Trapezoid-ի միջին գիծը հիմքի կեսն է: Trapeze

Trapezoid-ի միջին գծի հայեցակարգը

Նախ, եկեք հիշենք, թե ինչ գործիչ է կոչվում trapezoid:

Սահմանում 1

Trapezoid-ը քառանկյուն է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն:

Այս դեպքում զուգահեռ կողմերը կոչվում են trapezoid-ի հիմքեր, իսկ ոչ զուգահեռները՝ trapezoid-ի կողմերը:

Սահմանում 2

Trapezoid-ի միջին գիծը գծային հատված է, որը միացնում է trapezoid-ի կողմերի միջնակետերը:

Տրապեզիայի միջին գծի թեորեմ

Այժմ մենք ներկայացնում ենք թեորեմը trapezoid-ի միջին գծի վերաբերյալ և այն ապացուցում վեկտորային մեթոդով:

Թեորեմ 1

Trapezoid-ի միջնագիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց գումարի կեսին:

Ապացույց.

Մեզ տրվի $ABCD$ $AD\ և\ BC$ հիմքերով trapezoid: Եվ թող $MN$ -- միջին գիծայս trapezoid (նկ. 1):

Նկար 1. Trapezoid- ի միջին գիծը

Եկեք ապացուցենք, որ $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$:

Դիտարկենք $\overrightarrow(MN)$ վեկտորը: Հաջորդը, մենք օգտագործում ենք պոլիգոնի կանոնը վեկտորի գումարման համար: Մի կողմից մենք ստանում ենք դա

Մյուս կողմից

Գումարելով վերջին երկու հավասարումները՝ ստանում ենք

Քանի որ $M$-ը և $N$-ը trapezoid-ի կողմերի միջնակետերն են, մենք ունենք

Մենք ստանում ենք.

Ուստի

Նույն հավասարությունից (քանի որ $\overrightarrow(BC)$-ը և $\overrightarrow(AD)$-ը համակողմանի են և, հետևաբար, համագիծ), մենք ստանում ենք $MN||AD$:

Թեորեմն ապացուցված է.

Տրապիզոնի միջին գծի հայեցակարգի վերաբերյալ առաջադրանքների օրինակներ

Օրինակ 1

Trapezoid-ի կողմերը համապատասխանաբար $15\cm$ և $17\cm$ են։ Trapezoid-ի պարագիծը $52\cm$ է։ Գտե՛ք տրապեզի միջին գծի երկարությունը:

Որոշում.

Նշեք տրապեզի միջին գիծը $n$-ով:

Կողմերի գումարը կազմում է

Հետևաբար, քանի որ պարագիծը $52\cm$ է, հիմքերի գումարը կազմում է

Այսպիսով, թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

Պատասխան.$ 10 \ սմ $.

Օրինակ 2

Շրջանակի տրամագծի ծայրերը համապատասխանաբար $9$ սմ և $5$ սմ են նրա շոշափողից։Գտե՛ք այս շրջանագծի տրամագիծը։

Որոշում.

Եկեք մեզ տրվի $O$ կենտրոնով և $AB$ տրամագծով շրջան: Գծե՛ք $l$ շոշափողը և կառուցե՛ք $AD=9\ cm$ և $BC=5\ cm$ հեռավորությունները։ Գծենք $OH$ շառավիղը (նկ. 2):

Նկար 2.

Քանի որ $AD$ և $BC$-ը շոշափողի հեռավորություններն են, ապա $AD\bot l$ և $BC\bot l$ և քանի որ $OH$-ը շառավիղն է, ապա $OH\bot l$, հետևաբար $OH | \ձախ|AD\աջ||BC$. Այս ամենից մենք ստանում ենք, որ $ABCD$-ը trapezoid է, իսկ $OH$-ը նրա միջին գիծն է: Թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

Այս հոդվածում մենք կփորձենք հնարավորինս լիարժեք արտացոլել trapezoid-ի հատկությունները: Մասնավորապես, մենք կխոսենք ընդհանուր հատկանիշներեւ trapezoid-ի հատկությունները, ինչպես նաեւ ներգծված trapezoid-ի եւ trapezoid-ի մեջ ներգծված շրջանագծի հատկությունների մասին: Կանդրադառնանք նաև հավասարաչափ և ուղղանկյուն trapezoid-ի հատկություններին։

