Określ długość i kierunek cosinusów prostopadłej. Cosinusy kierunku wektorów

Niech będzie dany wektor. Wektor jednostkowy w tym samym kierunku co (wektor wektor ) znajduje się za pomocą wzoru:

.

Niech oś tworzy kąty z osiami współrzędnych
.Cosinusy kierunku osi cosinusy tych kątów nazywane są: Jeśli kierunek podane przez wektor jednostkowy , współrzędnymi tego kierunku są cosinusy kierunku, czyli:

.

Cosinusy kierunku są powiązane zależnością:

Jeśli kierunek podany przez dowolny wektor , a następnie znajdź wektor jednostkowy tego wektora i porównując go z wyrażeniem na wektor jednostkowy , Dostawać:

Produkt skalarny

Produkt kropkowy
dwa wektory oraz nazywamy liczbą równą iloczynowi ich długości przez cosinus kąta między nimi:
.

Produkt skalarny ma następujące właściwości:

Stąd,
.

Geometryczne znaczenie iloczynu skalarnego: iloczyn skalarny wektora i wektora jednostkowego równy rzutowi wektora w wyznaczonym kierunku , tj.
.

Z definicji iloczynu skalarnego wynika poniższa tabela mnożenia orts
:

.

Jeśli wektory są podane przez ich współrzędne
oraz
, tj.
,
, następnie mnożąc te wektory skalarnie i korzystając z tabliczki mnożenia ortów otrzymujemy wyrażenie na iloczyn skalarny
poprzez współrzędne wektorów:

.

produkt wektorowy

Iloczyn krzyżowy wektorana wektor zwany wektorem , którego długość i kierunek określają warunki:

Produkt wektorowy ma następujące właściwości:

Z pierwszych trzech własności wynika, że ​​mnożenie wektora sumy wektorów przez sumę wektorów jest zgodne ze zwykłymi regułami mnożenia wielomianowego. Trzeba tylko upewnić się, że kolejność mnożników się nie zmieni.

Podstawowe wektory jednostkowe mnoży się w następujący sposób:

Jeśli
oraz
, to biorąc pod uwagę właściwości iloczynu wektorowego wektorów, ze współrzędnych wektorów czynnikowych możemy wyprowadzić regułę obliczania współrzędnych iloczynu wektorowego:

Jeśli weźmiemy pod uwagę uzyskane powyżej zasady mnożenia ortów, to:

Bardziej zwartą formę pisania wyrażenia do obliczania współrzędnych iloczynu wektorowego dwóch wektorów można skonstruować, jeśli wprowadzimy pojęcie wyznacznika macierzowego.

Rozważ szczególny przypadek, gdy wektory oraz należy do samolotu
, tj. mogą być reprezentowane jako
oraz
.

Jeżeli współrzędne wektorów są zapisane w formie tabeli w następujący sposób:
, to możemy powiedzieć, że powstaje z nich macierz kwadratowa drugiego rzędu, tj. rozmiar
, składający się z dwóch wierszy i dwóch kolumn. Każdej macierzy kwadratowej przypisywana jest liczba, która jest obliczana z elementów macierzy według określonych zasad i nazywana jest wyznacznikiem. Wyznacznik macierzy drugiego rzędu jest równy różnicy między iloczynami elementów przekątnej głównej i przekątnej drugorzędnej:

.

W tym przypadku:

Wartość bezwzględna wyznacznika jest więc równa powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach oraz jak po bokach.

Jeśli porównamy to wyrażenie ze wzorem iloczynu wektorowego (4.7), to:

To wyrażenie jest wzorem do obliczania wyznacznika macierzy trzeciego rzędu z pierwszego wiersza.

Zatem:

Wyznacznik macierzy trzeciego rzędu oblicza się w następujący sposób:

i jest sumą algebraiczną sześciu wyrazów.

Wzór na wyznaczenie wyznacznika macierzy trzeciego rzędu jest łatwy do zapamiętania, jeśli używasz regułaSarrus, który jest sformułowany w następujący sposób:

Każdy termin jest iloczynem trzech elementów znajdujących się w różnych kolumnach i różnych wierszach macierzy;

Znak plus zawiera iloczyny elementów tworzących trójkąty o boku równoległym do głównej przekątnej;

Znak minus nadawany jest iloczynom elementów należących do przekątnej drugorzędnej oraz dwóm iloczynom elementów tworzących trójkąty o boku równoległym do przekątnej drugorzędnej.

Cosinusy kierunku wektora.

Cosinusy kierunkowe wektora a są cosinusami kątów, które wektor tworzy z dodatnimi półosiami współrzędnych.

Aby znaleźć cosinusy kierunku wektora a, konieczne jest podzielenie odpowiednich współrzędnych wektora przez moduł wektora.

Nieruchomość: Suma kwadratów cosinusów kierunku jest równa jeden.

Więc w przypadku problemu z samolotem cosinusy kierunku wektora a = (ax; ay) znajdują się za pomocą wzorów:

Przykład obliczania cosinusów kierunku wektora:

Znajdź cosinusy kierunku wektora a = (3; 4).

Rozwiązanie: |a| =

tak w przypadek problemu przestrzennego cosinusy kierunku wektora a = (ax; ay; az) znajdują się za pomocą wzorów:

Przykład obliczania cosinusów kierunku wektora

Znajdź cosinusy kierunku wektora a = (2; 4; 4).

Rozwiązanie: |a| =

"Jak znaleźć kierunek cosinusów wektora"

Oznaczmy przez alfa, beta i gamma kąty utworzone przez wektor a z dodatnim kierunkiem osi współrzędnych (patrz rys. 1). Cosinusy tych kątów nazywane są cosinusami kierunku wektora a.

Ponieważ współrzędne a w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych są równe rzutom wektora na osie współrzędnych, to a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Stąd: cos (alfa)=a1||a|, cos(beta)=a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Ponadto |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Czyli cos(alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Należy zwrócić uwagę na główną właściwość cosinusów kierunku. Suma kwadratów cosinusów kierunku wektora jest równa jeden. Rzeczywiście, cos^2(alfa)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Pierwszy sposób

Przykład: dane: wektor a=(1, 3, 5). Znajdź jego cosinusy kierunku. Decyzja. Zgodnie z tym, co znaleźliśmy, piszemy: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. Zatem odpowiedź może być zapisana w postaci: (cos(alfa), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =(0,16; 0,5; 0,84).

Drugi sposób

Wyznaczając cosinusy kierunku wektora a, można skorzystać z techniki wyznaczania cosinusów kątów za pomocą iloczynu skalarnego. W tym przypadku mamy na myśli kąty między a a wektorami kierunkowymi prostokątnych współrzędnych kartezjańskich i, j oraz k. Ich współrzędne to odpowiednio (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Należy przypomnieć, że iloczyn skalarny wektorów definiuje się następująco.

Jeśli kąt między wektorami wynosi φ, to iloczyn skalarny dwóch wiatrów (z definicji) jest liczbą równą iloczynowi modułów wektorów przez cosφ. (a, b) = |a||b|cosf. Wtedy, jeśli b=i, wtedy (a, i) = |a||i|cos(alfa) lub a1 = |a|cos(alfa). Ponadto wszystkie czynności wykonuje się podobnie jak w metodzie 1, biorąc pod uwagę współrzędne j i k.

są to cosinusy kątów, które wektor tworzy z dodatnimi półosiami współrzędnych. Cosinusy kierunku jednoznacznie definiują kierunek wektora. Jeśli wektor ma długość 1, to jego cosinusy kierunku są równe jego współrzędnym. Ogólnie dla wektora o współrzędnych ( a; b; c) cosinusy kierunku są równe:

gdzie a, b, g to kąty utworzone przez wektor o osiach x, tak, z odpowiednio.

21) Rozkład wektora na wektory. Orientacja osi współrzędnych jest oznaczona przez , osie - przez , osie - przez (rys. 1).

Dla dowolnego wektora leżącego na płaszczyźnie następuje następujący rozkład:

Jeśli wektor znajduje się w przestrzeni, to rozwinięcie względem wektorów jednostkowych osi współrzędnych ma postać:

22)Produkt kropkowy dwa niezerowe wektory i liczbę równą iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi nazywamy:

23) Kąt między dwoma wektorami

Jeśli kąt między dwoma wektorami jest ostry, to ich iloczyn skalarny jest dodatni; jeśli kąt między wektorami jest rozwarty, to iloczyn skalarny tych wektorów jest ujemny. Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy te wektory są ortogonalne.

24) Warunek równoległości i prostopadłości dwóch wektorów.

Warunek prostopadłości wektorów
Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi 0. Dane są dwa wektory a(xa;ya) i b(xb;yb). Te wektory będą prostopadłe, jeśli wyrażenie xaxb + yayb = 0.

25) Iloczyn wektorowy dwóch wektorów.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów niewspółliniowych to wektor c=a×b spełniający następujące warunki: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Wektory a, b, c tworzą prawą trójkę wektorów.

26) Wektory kolinearne i koplanarne..

Wektory są współliniowe, jeśli odcięta pierwszego wektora jest powiązana z odciętą drugiego w taki sam sposób, jak rzędna pierwszego z rzędną drugiego. Dane są dwa wektory a (xa;tak) oraz b (xb;yb). Te wektory są współliniowe, jeśli x a = xb oraz tak = yb, gdzie R.

