Lokasi tangen. Garis singgung

\[(\Large(\text(Sudut Tengah dan Tertulis))))\]

definisi

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya terletak di pusat lingkaran.

Sudut siku-siku adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran.

Besaran derajat busur suatu lingkaran adalah besaran derajat sudut pusat yang terletak di atasnya.

Dalil

Besar sudut yang digariskan adalah setengah dari panjang busur yang dipotongnya.

Bukti

Kami akan melakukan pembuktian dalam dua tahap: pertama, kami membuktikan validitas pernyataan untuk kasus ketika salah satu sisi dari sudut yang ditulis memiliki diameter. Misalkan titik \(B\) adalah titik sudut dari sudut \(ABC\) dan \(BC\) adalah diameter lingkaran:

Segitiga \(AOB\) sama kaki, \(AO = OB\) , \(\sudut AOC\) luar, maka \(\sudut AOC = \sudut OAB + \sudut ABO = 2\sudut ABC\), di mana \(\angle ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Sekarang pertimbangkan sudut tertulis sewenang-wenang \(ABC\) . Gambarkan diameter lingkaran \(BD\) dari titik sudut yang tertulis. Dua kasus yang mungkin:

1) diameter memotong sudut menjadi dua sudut \(\sudut ABD, \sudut CBD\) (untuk masing-masing teorema yang benar seperti yang dibuktikan di atas, oleh karena itu juga benar untuk sudut asli, yang merupakan jumlah dari ini dua dan karenanya sama dengan setengah jumlah busur tempat mereka bersandar, yaitu, sama dengan setengah dari busur tempat ia bersandar). Beras. satu.

2) diameter tidak memotong sudut menjadi dua sudut, maka kita memiliki dua sudut baru lagi \(\angle ABD, \angle CBD\) , yang sisinya berisi diameter, oleh karena itu, teoremanya benar untuk mereka, maka itu juga berlaku untuk sudut asli (yang sama dengan selisih dua sudut ini, yang berarti sama dengan selisih setengah busur tempat mereka berada, yaitu, sama dengan setengah busur tempat sudut itu berada). istirahat). Beras. 2.

Konsekuensi

1. Sudut bertulisan yang didasarkan pada busur yang sama adalah sama besar.

2. Sudut bertulis berdasarkan setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.

3. Suatu sudut siku-siku sama dengan setengah sudut pusat berdasarkan busur yang sama.

\[(\Large(\text(Singgung lingkaran)))\]

definisi

Susunan garis dan lingkaran ada tiga macam, yaitu:

1) garis \(a\) memotong lingkaran di dua titik. Garis seperti itu disebut garis potong. Dalam hal ini, jarak \(d\) dari pusat lingkaran ke garis lurus kurang dari jari-jari \(R\) lingkaran (Gbr. 3).

2) garis \(b\) memotong lingkaran di satu titik. Garis lurus seperti itu disebut garis singgung, dan titik persekutuannya \(B\) disebut titik singgung. Dalam hal ini \(d=R\) (Gbr. 4).

Dalil

1. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik kontak.

2. Jika garis melewati ujung jari-jari lingkaran dan tegak lurus dengan jari-jari tersebut, maka garis tersebut menyinggung lingkaran.

Konsekuensi

Ruas garis singgung yang ditarik dari satu titik ke lingkaran adalah sama besar.

Bukti

Gambar dua garis singgung \(KA\) dan \(KB\) ke lingkaran dari titik \(K\):

Jadi \(OA\perp KA, OB\perp KB\) sebagai jari-jari. Segitiga siku-siku \(\segitiga KAO\) dan \(\segitiga KBO\) adalah sama kaki dan sisi miring, maka \(KA=KB\) .

Konsekuensi

Pusat lingkaran \(O\) terletak pada garis bagi sudut \(AKB\) yang dibentuk oleh dua garis singgung yang ditarik dari titik yang sama \(K\) .

\[(\Large(\text(Teorema terkait dengan sudut))))\]

Teorema tentang sudut antara garis potong

Sudut antara dua garis potong yang ditarik dari titik yang sama sama dengan selisih setengah derajat busur yang lebih besar dan lebih kecil yang dipotong olehnya.

Bukti

Biarkan \(M\) menjadi titik dari mana dua garis potong ditarik seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Mari kita tunjukkan itu \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) adalah sudut terluar dari segitiga \(MAD\) , maka \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), di mana \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), tetapi sudut \(\angle DAB\) dan \(\angle MDA\) ditulis, maka \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), yang harus dibuktikan.

Teorema sudut antara akord berpotongan

Sudut antara dua tali busur yang berpotongan sama dengan setengah jumlah derajat busur yang dipotongnya: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Bukti

\(\angle BMA = \angle CMD\) sebagai vertikal.

Dari segitiga \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Tetapi \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), dari mana kita menyimpulkan bahwa \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ senyum\over(CD)).\]

Teorema tentang sudut antara tali busur dan garis singgung

Sudut antara garis singgung dan tali busur yang melalui titik singgung sama dengan setengah derajat busur dikurangi dengan tali busur.

Bukti

Biarkan garis \(a\) menyentuh lingkaran pada titik \(A\) , \(AB\) menjadi tali busur lingkaran ini, \(O\) menjadi pusatnya. Biarkan garis yang memuat \(OB\) berpotongan \(a\) di titik \(M\) . Ayo buktikan \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Menunjukkan \(\angle OAB = \alpha\) . Karena \(OA\) dan \(OB\) adalah jari-jari, maka \(OA = OB\) dan \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Dengan demikian, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Karena \(OA\) adalah jari-jari yang ditarik ke titik singgung, maka \(OA\perp a\) , yaitu \(\angle OAM = 90^\circ\) , oleh karena itu, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Teorema tentang busur yang dikontrak oleh akord yang sama

Akord yang sama membentuk busur yang sama, setengah lingkaran yang lebih kecil.

Dan sebaliknya: busur yang sama dikontrak oleh akord yang sama.

Bukti

1) Biarkan \(AB=CD\) . Mari kita buktikan bahwa setengah lingkaran yang lebih kecil dari busur .

Oleh karena itu, pada tiga sisi \(\angle AOB=\angle COD\) . Tapi sejak \(\angle AOB, \angle COD\) - sudut pusat berdasarkan busur \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) masing-masing, maka \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Jika \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), kemudian \(\segitiga AOB=\segitiga COD\) sepanjang dua sisi \(AO=BO=CO=DO\) dan sudut di antara mereka \(\angle AOB=\angle COD\) . Oleh karena itu, \(AB=CD\) .

Dalil

Jika sebuah jari-jari membagi sebuah tali busur, maka tali tersebut tegak lurus terhadap tali tersebut.

Kebalikannya juga benar: jika jari-jari tegak lurus tali busur, maka titik potongnya membagi dua.

Bukti

1) Biarkan \(AN=NB\) . Mari kita buktikan bahwa \(OQ\perp AB\) .

Pertimbangkan \(\segitiga AOB\) : itu adalah sama kaki, karena \(OA=OB\) – jari-jari lingkaran. Karena \(ON\) adalah median yang ditarik ke alas, maka itu juga tingginya, maka \(ON\perp AB\) .

2) Biarkan \(OQ\perp AB\) . Mari kita buktikan bahwa \(AN=NB\) .

Demikian pula, \(\segitiga AOB\) adalah sama kaki, \(ON\) adalah tinggi, jadi \(ON\) adalah median. Oleh karena itu, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Teorema terkait dengan panjang segmen)))\]

Teorema tentang produk segmen akord

Jika dua tali busur lingkaran berpotongan, maka hasil kali ruas tali busur yang satu sama dengan hasil kali ruas tali busur yang lain.

Bukti

Biarkan akord \(AB\) dan \(CD\) berpotongan di titik \(E\) .

Pertimbangkan segitiga \(ADE\) dan \(CBE\) . Dalam segitiga-segitiga ini, sudut \(1\) dan \(2\) adalah sama, karena mereka ditulis dan bergantung pada busur yang sama \(BD\) , dan sudut \(3\) dan \(4\) adalah sama dengan vertikal. Segitiga \(ADE\) dan \(CBE\) sebangun (menurut kriteria kesamaan segitiga pertama).

Kemudian \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), dari mana \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teorema tangen dan secan

Kuadrat segmen singgung sama dengan produk garis potong dan bagian luarnya.

Bukti

Biarkan garis singgung melewati titik \(M\) dan menyentuh lingkaran di titik \(A\) . Biarkan garis potong melalui titik \(M\) dan memotong lingkaran di titik \(B\) dan \(C\) sehingga \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Perhatikan segitiga \(MBA\) dan \(MCA\) : \(\angle M\) adalah umum, \(\angle BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Berdasarkan teorema sudut antara garis singgung dan garis potong, \(\angle BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Jadi, segitiga \(MBA\) dan \(MCA\) sebangun pada dua sudut.

Dari persamaan segitiga \(MBA\) dan \(MCA\) kita peroleh: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), yang setara dengan \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Konsekuensi

Hasil kali garis potong yang ditarik dari titik \(O\) dan bagian luarnya tidak bergantung pada pilihan garis potong yang ditarik dari titik \(O\) .

Artikel ini memberikan penjelasan rinci tentang definisi, makna geometris turunan dengan notasi grafik. Persamaan garis singgung akan dipertimbangkan dengan contoh, persamaan garis singgung kurva dari urutan ke-2 akan ditemukan.

Sudut kemiringan garis lurus y \u003d k x + b disebut sudut , yang diukur dari arah positif sumbu x ke garis lurus y \u003d k x + b dalam arah positif.

Pada gambar, arah ox ditunjukkan oleh panah hijau dan busur hijau, dan sudut kemiringan ditunjukkan oleh busur merah. Garis biru mengacu pada garis lurus.

Definisi 2

Kemiringan garis lurus y \u003d k x + b disebut koefisien numerik k.

Kemiringan sama dengan kemiringan garis lurus, dengan kata lain k = t g .

• Kemiringan garis lurus adalah 0 hanya jika o x sejajar dan kemiringannya sama dengan nol, karena garis singgung nol adalah 0. Jadi, bentuk persamaannya adalah y = b.
• Jika sudut kemiringan garis lurus y = k x + b tajam, maka syaratnya 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , dan terjadi peningkatan pada grafik.
• Jika \u003d 2, maka letak garis tegak lurus terhadap x. Persamaan ditentukan oleh persamaan x = c dengan c adalah bilangan real.
• Jika sudut kemiringan garis lurus y = k x + b tumpul, maka sesuai dengan kondisi 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Garis potong adalah garis lurus yang melalui 2 titik fungsi f(x). Dengan kata lain, garis potong adalah garis lurus yang melalui dua titik sembarang pada grafik fungsi tertentu.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa A B adalah garis potong, dan f (x) adalah kurva hitam, adalah busur merah, menunjukkan sudut kemiringan garis potong.

Ketika kemiringan garis lurus sama dengan garis singgung sudut kemiringan, jelas bahwa garis singgung dari segitiga siku-siku A B C dapat ditemukan dalam kaitannya dengan kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

Definisi 4

Kami mendapatkan rumus untuk menemukan garis potong dari bentuk:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , dimana absis titik A dan B adalah nilai x A , x B , dan f (x A) , f (x B) adalah nilai-nilai yang berfungsi pada titik-titik ini.

Jelas, kemiringan garis potong didefinisikan menggunakan persamaan k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A atau k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, dan persamaan harus ditulis sebagai y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) atau
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Secan secara visual membagi grafik menjadi 3 bagian: di sebelah kiri titik A, dari A ke B, di sebelah kanan B. Gambar di bawah menunjukkan bahwa ada tiga garis yang dianggap sama, yaitu ditetapkan menggunakan persamaan serupa.

Menurut definisi, jelas bahwa garis dan garis potongnya bertepatan dalam kasus ini.

Sebuah garis potong dapat memotong grafik fungsi yang diberikan beberapa kali. Jika ada persamaan bentuk y \u003d 0 untuk garis potong, maka jumlah titik persimpangan dengan sinusoidal tidak terbatas.

Definisi 5

Menyinggung grafik fungsi f (x) di titik x 0 ; f (x 0) disebut garis lurus yang melalui titik tertentu x 0; f (x 0 ), dengan adanya segmen yang memiliki banyak nilai x mendekati x 0 .

Contoh 1

Mari kita lihat lebih dekat contoh di bawah ini. Maka dapat dilihat bahwa garis yang diberikan oleh fungsi y = x + 1 dianggap bersinggungan dengan y = 2 x pada titik dengan koordinat (1 ; 2) . Untuk kejelasan, perlu untuk mempertimbangkan grafik dengan nilai yang mendekati (1; 2). Fungsi y = 2 x ditandai dengan warna hitam, garis biru adalah garis singgung, titik merah adalah titik potong.

Jelas, y \u003d 2 x bergabung dengan garis y \u003d x + 1.

Untuk menentukan garis singgung, perhatikan perilaku garis singgung A B saat titik B mendekati titik A. Untuk kejelasan, kami menyajikan sebuah gambar.

Garis potong A B, yang ditunjukkan oleh garis biru, cenderung ke posisi garis singgung itu sendiri, dan sudut kemiringan garis potong α akan mulai cenderung ke sudut kemiringan garis singgung itu sendiri x.

Definisi 6

Garis singgung grafik fungsi y \u003d f (x) di titik A adalah posisi pembatas garis potong A B di B yang condong ke A, yaitu B → A.

Sekarang kita beralih ke pertimbangan makna geometrik dari turunan suatu fungsi di suatu titik.

