Linia środkowa trapezu jest równa połowie większej podstawy. Trapez, linia środkowa trapezu, trójkąt

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakaz sądowy, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Pojęcie linii środkowej trapezu

Najpierw pamiętajmy, jaka figura nazywa się trapezem.

Definicja 1

Trapez to czworobok, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa nie są równoległe.

W tym przypadku równoległe boki nazywane są podstawami trapezu, a nie równoległe - bokami trapezu.

Definicja 2

Linia środkowa trapezu to odcinek linii, który łączy punkty środkowe boków trapezu.

Twierdzenie o linii środkowej trapezu

Wprowadzimy teraz twierdzenie na linii środkowej trapezu i udowodnimy je metodą wektorową.

Twierdzenie 1

Linia środkowa trapezu jest równoległa do podstaw i równa połowie ich sumy.

Dowód.

Dajmy trapez $ABCD$ o podstawach $AD\ i\ BC$. I niech $MN$ -- Środkowa linia ten trapez (ryc. 1).

Rysunek 1. Środkowa linia trapezu

Udowodnijmy, że $MN||AD\ i\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Rozważmy wektor $\overrightarrow(MN)$. Następnie używamy reguły wielokątów do dodawania wektorów. Z jednej strony to rozumiemy

Z drugiej strony

Dodając dwie ostatnie równości, otrzymujemy

Ponieważ $M$ i $N$ są środkami boków trapezu, mamy

Otrzymujemy:

Stąd

Z tej samej równości (ponieważ $\overrightarrow(BC)$ i $\overrightarrow(AD)$ są dwukierunkowe, a zatem współliniowe), otrzymujemy $MN||AD$.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykłady zadań dotyczących koncepcji linii środkowej trapezu

Przykład 1

Boki trapezu to odpowiednio $15\cm$ i $17\cm$. Obwód trapezu wynosi $52\cm$. Znajdź długość linii środkowej trapezu.

Decyzja.

Oznacz linię środkową trapezu przez $n$.

Suma boków to

W związku z tym, ponieważ obwód wynosi $52\ cm$, suma podstaw wynosi

Stąd przez Twierdzenie 1 otrzymujemy

Odpowiedź: 10 $ \ cm $.

Przykład 2

Końce średnicy okręgu to odpowiednio 9$ cm i 5$ cm od jego stycznej. Znajdź średnicę tego okręgu.

Decyzja.

Dajmy okrąg o środku $O$ i średnicy $AB$. Narysuj styczną $l$ i skonstruuj odległości $AD=9\ cm$ i $BC=5\ cm$. Narysujmy promień $OH$ (rys. 2).

Rysunek 2.

Ponieważ $AD$ i $BC$ są odległościami do stycznej, to $AD\bot l$ i $BC\bot l$, a $OH$ jest promieniem, to $OH\bot l$, stąd $OH | \left|AD\right||BC$. Z tego wszystkiego otrzymujemy, że $ABCD$ to trapez, a $OH$ to jego linia środkowa. Przez Twierdzenie 1 otrzymujemy

\[(\Large(\text(Dowolny trapez)))\]

Definicje

Trapez to wypukły czworobok, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa boki nie są równoległe.

Równoległe boki trapezu nazywane są jego podstawami, a pozostałe dwa boki nazywane są jego bokami.

Wysokość trapezu to prostopadłość opuszczona z dowolnego punktu jednej podstawy do drugiej podstawy.

Twierdzenia: własności trapezu

1) Suma kątów z boku wynosi $180^\circ$ .

2) Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty, z których dwa są podobne, a pozostałe dwa równe.

Dowód

1) Ponieważ $AD\parallel BC$ , to kąty $\angle BAD$ i $\angle ABC$ są jednostronne na tych prostych, a sieczna $AB$ , zatem $\angle BAD +\angle ABC=180^\circ$.

2) Ponieważ $AD\parallel BC$ i $BD$ to sieczna, a następnie $\angle DBC=\angle BDA$ leżące w poprzek.
Również $\angle BOC=\angle AOD$ jako pionowe.
Dlatego w dwóch rogach $\trójkąt BOC \sim \trójkąt AOD$.

Udowodnijmy, że $S_(\trójkąt AOB)=S_(\trójkąt COD)$. Niech $h$ będzie wysokością trapezu. Następnie $S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)$. Następnie: \

Definicja

Linia środkowa trapezu to odcinek, który łączy punkty środkowe boków.

Twierdzenie

Linia środkowa trapezu jest równoległa do podstaw i równa połowie ich sumy.

Dowód*

1) Udowodnijmy równoległość.

Narysuj linię $MN"\parallel AD$ ($N"\in CD$ ) przez punkt $M$ ). Następnie przez twierdzenie Talesa (ponieważ $MN"\równoległy AD\równoległy BC, AM=MB$) punkt $N"$ jest środkiem odcinka $CD$... Zatem punkty $N$ i $N"$ będą się pokrywać.

2) Udowodnijmy formułę.

Narysujmy $BB"\perp AD, CC"\perp AD$ . Zostawiać $BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"$.

Następnie, zgodnie z twierdzeniem Thalesa, $M"$ i $N"$ są odpowiednio środkami odcinków $BB"$ i $CC"$. Zatem $MM"$ to środkowa linia $\triangle ABB"$ , $NN"$ to środkowa linia $\triangle DCC"$ . Więc: \

Ponieważ $MN\równoległy AD\równoległy BC$ i $BB", CC"\perp AD$ , następnie $B"M"N"C"$ i $BM"N"C$ są prostokątami. Według twierdzenia Thalesa $MN\parallel AD$ i $AM=MB$ implikują, że $B"M"=M"B$ . Stąd $B"M"N"C"$ i $BM"N"C$ są równymi prostokątami, stąd $M"N"=B"C"=BC$ .

Zatem:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Twierdzenie: własność dowolnego trapezu

Punkty środkowe podstaw, punkt przecięcia przekątnych trapezu i punkt przecięcia przedłużeń boków bocznych leżą na tej samej linii prostej.

Dowód*
Zaleca się zapoznanie się z dowodem po przestudiowaniu tematu „Podobne trójkąty”.

1) Wykażmy, że punkty $P$ , $N$ i $M$ leżą na tej samej prostej.

Narysuj linię $PN$ ($P$ to punkt przecięcia przedłużeń boków, $N$ to środek $BC$ ). Niech przecina bok $AD$ w punkcie $M$ . Udowodnijmy, że $M$ jest środkiem $AD$ .

Rozważ $\triangle BPN$ i $\triangle APM$ . Są one podobne pod dwoma kątami ($\angle APM$ - wspólny, $\angle PAM=\angle PBN$ odpowiadający w $AD\parallel BC$ i $AB$ siecznej). Znaczy: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Rozważ $\triangle CPN$ i $\triangle DPM$ . Są one podobne pod dwoma kątami ($\angle DPM$ - wspólny, $\angle PDM=\angle PCN$ odpowiednio w $AD\parallel BC$ i $CD$ siecznej). Znaczy: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Stąd $\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)$. Ale $BN=NC$ , stąd $AM=DM$ .

2) Wykażmy, że punkty $N, O, M$ leżą na jednej prostej.

Niech $N$ będzie środkiem $BC$ , $O$ będzie punktem przecięcia przekątnych. Narysuj linię $NO$ , przetnie ona bok $AD$ w punkcie $M$ . Udowodnijmy, że $M$ jest środkiem $AD$ .

$\trójkąt BNO\sim \trójkąt DMO$ pod dwoma kątami ($\angle OBN=\angle ODM$ jako leżące w $BC\parallel AD$ i $BD$ siecznej; $\angle BON=\angle DOM$ jako pionowe). Znaczy: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

podobnie $\trójkąt CON\sim \trójkąt AOM$. Znaczy: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Stąd $\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)$. Ale $BN=CN$ , stąd $AM=MD$ .

\[(\Large(\text(Trapez równoramienny)))\]

Definicje

Trapez nazywamy prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest prawy.

Trapez nazywa się równoramiennymi, jeśli jego boki są równe.

Twierdzenia: własności trapezu równoramiennego

1) Trapez równoramienny ma równe kąty podstawowe.

2) Przekątne trapezu równoramiennego są równe.

3) Dwa trójkąty utworzone przez przekątne i podstawę są równoramienne.

Dowód

1) Rozważ trapez równoramienny $ABCD$ .

Z wierzchołków $B$ i $C$ opadamy na bok $AD$ odpowiednio prostopadłe $BM$ i $CN$. Ponieważ $BM\perp AD$ i $CN\perp AD$ , to $BM\parallel CN$ ; $AD\parallel BC$ , to $MBCN$ jest równoległobokiem, stąd $BM = CN$ .

Rozważać prawe trójkąty$ABM$ i $CDN$ . Ponieważ mają równe przeciwprostokątne, a noga $BM$ jest równa nodze $CN$ , trójkąty te są przystające, zatem $\angle DAB = \angle CDA$ .

Ponieważ $AB=CD, \kąt A=\kąt D, AD$- generał, potem na pierwszym znaku. Dlatego $AC=BD$ .

3) Ponieważ $\trójkąt ABD=\trójkąt ACD$, a następnie $\angle BDA=\angle CAD$ . Dlatego trójkąt $\triangle AOD$ jest równoramienny. Podobnie można wykazać, że $\triangle BOC$ jest równoramienny.

Twierdzenia: znaki trapezu równoramiennego

1) Jeśli kąty u podstawy trapezu są równe, to jest to równoramienny.

2) Jeśli przekątne trapezu są równe, to jest to równoramienny.

Dowód

Rozważmy trapez $ABCD$ taki, że $\angle A = \angle D$ .

Uzupełnijmy trapez do trójkąta $AED$, jak pokazano na rysunku. Ponieważ $\angle 1 = \angle 2$ , to trójkąt $AED$ jest równoramienny i $AE = ED$ . Kąty $1$ i $3$ są równe odpowiednim kątom dla prostych równoległych $AD$ i $BC$ oraz siecznej $AB$ . Podobnie kąty $2$ i $4$ są równe, ale $\angle 1 = \angle 2$ , to $\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4$, zatem trójkąt $BEC$ jest również równoramienny i $BE = EC$ .

Ostatecznie $AB = AE - BE = DE - CE = CD$, czyli $AB = CD$ , co miało zostać udowodnione.

2) Niech $AC=BD$ . Ponieważ $\trójkąt AOD\sim \trójkąt BOC$, następnie oznaczamy ich współczynnik podobieństwa przez $k$ . Następnie, jeśli $BO=x$ , to $OD=kx$ . Podobne do $CO=y \Rightarrow AO=ky$ .

Ponieważ $AC=BD$ , a następnie $x+kx=y+ky \Rightarrow x=y$ . Tak więc $\triangle AOD$ jest równoramienne i $\angle OAD=\angle ODA$ .

Tak więc, zgodnie z pierwszym znakiem $\trójkąt ABD=\trójkąt ACD$ ($AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD$- ogólny). Więc $AB=CD$ , więc.

W tym artykule postaramy się jak najpełniej odzwierciedlić właściwości trapezu. W szczególności porozmawiamy o wspólne cechy i właściwości trapezu, a także właściwości trapezu wpisanego i koła wpisanego w trapezu. Poruszymy również właściwości trapezu równoramiennego i prostokątnego.

Przykład rozwiązania problemu za pomocą rozważanych właściwości pomoże ci uporządkować rzeczy w głowie i lepiej zapamiętać materiał.

Trapez i wszystko-wszystko

Na początek przypomnijmy krótko, czym jest trapez i jakie inne pojęcia są z nim związane.

Tak więc trapez jest figurą czworoboczną, której dwa boki są równoległe do siebie (są to podstawy). A dwa nie są równoległe - to są boki.

W trapezie można pominąć wysokość - prostopadle do podstaw. Narysowana jest linia środkowa i przekątne. A także pod dowolnym kątem trapezu można narysować dwusieczną.

Zawodowiec różne właściwości związane z wszystkimi tymi elementami i ich kombinacjami, porozmawiamy teraz.

Właściwości przekątnych trapezu

Aby było to jaśniejsze, podczas czytania naszkicuj trapez ACME na kartce papieru i narysuj w nim przekątne.

Jeśli znajdziesz środek każdej z przekątnych (nazwijmy te punkty X i T) i połączysz je, otrzymasz odcinek. Jedną z właściwości przekątnych trapezu jest to, że segment XT leży na linii środkowej. A jego długość można uzyskać, dzieląc różnicę zasad przez dwa: XT \u003d (a - b) / 2.
Przed nami ten sam trapez ACME. Przekątne przecinają się w punkcie O. Rozważmy trójkąty AOE i IOC utworzone przez odcinki przekątnych wraz z podstawami trapezu. Te trójkąty są podobne. Współczynnik podobieństwa k trójkątów wyraża się stosunkiem podstaw trapezu: k = AE/KM.
Stosunek pól trójkątów AOE i IOC opisuje współczynnik k 2 .
Cały ten sam trapez, te same przekątne przecinające się w punkcie O. Tylko tym razem rozważymy trójkąty, które przekątne segmenty tworzą razem z bokami trapezu. Pola trójkątów AKO i EMO są równe - ich pola są takie same.
Kolejną właściwością trapezu jest budowa przekątnych. Jeśli więc będziemy kontynuować boki AK i ME w kierunku mniejszej podstawy, to prędzej czy później przecinają się one do pewnego momentu. Następnie narysuj linię prostą przez punkty środkowe podstaw trapezu. Przecina bazy w punktach X i T.
Jeżeli teraz przedłużymy linię XT, to połączy ona punkt przecięcia przekątnych trapezu O, w którym przecinają się przedłużenia boków i środki podstaw X i T.
Przez punkt przecięcia przekątnych rysujemy odcinek, który połączy podstawy trapezu (T leży na mniejszej podstawie KM, X - na większej AE). Punkt przecięcia przekątnych dzieli ten odcinek w następującym stosunku: TO/OH = KM/AE.
A teraz przez punkt przecięcia przekątnych rysujemy odcinek równoległy do podstaw trapezu (a i b). Punkt przecięcia podzieli go na dwie równe części. Długość odcinka można znaleźć za pomocą wzoru 2ab/(a + b).

Właściwości linii środkowej trapezu

Narysuj środkową linię trapezu równolegle do jego podstaw.

Długość linii środkowej trapezu można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: m = (a + b)/2.
Jeśli narysujesz dowolny odcinek (na przykład wysokość) przez obie podstawy trapezu, środkowa linia podzieli go na dwie równe części.

Własność dwusiecznej trapezu

Wybierz dowolny kąt trapezu i narysuj dwusieczną. Weźmy na przykład kąt KAE naszego trapezu ACME. Po samodzielnym wykonaniu konstrukcji można łatwo zauważyć, że dwusieczna odcina od podstawy (lub jej kontynuację w linii prostej poza samą figurą) odcinek o tej samej długości co bok.

Właściwości kąta trapezowego

Niezależnie od tego, która z dwóch par kątów przylegających do boku wybierzesz, suma kątów w parze wynosi zawsze 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0 .
Połącz punkty środkowe podstaw trapezu z segmentem TX. Spójrzmy teraz na kąty u podstawy trapezu. Jeżeli suma kątów dla któregokolwiek z nich wynosi 90 0, długość odcinka TX jest łatwa do obliczenia na podstawie różnicy długości podstaw podzielonych na pół: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Jeśli przez boki kąta trapezu zostaną narysowane równoległe linie, podzielą one boki kąta na proporcjonalne odcinki.

Właściwości trapezu równoramiennego (równoramiennego)

W trapezie równoramiennym kąty przy każdej z podstaw są równe.
Teraz ponownie zbuduj trapez, aby łatwiej było sobie wyobrazić, o co w nim chodzi. Przyjrzyj się dokładnie podstawie AE — wierzchołek przeciwległej podstawy M jest rzutowany na pewien punkt na linii, która zawiera AE. Odległość od wierzchołka A do punktu rzutu wierzchołka M i linii środkowej trapezu równoramiennego są równe.
Kilka słów o własności przekątnych trapezu równoramiennego - ich długości są równe. A także kąty nachylenia tych przekątnych do podstawy trapezu są takie same.
Tylko w pobliżu trapezu równoramiennego można opisać okrąg, ponieważ suma przeciwnych kątów czworokąta 180 0 jest do tego warunkiem wstępnym.
Właściwość trapezu równoramiennego wynika z poprzedniego akapitu - jeśli koło można opisać w pobliżu trapezu, to jest to równoramienny.
Z cech trapezu równoramiennego wynika właściwość wysokości trapezu: jeśli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, to długość wysokości jest równa połowie sumy podstaw: h = (a + b)/2.
Ponownie narysuj linię TX przechodzącą przez środki podstaw trapezu - w trapezie równoramiennym jest prostopadła do podstaw. Jednocześnie TX jest osią symetrii trapezu równoramiennego.
Tym razem obniż do większej podstawy (nazwijmy to a) wysokość od przeciwległego wierzchołka trapezu. Otrzymasz dwa cięcia. Długość jednego można znaleźć, jeśli długości podstaw zostaną dodane i podzielone na pół: (a+b)/2. Drugą otrzymujemy, gdy odejmiemy mniejszą od większej podstawy i podzielimy wynikową różnicę przez dwa: (a – b)/2.

Właściwości trapezu wpisanego w okrąg

Skoro już mówimy o trapezie wpisanym w okrąg, przyjrzyjmy się tej kwestii bardziej szczegółowo. W szczególności, gdzie znajduje się środek koła w stosunku do trapezu. Tutaj też zaleca się, aby nie być zbyt leniwym, aby wziąć ołówek do ręki i narysować co zostaną omówione poniżej. Dzięki temu szybciej zrozumiesz i lepiej zapamiętasz.

Położenie środka koła określa kąt nachylenia przekątnej trapezu w jego bok. Na przykład przekątna może wychodzić z wierzchołka trapezu pod kątem prostym do boku. W tym przypadku większa podstawa przecina środek opisanego okręgu dokładnie pośrodku (R = ½AE).
Przekątna i bok mogą się spotkać pod kąt ostry- wtedy środek koła znajduje się wewnątrz trapezu.
Środek koła opisanego może znajdować się na zewnątrz trapezu, poza jego dużą podstawą, jeśli pomiędzy przekątną trapezu a bokiem występuje kąt rozwarty.
Kąt utworzony przez przekątną i dużą podstawę trapezu ACME (kąt wpisany) jest połową odpowiadającego mu kąta środkowego: MAE = ½ MÓJ.
Krótko o dwóch sposobach znalezienia promienia okręgu opisanego. Metoda pierwsza: spójrz uważnie na swój rysunek - co widzisz? Łatwo zauważysz, że przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty. Promień można znaleźć poprzez stosunek boku trójkąta do sinusa kąta przeciwnego pomnożony przez dwa. Na przykład, R \u003d AE / 2 * sinAME. Podobnie wzór można zapisać dla dowolnego z boków obu trójkątów.
Metoda druga: znajdujemy promień opisanego koła przez obszar trójkąta utworzonego przez przekątną, bok i podstawę trapezu: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Właściwości trapezu opisanego na okręgu

Okrąg można wpisać w trapez, jeśli spełniony jest jeden warunek. Więcej na ten temat poniżej. I razem ta kombinacja figur ma wiele interesujących właściwości.

Jeśli okrąg jest wpisany w trapez, długość jego linii środkowej można łatwo znaleźć, dodając długości boków i dzieląc otrzymaną sumę na pół: m = (c + d)/2.
Dla trapezu ACME, opisanego na okręgu, suma długości podstaw jest równa sumie długości boków: AK + ME = KM + AE.
Z tej własności podstaw trapezu wynika odwrotne stwierdzenie: w trapezu można wpisać okrąg, którego suma podstaw jest równa sumie boków.
Punkt styczny koła o promieniu r wpisanym w trapez dzieli bok boczny na dwa odcinki, nazwijmy je a i b. Promień okręgu można obliczyć ze wzoru: r = √ab.
I jeszcze jedna nieruchomość. Aby się nie pomylić, sam narysuj ten przykład. Mamy stary dobry trapez ACME, zakreślony wokół koła. Rysowane są w nim przekątne przecinające się w punkcie O. Trójkąty AOK i EOM utworzone przez odcinki przekątnych i boków są prostokątne.
Wysokości tych trójkątów, obniżonych do przeciwprostokątnych (czyli boków trapezu), pokrywają się z promieniami wpisanego koła. A wysokość trapezu jest taka sama jak średnica wpisanego koła.

Właściwości prostokątnego trapezu

Trapez nazywa się prostokątnym, którego jeden z rogów jest prawy. A jego właściwości wynikają z tej okoliczności.

Trapez prostokątny ma jeden z boków prostopadłych do podstaw.
Wysokość i bok trapezu przylegającego do prosty kąt, są równe. Pozwala to obliczyć powierzchnię prostokątnego trapezu (ogólny wzór S = (a + b) * h/2) nie tylko przez wysokość, ale także przez bok przylegający do kąta prostego.
W przypadku trapezu prostokątnego istotne są ogólne właściwości przekątnych trapezów opisanych powyżej.

Dowody niektórych właściwości trapezu

Równość kątów u podstawy trapezu równoramiennego:

Prawdopodobnie już zgadłeś, że tutaj znowu potrzebujemy trapezu ACME - narysuj trapez równoramienny. Narysuj linię MT od wierzchołka M równolegle do boku AK (MT || AK).

Otrzymany czworokąt AKMT jest równoległobokiem (AK || MT, KM || AT). Ponieważ ME = KA = MT, ∆ MTE jest równoramienne, a MET = MTE.

AK || MT, zatem MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdzie AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

co było do okazania

Teraz na podstawie własności trapezu równoramiennego (równości przekątnych) udowadniamy, że trapez ACME jest równoramienny:

Na początek narysujmy linię prostą МХ – МХ || KE. Otrzymujemy równoległobok KMHE (podstawa - MX || KE i KM || EX).

∆AMH jest równoramienny, ponieważ AM = KE = MX, a MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, zatem MAE = MXE.

Okazało się, że trójkąty AKE i EMA są sobie równe, ponieważ AM \u003d KE i AE to wspólny bok dwóch trójkątów. A także MAE \u003d MXE. Możemy wywnioskować, że AK = ME, a stąd wynika, że trapez AKME jest równoramienny.

Zadanie do powtórzenia

Podstawy trapezu ACME mają 9 cm i 21 cm, bok KA równy 8 cm tworzy kąt 150 0 z mniejszą podstawą. Musisz znaleźć obszar trapezu.

Rozwiązanie: Od wierzchołka K obniżamy wysokość do większej podstawy trapezu. I zacznijmy patrzeć na kąty trapezu.

Kątowniki AEM i KAN są jednostronne. Co oznacza, że sumują się do 1800. Dlatego KAN = 30 0 (na podstawie właściwości kątów trapezu).

Rozważmy teraz prostokątne ∆ANK (myślę, że ten punkt jest oczywisty dla czytelników bez dalszych dowodów). Od niego znajdujemy wysokość trapezu KH - w trójkącie jest to noga, która leży naprzeciwko kąta 30 0. Dlatego KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Obszar trapezu określa wzór: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Posłowie

Jeśli dokładnie i uważnie przestudiowałeś ten artykuł, nie byłeś zbyt leniwy, aby rysować trapezy dla wszystkich powyższych właściwości ołówkiem w dłoniach i analizować je w praktyce, powinieneś dobrze opanować materiał.

Oczywiście jest tu wiele informacji, zróżnicowanych, a czasem nawet mylących: nie jest tak trudno pomylić właściwości opisywanego trapezu z właściwościami wpisanego. Ale sam widziałeś, że różnica jest ogromna.

Teraz masz szczegółowe podsumowanie wszystkich wspólne właściwości trapez. Jak również specyficzne właściwości i cechy równoramiennych i prostokątnych trapezów. Jest bardzo wygodny w użyciu do przygotowania się do testów i egzaminów. Wypróbuj sam i udostępnij link znajomym!

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.