Ինչպես կառուցել երկփեղկ անկյուն: Երկկողմանի անկյուն՝ հարթությանը ուղղահայաց

«Երկկողմանի անկյուն» - Գտեք B կետից մինչև հարթության հեռավորությունը: C անկյունը սուր է: ABC եռանկյունը բութ եռանկյուն է: C անկյունը բութ է: Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ: DABC քառաեդրոնում բոլոր եզրերը հավասար են: Անկյուն լանջերի միջև: Թեքության հիմքերի միջև հեռավորությունը: Երկկողմանի անկյան գծային անկյունները հավասար են։ Գծային անկյուն կառուցելու ալգորիթմ.

«Երկկողմանի անկյան երկրաչափություն» - անկյուն RSV - գծային AC եզրով երկփեղկ անկյան համար: Գտե՛ք (տես) երկանկյուն անկյան եզրն ու երեսները։ Մոդելը կարող է լինել և՛ եռաչափ, և՛ ծալովի։ Երկկողմանի անկյան հատվածը եզրին ուղղահայաց հարթությամբ: Դեմքեր. CP ուղիղը ուղղահայաց է CA եզրին (երեք ուղղանկյունների թեորեմով): Անկյուն RKV - գծային RSAV-ի հետ երկփեղկ անկյան համար:

«Եռանկյուն» - Եռանկյուն անկյունների հավասարության նշաններ։ Տրված է՝ Оabc – եռանկյուն; ?(b; c) = ?; ?(ա; գ) = ?; ?(ա; բ) = ?. Դաս 6 1) Ուղիղ գծի և հարթության անկյունը հաշվարկելու համար կիրառելի է բանաձևը՝ երեք կոսինուսների բանաձև: . Տրվում է եռանկյուն Oabc անկյուն: եռանկյուն անկյուն: Թեորեմ. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգում գագաթի հարթ անկյունը 120°-ից պակաս է:

«Եռանկյուն և բազմանիստ անկյուններ» - Տասնյակի եռանկյուն անկյունները։ Ռոմբիկ դոդեկաեդրոնի եռանկյուն և քառանիստ անկյունները: Ութանիստի քառանիստ անկյունները. Չորեքդրոնի եռանկյուն անկյունները: Բազմաթև անկյունների չափում. Առաջադրանք. Բազմակողմանի անկյուններ. Իկոսաեդրոնի հնգակողմ անկյունները. Ուղղահայաց բազմանիստ անկյուններ. Բուրգի եռանկյուն անկյուն. Թող SA1…An լինի ուռուցիկ n-անկյուն:

«Անկյուն ուղիղի և հարթության միջև» - Ճիշտ 6-րդ պրիզմայում A ... F1, որի եզրերը հավասար են 1-ի, գտե՛ք անկյունը AC1 գծի և ADE1 հարթության միջև։ Ճիշտ 6-րդ պրիզմայում A…F1, որի եզրերը հավասար են 1-ի, գտե՛ք անկյունը AA1 ուղիղի և ACE1 հարթության միջև: Անկյուն ուղիղի և հարթության միջև: A…F1 կանոնավոր 6-րդ պրիզմայում, որի եզրերը հավասար են 1-ի, գտե՛ք անկյունը AB1 ուղիղի և ADE1 հարթության միջև։

«Polyhedral angle» - ուռուցիկ բազմանիստ անկյուններ: Բազմակողմանի անկյուններ. Կախված երեսների քանակից՝ բազմանիստ անկյունները լինում են եռանկյուն, քառանիստ, հնգաթև և այլն։ Բ) իկոսաեդրոն. Եռանկյունի երկու հարթ անկյունները 70° և 80° են։ Հետևաբար, ? ASB+? BSC+? ASC< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Ընդհանուր առմամբ թեմայում կա 9 ներկայացում

Երկրաչափության մեջ՝ ձևերն ուսումնասիրելու համար՝ երկու կարևոր բնութագրերԿողմերի երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունները: Տարածական ֆիգուրների դեպքում այս բնութագրերին ավելացվում են երկփեղկ անկյուններ։ Եկեք քննարկենք, թե ինչ է դա, ինչպես նաև նկարագրենք այս անկյունների որոշման մեթոդը՝ օգտագործելով բուրգի օրինակը:

