմում: (այսինքն՝ բազմանկյունի կողմերի ընդլայնումները չեն հատում նրա մյուս կողմերը);
• 2. դա խաչմերուկ է (այսինքն. ընդհանուր մաս) մի քանի կիսահրթիռներ.
• 3. պոլիգոնին պատկանող կետերում ծայրերով ցանկացած հատված ամբողջությամբ պատկանում է դրան։

Ուռուցիկ բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր, եթե բոլոր կողմերը հավասար են, և բոլոր անկյունները հավասար են, օրինակ՝ հավասարակողմ եռանկյունը, քառակուսին և հնգանկյունը:

Ուռուցիկ բազմանկյունը մակագրված է շրջանագծի շուրջ, եթե նրա բոլոր կողմերը շոշափում են ինչ-որ շրջանակի

Կանոնավոր բազմանկյունը այն բազմանկյունն է, որի բոլոր անկյունները և բոլոր կողմերը հավասար են:

Բազմանկյունի հատկություններ.

1 Ուռուցիկ -անկյունի յուրաքանչյուր անկյունագիծ, որտեղ >3, այն տարրալուծում է երկու ուռուցիկ բազմանկյունների:

2 Ուռուցիկ -gon-ի բոլոր անկյունների գումարը հավասար է.

D-in: Թեորեմը կապացուցենք մեթոդով մաթեմատիկական ինդուկցիա. = 3-ի համար դա ակնհայտ է. Ենթադրենք, որ թեորեմը ճշմարիտ է -gon-ի համար, որտեղ <, և ապացուցիր դա -gon-ի համար:

Թող լինի տրված բազմանկյուն: Գծե՛ք այս բազմանկյան անկյունագիծը: Թեորեմ 3-ով բազմանկյունը քայքայվում է եռանկյունու և ուռուցիկ -անկյունի (նկ. 5): Ինդուկցիոն վարկածով. Մյուս կողմից, . Այս հավասարություններն ավելացնելով և հաշվի առնելով այն (- ներքին ճառագայթի անկյունը ) Եվ (- ներքին ճառագայթի անկյունը ), մենք ստանում ենք Երբ մենք ստանում ենք.

3 Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյունի մասին կարելի է նկարագրել շրջան, ընդ որում՝ միայն մեկը։

D-in. Թող կանոնավոր բազմանկյուն և և լինի անկյունների կիսորդները, և (նկ. 150): Քանի որ, հետևաբար, * 180 °< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ՄԱՍԻՆ.Ապացուցենք դա Օ = ՕԱ 2 = ՄԱՍԻՆ =… = ՕԱ Պ . Եռանկյուն ՄԱՍԻՆհետևաբար, հավասարաչափ ՄԱՍԻՆ= ՄԱՍԻՆ. Եռանկյունների հավասարության երկրորդ չափանիշի համաձայն, հետևաբար. ՄԱՍԻՆ = ՄԱՍԻՆ. Նմանապես ապացուցված է, որ ՄԱՍԻՆ = ՄԱՍԻՆև այլն: Այսպիսով, կետը ՄԱՍԻՆհավասար հեռավորության վրա գտնվող բազմանկյան բոլոր գագաթներից, այնպես որ շրջանագիծը կենտրոնով ՄԱՍԻՆշառավիղը ՄԱՍԻՆշրջագծված է բազմանկյունով:

Այժմ փաստենք, որ կա միայն մեկ սահմանափակ շրջանակ։ Դիտարկենք բազմանկյան երեք գագաթներ, օրինակ. ԲԱՅՑ 2 , . Քանի որ այս կետերով անցնում է միայն մեկ շրջան, ապա բազմանկյունի մասին … Դուք չեք կարող նկարագրել մեկից ավելի շրջանակ:

• 4 Ցանկացած կանոնավոր պոլիգոնում կարելի է մակագրել շրջան և, ընդ որում, միայն մեկը:
• 5 Կանոնավոր բազմանկյունով գրված շրջանագիծը դիպչում է բազմանկյան կողմերին իրենց միջնակետերում:
• 6 Կանոնավոր բազմանկյունը շրջագծող շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է նույն բազմանկյունի մեջ գրված շրջանագծի կենտրոնի հետ։
• 7 Համաչափություն:

Ֆիգուրը կոչվում է սիմետրիկ (սիմետրիկ), եթե կա այնպիսի շարժում (ոչ նույնական), որը փոխակերպում է այս գործիչը իր մեջ:

• 7.1. Ընդհանուր եռանկյունը չունի առանցքներ կամ համաչափության կենտրոններ, այն սիմետրիկ չէ: Հավասարասրուն (բայց ոչ հավասարակողմ) եռանկյունն ունի համաչափության մեկ առանցք՝ հիմքին ուղղահայաց կիսանդրին:
• 7.2. Հավասարակողմ եռանկյունն ունի 120° պտտման անկյուն ունեցող սիմետրիայի երեք առանցք (կողքերին ուղղահայաց կիսադիրներ) և կենտրոնի շուրջ պտտվող համաչափություն։

7.3 Ցանկացած կանոնավոր n-գոն ունի n համաչափության առանցք, որոնք բոլորն անցնում են նրա կենտրոնով: Այն նաև ունի պտտվող սիմետրիա կենտրոնի նկատմամբ՝ պտտման անկյունով։

Նույնիսկ nՀամաչափության որոշ առանցքներ անցնում են հակառակ գագաթներով, մյուսները՝ հակառակ կողմերի միջնակետերով:

Տարօրինակի համար nյուրաքանչյուր առանցք անցնում է հակառակ կողմի գագաթով և միջնակետով:

Զույգ թվով կողմերով կանոնավոր բազմանկյան կենտրոնը նրա համաչափության կենտրոնն է: Կենտ թվով կողմերով կանոնավոր բազմանկյունը չունի համաչափության կենտրոն:

8 Նմանություն.

Նմանությամբ, և -gon-ը գնում է -gon, կես հարթություն - կիսահավասարության մեջ, հետևաբար ուռուցիկ n-գոնը դառնում է ուռուցիկ n-գոն.

Թեորեմ. Եթե ուռուցիկ բազմանկյունների կողմերն ու անկյունները բավարարում են հավասարությունները.

որտեղ է պոդիումի գործակիցը

ապա այս բազմանկյունները նման են:

• 8.1 Երկու նմանատիպ բազմանկյունների պարագծերի հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցին։
• 8.2. Երկու ուռուցիկ միանման բազմանկյունների մակերեսների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցի քառակուսուն։

Բազմանկյուն եռանկյունի պարագծի թեորեմ