Wektory −→ a,−→b oraz −→ c nazywa współpłaszczyznowy jeśli istnieje płaszczyzna, do której są one równoległe.

27) Produkt mieszany trzech wektorów. Mieszany iloczyn wektorów- iloczyn skalarny wektora a i iloczyn wektorowy wektorów bic. Znajdź mieszany iloczyn wektorów a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Decyzja:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie. Odległość między dwoma danymi punktami jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów różnic tych samych współrzędnych tych punktów.

29) Podział segmentu pod tym względem. Jeżeli punkt M(x; y) leży na prostej przechodzącej przez dwa podane punkty ( , ) i ( , ) oraz podano zależność, w której punkt M dzieli odcinek , to wyznaczane są współrzędne punktu M według wzorów

Jeżeli punkt M jest środkiem odcinka, to jego współrzędne są określone wzorami

30-31. Nachylenie linii prostej nazywana jest styczną nachylenia tej prostej. Nachylenie linii prostej jest zwykle oznaczane literą k. Wtedy z definicji

Równanie linii z nachyleniem ma formę gdzie k- współczynnik kątowy linii prostej, b to jakaś liczba rzeczywista. Równanie linii prostej ze spadkiem może ustawić dowolną linię prostą, która nie jest równoległa do osi Oy(dla linii prostej równoległej do osi y nachylenie nie jest zdefiniowane).

33. Ogólne równanie prostej na płaszczyźnie. Wpisz równanie jest ogólne równanie prostej Oxy. W zależności od wartości stałych A, B i C możliwe są następujące przypadki szczególne:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linia przechodzi przez początek

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 ( By + C \u003d 0) - linia jest równoległa do osi Wół

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - linia jest równoległa do osi Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - linia prosta pokrywa się z osią Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - linia prosta pokrywa się z osią Wół

34.Równanie prostej w odcinkach na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy ma formę gdzie a oraz b to niektóre niezerowe liczby rzeczywiste. Ta nazwa nie jest przypadkowa, ponieważ bezwzględne wartości liczb a oraz b równej długości odcinków, które linia prosta odcina na osiach współrzędnych Wół oraz Oy odpowiednio (segmenty są liczone od początku). Zatem równanie linii prostej w odcinkach ułatwia zbudowanie tej linii prostej na rysunku. Aby to zrobić, zaznacz punkty współrzędnymi w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie i użyj linijki, aby połączyć je linią prostą.

35. Równanie normalne prostej ma postać

gdzie jest odległość od linii prostej do początku;  to kąt między normalną a prostą i osią.

Równanie normalne można otrzymać z równania ogólnego (1), mnożąc je przez współczynnik normalizujący , znak  jest przeciwny do znaku , tak że .

Cosinusy kątów między linią a osiami współrzędnych nazywane są cosinusami kierunku,  jest kątem między prostą a osią,  jest między prostą a osią:

Zatem równanie normalne można zapisać jako

Odległość od punktu prosto określa wzór

36. Odległość punktu od prostej oblicza się według wzoru:

gdzie x 0 i y 0 to współrzędne punktu, a A, B i C to współczynniki z ogólnego równania prostej

37. Sprowadzenie ogólnego równania prostej do normalnego. Równanie i płaszczyzna w tym kontekście nie różnią się od siebie niczym innym niż liczbą członów w równaniach i wymiarem przestrzeni. Dlatego na początku powiem wszystko o samolocie, a na koniec zrobię zastrzeżenie o linii prostej.
Niech dane będzie ogólne równanie płaszczyzny: Ax + By + Cz + D = 0.
;. otrzymujemy system: g;Mc=cosb, MB=cosaPrzywróćmy to do normalnej postaci. W tym celu mnożymy obie części równania przez współczynnik normalizujący M. Otrzymujemy: Max + Mvu + MSz + MD = 0. W tym przypadku МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa otrzymujemy system:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Dodając wszystkie równania układu, otrzymujemy M*(A2 + B2 + C2) = 1 Teraz pozostaje tylko wyrazić M stąd, aby wiedzieć, przez który czynnik normalizujący należy pomnożyć pierwotne równanie ogólne, aby doprowadzić je do normy Formularz:
M \u003d - + 1 / ROOT KV A2 + B2 + C2
MD musi być zawsze mniejsze od zera, dlatego znak liczby M jest przeciwny do znaku liczby D.
Przy równaniu prostej wszystko jest takie samo, tylko wyraz C2 należy po prostu usunąć ze wzoru na M.

38.Ogólne równanie samolotu w przestrzeni nazywa się równaniem postaci

gdzie A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

W przestrzeni trójwymiarowej w kartezjańskim układzie współrzędnych dowolna płaszczyzna jest opisana równaniem pierwszego stopnia (równanie liniowe). I odwrotnie, każde równanie liniowe definiuje płaszczyznę.

40.Równanie płaszczyzny w odcinkach. W prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni trójwymiarowej równanie postaci , gdzie a, b oraz c liczby rzeczywiste inne niż zero nazywa się równanie płaszczyzny w odcinkach. Wartości bezwzględne liczb a, b oraz c równej długości odcinków, które samolot odcina na osiach współrzędnych Wół, Oy oraz Oz odpowiednio, licząc od początku. Znak liczbowy a, b oraz c pokazuje, w którym kierunku (dodatnim lub ujemnym) segmenty są wykreślane na osiach współrzędnych

41) Równanie normalne płaszczyzny.

Równanie normalne samolotu to jego równanie zapisane w postaci

gdzie , , są kierunkiem cosinusów normalnej płaszczyzny, e

p to odległość od początku do płaszczyzny. Przy obliczaniu cosinusów kierunku normalnej należy wziąć pod uwagę, że jest ona skierowana od początku układu współrzędnych do płaszczyzny (jeśli płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych, to wybór dodatniego kierunku normalnej jest obojętny).

42) Odległość od punktu do płaszczyzny.Niech płaszczyzna będzie dana równaniem i otrzymał punkt. Wtedy odległość od punktu do płaszczyzny określa wzór

Dowód. Odległość od punktu do płaszczyzny to z definicji długość prostopadłej opuszczonej z punktu na płaszczyznę

Kąt między płaszczyznami

Niech płaszczyzny i będą podane przez równania i , odpowiednio. Wymagane jest znalezienie kąta między tymi płaszczyznami.

Przecinające się płaszczyzny tworzą cztery kąty dwuścienne: dwa rozwarte i dwa ostre lub cztery proste, przy czym oba kąty rozwarte są sobie równe i oba ostre są sobie równe. Zawsze będziemy szukać ostrego kąta. Aby określić jego wartość, bierzemy punkt na linii przecięcia płaszczyzn i w tym punkcie w każdej z

płaszczyzny rysujemy prostopadle do linii przecięcia.

Nieruchomość:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

b) definicja operacji liniowych

suma dwóch wektorów niewspółliniowych i nazywana jest wektorem pochodzącym ze wspólnego początku wektorów wzdłuż przekątnej równoległoboku zbudowanego na tych wektorach

Różnica wektorów i nazywana jest sumą wektora i wektora przeciwnego do wektora: . Połącz początki wektorów i , następnie wektor jest skierowany od końca wektora do końca wektora .

praca wektor do liczby nazywany jest wektorem z modułem oraz dla i dla . Geometrycznie mnożenie przez liczbę oznacza „rozciągnięcie” wektora o współczynnik 1, przy jednoczesnym zachowaniu kierunku i zmianie na przeciwny w .

Z powyższych zasad dodawania wektorów i mnożenia ich przez liczbę wynikają oczywiste stwierdzenia:

1. (dodawanie jest przemienne);

2. (dodawanie jest asocjacyjne);

3. (istnienie wektora zerowego);

4. (istnienie przeciwnego wektora);

5. (dodawanie jest asocjacyjne);

6. (mnożenie przez liczbę ma charakter rozdzielczy);

7. (dodawanie wektorów ma charakter rozdzielczy);

c) iloczyn skalarny i jego główne właściwości

Produkt kropkowy dwóch niezerowych wektorów nazywamy liczbą równą iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi. Jeżeli przynajmniej jeden z dwóch wektorów ma wartość zero, to kąt między nimi nie jest zdefiniowany, a iloczyn skalarny jest uważany za zero. Iloczyn skalarny wektorów i jest oznaczony

, gdzie i są długościami wektorów i odpowiednio, i jest kątem między wektorami i .

Iloczyn skalarny wektora z samym sobą nazywamy kwadratem kropkowym.

Właściwości iloczynu skalarnego.

Dla dowolnych wektorów i następujące są prawdziwe: właściwości kropki:

przemienność iloczynu skalarnego;

własność dystrybucyjna lub ;

łączność lub , gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą;

kwadrat skalarny wektora jest zawsze nieujemny i tylko wtedy, gdy wektor wynosi zero.

D) iloczyn wektorowy i jego własności

produkt wektorowy wektor a do wektora b jest nazywany wektorem c, którego długość jest liczbowo równa powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b, prostopadłych do płaszczyzny tych wektorów i skierowanych tak, aby najmniejszy obrót od a do b wokół wektora c jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, patrząc od wektora końcowego c

Wzory do obliczania iloczynu krzyżowego wektorów

produkt wektorowy dwa wektory a = (a x ; a y ; a z ) i b = (b x ; b y ; b z ) we współrzędnych kartezjańskich to wektor, którego wartość można obliczyć za pomocą następujących wzorów:

• Iloczyn krzyżowy dwóch niezerowych wektorów a i b wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są współliniowe.
• Wektor c, który jest równy iloczynowi krzyżowemu niezerowych wektorów aib, jest prostopadły do ​​tych wektorów.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Równanie prostej na płaszczyźnie

A) równanie prostej o nachyleniu

Nachylenie linii prostej nazywana jest styczną nachylenia tej prostej.

Nachylenie linii prostej jest zwykle oznaczane literą k. Wtedy z definicji.

Jeśli linia jest równoległa do osi y, to nachylenie nie istnieje (w tym przypadku mówi się również, że nachylenie zmierza do nieskończoności).

Dodatnie nachylenie linii prostej oznacza wzrost jej wykresu funkcji, ujemne nachylenie oznacza spadek. Równanie prostej o nachyleniu ma postać y=kx+b, gdzie k to nachylenie prostej, b to pewna liczba rzeczywista. Równanie linii prostej z nachyleniem może określać dowolną linię prostą, która nie jest równoległa do osi Oy (w przypadku linii prostej równoległej do osi y nachylenie nie jest zdefiniowane).

B) rodzaje równań linii prostych

Równanie nazywa ogólne równanie prostej na powierzchni.

Dowolne równanie pierwszego stopnia z dwiema zmiennymi x oraz tak uprzejmy , gdzie ALE, W oraz Z są pewne liczby rzeczywiste i ALE oraz W jednocześnie nierówny zero, definiuje linię prostą w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy na płaszczyźnie, a każda linia prosta na płaszczyźnie jest dana równaniem postaci .

Równanie prostej , gdzie a oraz b niektóre liczby rzeczywiste inne niż zero nazywa się równanie prostej w odcinkach. Ta nazwa nie jest przypadkowa, ponieważ bezwzględne wartości liczb a oraz b równej długości odcinków, które linia prosta odcina na osiach współrzędnych Wół oraz Oy odpowiednio (segmenty są liczone od początku).

Równanie prostej , gdzie x oraz tak są zmiennymi i k oraz b są pewne liczby rzeczywiste, zwane równanie prostej ze spadkiem (k- współczynnik kątowy)

Równanie kanoniczne linii prostej w płaszczyźnie w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych Oxy ma formę , gdzie i są liczbami rzeczywistymi, a i nie są równe zeru w tym samym czasie.

Jest oczywiste, że przez punkt przechodzi prosta, określona przez kanoniczne równanie prostej. Z kolei liczby i stojące w mianownikach ułamków są współrzędnymi wektora kierunkowego tej prostej. Zatem kanoniczne równanie linii w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy na płaszczyźnie odpowiada linii prostej przechodzącej przez punkt i mającej wektor kierunku .

Równania parametryczne prostej na płaszczyźnie wygląda jak , gdzie i są pewnymi liczbami rzeczywistymi, a i nie są jednocześnie równe zeru i jest parametrem, który przyjmuje dowolne wartości rzeczywiste.

Równania parametryczne linii prostej ustalają niejawny związek między odciętymi a rzędnymi punktów linii prostej za pomocą parametru (stąd nazwa tego typu równań linii prostej).

Para liczb , które są obliczane za pomocą równań parametrycznych prostej dla pewnej rzeczywistej wartości parametru , jest współrzędnymi pewnego punktu na linii prostej. Na przykład, gdy mamy , czyli punkt ze współrzędnymi leży na linii prostej.

Należy zauważyć, że współczynniki i parametr w równaniach parametrycznych prostej są współrzędnymi wektora kierunkowego tej prostej

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Niech dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2) będą podane w przestrzeni, a następnie równanie prostej przechodzącej przez te punkty:

Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy 0, to odpowiadający mu licznik powinien być równy 0. Na płaszczyźnie równanie linii prostej zapisane powyżej jest uproszczone:

jeśli x 1 ≠ x 2 i x = x 1 jeśli x 1 = x 2.

Ułamek = k nazywa się współczynnik nachylenia prosty.

C) obliczanie kąta między dwiema liniami

jeśli dane są dwie linie y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , to kąt ostry między tymi liniami będzie zdefiniowany jako

.

Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2 . Dwie linie są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/ k 2 .

Twierdzenie. Linie proste Ax + Vy + C \u003d 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 są równoległe, gdy współczynniki A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB są proporcjonalne. Jeśli także С 1 = λС, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

D) warunki równoległości i prostopadłości dwóch prostych

Warunki równoległości dwóch linii:

a) Jeżeli linie są podane równaniami z nachyleniem, to warunkiem koniecznym i wystarczającym ich równoległości jest równość ich nachyleń:

k 1 = k 2 .

b) W przypadku, gdy proste są podane przez równania w postaci ogólnej (6), warunkiem koniecznym i wystarczającym ich równoległości jest to, aby współczynniki przy odpowiednich współrzędnych bieżących w ich równaniach były proporcjonalne, tj.

Warunki prostopadłości dwóch linii:

a) W przypadku, gdy proste dane równaniami (4) mają nachylenie, warunkiem koniecznym i wystarczającym ich prostopadłości jest to, aby ich nachylenia były odwrotne co do wielkości i przeciwne w znaku, tj.

Warunek ten można również zapisać w formie

k 1 k 2 = -1.

b) Jeżeli równania prostych podane są w postaci ogólnej (6), to warunkiem ich prostopadłości (koniecznej i wystarczającej) jest spełnienie równości

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Ograniczenie funkcji

A) limit sekwencji

Pojęcie granicy było używane przez Newtona w drugiej połowie XVII wieku i matematyków XVIII wieku, takich jak Euler i Lagrange, ale rozumieli tę granicę intuicyjnie. Pierwsze rygorystyczne definicje granicy ciągu podali Bolzano w 1816 r. i Cauchy w 1821 r.

Numer nazywa się granica ciągu liczbowego, jeśli ciąg jest nieskończenie mały, tj. wszystkie jego elementy, począwszy od niektórych, są mniejsze niż jakakolwiek liczba dodatnia wzięta z góry.

W przypadku, gdy ciąg liczbowy ma ograniczenie w postaci liczby rzeczywistej, nazywa się to zbieżny do tego numeru. W przeciwnym razie sekwencja nazywa się rozbieżny . Jeżeli ponadto jest nieograniczony, to przyjmuje się, że jego granica jest równa nieskończoności.

Ponadto, jeśli wszystkie elementy ciągu nieograniczonego, zaczynając od jakiejś liczby, mają znak dodatni, to mówimy, że granica takiego ciągu jest równa plus nieskończoność .

Jeśli elementy ciągu nieograniczonego, zaczynając od jakiejś liczby, mają znak ujemny, to mówią, że granica takiego ciągu jest równa minus nieskończoność .

B) ograniczenie funkcji

Ograniczenie funkcji (ograniczenie funkcji) w danym punkcie, ograniczającą dziedzinę definicji funkcji, jest taka wartość, do której dąży wartość rozważanej funkcji, gdy jej argument zmierza do określonego punktu.

Ograniczenie funkcji jest uogólnieniem pojęcia granicy ciągu: początkowo granica funkcji w punkcie była rozumiana jako granica ciągu elementów zakresu funkcji, złożona z obrazów punktów ciągu elementów dziedziny funkcji, zbieżnej do danego punktu (granica, przy której jest brana pod uwagę); jeśli taki limit istnieje, mówi się, że funkcja zbiega się do określonej wartości; jeśli taka granica nie istnieje, mówi się, że funkcja jest rozbieżna.

Ograniczenie funkcji- jedno z podstawowych pojęć analizy matematycznej. Wartość nazywa się limit (wartość graniczna) funkcji w punkcie , jeśli dla dowolnego ciągu punktów zbieżnych do , ale nie zawierających jako jednego z jego elementów (czyli w przebitym sąsiedztwie ), ciąg wartości funkcji jest zbieżny do .

Wartość nazywa się limit (wartość graniczna) funkcji w punkcie , jeśli dla dowolnej liczby dodatniej przyjętej z góry istnieje odpowiadająca jej liczba dodatnia taka, że ​​dla wszystkich argumentów spełniających warunek , nierówność jest spełniona.

C) dwie niezwykłe granice

· Pierwsza godna uwagi granica:

Konsekwencje

·

·

·

· Drugi znaczący limit:

Konsekwencje

1.

2.

3.

4.

5. dla ,

6.

D) funkcje nieskończenie małe i nieskończenie duże

Funkcjonować y=f(x) nazywa nieskończenie mały w x→a albo kiedy x→∞ jeśli lub , tj. Funkcja nieskończenie mała to funkcja, której granica w danym punkcie wynosi zero.

jeśli funkcja y=f(x) reprezentowalne w x→a jako suma stałej liczby b i nieskończenie małe α(x): f(x)=b+ α(x) następnie .

I odwrotnie, jeśli , to f(x)=b+α(x), gdzie topór) jest nieskończenie mały w x→a.

Konsekwencja 1. Jeśli i , to .

Konsekwencja 2. Jeśli c= const, to .

Jeśli funkcja f(x) jest nieskończenie duży w x→a, następnie funkcja 1 /f(x) jest nieskończenie mały w x→a.

Jeśli funkcja f(x)- nieskończenie mały w x→a(lub x→∞) i nie znika więc y= 1/f(x) jest nieskończoną funkcją. najprostsze własności funkcji nieskończenie małych i nieskończenie dużych można zapisać za pomocą następujących relacji warunkowych: A≠ 0

D) ujawnienie niepewności. Rządy L'Hopitala

główne rodzaje niepewności: zero podzielone przez zero ( 0 do 0), podziel nieskończoność przez nieskończoność, pomnóż zero przez nieskończoność, nieskończoność minus nieskończoność, jeden do potęgi nieskończoności, zero do potęgi zera, nieskończoność do potęgi zera.

Rządy L'Hopitala bardzo szeroko stosowany do obliczenia graniczne gdy istnieje niepewność postaci zero podzielone przez zero, nieskończoność podzielona przez nieskończoność.

Tego typu niepewności są redukowane do zera razy nieskończoność i nieskończoność minus nieskończoność.

Jeśli i jeśli działa f(x) oraz g(x) różniczkowalnych w sąsiedztwie punktu , to

W przypadku, gdy niepewność nie zniknie po zastosowaniu zasady L'Hopitala, można ją zastosować ponownie.

Obliczanie pochodnych

A) zasada różniczkowania funkcji zespolonej

Niech jest złożona funkcja , gdzie funkcja jest argumentem pośrednim. Pokażemy, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, znając pochodną funkcji (oznaczymy ją przez ) i pochodną funkcji .

Twierdzenie 1. Jeśli funkcja ma pochodną w punkcie x, a funkcja ma pochodną w punkcie (), to funkcja zespolona w punkcie x ma pochodną i = .

W przeciwnym razie pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej danej funkcji względem argumentu pośredniego przez pochodną argumentu pośredniego.

B) różniczkowanie funkcji podanej parametrycznie

Niech funkcja będzie podana w postaci parametrycznej, czyli w postaci:

gdzie funkcje i są zdefiniowane i ciągłe w pewnym przedziale parametru. Znajdźmy różnice z prawej i lewej części każdej z równości:

Aby znaleźć drugą pochodną, ​​wykonujemy następujące przekształcenia:

C) pojęcie pochodnej logarytmicznej funkcji

Pochodna logarytmiczna funkcji dodatniej nazywana jest pochodną. Ponieważ zatem zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej otrzymujemy następującą zależność dla pochodnej logarytmicznej:

.

Korzystając z pochodnej logarytmicznej, wygodnie jest obliczyć pochodną zwykłą w przypadkach, gdy logarytm upraszcza postać funkcji.

Istota takiego różniczkowania jest następująca: najpierw znajduje się logarytm danej funkcji, a dopiero potem oblicza się z niego pochodną. Niech zostanie podana jakaś funkcja. Bierzemy logarytm lewej i prawej strony tego wyrażenia:

A następnie, wyrażając pożądaną pochodną, ​​w wyniku mamy:

D) pochodna funkcji odwrotnej

Jeśli y=f(x) i x=g(y) są parą funkcji wzajemnie odwrotnych, a funkcja y=f(x) ma pochodną f"(x), to pochodna funkcji odwrotnej g"( x)=1/f" (x).

Zatem pochodne funkcji wzajemnie odwrotnych są odwrotnościami. Wzór na pochodną funkcji odwrotnej:

E) pochodna funkcji uwikłanej

Jeżeli funkcję jednej zmiennej opisuje równanie tak=f(x), gdzie zmienna tak jest po lewej stronie, podczas gdy prawa strona zależy tylko od argumentu x, wtedy mówimy, że funkcja jest podana wyraźnie. Na przykład następujące funkcje są jawnie zdefiniowane:

tak= grzech x,tak=x 2+2x+5,tak=Incos x.

W wielu zadaniach funkcję można jednak podać niejawnie, tj. w postaci równania

F(x,tak)=0.

znaleźć pochodną tak′( x) niejawnie zdefiniowanej funkcji, nie ma potrzeby konwertowania jej na formę jawną. W tym celu znając równanie F(x,tak)=0, po prostu wykonaj następujące czynności:

Najpierw musisz zróżnicować obie strony równania względem zmiennej x, przy założeniu, że tak jest funkcją różniczkowalną x i stosowanie reguły do ​​obliczania pochodnej funkcji zespolonej. W tym przypadku pochodna zera (po prawej stronie) również będzie równa zeru.
Komentarz: Jeśli prawa strona jest niezerowa, tj. niejawne równanie ma postać

f(x,tak)=g(x,tak),

następnie różnicujemy lewą i prawą stronę równania.

Rozwiąż otrzymane równanie w odniesieniu do pochodnej tak′( x).

Pojęcie pochodnej

A) definicja pochodnej

Pochodna funkcji różnicowanie integracja.

tak xx

Definicja pochodna

Rozważ funkcję f(x x 0. Następnie funkcja f(x) jest różniczkowalny w punkcie x 0 i jej pochodna określa wzór

f′( x 0)=lim x→0Δ takΔ x=lim x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

Pochodna funkcji- jedno z podstawowych pojęć matematyki, aw analizie matematycznej pochodna wraz z całką zajmuje centralne miejsce. Proces znajdowania pochodnej nazywa się różnicowanie. Operacja odwrotna - przywrócenie funkcji ze znanej pochodnej - nazywa się integracja.

Pochodna funkcji w pewnym momencie charakteryzuje tempo zmian funkcji w tym punkcie. Oszacowanie tempa zmian można uzyskać, obliczając iloraz zmiany funkcji Δ tak do odpowiedniej zmiany w argumencie Δ x. W definicji pochodnej taki stosunek jest uwzględniany w limicie pod warunkiem Δ x→0. Przejdźmy do bardziej rygorystycznego sformułowania:

Definicja pochodna

Rozważ funkcję f(x), której domena zawiera pewien odstęp wokół punktu x 0. Następnie funkcja f(x) jest różniczkowalny w punkcie x 0 i jej pochodna określa wzór

f′( x 0)=lim x→0Δ takΔ x=lim x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

B) geometryczne znaczenie pochodnej

Pochodna funkcji obliczona dla danej wartości jest równa stycznej kąta utworzonego przez dodatni kierunek osi i dodatni kierunek stycznej narysowanej na wykresie tej funkcji w punkcie z odciętą:

Jeśli funkcja ma w punkcie pochodną skończoną, to w sąsiedztwie można ją aproksymować funkcją liniową

Funkcja nazywana jest styczną do w punkcie Numer.

D) tablica pochodnych najprostszych funkcji elementarnych

Pok. 1.5.6. Cosinusy kierunku wektor a nazwijmy cosinusy tych kątów, które tworzy ten wektor, odpowiednio z wektorami bazowymi, i , j , k .

Cosinusy kierunku wektora a = (X, w, z) znajdują się za pomocą wzorów:

Suma kwadratów cosinusów kierunku jest równa jeden:

Cosinusy kierunku wektora a są współrzędne jego orth: .

Niech wektory bazowe i , j , k zaczerpnięty ze wspólnego punktu O. Założymy, że orty wyznaczają dodatnie kierunki osi Oh, OU, Oz. zbieranie punktów O (pochodzenie) i bazy ortonormalnej i , j , k nazywa Kartezjański prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni. Zostawiać ALE jest dowolnym punktem w przestrzeni. Wektor a = OA= x i + tak j + z k nazywa wektor promienia zwrotnica ALE, współrzędne tego wektora ( x, tak, z) są również nazywane współrzędnymi punktu ALE(symbol: ALE(x, tak, z)). Osie współrzędnych Oh, OU, Oz zwana również odpowiednio osią odcięta, oś rzędna, oś aplikować.

Jeśli wektor jest podany przez współrzędne jego punktu początkowego W 1 (x 1 , tak 1 , z 1) i punkt końcowy W 2 (x 2 , tak 2 , z 2), to współrzędne wektora są równe różnicy między współrzędnymi końca i początku: (ponieważ ).

Kartezjańskie prostokątne układy współrzędnych na płaszczyźnie i na linii są zdefiniowane w dokładnie taki sam sposób, z odpowiednimi zmianami ilościowymi (według wymiaru).

Rozwiązanie typowych zadań.

Przykład 1 Znajdź długość i kierunek cosinusów wektora a = 6i – 2j -3k .

Decyzja. Długość wektora: . Cosinus kierunku: .

Przykład 2 Znajdź współrzędne wektora a , tworząc równe kąty ostre z osiami współrzędnych, jeśli długość tego wektora jest równa .

Decyzja. Ponieważ , następnie podstawiając do wzoru (1.6), otrzymujemy . Wektor a tworzy ostre kąty z osiami współrzędnych, więc orto . Dlatego znajdujemy współrzędne wektora .

Przykład 3 Podano trzy wektory niewspółpłaszczyznowe mi 1 = 2i – k , mi 2 = 3i + 3j , mi 3 = 2i + 3k . Rozkładać wektor d = i + 5j - 2k podstawa mi 1 , mi 2 , mi 3 .