Տրապիզոնի միջին գծի զուգահեռության ապացույց: Ն.Նիկիտինի երկրաչափություն

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ նրա հետ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տվյալները թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով սահմանված կարգով, դատական ​​կարգը, դատական ​​գործընթացներում և/կամ հիմնված հանրային հարցումների կամ խնդրանքների վրա պետական ​​մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, այդ թվում՝ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական՝ պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները ապահով են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Այս հոդվածում մենք կփորձենք հնարավորինս լիարժեք արտացոլել trapezoid-ի հատկությունները: Մասնավորապես, մենք կխոսենք ընդհանուր հատկանիշներեւ trapezoid-ի հատկությունները, ինչպես նաեւ ներգծված trapezoid-ի եւ trapezoid-ի մեջ ներգծված շրջանագծի հատկությունների մասին: Կանդրադառնանք նաև հավասարաչափ և ուղղանկյուն trapezoid-ի հատկություններին։

Դիտարկված հատկությունների միջոցով խնդրի լուծման օրինակը կօգնի ձեզ դասավորել ձեր գլխում ամեն ինչ և ավելի լավ հիշել նյութը:

Trapeze և բոլոր-բոլոր-բոլորը

Սկսելու համար, եկեք համառոտ հիշենք, թե ինչ է trapezoid- ը և ինչ այլ հասկացություններ են կապված դրա հետ:

Այսպիսով, trapezoid- ը քառանկյուն պատկեր է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են միմյանց (դրանք հիմքերն են): Եվ երկուսը զուգահեռ չեն՝ սրանք կողմերն են։

Trapezoid-ում բարձրությունը կարելի է բաց թողնել՝ հիմքերին ուղղահայաց: Գծված են միջին գիծը և անկյունագծերը։ Եվ նաև trapezoid-ի ցանկացած անկյունից հնարավոր է գծել կիսաչափ։

Pro տարբեր հատկություններկապված այս բոլոր տարրերի և դրանց համակցությունների հետ, մենք հիմա կխոսենք:

Trapezoid-ի անկյունագծերի հատկությունները

Որպեսզի ավելի պարզ լինի, կարդալիս ուրվագծեք ACME trapezoid-ը թղթի վրա և դրա մեջ գծեք անկյունագծեր:

1. Եթե ​​գտնեք շեղանկյուններից յուրաքանչյուրի միջնակետերը (այս կետերը կոչենք X և T) և միացնեք դրանք, կստանաք հատված: Trapezoid-ի անկյունագծերի հատկություններից մեկն այն է, որ XT հատվածն ընկած է միջին գիծ. Իսկ դրա երկարությունը կարելի է ստանալ՝ հիմքերի տարբերությունը երկուսի բաժանելով. XT \u003d (a - b) / 2.
2. Մեր առաջ նույն ACME trapezoid է: Անկյունագծերը հատվում են O կետում: Դիտարկենք AOE և IOC եռանկյունները, որոնք կազմված են անկյունագծերի հատվածներից տրապեզի հիմքերի հետ միասին: Այս եռանկյունները նման են. k եռանկյունների նմանության գործակիցն արտահայտվում է տրապեզի հիմքերի հարաբերությամբ. k = AE/KM:
   AOE և IOC եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը նկարագրվում է k 2 գործակցով:
3. Նույն trapezium-ը, նույն անկյունագծերը հատվում են O կետում: Միայն այս անգամ մենք կդիտարկենք եռանկյունները, որոնք անկյունագծային հատվածները ձևավորել են trapezoid-ի կողմերի հետ միասին: AKO և EMO եռանկյունների մակերեսները հավասար են, նրանց մակերեսները նույնն են:
4. Trapezoid- ի մեկ այլ հատկություն ներառում է անկյունագծերի կառուցումը: Այսպիսով, եթե AK-ի և ME-ի կողմերը շարունակենք ավելի փոքր հիմքի ուղղությամբ, ապա վաղ թե ուշ դրանք կհատվեն ինչ-որ կետի: Այնուհետև ուղիղ գիծ գծեք trapezoid-ի հիմքերի միջով: Այն հատում է հիմքերը X և T կետերում:
   Եթե ​​հիմա երկարացնենք XT ուղիղը, ապա այն կմիավորի O trapezoid-ի անկյունագծերի հատման կետը, այն կետը, որտեղ հատվում են X և T հիմքերի կողերի ընդարձակումները և միջնակետերը։
5. Անկյունագծերի հատման կետով մենք գծում ենք հատված, որը կմիացնի տրապեզի հիմքերը (T-ն ընկած է KM-ի փոքր հիմքի վրա, X-ը՝ ավելի մեծ AE-ի): Անկյունագծերի հատման կետը այս հատվածը բաժանում է հետևյալ հարաբերությամբ. TO/OH = KM/AE.
6. Իսկ այժմ անկյունագծերի հատման կետով մենք գծում ենք տրապեզի (a և b) հիմքերին զուգահեռ հատված։ Խաչմերուկը այն կբաժանի երկու հավասար մասերի: Դուք կարող եք գտնել հատվածի երկարությունը՝ օգտագործելով բանաձևը 2ab/(a + b).