Դիտարկված հատկությունների միջոցով խնդրի լուծման օրինակը կօգնի ձեզ դասավորել ձեր գլխում ամեն ինչ և ավելի լավ հիշել նյութը:

Trapeze և բոլոր-բոլոր-բոլորը

Սկսելու համար, եկեք համառոտ հիշենք, թե ինչ է trapezoid- ը և ինչ այլ հասկացություններ են կապված դրա հետ:

Այսպիսով, trapezoid- ը քառանկյուն պատկեր է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են միմյանց (դրանք հիմքերն են): Եվ երկուսը զուգահեռ չեն՝ սրանք կողմերն են։

Trapezoid-ում բարձրությունը կարելի է բաց թողնել՝ հիմքերին ուղղահայաց: Գծված են միջին գիծը և անկյունագծերը։ Եվ նաև trapezoid-ի ցանկացած անկյունից հնարավոր է գծել կիսաչափ։

Pro տարբեր հատկություններկապված այս բոլոր տարրերի և դրանց համակցությունների հետ, մենք հիմա կխոսենք:

Trapezoid-ի անկյունագծերի հատկությունները

Որպեսզի ավելի պարզ լինի, կարդալիս ուրվագծեք ACME trapezoid-ը թղթի վրա և դրա մեջ գծեք անկյունագծեր:

Եթե գտնեք շեղանկյուններից յուրաքանչյուրի միջնակետերը (այս կետերը կոչենք X և T) և միացնեք դրանք, կստանաք հատված: Trapezoid-ի անկյունագծերի հատկություններից մեկն այն է, որ XT հատվածը գտնվում է միջին գծի վրա: Իսկ դրա երկարությունը կարելի է ստանալ՝ հիմքերի տարբերությունը երկուսի բաժանելով. XT \u003d (a - b) / 2.
Մեր առաջ նույն ACME trapezoid է: Անկյունագծերը հատվում են O կետում: Դիտարկենք AOE և IOC եռանկյունները, որոնք կազմված են անկյունագծերի հատվածներից տրապեզի հիմքերի հետ միասին: Այս եռանկյունները նման են. k եռանկյունների նմանության գործակիցն արտահայտվում է տրապեզի հիմքերի հարաբերությամբ. k = AE/KM:
AOE և IOC եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը նկարագրվում է k 2 գործակցով:
Նույն trapezoid, նույն անկյունագծերը հատվում են O կետում: Միայն այս անգամ մենք կդիտարկենք եռանկյունները, որոնք անկյունագծային հատվածները ձևավորել են trapezoid-ի կողմերի հետ միասին: AKO և EMO եռանկյունների մակերեսները հավասար են, նրանց մակերեսները նույնն են:
Trapezoid- ի մեկ այլ հատկություն ներառում է անկյունագծերի կառուցումը: Այսպիսով, եթե AK-ի և ME-ի կողմերը շարունակենք ավելի փոքր հիմքի ուղղությամբ, ապա վաղ թե ուշ դրանք կհատվեն ինչ-որ կետի: Այնուհետև ուղիղ գիծ գծեք trapezoid-ի հիմքերի միջով: Այն հատում է հիմքերը X և T կետերում:
Եթե հիմա երկարացնենք XT ուղիղը, ապա այն կմիավորի O trapezoid-ի անկյունագծերի հատման կետը, այն կետը, որտեղ հատվում են X և T հիմքերի կողերի ընդարձակումները և միջնակետերը։
Անկյունագծերի հատման կետով մենք գծում ենք հատված, որը կմիացնի տրապեզի հիմքերը (T-ն ընկած է KM-ի փոքր հիմքի վրա, X-ը՝ ավելի մեծ AE-ի): Անկյունագծերի հատման կետը այս հատվածը բաժանում է հետևյալ հարաբերությամբ. TO/OH = KM/AE.
Իսկ այժմ անկյունագծերի հատման կետով մենք գծում ենք տրապեզի (a և b) հիմքերին զուգահեռ հատված։ Խաչմերուկը այն կբաժանի երկու հավասար մասերի: Դուք կարող եք գտնել հատվածի երկարությունը՝ օգտագործելով բանաձևը 2ab/(a + b).