Dihedral անկյան հայեցակարգը

Բոլորը գիտեն, որ երկու հատվող ուղիղները իրենց հատման կետում անկյուն են կազմում գագաթի հետ։ Այս անկյունը կարելի է չափել անկյունաչափով կամ օգտագործել եռանկյունաչափական ֆունկցիաներայն հաշվարկելու համար։ Երկու ուղղանկյունով ձևավորված անկյունը կոչվում է գծային անկյուն:

Հիմա եկեք պատկերացնենք, որ եռաչափ տարածությունԿան երկու հարթություններ, որոնք հատվում են ուղիղ գծով։ Դրանք պատկերված են նկարում։

Երկկողմանի անկյունը երկու հատվող հարթությունների անկյունն է: Ճիշտ այնպես, ինչպես գծայինը, այն չափվում է աստիճաններով կամ ռադիաններով: Եթե ​​ուղիղ գծի ցանկացած կետի վրա, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են, վերականգնենք այս հարթություններում ընկած երկու ուղղահայաց, ապա նրանց միջև անկյունը կլինի պահանջվող երկուղիղը: Այս անկյունը որոշելու ամենահեշտ ձևը հարթությունների հավասարումների օգտագործումն է ընդհանուր տեսարան.

Հարթությունների հավասարումը և նրանց միջև անկյան բանաձևը

Տիեզերքի ցանկացած հարթության հավասարումը ընդհանուր արտահայտությամբ գրված է հետևյալ կերպ.

A × x + B × y + C × z + D = 0:

Այստեղ x, y, z հարթությանը պատկանող կետերի կոորդինատներն են, A, B, C, D գործակիցները որոշ հայտնի թվեր են։ Երկկողմանի անկյունները հաշվարկելու համար այս հավասարության հարմարությունն այն է, որ այն բացահայտորեն պարունակում է հարթության ուղղության վեկտորի կոորդինատները։ Մենք այն կնշենք n¯-ով: Ապա.

Վեկտորը n¯ ուղղահայաց է հարթությանը: Անկյուն երկու հարթությունների միջև հավասար է անկյաննրանց n 1 ¯ և n 2 ¯ միջև: Մաթեմատիկայից հայտնի է, որ երկու վեկտորների կազմած անկյունը եզակիորեն որոշվում է դրանց սկալյար արտադրյալից։ Սա թույլ է տալիս գրել բանաձև երկու հարթությունների միջև երկփեղկ անկյունը հաշվարկելու համար.

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

Եթե ​​փոխարինենք վեկտորների կոորդինատները, ապա բանաձևը հստակորեն կգրվի.

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))):

Մոդուլի նշանը համարիչում օգտագործվում է միայն որոշելու համար սուր անկյուն, քանի որ երկնիշ անկյունը միշտ փոքր է կամ հավասար է 90 o-ի:

Բուրգը և դրա անկյունները

Բուրգը պատկեր է, որը ձևավորվում է մեկ n-անկյուն և n եռանկյունիներով: Այստեղ n-ն ամբողջ թիվ է, որը հավասար է բուրգի հիմքը հանդիսացող բազմանկյունի կողմերի թվին: Այս տարածական պատկերը բազմանիստ կամ պոլիէդրոն է, քանի որ այն բաղկացած է հարթ դեմքերից (կողմերից):

Բուրգային պոլիեդրաները կարող են լինել երկու տեսակի.

• հիմքի և կողմի միջև (եռանկյուն);
• երկու կողմերի միջև։

Եթե ​​բուրգը համարվում է կանոնավոր, ապա դրա համար անվանված անկյունները հեշտ է որոշել։ Դա անելու համար, ըստ երեք հայտնի կետերի կոորդինատների, պետք է կազմվի հարթությունների հավասարումը, այնուհետև φ անկյան համար օգտագործել վերը նշված պարբերությունում տրված բանաձևը:

Ստորև բերում ենք մի օրինակ, որտեղ ցույց ենք տալիս, թե ինչպես կարելի է գտնել քառանկյուն կանոնավոր բուրգի հիմքում երկանկյուն անկյունները:

Քառանկյուն և նրա հիմքի անկյունը

Ենթադրենք, մեզ տրված է քառակուսի հիմքով կանոնավոր բուրգ: Քառակուսու կողմի երկարությունը a է, պատկերի բարձրությունը՝ h։ Գտե՛ք անկյունը բուրգի հիմքի և նրա կողմի միջև:

Կոորդինատային համակարգի սկզբնաղբյուրը տեղադրում ենք քառակուսու կենտրոնում։ Այնուհետև նկարում ներկայացված A, B, C, D կետերի կոորդինատները հավասար կլինեն.