Trapezoid-ի միջին գծի հատկությունները

Տրապեզիում գծե՛ք միջին գիծը նրա հիմքերին զուգահեռ:

1. Տրապիզոնի միջին գծի երկարությունը կարելի է հաշվարկել հիմքերի երկարությունները ավելացնելով և դրանք կիսով չափ բաժանելով. m = (a + b)/2.
2. Եթե ​​որևէ հատված (օրինակ՝ բարձրություն) գծեք տրապիզոնի երկու հիմքերի միջով, ապա միջին գիծը այն կբաժանի երկու հավասար մասերի։

Trapezoid-ի կիսադիրի հատկությունը

Ընտրեք տրապեզի ցանկացած անկյուն և գծեք կիսորդ: Վերցրեք, օրինակ, մեր տրապիզոիդ ACME-ի KAE անկյունը: Ինքնուրույն ավարտելով շինարարությունը, դուք հեշտությամբ կարող եք տեսնել, որ բիսեկտորը կտրում է հիմքից (կամ դրա շարունակությունը ուղիղ գծի վրա հենց նկարից դուրս) նույն երկարության հատվածը, ինչ կողմը:

Trapezoid անկյան հատկությունները

1. Կողքին հարակից երկու զույգ անկյուններից որն էլ ընտրեք, զույգի անկյունների գումարը միշտ 180 0 է՝ α + β = 180 0 և γ + δ = 180 0:
2. Trapezoid-ի հիմքերի միջնակետերը միացրեք TX հատվածով: Հիմա եկեք նայենք տրապիզոնի հիմքերի անկյուններին: Եթե ​​դրանցից որևէ մեկի համար անկյունների գումարը 90 0 է, ապա TX հատվածի երկարությունը հեշտ է հաշվարկել՝ հիմնվելով հիմքերի երկարությունների տարբերության վրա՝ բաժանված կիսով չափ. TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Եթե ​​trapezoid-ի անկյան կողմերի միջով զուգահեռ գծեր են գծվում, ապա դրանք անկյան կողմերը կբաժանեն համամասնական հատվածների:

Հավասարասրուն (հավասարաչափ) տրապիզոնի հատկությունները

1. Հավասարաչափ տրապիզոիդում հիմքերից որևէ մեկի անկյունները հավասար են:
2. Այժմ նորից կառուցեք trapezoid, որպեսզի ավելի հեշտ պատկերացնեք, թե ինչի մասին է խոսքը: Ուշադիր նայեք AE-ի հիմքին - M-ի հակառակ հիմքի գագաթը նախագծված է AE պարունակող գծի որոշակի կետի վրա: A գագաթից մինչև M գագաթի ելքային կետի հեռավորությունը և հավասարաչափ տրապիզոնի միջնագիծը հավասար են:
3. Մի քանի խոսք հավասարաչափ տրապիզոնի անկյունագծերի հատկության մասին՝ դրանց երկարությունները հավասար են։ Եվ նաև այս անկյունագծերի թեքության անկյունները դեպի տրապեզի հիմքը նույնն են։
4. Միայն հավասարաչափ տրապեզիի մոտ կարելի է նկարագրել շրջան, քանի որ քառանկյունի հակառակ անկյունների գումարը 180 0 դրա համար պարտադիր պայման է:
5. Հավասարաչափ տրապիզոնի հատկությունը բխում է նախորդ պարբերությունից. եթե շրջանագիծը կարելի է նկարագրել տրապեզիի մոտ, ապա այն հավասարաչափ է:
6. Հավասարասրուն տրապեզի հատկանիշներից հետևում է տրապեզի բարձրության հատկությանը. եթե նրա անկյունագծերը հատվում են ուղիղ անկյան տակ, ապա բարձրության երկարությունը հավասար է հիմքերի գումարի կեսին. h = (a + b)/2.
7. Տրապիզոնի հիմքերի միջնակետերով կրկին գծեք TX գիծը. Եվ միևնույն ժամանակ TX-ը հավասարաչափ տրապիզոնի համաչափության առանցքն է։
8. Այս անգամ ավելի մեծ հիմքի (եկեք այն անվանենք ա) բարձրությունը տրապեզի հակառակ գագաթից: Դուք կստանաք երկու կտրվածք: Մեկի երկարությունը կարելի է գտնել, եթե հիմքերի երկարությունները գումարվեն և բաժանվեն կիսով չափ. (ա+բ)/2. Երկրորդը ստանում ենք, երբ փոքրը հանում ենք մեծ հիմքից և ստացված տարբերությունը բաժանում ենք երկուսի. (ա – բ)/2.