Trapezoid-ի միջին գծի հատկությունները

Տրապեզիում գծե՛ք միջին գիծը նրա հիմքերին զուգահեռ:

Trapezoid-ի միջին գծի երկարությունը կարելի է հաշվարկել հիմքերի երկարությունները ավելացնելով և դրանք կիսով չափ բաժանելով. m = (a + b)/2.
Եթե որևէ հատված (օրինակ՝ բարձրություն) գծեք տրապիզոնի երկու հիմքերի միջով, ապա միջին գիծը այն կբաժանի երկու հավասար մասերի։

Trapezoid-ի կիսադիրի հատկությունը

Ընտրեք տրապեզի ցանկացած անկյուն և գծեք կիսորդ: Վերցրեք, օրինակ, մեր տրապիզոիդ ACME-ի KAE անկյունը: Ինքնուրույն ավարտելով շինարարությունը, դուք հեշտությամբ կարող եք տեսնել, որ բիսեկտորը կտրում է հիմքից (կամ դրա շարունակությունը ուղիղ գծի վրա հենց նկարից դուրս) նույն երկարության հատվածը, ինչ կողմը:

Trapezoid անկյան հատկությունները

Կողքին կից երկու զույգ անկյուններից որն էլ ընտրեք, զույգի անկյունների գումարը միշտ 180 0 է՝ α + β = 180 0 և γ + δ = 180 0:
Trapezoid-ի հիմքերի միջնակետերը միացրեք TX հատվածով: Հիմա եկեք նայենք տրապիզոնի հիմքերի անկյուններին: Եթե դրանցից որևէ մեկի անկյունների գումարը 90 0 է, ապա TX հատվածի երկարությունը հեշտ է հաշվարկել՝ հիմնվելով հիմքերի երկարությունների տարբերության վրա՝ բաժանված կիսով չափ. TX \u003d (AE - KM) / 2.
Եթե trapezoid-ի անկյան կողմերի միջով զուգահեռ գծեր են գծվում, ապա դրանք անկյան կողմերը կբաժանեն համամասնական հատվածների:

Հավասարասրուն (հավասարաչափ) տրապիզոնի հատկությունները

Հավասարաչափ տրապիզոիդում հիմքերից որևէ մեկի անկյունները հավասար են:
Այժմ նորից կառուցեք trapezoid, որպեսզի ավելի հեշտ պատկերացնեք, թե ինչի մասին է խոսքը: Ուշադիր նայեք AE-ի հիմքին - M-ի հակառակ հիմքի գագաթը նախագծված է AE պարունակող գծի որոշակի կետի վրա: A գագաթից մինչև M գագաթի ելքային կետի հեռավորությունը և հավասարաչափ տրապիզոնի միջնագիծը հավասար են:
Մի քանի խոսք հավասարաչափ տրապիզոնի անկյունագծերի հատկության մասին՝ դրանց երկարությունները հավասար են։ Եվ նաև այս անկյունագծերի թեքության անկյունները դեպի տրապեզի հիմքը նույնն են։
Միայն հավասարաչափ տրապեզիի մոտ կարելի է նկարագրել շրջան, քանի որ քառանկյունի հակառակ անկյունների գումարը 180 0 դրա համար պարտադիր պայման է:
Հավասարաչափ տրապիզոնի հատկությունը բխում է նախորդ պարբերությունից. եթե շրջանագիծը կարելի է նկարագրել տրապեզիի մոտ, ապա այն հավասարաչափ է:
Հավասարասրուն տրապեզի հատկանիշներից հետևում է տրապեզի բարձրության հատկությանը. եթե նրա անկյունագծերը հատվում են ուղիղ անկյան տակ, ապա բարձրության երկարությունը հավասար է հիմքերի գումարի կեսին. h = (a + b)/2.
Տրապիզոնի հիմքերի միջնակետերով կրկին գծեք TX գիծը. Եվ միևնույն ժամանակ TX-ը հավասարաչափ տրապիզոնի համաչափության առանցքն է։
Այս անգամ ավելի մեծ հիմքի (եկեք այն անվանենք ա) բարձրությունը տրապեզի հակառակ գագաթից: Դուք կստանաք երկու կտրվածք: Մեկի երկարությունը կարելի է գտնել, եթե հիմքերի երկարությունները գումարվեն և բաժանվեն կիսով չափ. (ա+բ)/2. Երկրորդը ստանում ենք, երբ փոքրը հանում ենք մեծ հիմքից և ստացված տարբերությունը բաժանում ենք երկուսի. (ա – բ)/2.

