Urutan dekomposisi. Kasus kompleks dari pemfaktoran polinomial

Faktorisasi polinomial adalah transformasi yang identik, sebagai akibatnya polinomial ditransformasikan menjadi produk dari beberapa faktor - polinomial atau monomial.

Ada beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial.

Metode 1. Bracketing faktor persekutuan.

Transformasi ini didasarkan pada hukum distributif perkalian: ac + bc = c(a + b). Inti dari transformasi adalah untuk memilih faktor umum dalam dua komponen yang dipertimbangkan dan "menghapusnya" dari tanda kurung.

Mari kita faktorkan polinomial 28x 3 - 35x 4.

Keputusan.

1. Kami menemukan pembagi umum untuk elemen 28x3 dan 35x4. Untuk 28 dan 35 itu akan menjadi 7; untuk x 3 dan x 4 - x 3. Dengan kata lain, faktor persekutuan kita adalah 7x3.

2. Kami mewakili masing-masing elemen sebagai produk dari faktor-faktor, salah satunya
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 4 - 7x 3 5x.

3. Bracketing faktor persekutuan
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 4 - 7x 3 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metode 2. Menggunakan rumus perkalian yang disingkat. "Penguasaan" menguasai metode ini adalah dengan memperhatikan dalam ekspresi salah satu rumus untuk perkalian yang disingkat.

Mari kita faktorkan polinomial x 6 - 1.

Keputusan.

1. Kita dapat menerapkan rumus selisih kuadrat pada ekspresi ini. Untuk melakukan ini, kami mewakili x 6 sebagai (x 3) 2, dan 1 sebagai 1 2, yaitu. 1. Ekspresi akan berbentuk:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) (x 3 - 1).

2. Untuk ekspresi yang dihasilkan, kita dapat menerapkan rumus jumlah dan selisih kubus:
(x 3 + 1) (x 3 - 1) \u003d (x + 1) (x 2 - x + 1) (x - 1) (x 2 + x + 1).

Jadi,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) (x 3 - 1) = (x + 1) (x 2 - x + 1) (x - 1) (x 2 + x + 1).

Metode 3. Pengelompokan. Metode pengelompokan terdiri dari menggabungkan komponen polinomial sedemikian rupa sehingga mudah untuk melakukan operasi pada mereka (penambahan, pengurangan, menghilangkan faktor umum).

Kami memfaktorkan polinomial x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Keputusan.

1. Kelompokkan komponen dengan cara ini: yang pertama dengan yang ke-2, dan yang ke-3 dengan yang ke-4
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. Dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung: x 2 dalam kasus pertama dan 5 dalam kasus kedua.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Kami mengambil faktor persekutuan x - 3 dan mendapatkan:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Jadi,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Mari kita perbaiki materinya.

Faktorkan polinomial a 2 - 7ab + 12b 2 .

Keputusan.

1. Kami mewakili 7ab monomial sebagai jumlah 3ab + 4ab. Ekspresi akan mengambil bentuk:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Mari kita buka tanda kurung dan dapatkan:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Kelompokkan komponen polinomial dengan cara ini: yang pertama dengan yang ke-2 dan yang ke-3 dengan yang ke-4. Kita mendapatkan:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Mari kita singkirkan faktor-faktor umum:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Keluarkan faktor persekutuan (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) (a – 4b).

Jadi,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) (а – 4b).

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Dalam kasus umum, tugas ini melibatkan pendekatan kreatif, karena tidak ada metode universal untuk menyelesaikannya. Namun, mari kita coba memberikan beberapa petunjuk.

Dalam sebagian besar kasus, dekomposisi polinomial menjadi faktor didasarkan pada konsekuensi dari teorema Bezout, yaitu akar ditemukan atau dipilih dan derajat polinomial dikurangi satu dengan membaginya. Polinomial yang dihasilkan dicari akarnya dan proses ini diulangi sampai ekspansi penuh.

Jika akarnya tidak dapat ditemukan, maka metode dekomposisi khusus digunakan: dari pengelompokan hingga pengenalan suku tambahan yang saling eksklusif.

Presentasi lebih lanjut didasarkan pada keterampilan memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat.

Bracketing faktor umum.

Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana, ketika istilah bebas nol, yaitu, polinomial memiliki bentuk .

Jelas, akar dari polinomial tersebut adalah , yaitu, polinomial dapat direpresentasikan sebagai .

Metode ini tidak lain adalah mengambil faktor persekutuan dari kurung.

Contoh.

Dekomposisi polinomial derajat ketiga menjadi faktor-faktor.

Keputusan.

Jelas bahwa adalah akar dari polinomial, yaitu, X bisa di kurung:

Temukan akar-akar trinomial persegi

Dengan demikian,

Bagian atas halaman

Faktorisasi polinomial dengan akar rasional.

Pertama, pertimbangkan metode perluasan polinomial dengan koefisien bilangan bulat dalam bentuk , koefisien pada derajat tertinggi sama dengan satu.

Dalam hal ini, jika polinomial memiliki akar bilangan bulat, maka mereka adalah pembagi dari istilah bebas.

Contoh.

Keputusan.

Mari kita periksa apakah ada akar bilangan bulat. Untuk melakukan ini, kami menulis pembagi nomor -18 : . Artinya, jika polinomial memiliki akar bilangan bulat, maka mereka termasuk di antara angka-angka yang ditulis. Mari kita periksa angka-angka ini secara berurutan sesuai dengan skema Horner. Kemudahannya juga terletak pada kenyataan bahwa pada akhirnya kita juga akan memperoleh koefisien ekspansi polinomial:

Yaitu, x=2 dan x=-3 adalah akar dari polinomial asli dan dapat direpresentasikan sebagai produk:

Itu tetap membusuk trinomial persegi.

Diskriminan dari trinomial ini adalah negatif, sehingga tidak memiliki akar real.

Menjawab:

Komentar:

alih-alih skema Horner, seseorang dapat menggunakan pemilihan akar dan pembagian polinomial selanjutnya dengan polinomial.

Sekarang perhatikan dekomposisi polinomial dengan koefisien bilangan bulat dalam bentuk , dan koefisien pada tingkat tertinggi tidak sama dengan satu.

Dalam hal ini, polinomial dapat memiliki akar rasional fraksional.

Contoh.

Faktorkan ekspresinya.

Keputusan.

Dengan mengubah variabel y=2x, kita lolos ke polinomial dengan koefisien sama dengan satu di tingkat tertinggi. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita kalikan ekspresi dengan 4 .

Jika fungsi yang dihasilkan memiliki akar bilangan bulat, maka mereka termasuk di antara pembagi dari istilah bebas. Mari kita tuliskan:

Hitung secara berurutan nilai-nilai fungsi g(y) pada titik-titik ini sampai mencapai nol.

Memfaktorkan persamaan adalah proses menemukan suku atau ekspresi yang, jika dikalikan, menghasilkan persamaan awal. Pemfaktoran adalah keterampilan yang berguna untuk memecahkan masalah aljabar dasar, dan menjadi kebutuhan praktis ketika bekerja dengan persamaan kuadrat dan polinomial lainnya. Pemfaktoran digunakan untuk menyederhanakan persamaan aljabar agar lebih mudah diselesaikan. Anjak dapat membantu Anda mengesampingkan kemungkinan jawaban tertentu lebih cepat daripada yang Anda bisa dengan menyelesaikan persamaan secara manual.

Langkah

Faktorisasi bilangan dan ekspresi aljabar dasar

1. Faktorisasi bilangan. Konsep pemfaktoran sederhana, tetapi dalam praktiknya pemfaktoran bisa rumit (diberikan persamaan yang kompleks). Oleh karena itu, untuk memulainya, kita akan membahas konsep faktorisasi menggunakan contoh bilangan, lanjutkan dengan persamaan sederhana, dan kemudian beralih ke persamaan kompleks. Faktor dari suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan asli. Misalnya, faktor dari bilangan 12 adalah bilangan: 1, 12, 2, 6, 3, 4, karena 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Demikian pula, Anda dapat menganggap faktor-faktor suatu bilangan sebagai pembaginya, yaitu bilangan-bilangan yang habis dibagi oleh bilangan tersebut.
   • Temukan semua faktor dari angka 60. Kita sering menggunakan angka 60 (misalnya, 60 menit dalam satu jam, 60 detik dalam satu menit, dll.) dan angka ini cukup sejumlah besar pengganda.
     • 60 pengganda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dan 60.

2. Ingat: istilah ekspresi yang mengandung koefisien (angka) dan variabel juga dapat difaktorkan. Untuk melakukan ini, temukan pengali koefisien pada variabel. Mengetahui cara memfaktorkan suku-suku persamaan, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan persamaan ini.

   • Misalnya, suku 12x dapat ditulis sebagai hasil kali 12 dan x. Anda juga dapat menulis 12x sebagai 3(4x), 2(6x), dst. dengan memfaktorkan 12 ke dalam faktor-faktor yang paling sesuai untuk Anda.
     • Anda dapat lay out 12x beberapa kali berturut-turut. Dengan kata lain, Anda tidak boleh berhenti di 3(4x) atau 2(6x); lanjutkan ekspansi: 3(2(2x)) atau 2(3(2x)) (jelas, 3(4x)=3(2(2x)) dll.)

3. Terapkan sifat distributif perkalian untuk memfaktorkan persamaan aljabar. Mengetahui cara memfaktorkan bilangan dan suku dari suatu ekspresi (koefisien dengan variabel), Anda dapat menyederhanakan persamaan aljabar sederhana dengan mencari faktor persekutuan dari suatu bilangan dan suku dari suatu ekspresi. Biasanya, untuk menyederhanakan persamaan, Anda perlu menemukan pembagi persekutuan terbesar (gcd). Penyederhanaan seperti itu dimungkinkan karena sifat distributif perkalian: untuk sembarang bilangan a, b, c, persamaan a (b + c) = ab + ac adalah benar.

   • Contoh. Faktorkan persamaan 12x + 6. Pertama, cari gcd dari 12x dan 6. 6 adalah bilangan terbesar yang dapat membagi 12x dan 6, sehingga persamaan ini dapat difaktorkan menjadi: 6(2x+1).
   • Proses ini juga berlaku untuk persamaan yang memiliki suku negatif dan pecahan. Misalnya, x/2+4 dapat didekomposisi menjadi 1/2(x+8); misalnya, -7x+(-21) dapat didekomposisi menjadi -7(x+3).

   Faktorisasi persamaan kuadrat

   1. Pastikan persamaan dalam bentuk kuadrat (ax 2 + bx + c = 0). Persamaan kuadrat adalah: ax 2 + bx + c = 0, di mana a, b, c adalah koefisien numerik selain 0. Jika Anda diberikan persamaan dengan satu variabel (x) dan persamaan ini memiliki satu atau lebih suku dengan orde kedua variabel , Anda dapat memindahkan semua suku persamaan ke satu sisi persamaan dan menyamakannya dengan nol.

      • Misal diberikan persamaan: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Dapat diubah menjadi persamaan x 2 + 6x + 9 = 0, yang merupakan persamaan kuadrat.
      • Persamaan dengan variabel x orde besar, misalnya x 3 , x 4 , dst. bukan persamaan kuadrat. Ini adalah persamaan kubik, persamaan orde keempat, dan seterusnya (hanya jika persamaan tersebut tidak dapat disederhanakan menjadi persamaan kuadrat dengan variabel x pangkat 2).

   2. Persamaan kuadrat, di mana a \u003d 1, didekomposisi menjadi (x + d) (x + e), di mana d * e \u003d c dan d + e \u003d b. Jika persamaan kuadrat yang diberikan kepada Anda memiliki bentuk: x 2 + bx + c \u003d 0 (yaitu, koefisien pada x 2 sama dengan 1), maka persamaan seperti itu dapat (tetapi tidak dijamin) diurai menjadi persamaan di atas faktor. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan dua angka yang, ketika dikalikan, memberikan "c", dan ketika ditambahkan - "b". Setelah Anda menemukan dua angka ini (d dan e), substitusikan ke dalam ekspresi berikut: (x+d)(x+e), yang, ketika tanda kurung dibuka, mengarah ke persamaan aslinya.