Շրջանակով գծագրված տրապիզոնի հատկությունները

Քանի որ մենք արդեն խոսում ենք շրջանագծի մեջ ներգծված տրապիզոնի մասին, եկեք ավելի մանրամասն կանգ առնենք այս խնդրի վրա։ Մասնավորապես, որտեղ է շրջանագծի կենտրոնը տրապիզոնի նկատմամբ: Այստեղ էլ խորհուրդ է տրվում շատ չծուլանալ մատիտ վերցնել ու ինչ նկարել կքննարկվիստորև. Այսպիսով, դուք ավելի արագ կհասկանաք, և ավելի լավ կհիշեք:

1. Շրջանակի կենտրոնի գտնվելու վայրը որոշվում է տրապիզոիդի անկյունագծի թեքության անկյունով դեպի իր կողմը: Օրինակ, տրապեզոիդի վերևից անկյունագիծ կարող է առաջանալ դեպի կողքի ուղիղ անկյան տակ: Այս դեպքում ավելի մեծ հիմքը հատում է շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը հենց մեջտեղում (R = ½AE):
2. Շեղանկյունը և կողմը կարող են հանդիպել տակ սուր անկյուն- ապա շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է trapezoid-ի ներսում:
3. Շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը կարող է լինել տրապեզիայից դուրս, նրա մեծ հիմքից այն կողմ, եթե տրապեզիի անկյունագծի և կողային կողմի միջև կա բութ անկյուն:
4. Trapezoid ACME-ի (ներքաշված անկյուն) անկյունագծով և մեծ հիմքով ձևավորված անկյունը դրան համապատասխանող կենտրոնական անկյան կեսն է. MAE = ½ ԻՄ.
5. Հակիրճ շրջագծի շառավիղը գտնելու երկու եղանակի մասին: Մեթոդ առաջին. ուշադիր նայեք ձեր նկարին. ի՞նչ եք տեսնում: Դուք հեշտությամբ կնկատեք, որ անկյունագիծը տրապիզոիդը բաժանում է երկու եռանկյունի: Շառավիղը կարելի է գտնել եռանկյան կողմի և հակառակ անկյան սինուսի հարաբերության միջոցով՝ բազմապատկելով երկուսով: Օրինակ, R \u003d AE / 2 * sinAME. Նմանապես, բանաձևը կարող է գրվել երկու եռանկյունների ցանկացած կողմի համար:
6. Մեթոդ երկրորդ. մենք գտնում ենք շրջագծված շրջանագծի շառավիղը եռանկյունու տարածքի միջով, որը ձևավորվում է տրապիզոնի անկյունագծով, կողմով և հիմքով. R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Շրջանակով շրջագծված տրապիզոնի հատկությունները

Դուք կարող եք շրջանագիծ գրել trapezoid-ում, եթե բավարարված է մեկ պայման: Ավելին դրա մասին ստորև: Եվ միասին թվերի այս համադրությունը մի շարք հետաքրքիր հատկություններ ունի։