Շրջանակով գծագրված տրապիզոնի հատկությունները

Քանի որ մենք արդեն խոսում ենք շրջանագծի մեջ ներգծված տրապիզոնի մասին, եկեք ավելի մանրամասն կանգ առնենք այս խնդրի վրա։ Մասնավորապես, որտեղ է շրջանագծի կենտրոնը տրապիզոնի նկատմամբ: Այստեղ էլ խորհուրդ է տրվում շատ չծուլանալ մատիտ վերցնել ու ինչ նկարել կքննարկվիստորև. Այսպիսով, դուք ավելի արագ կհասկանաք, և ավելի լավ կհիշեք:

Շրջանակի կենտրոնի գտնվելու վայրը որոշվում է տրապիզոիդի անկյունագծի թեքության անկյունով դեպի իր կողմը: Օրինակ, տրապեզոիդի վերևից անկյունագիծ կարող է առաջանալ դեպի կողքի ուղիղ անկյան տակ: Այս դեպքում ավելի մեծ հիմքը հատում է շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը հենց մեջտեղում (R = ½AE):
Շեղանկյունը և կողմը կարող են հանդիպել տակ սուր անկյուն- ապա շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է trapezoid-ի ներսում:
Շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը կարող է լինել տրապիզոիդից դուրս՝ նրա մեծ հիմքից այն կողմ, եթե տրապիզոնի անկյունագծի և կողային կողմի միջև կա բութ անկյուն։
Trapezoid ACME-ի (ներքաշված անկյուն) անկյունագծով և մեծ հիմքով ձևավորված անկյունը դրան համապատասխանող կենտրոնական անկյան կեսն է. MAE = ½ ԻՄ.
Հակիրճ շրջագծի շառավիղը գտնելու երկու եղանակի մասին: Մեթոդ առաջին. ուշադիր նայեք ձեր նկարին. ի՞նչ եք տեսնում: Դուք հեշտությամբ կնկատեք, որ անկյունագիծը տրապիզոիդը բաժանում է երկու եռանկյունի: Շառավիղը կարելի է գտնել եռանկյան կողմի և հակառակ անկյան սինուսի հարաբերության միջոցով՝ բազմապատկելով երկուսով: Օրինակ, R \u003d AE / 2 * sinAME. Նմանապես, բանաձևը կարող է գրվել երկու եռանկյունների ցանկացած կողմի համար:
Մեթոդ երկրորդ. մենք գտնում ենք շրջագծված շրջանագծի շառավիղը եռանկյունու տարածքի միջով, որը ձևավորվում է տրապիզոնի անկյունագծով, կողմով և հիմքով. R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Շրջանակով շրջագծված տրապիզոնի հատկությունները

Դուք կարող եք շրջանագիծ գրել trapezoid-ում, եթե բավարարված է մեկ պայման: Ավելին դրա մասին ստորև: Եվ միասին թվերի այս համադրությունը մի շարք հետաքրքիր հատկություններ ունի։

Եթե շրջանագիծը գրված է տրապիզոիդում, ապա նրա միջին գծի երկարությունը հեշտությամբ կարելի է գտնել՝ ավելացնելով կողմերի երկարությունները և ստացված գումարը կիսով չափ բաժանելով. m = (c + d)/2.
Շրջանակով շրջագծված trapezoid ACME-ի համար հիմքերի երկարությունների գումարը հավասար է կողմերի երկարությունների գումարին. AK + ME = KM + AE.
Trapezoid-ի հիմքերի այս հատկությունից հետևում է հակառակ պնդումը.
R շառավղով շրջանագծի շոշափող կետը, որը ներգծված է տրապիզոիդում, կողային կողմը բաժանում է երկու հատվածի, դրանք անվանենք a և b։ Շրջանի շառավիղը կարելի է հաշվարկել բանաձևով. r = √ab.
Եվ ևս մեկ գույք. Որպեսզի չշփոթվեք, ինքներդ նկարեք այս օրինակը։ Մենք ունենք հին լավ ACME trapezoid, որը շրջագծված է շրջանագծի շուրջ: Նրանում գծված են անկյունագծեր, որոնք հատվում են O կետում: Շեղանկյունների և կողմերի հատվածներից կազմված AOK և EOM եռանկյունները ուղղանկյուն են:
Այս եռանկյունների բարձրությունները, որոնք իջեցվել են մինչև հիպոթենուսները (այսինքն՝ տրապեզոիդի կողմերը), համընկնում են ներգծված շրջանագծի շառավղների հետ։ Իսկ trapezoid-ի բարձրությունը նույնն է, ինչ ներգծված շրջանագծի տրամագիծը։

Ուղղանկյուն trapezoid-ի հատկությունները

Տրապիզոն կոչվում է ուղղանկյուն, որի անկյուններից մեկը ճիշտ է: Եվ դրա հատկությունները բխում են հենց այս հանգամանքից։

Ուղղանկյուն տրապիզոիդն ունի հիմքերին ուղղահայաց կողմերից մեկը։
Կից տրապեզի բարձրությունը և կողմը Աջ անկյունը, հավասար են։ Սա թույլ է տալիս հաշվարկել ուղղանկյուն trapezoid-ի տարածքը (ընդհանուր բանաձև S = (a + b) * h/2) ոչ միայն բարձրության, այլեւ աջ անկյան հարակից կողմի միջով:
Ուղղանկյուն trapezoid-ի համար վերը նկարագրված trapezoid diagonals-ի ընդհանուր հատկությունները տեղին են:

Տրապիզոնի որոշ հատկությունների ապացույցներ

Անկյունների հավասարությունը հավասարաչափ տրապեզի հիմքում.

Դուք հավանաբար արդեն կռահել եք, որ այստեղ մեզ կրկին անհրաժեշտ է ACME trapezoid - նկարեք հավասարաչափ տրապիզոիդ: M գագաթից AK-ի կողքին զուգահեռ MT ուղիղ գծե՛ք (MT || AK):

Ստացված AKMT քառանկյունը զուգահեռագիծ է (AK || MT, KM || AT): Քանի որ ME = KA = MT, ∆ MTE-ը հավասարաչափ է, իսկ MET = MTE:

ԱԿ || MT, հետևաբար MTE = KAE, MET = MTE = KAE:

Որտեղ AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME:

Ք.Ե.Դ.

Հիմա, հիմնվելով հավասարաչափ trapezoid-ի հատկության վրա (անկյունագծերի հավասարություն) մենք ապացուցում ենք, որ trapezium ACME-ը հավասարաչափ է:

Սկսելու համար գծենք ուղիղ գիծ МХ – МХ || ԿԵ. Մենք ստանում ենք KMHE զուգահեռագիծ (հիմք - MX || KE և KM || EX):

∆AMH-ը հավասարաչափ է, քանի որ AM = KE = MX, և MAX = MEA:

MX || KE, KEA = MXE, հետևաբար MAE = MXE:

Պարզվեց, որ AKE և EMA եռանկյունները հավասար են միմյանց, քանի որ AM \u003d KE և AE երկու եռանկյունների ընդհանուր կողմն է: Եվ նաև MAE \u003d MXE: Կարող ենք եզրակացնել, որ AK = ME, և, հետևաբար, հետևում է, որ AKME trapezoid-ը հավասարաչափ է:

Կրկնելու առաջադրանք

ACME trapezoid-ի հիմքերը 9 սմ և 21 սմ են, ԿԱ-ի կողմը, որը հավասար է 8 սմ-ի, ավելի փոքր հիմքով կազմում է 150 0 անկյուն։ Դուք պետք է գտնեք trapezoid- ի տարածքը:

Լուծում. K գագաթից իջեցնում ենք բարձրությունը մինչև տրապիզոնի ավելի մեծ հիմքը: Եվ եկեք սկսենք դիտարկել trapezoid-ի անկյունները:

AEM և KAN անկյունները միակողմանի են: Դա նշանակում է, որ նրանք գումարում են 1800: Հետեւաբար, KAN = 30 0 (հիմնված է trapezoid-ի անկյունների հատկության վրա):

Այժմ դիտարկենք ուղղանկյուն ∆ANK-ը (կարծում եմ, այս կետն ակնհայտ է ընթերցողների համար առանց լրացուցիչ ապացույցների): Դրանից մենք գտնում ենք KH տրապեզի բարձրությունը - եռանկյունու մեջ այն ոտք է, որը գտնվում է 30 0 անկյան դիմաց: Հետևաբար, KN \u003d ½AB \u003d 4 սմ:

Trapezoid-ի մակերեսը հայտնաբերվում է բանաձևով՝ S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 սմ 2:

Հետբառ

Եթե դուք ուշադիր և մտածված ուսումնասիրել եք այս հոդվածը, չափազանց ծույլ չէիք ձեր ձեռքերում մատիտով տրապիզոիդներ նկարել վերը նշված բոլոր հատկությունների համար և գործնականում վերլուծել դրանք, դուք պետք է լավ տիրապետեիք նյութին:

Այստեղ, իհարկե, շատ տեղեկություններ կան՝ բազմազան ու երբեմն նույնիսկ շփոթեցնող՝ այնքան էլ դժվար չէ շփոթել նկարագրված trapezoi-ի հատկությունները մակագրվածի հատկությունների հետ։ Բայց դուք ինքներդ տեսաք, որ տարբերությունը հսկայական է։

Այժմ դուք ունեք բոլորի մանրամասն ամփոփում ընդհանուր հատկություններ trapezoid. Ինչպես նաև հավասարաչափ և ուղղանկյուն trapezoids-ի հատուկ հատկություններն ու առանձնահատկությունները: Այն շատ հարմար է օգտագործել թեստերին և քննություններին պատրաստվելու համար։ Փորձեք ինքներդ և կիսվեք հղումը ձեր ընկերների հետ:

blog.site, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

Մեր հավաքած անձնական տվյալները թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
Եթե դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով սահմանված կարգով, դատական կարգը, դատական գործընթացներում և/կամ հիմնված հանրային հարցումների կամ խնդրանքների վրա պետական մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, այդ թվում՝ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական՝ պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները ապահով են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Գծային հատված, որը միացնում է տրապիզոնի անկյունագծերի միջնակետերը կեսըբազային տարբերություններ
Տրապեզի հիմքերից և շեղանկյունների հատվածներից կազմված եռանկյունները մինչև դրանց հատման կետը նման են.
Եռանկյուններ, որոնք ձևավորվում են տրապիզոնի անկյունագծերի հատվածներով, որոնց կողմերը ընկած են տրապիզոնի կողքերի վրա՝ հավասար մակերես (ունեն նույն մակերեսը)
Եթե տրապեզի կողմերը երկարացնենք դեպի փոքր հիմքը, ապա դրանք մի կետում կհատվեն հիմքերի միջնակետերը միացնող ուղիղ գծի հետ։
Տրապիզոնի հիմքերը միացնող և տրապիզոնի անկյունագծերի հատման կետով անցնող հատվածը բաժանվում է այս կետի վրա՝ տրապիզոնի հիմքերի երկարությունների հարաբերակցությանը հավասար համամասնությամբ։
Տրապիզոնի հիմքերին զուգահեռ և շեղանկյունների հատման կետով գծված հատվածը կիսվում է այս կետով, և դրա երկարությունը հավասար է 2ab / (a + b), որտեղ a և b-ը տրապեզի հիմքերն են:

Trapezoid-ի անկյունագծերի միջնակետերը միացնող հատվածի հատկությունները

Միացրեք ABCD տրապեզի անկյունագծերի միջնակետերը, ինչի արդյունքում կունենանք LM հատված։
Գծային հատված, որը միացնում է տրապիզոնի անկյունագծերի միջնակետերը ընկած է trapezium-ի միջին գծի վրա.

Այս հատվածը Trapezium-ի հիմքերին զուգահեռ.

Trapezoid-ի անկյունագծերի միջնակետերը միացնող հատվածի երկարությունը հավասար է նրա հիմքերի կես տարբերությանը:

LM = (AD - BC) / 2
կամ
LM = (a-b)/2

Trapezoid-ի անկյունագծերով կազմված եռանկյունների հատկությունները

Եռանկյունները, որոնք ձևավորվում են տրապիզոնի հիմքերով և տրապիզոնի անկյունագծերի հատման կետով. նման են.
BOC և AOD եռանկյունները նման են: Քանի որ BOC և AOD անկյունները ուղղահայաց են, դրանք հավասար են:
OCB և OAD անկյունները ներքուստ խաչաձև ընկած են AD և BC զուգահեռ գծերի վրա (տրապեզի հիմքերը զուգահեռ են միմյանց) և AC հատվածային գծի վրա, հետևաբար, դրանք հավասար են:
OBC և ODA անկյունները հավասար են նույն պատճառով (ներքին խաչաձև պառկած):