A = (a / 2; -a / 2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

Դիտարկենք ACB և ADB ինքնաթիռները: Ակնհայտ է, որ ուղղության վեկտորը n 1 ¯ ACB հարթության համար հավասար կլինի.

ԱԶԲ հարթության n 2 ¯ ուղղության վեկտորը որոշելու համար մենք գործում ենք հետևյալ կերպ. գտնել երկու կամայական վեկտոր, որոնք պատկանում են դրան, օրինակ՝ AD¯ և AB¯, ապա հաշվարկել դրանց խաչաձև արտադրյալը: Դրա արդյունքը կտա կոորդինատները n 2 ¯: Մենք ունենք:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2):

Քանի որ վեկտորի բազմապատկումն ու բաժանումը թվի վրա չի փոխում նրա ուղղությունը, ստացված n 2 ¯-ը փոխակերպում ենք՝ նրա կոորդինատները բաժանելով -a-ի, ստանում ենք.

Մենք սահմանել ենք ուղղության վեկտորներ n 1 ¯ և n 2 ¯ հիմնական հարթությունների ACB-ի և կողային կողմի ԱԶԲ-ի համար: Մնում է օգտագործել φ անկյան բանաձևը.

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)):

Եկեք վերափոխենք ստացված արտահայտությունը և վերագրենք այն այսպես.

φ \u003d arccos (a / √ (a 2 + 4 × h 2)).

Մենք ստացել ենք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքի երկանկյուն անկյան բանաձևը: Իմանալով գործչի բարձրությունը և նրա կողմի երկարությունը՝ կարող եք հաշվարկել φ անկյունը։ Օրինակ՝ Քեոպսի բուրգի համար, որի հիմքի կողմը 230,4 մետր է, իսկ սկզբնական բարձրությունը՝ 146,5 մետր, φ անկյունը հավասար կլինի 51,8 o։

Դուք կարող եք նաև որոշել քառանկյուն կանոնավոր բուրգի երկփեղկ անկյունը՝ օգտագործելով երկրաչափական մեթոդը: Դա անելու համար բավական է դիտարկել ուղղանկյուն եռանկյունին, որը կազմված է h բարձրությունից, a/2 հիմքի երկարության կեսից և հավասարաչափ եռանկյունու ապոտեմից:

Dihedral անկյուն. Գծային անկյուն dihedral անկյուն. Երկկողմանի անկյունը այն պատկերն է, որը կազմված է երկու կիսահարթություններից, որոնք չեն պատկանում նույն հարթությանը և ունեն ընդհանուր սահման՝ ուղիղ a. Երկկողմանի անկյուն կազմող կիսհարթությունները կոչվում են նրա դեմքեր, իսկ այդ կիսահարթությունների ընդհանուր սահմանը կոչվում է երկփեղկ անկյունի եզր։ Երկկողմանի անկյան գծային անկյունն այն անկյունն է, որի կողմերն այն ճառագայթներն են, որոնց երկայնքով երկանկյուն անկյան երեսները հատվում են երկնիստ անկյան եզրին ուղղահայաց հարթության հետ։ Յուրաքանչյուր երկուղի անկյուն ունի այնքան գծային անկյուններ, որքան ցանկանում եք. եզրի յուրաքանչյուր կետի միջով կարելի է գծել այս եզրին ուղղահայաց հարթություն. ճառագայթները, որոնց երկայնքով այս հարթությունը հատում է երկփեղկ անկյան երեսները և կազմում գծային անկյուններ։

Երկկողմանի անկյան բոլոր գծային անկյունները հավասար են միմյանց: Ապացուցենք, որ եթե KABC բուրգի հիմքի հարթությունից և նրա կողային երեսների հարթություններից կազմված երկանկյուն անկյունները հավասար են, ապա K գագաթից գծված ուղղահայաց հիմքը եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է։ ABC.