1. Եթե ​​շրջանագիծը գրված է տրապիզոիդում, ապա նրա միջին գծի երկարությունը հեշտությամբ կարելի է գտնել՝ ավելացնելով կողմերի երկարությունները և ստացված գումարը կիսով չափ բաժանելով. m = (c + d)/2.
2. Շրջանակով շրջագծված trapezoid ACME-ի համար հիմքերի երկարությունների գումարը հավասար է կողմերի երկարությունների գումարին. AK + ME = KM + AE.
3. Տրապիզոնի հիմքերի այս հատկությունից հետևում է հակառակ պնդումը.
4. R շառավղով շրջանագծի շոշափող կետը, որը ներգծված է տրապիզոիդում, կողային կողմը բաժանում է երկու հատվածի, դրանք անվանենք a և b։ Շրջանի շառավիղը կարելի է հաշվարկել բանաձևով. r = √ab.
5. Եվ ևս մեկ գույք. Որպեսզի չշփոթվեք, ինքներդ նկարեք այս օրինակը։ Մենք ունենք հին լավ ACME trapezoid, որը շրջագծված է շրջանագծի շուրջ: Նրանում գծված են անկյունագծեր, որոնք հատվում են O կետում: Շեղանկյունների և կողմերի հատվածներից կազմված AOK և EOM եռանկյունները ուղղանկյուն են:
   Այս եռանկյունների բարձրությունները, որոնք իջեցվել են մինչև հիպոթենուսները (այսինքն՝ տրապեզոիդի կողմերը), համընկնում են ներգծված շրջանագծի շառավղների հետ։ Իսկ trapezoid-ի բարձրությունը նույնն է, ինչ ներգծված շրջանագծի տրամագիծը։

Ուղղանկյուն trapezoid-ի հատկությունները

Տրապիզոն կոչվում է ուղղանկյուն, որի անկյուններից մեկը ճիշտ է: Եվ դրա հատկությունները բխում են հենց այս հանգամանքից։

1. Ուղղանկյուն տրապիզոիդն ունի հիմքերին ուղղահայաց կողմերից մեկը։
2. Կից տրապեզի բարձրությունը և կողմը Աջ անկյունը, հավասար են։ Սա թույլ է տալիս հաշվարկել ուղղանկյուն trapezoid-ի տարածքը (ընդհանուր բանաձև S = (a + b) * h/2) ոչ միայն բարձրության, այլեւ աջ անկյան հարակից կողմի միջով:
3. Ուղղանկյուն trapezoid-ի համար վերը նկարագրված trapezoid diagonals-ի ընդհանուր հատկությունները տեղին են:

Տրապիզոնի որոշ հատկությունների ապացույցներ

Անկյունների հավասարությունը հավասարաչափ տրապեզի հիմքում.

• Դուք հավանաբար արդեն կռահել եք, որ այստեղ մեզ կրկին անհրաժեշտ է ACME trapezoid - նկարեք հավասարաչափ տրապիզոիդ: M գագաթից AK-ի կողքին զուգահեռ MT ուղիղ գծե՛ք (MT || AK):

Ստացված AKMT քառանկյունը զուգահեռագիծ է (AK || MT, KM || AT): Քանի որ ME = KA = MT, ∆ MTE-ը հավասարաչափ է, իսկ MET = MTE:

ԱԿ || MT, հետևաբար MTE = KAE, MET = MTE = KAE:

Որտեղ AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME:

Ք.Ե.Դ.

Հիմա, հիմնվելով հավասարաչափ trapezoid-ի հատկության վրա (անկյունագծերի հավասարություն) մենք ապացուցում ենք, որ trapezium ACME-ը հավասարաչափ է:

• Սկսելու համար գծենք ուղիղ գիծ МХ – МХ || ԿԵ. Մենք ստանում ենք KMHE զուգահեռագիծ (հիմք - MX || KE և KM || EX):

∆AMH-ը հավասարաչափ է, քանի որ AM = KE = MX, և MAX = MEA:

MX || KE, KEA = MXE, հետևաբար MAE = MXE:

Պարզվեց, որ AKE և EMA եռանկյունները հավասար են միմյանց, քանի որ AM \u003d KE և AE երկու եռանկյունների ընդհանուր կողմն է: Եվ նաև MAE \u003d MXE: Կարող ենք եզրակացնել, որ AK = ME, և, հետևաբար, հետևում է, որ AKME trapezoid-ը հավասարաչափ է:

Կրկնելու առաջադրանք

ACME trapezoid-ի հիմքերը 9 սմ և 21 սմ են, ԿԱ-ի կողմը, որը հավասար է 8 սմ-ի, ավելի փոքր հիմքով կազմում է 150 0 անկյուն։ Դուք պետք է գտնեք trapezoid- ի տարածքը:

Լուծում. K գագաթից իջեցնում ենք բարձրությունը մինչև ավելի մեծ հող trapezoid. Եվ եկեք սկսենք դիտարկել trapezoid-ի անկյունները:

AEM և KAN անկյունները միակողմանի են: Դա նշանակում է, որ նրանք գումարում են 1800: Հետեւաբար, KAN = 30 0 (հիմնված է trapezoid-ի անկյունների հատկության վրա):

Այժմ դիտարկենք ուղղանկյուն ∆ANK-ը (կարծում եմ, այս կետն ակնհայտ է ընթերցողների համար առանց լրացուցիչ ապացույցների): Դրանից մենք գտնում ենք KH տրապեզի բարձրությունը - եռանկյունու մեջ այն ոտք է, որը գտնվում է 30 0 անկյան դիմաց: Հետևաբար, KN \u003d ½AB \u003d 4 սմ:

Trapezoid-ի մակերեսը հայտնաբերվում է բանաձևով՝ S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 սմ 2:

Հետբառ

Եթե ​​դուք ուշադիր և մտածված ուսումնասիրել եք այս հոդվածը, չափազանց ծույլ չէիք ձեր ձեռքերում մատիտով տրապիզոիդներ նկարել վերը նշված բոլոր հատկությունների համար և գործնականում վերլուծել դրանք, դուք պետք է լավ տիրապետեիք նյութին:

Այստեղ, իհարկե, շատ տեղեկություններ կան՝ բազմազան ու երբեմն նույնիսկ շփոթեցնող՝ այնքան էլ դժվար չէ շփոթել նկարագրված trapezoi-ի հատկությունները մակագրվածի հատկությունների հետ։ Բայց դուք ինքներդ տեսաք, որ տարբերությունը հսկայական է։

Այժմ դուք ունեք բոլորի մանրամասն ամփոփում ընդհանուր հատկություններ trapezoid. Ինչպես նաև հավասարաչափ և ուղղանկյուն trapezoids-ի հատուկ հատկություններն ու առանձնահատկությունները: Այն շատ հարմար է օգտագործել թեստերին և քննություններին պատրաստվելու համար։ Փորձեք ինքներդ և կիսվեք հղումը ձեր ընկերների հետ:

blog.site, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Trapezoid-ի միջին գծի հայեցակարգը

Նախ, եկեք հիշենք, թե ինչ գործիչ է կոչվում trapezoid:

Սահմանում 1

Trapezoid-ը քառանկյուն է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն:

Այս դեպքում զուգահեռ կողմերը կոչվում են trapezoid-ի հիմքեր, իսկ ոչ զուգահեռները՝ trapezoid-ի կողմերը:

Սահմանում 2

Trapezoid-ի միջին գիծը գծային հատված է, որը միացնում է trapezoid-ի կողմերի միջնակետերը:

Տրապեզիայի միջին գծի թեորեմ

Այժմ մենք ներկայացնում ենք թեորեմը trapezoid-ի միջին գծի վերաբերյալ և այն ապացուցում վեկտորային մեթոդով:

Թեորեմ 1

Trapezoid-ի միջնագիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց գումարի կեսին:

Ապացույց.

Մեզ տրվի $ABCD$ $AD\ և\ BC$ հիմքերով trapezoid: Եվ թող $MN$ լինի այս trapezoid-ի միջնագիծը (նկ. 1):

Նկար 1. Trapezoid- ի միջին գիծը

Եկեք ապացուցենք, որ $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$:

Դիտարկենք $\overrightarrow(MN)$ վեկտորը: Հաջորդը, մենք օգտագործում ենք պոլիգոնի կանոնը վեկտորի գումարման համար: Մի կողմից մենք ստանում ենք դա

Մյուս կողմից

Գումարելով վերջին երկու հավասարումները՝ ստանում ենք

Քանի որ $M$-ը և $N$-ը trapezoid-ի կողմերի միջնակետերն են, մենք ունենք

Մենք ստանում ենք.

Հետեւաբար

Նույն հավասարությունից (քանի որ $\overrightarrow(BC)$-ը և $\overrightarrow(AD)$-ը համակողմանի են և, հետևաբար, համագիծ), մենք ստանում ենք $MN||AD$:

Թեորեմն ապացուցված է.

