Persamaan ege paling sederhana. GUNAKAN tugas: memecahkan persamaan sederhana

Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk keberhasilan ujian matematika dengan 60-65 poin. Sepenuhnya semua tugas 1-13 dari Profil GUNAKAN dalam matematika. Juga cocok untuk lulus PENGGUNAAN Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus ujian dengan 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan untuk ujian untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 ujian matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa seratus poin maupun seorang humanis tidak dapat melakukannya tanpa mereka.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan, dan rahasia ujian. Semua tugas yang relevan bagian 1 dari tugas Bank FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya sesuai dengan persyaratan USE-2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas ujian. Masalah teks dan teori probabilitas. Algoritma pemecahan masalah yang sederhana dan mudah diingat. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Trik licik untuk memecahkan, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal - ke tugas 13. Memahami alih-alih menjejalkan. Penjelasan visual dari konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks dari bagian ke-2 ujian.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja ketika Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Persamaan, bagian $C$

Persamaan yang mengandung bilangan yang tidak diketahui, dilambangkan dengan huruf, disebut persamaan. Ekspresi di sebelah kiri tanda sama dengan disebut ruas kiri persamaan, dan persamaan di sebelah kanan disebut ruas kanan persamaan.

Skema untuk memecahkan persamaan kompleks:

Sebelum menyelesaikan persamaan, perlu untuk menuliskan luas nilai yang dapat diterima (ODV) untuk itu.
Memecahkan persamaan.
Pilih dari akar persamaan yang diperoleh yang memenuhi ODZ.

ODZ dari berbagai ekspresi (di bawah ekspresi kita akan memahami catatan alfanumerik):

1. Ekspresi dalam penyebut tidak boleh sama dengan nol.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Ekspresi akar tidak boleh negatif.

$√(g(x)); g(x) 0$.

3. Ekspresi radikal dalam penyebut harus positif.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$

4. Untuk logaritma: ekspresi sublogaritma harus positif; dasar harus positif; dasar tidak boleh sama dengan satu.

$log_(f(x))g(x)\table\(\ g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan dalam bentuk $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, di mana $a$ adalah bilangan positif yang berbeda dari $1$, dan persamaan yang diturunkan ke bentuk ini.

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma, Anda perlu mengetahui sifat-sifat logaritma: kita akan mempertimbangkan semua sifat logaritma untuk $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ - bilangan real apa pun.

1. Untuk sembarang bilangan real $m$ dan $n$ persamaannya benar:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma pada basis yang sama dari setiap faktor.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Logaritma hasil bagi sama dengan selisih antara logaritma pembilang dan penyebut dengan basis yang sama

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Saat mengalikan dua logaritma, Anda dapat menukar basisnya

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$ jika $a, b, c$ dan $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, di mana $a, b, c > 0, a≠1$

6. Rumus untuk pindah ke dasar baru

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Khususnya, jika perlu untuk menukar basis dan ekspresi sublogaritma

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Ada beberapa jenis utama persamaan logaritma:

Persamaan logaritma paling sederhana: $log_(a)x=b$. Penyelesaian dari persamaan jenis ini mengikuti dari definisi logaritma, yaitu. $x=a^b$ dan $x > 0$

Mari kita nyatakan kedua ruas persamaan dalam bentuk logaritma dengan basis $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Jika logaritma sama pada basis yang sama, maka ekspresi sublogaritma juga sama.

Jawaban: $x = $8

Persamaan bentuk: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Karena basisnya sama, maka kita menyamakan ekspresi sublogaritma dan memperhitungkan ODZ:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, a > 0, a≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Karena basisnya sama, maka kita samakan ekspresi sublogaritmanya

Kami mentransfer semua istilah ke sisi kiri persamaan dan memberikan istilah yang serupa

Mari kita periksa akar yang ditemukan sesuai dengan kondisi $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Saat mensubstitusi pertidaksamaan kedua, akar $x=4$ tidak memenuhi syarat, oleh karena itu, akar tersebut adalah akar asing

Jawaban: $x=-3$

Metode penggantian variabel.

Dalam metode ini, Anda membutuhkan:

Tulis persamaan ODZ.
Menurut sifat-sifat logaritma, pastikan bahwa logaritma yang sama diperoleh dalam persamaan.
Ganti $log_(a)f(x)$ dengan variabel apa pun.
Selesaikan persamaan untuk variabel baru.
Kembali ke langkah 3, substitusikan nilai alih-alih variabel dan dapatkan persamaan paling sederhana dari bentuk: $log_(a)x=b$
Selesaikan persamaan paling sederhana.
Setelah akar-akar persamaan logaritma ditemukan, maka akar-akar tersebut perlu dimasukkan ke dalam butir 1 dan periksa kondisi ODZ.

Selesaikan persamaan $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Mari kita tulis persamaan ODZ:

$\table\(\ x>0,\text"karena berada di bawah tanda akar dan logaritma";\ √x≠1→x≠1;$

2. Mari kita buat logaritma ke basis $2$, untuk ini kita akan menggunakan aturan transisi ke basis baru pada suku kedua:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Kami mendapatkan persamaan pecahan - rasional sehubungan dengan variabel t

Mari kita kurangi semua suku menjadi penyebut yang sama $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya tidak nol.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Kami memecahkan persamaan kuadrat yang dihasilkan menggunakan teorema Vieta:

6. Mari kembali ke langkah 3, buat substitusi terbalik dan dapatkan dua persamaan logaritma sederhana:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Kami mengambil logaritma dari bagian kanan persamaan

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Persamaan sublogaritma ekspresi

$√x=2$, $√x=4$

Untuk menghilangkan akarnya, kita kuadratkan kedua sisi persamaan

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Mari kita substitusikan akar-akar persamaan logaritma pada butir 1 dan periksa kondisi ODZ.

$\(\table\ 4 >0; \4≠1;$

Akar pertama memenuhi ODZ.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Akar kedua juga memenuhi DDE.

Jawaban: $4; 16$

Persamaan bentuk $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Persamaan tersebut diselesaikan dengan memasukkan variabel baru dan meneruskan ke persamaan kuadrat biasa. Setelah akar persamaan ditemukan, perlu untuk memilihnya dengan mempertimbangkan ODZ.

Persamaan rasional pecahan

Jika pecahan itu nol, maka pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol.
Jika setidaknya satu bagian dari persamaan rasional mengandung pecahan, maka persamaan tersebut disebut rasional fraksional.

Untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional, Anda perlu:

Temukan nilai variabel yang persamaannya tidak masuk akal (ODV)
Temukan penyebut umum dari pecahan yang termasuk dalam persamaan;
Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama;
Memecahkan seluruh persamaan yang dihasilkan;
Kecualikan dari akarnya yang tidak memenuhi kondisi ODZ.

Jika dua pecahan terlibat dalam persamaan dan pembilangnya adalah ekspresi yang sama, maka penyebutnya dapat disamakan satu sama lain dan persamaan yang dihasilkan dapat diselesaikan tanpa memperhatikan pembilangnya. TAPI mengingat ODZ dari seluruh persamaan asli.

persamaan eksponensial

Persamaan eksponensial adalah persamaan di mana yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen.

Saat memecahkan persamaan eksponensial, sifat-sifat kekuatan digunakan, mari kita ingat beberapa di antaranya:

1. Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis tetap sama, dan eksponen ditambahkan.

$a^n a^m=a^(n+m)$

2. Saat membagi derajat dengan alas yang sama, alasnya tetap sama, dan indikatornya dikurangi

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Saat menaikkan derajat ke pangkat, basisnya tetap sama, dan eksponennya dikalikan

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Saat menaikkan produk ke kekuatan, setiap faktor dinaikkan ke kekuatan ini

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Saat menaikkan pecahan ke pangkat, pembilang dan penyebutnya dipangkatkan

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Saat menaikkan basis apa pun ke eksponen nol, hasilnya sama dengan satu

7. Basis dalam eksponen negatif apa pun dapat direpresentasikan sebagai basis dalam eksponen positif yang sama dengan mengubah posisi basis relatif terhadap garis pecahan

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Radikal (akar) dapat direpresentasikan sebagai derajat dengan eksponen pecahan

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Jenis persamaan eksponensial:

1. Persamaan eksponensial sederhana:

a) Bentuk $a^(f(x))=a^(g(x))$, dengan $a >0, a≠1, x$ tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kita menggunakan sifat pangkat: pangkat dengan basis yang sama ($а >0, a≠1$) sama hanya jika pangkatnya sama.

b) Persamaan berbentuk $a^(f(x))=b, b>0$

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, perlu mengambil kedua bagian logaritma di basis $a$, ternyata

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Metode penyesuaian dasar.

3. Metode faktorisasi dan perubahan variabel.

Untuk metode ini, dalam seluruh persamaan, sesuai dengan sifat derajat, derajat perlu diubah menjadi satu bentuk $a^(f(x))$.
Ubah variabel $a^(f(x))=t, t > 0$.
Kami mendapatkan persamaan rasional, yang harus diselesaikan dengan memfaktorkan ekspresi.
Kami membuat substitusi terbalik, dengan mempertimbangkan bahwa $t >

Selesaikan persamaan $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Dengan properti derajat, kami mengubah ekspresi sehingga derajat 2^x diperoleh.

$(2^x)^3-(7 (2^x)^2)/(2)+(7 2^x)/(2-1)=0$

Mari kita ubah variabel $2^x=t; t>0$

Kami mendapatkan persamaan kubik dalam bentuk

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Kalikan seluruh persamaan dengan $2$ untuk menghilangkan penyebutnya

$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Mari kita memperluas sisi kiri persamaan dengan metode pengelompokan

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Kami mengambil faktor persekutuan $2$ dari braket pertama, $7t$ dari braket kedua

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Selain itu, di braket pertama kita melihat rumus untuk perbedaan kubus

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Produknya nol ketika setidaknya salah satu faktornya nol

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Mari selesaikan persamaan pertama

Kami memecahkan persamaan kedua melalui diskriminan

$D=25-4 2 2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

Jawaban: $-1; 0; 1$

4. Metode untuk mengubah persamaan kuadrat

Kami memiliki persamaan bentuk $A·a^(2f(x))+В·a^(f(x))+С=0$, di mana $A, B$ dan $C$ adalah koefisien.
Kami membuat perubahan $a^(f(x))=t, t > 0$.
Ternyata persamaan kuadrat dari bentuk $A·t^2+B·t+С=0$. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan.
Kami membuat substitusi terbalik, dengan mempertimbangkan bahwa $t > 0$. Kami mendapatkan persamaan eksponensial paling sederhana $a^(f(x))=t$, selesaikan dan tulis hasilnya sebagai tanggapan.

Metode pemfaktoran:

Mengambil faktor persekutuan dari kurung.

Untuk memfaktorkan polinomial dengan mengambil faktor persekutuan dari kurung, Anda perlu:

Tentukan faktor persekutuannya.
Bagilah polinomial yang diberikan dengannya.
Tuliskan produk dari faktor persekutuan dan hasil bagi (dengan menyertakan hasil bagi ini dalam tanda kurung).

Faktorkan polinomialnya: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Faktor persekutuan untuk polinomial ini adalah $2a$, karena semua suku habis dibagi $2$ dan "a". Selanjutnya, kami menemukan hasil bagi membagi polinomial asli dengan "2a", kami mendapatkan:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Ini adalah hasil akhir dari faktorisasi.

Penerapan rumus perkalian yang disingkat

1. Kuadrat dari jumlah tersebut didekomposisi menjadi kuadrat dari angka pertama ditambah dua kali hasil kali angka pertama dengan angka kedua dan ditambah kuadrat dari angka kedua.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Kuadrat selisihnya didekomposisi menjadi kuadrat dari bilangan pertama dikurangi dua kali hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kedua dan ditambah kuadrat dari bilangan kedua.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Selisih kuadrat diurai menjadi hasil kali selisih bilangan dan jumlah.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Kubus hasil penjumlahan sama dengan pangkat tiga bilangan pertama ditambah tiga kali kuadrat bilangan pertama dan kedua ditambah tiga kali hasil kali bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua ditambah pangkat tiga bilangan kedua .

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Kubus selisihnya sama dengan pangkat tiga dari bilangan pertama dikurangi tiga kali hasil kali kuadrat bilangan pertama dan kedua, ditambah tiga kali hasil kali bilangan pertama dan kuadrat dari bilangan kedua, dan dikurangi pangkat tiga bilangan kedua.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Jumlah kubus sama dengan hasil kali jumlah bilangan dan kuadrat tidak lengkap selisihnya.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Selisih kubus sama dengan hasil kali selisih bilangan dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah tersebut.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Metode pengelompokan

Metode pengelompokan mudah digunakan ketika perlu memfaktorkan polinomial dengan jumlah suku genap. Dalam metode ini, perlu untuk mengumpulkan suku-suku dalam kelompok dan mengambil faktor persekutuan dari kurung dari setiap kelompok. Beberapa kelompok, setelah ditempatkan dalam tanda kurung, harus mendapatkan ekspresi yang sama, kemudian kami mengambil tanda kurung ini sebagai faktor persekutuan dan mengalikannya dengan tanda kurung dari hasil bagi yang dihasilkan.

Faktorkan polinomial $2a^3-a^2+4a-2$

Untuk memperluas polinomial ini, kami menggunakan metode pengelompokan summand, untuk ini kami mengelompokkan dua suku pertama dan dua terakhir, sementara itu penting untuk menempatkan tanda di depan pengelompokan kedua dengan benar, kami menempatkan tanda + dan karenanya menulis istilah dengan tanda-tanda mereka dalam tanda kurung.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Setelah menghilangkan faktor persekutuan, kami mendapatkan sepasang tanda kurung yang identik. Sekarang kita keluarkan braket ini sebagai faktor persekutuan.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Produk dari kurung ini adalah hasil akhir dari faktorisasi.

Menggunakan rumus trinomial persegi.

Jika ada trinomial persegi berbentuk $ax^2+bx+c$, maka dapat diperluas dengan rumus

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, dengan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar dari trinomial kuadrat