Քանի որ մի եռանկյան բոլոր երեք անկյունները հավասար են մեկ այլ եռանկյան համապատասխան անկյուններին, այդ եռանկյունները նման են:

Ի՞նչ է հետևում սրանից։

Երկրաչափության խնդիրներ լուծելու համար եռանկյունների նմանությունն օգտագործվում է հետևյալ կերպ. Եթե գիտենք նման եռանկյունների երկու համապատասխան տարրերի երկարությունները, ապա գտնում ենք նմանության գործակիցը (մեկը բաժանում ենք մյուսի վրա)։ Այնտեղից, որտեղից մնացած բոլոր տարրերի երկարությունները միմյանց հետ կապված են ճիշտ նույն արժեքով:

Trapezoid-ի կողային կողմում ընկած եռանկյունների և անկյունագծերի հատկությունները

Դիտարկենք երկու եռանկյունիներ, որոնք ընկած են AB և CD trapezoid-ի կողքերին: Սրանք AOB և COD եռանկյուններ են: Չնայած այն հանգամանքին, որ այս եռանկյունների առանձին կողմերի չափերը կարող են բոլորովին տարբեր լինել, բայց եռանկյունների մակերեսները, որոնք կազմված են կողմերից և տրապեզի անկյունագծերի հատման կետից., այսինքն՝ եռանկյունները հավասար են։

Եթե trapezoid-ի կողմերը ձգվում են դեպի փոքր հիմքը, ապա կողմերի հատման կետը կլինի. համընկնում է ուղիղ գծի հետ, որն անցնում է հիմքերի միջնակետերով.

Այսպիսով, ցանկացած trapezoid կարող է երկարաձգվել եռանկյունու վրա: Որտեղ:

Ընդլայնված կողմերի հատման կետում ընդհանուր գագաթ ունեցող trapezoid-ի հիմքերով ձևավորված եռանկյունները նման են.
Տրապիզոնի հիմքերի միջնակետերը միացնող ուղիղ գիծը, միևնույն ժամանակ, կառուցված եռանկյունու միջնագիծն է.

Trapezoid-ի հիմքերը միացնող հատվածի հատկությունները

Եթե դուք գծում եք հատված, որի ծայրերը ընկած են տրապեզի հիմքերի վրա, որը գտնվում է տրապիզոնի (KN) անկյունագծերի հատման կետում, ապա դրա բաղկացուցիչ հատվածների հարաբերությունը հիմքի կողքից դեպի խաչմերուկի կետը: անկյունագծեր (KO / ON) հավասար կլինի տրապեզի հիմքերի հարաբերությանը(մ.թ.ա./մ.թ.):

KO/ON=BC/AD

Այս հատկությունը բխում է համապատասխան եռանկյունների նմանությունից (տե՛ս վերևում):

Trapezoid-ի հիմքերին զուգահեռ հատվածի հատկությունները

Եթե գծեք տրապիզոնի հիմքերին զուգահեռ և տրապիզոնի անկյունագծերի հատման կետով անցնող հատված, ապա այն կունենա հետևյալ հատկությունները.

Նախադրված հեռավորություն (կմ) կիսում է տրապիզոնի անկյունագծերի հատման կետը
Կտրեք երկարությունը, անցնելով տրապեզի անկյունագծերի հատման կետով և հիմքերին զուգահեռ, հավասար է. KM = 2ab/(a + b)

Trapezoid-ի անկյունագծերը գտնելու բանաձևեր

ա, բ- trapezoid-ի հիմքերը

գ, դ- trapezoid-ի կողմերը

d1 d2- trapezoid-ի անկյունագծերը

α β - տրապիզոիդի ավելի մեծ հիմքով անկյուններ

Բանաձևեր՝ հիմքի վրա գտնվող հիմքերի, կողմերի և անկյունների միջոցով տրապեզոիդի անկյունագծերը գտնելու համար

Բանաձևերի առաջին խումբը (1-3) արտացոլում է trapezoid diagonals- ի հիմնական հատկություններից մեկը.

1. Trapezoid-ի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է կողմերի քառակուսիների գումարին գումարած նրա հիմքերի արտադրյալի կրկնապատիկը: Trapezoid-ի անկյունագծերի այս հատկությունը կարելի է ապացուցել որպես առանձին թեորեմ

2 . Այս բանաձևը ստացվում է նախորդ բանաձևի փոխակերպմամբ։ Երկրորդ անկյունագծի քառակուսին գցվում է հավասար նշանի վրա, որից հետո արտահայտության ձախ և աջ կողմերից հանվում է քառակուսի արմատը։

3 . Տրապիզոնի անկյունագծի երկարությունը գտնելու այս բանաձևը նման է նախորդին, այն տարբերությամբ, որ արտահայտության ձախ կողմում մնացել է մեկ այլ անկյունագիծ.

Բանաձևերի հաջորդ խումբը (4-5) իմաստով նման է և արտահայտում է նմանատիպ հարաբերություն։

Բանաձևերի խումբը (6-7) թույլ է տալիս գտնել trapezoid-ի անկյունագիծը, եթե գիտեք տրապեզի ավելի մեծ հիմքը, մի կողմը և հիմքի անկյունը:

Բանաձևեր՝ ըստ բարձրության տրապեզի անկյունագծերը գտնելու

Նշում. Այս դասում տրված է տրապիզոիդների վերաբերյալ երկրաչափության խնդիրների լուծումը։ Եթե չեք գտել ձեզ հետաքրքրող տեսակի երկրաչափության խնդրի լուծումը, հարց տվեք ֆորումում.

Առաջադրանք.
ABCD (AD | | BC) trapezoid-ի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտե՛ք տրապիզոնի BC հիմքի երկարությունը, եթե հիմքը AD = 24 սմ, երկարությունը AO = 9 սմ, երկարությունը OS = 6 սմ:

Որոշում.
Այս խնդրի լուծումը գաղափարախոսական առումով բացարձակապես նույնական է նախորդ առաջադրանքների հետ։

AOD և BOC եռանկյունները երեք անկյուններով նման են. AOD և BOC ուղղահայաց են, իսկ մնացած անկյունները զույգ-զույգ հավասար են, քանի որ դրանք ձևավորվում են մեկ ուղիղ և երկու զուգահեռ ուղիղների հատումից:

Քանի որ եռանկյունները նման են, բոլորը երկրաչափական չափսերկապված են միմյանց հետ որպես AO և OC հատվածների երկրաչափական չափեր, որոնք մեզ հայտնի են խնդրի պայմանով: այսինքն

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / մ.թ.ա.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Պատասխանել: 16 սմ

Առաջադրանք.
ABCD trapezoid-ում հայտնի է, որ AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17։ Գտեք տրապիզոնի տարածքը:

Որոշում .
Ավելի փոքր B և C հիմքերի գագաթներից տրապեզոիդի բարձրությունը գտնելու համար մենք երկու բարձրություն իջեցնում ենք ավելի մեծ հիմքի վրա: Քանի որ trapezoid-ը անհավասար է, մենք նշում ենք երկարությունը AM = a, երկարությունը KD = b ( չպետք է շփոթել բանաձևի նշանների հետգտնելով տրապեզոիդի տարածքը): Քանի որ trapezoid-ի հիմքերը զուգահեռ են, և մենք բաց ենք թողել ավելի մեծ հիմքին ուղղահայաց երկու բարձրություն, ապա MBCK-ն ուղղանկյուն է:

Միջոցներ
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - բ

DBM և ACK եռանկյունները ուղղանկյուն են, ուստի նրանց ուղիղ անկյունները ձևավորվում են տրապեզի բարձրություններից: Տրապիզոնի բարձրությունը նշանակենք հ. Հետո Պյութագորասի թեորեմով

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
և
h 2 + (24 - բ) 2 \u003d 13 2

Հաշվի առեք, որ a \u003d 16 - b, ապա առաջին հավասարման մեջ
h 2 + (24 - 16 + բ) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + բ) 2

Բարձրության քառակուսու արժեքը փոխարինի՛ր Պյութագորասի թեորեմով ստացված երկրորդ հավասարմամբ: Մենք ստանում ենք.
425 - (8 + բ) 2 + (24 - բ) 2 = 169
-(64 + 16b + բ) 2 + (24 - բ) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Այսպիսով, KD = 12
Որտեղ
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Գտե՛ք տրապեզիի մակերեսը՝ օգտագործելով նրա բարձրությունը և հիմքերի գումարի կեսը
, որտեղ a b - trapezoid-ի հիմքերը, h - trapezoid-ի բարձրությունը
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 սմ 2

ՊատասխանելՏրապիզոնի մակերեսը 80 սմ2 է։