Diskriminan pada nilai negatif. Diskriminan orde tinggi

Dalam masyarakat modern, kemampuan untuk mengoperasikan persamaan yang mengandung variabel kuadrat dapat berguna di banyak bidang kegiatan dan digunakan secara luas dalam praktik dalam perkembangan ilmiah dan teknis. Hal ini dapat dibuktikan dengan desain kapal laut dan sungai, pesawat terbang dan rudal. Dengan bantuan perhitungan seperti itu, lintasan pergerakan berbagai benda, termasuk benda luar angkasa, ditentukan. Contoh Solusi persamaan kuadrat digunakan tidak hanya dalam peramalan ekonomi, dalam desain dan konstruksi bangunan, tetapi juga dalam keadaan sehari-hari yang paling biasa. Mereka mungkin diperlukan dalam perjalanan berkemah, di acara olahraga, di toko saat berbelanja dan dalam situasi umum lainnya.

Mari kita pecahkan ekspresi menjadi faktor komponen

Derajat suatu persamaan ditentukan oleh nilai maksimum dari derajat variabel yang dikandung oleh ekspresi yang diberikan. Jika sama dengan 2, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat.

Jika kita berbicara dalam bahasa rumus, maka ekspresi ini, bagaimanapun bentuknya, selalu dapat dibawa ke bentuk ketika sisi kiri ekspresi terdiri dari tiga istilah. Diantaranya: ax 2 (yaitu, variabel kuadrat dengan koefisiennya), bx (yang tidak diketahui tanpa kuadrat dengan koefisiennya) dan c (komponen bebas, yaitu bilangan biasa). Semua ini di sisi kanan sama dengan 0. Dalam kasus ketika polinomial seperti itu tidak memiliki salah satu suku penyusunnya, dengan pengecualian ax 2, itu disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Contoh pemecahan masalah seperti itu, di mana nilai variabel tidak sulit ditemukan, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika ekspresi terlihat seperti memiliki dua suku di sisi kanan ekspresi, lebih tepatnya ax 2 dan bx, paling mudah untuk menemukan x dengan mengurung variabel. Sekarang persamaan kita akan terlihat seperti ini: x(ax+b). Selanjutnya, menjadi jelas bahwa x=0, atau masalahnya direduksi menjadi menemukan variabel dari ekspresi berikut: ax+b=0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat perkalian. Aturannya mengatakan bahwa produk dari dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satunya nol.

Contoh

x=0 atau 8x - 3 = 0

Hasilnya, kita mendapatkan dua akar persamaan: 0 dan 0,375.

Persamaan semacam ini dapat menggambarkan pergerakan benda di bawah aksi gravitasi, yang mulai bergerak dari titik tertentu, yang diambil sebagai asalnya. Di sini notasi matematika membutuhkan bentuk berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Dengan mengganti nilai-nilai yang diperlukan, menyamakan sisi kanan ke 0 dan menemukan kemungkinan yang tidak diketahui, Anda dapat mengetahui waktu yang berlalu dari saat tubuh naik hingga saat jatuh, serta banyak kuantitas lainnya. Tapi kita akan membicarakan ini nanti.

Memfaktorkan Ekspresi

Aturan yang dijelaskan di atas memungkinkan untuk memecahkan masalah ini dan lebih banyak lagi kasus-kasus sulit. Pertimbangkan contoh dengan solusi persamaan kuadrat jenis ini.

X2 - 33x + 200 = 0

Ini trinomial persegi selesai. Pertama, kami mengubah ekspresi dan menguraikannya menjadi faktor. Ada dua di antaranya: (x-8) dan (x-25) = 0. Hasilnya, kita memiliki dua akar 8 dan 25.

Contoh dengan solusi persamaan kuadrat di kelas 9 memungkinkan metode ini untuk menemukan variabel dalam ekspresi tidak hanya dari yang kedua, tetapi bahkan dari urutan ketiga dan keempat.

Contoh: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ketika memfaktorkan ruas kanan ke dalam faktor dengan variabel, ada tiga di antaranya, yaitu (x + 1), (x-3) dan (x + 3).

Akibatnya, menjadi jelas bahwa persamaan ini memiliki tiga akar: -3; -satu; 3.

Mengekstrak akar kuadrat

Kasus lain persamaan tidak lengkap orde kedua adalah ungkapan yang dinyatakan dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga ruas kanan dibangun dari komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai variabel, istilah bebas ditransfer ke sisi kanan, dan setelah itu, dari kedua bagian persamaan, Akar pangkat dua. Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini biasanya ada dua akar persamaan. Satu-satunya pengecualian adalah persamaan yang tidak mengandung istilah c sama sekali, di mana variabelnya sama dengan nol, serta varian ekspresi ketika sisi kanan ternyata negatif. Dalam kasus terakhir, tidak ada solusi sama sekali, karena tindakan di atas tidak dapat dilakukan dengan root. Contoh solusi untuk persamaan kuadrat jenis ini harus dipertimbangkan.

Dalam hal ini, akar persamaan akan menjadi angka -4 dan 4.

Perhitungan luas tanah

Kebutuhan akan perhitungan semacam ini muncul pada zaman dahulu, karena perkembangan matematika pada masa yang jauh itu sebagian besar disebabkan oleh kebutuhan untuk menentukan luas dan keliling petak-petak tanah dengan akurasi terbesar.

Kita juga harus mempertimbangkan contoh dengan solusi persamaan kuadrat yang disusun berdasarkan masalah semacam ini.

Jadi, misalkan ada sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang panjangnya 16 meter lebih dari lebarnya. Anda harus menemukan panjang, lebar, dan keliling situs, jika diketahui bahwa luasnya adalah 612 m 2.

Turun ke bisnis, pada awalnya kita akan membuat persamaan yang diperlukan. Mari kita nyatakan lebar bagian sebagai x, maka panjangnya akan menjadi (x + 16). Dari apa yang telah ditulis, luas ditentukan oleh ekspresi x (x + 16), yang, menurut kondisi masalah kita, adalah 612. Ini berarti bahwa x (x + 16) \u003d 612.

Solusi persamaan kuadrat lengkap, dan ekspresi ini hanya itu, tidak dapat dilakukan dengan cara yang sama. Mengapa? Meskipun ruas kirinya masih mengandung dua faktor, hasil perkaliannya sama sekali bukan 0, jadi digunakan metode lain di sini.

diskriminatif

Pertama-tama, kita membuat transformasi yang diperlukan, lalu penampilan ekspresi ini akan terlihat seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Ini berarti bahwa kita telah menerima ekspresi dalam bentuk yang sesuai dengan standar yang ditentukan sebelumnya, di mana a=1, b=16, c=-612.

Ini bisa menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadrat melalui diskriminan. Di sini perhitungan yang diperlukan dibuat sesuai dengan skema: D = b 2 - 4ac. Nilai bantu ini tidak hanya memungkinkan untuk menemukan nilai yang diinginkan dalam persamaan orde kedua, tetapi juga menentukan jumlahnya pilihan. Dalam kasus D>0, ada dua di antaranya; untuk D=0 ada satu akar. Dalam kasus D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tentang akar dan formulanya

Dalam kasus kami, diskriminannya adalah: 256 - 4(-612) = 2704. Ini menunjukkan bahwa masalah kami memiliki jawaban. Jika Anda tahu, solusi persamaan kuadrat harus dilanjutkan dengan menggunakan rumus di bawah ini. Ini memungkinkan Anda untuk menghitung akarnya.

Ini berarti bahwa dalam kasus yang disajikan: x 1 =18, x 2 =-34. Opsi kedua dalam dilema ini tidak dapat menjadi solusi, karena ukuran bidang tanah tidak dapat diukur dalam nilai negatif, yang berarti bahwa x (yaitu, lebar bidang) adalah 18 m. Dari sini kami menghitung panjangnya: 18+16=34, dan keliling 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Contoh dan tugas

Kami melanjutkan studi tentang persamaan kuadrat. Contoh dan solusi terperinci dari beberapa di antaranya akan diberikan di bawah ini.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Ayo pindahkan semuanya ke sisi kiri persamaan, kita akan melakukan transformasi, yaitu kita akan memperoleh bentuk persamaan, yang biasa disebut persamaan standar, dan menyamakannya dengan nol.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Setelah menambahkan yang serupa, kami menentukan diskriminan: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Jadi persamaan kami akan memiliki dua akar. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus di atas, yang berarti bahwa yang pertama akan sama dengan 4/3, dan yang kedua 1.

2) Sekarang kami akan mengungkapkan teka-teki dari jenis yang berbeda.

Mari kita cari tahu apakah ada akar x 2 - 4x + 5 = 1 di sini? Untuk mendapatkan jawaban yang lengkap, kami membawa polinomial ke bentuk akrab yang sesuai dan menghitung diskriminan. Dalam contoh ini, tidak perlu menyelesaikan persamaan kuadrat, karena esensi masalahnya sama sekali tidak ada dalam hal ini. Dalam hal ini, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, yang berarti benar-benar tidak ada akar.

teorema Vieta

Lebih mudah untuk memecahkan persamaan kuadrat melalui rumus di atas dan diskriminan, ketika akar kuadrat diekstraksi dari nilai yang terakhir. Tapi ini tidak selalu terjadi. Namun, ada banyak cara untuk mendapatkan nilai variabel dalam kasus ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta. Dinamai setelah seorang pria yang tinggal di Prancis abad ke-16 dan memiliki karir yang cemerlang berkat bakat matematika dan koneksi di pengadilan. Potretnya bisa dilihat di artikel.

Pola yang diperhatikan oleh orang Prancis yang terkenal itu adalah sebagai berikut. Dia membuktikan bahwa jumlah akar persamaan sama dengan -p=b/a, dan hasil kali mereka sesuai dengan q=c/a.

Sekarang mari kita lihat tugas-tugas tertentu.

3x2 + 21x - 54 = 0

Untuk mempermudah, mari kita ubah ekspresinya:

x 2 + 7x - 18 = 0

Menggunakan teorema Vieta, ini akan memberi kita yang berikut: jumlah akarnya adalah -7, dan produknya adalah -18. Dari sini kita mendapatkan bahwa akar persamaannya adalah angka -9 dan 2. Setelah melakukan pemeriksaan, kita akan memastikan bahwa nilai variabel ini benar-benar sesuai dengan ekspresi.

Grafik dan Persamaan Parabola

Konsep fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat terkait erat. Contoh-contoh ini telah diberikan sebelumnya. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematika sedikit lebih detail. Persamaan apa pun dari tipe yang dijelaskan dapat direpresentasikan secara visual. Ketergantungan seperti itu, yang digambarkan dalam bentuk grafik, disebut parabola. Berbagai jenisnya ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Setiap parabola memiliki simpul, yaitu titik dari mana cabang-cabangnya keluar. Jika a>0, mereka menjadi tinggi hingga tak terhingga, dan ketika a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Representasi visual dari fungsi membantu menyelesaikan persamaan apa pun, termasuk persamaan kuadrat. Metode ini disebut grafik. Dan nilai variabel x adalah koordinat absis pada titik-titik perpotongan garis grafik dengan 0x. Koordinat titik dapat ditemukan dengan rumus yang baru saja diberikan x 0 = -b / 2a. Dan, dengan mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan fungsi asli, Anda dapat menemukan y 0, yaitu, koordinat kedua titik parabola yang termasuk dalam sumbu y.

Perpotongan cabang parabola dengan sumbu absis

Ada banyak contoh dengan solusi persamaan kuadrat, tetapi ada juga pola umum. Mari kita pertimbangkan mereka. Jelas bahwa perpotongan grafik dengan sumbu 0x untuk a>0 hanya mungkin jika y 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Dari grafik parabola, Anda juga dapat menentukan akar-akarnya. Kebalikannya juga benar. Artinya, jika tidak mudah untuk mendapatkan representasi visual dari fungsi kuadrat, Anda dapat menyamakan sisi kanan ekspresi menjadi 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Dan mengetahui titik potong dengan sumbu 0x lebih mudah untuk diplot.

Dari sejarah

Dengan bantuan persamaan yang mengandung variabel kuadrat, di masa lalu, tidak hanya melakukan perhitungan matematis dan menentukan luas bentuk geometris. Orang dahulu membutuhkan perhitungan seperti itu untuk penemuan muluk di bidang fisika dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Seperti yang disarankan oleh para ilmuwan modern, penduduk Babel termasuk yang pertama memecahkan persamaan kuadrat. Itu terjadi empat abad sebelum munculnya zaman kita. Tentu saja, perhitungan mereka pada dasarnya berbeda dari yang diterima saat ini dan ternyata jauh lebih primitif. Misalnya, matematikawan Mesopotamia tidak tahu tentang keberadaan bilangan negatif. Mereka juga tidak terbiasa dengan seluk-beluk lain yang diketahui oleh siswa mana pun di zaman kita.

Mungkin bahkan lebih awal dari para ilmuwan Babel, orang bijak dari India, Baudhayama, mengambil solusi persamaan kuadrat. Ini terjadi sekitar delapan abad sebelum munculnya zaman Kristus. Benar, persamaan orde kedua, metode penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling sederhana. Selain dia, matematikawan Cina juga tertarik dengan pertanyaan serupa di masa lalu. Di Eropa, persamaan kuadrat mulai diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudian mereka digunakan dalam pekerjaan mereka oleh para ilmuwan hebat seperti Newton, Descartes, dan banyak lainnya.

Diskriminan, serta persamaan kuadrat, mulai dipelajari di mata kuliah aljabar di kelas 8. Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan dan menggunakan teorema Vieta. Metodologi untuk mempelajari persamaan kuadrat, serta rumus diskriminan, agak gagal ditanamkan pada anak sekolah, seperti banyak dalam pendidikan nyata. Oleh karena itu, tahun sekolah berlalu, pendidikan di kelas 9-11 menggantikan "pendidikan tinggi" dan semua orang kembali mencari - "Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat?", "Bagaimana menemukan akar persamaan?", "Bagaimana menemukan diskriminannya?" dan...

Rumus Diskriminan

Diskriminan D dari persamaan kuadrat a*x^2+bx+c=0 adalah D=b^2–4*a*c.
Akar (solusi) persamaan kuadrat bergantung pada tanda diskriminan (D):
D>0 - persamaan memiliki 2 akar real yang berbeda;
D=0 - persamaan memiliki 1 akar (2 akar yang bertepatan):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Rumus untuk menghitung diskriminan cukup sederhana, sehingga banyak situs menawarkan kalkulator diskriminan online. Kami belum menemukan skrip semacam ini, jadi siapa yang tahu bagaimana menerapkan ini, silakan tulis ke surat Alamat email ini dilindungi dari robot spam. Anda harus mengaktifkan JavaScript untuk melihat. .

Rumus umum untuk mencari akar persamaan kuadrat:

Akar persamaan ditemukan dengan rumus
Jika koefisien variabel dalam kuadrat dipasangkan, maka disarankan untuk menghitung bukan diskriminan, tetapi bagian keempatnya
Dalam kasus seperti itu, akar persamaan ditemukan dengan rumus

Cara kedua untuk mencari akar adalah Teorema Vieta.

Teorema dirumuskan tidak hanya untuk persamaan kuadrat, tetapi juga untuk polinomial. Anda dapat membaca ini di Wikipedia atau sumber elektronik lainnya. Namun, untuk menyederhanakan, perhatikan bagian yang berkaitan dengan persamaan kuadrat tereduksi, yaitu persamaan bentuk (a=1)
Inti dari rumus Vieta adalah bahwa jumlah akar persamaan sama dengan koefisien variabel, diambil dengan tanda yang berlawanan. Produk dari akar-akar persamaan sama dengan suku bebas. Rumus teorema Vieta memiliki notasi.
Turunan dari formula Vieta cukup sederhana. Mari kita tulis persamaan kuadrat dalam hal faktor prima
Seperti yang Anda lihat, semua yang cerdik itu sederhana pada saat yang bersamaan. Rumus Vieta efektif digunakan jika selisih modulus akar atau selisih modulus akar adalah 1, 2. Misalnya, persamaan berikut, menurut teorema Vieta, memiliki akar




Hingga 4 analisis persamaan akan terlihat seperti ini. Hasil kali akar-akar persamaan tersebut adalah 6, sehingga akar-akarnya dapat berupa nilai (1, 6) dan (2, 3) atau berpasangan dengan tanda yang berlawanan. Jumlah akarnya adalah 7 (koefisien variabel dengan tanda yang berlawanan). Dari sini kita menyimpulkan bahwa solusi persamaan kuadrat sama dengan x=2; x=3.
Lebih mudah untuk memilih akar persamaan di antara pembagi suku bebas, mengoreksi tandanya untuk memenuhi rumus Vieta. Pada awalnya, hal ini tampaknya sulit untuk dilakukan, tetapi dengan latihan pada sejumlah persamaan kuadrat, teknik ini akan lebih efisien daripada menghitung diskriminan dan menemukan akar persamaan kuadrat dengan cara klasik.
Seperti yang Anda lihat, teori sekolah untuk mempelajari diskriminan dan cara menemukan solusi persamaan tidak memiliki makna praktis - "Mengapa anak sekolah membutuhkan persamaan kuadrat?", "Apa arti fisis dari diskriminan?".

Mari kita coba mencari tahu apa yang dideskripsikan oleh diskriminan?

Dalam kursus aljabar, mereka mempelajari fungsi, skema untuk mempelajari fungsi dan memplot fungsi. Dari semua fungsi, tempat penting ditempati oleh parabola, yang persamaannya dapat ditulis dalam bentuk
Jadi arti fisis dari persamaan kuadrat adalah nol parabola, yaitu titik potong grafik fungsi dengan sumbu absis Ox
Saya meminta Anda untuk mengingat sifat-sifat parabola yang dijelaskan di bawah ini. Waktunya akan tiba untuk mengikuti ujian, tes, atau ujian masuk dan Anda akan berterima kasih atas bahan referensinya. Tanda variabel pada bujur sangkar sesuai dengan apakah cabang parabola pada grafik akan naik (a>0),

atau parabola dengan cabang ke bawah (a<0) .

Titik puncak parabola terletak di tengah-tengah antara akar-akarnya

Arti fisik dari diskriminan:

Jika diskriminan lebih besar dari nol (D>0), parabola memiliki dua titik potong dengan sumbu Ox.
Jika diskriminan sama dengan nol (D=0), maka parabola di atas menyentuh sumbu x.
Dan kasus terakhir ketika diskriminan kurang dari nol(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Persamaan kuadrat tidak lengkap

Saya harap setelah mempelajari artikel ini, Anda akan belajar cara menemukan akar persamaan kuadrat lengkap.

Dengan bantuan diskriminan, hanya persamaan kuadrat lengkap yang diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap, metode lain digunakan, yang akan Anda temukan di artikel "Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap".

Persamaan kuadrat apa yang disebut lengkap? Ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, dimana koefisien a, b dan c tidak sama dengan nol. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, Anda perlu menghitung diskriminan D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Bergantung pada nilai apa yang dimiliki pembeda, kami akan menuliskan jawabannya.

Jika diskriminan adalah bilangan negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminan adalah nol, maka x \u003d (-b) / 2a. Jika diskriminan adalah bilangan positif (D > 0),

maka x 1 = (-b - D)/2a, dan x 2 = (-b + D)/2a.

Sebagai contoh. selesaikan persamaannya x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawaban: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 +x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Jawaban: tidak ada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - 81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + 81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Jawaban: - 3.5; satu.

Jadi mari kita bayangkan solusi persamaan kuadrat lengkap dengan skema pada Gambar 1.

Rumus ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan ditulis sebagai polinomial tampilan standar

sebuah x 2 + bx + c, jika tidak, Anda dapat membuat kesalahan. Misalnya, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, Anda dapat salah menentukan bahwa

a = 1, b = 3 dan c = 2. Maka

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 dan kemudian persamaan memiliki dua akar. Dan ini tidak benar. (Lihat contoh 2 solusi di atas).

Oleh karena itu, jika persamaan tidak ditulis sebagai polinomial bentuk standar, pertama-tama persamaan kuadrat lengkap harus ditulis sebagai polinomial bentuk standar (monomial dengan eksponen terbesar harus di tempat pertama, yaitu sebuah x 2 , maka dengan lebih sedikit – bx, dan kemudian istilah bebasnya dengan.

Saat menyelesaikan persamaan kuadrat di atas dan persamaan kuadrat dengan koefisien genap untuk suku kedua, rumus lain juga dapat digunakan. Mari berkenalan dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadrat penuh dengan suku kedua koefisiennya genap (b = 2k), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram Gambar 2.

Persamaan kuadrat lengkap disebut tereduksi jika koefisien di x 2 sama dengan satu dan persamaan mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan seperti itu dapat diberikan untuk diselesaikan, atau diperoleh dengan membagi semua koefisien persamaan dengan koefisien sebuah berdiri di x 2 .

Gambar 3 menunjukkan diagram solusi kuadrat tereduksi
persamaan. Perhatikan contoh penerapan rumus yang dibahas dalam artikel ini.

Contoh. selesaikan persamaannya

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Mari selesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang ditunjukkan pada Gambar 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

D = 108 = (36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- (3))) / 6 \u003d -1 - 3

x 2 \u003d (-6 + 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + (3))) / 6 \u003d -1 + 3

Jawaban: -1 - 3; -1 + 3

Anda dapat melihat bahwa koefisien di x dalam persamaan ini adalah bilangan genap, yaitu b \u003d 6 atau b \u003d 2k, dari mana k \u003d 3. Kemudian mari kita coba menyelesaikan persamaan menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram gambar D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

(D 1) = 27 = (9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - (3))) / 3 \u003d - 1 - 3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + (3))) / 3 \u003d - 1 + 3

Jawaban: -1 - 3; -1 + 3. Memperhatikan bahwa semua koefisien dalam persamaan kuadrat ini habis dibagi 3 dan dibagi, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi x 2 + 2x - 2 = 0 Kita selesaikan persamaan ini menggunakan rumus untuk persamaan kuadrat tereduksi
persamaan gambar 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

(D 2) = 12 = (4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - (3))) / 2 \u003d - 1 - 3

x 2 \u003d (-2 + 2 3) / 2 \u003d (2 (-1 + (3))) / 2 \u003d - 1 + 3

Jawaban: -1 - 3; -1 + 3.

Seperti yang Anda lihat, saat menyelesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang berbeda, kami mendapatkan jawaban yang sama. Oleh karena itu, setelah menguasai dengan baik rumus yang ditunjukkan pada diagram Gambar 1, Anda selalu dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Di antara seluruh kursus kurikulum sekolah aljabar, salah satu topik yang paling banyak dibahas adalah topik persamaan kuadrat. Dalam hal ini, persamaan kuadrat dipahami sebagai persamaan bentuk ax 2 + bx + c \u003d 0, di mana a 0 (terbaca: a dikalikan dengan x kuadrat ditambah be x ditambah ce sama dengan nol, di mana a tidak sama dengan nol). Dalam hal ini, tempat utama ditempati oleh rumus untuk menemukan diskriminan persamaan kuadrat dari tipe yang ditentukan, yang dipahami sebagai ekspresi yang memungkinkan Anda untuk menentukan ada atau tidaknya akar dalam persamaan kuadrat, serta nomor mereka (jika ada).

Rumus (persamaan) diskriminan persamaan kuadrat

Rumus yang diterima secara umum untuk diskriminan persamaan kuadrat adalah sebagai berikut: D \u003d b 2 - 4ac. Dengan menghitung diskriminan menggunakan rumus yang ditunjukkan, seseorang tidak hanya dapat menentukan keberadaan dan jumlah akar persamaan kuadrat, tetapi juga memilih metode untuk menemukan akar ini, yang ada beberapa, tergantung pada jenis persamaan kuadrat.

Apa artinya jika diskriminannya nol \ Rumus akar-akar persamaan kuadrat jika diskriminannya nol

Diskriminan, sebagai berikut dari rumus, dilambangkan huruf latin D. Dalam hal diskriminan sama dengan nol, harus disimpulkan bahwa persamaan kuadrat berbentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana a 0, hanya memiliki satu akar, yang dihitung menggunakan rumus yang disederhanakan . Rumus ini hanya berlaku jika diskriminan adalah nol dan terlihat seperti ini: x = –b/2a, di mana x adalah akar persamaan kuadrat, b dan a adalah variabel yang bersesuaian dari persamaan kuadrat. Untuk menemukan akar persamaan kuadrat, perlu membagi nilai negatif variabel b dengan dua kali nilai variabel a. Ekspresi yang dihasilkan akan menjadi solusi dari persamaan kuadrat.

Memecahkan persamaan kuadrat melalui diskriminan

Jika, ketika menghitung diskriminan menggunakan rumus di atas, diperoleh nilai positif (D lebih besar dari nol), maka persamaan kuadrat memiliki dua akar, yang dihitung menggunakan rumus berikut: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. Paling sering, diskriminan tidak dihitung secara terpisah, tetapi ekspresi akar dalam bentuk formula diskriminan hanya diganti ke dalam nilai D, dari mana akar diekstraksi. Jika variabel b bernilai genap, maka untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dimana a 0, Anda juga dapat menggunakan rumus berikut: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, di mana k = b/2.

Dalam beberapa kasus, untuk solusi praktis persamaan kuadrat, Anda dapat menggunakan Teorema Vieta, yang mengatakan bahwa untuk jumlah akar persamaan kuadrat dalam bentuk x 2 + px + q \u003d 0, nilai x 1 + x 2 \u003d -p akan benar, dan untuk produk dari akar persamaan yang ditentukan - ekspresi x 1 x x 2 = q.

Bisakah diskriminan kurang dari nol?

Saat menghitung nilai diskriminan, seseorang mungkin menghadapi situasi yang tidak termasuk dalam salah satu kasus yang dijelaskan - ketika diskriminan memiliki nilai negatif (yaitu, kurang dari nol). Dalam hal ini, secara umum diterima bahwa persamaan kuadrat berbentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana a 0, tidak memiliki akar real, oleh karena itu, solusinya akan terbatas pada menghitung diskriminan, dan rumus di atas untuk akar persamaan kuadrat tidak akan berlaku dalam hal ini akan. Pada saat yang sama, dalam jawaban persamaan kuadrat, tertulis bahwa "persamaan tidak memiliki akar real".

Video penjelasan:

Dengan program matematika ini Anda bisa menyelesaikan persamaan kuadrat.

Program tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga menampilkan proses solusi dalam dua cara:
- menggunakan diskriminan
- menggunakan teorema Vieta (jika mungkin).

Selain itu, jawabannya ditampilkan tepat, bukan perkiraan.
Misalnya, untuk persamaan \(81x^2-16x-1=0\), jawabannya ditampilkan dalam bentuk ini:

Program ini mungkin berguna untuk siswa sekolah menengah dalam persiapan untuk pekerjaan kontrol dan ujian, ketika menguji pengetahuan sebelum ujian, orang tua mengontrol solusi dari banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang tugas yang harus diselesaikan meningkat.

Jika Anda tidak terbiasa dengan aturan untuk memasukkan polinomial persegi, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Aturan untuk memasukkan polinomial persegi

Setiap huruf Latin dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dll.

Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Selain itu, bilangan pecahan dapat dimasukkan tidak hanya dalam bentuk desimal, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam pecahan desimal, bagian pecahan dari bilangan bulat dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan desimal jadi: 2.5x - 3.5x^2

Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat berperan sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari suatu pecahan.

Penyebutnya tidak boleh negatif.

Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Saat memasukkan ekspresi Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, ketika memecahkan persamaan kuadrat, ekspresi yang diperkenalkan pertama-tama disederhanakan.
Misalnya: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulisnya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke lapangan.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadrat dan akar-akarnya. Persamaan kuadrat tidak lengkap

Masing-masing persamaan
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
memiliki bentuk
\(ax^2+bx+c=0, \)
dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah bilangan.
Pada persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1,4, pada persamaan kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, pada persamaan ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan seperti itu disebut persamaan kuadrat.

Definisi.
persamaan kuadrat disebut persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan, dan \(a \neq 0 \).

Angka a, b dan c adalah koefisien persamaan kuadrat. Angka a disebut koefisien pertama, angka b adalah koefisien kedua dan angka c adalah intersep.

Dalam setiap persamaan berbentuk ax 2 +bx+c=0, di mana \(a \neq 0 \), pangkat terbesar dari variabel x adalah persegi. Oleh karena itu namanya: persamaan kuadrat.

Perhatikan bahwa persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena sisi kirinya adalah polinomial derajat kedua.

Persamaan kuadrat di mana koefisien pada x 2 adalah 1 disebut persamaan kuadrat tereduksi. Misalnya, persamaan kuadrat yang diberikan adalah persamaan
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jika dalam persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 paling sedikit salah satu koefisien b atau c sama dengan nol, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Jadi, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 adalah persamaan kuadrat tidak lengkap. Yang pertama b=0, yang kedua c=0, yang ketiga b=0 dan c=0.

Persamaan kuadrat tidak lengkap terdiri dari tiga jenis:
1) ax 2 +c=0, di mana \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, di mana \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Pertimbangkan solusi persamaan dari masing-masing jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +c=0 untuk \(c \neq 0 \), suku bebasnya dipindahkan ke ruas kanan dan kedua bagian persamaan dibagi dengan a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Panah kanan x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Karena \(c \neq 0 \), maka \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jika \(-\frac(c)(a)>0 \), maka persamaan tersebut memiliki dua akar.

Jika \(-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) faktorkan ruas kirinya dan dapatkan persamaan
\(x(ax+b)=0 \Panah kanan \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \kanan. \)

Oleh karena itu, persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) selalu memiliki dua akar.

Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk ax 2 \u003d 0 setara dengan persamaan x 2 \u003d 0 dan karenanya memiliki satu akar 0.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita perhatikan bagaimana persamaan kuadrat diselesaikan di mana kedua koefisien yang tidak diketahui dan suku bebasnya bukan nol.

Kami memecahkan persamaan kuadrat dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kami memperoleh rumus akar. Kemudian rumus ini dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.

Selesaikan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0

Membagi kedua bagiannya dengan a, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi yang setara
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Kami mengubah persamaan ini dengan menyorot kuadrat binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Panah kanan \)

Ekspresi akar disebut diskriminan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - pembeda). Dilambangkan dengan huruf D, yaitu
\(D = b^2-4ac\)

Sekarang, dengan menggunakan notasi diskriminan, kami menulis ulang rumus untuk akar persamaan kuadrat:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), di mana \(D= b^2-4ac \)

Jelas bahwa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jika D Jadi, tergantung pada nilai diskriminan, persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar (untuk D > 0), satu akar (untuk D = 0) atau tidak ada akar (untuk D Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus ini , disarankan untuk melakukan cara berikut:
1) menghitung diskriminan dan membandingkannya dengan nol;
2) jika diskriminan positif atau sama dengan nol, maka gunakan rumus akar, jika diskriminan negatif, maka tuliskan bahwa tidak ada akar.

teorema Vieta

Persamaan kuadrat yang diberikan ax 2 -7x+10=0 memiliki akar 2 dan 5. Jumlah akar adalah 7, dan produk adalah 10. Kita melihat bahwa jumlah akar sama dengan koefisien kedua, diambil dengan berlawanan tanda, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya. Setiap persamaan kuadrat tereduksi yang memiliki akar memiliki sifat ini.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas.

Itu. Teorema Vieta menyatakan bahwa akar x 1 dan x 2 dari persamaan kuadrat tereduksi x 2 +px+q=0 memiliki sifat:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)