      • Misalnya, diberikan persamaan kuadrat x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 dan 3+2=5, sehingga Anda dapat memperluas persamaan menjadi (x+3)(x+2).
      • Untuk suku negatif, lakukan perubahan kecil berikut pada proses faktorisasi:
        • Jika persamaan kuadrat berbentuk x 2 -bx + c, maka persamaan tersebut terurai menjadi: (x-_) (x-_).
        • Jika persamaan kuadrat berbentuk x 2 -bx-c, maka persamaan tersebut terurai menjadi: (x + _) (x-_).
      • Catatan: spasi dapat diganti dengan pecahan atau angka desimal. Misalnya, persamaan x 2 + (21/2)x + 5 = 0 didekomposisi menjadi (x + 10) (x + 1/2).

   3. Faktorisasi dengan coba-coba. Persamaan kuadrat sederhana dapat difaktorkan hanya dengan mensubstitusikan bilangan ke dalam solusi yang memungkinkan sampai kamu menemukan keputusan tepat. Jika persamaan memiliki bentuk ax 2 +bx+c, di mana a>1, solusi yang mungkin ditulis sebagai (dx +/- _)(ex +/- _), di mana d dan e adalah koefisien numerik selain nol, yang jika dikalikan memberikan a. Baik d atau e (atau kedua koefisien) dapat sama dengan 1. Jika kedua koefisien sama dengan 1, maka gunakan metode yang dijelaskan di atas.

      • Misalnya, diberikan persamaan 3x 2 - 8x + 4. Di sini, 3 hanya memiliki dua faktor (3 dan 1), sehingga solusi yang mungkin ditulis sebagai (3x +/- _)(x +/- _). Dalam kasus ini, dengan mengganti -2 untuk spasi, Anda akan menemukan jawaban yang benar: -2*3x=-6x dan -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x dan -2*-2=4, yaitu, ekspansi seperti itu saat membuka tanda kurung akan menghasilkan suku-suku persamaan awal.

Setiap polinomial aljabar derajat n dapat direpresentasikan sebagai produk dari faktor n-linear bentuk dan bilangan konstan, yang merupakan koefisien polinomial pada derajat tertinggi x, yaitu.

di mana - adalah akar dari polinomial.

Akar polinomial adalah bilangan (nyata atau kompleks) yang mengubah polinomial menjadi nol. Akar polinomial dapat berupa akar real dan akar konjugat kompleks, maka polinomial dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:

Pertimbangkan metode untuk memperluas polinomial derajat "n" menjadi produk faktor-faktor dari derajat pertama dan kedua.

Metode nomor 1.Metode koefisien tak tentu.

Koefisien dari ekspresi yang diubah seperti itu ditentukan oleh metode koefisien tak tentu. Inti dari metode ini adalah bahwa jenis faktor di mana polinomial yang diberikan didekomposisi diketahui sebelumnya. Bila menggunakan metode koefisien tak tentu, pernyataan berikut ini benar:

P.1. Dua polinomial identik sama jika koefisiennya sama pada pangkat yang sama dari x.

P.2. Setiap polinomial derajat ketiga terurai menjadi produk faktor linier dan kuadrat.

P.3. Setiap polinomial derajat keempat terurai menjadi produk dari dua polinomial derajat kedua.

Contoh 1.1. Kita perlu memfaktorkan ekspresi kubik:

P.1. Sesuai dengan pernyataan yang diterima, persamaan yang sama berlaku untuk ekspresi kubik:

P.2. Sisi kanan ekspresi dapat direpresentasikan sebagai istilah sebagai berikut:

P.3. Kami menyusun sistem persamaan dari kondisi persamaan koefisien untuk pangkat yang sesuai dari ekspresi kubik.

Sistem persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode pemilihan koefisien (jika masalah akademis sederhana) atau metode penyelesaian sistem nonlinier persamaan. Memutuskan sistem ini persamaan, kita mendapatkan bahwa koefisien tak tentu didefinisikan sebagai berikut:

Dengan demikian, ekspresi asli didekomposisi menjadi faktor-faktor dalam bentuk berikut:

Metode ini dapat digunakan baik dalam perhitungan analitik maupun dalam pemrograman komputer untuk mengotomatisasi proses menemukan akar persamaan.

Metode nomor 2.formula vieta

Rumus Vieta adalah rumus yang menghubungkan koefisien persamaan aljabar derajat n dan akar-akarnya. Rumus-rumus ini secara implisit disajikan dalam karya matematikawan Prancis Francois Vieta (1540 - 1603). Karena fakta bahwa Viet hanya mempertimbangkan akar real positif, oleh karena itu, ia tidak memiliki kesempatan untuk menulis formula ini dalam bentuk eksplisit umum.

Untuk setiap polinomial aljabar berderajat n yang memiliki n akar real,

hubungan berikut ini valid, yang menghubungkan akar polinomial dengan koefisiennya:

Rumus Vieta mudah digunakan untuk memeriksa kebenaran dalam menemukan akar polinomial, serta menyusun polinomial dari akar yang diberikan.

Contoh 2.1. Pertimbangkan bagaimana akar polinomial terkait dengan koefisiennya menggunakan persamaan kubik sebagai contoh

Sesuai dengan rumus Vieta, hubungan antara akar polinomial dan koefisiennya adalah sebagai berikut:

Hubungan serupa dapat dibuat untuk setiap polinomial berderajat n.

Metode nomor 3. Penguraian persamaan kuadrat menjadi faktor dengan akar rasional

Ini mengikuti dari rumus terakhir Vieta bahwa akar polinomial adalah pembagi dari suku bebasnya dan koefisien terkemuka. Dalam hal ini, jika kondisi masalah berisi polinomial derajat n dengan koefisien bilangan bulat

maka polinomial ini memiliki akar rasional (pecahan tak tereduksi), di mana p adalah pembagi dari suku bebas, dan q adalah pembagi dari koefisien terdepan. Dalam hal ini, polinomial derajat n dapat direpresentasikan sebagai (teorema Bezout):

Suatu polinomial yang derajatnya 1 lebih kecil dari derajat polinomial awal ditentukan dengan membagi polinomial berderajat n dengan binomial, misalnya menggunakan skema Horner atau kebanyakan secara sederhana- "kolom".

Contoh 3.1. Polinomial harus difaktorkan

P.1. Karena koefisien pada suku tertinggi sama dengan satu, maka akar rasional dari polinomial ini adalah pembagi suku bebas dari ekspresi, yaitu. bisa bilangan bulat . Mengganti setiap bilangan yang disajikan ke dalam ekspresi aslinya, kita menemukan bahwa akar dari polinomial yang disajikan adalah .

Mari kita bagi polinomial asli dengan binomial:

Mari kita gunakan skema Horner

Koefisien polinomial asli diatur di baris atas, sedangkan sel pertama dari baris atas tetap kosong.

Akar yang ditemukan ditulis di sel pertama dari baris kedua (dalam contoh ini, angka "2" ditulis), dan nilai-nilai berikut dalam sel dihitung dengan cara tertentu dan itu adalah koefisien dari polinomial, yang akan dihasilkan dari membagi polinomial dengan binomial. Koefisien yang tidak diketahui didefinisikan sebagai berikut:

Nilai dari sel yang sesuai dari baris pertama ditransfer ke sel kedua dari baris kedua (dalam contoh ini, angka "1" ditulis).

Sel ketiga dari baris kedua berisi nilai produk dari sel pertama dan sel kedua dari baris kedua ditambah nilai dari sel ketiga dari baris pertama (dalam contoh ini, 2 1 -5 = -3) .

Sel keempat dari baris kedua berisi nilai produk sel pertama dengan sel ketiga dari baris kedua ditambah nilai dari sel keempat dari baris pertama (dalam contoh ini 2 (-3) +7 = 1 ).

Jadi, polinomial asli difaktorkan:

Metode nomor 4.Menggunakan Rumus Perkalian Singkatan

Rumus perkalian disingkat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan, serta dekomposisi polinomial menjadi faktor. Rumus perkalian yang disingkat memungkinkan untuk menyederhanakan solusi masalah individu.

Rumus yang Digunakan untuk Anjak

Mengingat perkalian polinomial, kami menghafal beberapa rumus, yaitu: rumus untuk (a + b)², untuk (a - b)², untuk (a + b) (a - b), untuk (a + b)³ dan untuk (a – b)³.

Jika polinomial yang diberikan ternyata bertepatan dengan salah satu rumus ini, maka dimungkinkan untuk memfaktorkannya. Misalnya, polinomial a² - 2ab + b², kita tahu, sama dengan (a - b)² [atau (a - b) (a - b), yaitu, kita berhasil memfaktorkan a² - 2ab + b² menjadi 2 faktor]; juga

Pertimbangkan yang kedua dari contoh-contoh ini. Kita melihat bahwa polinomial yang diberikan di sini sesuai dengan rumus yang diperoleh dengan mengkuadratkan selisih dua bilangan (kuadrat dari bilangan pertama, dikurangi hasil kali dua dengan bilangan pertama dan kedua, ditambah kuadrat dari bilangan kedua): x 6 adalah kuadrat dari bilangan pertama, dan oleh karena itu , bilangan pertama itu sendiri adalah x 3, kuadrat dari bilangan kedua adalah suku terakhir dari polinomial yang diberikan, yaitu 1, bilangan kedua itu sendiri, oleh karena itu, juga 1; produk dua dengan angka pertama dan yang kedua adalah istilah -2x 3, karena 2x 3 \u003d 2 x 3 1. Oleh karena itu, polinomial kami diperoleh dengan mengkuadratkan perbedaan antara angka x 3 dan 1, yaitu sama ke (x 3 - 12 . Pertimbangkan contoh ke-4 lainnya. Kita melihat bahwa polinomial a 2 b 2 - 25 ini dapat dianggap sebagai selisih kuadrat dari dua bilangan, yaitu kuadrat dari bilangan pertama adalah a 2 b 2, oleh karena itu, bilangan pertama itu sendiri adalah ab, kuadrat dari angka kedua adalah 25, mengapa angka kedua itu sendiri adalah 5. Oleh karena itu, polinomial kami dapat dianggap diperoleh dengan mengalikan jumlah dua angka dengan perbedaannya, mis.

(ab + 5) (ab - 5).

Kadang-kadang terjadi bahwa dalam polinomial tertentu, istilahnya tidak dalam urutan yang biasa kita gunakan, misalnya.

9a 2 + b 2 + 6ab - secara mental kita dapat mengatur ulang suku kedua dan ketiga, dan kemudian akan menjadi jelas bagi kita bahwa trinomial kita = (3a + b) 2.

... (secara mental mengatur ulang anggota pertama dan kedua).

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 dst.

Pertimbangkan polinomial lain

a2 + 2ab + 4b 2 .

Kita lihat bahwa suku pertamanya adalah kuadrat dari bilangan a dan suku ketiga adalah kuadrat dari bilangan 2b, tetapi suku kedua bukanlah hasil kali dua kali bilangan pertama dan kedua, hasil kali seperti itu akan sama dengan 2 a 2b = 4ab. Oleh karena itu, tidak mungkin menerapkan rumus kuadrat dari jumlah dua bilangan pada polinomial ini. Jika seseorang menulis bahwa a 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, maka ini akan salah - Anda harus mempertimbangkan dengan cermat semua persyaratan polinomial sebelum menerapkan faktorisasi padanya dengan rumus.

40. Kombinasi dari kedua metode. Kadang-kadang, ketika menguraikan polinomial menjadi faktor, seseorang harus menggabungkan teknik mengeluarkan faktor persekutuan dari kurung dan teknik menerapkan rumus. Berikut beberapa contohnya:

1. 2a 3 – 2ab 2 . Pertama, kita keluarkan faktor persekutuan 2a dari kurung, dan kita mendapatkan 2a (a 2 - b 2). Faktor a 2 - b 2, pada gilirannya, diuraikan menurut rumus menjadi faktor (a + b) dan (a - b).

Terkadang perlu menerapkan metode ekspansi dengan rumus berulang kali:

1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

Kita melihat bahwa faktor pertama a 2 + b 2 tidak cocok dengan salah satu rumus yang sudah dikenal; selain itu, mengingat kasus khusus pembagian (Bag. 37), kami akan menetapkan bahwa a 2 + b 2 (jumlah kuadrat dari dua angka) tidak memfaktorkan sama sekali. Faktor kedua yang diperoleh a 2 - b 2 (selisih kuadrat dua angka) dipecah menjadi faktor (a + b) dan (a - b). Jadi,

41. Penerapan kasus khusus pembagian. Berdasarkan item 37, kita dapat langsung menulis bahwa, misalnya,