Ապացույց. Առաջին հերթին մենք կառուցում ենք հավասար երկփեղկ անկյունների գծային անկյուններ: Ըստ սահմանման, գծային անկյան հարթությունը պետք է ուղղահայաց լինի երկփեղկ անկյան եզրին: Ուստի երկփեղկ անկյան եզրը պետք է ուղղահայաց լինի գծային անկյան կողմերին։ Եթե ​​KO-ն ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը, ապա մենք կարող ենք նկարել OP ուղղահայաց AC-ին, OR ուղղահայաց CB-ին, OQ ուղղահայաց AB-ին, այնուհետև P, Q, R կետերը միացնել K կետին: Այսպիսով, մենք կկառուցենք պրոյեկցիա: թեք RK, QK, RK այնպես, որ AC, CB, AB եզրերը ուղղահայաց լինեն այս ելուստներին: Հետեւաբար, այս եզրերը նույնպես ուղղահայաց են թեքվածներին։ Եվ հետևաբար ROK, QOK, ROK եռանկյունների հարթությունները ուղղահայաց են երկփեղկ անկյան համապատասխան եզրերին և կազմում են այդ հավասար գծային անկյունները, որոնք նշված են պայմանում։ ROK, QOK, ROK ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են (քանի որ նրանք ունեն ընդհանուր OK ոտք և այս ոտքին հակառակ անկյունները հավասար են): Հետեւաբար, OR = OR = OQ: Եթե ​​գծենք O կենտրոնով և OP շառավղով շրջան, ապա ABC եռանկյան կողմերը ուղղահայաց են OP, OR և OQ շառավղներին և հետևաբար շոշափում են այս շրջանագծին:

Հարթության ուղղահայացություն. Ալֆա և բետա հարթությունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե դրանց խաչմերուկում ձևավորված երկանկյուն անկյուններից մեկի գծային անկյունը 90 է։ Երկու հարթությունների ուղղահայացության նշաններ Եթե երկու հարթություններից մեկն անցնում է մյուս հարթությանը ուղղահայաց գծով, ապա այդ հարթությունները։ ուղղահայաց են.

Նկարում պատկերված է ուղղանկյուն զուգահեռանիպեդ: Նրա հիմքերն են ABCD և A1B1C1D1 ուղղանկյունները: Իսկ AA1 BB1, CC1, DD1 կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին։ Հետևում է, որ AA1-ը ուղղահայաց է AB-ին, այսինքն՝ կողային երեսը ուղղանկյուն է: Այսպիսով, կարելի է հիմնավորել խորանարդի հատկությունները. խորանարդի մեջ բոլոր վեց երեսները ուղղանկյուն են։ Խորանարդի մեջ բոլոր վեց դեմքերը ուղղանկյուն են: Խորանարդի բոլոր երկանկյուն անկյունները ուղիղ են: Խորանարդի բոլոր երկանկյուն անկյունները ուղիղ են:

Թեորեմ Ուղղանկյուն զուգահեռագծի անկյունագծի քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին: Եկեք նորից դիմենք նկարին, և մենք կապացուցենք, որ AC12 \u003d AB2 + AD2 + AA12 Քանի որ CC1 եզրը ուղղահայաց է ABCD հիմքին, ապա AC1 անկյունը ճիշտ է: Սկսած ուղղանկյուն եռանկյուն ACC1 Պյութագորասի թեորեմով ստանում ենք AC12=AC2+CC12: Բայց AC-ը ABCD ուղղանկյան անկյունագիծն է, ուստի AC2 = AB2+AD2: Նաև CC1 = AA1: Ուստի AC12=AB2+AD2+AA12 թեորեմն ապացուցված է։

Dihedral անկյան հայեցակարգը

Երկկողմանի անկյան հասկացությունը ներկայացնելու համար նախ հիշում ենք ստերեոմետրիայի աքսիոմներից մեկը:

Ցանկացած հարթություն կարելի է բաժանել այս հարթության մեջ ընկած $a$ գծի երկու կիսահավասարությունների։ Այս դեպքում նույն կիսահարթության մեջ ընկած կետերը $a$ ուղիղ գծի նույն կողմում են, իսկ տարբեր կիսահարթություններում գտնվող կետերը՝ նույն կողմում։ տարբեր կողմեր$a$ ուղիղ գծից (նկ. 1):

Նկար 1.

Այս աքսիոմի վրա է հիմնված երկփեղկ անկյուն կառուցելու սկզբունքը։

Սահմանում 1

Ֆիգուրը կոչվում է dihedral անկյունեթե այն բաղկացած է մի գծից և այս ուղիղի երկու կիսահարթություններից, որոնք չեն պատկանում նույն հարթությանը։

Այս դեպքում կոչվում են երկփեղկ անկյան կիսահարթություններ դեմքեր, և ուղիղ գիծը, որը բաժանում է կիսանավերը. dihedral եզր(նկ. 1):

Նկար 2. Dihedral անկյուն

Երկկողմանի անկյան աստիճանի չափում

Սահմանում 2

Մենք ընտրում ենք կամայական $A$ կետ եզրին: Եզրին ուղղահայաց և $A$ կետում հատվող երկու ուղիղների միջև անկյունը կոչվում է. գծային անկյուն երկնիշ անկյուն(նկ. 3):

Նկար 3

Ակնհայտ է, որ յուրաքանչյուր երկուղի անկյուն ունի անսահման թվով գծային անկյուններ:

Թեորեմ 1

Մեկ երկփեղկ անկյան բոլոր գծային անկյունները հավասար են միմյանց:

Ապացույց.

Դիտարկենք $AOB$ և $A_1(OB)_1$ երկու գծային անկյուններ (նկ. 4):

Նկար 4

Քանի որ $OA$ և $(OA)_1$ ճառագայթները գտնվում են միևնույն $\alpha $ կիսահարթության մեջ և ուղղահայաց են մեկ ուղիղ գծին, դրանք համակողմանի են: Քանի որ $OB$ և $(OB)_1$ ճառագայթները գտնվում են միևնույն $\beta $ կիսահարթության մեջ և ուղղահայաց են մեկ ուղիղ գծին, դրանք համակողմանի են: Ուստի

\[\անկյուն AOB=\անկյուն A_1(OB)_1\]

Գծային անկյունների ընտրության կամայականության պատճառով: Մեկ երկփեղկ անկյան բոլոր գծային անկյունները հավասար են միմյանց:

Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում 3

Երկկողմանի անկյան աստիճանի չափումը երկիդրային անկյան գծային անկյան չափն է։

Առաջադրանքների օրինակներ

Օրինակ 1

Տրվենք $\ալֆա $ և $\beta $ երկու ոչ ուղղահայաց հարթություններ, որոնք հատվում են $m$ ուղիղի երկայնքով։ $A$ կետը պատկանում է $\beta $ հարթությանը: $AB$-ը $m$ ուղղին ուղղահայաց է: $AC$-ն ուղղահայաց է $\alpha $ հարթությանը ($C$ կետը պատկանում է $\alpha $-ին): Ապացուցեք, որ $ABC$ անկյունը երկփեղկ անկյան գծային անկյունն է։

Ապացույց.

Նկար գծենք ըստ խնդրի վիճակի (նկ. 5):

Նկար 5

Դա ապացուցելու համար հիշեցնում ենք հետևյալ թեորեմը

Թեորեմ 2:Թեքվածի հիմքով անցնող ուղիղ գիծը ուղղահայաց է նրա ելուստին։

Քանի որ $AC$-ը $\alpha $ հարթությանը ուղղահայաց է, ապա $C$ կետը $A$ կետի պրոյեկցիան է $\alpha $ հարթության վրա։ Այսպիսով, $BC$-ը թեք $AB$-ի պրոյեկցիան է: Թեորեմ 2-ով $BC$-ն ուղղահայաց է երկփեղկ անկյան եզրին:

Այնուհետև $ABC$ անկյունը բավարարում է երկփեղկ անկյան գծային անկյունը որոշելու բոլոր պահանջները։

Օրինակ 2

Երկկողմանի անկյունը $30^\circ$ է։ Դեմքերից մեկի վրա գտնվում է $A$ կետը, որը գտնվում է մյուս երեսից $4$ սմ հեռավորության վրա։Գտե՛ք հեռավորությունը $A$ կետից մինչև երկփեղկ անկյունի եզրը։

Որոշում.

Եկեք նայենք նկար 5-ին:

Ենթադրությամբ ունենք $AC=4\cm$։

Երկկողմանի անկյան աստիճանի չափման սահմանմամբ մենք ունենք, որ $ABC$ անկյունը հավասար է $30^\circ$-ի։

$ABC$ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Սուր անկյան սինուսի սահմանմամբ

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

ԴԱՍԻ ՏԵՔՍՏԻ ԲԱՑԱՏՐՈՒԹՅՈՒՆ.

