Persamaan parametrik garis lurus pada bidang. Persamaan parametrik Persamaan garis lurus dalam bentuk parametrik dalam ruang
Pastikan untuk membaca paragraf ini! Persamaan parametrik, tentu saja, bukanlah alfa dan omega dari geometri spasial, tetapi semut yang bekerja dari banyak masalah. Selain itu, jenis persamaan ini sering diterapkan secara tidak terduga, dan menurut saya, secara elegan.
Jika titik milik garis dan vektor pengarah garis ini diketahui, maka persamaan parametrik garis ini diberikan oleh sistem:
Saya berbicara tentang konsep persamaan parametrik dalam pelajaran Persamaan garis lurus pada bidang dan Turunan dari fungsi yang didefinisikan secara parametrik.
Semuanya lebih sederhana daripada lobak kukus, jadi Anda harus membumbui tugasnya:
Contoh 7
Keputusan: Garis diberikan oleh persamaan kanonik dan pada tahap pertama seseorang harus menemukan beberapa titik milik garis dan vektor arahnya.
a) Hapus titik dan vektor arah dari persamaan: . Anda dapat memilih poin lain (cara melakukan ini dijelaskan di atas), tetapi lebih baik mengambil yang paling jelas. Omong-omong, untuk menghindari kesalahan, selalu substitusikan koordinatnya ke dalam persamaan.
Mari kita buat persamaan parametrik dari garis lurus ini:
Kenyamanan persamaan parametrik adalah bahwa dengan bantuannya sangat mudah untuk menemukan titik lain dari garis. Misalnya, mari kita cari titik yang koordinatnya, katakanlah, sesuai dengan nilai parameter :
Dengan demikian:
b) Pertimbangkan persamaan kanonik . Pilihan titik di sini sederhana, tetapi berbahaya: (hati-hati jangan sampai salah mencampur koordinat!!!). Bagaimana cara mengeluarkan vektor panduan? Anda dapat berspekulasi dengan apa garis ini sejajar, atau Anda dapat menggunakan trik formal sederhana: proporsinya adalah "y" dan "Z", jadi kami menulis vektor arah , dan menempatkan nol di ruang yang tersisa: .
Kami membuat persamaan parametrik dari garis lurus:
c) Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk , yaitu, "Z" bisa apa saja. Dan jika ada, maka biarkan, misalnya, . Dengan demikian, titik milik garis ini. Untuk menemukan vektor arah, kami menggunakan teknik formal berikut: dalam persamaan awal ada "x" dan "y", dan dalam vektor arah di tempat-tempat ini kami menulis nol: . Di tempat yang tersisa kami menempatkan satuan: . Alih-alih satu, nomor apa pun, kecuali nol, bisa digunakan.
Kami menulis persamaan parametrik garis lurus:
Untuk latihan:
Contoh 8
Tulis persamaan parametrik untuk garis berikut:
Solusi dan jawaban di akhir pelajaran. Jawaban Anda mungkin sedikit berbeda dari jawaban saya, faktanya adalah persamaan parametrik dapat ditulis dalam lebih dari satu cara. Adalah penting bahwa vektor arah Anda dan saya adalah collinear, dan titik Anda "cocok" dengan persamaan saya (baik, atau sebaliknya, poin saya dengan persamaan Anda).
Bagaimana lagi Anda bisa mendefinisikan garis lurus di ruang angkasa? Saya ingin membuat sesuatu dengan vektor normal. Namun, jumlahnya tidak akan berfungsi, untuk garis ruang, vektor normal dapat melihat ke arah yang sama sekali berbeda.
Metode lain telah disebutkan dalam pelajaran persamaan bidang dan di awal artikel ini.
SUDUT ANTARA BIDANG
Mari kita pertimbangkan dua pesawat 1 dan 2 diberikan masing-masing oleh persamaan:
Di bawah sudut antara dua bidang yang kami maksud adalah salah satu sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang-bidang ini. Jelas bahwa sudut antara vektor normal dan bidang 1 dan 2 sama dengan salah satu sudut dihedral yang berdekatan atau 
. Jadi 
. Karena 
dan 
, kemudian
.
Contoh. Tentukan sudut antar bidang x+2kamu-3z+4=0 dan 2 x+3kamu+z+8=0.
Kondisi paralelisme dua bidang.
Dua bidang 1 dan 2 sejajar jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya dan sejajar, dan karenanya 
.
Jadi, dua bidang sejajar satu sama lain jika dan hanya jika koefisien pada koordinat yang bersesuaian sebanding:
atau
Kondisi tegak lurus bidang.
Jelaslah bahwa dua bidang tegak lurus jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya tegak lurus, dan oleh karena itu, atau .
Dengan demikian, .
Contoh.
LANGSUNG DI RUANG.
PERSAMAAN VEKTOR LANGSUNG.
PERSAMAAN PARAMETRIK LANGSUNG
Posisi garis lurus dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menentukan salah satu titik tetapnya M 1 dan vektor sejajar dengan garis ini.
Vektor yang sejajar dengan garis lurus disebut membimbing vektor garis ini.
Jadi biarkan lurus aku melewati suatu titik M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) terletak pada garis lurus sejajar dengan vektor .
Pertimbangkan titik sewenang-wenang M(x,y,z) pada garis lurus. Dapat dilihat dari gambar bahwa 
.
Vektor dan collinear, jadi ada angka seperti itu t, apa , di mana pengalinya t dapat mengambil nilai numerik apa pun tergantung pada posisi titik M pada garis lurus. Faktor t disebut parameter. Menunjukkan vektor jari-jari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , Kami memperoleh . Persamaan ini disebut vektor persamaan garis lurus. Ini menunjukkan bahwa setiap nilai parameter t sesuai dengan vektor jari-jari dari beberapa titik M berbaring pada garis lurus.
Kami menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan itu , 
dan dari sini
Persamaan yang dihasilkan disebut parametrik persamaan garis lurus.
Saat mengubah parameter t perubahan koordinat x, kamu dan z dan titik M bergerak dalam garis lurus.
PERSAMAAN KANONIK LANGSUNG
Biarlah M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) - titik yang terletak pada garis lurus aku, dan 
adalah vektor arahnya. Sekali lagi, ambil titik sewenang-wenang pada garis lurus M(x,y,z) dan mempertimbangkan vektor .
Jelaslah bahwa vektor dan kolinear, sehingga masing-masing koordinat harus proporsional, maka
– resmi persamaan garis lurus.
Catatan 1. Perhatikan bahwa persamaan kanonik garis dapat diperoleh dari persamaan parametrik dengan menghilangkan parameter t. Memang, dari persamaan parametrik kita peroleh 
atau .
Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus 
secara parametrik.
Menunjukkan 
, karena itu x = 2 + 3t, kamu = –1 + 2t, z = 1 –t.
Catatan 2. Biarkan garis tegak lurus terhadap salah satu sumbu koordinat, misalnya sumbu Sapi. Maka vektor arah garis tegak lurus Sapi, karena itu, m=0. Akibatnya, persamaan parametrik dari garis lurus mengambil bentuk
Menghilangkan parameter dari persamaan t, kita peroleh persamaan garis lurus dalam bentuk
Namun, dalam kasus ini juga, kami setuju untuk secara formal menulis persamaan kanonik garis lurus dalam bentuk 
. Jadi, jika penyebut salah satu pecahan adalah nol, maka ini berarti bahwa garis tersebut tegak lurus terhadap sumbu koordinat yang sesuai.
Demikian pula, persamaan kanonik 
sesuai dengan garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu Sapi dan Oy atau sumbu paralel Ons.
Contoh.
PERSAMAAN UMUM GARIS LANGSUNG SEBAGAI GARIS PENCEGAHAN DUA BIDANG
Melalui setiap garis lurus di ruang angkasa melewati jumlah pesawat yang tak terbatas. Setiap dua dari mereka, berpotongan, mendefinisikannya dalam ruang. Oleh karena itu, persamaan dari dua bidang seperti itu, dipertimbangkan bersama, adalah persamaan garis ini.
Secara umum, setiap dua bidang tidak sejajar diberikan oleh persamaan umum
tentukan garis perpotongannya. Persamaan ini disebut persamaan umum lurus.
Contoh.
Bangun garis lurus yang diberikan oleh persamaan 
Untuk membuat garis, cukup mencari dua titik saja. Cara termudah adalah dengan memilih titik potong garis dengan bidang koordinat. Misalnya, titik perpotongan dengan bidang xOy kita peroleh dari persamaan garis lurus, dengan asumsi z= 0:
Memecahkan sistem ini, kami menemukan intinya M 1 (1;2;0).
Demikian pula, dengan asumsi kamu= 0, kita mendapatkan titik potong garis dengan bidang xOz:
Dari persamaan umum garis lurus, seseorang dapat melanjutkan ke persamaan kanonik atau parametriknya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan beberapa poin M 1 pada garis dan vektor arah garis.
Koordinat titik M 1 kita peroleh dari sistem persamaan ini, memberikan salah satu koordinat nilai arbitrer. Untuk mencari vektor arah, perhatikan bahwa vektor ini harus tegak lurus terhadap kedua vektor normal 
dan 
. Oleh karena itu, untuk vektor arah garis lurus aku Anda dapat mengambil produk silang dari vektor normal:
.
Contoh. Berikan persamaan umum garis lurus 
ke bentuk kanonik.
Temukan titik pada garis lurus. Untuk melakukan ini, kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenang, misalnya, kamu= 0 dan selesaikan sistem persamaannya:
Vektor normal dari bidang yang mendefinisikan garis memiliki koordinat 
Oleh karena itu, vektor arah akan lurus
. Karena itu, aku: 
.
SUDUT ANTARA KANAN
sudut antara garis lurus dalam ruang kita akan menyebut salah satu sudut yang berdekatan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui titik sewenang-wenang yang sejajar dengan data.
Biarkan dua garis lurus diberikan dalam ruang:
Jelas, sudut antara garis dapat diambil sebagai sudut antara vektor arah mereka dan . Karena , maka menurut rumus kosinus sudut antara vektor-vektor kita peroleh
Salah satu sub-item dari topik "Persamaan garis lurus pada bidang" adalah masalah menyusun persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Artikel di bawah ini membahas prinsip menyusun persamaan tersebut untuk data tertentu yang diketahui. Mari kita tunjukkan bagaimana berpindah dari persamaan parametrik ke persamaan bentuk yang berbeda; Mari kita menganalisis solusi dari masalah yang khas.
Garis tertentu dapat didefinisikan dengan menentukan titik yang termasuk dalam garis itu dan vektor arah untuk garis tersebut.
Misalkan kita diberikan sistem koordinat persegi panjang O x y . Dan juga diberikan garis lurus a, yang menunjukkan titik M 1 yang terletak di atasnya (x 1, y 1) dan vektor arah dari garis lurus yang diberikan a → = (a x , a y) . Kami memberikan deskripsi dari garis yang diberikan menggunakan persamaan.
Kami menggunakan titik sewenang-wenang M (x, y) dan mendapatkan vektor M 1 M →; hitung koordinatnya dari koordinat titik awal dan titik akhir: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Mari kita gambarkan hasilnya: garis diberikan oleh himpunan titik M (x, y), melewati titik M 1 (x 1, y 1) dan memiliki vektor arah a → = (a x , a y) . Himpunan yang ditentukan mendefinisikan garis lurus hanya jika vektor M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) dan a → = (a x , a y) adalah collinear.
Ada syarat perlu dan cukup untuk kolinearitas vektor, yang dalam hal ini untuk vektor M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) dan a → = (a x , a y) dapat ditulis sebagai persamaan:
M 1 M → = · a → , di mana adalah suatu bilangan real.
Definisi 1
Persamaan M 1 M → = · a → disebut persamaan vektor-parametrik garis.
Dalam bentuk koordinat, terlihat seperti:
M 1 M → = a → x - x 1 = a x y - y 1 = a y ⇔ x = x 1 + a x y = y 1 + a y
Persamaan sistem yang dihasilkan x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · disebut persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Inti dari namanya adalah sebagai berikut: koordinat semua titik garis dapat ditentukan dengan persamaan parametrik pada bidang berbentuk x = x 1 + a x y = y 1 + a y ketika iterasi pada semua nilai nyata dari parameter
Menurut persamaan di atas, persamaan parametrik garis lurus pada bidang x \u003d x 1 + a x y \u003d y 1 + a y menentukan garis lurus yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang, melewati titik M 1 (x 1, y 1) dan memiliki vektor pemandu a → = (a x , a y) . Oleh karena itu, jika koordinat titik tertentu dari garis lurus dan koordinat vektor pengarahnya diberikan, maka persamaan parametrik dari garis lurus tersebut dapat segera ditulis.
Contoh 1
Persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang perlu dibuat, jika titik M 1 (2, 3) miliknya dan vektor arahnya diberikan a → = (3 , 1) .
Keputusan
Berdasarkan data awal, kami mendapatkan: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Persamaan parametrik akan terlihat seperti:
x = x 1 + a x y = y 1 + a y x = 2 + 3 y = 3 + 1 ⇔ x = 2 + 3 y = 3 +
Mari kita ilustrasikan dengan jelas:
Jawaban: x = 2 + 3 y = 3 +
Perlu diperhatikan: jika vektor a → = (a x , a y) berfungsi sebagai vektor pengarah garis lurus a, dan titik-titik M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2) termasuk dalam garis ini, maka dapat ditentukan dengan menetapkan persamaan parametrik dalam bentuk : x = x 1 + a x y = y 1 + a y , serta opsi ini: x = x 2 + a x y = y 2 + a y .
Sebagai contoh, kita diberikan vektor pengarah garis lurus a → \u003d (2, - 1), serta poin M 1 (1, - 2) dan M 2 (3, - 3) milik garis ini. Kemudian garis lurus ditentukan dengan persamaan parametrik: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - atau x = 3 + 2 · y = - 3 - .
Perhatian juga harus diberikan pada fakta berikut: jika a → = (a x , a y) adalah vektor pengarah dari garis lurus a , maka salah satu vektor juga akan menjadi vektor pengarahnya a → = (μ a x , a y) , di mana ϵ R , 0 .
Dengan demikian, garis lurus a pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dapat didefinisikan dengan persamaan parametrik: x = x 1 + a x y = y 1 + a y untuk setiap nilai yang berbeda dari nol.
Misalkan garis a diberikan oleh persamaan parametrik x = 3 + 2 y = - 2 - 5 . Kemudian a → = (2 , - 5) - vektor arah garis ini. Dan juga salah satu vektor · a → = (μ · 2 , · - 5) = 2 , - 5 , μ R , 0 akan menjadi vektor arah untuk garis lurus tersebut. Untuk kejelasan, pertimbangkan vektor spesifik - 2 · a → = (- 4 , 10) , itu sesuai dengan nilai = - 2 . Dalam hal ini, garis lurus yang diberikan juga dapat ditentukan oleh persamaan parametrik x = 3 - 4 · y = - 2 + 10 · .
Transisi dari persamaan parametrik garis lurus pada bidang ke persamaan lain dari garis lurus tertentu dan sebaliknya
Dalam menyelesaikan beberapa masalah, penggunaan persamaan parametrik bukanlah pilihan yang paling optimal, maka menjadi perlu untuk menerjemahkan persamaan parametrik suatu garis lurus menjadi persamaan garis lurus yang berbeda jenisnya. Mari kita lihat bagaimana melakukannya.
Persamaan parametrik garis lurus x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · akan sesuai dengan persamaan kanonik garis lurus pada bidang x - x 1 a x = y - y 1 a y .
Kami memecahkan setiap persamaan parametrik sehubungan dengan parameter , menyamakan bagian kanan dari persamaan yang diperoleh dan memperoleh persamaan kanonik dari garis lurus yang diberikan:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y
Dalam hal ini, seharusnya tidak memalukan jika a x atau a y akan sama dengan nol.
Contoh 2
Transisi dari persamaan parametrik garis lurus x = 3 y = - 2 - 4 · ke persamaan kanonik perlu dilakukan.
Keputusan
Kami menulis persamaan parametrik yang diberikan dalam bentuk berikut: x = 3 + 0 y = - 2 - 4
Kami menyatakan parameter dalam setiap persamaan: x = 3 + 0 y = - 2 - 4 ⇔ = x - 3 0 = y + 2 - 4
Kami menyamakan bagian kanan dari sistem persamaan dan memperoleh persamaan kanonik yang diperlukan dari garis lurus di pesawat:
x - 3 0 = y + 2 - 4
Menjawab: x - 3 0 = y + 2 - 4
Dalam hal perlu menuliskan persamaan garis lurus berbentuk A x + B y + C = 0 , sedangkan persamaan parametrik garis lurus pada bidang diberikan, pertama-tama perlu dibuat transisi ke persamaan kanonik, dan kemudian ke persamaan umum garis lurus. Mari kita tuliskan seluruh urutan tindakan:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y a y (x - x 1) = a x (y - y 1) A x + B y + C = 0
Contoh 3
Persamaan umum garis lurus perlu ditulis jika persamaan parametrik yang mendefinisikannya diberikan: x = - 1 + 2 y = - 3
Keputusan
Pertama, mari kita buat transisi ke persamaan kanonik:
x = - 1 + 2 y = - 3 ⇔ λ = x + 1 2 = y - 3 x + 1 2 = y - 3
Proporsi yang dihasilkan identik dengan persamaan - 3 · (x + 1) = 2 · y. Buka kurung dan dapatkan persamaan umum garis lurus: - 3 x + 1 = 2 y 3 x + 2 y + 3 = 0 .
Jawaban: 3x + 2y + 3 = 0
Mengikuti logika tindakan di atas, untuk memperoleh persamaan garis lurus dengan kemiringan, persamaan garis lurus dalam segmen atau persamaan normal garis lurus, perlu untuk memperoleh persamaan umum garis lurus , dan dari itu untuk melakukan transisi lebih lanjut.
Sekarang perhatikan tindakan sebaliknya: menulis persamaan parametrik garis lurus untuk bentuk persamaan garis lurus yang diberikan berbeda.
Transisi termudah: dari persamaan kanonik ke persamaan parametrik. Biarkan persamaan kanonik dari bentuk diberikan: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Kami mengambil masing-masing hubungan kesetaraan ini sama dengan parameter :
x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ = x - x 1 a x = y - y 1 a y
Mari kita selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk variabel x dan y:
x = x 1 + a x y = y 1 + a y
Contoh 4
Persamaan parametrik garis lurus perlu ditulis jika persamaan kanonik garis lurus pada bidang diketahui: x - 2 5 = y - 2 2
Keputusan
Mari kita samakan bagian-bagian dari persamaan yang diketahui dengan parameter : x - 2 5 = y - 2 2 = . Dari persamaan yang diperoleh diperoleh persamaan parametrik garis lurus: x - 2 5 = y - 2 2 = = x - 2 5 = y - 2 5 x = 2 + 5 y = 2 + 2
Jawaban: x = 2 + 5 y = 2 + 2
Ketika perlu untuk membuat transisi ke persamaan parametrik dari persamaan umum garis lurus yang diberikan, persamaan garis lurus dengan kemiringan atau persamaan garis lurus dalam segmen, perlu untuk membawa persamaan asli ke satu kanonik, dan kemudian membuat transisi ke persamaan parametrik.
Contoh 5
Kita perlu menuliskan persamaan parametrik dari garis lurus dengan persamaan umum yang diketahui dari garis lurus ini: 4 x - 3 y - 3 = 0 .
Keputusan
Kami mengubah persamaan umum yang diberikan menjadi persamaan bentuk kanonik:
4 x - 3 y - 3 = 0 4 x = 3 y + 3 4 x = 3 y + 1 3 x 3 = y + 1 3 4
Kami menyamakan kedua bagian persamaan dengan parameter dan memperoleh persamaan parametrik yang diperlukan dari garis lurus:
x 3 = y + 1 3 4 = x 3 = y + 1 3 4 = ⇔ x = 3 y = - 1 3 + 4
Menjawab: x = 3 y = - 1 3 + 4
Contoh dan masalah dengan persamaan parametrik garis lurus pada bidang
Mari kita pertimbangkan jenis masalah yang paling umum menggunakan persamaan parametrik dari garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang.
- Dalam masalah jenis pertama, koordinat titik diberikan, apakah mereka termasuk dalam garis lurus atau tidak yang dijelaskan oleh persamaan parametrik.
Solusi dari masalah tersebut didasarkan pada fakta berikut: angka (x, y) yang ditentukan dari persamaan parametrik x \u003d x 1 + a x y \u003d y 1 + a y untuk beberapa nilai riil adalah koordinat a titik milik garis lurus, yang dijelaskan persamaan parametrik ini.
Contoh 6
Penting untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada garis lurus yang diberikan oleh persamaan parametrik x = 2 - 1 6 · y = - 1 + 2 · untuk = 3 .
Keputusan
Kami mengganti nilai yang diketahui = 3 ke dalam persamaan parametrik yang diberikan dan menghitung koordinat yang diinginkan: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 x = 1 1 2 y = 5
Menjawab: 1 1 2 , 5
Masalah berikut juga mungkin: biarkan beberapa titik M 0 (x 0, y 0) diberikan pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dan perlu untuk menentukan apakah titik ini termasuk dalam garis yang dijelaskan oleh persamaan parametrik x = x 1 + a x y = y 1 + a y .
Untuk memecahkan masalah seperti itu, perlu untuk mengganti koordinat titik tertentu ke dalam persamaan parametrik garis lurus yang diketahui. Jika ditentukan bahwa nilai parameter = 0 seperti itu dimungkinkan, di mana kedua persamaan parametrik benar, maka titik yang diberikan termasuk dalam garis lurus yang diberikan.
Contoh 7
Poin M 0 (4, - 2) dan N 0 (- 2, 1) diberikan. Penting untuk menentukan apakah mereka termasuk dalam garis lurus yang ditentukan oleh persamaan parametrik x = 2 · y = - 1 - 1 2 · .
Keputusan
Kami mengganti koordinat titik M 0 (4, - 2) ke dalam persamaan parametrik yang diberikan:
4 = 2 - 2 = - 1 - 1 2 = 2 = 2 = 2
Kami menyimpulkan bahwa titik M 0 milik garis yang diberikan, karena sesuai dengan nilai = 2 .
2 = 2 1 = - 1 - 1 2 = - 1 = - 4
Jelas bahwa tidak ada parameter yang sesuai dengan titik N 0. Dengan kata lain, garis yang diberikan tidak melalui titik N 0 (- 2 , 1) .
Menjawab: titik M 0 milik garis tertentu; titik N 0 tidak termasuk dalam garis yang diberikan.
- Pada soal tipe kedua, diperlukan untuk menyusun persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Contoh paling sederhana dari masalah seperti itu (dengan koordinat titik garis dan vektor arah yang diketahui) dipertimbangkan di atas. Sekarang mari kita lihat contoh di mana Anda harus terlebih dahulu menemukan koordinat vektor arah, dan kemudian menuliskan persamaan parametriknya.
Poin M 1 1 2 , 2 3 diberikan. Hal ini diperlukan untuk membuat persamaan parametrik dari garis lurus yang melewati titik ini dan garis lurus paralel x 2 \u003d y - 3 - 1.
Keputusan
Menurut kondisi masalah, garis lurus, persamaan yang harus kita lalui, sejajar dengan garis lurus x 2 \u003d y - 3 - 1. Kemudian, sebagai vektor pengarah garis lurus yang melalui suatu titik tertentu, dimungkinkan untuk menggunakan vektor pengarah garis lurus x 2 = y - 3 - 1, yang kita tulis dalam bentuk: a → = (2, - 1) . Sekarang semua data yang diperlukan diketahui untuk menyusun persamaan parametrik yang diinginkan:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ x = 1 2 + 2 y = 2 3 + (- 1) ⇔ x = 1 2 + x y = 2 3 -
Menjawab: x = 1 2 + x y = 2 3 - .
Contoh 9
Poin M 1 (0, - 7) diberikan. Kita perlu menulis persamaan parametrik garis lurus yang melalui titik ini tegak lurus terhadap garis lurus 3 x – 2 y – 5 = 0 .
Keputusan
Sebagai vektor pengarah garis lurus, yang persamaannya harus disusun, dimungkinkan untuk mengambil vektor normal garis lurus 3 x - 2 y - 5 = 0 . Koordinatnya adalah (3 , - 2) . Kami menulis persamaan parametrik yang diperlukan dari garis lurus:
x = x 1 + a x y = y 1 + a y x = 0 + 3 y = - 7 + (- 2) ⇔ x = 3 y = - 7 - 2
Menjawab: x = 3 y = - 7 - 2
- Pada soal jenis ketiga, diperlukan transisi dari persamaan parametrik suatu garis lurus ke jenis persamaan lain yang menentukannya. Kami mempertimbangkan solusi dari contoh di atas, kami akan memberikan satu lagi.
Diberikan garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang, ditentukan oleh persamaan parametrik x = 1 - 3 4 · y = - 1 + . Penting untuk menemukan koordinat dari beberapa vektor normal dari garis ini.
Keputusan
Untuk menentukan koordinat vektor normal yang diinginkan, kita akan melakukan transisi dari persamaan parametrik ke persamaan umum:
x = 1 - 3 4 y = - 1 + λ ⇔ = x - 1 - 3 4 = y + 1 1 x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 x + 3 4 y - 1 4 = 0
Koefisien variabel x dan y memberi kita koordinat yang diperlukan dari vektor normal. Jadi, vektor normal dari garis x = 1 - 3 4 · y = - 1 + memiliki koordinat 1 , 3 4 .
Menjawab: 1 , 3 4 .
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Persamaan parametrik garis lurus diperoleh secara mendasar dari persamaan kanonik garis lurus ini, yang berbentuk . Mari kita ambil sebagai parameter nilai yang dengannya bagian kiri dan kanan persamaan kanonik dapat dikalikan.
Karena salah satu penyebut harus berbeda dari nol, dan pembilang yang sesuai dapat mengambil nilai apa pun, rentang parameternya adalah seluruh sumbu bilangan real: .
Kami akan menerima atau akhirnya
Persamaan (1) adalah persamaan parametrik garis lurus yang diinginkan. Persamaan ini memungkinkan interpretasi mekanis. Jika kita berasumsi bahwa parameternya adalah waktu yang diukur dari beberapa momen awal, maka persamaan parametrik menentukan hukum gerak suatu titik material dalam garis lurus dengan kecepatan konstan (gerakan seperti itu terjadi dengan inersia).
Contoh 1 Susun pada bidang persamaan parametrik garis lurus yang melalui suatu titik dan memiliki vektor arah.
Keputusan. Kami mengganti data titik dan vektor arah dalam (1) dan mendapatkan:
Seringkali dalam tugas-tugas itu diperlukan untuk mengubah persamaan parametrik dari garis lurus menjadi jenis persamaan lain, dan dari persamaan jenis lain untuk mendapatkan persamaan parametrik garis lurus. Mari kita lihat beberapa contoh seperti itu. Untuk mengubah persamaan parametrik garis lurus menjadi persamaan umum garis lurus pertama mereka harus direduksi ke bentuk kanonik, dan kemudian dari persamaan kanonik untuk mendapatkan persamaan umum garis lurus
Contoh 2 Tuliskan persamaan garis lurus
secara umum.
Keputusan. Pertama, kami membawa persamaan parametrik dari garis lurus ke persamaan kanonik:
Transformasi lebih lanjut membawa persamaan ke bentuk umum:
Agak lebih sulit untuk mengubah persamaan umum menjadi persamaan parametrik garis lurus, tetapi algoritma yang jelas juga dapat dibuat untuk tindakan ini. Pertama, kita dapat mengubah persamaan umum menjadi persamaan kemiringan dan temukan darinya koordinat beberapa titik yang termasuk dalam garis, memberikan salah satu koordinat nilai yang sewenang-wenang. Ketika koordinat titik dan vektor arah diketahui (dari persamaan umum), persamaan parametrik garis lurus dapat ditulis.
Contoh 3 Tuliskan persamaan garis lurus dalam bentuk persamaan parametrik.
Keputusan. Kami membawa persamaan umum garis lurus menjadi persamaan dengan kemiringan:
Kami menemukan koordinat beberapa titik milik garis. Berikan salah satu koordinat titik nilai arbitrer
Dari persamaan garis lurus dengan kemiringan, kita memperoleh koordinat titik lain:
Dengan demikian, kita mengetahui vektor titik dan arah. Kami mengganti datanya menjadi (1) dan memperoleh persamaan parametrik garis lurus yang diinginkan:
Contoh 4 Temukan gradien garis lurus yang diberikan oleh persamaan parametrik
Keputusan. Persamaan parametrik garis lurus pertama-tama harus dikonversi ke kanonik, kemudian ke umum, dan akhirnya ke persamaan kemiringan.
Jadi, kemiringan garis lurus yang diberikan:
Contoh 5 Buatlah persamaan parametrik garis lurus yang melalui sebuah titik dan garis yang tegak lurus
Menyamakan dalam persamaan kanonik garis lurus masing-masing pecahan ke beberapa parameter t:
Kami memperoleh persamaan yang menyatakan koordinat saat ini dari setiap titik garis lurus melalui parameter t.
dengan demikian, persamaan parametrik garis lurus memiliki bentuk:
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.
Biarkan dua titik M 1 (x1,y1,z1) dan M2 (x2,y2,z2). Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu diperoleh dengan cara yang sama seperti persamaan serupa pada bidang. Oleh karena itu, kami segera memberikan bentuk persamaan ini.
Garis lurus pada perpotongan dua bidang. Persamaan umum garis lurus dalam ruang.
Jika kita mempertimbangkan dua bidang yang tidak sejajar, maka persimpangan mereka akan menjadi garis lurus.
Jika vektor normal dan 
non-kolinier.
Di bawah, ketika mempertimbangkan contoh, kami akan menunjukkan cara untuk mengubah persamaan garis lurus tersebut menjadi persamaan kanonik.
5.4 Sudut antara dua garis lurus. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis.
Sudut antara dua garis lurus dalam ruang adalah salah satu sudut yang dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui titik sembarang yang sejajar dengan data.
Biarkan dua garis diberikan oleh persamaan kanonik mereka.
Untuk sudut antara dua garis lurus kita akan mengambil sudut antara vektor arah.
dan 
Kondisi tegak lurus dua garis lurus direduksi menjadi kondisi tegak lurus vektor arahnya dan , yaitu, menjadi sama dengan nol dari produk skalar: atau dalam bentuk koordinat: .
Kondisi paralelisme dua garis direduksi menjadi kondisi paralelisme vektor arahnya dan
5.5 Susunan bersama antara garis lurus dan bidang.
Biarkan persamaan garis lurus diberikan:
dan pesawat. Sudut antara garis dan bidang akan menjadi salah satu dari dua sudut berdekatan yang dibentuk oleh garis dan proyeksinya ke bidang (Gambar 5.5).
 |
|||||||
Gambar 5.5
Jika garis tegak lurus terhadap bidang, vektor pengarah dari garis dan vektor normal terhadap bidang adalah collinear. Dengan demikian, kondisi tegak lurus garis dan bidang direduksi menjadi kondisi vektor collinear
Dalam kasus paralelisme garis lurus dan bidang, vektor-vektornya yang ditunjukkan di atas saling tegak lurus. Oleh karena itu, kondisi paralelisme garis lurus dan bidang direduksi menjadi kondisi tegak lurus vektor; itu. produk titik mereka adalah nol atau dalam bentuk koordinat: .
Di bawah ini adalah contoh penyelesaian masalah yang berkaitan dengan topik Bab 5.
Contoh 1:
Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik A (1,2,4) tegak lurus terhadap garis lurus yang diberikan oleh persamaan:
Keputusan:
Kami menggunakan persamaan bidang yang melewati titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor tertentu.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Sebagai sebuah titik, kita ambil titik A (1,2,4), yang melaluinya pesawat melewati kondisi tersebut.
Mengetahui persamaan kanonik garis, kita mengetahui vektor yang sejajar dengan garis.
Karena kenyataan bahwa, dengan syarat, garis tegak lurus terhadap bidang yang diinginkan, vektor arah dapat diambil sebagai vektor normal bidang.
Dengan demikian, kita memperoleh persamaan bidang dalam bentuk:
2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0
2x+y+4z-16=0
2x+y+4z-20=0
Contoh 2:
Temukan di pesawat 4x-7y+5z-20=0 titik P di mana OP membuat sudut yang sama dengan sumbu koordinat.
Keputusan:
Mari kita membuat gambar skema. (Gambar 5.6)
 |
pada
Gambar 5.6
Titik kosong memiliki koordinat . Karena vektor membuat sudut yang sama dengan sumbu koordinat, cosinus arah vektor ini sama satu sama lain
Mari kita cari proyeksi vektornya:
maka arah cosinus vektor ini mudah ditemukan.
Dari persamaan arah cosinus persamaan berikut:
x p \u003d y p \u003d z p
karena titik P terletak pada bidang, mensubstitusikan koordinat titik ini ke persamaan bidang mengubahnya menjadi identitas.
4x p -7x p +5x p -20=0
2x p \u003d 20
x p \u003d 10
Masing-masing: y r=10; z p=10.
Jadi, titik P yang diinginkan memiliki koordinat P (10; 10; 10)
Contoh 3:
Diberikan dua titik A (2, -1, -2) dan B (8, -7,5). Tentukan persamaan bidang yang melalui titik B tegak lurus segmen AB.
Keputusan:
Untuk memecahkan masalah, kita menggunakan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Sebagai titik, kami menggunakan titik B (8, -7.5), dan sebagai vektor tegak lurus bidang, vektor. Mari kita cari proyeksi vektornya:
maka kita dapatkan persamaan bidang dalam bentuk:
6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0
6x-48-6y-42+7z-35=0
6x-6y+7z-35=0
6x-6y+7z-125=0
Contoh 4:
Tentukan persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu OY dan melalui titik K(1,-5,1) dan M(3,2,-2).
Keputusan:
Karena bidang sejajar dengan sumbu OY, kita akan menggunakan persamaan bidang yang tidak lengkap.
Ax+Cz+D=0
Karena fakta bahwa titik K dan M terletak pada bidang, kita memperoleh dua kondisi.
Mari kita nyatakan dari kondisi ini koefisien A dan C dalam bentuk D.
Kami mengganti koefisien yang ditemukan ke dalam persamaan bidang yang tidak lengkap:
karena , maka kita kurangi D:
Contoh 5:
Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)
Keputusan:
Mari kita gunakan persamaan bidang yang melalui 3 titik tertentu.
dengan mengganti koordinat titik M, K, R sebagai titik pertama, kedua dan ketiga, kita memperoleh:
memperluas determinan di sepanjang garis pertama.
Contoh 6:
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) dan tegak lurus bidang 3x+5y-7z-21=0
Keputusan:
Mari kita membuat gambar skema (Gambar 5.7)
Gambar 5.7
Kami menunjukkan bidang yang diberikan P 2 dan bidang yang diinginkan P 2. . Dari persamaan bidang 1 yang diberikan, kami menentukan proyeksi vektor yang tegak lurus terhadap bidang 1.
Vektor dapat dipindahkan ke bidang P 2 dengan translasi paralel, karena sesuai dengan kondisi masalah, bidang P 2 tegak lurus dengan bidang P 1, yang berarti bahwa vektor sejajar dengan bidang P 2.
Mari kita cari proyeksi vektor yang terletak pada bidang 2:
sekarang kita memiliki dua vektor dan terletak di bidang R 2 . Jelas, vektor sama dengan produk vektor dari vektor dan akan tegak lurus terhadap bidang P 2, karena tegak lurus dengan dan, oleh karena itu, vektor normalnya terhadap bidang P 2.
Vektor dan diberikan oleh proyeksi mereka, oleh karena itu:
Selanjutnya, kita menggunakan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor. Sebagai titik, Anda dapat mengambil salah satu titik M 1 atau M 2, misalnya M 1 (8, -3.1); Sebagai vektor normal pada bidang 2 kita ambil .
74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0
3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0
3x-24+y+3+27-2=0
3x+y+2z-23=0
Contoh 7:
Garis lurus didefinisikan oleh perpotongan dua bidang. Temukan persamaan kanonik dari garis tersebut.
Keputusan:
Kami memiliki persamaan dalam bentuk:
Perlu menemukan titik x 0, y 0, z 0) yang dilalui oleh garis lurus dan vektor arah.
Kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenang. Sebagai contoh, z=1, maka kita mendapatkan sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui:
Jadi, kami telah menemukan sebuah titik yang terletak pada garis yang diinginkan (2,0,1).
Sebagai vektor pengarah dari garis lurus yang diinginkan, kita ambil perkalian silang dari vektor dan , yang merupakan vektor normal karena 
, yang berarti sejajar dengan garis yang diinginkan.
Dengan demikian, vektor arah garis lurus memiliki proyeksi . Menggunakan persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu yang sejajar dengan vektor tertentu:
Jadi persamaan kanonik yang diinginkan memiliki bentuk:
Contoh 8:
Tentukan koordinat titik potong garis 
dan pesawat 2x+3y+3z-8=0
Keputusan:
Mari kita tulis persamaan garis lurus yang diberikan dalam bentuk parametrik.
x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1
setiap titik dari garis lurus sesuai dengan satu nilai parameter t. Untuk menemukan parameter t sesuai dengan titik potong garis dan bidang, kita substitusikan ke persamaan bidang x, y, z melalui parameter t.
2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0
6t-4-3t+6+6t-3-8=0
t=1
maka koordinat titik yang diinginkan
titik potong yang diinginkan memiliki koordinat (1;1;1).
Contoh 9:
Tentukan persamaan bidang yang melalui garis sejajar.
Mari kita membuat gambar skema (Gambar 5.9)
Gambar 5.9
Dari persamaan garis yang diberikan dan kami menentukan proyeksi vektor pengarah garis-garis ini. Kami menemukan proyeksi vektor yang terletak di bidang P, dan mengambil titik dan dari persamaan kanonik garis M 1 (1, -1,2) dan M 2 (0,1, -2).