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan garis potong A B untuk fungsi f (x), di mana A dan B dengan koordinat x 0, f (x 0) dan x 0 + x, f (x 0 + x), dan x adalah dilambangkan sebagai peningkatan argumen. Sekarang fungsinya akan berbentuk y = f (x) = f (x 0 + x) - f (∆ x) . Untuk kejelasan, mari kita ambil gambar sebagai contoh.

Perhatikan segitiga siku-siku yang dihasilkan A B C. Kami menggunakan definisi garis singgung untuk solusi, yaitu, kami memperoleh rasio y x = t g . Dari definisi garis singgung diperoleh bahwa lim x → 0 y x = t g x . Menurut aturan turunan di suatu titik, kita mendapatkan bahwa turunan f (x) di titik x 0 disebut limit rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen, di mana x → 0, maka dinotasikan sebagai f (x 0) = lim x → 0 y x .

Oleh karena itu f "(x 0) = lim x → 0 y x = t g x = k x, di mana k x dilambangkan sebagai kemiringan garis singgung.

Artinya, kita mendapatkan bahwa f ' (x) dapat ada di titik x 0 dan, seperti garis singgung pada grafik fungsi yang diberikan pada titik kontak yang sama dengan x 0 , f 0 (x 0 ), di mana nilainya kemiringan garis singgung pada titik tersebut sama dengan turunan pada titik x 0 . Kemudian kita dapatkan bahwa k x = f "(x 0) .

Arti geometris dari turunan suatu fungsi di suatu titik adalah bahwa konsep keberadaan garis singgung pada grafik di titik yang sama diberikan.

Untuk menulis persamaan setiap garis lurus pada bidang, perlu memiliki kemiringan dengan titik yang dilaluinya. Penunjukannya diambil sebagai x 0 di persimpangan.

Persamaan garis singgung grafik fungsi y \u003d f (x) di titik x 0, f 0 (x 0) berbentuk y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Artinya nilai akhir dari turunan f”(x 0) dapat menentukan posisi garis singgung, yaitu secara vertikal pada kondisi lim x → x 0 + 0 f” (x) = dan lim x → x 0 - 0 f "(x ) = atau tidak ada sama sekali dalam kondisi lim x → x 0 + 0 f "(x) lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Lokasi garis singgung tergantung pada nilai kemiringannya k x \u003d f "(x 0). Ketika sejajar dengan sumbu o x, kita mendapatkan bahwa k k \u003d 0, ketika sejajar dengan o y - k x \u003d , dan bentuknya dari persamaan tangen x \u003d x 0 meningkat dengan k x > 0 , menurun saat k x< 0 .

Contoh 2

Susun persamaan garis singgung grafik fungsi y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 pada suatu titik dengan koordinat (1; 3) dengan definisi sudut kecenderungan.

Keputusan

Dengan asumsi, kita memiliki bahwa fungsi didefinisikan untuk semua bilangan real. Didapatkan bahwa titik dengan koordinat yang ditentukan oleh kondisi (1 ; 3) adalah titik kontak, maka x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Hal ini diperlukan untuk menemukan turunan pada titik dengan nilai - 1 . Kami mengerti

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Nilai f’ (x) pada titik kontak adalah kemiringan garis singgung, yang sama dengan garis singgung lereng.

Maka k x = t g x = y "(x 0) = 3 3

Maka x = a r c t g 3 3 = 6

Menjawab: persamaan tangen berbentuk

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Untuk kejelasan, kami memberikan contoh dalam ilustrasi grafis.

Warna hitam digunakan untuk grafik fungsi aslinya, warna biru adalah gambar singgung, titik merah adalah titik sentuh. Gambar di sebelah kanan menunjukkan tampilan yang diperbesar.

Contoh 3

Cari tahu keberadaan garis singgung pada grafik fungsi yang diberikan
y = 3 x - 1 5 + 1 pada titik dengan koordinat (1 ; 1) . Tulis persamaan dan tentukan sudut kemiringannya.

Keputusan

Dengan asumsi, kita memiliki domain dari fungsi yang diberikan adalah himpunan semua bilangan real.

Mari kita lanjutkan untuk menemukan turunannya

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Jika x 0 = 1 , maka f ' (x) tidak terdefinisi, tetapi limitnya ditulis lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + dan lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + , yang berarti adanya garis singgung vertikal di titik (1 ; 1) .

Menjawab: persamaan akan berbentuk x \u003d 1, di mana sudut kemiringan akan sama dengan 2.

Mari kita grafik untuk kejelasan.

Contoh 4

Tentukan titik-titik dari grafik fungsi y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , dimana

1. Garis singgung tidak ada;
2. Garis singgung sejajar dengan x;
3. Garis singgung sejajar dengan garis y = 8 5 x + 4 .

Keputusan

Perlu memperhatikan domain definisi. Dengan asumsi, kita memiliki bahwa fungsi didefinisikan pada himpunan semua bilangan real. Luaskan modul dan selesaikan sistem dengan interval x - ; 2 dan [ - 2 ; +∞). Kami mengerti

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x - ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x [ - 2 ; +∞)

Fungsinya perlu dibedakan. Kami memiliki itu

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x - ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x [ - 2 ; + ) y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x - ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x [ - 2 ; +∞)

Ketika x = - 2, maka turunannya tidak ada karena batas satu sisi tidak sama pada titik itu:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Kami menghitung nilai fungsi pada titik x \u003d - 2, di mana kami mendapatkannya

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, yaitu, garis singgung di titik (- 2; - 2) tidak akan ada.
2. Garis singgung sejajar dengan x ketika kemiringannya nol. Kemudian k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Artinya, perlu untuk menemukan nilai x tersebut ketika turunan dari fungsi mengubahnya menjadi nol. Artinya, nilainya \u200b\u200bdari f '(x) dan akan menjadi titik sentuh, di mana garis singgungnya sejajar dengan x .

Ketika x - ; - 2 , maka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , dan untuk x (- 2 ; + ) kita mendapatkan 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 - ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 - ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 - 2 ; + x 4 = 4 + 4 2 = 3 - 2 ; +∞

Kami menghitung nilai fungsi yang sesuai

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Oleh karena itu - 5; 8 5, - 4; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 dianggap sebagai titik yang diinginkan dari grafik fungsi.

Pertimbangkan representasi grafis dari solusi.

Garis hitam adalah grafik fungsi, titik merah adalah titik sentuh.

1. Ketika garis sejajar, gradiennya sama. Maka perlu mencari titik-titik grafik fungsi, di mana kemiringannya akan sama dengan nilai 8 5 . Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan persamaan bentuk y "(x) = 8 5. Kemudian, jika x - ; - 2, kita dapatkan bahwa - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, dan jika x ( - 2 ; + ) , maka 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Persamaan pertama tidak memiliki akar karena diskriminannya kurang dari nol. Ayo tuliskan itu

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Persamaan lain memiliki dua akar real, maka

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 - 2 ; + x 2 = 4 + 36 2 = 5 - 2 ; +∞

Mari kita lanjutkan untuk menemukan nilai fungsi. Kami mengerti

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Poin dengan nilai - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 adalah titik-titik yang garis singgungnya sejajar dengan garis y = 8 5 x + 4 .