Պլանաչափության մեջ հիմնական առարկաներն են ուղիղները, հատվածները, ճառագայթները և կետերը: Մի կետից բխող ճառագայթները կազմում են նրանց երկրաչափական ձևերից մեկը՝ անկյուն։

Մենք գիտենք, որ գծային անկյունը չափվում է աստիճաններով և ռադիաններով:

Ստերեոմետրիայում օբյեկտներին ավելացվում է հարթություն։ a ուղիղ գծով և a ընդհանուր սահման ունեցող երկու կիսհարթություններով կազմված պատկերը, որոնք երկրաչափության մեջ նույն հարթությանը չեն պատկանում, կոչվում է երկուղի անկյուն։ Կես հարթությունները երկփեղկ անկյան երեսներն են: Ուղիղ a-ն երկփեղկ անկյան եզրն է։

Երկկողմանի անկյունը, ինչպես գծային անկյունը, կարելի է անվանել, չափել, կառուցել։ Սա այն է, ինչ մենք պարզելու ենք այս դասում:

Գտեք երկանկյուն անկյունը ABCD քառանիստ մոդելի վրա:

AB եզրով երկանկյուն անկյունը կոչվում է CABD, որտեղ C և D կետերը պատկանում են անկյան տարբեր երեսներին, իսկ AB եզրը կոչվում է մեջտեղում:

Մեր շուրջը կան բազմաթիվ առարկաներ, որոնց տարրերը ունեն երկփեղկ անկյան տեսքով։

Շատ քաղաքներում զբոսայգիներում հաշտեցման համար հատուկ նստարաններ են տեղադրվել։ Նստարանը պատրաստված է երկու թեք հարթությունների տեսքով, որոնք զուգորդվում են դեպի կենտրոն։

Տներ կառուցելիս, այսպես կոչված gable տանիք. Այս տան տանիքը պատրաստված է 90 աստիճան երկնիշ անկյունի տեսքով։

Դիեդրալ անկյունը նույնպես չափվում է աստիճաններով կամ ռադիաններով, բայց ինչպես չափել այն:

Հետաքրքիր է նշել, որ տների տանիքներն ընկած են լանջերի վրա։ Իսկ գավազանների վանդակը տվյալ անկյան տակ տանիքի երկու լանջ է կազմում։

Եկեք պատկերը տեղափոխենք գծագրին։ Գծագրում երկանկյուն անկյուն գտնելու համար նրա եզրին նշվում է B կետը, այս կետից անկյան եզրին ուղղահայաց գծված են երկու BA և BC ճառագայթներ։ Այս ճառագայթների կողմից ձևավորված ABC անկյունը կոչվում է երկփեղկ անկյան գծային անկյուն։

Երկկողմանի անկյան աստիճանի չափը հավասար է նրա գծային անկյան աստիճանի չափմանը։

Չափենք AOB անկյունը։

Տրված երկնիստ անկյան աստիճանի չափը վաթսուն աստիճան է։

Երկկողմանի անկյան գծային անկյունները կարելի է գծել անսահման թվով, կարևոր է իմանալ, որ դրանք բոլորը հավասար են:

Դիտարկենք երկու գծային անկյուններ AOB և A1O1B1: OA և O1A1 ճառագայթները գտնվում են նույն դեմքի վրա և ուղղահայաց են OO1 ուղիղ գծին, ուստի դրանք ուղղորդված են համատեղ: OB և O1B1 ճառագայթները նույնպես համատեղ ուղղորդված են: Հետևաբար, AOB անկյունը հավասար է A1O1B1 անկյան որպես միակողմանի կողմերով անկյուններ:

Այսպիսով, երկուղի անկյունը բնութագրվում է գծային անկյունով, իսկ գծային անկյունները սուր են, բութ և ուղիղ: Դիտարկենք երկփեղկ անկյունների մոդելները:

Բութ անկյուն է համարվում այն ​​անկյունը, որի գծային անկյունը գտնվում է 90-ից 180 աստիճանի միջև:

Ուղղանկյուն, եթե նրա գծային անկյունը 90 աստիճան է:

Սուր անկյուն, եթե նրա գծային անկյունը 0-ից 90 աստիճան է:

Եկեք ապացուցենք գծային անկյան կարևոր հատկություններից մեկը։

Գծային անկյան հարթությունը ուղղահայաց է երկփեղկ անկյան եզրին:

Թող AOB անկյունը լինի տրված երկփեղկ անկյան գծային անկյունը: Ըստ կառուցման՝ AO և OB ճառագայթները ուղղահայաց են a ուղիղ գծին։

AOB հարթությունն անցնում է AO և OB երկու հատվող ուղիղների միջով ըստ թեորեմի՝ Հարթությունն անցնում է երկու հատվող ուղիղների միջով, ընդ որում՝ միայն մեկով։

a ուղիղը ուղղահայաց է այս հարթության մեջ ընկած երկու հատվող ուղիղներին, ինչը նշանակում է, որ ուղիղի և հարթության ուղղահայացության նշանով a ուղիղը ուղղահայաց է AOB հարթությանը։

Խնդիրները լուծելու համար կարևոր է, որ կարողանանք կառուցել տրված երկփեղկ անկյան գծային անկյուն: Կառուցեք երկանկյունի գծային անկյունը AB եզրով ABCD քառանիստի համար:

Խոսքը երկփեղկ անկյան մասին է, որը ձևավորվում է առաջին հերթին AB եզրով, մեկ երեսակ ABD, երկրորդ երեսակ ABC։

Ահա մի ճանապարհ կառուցելու.

D կետից ABC հարթությանը ուղղահայաց գծենք, M կետը նշենք որպես ուղղահայացի հիմք։ Հիշենք, որ քառանիստում ուղղանկյունի հիմքը համընկնում է քառանիստի հիմքում ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ:

D կետից AB եզրին ուղղահայաց թեքություն գծեք, որպես թեքության հիմք նշեք N կետը:

DMN եռանկյան մեջ NM հատվածը կլինի թեք DN-ի կանխատեսումները ABC հարթության վրա: Ըստ երեք ուղղանկյունների թեորեմի՝ AB եզրը ուղղահայաց կլինի NM պրոյեկցիայի վրա։

Սա նշանակում է, որ DNM անկյան կողմերը ուղղահայաց են AB եզրին, ինչը նշանակում է, որ կառուցված DNM անկյունը պահանջվող գծային անկյունն է:

Դիտարկենք երկփեղկ անկյունը հաշվարկելու խնդրի լուծման օրինակ:

Iosceles եռանկյունին ABC և կանոնավոր եռանկյունին ADB չեն գտնվում նույն հարթության վրա: CD հատվածը ուղղահայաց է ԱԶԲ հարթությանը: Գտե՛ք DABC երկանկյուն անկյունը, եթե AC=CB=2սմ, AB=4սմ։

Dihedral անկյունը DABC հավասար է իր գծային անկյունին: Եկեք կառուցենք այս անկյունը:

Գծենք AB եզրին ուղղահայաց թեք SM, քանի որ ACB եռանկյունը հավասարաչափ է, ապա M կետը կհամընկնի AB եզրի միջնակետի հետ։

CD գիծը ուղղահայաց է ADB հարթությանը, ինչը նշանակում է, որ այն ուղղահայաց է այս հարթության մեջ ընկած DM գծին: Իսկ MD հատվածը թեք SM-ի պրոյեկցիան է ԱԶԲ հարթության վրա:

AB ուղիղը կառուցմամբ ուղղահայաց է թեք CM-ին, ինչը նշանակում է, որ երեք ուղղանկյունների թեորեմով այն ուղղահայաց է պրոյեկցիայի MD-ին:

Այսպիսով, երկու ուղղահայաց CM և DM հայտնաբերվել են AB եզրին: Այսպիսով, նրանք կազմում են DABC երկփեղկ անկյան СMD գծային անկյուն: Եվ մեզ մնում է գտնել այն СDM ուղղանկյուն եռանկյունից։

Քանի որ SM հատվածը ASV հավասարաչափ եռանկյան միջինն ու բարձրությունն է, ապա Պյութագորասի թեորեմի համաձայն SM-ի ոտքը 4 սմ է։

DMB ուղղանկյուն եռանկյունից, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, DM ոտքը հավասար է երեքի երկու արմատին:

Ուղղանկյուն եռանկյունից անկյան կոսինուսը հավասար է հարակից MD ոտքի և CM հիպոթենուսի հարաբերությանը և հավասար է երեք արմատների երկուսի երեք արմատներին: Այսպիսով, CMD անկյունը 30 աստիճան է: