Tentukan panjang dan cosinus arah tegak lurus tersebut. Kosinus arah dari vektor

Biarkan vektor diberikan. Vektor satuan dalam arah yang sama dengan (vektor vektor ) ditemukan dengan rumus:

.

Biarkan poros membentuk sudut dengan sumbu koordinat
.Kosinus arah sumbu kosinus dari sudut-sudut ini disebut: Jika arah diberikan oleh vektor satuan , maka cosinus arah berfungsi sebagai koordinatnya, yaitu:

.

Kosinus arah dihubungkan oleh hubungan:

Jika arah diberikan oleh vektor arbitrer , kemudian temukan vektor satuan dari vektor ini dan, bandingkan dengan ekspresi untuk vektor satuan , Dapatkan:

Produk skalar

Produk titik
dua vektor dan disebut angka yang sama dengan produk panjangnya dengan kosinus sudut di antara mereka:
.

Produk skalar memiliki sifat-sifat berikut:

Karena itu,
.

Arti geometris dari produk skalar: perkalian titik dari vektor dan vektor satuan sama dengan proyeksi vektor ke arah yang ditentukan , yaitu
.

Dari definisi perkalian skalar berikut tabel perkalian orts
:

.

Jika vektor diberikan oleh koordinatnya
dan
, yaitu
,
, kemudian, mengalikan vektor-vektor ini secara skalar dan menggunakan tabel perkalian ort, kita memperoleh ekspresi untuk produk skalar
melalui koordinat vektor:

.

produk vektor

Perkalian silang suatu vektorper vektor disebut vektor , panjang dan arahnya ditentukan oleh kondisi:

Produk vektor memiliki sifat-sifat berikut:

Dari tiga sifat pertama, berikut ini bahwa perkalian vektor dari jumlah vektor dengan jumlah vektor mematuhi aturan biasa untuk perkalian polinomial. Anda hanya perlu memastikan bahwa urutan pengganda tidak berubah.

Vektor satuan dasar dikalikan sebagai berikut:

Jika sebuah
dan
, kemudian dengan mempertimbangkan sifat-sifat produk vektor vektor, kita dapat memperoleh aturan untuk menghitung koordinat produk vektor dari koordinat vektor faktor:

Jika kita memperhitungkan aturan perkalian ort yang diperoleh di atas, maka:

Bentuk yang lebih ringkas dari penulisan ekspresi untuk menghitung koordinat produk vektor dua vektor dapat dibangun jika kita memperkenalkan konsep determinan matriks.

Pertimbangkan kasus khusus ketika vektor dan milik pesawat
, yaitu mereka dapat direpresentasikan sebagai
dan
.

Jika koordinat vektor-vektor tersebut ditulis dalam bentuk tabel sebagai berikut:
, maka kita dapat mengatakan bahwa matriks persegi orde kedua terbentuk dari mereka, yaitu. ukuran
, terdiri dari dua baris dan dua kolom. Setiap matriks persegi diberi nomor yang dihitung dari elemen matriks menurut aturan tertentu dan disebut determinan. Determinan matriks orde kedua sama dengan selisih antara hasil kali elemen-elemen diagonal utama dan diagonal sekunder:

.

Pada kasus ini:

Dengan demikian, nilai absolut dari determinan sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor dan seperti di sisi.

Jika kita bandingkan ekspresi ini dengan rumus perkalian vektor (4.7), maka:

Ekspresi ini adalah rumus untuk menghitung determinan matriks orde ketiga dari baris pertama.

Dengan demikian:

Determinan matriks orde ketiga dihitung sebagai berikut:

dan merupakan jumlah aljabar enam suku.

Rumus untuk menghitung determinan matriks orde ketiga mudah diingat jika Anda menggunakan aturanSarrus, yang diformulasikan sebagai berikut:

Setiap istilah adalah produk dari tiga elemen yang terletak di kolom yang berbeda dan baris yang berbeda dari matriks;

Tanda plus memiliki produk elemen yang membentuk segitiga dengan sisi sejajar dengan diagonal utama;

Tanda minus diberikan kepada hasil kali elemen-elemen yang termasuk diagonal sekunder dan dua produk elemen yang membentuk segitiga dengan sisi-sisi yang sejajar dengan diagonal sekunder.

Kosinus arah vektor.

Kosinus arah dari vektor a adalah kosinus sudut-sudut yang dibentuk oleh vektor dengan semi-sumbu positif koordinat.

Untuk menemukan arah cosinus dari vektor a, perlu untuk membagi koordinat yang sesuai dari vektor dengan modul vektor.

Properti: Jumlah kuadrat dari cosinus arah sama dengan satu.

Jadi dalam kasus masalah pesawat cosinus arah dari vektor a = (ax; ay) ditemukan dengan rumus:

Contoh menghitung arah cosinus suatu vektor:

Tentukan arah cosinus dari vektor a = (3; 4).

Solusi: |a| =

Jadi di kasus masalah spasial cosinus arah dari vektor a = (ax; ay; az) ditemukan dengan rumus:

Contoh menghitung arah cosinus suatu vektor

Tentukan arah cosinus dari vektor a = (2; 4; 4).

Solusi: |a| =

"Cara mencari cosinus arah suatu vektor"

Dilambangkan dengan alfa, beta dan gamma sudut yang dibentuk oleh vektor a dengan arah sumbu koordinat positif (lihat Gambar 1). Kosinus sudut-sudut ini disebut cosinus arah dari vektor a.

Karena koordinat a dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian sama dengan proyeksi vektor ke sumbu koordinat, maka a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Jadi: cos (alfa)=a1||a|, cos(beta)=a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Selain itu, |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Jadi cos(alfa)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Perlu dicatat properti utama dari arah cosinus. Jumlah kuadrat dari cosinus arah vektor sama dengan satu. Memang, cos^2(alfa)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Cara pertama

Contoh: diberikan: vektor a=(1, 3, 5). Cari cosinus arahnya. Keputusan. Sesuai dengan apa yang kami temukan, kami menulis: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. Jadi, jawabannya dapat ditulis dalam bentuk berikut: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0.16; 0.5; 0.84).

Cara kedua

Saat menemukan arah cosinus dari vektor a, Anda dapat menggunakan teknik untuk menentukan cosinus sudut menggunakan produk skalar. Dalam hal ini, yang kami maksud adalah sudut antara a dan vektor satuan arah dari koordinat kartesius persegi panjang i, j, dan k. Koordinatnya masing-masing adalah (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Harus diingat bahwa produk skalar vektor didefinisikan sebagai berikut.

Jika sudut antara vektor adalah , maka produk skalar dua angin (menurut definisi) adalah angka yang sama dengan produk modul vektor dengan cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Kemudian, jika b=i, maka (a, i) = |a||i|cos(alfa), atau a1 = |a|cos(alfa). Selanjutnya, semua tindakan dilakukan mirip dengan metode 1, dengan mempertimbangkan koordinat j dan k.

ini adalah kosinus sudut yang dibuat vektor dengan semi-sumbu koordinat positif. Kosinus arah secara unik menentukan arah vektor. Jika sebuah vektor memiliki panjang 1, maka cosinus arahnya sama dengan koordinatnya. Secara umum, untuk vektor dengan koordinat ( sebuah; b; c) cosinus arah sama:

di mana a, b, g adalah sudut yang dibentuk oleh vektor dengan sumbu x, kamu, z masing-masing.

21) Penguraian vektor dalam bentuk vektor. Orth dari sumbu koordinat dilambangkan dengan , sumbu - oleh , sumbu - oleh (Gbr. 1).

Untuk setiap vektor yang terletak pada bidang, dekomposisi berikut terjadi:

Jika vektor terletak di luar angkasa, maka pemuaian dalam satuan vektor sumbu koordinat berbentuk:

22)Produk titik dua vektor bukan nol dan bilangan yang sama dengan produk dari panjang vektor-vektor ini dan kosinus sudut di antara mereka disebut:

23) Sudut antara dua vektor

Jika sudut antara dua vektor lancip, maka hasil kali titiknya positif; jika sudut antara vektor-vektor tersebut tumpul, maka hasil kali skalar dari vektor-vektor tersebut adalah negatif. Produk skalar dari dua vektor bukan nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor ini ortogonal.

24) Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua vektor.

Syarat tegak lurus vektor
Vektor tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali dalamnya adalah nol. Dua vektor a(xa;ya) dan b(xb;yb) diberikan. Vektor-vektor ini akan tegak lurus jika ekspresi xaxb + yayb = 0.

25) Produk vektor dari dua vektor.

Perkalian vektor dari dua vektor tak segaris adalah vektor c=a×b yang memenuhi kondisi berikut: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Vektor a, b, c membentuk segitiga siku-siku dari vektor.

26) Vektor collinear dan coplanar..

Vektor adalah collinear jika absis vektor pertama berhubungan dengan absis vektor kedua dengan cara yang sama seperti ordinat yang pertama dengan ordinat kedua. Dua vektor diberikan sebuah (xa;ya) dan b (xb;yb). Vektor-vektor ini kolinear jika x a = xb dan y a = yb, di mana R.

Vektor → sebuah,−→b dan → c ditelepon sebidang jika ada bidang yang sejajar.

27) Produk campuran dari tiga vektor. Produk campuran dari vektor- hasil kali skalar dari vektor a dan hasil kali vektor dari vektor b dan c. Tentukan hasil kali campuran dari vektor a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Keputusan:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Jarak antara dua titik pada bidang datar. Jarak antara dua titik yang diberikan sama dengan akar kuadrat dari jumlah selisih kuadrat dari koordinat yang sama dari titik-titik ini.

29) Pembagian segmen dalam hal ini. Jika titik M(x; y) terletak pada garis lurus yang melalui dua titik yang diberikan ( , ) dan ( , ), dan diberikan relasi dimana titik M membagi ruas , maka koordinat titik M ditentukan dengan rumus

Jika titik M adalah titik tengah segmen, maka koordinatnya ditentukan oleh rumus:

30-31. Kemiringan garis lurus disebut tangen kemiringan garis lurus ini. Kemiringan garis lurus biasanya dilambangkan dengan huruf k. Kemudian menurut definisi

Persamaan Garis dengan Kemiringan memiliki bentuk dimana k- koefisien sudut garis lurus, b adalah beberapa bilangan real. Persamaan garis lurus dengan kemiringan dapat mengatur setiap garis lurus yang tidak sejajar dengan sumbu Oy(untuk garis lurus yang sejajar dengan sumbu y, kemiringannya tidak ditentukan).

33. Persamaan umum garis lurus pada bidang. Ketik persamaan ada persamaan umum garis lurus oxy. Bergantung pada nilai konstanta A, B dan C, kasus khusus berikut dimungkinkan:

C \u003d 0, A 0, B 0 - garis melewati titik asal

A \u003d 0, B 0, C 0 (Oleh + C \u003d 0) - garis sejajar dengan sumbu Ox

B \u003d 0, A 0, C 0 ( Ax + C \u003d 0) - garis sejajar dengan sumbu Oy

B \u003d C \u003d 0, A 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Oy

A \u003d C \u003d 0, B 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Ox

34.Persamaan garis lurus dalam segmen pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang oxy memiliki bentuk dimana sebuah dan b adalah beberapa bilangan real bukan nol. Nama ini tidak disengaja, karena nilai mutlak angka sebuah dan b sama dengan panjang segmen yang dipotong oleh garis lurus pada sumbu koordinat Sapi dan Oy masing-masing (segmen dihitung dari asal). Dengan demikian, persamaan garis lurus dalam segmen memudahkan untuk membangun garis lurus ini dalam sebuah gambar. Untuk melakukan ini, tandai titik dengan koordinat dan dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang, dan gunakan penggaris untuk menghubungkannya dengan garis lurus.

35. Persamaan normal garis lurus berbentuk

di mana jarak dari garis lurus ke titik asal; adalah sudut antara garis normal dengan sumbu.

Persamaan normal dapat diperoleh dari persamaan umum (1) dengan mengalikannya dengan faktor normalisasi , tanda berlawanan dengan tanda , sehingga .

Kosinus sudut antara garis dan sumbu koordinat disebut cosinus arah, adalah sudut antara garis dan sumbu, antara garis dan sumbu:

Dengan demikian, persamaan normal dapat ditulis sebagai

Jarak dari titik lurus ditentukan oleh rumus

36. Jarak antara titik dan garis dihitung dengan rumus berikut:

di mana x 0 dan y 0 adalah koordinat titik, dan A, B dan C adalah koefisien dari persamaan umum garis

37. Membawa persamaan umum garis lurus menjadi normal. Persamaan dan bidang dalam konteks ini tidak berbeda satu sama lain dalam hal apa pun selain jumlah suku dalam persamaan dan dimensi ruang. Karena itu, pada awalnya saya akan mengatakan segalanya tentang pesawat, dan pada akhirnya saya akan membuat reservasi tentang garis lurus.
Biarkan persamaan umum bidang diberikan: Ax + By + Cz + D = 0.
;. kita mendapatkan sistemnya: g;Mc=cosb, MB=cosaMari kita bawa ke bentuk normal. Untuk melakukan ini, kami mengalikan kedua bagian persamaan dengan faktor normalisasi M. Kami mendapatkan: Max + Mvu + MSz + MD = 0. Dalam hal ini, =cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa kita mendapatkan sistemnya:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Menambahkan semua persamaan sistem, kita mendapatkan M*(A2 + B2 + C2) = 1 Sekarang tinggal menyatakan M dari sini untuk mengetahui dengan faktor normalisasi mana persamaan umum asli harus dikalikan agar menjadi normal membentuk:
M \u003d - + 1 / ROOT KV A2 + B2 + C2
MD harus selalu lebih kecil dari nol, oleh karena itu tanda bilangan M diambil berlawanan dengan tanda bilangan D.
Dengan persamaan garis lurus, semuanya sama, hanya istilah C2 yang harus dihilangkan dari rumus untuk M.

38.Persamaan umum bidang dalam ruang disebut persamaan bentuk

di mana A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

Dalam ruang tiga dimensi dalam sistem koordinat Cartesian, setiap bidang dijelaskan oleh persamaan derajat 1 (persamaan linier). Sebaliknya, setiap persamaan linier mendefinisikan sebuah bidang.

40.Persamaan bidang dalam segmen. Dalam sistem koordinat persegi panjang oxyz dalam ruang tiga dimensi, persamaan bentuk , di mana sebuah, b dan c bilangan real selain nol disebut persamaan bidang dalam segmen. Nilai mutlak angka sebuah, b dan c sama dengan panjang segmen yang dipotong pesawat pada sumbu koordinat Sapi, Oy dan Ons masing-masing, menghitung dari asal. Tanda Nomor sebuah, b dan c menunjukkan ke arah mana (positif atau negatif) segmen diplot pada sumbu koordinat

41) Persamaan normal pesawat.

Persamaan normal bidang adalah persamaannya, ditulis dalam bentuk

di mana , , adalah cosinus arah dari normal bidang, e

p adalah jarak dari titik asal ke bidang. Saat menghitung arah cosinus dari normal, harus dipertimbangkan bahwa itu diarahkan dari titik asal ke bidang (jika bidang melewati titik asal, maka pilihan arah positif dari normal adalah acuh tak acuh).

42) Jarak dari suatu titik ke bidang.Biarkan pesawat diberikan oleh persamaan dan diberi poin. Kemudian jarak dari suatu titik ke bidang ditentukan oleh rumus

Bukti. Jarak dari suatu titik ke bidang, menurut definisi, adalah panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik ke bidang

Sudut antar bidang

Biarkan pesawat dan diberikan oleh persamaan dan , Masing-masing. Diperlukan untuk menemukan sudut antara bidang-bidang ini.

Bidang-bidang, berpotongan, membentuk empat sudut dihedral: dua tumpul dan dua lancip atau empat lurus, dan kedua sudut tumpul sama satu sama lain, dan keduanya lancip juga sama besar. Kami akan selalu mencari sudut lancip. Untuk menentukan nilainya, kami mengambil titik pada garis perpotongan bidang dan pada titik ini di masing-masing

pesawat kita menggambar tegak lurus terhadap garis persimpangan.

Properti:

cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1

b) definisi operasi linier

jumlah dari dua vektor non-kolinier dan disebut vektor yang berasal dari asal yang sama dari vektor-vektor sepanjang diagonal jajaran genjang yang dibangun di atas vektor-vektor ini

Selisih vektor dan disebut jumlah dari vektor dan vektor yang berlawanan dengan vektor: . Hubungkan awal vektor dan , maka vektor diarahkan dari ujung vektor ke ujung vektor .

kerja vektor ke nomor disebut vektor dengan modul , dan untuk dan untuk . Secara geometris, perkalian dengan angka berarti "mengulurkan" vektor dengan faktor 1, sambil menjaga arah di dan mengubah ke yang berlawanan di .

Dari aturan di atas untuk menjumlahkan vektor dan mengalikannya dengan angka, berikut adalah pernyataan yang jelas:

1. (penjumlahan bersifat komutatif);

2. (penambahan bersifat asosiatif);

3. (keberadaan vektor nol);

4. (keberadaan vektor yang berlawanan);

5. (penambahan bersifat asosiatif);

6. (perkalian dengan suatu bilangan bersifat distributif);

7. (penambahan vektor bersifat distributif);

c) produk skalar dan sifat-sifat utamanya

Produk titik dari dua vektor bukan nol disebut bilangan yang sama dengan produk dari panjang vektor-vektor ini dan kosinus sudut di antara mereka. Jika setidaknya salah satu dari dua vektor adalah nol, maka sudut di antara mereka tidak ditentukan, dan produk skalar dianggap nol. Produk skalar vektor dan dilambangkan

, Dimana dan adalah panjang vektor dan masing-masing, dan adalah sudut antara vektor dan .

Hasil kali skalar dari suatu vektor dengan dirinya sendiri disebut bujur sangkar titik.

Sifat-sifat produk skalar.

Untuk sembarang vektor dan berikut ini benar: sifat produk titik:

sifat komutatif produk skalar;

sifat distributif atau ;

sifat asosiatif atau , di mana adalah bilangan real arbitrer;

kuadrat skalar suatu vektor selalu non-negatif, dan jika dan hanya jika vektor tersebut nol.

D) produk vektor dan sifat-sifatnya

produk vektor vektor a ke vektor b disebut vektor c, yang panjangnya secara numerik sama dengan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor a dan b, tegak lurus terhadap bidang vektor-vektor ini dan diarahkan sehingga rotasi terkecil dari a ke b sekitar vektor c berlawanan arah jarum jam, jika dilihat dari ujung vektor c

Rumus untuk menghitung perkalian silang vektor

produk vektor dua buah vektor a = (a x ; a y ; a z ) dan b = (b x ; b y ; b z ) dalam koordinat kartesius adalah vektor yang nilainya dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

• Perkalian silang dua vektor tak nol a dan b adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut kolinear.
• Vektor c, yang sama dengan perkalian silang dari vektor-vektor tak-nol a dan b, tegak lurus terhadap vektor-vektor ini.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Persamaan garis lurus pada bidang

A) persamaan garis lurus dengan kemiringan

Kemiringan garis lurus disebut tangen kemiringan garis lurus ini.

Kemiringan garis lurus biasanya dilambangkan dengan huruf k. Kemudian menurut definisi.

Jika garis sejajar dengan sumbu y, maka kemiringan tidak ada (dalam hal ini, kemiringan juga dikatakan menuju tak hingga).

Kemiringan positif suatu garis lurus menunjukkan peningkatan grafik fungsinya, kemiringan negatif menunjukkan penurunan. Persamaan garis lurus dengan kemiringan memiliki bentuk y=kx+b, di mana k adalah kemiringan garis, b adalah beberapa bilangan real. Persamaan garis lurus dengan kemiringan dapat menentukan garis lurus apa pun yang tidak sejajar dengan sumbu Oy (untuk garis lurus yang sejajar dengan sumbu y, kemiringan tidak ditentukan).

B) jenis persamaan garis lurus

persamaan ditelepon persamaan umum garis lurus di permukaan.

Setiap persamaan derajat pertama dengan dua variabel x dan kamu jenis , di mana TETAPI, PADA dan Dengan adalah beberapa bilangan real, dan TETAPI dan PADA secara bersamaan tidak sama dengan nol, mendefinisikan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang oxy pada bidang, dan setiap garis lurus pada bidang diberikan oleh persamaan bentuk .

Persamaan garis lurus , dimana sebuah dan b beberapa bilangan real selain nol disebut persamaan garis lurus dalam segmen. Nama ini tidak disengaja, karena nilai mutlak angka sebuah dan b sama dengan panjang segmen yang dipotong oleh garis lurus pada sumbu koordinat Sapi dan Oy masing-masing (segmen dihitung dari asal).

Persamaan garis lurus , dimana x dan kamu adalah variabel, dan k dan b adalah beberapa bilangan real, yang disebut persamaan garis lurus dengan kemiringan (k- koefisien sudut)

Persamaan kanonik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang oxy memiliki bentuk , di mana dan adalah beberapa bilangan real, dan dan tidak sama dengan nol pada waktu yang sama.

Jelas bahwa garis lurus, yang ditentukan oleh persamaan kanonik garis lurus, melewati titik. Pada gilirannya, angka dan , berdiri di penyebut pecahan, adalah koordinat vektor pengarah garis ini. Jadi, persamaan kanonik garis dalam sistem koordinat persegi panjang oxy pada bidang sesuai dengan garis lurus yang melalui titik dan memiliki vektor arah .

Persamaan parametrik garis lurus pada bidang terlihat seperti , di mana dan adalah beberapa bilangan real, dan dan tidak sama dengan nol pada saat yang sama, dan merupakan parameter yang mengambil nilai real apa pun.

Persamaan parametrik garis lurus membentuk hubungan implisit antara absis dan ordinat titik-titik garis lurus menggunakan parameter (karenanya nama jenis persamaan garis lurus ini).

Sepasang angka , yang dihitung dengan persamaan parametrik garis lurus untuk beberapa nilai nyata dari parameter , adalah koordinat beberapa titik pada garis lurus. Misalnya, ketika kita memiliki , yaitu, titik dengan koordinat terletak pada garis lurus.

Perlu dicatat bahwa koefisien dan pada parameter dalam persamaan parametrik garis lurus adalah koordinat vektor pengarah garis lurus ini.

Persamaan garis yang melalui dua titik

Misalkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, pembilang yang sesuai harus sama dengan nol.Pada bidang datar, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1 x 2 dan x = x 1 jika x 1 = x 2.

Pecahan = k disebut faktor kemiringan lurus.

C) menghitung sudut antara dua garis

jika dua garis diberikan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , maka sudut lancip antara garis-garis ini akan didefinisikan sebagai

.

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2 . Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/ k 2 .

Dalil. Garis lurus Ax + Vy + C \u003d 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar ketika koefisien A 1 \u003d A, B 1 \u003d B proporsional. Jika juga 1 = , maka garis-garisnya berimpit. Koordinat titik potong dua garis ditemukan sebagai solusi sistem persamaan garis-garis ini.

D) kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis

Syarat paralelisme dua garis:

a) Jika garis diberikan oleh persamaan dengan kemiringan, maka kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelismenya adalah persamaan kemiringannya:

k 1 = k 2 .

b) Untuk kasus ketika garis diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum (6), kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelismenya adalah bahwa koefisien pada koordinat arus yang sesuai dalam persamaannya adalah proporsional, yaitu.

Syarat tegak lurus dua garis :

a) Dalam kasus ketika garis diberikan oleh persamaan (4) dengan kemiringan, kondisi yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurusnya adalah bahwa kemiringannya adalah kebalikan besarnya dan berlawanan tanda, yaitu.

Kondisi ini juga dapat ditulis dalam bentuk

k 1 k 2 = -1.

b) Jika persamaan garis lurus diberikan dalam bentuk umum (6), maka syarat tegak lurusnya (perlu dan cukup) memenuhi persamaan

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Batas fungsi

A) batas urutan

Konsep batas digunakan oleh Newton pada paruh kedua abad ke-17 dan oleh matematikawan abad ke-18, seperti Euler dan Lagrange, tetapi mereka memahami batas secara intuitif. Definisi ketat pertama dari limit barisan diberikan oleh Bolzano pada tahun 1816 dan oleh Cauchy pada tahun 1821.

Nomor tersebut disebut batas barisan numerik, jika barisannya sangat kecil, yaitu, semua elemennya, mulai dari beberapa, lebih kecil dari bilangan positif mana pun yang diambil sebelumnya.

Suatu barisan bilangan yang mempunyai limit berupa bilangan real disebut konvergen ke nomor ini. Jika tidak, urutannya disebut berbeda . Selain itu, jika tidak terbatas, maka batasnya dianggap sama dengan tak terhingga.

Selain itu, jika semua elemen dari suatu barisan tak berbatas, mulai dari suatu bilangan, bertanda positif, maka kita katakan bahwa limit barisan tersebut sama dengan ditambah tak terhingga .

Jika unsur-unsur barisan tak berhingga mulai dari suatu bilangan bertanda negatif, maka dikatakan bahwa limit barisan tersebut sama dengan dikurangi tak terhingga .

B) batas fungsi

Batas fungsi (batas fungsi) pada suatu titik tertentu, yang membatasi domain definisi suatu fungsi, adalah suatu nilai di mana nilai fungsi yang dipertimbangkan cenderung ketika argumennya cenderung ke suatu titik tertentu.

Batas fungsi adalah generalisasi dari konsep limit barisan: awalnya limit suatu fungsi di suatu titik dipahami sebagai limit barisan elemen dari range fungsi, yang tersusun dari gambar titik-titik dari barisan elemen dari domain fungsi, konvergen ke titik tertentu (batas yang dipertimbangkan); jika limit tersebut ada, maka fungsi tersebut dikatakan konvergen ke nilai yang ditentukan; jika limit tersebut tidak ada, maka fungsi tersebut dikatakan divergen.

Batas fungsi- salah satu konsep dasar analisis matematika. Nilai tersebut disebut membatasi (nilai batas) dari suatu fungsi di suatu titik , jika untuk sembarang urutan titik yang konvergen ke , tetapi tidak mengandung sebagai salah satu elemennya (yaitu, di lingkungan yang terputus ), urutan nilai fungsi konvergen ke .

Nilai tersebut disebut membatasi (nilai batas) dari suatu fungsi di titik , jika untuk sembarang bilangan positif yang diambil sebelumnya ada bilangan positif yang bersesuaian dengannya sehingga untuk semua argumen yang memenuhi kondisi , pertidaksamaan terpenuhi.

C) dua batas yang luar biasa

· Batas luar biasa pertama:

Konsekuensi

·

·

·

· Batas luar biasa kedua:

Konsekuensi

1.

2.

3.

4.

5. untuk ,

6.

D) fungsi sangat kecil dan besar tak terhingga

Fungsi y=f(x) ditelepon kecil sekali pada x→a atau kapan x→∞ jika atau , mis. Fungsi infinitesimal adalah fungsi yang limitnya pada suatu titik tertentu adalah nol.

jika fungsi y=f(x) dapat diwakili di x→a sebagai jumlah dari bilangan konstan b dan sangat kecil (x): f(x)=b+ (x) kemudian .

Sebaliknya, jika , maka f(x)=b+α(x), di mana kapak) sangat kecil di x→a.

Konsekuensi 1. Jika dan , maka .

Konsekuensi 2. Jika c= konstan, maka .

Jika fungsi f(x) besar tak terhingga di x→a, maka fungsi 1 /f(x) sangat kecil di x→a.

Jika fungsi f(x)- sangat kecil di x→a(atau x→) dan tidak lenyap, maka y= 1/f(x) adalah fungsi tak terhingga. sifat paling sederhana dari fungsi tak hingga kecil dan tak hingga besar dapat ditulis menggunakan hubungan kondisional berikut: A≠ 0

D) pengungkapan ketidakpastian. Aturan L'Hopital

jenis utama ketidakpastian: nol dibagi nol ( 0 sampai 0), tak terhingga dibagi tak terhingga, nol kali tak terhingga, tak terhingga dikurangi tak terhingga, satu pangkat tak terhingga, nol pangkat nol, tak terhingga pangkat nol.

Aturan L'Hopital sangat banyak digunakan untuk batas perhitungan ketika ada ketidakpastian bentuk nol dibagi nol, tak terhingga dibagi tak terhingga.

Jenis ketidakpastian ini dikurangi menjadi nol kali tak terhingga dan tak terhingga dikurangi tak terhingga.

Jika dan jika fungsi f(x) dan g(x) terdiferensialkan di sekitar titik , maka

Dalam hal ketidakpastian tidak hilang setelah menerapkan aturan L'Hopital, maka dapat diterapkan lagi.

Perhitungan turunan

A) aturan diferensiasi fungsi kompleks

Biarkan adalah fungsi kompleks , di mana fungsinya adalah argumen perantara. Mari kita tunjukkan bagaimana menemukan turunan dari fungsi kompleks, mengetahui turunan untuk fungsi (kita akan menyatakannya dengan ) dan turunan untuk fungsi .

Teorema 1. Jika suatu fungsi memiliki turunan di suatu titik x, dan fungsi memiliki turunan di titik (), maka fungsi kompleks di titik x memiliki turunan , dan = .

Jika tidak, turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi yang diberikan sehubungan dengan argumen antara dengan turunan dari argumen antara.

B) diferensiasi fungsi yang diberikan secara parametrik

Biarkan fungsi diberikan dalam bentuk parametrik, yaitu dalam bentuk:

di mana fungsi dan didefinisikan dan kontinu selama interval tertentu dari parameter . Mari kita cari perbedaan dari bagian kanan dan kiri dari masing-masing persamaan:

Untuk menemukan turunan kedua, kami melakukan transformasi berikut:

C) konsep turunan logaritmik dari suatu fungsi

Turunan logaritmik dari fungsi positif disebut turunan. Karena , maka, menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, kita memperoleh hubungan berikut untuk turunan logaritmik:

.

Dengan menggunakan turunan logaritma, akan lebih mudah untuk menghitung turunan biasa dalam kasus di mana logaritma menyederhanakan bentuk fungsi.

Inti dari diferensiasi tersebut adalah sebagai berikut: pertama, logaritma dari fungsi yang diberikan ditemukan, dan baru kemudian turunannya dihitung darinya. Biarkan beberapa fungsi diberikan. Kami mengambil logaritma dari sisi kiri dan kanan dari ekspresi ini:

Dan kemudian, mengekspresikan turunan yang diinginkan, sebagai hasilnya kami memiliki:

D) turunan dari fungsi terbalik

Jika y=f(x) dan x=g(y) adalah pasangan fungsi yang saling invers, dan fungsi y=f(x) memiliki turunan f"(x), maka turunan dari fungsi invers g"( x)=1/f" (x).

Dengan demikian, turunan dari fungsi yang saling invers adalah resiprokal. Rumus turunan dari fungsi invers:

E) turunan dari fungsi implisit

Jika fungsi satu variabel dijelaskan oleh persamaan kamu=f(x), di mana variabel kamu ada di sisi kiri, sedangkan sisi kanan hanya bergantung pada argumen x, maka kita mengatakan bahwa fungsi diberikan secara eksplisit. Misalnya, fungsi berikut secara eksplisit didefinisikan:

kamu=sin x,kamu=x 2+2x+5,kamu= lncos x.

Namun, dalam banyak tugas, fungsi dapat diberikan secara implisit, yaitu dalam bentuk persamaan

F(x,kamu)=0.

untuk mencari turunan kamu′( x) dari fungsi yang didefinisikan secara implisit, tidak perlu mengubahnya menjadi bentuk eksplisit. Untuk ini, mengetahui persamaan F(x,kamu)=0, lakukan saja hal berikut:

Pertama, Anda perlu membedakan kedua sisi persamaan sehubungan dengan variabel x, berasumsi bahwa kamu adalah fungsi yang dapat diturunkan x dan menggunakan aturan untuk menghitung turunan dari fungsi kompleks. Dalam hal ini, turunan dari nol (di ruas kanan) juga akan sama dengan nol.
Komentar: Jika ruas kanan bukan nol, mis. persamaan implisit memiliki bentuk

f(x,kamu)=g(x,kamu),

kemudian kita bedakan ruas kiri dan ruas kanan persamaan.

Selesaikan persamaan yang dihasilkan sehubungan dengan turunan kamu′( x).

Konsep turunan

A) definisi turunan

turunan fungsi diferensiasi integrasi.

kamu xx

Definisi Turunan

Pertimbangkan fungsinya f(x x 0. Maka fungsi f(x) adalah dapat dibedakan pada intinya x 0 dan dia turunan ditentukan oleh rumus

f′( x 0)=limΔ x→0Δ kamuΔ x=lim x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

turunan fungsi- salah satu konsep dasar matematika, dan dalam analisis matematika, turunan, bersama dengan integral, menempati tempat sentral. Proses mencari turunan disebut diferensiasi. Operasi terbalik - pemulihan fungsi dari turunan yang diketahui - disebut integrasi.

Turunan suatu fungsi pada suatu titik mencirikan laju perubahan fungsi pada titik tersebut. Estimasi laju perubahan dapat diperoleh dengan menghitung rasio perubahan fungsi kamu dengan perubahan yang sesuai dalam argumen x. Dalam definisi turunan, rasio tersebut dianggap dalam limit dalam kondisi x→0. Mari kita beralih ke formulasi yang lebih ketat:

Definisi Turunan

Pertimbangkan fungsinya f(x), yang domainnya berisi beberapa interval terbuka di sekitar titik x 0. Maka fungsi f(x) adalah dapat dibedakan pada intinya x 0 dan dia turunan ditentukan oleh rumus

f′( x 0)=limΔ x→0Δ kamuΔ x=lim x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

B) arti geometris dari turunan

Turunan fungsi yang dihitung untuk nilai yang diberikan sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh arah positif sumbu dan arah positif garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi ini pada titik dengan absis:

Jika suatu fungsi memiliki turunan hingga di suatu titik, maka dalam suatu lingkungan dapat didekati dengan fungsi linier

Fungsi tersebut disebut garis singgung pada titik Bilangan.

D) tabel turunan dari fungsi dasar yang paling sederhana

def. 1.5.6. Kosinus arah vektor sebuah mari kita sebut kosinus dari sudut-sudut yang dibentuk oleh vektor ini dengan vektor-vektor dasar, masing-masing, saya , j , k .

Kosinus arah vektor sebuah = (X, pada, z) ditemukan dengan rumus:

Jumlah kuadrat dari cosinus arah sama dengan satu:

Kosinus arah vektor sebuah adalah koordinat orthnya: .

Biarkan vektor dasar saya , j , k ditarik dari titik yang sama HAI. Kami akan berasumsi bahwa orts mengatur arah positif dari sumbu Oh, OU, Ons. pengumpulan poin HAI (asal) dan basis ortonormal saya , j , k ditelepon Sistem koordinat persegi panjang Cartesian di ruang angkasa. Biarlah TETAPI adalah titik sembarang dalam ruang. vektor sebuah = OA= x saya + kamu j + z k ditelepon vektor radius poin TETAPI, koordinat vektor ini ( x, kamu, z) juga disebut koordinat titik TETAPI(simbol: TETAPI(x, kamu, z)). sumbu koordinat Oh, OU, Ons juga disebut, masing-masing, sumbu absis, sumbu ordinat, sumbu melamar.

Jika vektor diberikan oleh koordinat titik awalnya PADA 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) dan titik akhir PADA 2 (x 2 , kamu 2 , z 2), maka koordinat vektor sama dengan selisih koordinat akhir dan awal: (karena ).

Sistem koordinat persegi panjang Cartesian pada bidang dan garis didefinisikan dengan cara yang persis sama dengan perubahan kuantitatif (menurut dimensi) yang sesuai.

Solusi dari tugas-tugas khas.

Contoh 1 Tentukan panjang dan arah cosinus suatu vektor sebuah = 6saya – 2j -3k .

Keputusan. Panjang vektor: . Kosinus arah: .

Contoh 2 Temukan koordinat vektor sebuah , membentuk sudut lancip yang sama dengan sumbu koordinat, jika panjang vektor ini sama dengan .

Keputusan. Karena , maka substitusikan ke rumus (1.6), kita peroleh . vektor sebuah membentuk sudut lancip dengan sumbu koordinat, sehingga ortho . Oleh karena itu, kami menemukan koordinat vektor .

Contoh 3 Tiga vektor non-coplanar diberikan e 1 = 2saya – k , e 2 = 3saya + 3j , e 3 = 2saya + 3k . Dekomposisi Vektor d = saya + 5j - 2k dasar e 1 , e 2 , e 3 .