Menjawab: garis hitam - grafik fungsi, garis merah - grafik y \u003d 8 5 x + 4, garis biru - garis singgung pada titik - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Keberadaan jumlah garis singgung yang tak terbatas untuk fungsi yang diberikan adalah mungkin.

Contoh 5

Tulis persamaan semua garis singgung yang tersedia dari fungsi y = 3 cos 3 2 x - 4 - 1 3 , yang tegak lurus terhadap garis y = - 2 x + 1 2 .

Keputusan

Untuk menyusun persamaan tangen, perlu dicari koefisien dan koordinat titik singgungnya, berdasarkan kondisi tegak lurus garis. Definisinya berbunyi seperti ini: hasil kali lereng yang tegak lurus dengan garis lurus sama dengan - 1, yaitu ditulis sebagai k x · k = - 1. Dari syarat diperoleh bahwa kemiringan tegak lurus terhadap garis lurus dan sama dengan k = - 2, maka k x = - 1 k = - 1 - 2 = 1 2 .

Sekarang kita perlu menemukan koordinat titik sentuh. Anda perlu menemukan x, setelah itu nilainya untuk fungsi yang diberikan. Perhatikan bahwa dari arti geometris turunan di titik
x 0 kita mendapatkan k x \u003d y "(x 0) Dari persamaan ini, kita menemukan nilai x untuk titik sentuh.

Kami mengerti

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - 4 3 2 x 0 - 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - 4 k x \u003d y "(x 0) - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 sin 3 2 x 0 - 4 = - 1 9

Persamaan trigonometri ini akan digunakan untuk menghitung ordinat titik sentuh.

3 2 x 0 - 4 = a r c sin - 1 9 + 2 k atau 3 2 x 0 - 4 = - a r c sin - 1 9 + 2 k

3 2 x 0 - 4 = - a r c sin 1 9 + 2 k atau 3 2 x 0 - 4 = + a r c sin 1 9 + 2 k

x 0 = 2 3 4 - a r c sin 1 9 + 2 k atau x 0 = 2 3 5 4 + a r c sin 1 9 + 2 k , k Z

Z adalah himpunan bilangan bulat.

Ditemukan x titik kontak. Sekarang Anda harus pergi ke pencarian nilai y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - 4 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 atau y 0 = - 4 5 + 1 3

Dari sini kita peroleh bahwa 2 3 4 - a r c sin 1 9 + 2 k ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 4 + a r c sin 1 9 + 2 k ; - 4 5 + 1 3 adalah titik sentuh.

Menjawab: persamaan yang diperlukan akan ditulis sebagai

y = 1 2 x - 2 3 4 - a r c sin 1 9 + 2 k + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 4 + a r c sin 1 9 + 2 k - 4 5 + 1 3 , k Z

Untuk representasi visual, pertimbangkan fungsi dan garis singgung pada garis koordinat.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa letak fungsi tersebut berada pada interval [ - 10 ; 10] , di mana garis hitam adalah grafik fungsi, garis biru adalah garis singgung yang tegak lurus dengan garis yang diberikan dalam bentuk y = - 2 x + 1 2 . Titik merah adalah titik sentuh.

Persamaan kanonik kurva orde ke-2 bukan fungsi bernilai tunggal. Persamaan tangen untuk mereka dikompilasi sesuai dengan skema yang terkenal.

Garis singgung lingkaran

Untuk mengatur lingkaran berpusat pada titik x c e n t e r ; y c e n t e r dan jari-jari R, digunakan rumus x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 digunakan.

Persamaan ini dapat ditulis sebagai gabungan dari dua fungsi:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Fungsi pertama di atas dan yang kedua di bawah, seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Membuat persamaan lingkaran di titik x 0 ; y 0 , yang terletak di setengah lingkaran atas atau bawah, Anda harus menemukan persamaan grafik fungsi bentuk y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r atau y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r pada titik yang ditentukan.

Ketika di titik x c e n t e r ; y c e n t e r + R dan x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangen dapat diberikan oleh persamaan y = y c e n t e r + R dan y = y c e n t e r - R , dan di titik x c e n t e r + R ; y c e n t e r dan
x c e n t e r - R ; y c e n t e r akan sejajar terhadap y, maka kita akan mendapatkan persamaan bentuk x = x c e n t e r + R dan x = x c e n t e r - R .

Bersinggungan dengan Elips

Ketika elips berpusat di x c e n t e r ; y c e n t e r dengan sumbu semi a dan b , maka dapat diberikan menggunakan persamaan x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Elips dan lingkaran dapat dilambangkan dengan menggabungkan dua fungsi, yaitu semi-elips atas dan bawah. Kemudian kita mendapatkan itu

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Jika garis singgung terletak di titik sudut elips, maka garis singgung tersebut sejajar terhadap x atau terhadap y. Agar lebih jelas, perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh 6

Tuliskan persamaan garis singgung elips x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 di titik-titik yang nilai x sama dengan x = 2 .

Keputusan

Penting untuk menemukan titik sentuh yang sesuai dengan nilai x = 2. Kami membuat substitusi ke dalam persamaan elips yang ada dan memperoleh bahwa

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 = 3 4 25 y = ± 5 3 2 + 5

Kemudian 2 ; 5 3 2 + 5 dan 2 ; - 5 3 2 + 5 adalah titik singgung yang termasuk dalam semi-elips atas dan bawah.

Mari kita beralih ke mencari dan menyelesaikan persamaan elips terhadap y. Kami mengerti

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Jelas bahwa semi-elips atas ditentukan menggunakan fungsi bentuk y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , dan yang lebih rendah y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Kami menerapkan algoritma standar untuk merumuskan persamaan garis singgung ke grafik fungsi di suatu titik. Kami menulis bahwa persamaan untuk garis singgung pertama di titik 2 ; 5 3 2 + 5 akan terlihat seperti

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Kami mendapatkan bahwa persamaan garis singgung kedua dengan nilai di titik
2; - 5 3 2 + 5 menjadi

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Secara grafis, garis singgung dilambangkan sebagai berikut:

Bersinggungan dengan hiperbola

Ketika hiperbola memiliki pusat di titik x c e n t e r ; y c e n t e r dan simpul x c e n t e r + ; y c e n t e r dan x c e n t e r - ; y c e n t e r , pertidaksamaan x - x c e n t e r 2 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 diberikan jika dengan simpul x c e n t e r ; y c e n t e r + b dan x c e n t e r ; y c e n t e r - b kemudian diberikan oleh pertidaksamaan x - x c e n t e r 2 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Sebuah hiperbola dapat direpresentasikan sebagai dua fungsi gabungan dari bentuk

c e r b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r atau y = b a (x - x c e n t e r) 2 + e a 2 + t ) 2 + a 2 + y c e n t e r

Dalam kasus pertama, kami memiliki bahwa garis singgung sejajar dengan y, dan dalam kasus kedua, mereka sejajar dengan x.

Oleh karena itu, untuk menemukan persamaan garis singgung hiperbola, perlu diketahui fungsi titik singgungnya. Untuk menentukan ini, perlu membuat substitusi dalam persamaan dan memeriksa identitasnya.

Contoh 7

Tulis persamaan garis singgung hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 di titik 7; - 3 3 - 3 .

Keputusan

Hal ini diperlukan untuk mengubah catatan solusi untuk menemukan hiperbola menggunakan 2 fungsi. Kami mengerti

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 atau y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Penting untuk mengetahui fungsi mana yang dimiliki titik yang diberikan dengan koordinat 7; - 3 3 - 3 .

Jelas, untuk memeriksa fungsi pertama, Anda perlu y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 - 3 3 - 3 , maka titik tersebut bukan milik grafik, karena kesetaraan tidak terpenuhi.

Untuk fungsi kedua, kita mendapatkan bahwa y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 - 3 3 - 3 , yang berarti bahwa titik tersebut termasuk dalam grafik yang diberikan. Dari sini Anda harus menemukan koefisien kemiringan.

Kami mengerti

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Menjawab: persamaan tangen dapat direpresentasikan sebagai

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Divisualisasikan sebagai berikut:

Garis singgung parabola

Untuk menyusun persamaan garis singgung parabola y \u003d a x 2 + b x + c pada titik x 0, y (x 0) , Anda harus menggunakan algoritma standar, maka persamaan akan berbentuk y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Garis singgung pada titik tersebut sejajar dengan x.

Parabola x = a y 2 + b y + c harus didefinisikan sebagai gabungan dua fungsi. Oleh karena itu, kita perlu menyelesaikan persamaan untuk y. Kami mengerti

x = a y 2 + b y + c a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Mari kita buat grafiknya sebagai:

Untuk mengetahui apakah suatu titik x 0 , y (x 0) termasuk dalam suatu fungsi, ikuti dengan hati-hati algoritma standar. Garis singgung seperti itu akan sejajar dengan y terhadap parabola.

Contoh 8

Tulis persamaan garis singgung pada grafik x - 2 y 2 - 5 y + 3 ketika kita memiliki kemiringan garis singgung 150 °.

Keputusan

Kami memulai penyelesaian dengan merepresentasikan parabola sebagai dua fungsi. Kami mengerti

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8x - 4

Nilai kemiringan sama dengan nilai turunan pada titik x 0 dari fungsi ini dan sama dengan tangen kemiringan.

Kita mendapatkan:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Dari sini kita menentukan nilai x untuk titik sentuh.

Fungsi pertama akan ditulis sebagai

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 49 - 8 x 0 = - 3

Jelas, tidak ada akar real, karena kami mendapat nilai negatif. Kami menyimpulkan bahwa tidak ada garis singgung dengan sudut 150 ° untuk fungsi seperti itu.

Fungsi kedua akan ditulis sebagai

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Kami memiliki titik sentuh - 23 4; - 5 + 3 4 .

Menjawab: persamaan tangen berbentuk

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Mari kita buat grafiknya seperti ini:

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Garis yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran disebut garis singgung lingkaran, dan titik persekutuannya disebut titik kontak antara garis dan lingkaran.

Teorema (sifat garis singgung lingkaran)

Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik singgung.

Diberikan

A - titik kontak

Membuktikan:p oa

Bukti.

Mari kita buktikan metode "dengan kontradiksi".

Misalkan p adalah OA, maka OA miring terhadap garis p.

Jika dari titik O kita tarik garis lurus OH tegak lurus p, maka panjangnya akan lebih kecil dari jari-jarinya: OH< ОА=r

Kami mendapatkan bahwa jarak dari pusat lingkaran ke garis p (OH) kurang dari jari-jari (r), yang berarti bahwa garis p adalah garis potong (yaitu, memiliki dua titik yang sama dengan lingkaran), yang bertentangan dengan kondisi teorema (p-tangent).

Jadi asumsi tersebut salah, maka garis p tegak lurus OA.

Teorema (Sifat segmen singgung yang ditarik dari satu titik)

Segmen garis singgung lingkaran, yang ditarik dari satu titik, adalah sama dan membuat sudut yang sama dengan garis yang melalui titik ini dan pusat lingkaran.

Diberikan: kira-kira. (Atau)

AB dan AC bersinggungan dengan env. (Atau)

Membuktikan: AB=AC

Bukti

1) OB AB, OS AC, sebagai jari-jari yang ditarik ke titik kontak (properti tangen)

2) Pertimbangkan tr. AOV, dll. AOS - p / y

AO - total

OB = OC (sebagai jari-jari)

Jadi, ABO \u003d AOC (sepanjang sisi miring dan kaki). Karena itu,

AB \u003d AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Teorema (Tanda garis singgung)

Jika garis lurus melalui ujung jari-jari yang terletak pada lingkaran dan tegak lurus dengan jari-jari ini, maka itu adalah garis singgung.

Diberikan: – radius lingkaran

Membuktikan: p-singgung lingkaran

Bukti

OA - jari-jari lingkaran (berdasarkan kondisi) (OA \u003d r)

OA - tegak lurus dari O ke garis p (OA \u003d d)

Jadi, r=OA=d, jadi garis p dan lingkaran mempunyai satu titik persekutuan.

Jadi, garis p menyinggung lingkaran. h.t.d.

3. Properti akord dan secant.

Sifat tangen dan garis potong

DEFINISI

lingkar disebut tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari satu titik, yang disebut pusat lingkaran.

Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut akord(pada gambar itu adalah segmen). Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut diameter lingkaran.

1. Garis singgung tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik kontak.

2. Ruas-ruas garis singgung yang ditarik dari satu titik adalah sama besar.

3. Jika sebuah garis singgung dan sebuah garis potong ditarik dari sebuah titik yang terletak di luar lingkaran, maka kuadrat dari panjang garis singgung tersebut sama dengan hasil kali garis potong tersebut dengan bagian luarnya.

Paling sering, masalah geometrislah yang menyebabkan kesulitan bagi pelamar, lulusan, dan peserta olimpiade matematika. Jika Anda melihat statistik USE pada tahun 2010, Anda dapat melihat bahwa sekitar 12% peserta memulai tugas geometris C4, dan hanya 0,2% dari peserta yang menerima skor penuh, dan secara umum, tugas tersebut ternyata yang paling sulit dari semua yang diusulkan.

Jelas, semakin cepat kami menawarkan anak sekolah tugas yang indah atau tidak terduga dalam hal cara mereka menyelesaikannya, semakin besar kemungkinan mereka untuk menarik dan memikat mereka secara serius dan untuk waktu yang lama. Namun, betapa sulitnya menemukan soal-soal yang menarik dan sulit di tingkat kelas 7, ketika pembelajaran geometri secara sistematis baru saja dimulai. Apa yang dapat ditawarkan kepada siswa yang tertarik pada matematika, yang hanya mengetahui tanda-tanda persamaan segitiga, sifat-sifat sudut yang berdekatan dan vertikal? Namun, dimungkinkan untuk memperkenalkan konsep garis singgung lingkaran, sebagai garis lurus yang memiliki satu titik yang sama dengan lingkaran; menerima bahwa jari-jari yang ditarik ke titik kontak tegak lurus terhadap garis singgung. Tentu saja, perlu mempertimbangkan semua kemungkinan kasus lokasi dua lingkaran dan garis singgung bersamanya, yang dapat ditarik dari nol hingga empat. Dengan membuktikan teorema yang diusulkan di bawah ini, dimungkinkan untuk secara signifikan memperluas rangkaian tugas untuk siswa kelas tujuh. Pada saat yang sama, di sepanjang jalan, buktikan fakta penting atau sekadar menarik dan menghibur. Selain itu, karena banyak pernyataan tidak termasuk dalam buku teks sekolah, mereka dapat didiskusikan baik di kelas maupun dengan lulusan saat mengulang planimetri. Fakta-fakta ini ternyata relevan di tahun ajaran lalu. Karena banyak pekerjaan diagnostik dan pekerjaan USE itu sendiri mengandung masalah, untuk solusinya perlu menggunakan properti segmen tangen yang dibuktikan di bawah ini.

T 1 Ruas-ruas garis singgung lingkaran ditarik dari
satu titik sama (Gbr. 1)

Itu saja dengan teorema, Anda dapat memperkenalkan siswa kelas tujuh terlebih dahulu.
Dalam proses pembuktian, kami menggunakan tanda persamaan segitiga siku-siku, menyimpulkan bahwa pusat lingkaran terletak pada garis-bagi sudut BCA.
Secara sepintas, kita ingat bahwa garis-bagi suatu sudut adalah tempat kedudukan titik-titik daerah bagian dalam sudut, yang berjarak sama dari sisi-sisinya. Solusi dari masalah yang jauh dari sepele didasarkan pada fakta-fakta ini, dapat diakses bahkan oleh pemula dalam mempelajari geometri.

1. Garis-bagi sudut TETAPI, PADA dan Dengan segi empat cembung ABCD berpotongan di satu titik. sinar AB dan DC berpotongan di suatu titik E, dan sinar
matahari dan IKLAN pada intinya F. Buktikan bahwa segi empat tidak cembung MEA jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan adalah sama.

Solusi (Gbr. 2). Biarlah HAI adalah titik perpotongan dari bisectors ini. Kemudian HAI berjarak sama dari semua sisi segi empat ABCD, yaitu
adalah pusat lingkaran yang tertulis dalam segi empat. Dengan teorema 1 persamaan yang benar: AR = AK, ER = EP, FT = FK. Kami menambahkan bagian kiri dan kanan istilah demi istilah, kami mendapatkan kesetaraan yang benar:

(AR + ER) + FT = (AK +FK) + EP; AE + (FC + CT) = AF + (UE + komputer). Sebagai ST = RS, kemudian AE + FC = AF + UE, yang harus dibuktikan.

Mari kita pertimbangkan masalah dengan formulasi yang tidak biasa, untuk solusi yang cukup untuk mengetahui teorema 1 .

2. Apakah ada? n-gon yang sisi-sisinya berurutan 1, 2, 3, ..., n di mana lingkaran dapat ditulis?

Keputusan. Katakanlah seperti itu n-gon ada. TETAPI 1 TETAPI 2 =1, …, TETAPI n-1 TETAPI n= n– 1,TETAPI n TETAPI 1 = n. B 1 , …, B n adalah titik sentuh yang sesuai. Kemudian dengan Teorema 1 A 1 B 1 = A 1 B n< 1, n – 1 < A n B n< n. Dengan properti segmen singgung A n B n= A n B n-1 . Tetapi, A n B n-1< A n-1 TETAPI n= n- 1. Kontradiksi. Oleh karena itu, tidak n-gon yang memenuhi kondisi masalah.

T2 Jumlah sisi-sisi yang berhadapan dari suatu segiempat yang dibatasi oleh
lingkaran adalah sama (Gbr. 3)

Anak-anak sekolah, sebagai suatu peraturan, dengan mudah membuktikan properti segi empat yang dijelaskan ini. Setelah membuktikan teorema 1 , ini adalah latihan latihan. Fakta ini dapat digeneralisasi - jumlah sisi gon genap yang dibatasi, diambil melalui satu, adalah sama. Misalnya, untuk segi enam ABCDEF Baik: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

Solusi (Gbr. 1). Karena segi empat ABEF dan ECDF dituliskan, oleh Teorema 2 ABEF = 2(AB + EF) dan ECDF = 2(CD + EF), dengan syarat

P ABEF - P ECDF = 2(AB + EF) - 2(CD + EF) = 2p. AB-CD=p. AB = a + p.

Solusi (Gbr. 5). Dengan Teorema 1 MB = MX dan PC = RX. Jadi keliling segitiga KAMU BILANG sama dengan jumlah segmen AB dan SEBAGAI. Atau tangen ganda ditarik ke excircle untuk segitiga KAMU BILANG . Nilai sudut MOP diukur dengan setengah nilai sudut WOS, yang tidak tergantung pada pilihan titik X.

Solusi (Gbr. 6). Metode satu (aljabar). Biarlah AK \u003d AN \u003d x, kemudian BK = BM = c - x, CM = CN = a - c + x. AC = AN + NC, maka kita dapat menulis persamaan untuk x: b \u003d x + (a - c + x). Di mana .

Metode dua (geometris). Mari kita beralih ke diagram. Ruas-ruas dengan garis singgung yang sama, diambil satu per satu, dijumlahkan menjadi setengah keliling
segi tiga. Merah dan hijau membentuk satu sisi sebuah. Kemudian segmen yang menarik bagi kami x = p - a. Tentu saja, hasil yang diperoleh konsisten.

. W

4. Temukan jari-jari lingkaran pada segitiga siku-siku dengan kaki a, b dan sisi miring dengan. Solusi (Gbr. 8). T bagaimana OMCN- persegi, maka jari-jari lingkaran bertulisan sama dengan ruas garis singgung CN. .

5. Buktikan bahwa titik singgung lingkaran bertulisan dan lingkaran luar dengan sisi segitiga adalah simetris terhadap titik tengah sisi ini.

Solusi (Gbr. 9). Perhatikan bahwa AK adalah ruas garis singgung dari lingkaran luar untuk segitiga ABC. Dengan rumus (2) . VM- segmen garis tangen incircle untuk segitiga ABC. Menurut rumus (1) . AK = VM, dan ini berarti bahwa poin K dan M berjarak sama dari tengah sisi AB, Q.E.D.

6. Dua garis singgung luar persekutuan dan satu garis singgung dalam ditarik ke dua lingkaran. Garis singgung dalam memotong garis singgung luar di titik A, B dan menyentuh lingkaran di titik 1 dan DALAM 1 . Buktikan itu AA 1 \u003d BB 1.

Solusi (Gbr. 10). Berhenti ... Tapi apa yang harus diputuskan? Itu hanya rumusan lain dari masalah sebelumnya. Jelas bahwa salah satu lingkaran bertuliskan dan yang lainnya adalah lingkaran untuk beberapa segitiga ABC. Dan segmen AA 1 dan BB 1 sesuai dengan segmen AK dan VM tugas 5. Patut dicatat bahwa masalah yang diusulkan di Olimpiade Semua-Rusia untuk anak sekolah dalam matematika diselesaikan dengan cara yang begitu jelas.

7. Sisi-sisi segi lima adalah 5, 6, 10, 7, 8. Berurutan keliling, buktikan bahwa pada segi lima ini tidak ada lingkaran.

Solusi (Gbr. 11). Mari kita asumsikan bahwa segi lima ABCDE Anda dapat menuliskan sebuah lingkaran. Apalagi pihak AB, SM, CD, DE dan EA sama dengan 5, 6, 10, 7 dan 8. F, G, H, M dan N. Biarkan panjang segmen AF adalah sama dengan X.

Kemudian bf = FD – AF = 5 – x = BG. GC = SM – BG = = 6 – (5 – x) = 1 + x = CH. Dll: HD = DM = 9 – x; SAYA = ID = x – 2, SEBUAH = 10 – X.

Tetapi, AF = SEBUAH. Itu adalah 10- X = X; X= 5. Namun, segmen garis singgung AF tidak bisa sama sisi AB. Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan bahwa lingkaran tidak dapat dituliskan dalam segi lima yang diberikan.

8. Sebuah lingkaran ditulis dalam segi enam, sisi-sisinya dalam urutan bypass adalah 1, 2, 3, 4, 5. Temukan panjang sisi keenam.

Keputusan. Tentu saja, segmen tangen dapat dilambangkan sebagai X, seperti pada soal sebelumnya, tulis persamaan dan dapatkan jawabannya. Tapi, jauh lebih efisien dan efektif menggunakan not pada teorema 2 : jumlah sisi segi enam yang dibatasi, diambil melalui satu, adalah sama.

Maka 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, di mana X- sisi keenam yang tidak diketahui, X = 3.

Solusi (gbr.12). Karena panjang semua sisi adalah bilangan bulat, bagian pecahan dari panjang segmen adalah sama BT, BP, DM, DN, AK dan PADA. Kita punya PADA + televisi= 1, dan bagian pecahan dari panjang segmen PADA dan televisi adalah sama. Ini hanya mungkin bila PADA + televisi= 0,5. Dengan teorema 1 WT + BP.
Cara, BP= 0,5. Perhatikan bahwa kondisi CD= 3 ternyata tidak diklaim. Jelas, penulis masalah mengasumsikan beberapa solusi lain. Jawaban: 0,5.

10. Dalam segi empat ABCD AD=DC, AB=3, BC=5. Lingkaran tertulis dalam segitiga ABD dan CBD menyentuh segmen BD di titik-titik M dan N masing-masing. Tentukan panjang segmen M N.

Solusi (Gbr. 13). MN = DN - DM. Menurut rumus (1) untuk segitiga DBA dan DBC masing-masing, kami memiliki:

11. Dalam segi empat ABCD Anda dapat menuliskan sebuah lingkaran. Lingkaran tertulis dalam segitiga ABD dan CBD memiliki jari-jari R dan r masing-masing. Cari jarak antara pusat lingkaran ini.

Solusi (Gbr. 13). Karena, dengan syarat, segi empat ABCD tertulis, dengan teorema 2 kita punya: AB + DC = AD + BC. Mari kita gunakan ide untuk memecahkan masalah sebelumnya. . Ini berarti bahwa titik-titik kontak lingkaran dengan segmen DM cocok. Jarak antara pusat lingkaran sama dengan jumlah jari-jarinya. Menjawab: R + r.

Nyatanya, terbukti bahwa kondisinya dalam segi empat ABCD Anda dapat menuliskan lingkaran, yang setara dengan kondisinya - dalam segi empat cembung ABCD lingkaran tertulis dalam segitiga ABC dan ADC saling menyentuh. Sebaliknya adalah benar.

Diusulkan untuk membuktikan dua pernyataan yang saling terbalik ini dalam masalah berikut, yang dapat dianggap sebagai generalisasi dari yang satu ini.

12. Dalam segi empat cembung ABCD (Nasi. empat belas) lingkaran bertuliskan segitiga ABC dan ADC saling menyentuh. Buktikan bahwa lingkaran tertulis dalam segitiga ABD dan bdc juga saling menyentuh.

13. Dalam segitiga ABC dengan pihak a, b dan c di samping matahari titik yang ditandai D sehingga lingkaran tertulis dalam segitiga ABD dan ACD menyentuh segmen IKLAN di satu titik. Tentukan panjang segmen BD.

Solusi (Gbr. 15). Kami menerapkan rumus (1) untuk segitiga ADC dan adb, menghitung DM dua

Ternyata, D- titik kontak dengan samping matahari lingkaran tertulis dalam segitiga ABC. Kebalikannya benar: jika titik sudut segitiga terhubung ke titik singgung lingkaran bertulisan di sisi yang berlawanan, maka lingkaran yang tertulis dalam segitiga yang dihasilkan saling bersentuhan.

14. Pusat HAI 1 , HAI 2 dan HAI 3 tiga lingkaran tidak berpotongan dengan jari-jari yang sama terletak di simpul segitiga. Dari poin HAI 1 , HAI 2 , HAI 3, garis singgung lingkaran ini digambar seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Diketahui bahwa garis singgung ini, berpotongan, membentuk segi enam cembung, yang sisi-sisinya diwarnai merah dan biru. Buktikan bahwa jumlah panjang segmen merah sama dengan jumlah panjang segmen biru.

Solusi (Gbr. 16). Penting untuk memahami bagaimana menggunakan fakta bahwa lingkaran yang diberikan memiliki jari-jari yang sama. Perhatikan bahwa segmen BR dan DM adalah sama, yang mengikuti dari persamaan segitiga siku-siku HAI 1 BR dan HAI 2 BM. Demikian pula DL = D.P., FN = FK. Kami menambahkan persamaan suku demi suku, kemudian mengurangi dari jumlah yang dihasilkan segmen garis singgung yang sama yang ditarik dari simpul TETAPI, Dengan, dan E segi enam ABCDEF: AR dan AK, CL dan cm, ID dan EP. Kami mendapatkan apa yang kami butuhkan.

Berikut adalah contoh masalah stereometri yang diusulkan pada Turnamen Matematika Internasional XII untuk Siswa Sekolah Menengah "A.N. Kolmogorov Memory Cup".

16. Diberikan piramida segi lima SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Ada ruang lingkup w, yang menyentuh semua tepi piramida dan bola lainnya w 1 , yang menyentuh semua sisi alasnya A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 dan ekstensi tulang rusuk lateral SA 1 , SA 2 , SA 3 , SA 4 , SA 5 untuk bagian atas pangkalan. Buktikan bahwa puncak piramida berjarak sama dari simpul alasnya. (Berlov S. L., Karpov D. V.)

17. MENGGUNAKAN. Pekerjaan diagnostik 8 Desember 2009, –4. Trapesium dana ABCD, yang dasarnya SM = 44,IKLAN = 100, AB=CD= 35. Lingkari garis singgung garis IKLAN dan AC menyentuh samping CD pada intinya K. Tentukan panjang segmen CK.VDC dan BDA, sentuh sisinya BD di titik-titik E dan F. Tentukan panjang segmen EF.

Keputusan. Dua kasus yang mungkin (Gbr. 20 dan Gbr. 21). Menggunakan rumus (1), kami menemukan panjang segmen DE dan D.F..

Dalam kasus pertama IKLAN = 0,1AC, CD = 0,9AC. Di kedua - IKLAN = 0,125AC, CD = 1,125AC. Kami mengganti data dan mendapatkan jawabannya: 4.6 atau 5.5.

Tugas untuk solusi independen /

1. Keliling trapesium sama kaki pada lingkaran adalah 2r. Temukan proyeksi diagonal trapesium ke alas yang lebih besar. (1/2p)

2. Buka bank masalah USE dalam matematika. JAM 4. Untuk lingkaran yang tertulis dalam segitiga ABC (gbr. 22), tiga garis singgung ditarik. Keliling segitiga yang terpotong adalah 6, 8, 10. Tentukan keliling segitiga tersebut. (24)

3. Menjadi segitiga ABC lingkaran tertulis. M N- garis singgung lingkaran MО AC, NО BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Cari keliling segitiga MNC. (12)

4. Untuk sebuah lingkaran di dalam bujur sangkar dengan sisi a, sebuah garis singgung ditarik yang memotong dua sisinya. Temukan keliling segitiga yang dipotong. (sebuah)

5. Sebuah lingkaran tertulis dalam segi lima dengan sisi-sisinya sebuah, d, c, d dan e. Temukan segmen di mana titik kontak membagi sisi sama dengan sebuah.

6. Sebuah lingkaran terdapat dalam sebuah segitiga dengan sisi 6, 10 dan 12. Sebuah garis singgung ditarik ke lingkaran sehingga memotong dua sisi besar. Temukan keliling segitiga yang dipotong. (enambelas)

7. CD adalah median segitiga ABC. Lingkaran tertulis dalam segitiga ACD dan BCD, sentuh segmen CD di titik-titik M dan N. Menemukan M N, jika AC – matahari = 2. (1)

8. Dalam segitiga ABC dengan pihak a, b dan c di samping matahari titik yang ditandai D. Untuk lingkaran tertulis dalam segitiga ABD dan ACD, ditarik garis singgung persekutuan yang berpotongan IKLAN pada intinya M. Tentukan panjang segmen SAYA. (Panjang SAYA tidak bergantung pada posisi titik D dan
sama dengan ( c + b - a))

9. Sebuah lingkaran dengan jari-jari tertulis dalam segitiga siku-siku sebuah. Jari-jari lingkaran yang bersinggungan dengan sisi miring dan perpanjangan kaki adalah R. Cari panjang hipotenusanya. ( R-a)

10. Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisinya : AB = dengan, AC = b, matahari = sebuah. Sebuah lingkaran dalam segitiga bersinggungan dengan sisi AB pada intinya Dari 1. Excircle bersinggungan dengan perpanjangan sisi AB per titik TETAPI pada intinya Dari 2. Tentukan panjang ruas S 1 S 2. (b)

11. Hitunglah panjang sisi-sisi segitiga tersebut, dibagi dengan titik kontak lingkaran berjari-jari 3 cm menjadi ruas-ruas 4 cm dan 3 cm (7, 24 dan 25 cm pada segitiga siku-siku)

12. Olimpiade Soros 1996, ronde 2, kelas 11. segitiga diberikan ABC, di sisi mana titik ditandai A1, B1, C1. Jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga AC 1 B 1 , BC 1 A 1 , CA 1 B 1 sama dalam r. Jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga A 1 B 1 C 1 sama dengan R. Temukan jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC. (R +r).

Soal 4-8 diambil dari buku soal R. K. Gordin “Geometry. Planimetri." Moskow. Penerbitan MTSNMO. 2004.

Langsung ( M N) yang hanya memiliki satu titik yang sama dengan lingkaran ( A), disebut garis singgung ke lingkaran.

Titik umum disebut dalam kasus ini titik sentuh.

Kemungkinan keberadaan garis singgung, dan, terlebih lagi, ditarik melalui titik mana pun lingkaran, sebagai titik kontak, dibuktikan dengan: dalil.

Biarkan itu diperlukan untuk lingkaran terpusat HAI garis singgung melalui satu titik A. Untuk ini, dari titik A, seperti dari pusat, jelaskan busur radius AO, dan dari titik HAI, sebagai pusat, kita memotong busur ini di titik B dan Dengan solusi kompas sama dengan diameter lingkaran yang diberikan.

Setelah menghabiskan kemudian akord OB dan OS, hubungkan titik A dengan titik-titik D dan E di mana akord ini memotong lingkaran yang diberikan. Langsung IKLAN dan AE - garis singgung lingkaran HAI. Memang, jelas dari konstruksi bahwa segitiga AOB dan AOC sama kaki(AO = AB = AC) dengan basis OB dan OS, sama dengan diameter lingkaran HAI.

Sebagai OD dan OE adalah jari-jari, maka D - tengah OB, sebuah E- tengah OS, cara IKLAN dan AE - median ditarik ke dasar segitiga sama kaki, dan karena itu tegak lurus terhadap dasar ini. Jika langsung DA dan EA tegak lurus dengan jari-jari OD dan OE, maka mereka adalah garis singgung.

Konsekuensi.

Dua garis singgung yang ditarik dari titik yang sama ke lingkaran adalah sama besar dan membentuk sudut yang sama dengan garis yang menghubungkan titik ini dengan pusat.

Jadi AD=AE dan OAD = ∠OAE karena segitiga siku-siku AOD dan AOE memiliki kesamaan sisi miring AO dan sama kaki OD dan OE(sebagai jari-jari) adalah sama. Perhatikan bahwa di sini kata "singgung" berarti "yang sebenarnya" segmen tangen” dari titik yang diberikan ke titik kontak.