Տրապիզոնի միջին գծի հայեցակարգի վերաբերյալ առաջադրանքների օրինակներ

Օրինակ 1

Trapezoid-ի կողմերը համապատասխանաբար $15\cm$ և $17\cm$ են։ Trapezoid-ի պարագիծը $52\cm$ է։ Գտե՛ք տրապեզի միջին գծի երկարությունը:

Լուծում.

Նշեք տրապեզի միջին գիծը $n$-ով:

Կողմերի գումարը կազմում է

Հետևաբար, քանի որ պարագիծը $52\cm$ է, հիմքերի գումարը կազմում է

Այսպիսով, թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

Պատասխան.$ 10 \ սմ $.

Օրինակ 2

Շրջանակի տրամագծի ծայրերը համապատասխանաբար $9$ սմ և $5$ սմ են նրա շոշափողից։Գտե՛ք այս շրջանագծի տրամագիծը։

Լուծում.

Եկեք մեզ տրվի $O$ կենտրոնով և $AB$ տրամագծով շրջան: Գծե՛ք $l$ շոշափողը և կառուցե՛ք $AD=9\ cm$ և $BC=5\ cm$ հեռավորությունները։ Գծենք $OH$ շառավիղը (նկ. 2):

Նկար 2.

Քանի որ $AD$ և $BC$-ը շոշափողի հեռավորություններն են, ապա $AD\bot l$ և $BC\bot l$ և քանի որ $OH$-ը շառավիղն է, ապա $OH\bot l$, հետևաբար $OH | \ձախ|AD\աջ||BC$. Այս ամենից մենք ստանում ենք, որ $ABCD$-ը trapezoid է, իսկ $OH$-ը նրա միջին գիծն է: Թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

ՔԱՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ.

§ 49. ՏՐԱՊԵԶԻԱ.

Այն քառանկյունը, որի երկու հակադիր կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն, կոչվում է trapezoid:

252 գծագրում ABDC AB քառանկյունը || CD, AC || Բ.Դ. ABDC - trapezoid.

Trapezoid-ի զուգահեռ կողմերը կոչվում են իր հիմքերը; AB-ն և CD-ն տրապեզիայի հիմքերն են։ Մյուս երկու կողմերը կոչվում են կողմերը trapeze; AC-ը և BD-ն տրապեզիայի կողմերն են:

Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա կոչվում է trapezoid հավասարաչափ.

Trapezoid ABOM-ը հավասարաչափ է, քանի որ AM=BO (նկ. 253):

Տրապիզոն, որի կողմերից մեկն ուղղահայաց է հիմքին, կոչվում է ուղղանկյուն(դեւ. 254)։

Trapezoid-ի միջին գիծը մի հատված է, որը միացնում է trapezoid-ի կողմերի միջնակետերը:

Թեորեմ. Trapezoid-ի միջին գիծը զուգահեռ է նրա հիմքերից յուրաքանչյուրին և հավասար է դրանց կես գումարին:

Տրված է՝ OS - ABDK trapezoid-ի միջին գիծը, այսինքն՝ OK \u003d OA և BC \u003d CD (Նկար 255):

Մենք պետք է ապացուցենք.

1) ՕՀ || KD և OS || AB;
2)

Ապացույց. A և C կետերով մի գիծ գծիր, որը հատում է KD հիմքի շարունակությունը E ինչ-որ կետում:

ABC և DCE եռանկյուններում.
BC \u003d CD - պայմանով;
/ 1 = / 2 ուղղահայաց,
/ 4 = / 3, որպես ներքին խաչաձև ընկած զուգահեռ AB-ի և KE-ի և հատվածային BD-ի հետ: հետևաբար, /\ ABC = /\ DSE.

Այսպիսով, AC = CE, այսինքն. OS-ն KAE եռանկյունու միջնագիծն է: Ուստի (§ 48):

1) ՕՀ || KE և, հետևաբար, OS || KD և OS || AB;
2) , բայց DE \u003d AB (ABC և DCE եռանկյունների հավասարությունից), հետևաբար DE հատվածը կարող է փոխարինվել դրան հավասար AB հատվածով: Այնուհետև մենք ստանում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Զորավարժություններ.

1. Ապացուցեք, որ գումարը ներքին անկյուններըՅուրաքանչյուր կողմին կից trapezium-ը 2 է դ.

2. Ապացուցեք, որ հավասարաչափ տրապիզոնի հիմքի անկյունները հավասար են:

3. Ապացուցեք, որ եթե տրապիզոնի հիմքի անկյունները հավասար են, ապա այս տրապիզը հավասարաչափ է:

4. Ապացուցեք, որ հավասարաչափ տրապեզուի անկյունագծերը հավասար են միմյանց:

5. Ապացուցեք, որ եթե տրապիզոնի անկյունագծերը հավասար են, ապա այս տրապեզը հավասարաչափ է:

6. Ապացուցե՛ք, որ քառանկյան կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածներով կազմված պատկերի պարագիծը հավասար է. հավասար է գումարինայս քառանկյան անկյունագծերը:

7. Ապացուցե՛ք, որ տրապեզի հիմքերին զուգահեռ կողմերից մեկի մեջտեղով անցնող ուղիղ գիծը կիսում է տրապիզոնի մյուս կողմը:

Միայն երկու զուգահեռ կողմերով քառանկյունը կոչվում է trapeze.

Trapezoid-ի զուգահեռ կողմերը կոչվում են իր հիմքերը, և կոչվում են այն կողմերը, որոնք զուգահեռ չեն կողմերը. Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա նման trapezoid isosceles. Հիմքերի միջև հեռավորությունը կոչվում է տրապեզի բարձրություն:

Տրապեզիայի միջին գիծ

Միջին գիծը տրապիզոնի կողմերի միջնակետերը միացնող հատված է: Trapezoid-ի միջին գիծը զուգահեռ է նրա հիմքերին:

Թեորեմ.

Եթե ​​մի կողմի միջնամասը հատող ուղիղ գիծը զուգահեռ է տրապիզոնի հիմքերին, ապա այն կիսում է տրապիզոնի երկրորդ կողմը։

Թեորեմ.

Միջին գծի երկարությունը հավասար է նրա հիմքերի երկարությունների միջին թվաբանականին

MN միջին գիծ, ​​AB և CD - հիմքեր, AD և BC - կողմեր

MN=(AB+DC)/2

Թեորեմ.

Trapezoid-ի միջին գծի երկարությունը հավասար է նրա հիմքերի երկարությունների միջին թվաբանականին:

Հիմնական խնդիրըԱպացուցեք, որ տրապեզի միջին գիծը կիսում է հատվածը, որի ծայրերը գտնվում են տրապիզոնի հիմքերի մեջտեղում:

Եռանկյունու միջին գիծ

Եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող ուղիղ հատվածը կոչվում է եռանկյան միջնագիծ։ Այն զուգահեռ է երրորդ կողմին և երկարությունը երրորդ կողմի երկարության կեսն է։
ԹեորեմԵթե ​​եռանկյան մի կողմի միջնակետը հատող ուղիղը զուգահեռ է տվյալ եռանկյան մյուս կողմին, ապա այն կիսում է երրորդ կողմը:

AM = MC և BN = NC =>

Եռանկյունի և Trapezoid Midline հատկությունների կիրառում

Հատվածի բաժանումը որոշակի թվով հավասար մասերի:
Առաջադրանք՝ AB հատվածը բաժանել 5 հավասար մասերի:
Լուծում:
Թող p լինի պատահական ճառագայթ, որի սկիզբը A կետն է և որը չի գտնվում AB ուղիղի վրա: Մենք հաջորդաբար մի կողմ ենք դնում 5 հավասար հատված p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Մենք A 5-ը միացնում ենք B-ին և A 4, A 3, A 2 և A 1 միջով գծեր ենք գծում, որոնք զուգահեռ են A 5 B-ին: Նրանք հատում են AB-ը համապատասխանաբար B 4, B 3, B 2 և B 1 կետերում: Այս կետերը AB հատվածը բաժանում են 5 հավասար մասերի։ Իսկապես, BB 3 A 3 A 5 trapezoid-ից մենք տեսնում ենք, որ BB 4 = B 4 B 3: Նույն կերպ B 4 B 2 A 2 A 4 trapezoid-ից ստանում ենք B 4 B 3 = B 3 B 2.

Մինչ trapezoid-ից B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1:
Այնուհետև B 2 AA 2-ից հետևում է, որ B 2 B 1 = B 1 A. Եզրափակելով ՝ մենք ստանում ենք.
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Հասկանալի է, որ AB հատվածը մեկ այլ թվով հավասար մասերի բաժանելու համար պետք է նույնքան հավասար հատվածներ նախագծել p ճառագայթի վրա։ Եվ հետո շարունակեք վերը նկարագրված ձևով: