Քայքայման կարգը. Բազմանդամների ֆակտորինգի բարդ դեպքեր

Բազմանդամների ֆակտորիզացիան նույնական փոխակերպումն է, որի արդյունքում բազմանդամը վերածվում է մի քանի գործոնի՝ բազմանդամների կամ միանդամների արտադրյալի։

Բազմանդամները ֆակտորիզացնելու մի քանի եղանակ կա.

Մեթոդ 1. Ընդհանուր գործոնի փակագծում:

Այս փոխակերպումը հիմնված է բազմապատկման բաշխիչ օրենքի վրա՝ ac + bc = c(a + b): Փոխակերպման էությունը դիտարկվող երկու բաղադրիչներում առանձնացնելն է ընդհանուր գործոնը և այն «դուրս հանել» փակագծերից։

Եկեք գործոնացնենք 28x 3 - 35x 4 բազմանդամը:

Որոշում.

1. Մենք ընդհանուր բաժանարար ենք գտնում 28x3 և 35x4 տարրերի համար: 28-ի և 35-ի համար դա կլինի 7; x 3-ի և x 4 - x 3-ի համար: Այսինքն՝ մեր ընդհանուր գործակիցը 7x3 է։

2. Տարրերից յուրաքանչյուրը ներկայացնում ենք որպես գործոնների արտադրյալ, որոնցից մեկը
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x:

3. Ընդհանուր գործոնի փակագծում
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x):

Մեթոդ 2. Օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը: Այս մեթոդին տիրապետելու «վարպետությունը» արտահայտության մեջ կրճատ բազմապատկման բանաձեւերից մեկը նկատելն է։

Եկեք գործոնացնենք x 6 - 1 բազմանդամը:

Որոշում.

1. Այս արտահայտության վրա կարող ենք կիրառել քառակուսիների տարբերությունը: Դա անելու համար մենք x 6-ը ներկայացնում ենք որպես (x 3) 2, իսկ 1-ը որպես 1 2, այսինքն. 1. Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1):

2. Ստացված արտահայտության վրա կարող ենք կիրառել խորանարդների գումարի և տարբերության բանաձևը.
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1):

Այսպիսով,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1):

Մեթոդ 3. Խմբավորում. Խմբավորման մեթոդը բաղկացած է բազմանդամի բաղադրիչներն այնպես համադրելուց, որ դրանց վրա հեշտ լինի գործողություններ կատարել (գումարում, հանում, ընդհանուր գործակից հանում):

Մենք գործոնացնում ենք x 3 - 3x 2 + 5x - 15 բազմանդամը:

Որոշում.

1. Բաղադրիչները խմբավորել այսպես՝ 1-ինը՝ 2-րդի հետ, իսկ 3-րդը՝ 4-րդի հետ.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15):

2. Ստացված արտահայտության մեջ փակագծերից հանում ենք ընդհանուր գործակիցները՝ x 2 առաջին դեպքում, իսկ երկրորդում՝ 5:
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3):

3. Հանում ենք x - 3 ընդհանուր գործակիցը և ստանում.
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5):

Այսպիսով,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5):

Եկեք շտկենք նյութը:

Գործոնավորեք a 2 - 7ab + 12b 2 բազմանդամը:

Որոշում.

1. 7ab միանդամը ներկայացնում ենք որպես 3ab + 4ab գումար: Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2:

Բացենք փակագծերը և ստանանք.
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2:

2. Բազմանդամի բաղադրիչները խմբավորի՛ր այսպես՝ 1-ինը՝ 2-րդի, իսկ 3-րդը՝ 4-րդի հետ: Մենք ստանում ենք.
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2):

3. Դուրս բերենք ընդհանուր գործոնները.
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b):

4. Դուրս բերենք ընդհանուր գործակիցը (a - 3b).
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

Այսպիսով,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (а – 3 բ) ∙ (а – 4b).

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Ընդհանուր դեպքում այս խնդիրը ներառում է ստեղծագործական մոտեցում, քանի որ դրա լուծման ունիվերսալ մեթոդ գոյություն չունի։ Այնուամենայնիվ, փորձենք մի քանի հուշում տալ.

Դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում բազմանդամի տարրալուծումը գործոնների հիմնված է Բեզութի թեորեմի հետևանքի վրա, այսինքն՝ արմատը գտնվել կամ ընտրվել է, և բազմանդամի աստիճանը կրճատվում է մեկով՝ բաժանելով։ Ստացված բազմանդամը փնտրում է արմատ և գործընթացը կրկնվում է մինչև ամբողջական ընդլայնումը:

Եթե ​​արմատը չի գտնվել, ապա օգտագործվում են տարրալուծման հատուկ մեթոդներ՝ խմբավորումից մինչև փոխադարձ բացառող հավելյալ տերմինների ներմուծում։

Հետագա ներկայացումը հիմնված է ավելի բարձր աստիճանի հավասարումներ ամբողջ թվային գործակիցներով լուծելու հմտությունների վրա:

Ընդհանուր գործոնի փակագծում:

Սկսենք ամենապարզ դեպքից, երբ ազատ տերմինը զրո, այսինքն՝ բազմանդամն ունի .

Ակնհայտ է, որ նման բազմանդամի արմատը , այսինքն՝ բազմանդամը կարող է ներկայացվել որպես .

Այս մեթոդը ոչ այլ ինչ է, քան փակագծերից հանելով ընդհանուր գործոնը.

Օրինակ.

Երրորդ աստիճանի բազմանդամը տարրալուծել գործոնների.

Որոշում.

Ակնհայտ է, որ բազմանդամի արմատն է, այսինքն. Xկարելի է փակագծել՝

Գտե՛ք քառակուսի եռանդամի արմատները

Այսպիսով,

Էջի վերևում

Ռացիոնալ արմատներով բազմանդամի գործոնացում.

Նախ դիտարկենք ձևի ամբողջ թվային գործակիցներով բազմանդամի ընդլայնման մեթոդը, ամենաբարձր աստիճանի գործակիցը հավասար է մեկի:

Այս դեպքում, եթե բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք ազատ անդամի բաժանարարներ են։

Օրինակ.

Որոշում.

Եկեք ստուգենք, արդյոք կան ամբողջ թվային արմատներ: Դա անելու համար մենք դուրս ենք գրում թվի բաժանարարները -18 : Այսինքն, եթե բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք դուրս գրված թվերի թվում են։ Եկեք ստուգենք այս թվերը հաջորդաբար՝ ըստ Հորների սխեմայի։ Դրա հարմարությունը կայանում է նաև նրանում, որ վերջում մենք կստանանք նաև բազմանդամի ընդլայնման գործակիցները.

այսինքն. x=2և x=-3սկզբնական բազմանդամի արմատներն են և այն կարող է ներկայացվել որպես արտադրյալ.

Մնում է քայքայվել քառակուսի եռանկյուն.

Այս եռանդամի տարբերակիչը բացասական է, հետևաբար այն չունի իրական արմատներ։

Պատասխան.

Մեկնաբանություն:

Հորների սխեմայի փոխարեն կարելի էր օգտագործել արմատի ընտրությունը և բազմանդամի հետագա բաժանումը բազմանդամի վրա։

Այժմ դիտարկենք ձևի ամբողջ թվային գործակիցներով բազմանդամի ընդլայնումը, և ամենաբարձր աստիճանի գործակիցը հավասար չէ մեկի:

Այս դեպքում բազմանդամը կարող է ունենալ կոտորակային ռացիոնալ արմատներ։

Օրինակ.

Գործոնացնել արտահայտությունը:

Որոշում.

Փոփոխականը փոխելով y=2x, անցնում ենք ամենաբարձր աստիճանի մեկին հավասար գործակից ունեցող բազմանդամի։ Դա անելու համար մենք նախ բազմապատկում ենք արտահայտությունը 4 .

Եթե ​​ստացված ֆունկցիան ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք ազատ անդամի բաժանարարների թվում են։ Եկեք գրենք դրանք.

Հաջորդաբար հաշվարկեք ֆունկցիայի արժեքները g(y)այս կետերում մինչև զրոյի հասնելը:

Հավասարման ֆակտորինգը տերմիններ կամ արտահայտություններ գտնելու գործընթաց է, որոնք բազմապատկվելիս հանգեցնում են սկզբնական հավասարմանը: Ֆակտորինգը օգտակար հմտություն է հիմնական հանրահաշվական խնդիրներ լուծելու համար և գործնական անհրաժեշտություն է դառնում քառակուսի հավասարումների և այլ բազմանդամների հետ աշխատելիս: Ֆակտորինգն օգտագործվում է հանրահաշվական հավասարումների պարզեցման համար՝ դրանք ավելի հեշտ լուծելու համար: Ֆակտորինգը կարող է օգնել ձեզ բացառել որոշ հնարավոր պատասխաններ ավելի արագ, քան դուք կարող եք՝ ձեռքով լուծելով հավասարումը:

Քայլեր

Թվերի և հիմնական հանրահաշվական արտահայտությունների գործոնացում

1. Թվերի գործոնացում.Ֆակտորինգի հայեցակարգը պարզ է, բայց գործնականում ֆակտորինգը կարող է բարդ լինել (հաշվի առնելով բարդ հավասարումը): Հետևաբար, սկզբից մենք կդիտարկենք ֆակտորիզացիայի հայեցակարգը՝ օգտագործելով թվերի օրինակը, շարունակենք պարզ հավասարումներ, այնուհետև անցեք բարդ հավասարումների: Տրված թվի գործակիցներն այն թվերն են, որոնք բազմապատկելով տալիս են սկզբնական թիվը։ Օրինակ՝ 12 թվի գործակիցները թվերն են՝ 1, 12, 2, 6, 3, 4, քանի որ 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12։

   • Նմանապես կարելի է թվի գործակիցները համարել նրա բաժանարարներ, այսինքն՝ այն թվերը, որոնց վրա տրված թիվը բաժանվում է։
   • Գտեք 60 թվի բոլոր գործոնները: Մենք հաճախ օգտագործում ենք 60 թիվը (օրինակ՝ 60 րոպե մեկ ժամում, 60 վայրկյան մեկ րոպեում և այլն) և այս թիվը բավականին ունի. մեծ թվովբազմապատկիչներ.
     • 60 բազմապատկիչ՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 և 60։

2. Հիշեք.Գործակից (թիվ) և փոփոխական պարունակող արտահայտության պայմանները կարող են նաև գործոնավորվել: Դա անելու համար գտեք փոփոխականի գործակիցի բազմապատկիչները: Իմանալով, թե ինչպես ֆակտորիզացնել հավասարումների տերմինները, կարող եք հեշտությամբ պարզեցնել այս հավասարումը:

   • Օրինակ, 12x տերմինը կարելի է գրել որպես 12-ի և x-ի արտադրյալ: Դուք կարող եք նաև գրել 12x որպես 3(4x), 2(6x) և այլն՝ 12-ը գործակցելով այն գործոնների մեջ, որոնք լավագույնս աշխատում են ձեզ համար:
     • Դուք կարող եք 12 անգամ մի քանի անգամ անընդմեջ դնել: Այլ կերպ ասած, պետք չէ կանգ առնել 3(4x) կամ 2(6x); շարունակել ընդլայնումը. 3(2(2x)) կամ 2(3(2x)) (ակնհայտորեն, 3(4x)=3(2(2x)) և այլն)

3. Կիրառել բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը հանրահաշվական հավասարումների ֆակտորիզացման համար:Իմանալով, թե ինչպես ֆակտորացնել թվերն ու արտահայտության անդամները (գործակիցները փոփոխականներով), դուք կարող եք պարզեցնել պարզ հանրահաշվական հավասարումները՝ գտնելով թվի ընդհանուր գործակիցը և արտահայտության անդամը: Սովորաբար, հավասարումը պարզեցնելու համար անհրաժեշտ է գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (gcd): Նման պարզեցում հնարավոր է բազմապատկման բաշխիչ հատկության շնորհիվ՝ a, b, c ցանկացած թվերի համար a (b + c) = ab + ac հավասարությունը ճիշտ է։

   • Օրինակ. Գործոնավորեք հավասարումը 12x + 6: Նախ՝ գտեք 12x և 6-ի gcd-ն: 6-ը ամենամեծ թիվն է, որը բաժանում է և՛ 12x, և՛ 6, այնպես որ կարող եք այս հավասարումը չափել 6-ի (2x+1):
   • Այս գործընթացը ճիշտ է նաև այն հավասարումների համար, որոնք ունեն բացասական և կոտորակային անդամներ: Օրինակ, x/2+4-ը կարող է քայքայվել 1/2 (x+8); օրինակ, -7x+(-21)-ը կարող է քայքայվել -7(x+3-ի):

   Քառակուսային հավասարումների ֆակտորիզացիա

   1. Համոզվեք, որ հավասարումը քառակուսի ձևով է (ax 2 + bx + c = 0):Քառակուսի հավասարումներ են՝ ax 2 + bx + c = 0, որտեղ a, b, c թվային գործակիցներ են, բացի 0-ից: Եթե ձեզ տրված է մեկ փոփոխականով հավասարում (x), և այս հավասարումը ունի մեկ կամ մի քանի անդամ երկրորդ կարգով: փոփոխական, դուք կարող եք հավասարման բոլոր պայմանները տեղափոխել հավասարման մի կողմ և հավասարեցնել այն զրոյի:

      • Օրինակ, հաշվի առնելով հավասարումը. 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Այն կարող է փոխարկվել x 2 + 6x + 9 = 0 հավասարման, որը քառակուսի հավասարում է:
      • Մեծ պատվերների x փոփոխականով հավասարումներ, օրինակ՝ x 3, x 4 և այլն: քառակուսի հավասարումներ չեն: Սրանք խորանարդ հավասարումներ են, չորրորդ կարգի հավասարումներ և այլն (միայն այն դեպքում, եթե նման հավասարումները չեն կարող պարզեցվել քառակուսի հավասարումների մեջ x փոփոխականով 2-ի հզորությամբ):

   2. Քառակուսի հավասարումները, որտեղ a \u003d 1, տարրալուծվում են (x + d) (x + e), որտեղ d * e \u003d c և d + e \u003d b.Եթե ​​ձեզ տրված քառակուսի հավասարումը ունի ձևը. x 2 + bx + c \u003d 0 (այսինքն x 2-ի գործակիցը հավասար է 1-ի), ապա նման հավասարումը կարող է (բայց ոչ երաշխավորված) բաժանվել վերը նշվածի. գործոններ. Դա անելու համար հարկավոր է գտնել երկու թիվ, որոնք բազմապատկելիս տալիս են «c», իսկ գումարվելիս՝ «b»: Այս երկու թվերը (d և e) գտնելուց հետո դրանք փոխարինեք հետևյալ արտահայտությամբ՝ (x+d)(x+e), որը փակագծերը բացելիս հանգեցնում է սկզբնական հավասարմանը։

      • Օրինակ, հաշվի առնելով քառակուսի հավասարումը x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 և 3+2=5, այնպես որ կարող եք ընդլայնել հավասարումը (x+3) (x+2):
      • Բացասական պայմանների դեպքում ֆակտորացման գործընթացում կատարեք հետևյալ աննշան փոփոխությունները.
        • Եթե ​​քառակուսի հավասարումը ունի x 2 -bx + c ձևը, ապա այն քայքայվում է (x-_) (x-_):
        • Եթե ​​քառակուսի հավասարումը ունի x 2 -bx-c ձևը, ապա այն քայքայվում է (x + _) (x-_):
      • Նշում. բացատները կարող են փոխարինվել կոտորակներով կամ տասնորդական թվեր. Օրինակ, x 2 + (21/2)x + 5 = 0 հավասարումը տարրալուծվում է (x + 10) (x + 1/2):

   3. Գործոնավորում փորձի և սխալի միջոցով:Պարզ քառակուսի հավասարումները կարող են գործոնավորվել՝ թվերը պարզապես փոխարինելով հնարավոր լուծումներմինչև որ գտնես ճիշտ որոշում. Եթե ​​հավասարումը ունի ax 2 +bx+c ձևը, որտեղ a>1, հնարավոր լուծումները գրվում են որպես (dx +/- _)(ex +/- _), որտեղ d-ն և e-ն զրոյից տարբեր թվային գործակիցներ են, որոնք բազմապատկելիս տալիս են a. Կամ d կամ e (կամ երկու գործակիցները) կարող են հավասար լինել 1-ի: Եթե երկու գործակիցներն էլ հավասար են 1-ի, ապա օգտագործեք վերը նկարագրված մեթոդը:

      • Օրինակ, հաշվի առնելով 3x 2 - 8x + 4 հավասարումը: Այստեղ 3-ն ունի ընդամենը երկու գործոն (3 և 1), ուստի հնարավոր լուծումները գրվում են որպես (3x +/- _)(x +/- _): Այս դեպքում, փոխարինելով -2-ը բացատներով, կգտնեք ճիշտ պատասխանը՝ -2*3x=-6x և -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x և -2*-2=4, այսինքն՝ փակագծերը բացելիս նման ընդլայնումը կհանգեցնի սկզբնական հավասարման պայմաններին։

n աստիճանի ցանկացած հանրահաշվական բազմանդամը կարող է ներկայացվել որպես ձևի և հաստատուն թվի n գծային գործակիցների արտադրյալ, որը հանդիսանում է x ամենաբարձր աստիճանի բազմանդամի գործակիցները, այսինքն.

որտեղ - բազմանդամի արմատներն են:

Բազմանդամի արմատը այն թիվն է (իրական կամ բարդ), որը բազմանդամը դարձնում է զրո: Բազմանդամի արմատները կարող են լինել ինչպես իրական արմատներ, այնպես էլ բարդ խոնարհված արմատներ, ապա բազմանդամը կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևով.

Դիտարկենք «n» աստիճանի բազմանդամներն առաջին և երկրորդ աստիճանի գործակիցների արտադրյալի ընդլայնման մեթոդները:

Մեթոդ թիվ 1.Անորոշ գործակիցների մեթոդ.

Նման փոխակերպված արտահայտության գործակիցները որոշվում են անորոշ գործակիցների մեթոդով։ Մեթոդի էությունն այն է, որ նախապես հայտնի է գործոնների տեսակը, որոնց մեջ քայքայվում է տվյալ բազմանդամը։ Անորոշ գործակիցների մեթոդը կիրառելիս ճշմարիտ են հետևյալ պնդումները.

P.1. Երկու բազմանդամները նույնական հավասար են, եթե նրանց գործակիցները հավասար են x-ի նույն հզորություններին:

P.2. Երրորդ աստիճանի ցանկացած բազմանդամ քայքայվում է գծային և քառակուսի գործակիցների արտադրյալի:

P.3. Չորրորդ աստիճանի ցանկացած բազմանդամ քայքայվում է երկրորդ աստիճանի երկու բազմանդամների արտադրյալի։

Օրինակ 1.1.Անհրաժեշտ է ֆակտորիզացնել խորանարդ արտահայտությունը.

P.1. Ընդունված պնդումների համաձայն, նույնական հավասարությունը ճիշտ է խորանարդ արտահայտության համար.

P.2. Արտահայտության աջ կողմը կարող է ներկայացվել որպես տերմիններ հետևյալ կերպ.

P.3. Կազմում ենք հավասարումների համակարգ խորանարդ արտահայտության համապատասխան հզորությունների գործակիցների հավասարության պայմանից։

Հավասարումների այս համակարգը կարող է լուծվել գործակիցների ընտրության մեթոդով (եթե պարզ ակադեմիական խնդիր է) կամ լուծման մեթոդներով. ոչ գծային համակարգերհավասարումներ։ Որոշելով այս համակարգըհավասարումներ, ստանում ենք, որ անորոշ գործակիցները սահմանվում են հետևյալ կերպ.

Այսպիսով, սկզբնական արտահայտությունը տարրալուծվում է գործոնների հետևյալ ձևով.

Այս մեթոդը կարող է օգտագործվել ինչպես վերլուծական հաշվարկներում, այնպես էլ համակարգչային ծրագրավորման մեջ՝ ավտոմատացնելու հավասարման արմատը գտնելու գործընթացը։

Մեթոդ թիվ 2.Վիետայի բանաձևեր

Վիետայի բանաձևերը n աստիճանի հանրահաշվական հավասարումների և դրա արմատների գործակիցները կապող բանաձևեր են։ Այս բանաձեւերը անուղղակիորեն ներկայացված էին ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետայի ( 1540 - 1603 ) աշխատություններում։ Շնորհիվ այն բանի, որ Վիետը համարում էր միայն դրական իրական արմատներ, հետևաբար, նա հնարավորություն չուներ գրել այս բանաձևերը ընդհանուր բացահայտ ձևով:

n աստիճանի ցանկացած հանրահաշվական բազմանդամի համար, որն ունի n իրական արմատ,

վավեր են հետևյալ հարաբերությունները, որոնք միացնում են բազմանդամի արմատները նրա գործակիցների հետ.

Վիետայի բանաձևերը հարմար են բազմանդամի արմատները գտնելու ճիշտությունը ստուգելու, ինչպես նաև տրված արմատներից բազմանդամ կազմելու համար։

Օրինակ 2.1.Մտածեք, թե ինչպես են բազմանդամի արմատները կապված նրա գործակիցների հետ՝ որպես օրինակ օգտագործելով խորանարդային հավասարումը

Վիետայի բանաձևերի համաձայն, բազմանդամի արմատների և նրա գործակիցների միջև կապը հետևյալն է.

Նմանատիպ հարաբերություններ կարելի է կազմել n աստիճանի ցանկացած բազմանդամի համար։

Մեթոդ թիվ 3. Քայքայումը քառակուսի հավասարումռացիոնալ արմատներ ունեցող գործոնների մեջ

Վիետայի վերջին բանաձևից հետևում է, որ բազմանդամի արմատները նրա ազատ անդամի և առաջատար գործակցի բաժանարարներն են։ Այս առումով, եթե խնդրի պայմանը պարունակում է n աստիճանի բազմանդամ՝ ամբողջ թվային գործակիցներով

ապա այս բազմանդամն ունի ռացիոնալ արմատ (անկրճատելի կոտորակ), որտեղ p-ն ազատ անդամի բաժանարարն է, իսկ q-ն առաջատար գործակցի բաժանարարն է։ Այս դեպքում n աստիճանի բազմանդամը կարող է ներկայացվել որպես (Բեզութի թեորեմ).

Բազմանդամը, որի աստիճանը 1-ով փոքր է սկզբնական բազմանդամի աստիճանից, որոշվում է n աստիճանի բազմանդամը բաժանելով երկանդամով, օրինակ՝ օգտագործելով Հորների սխեման կամ շատ. պարզ ձևով- «սյունակ»:

Օրինակ 3.1.Անհրաժեշտ է ֆակտորիզացնել բազմանդամը

P.1. Շնորհիվ այն բանի, որ ամենաբարձր անդամի գործակիցը հավասար է մեկի, ապա այս բազմանդամի ռացիոնալ արմատները արտահայտության ազատ անդամի բաժանարարներ են, այսինքն. կարող են լինել ամբողջ թվեր . Ներկայացված թվերից յուրաքանչյուրը փոխարինելով սկզբնական արտահայտությամբ՝ գտնում ենք, որ ներկայացված բազմանդամի արմատը .

Բաժանենք սկզբնական բազմանդամը երկանդամի.

Եկեք օգտագործենք Հորների սխեման

Բնօրինակ բազմանդամի գործակիցները դրված են վերին տողում, մինչդեռ վերին տողի առաջին բջիջը մնում է դատարկ:

Գտնված արմատը գրված է երկրորդ տողի առաջին բջիջում (այս օրինակում գրված է «2» թիվը), և բջիջներում հետևյալ արժեքները հաշվարկվում են որոշակի ձևով և դրանք գործակիցներ են. բազմանդամը, որը կառաջանա բազմանդամը երկանդամի վրա բաժանելուց: Անհայտ գործակիցները սահմանվում են հետևյալ կերպ.

Առաջին շարքի համապատասխան բջիջից արժեքը փոխանցվում է երկրորդ շարքի երկրորդ բջիջին (այս օրինակում գրված է «1» թիվը):

Երկրորդ տողի երրորդ բջիջը պարունակում է առաջին բջիջի արտադրյալի արժեքը և երկրորդ շարքի երկրորդ բջիջը գումարած առաջին շարքի երրորդ բջիջի արժեքը (այս օրինակում՝ 2 ∙ 1 -5 = -3) .

Երկրորդ շարքի չորրորդ բջիջը պարունակում է առաջին բջիջի արտադրյալի արժեքը երկրորդ շարքի երրորդ բջիջով գումարած առաջին շարքի չորրորդ բջիջի արժեքը (այս օրինակում 2 ∙ (-3) +7 = 1 ):

Այսպիսով, սկզբնական բազմանդամը գործոնացվում է.

Մեթոդ թիվ 4.Օգտագործելով կարճատև բազմապատկման բանաձևեր

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը օգտագործվում են հաշվարկները պարզեցնելու, ինչպես նաև բազմանդամների տարրալուծման համար։ Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը հնարավորություն են տալիս պարզեցնել առանձին խնդիրների լուծումը։

Ֆակտորինգի համար օգտագործվող բանաձևեր

Հաշվի առնելով բազմանդամների բազմապատկումը՝ մենք մտապահեցինք մի քանի բանաձևեր, մասնավորապես՝ բանաձևեր (a + b)²-ի, (a - b)²-ի, (a + b) (a - b), (a + b)³-ի համար և (a – b)³-ի համար:

Եթե ​​պարզվի, որ տրված բազմանդամը համընկնում է այս բանաձևերից մեկի հետ, ապա հնարավոր կլինի այն գործոնավորել։ Օրինակ, a² - 2ab + b² բազմանդամը, մենք գիտենք, որ հավասար է (a - b)²-ի [կամ (a - b) (a - b), այսինքն՝ մեզ հաջողվեց a² - 2ab + b²-ը գործակցել 2-ի: գործոններ]; նույնպես

Դիտարկենք այս օրինակներից երկրորդը։ Մենք տեսնում ենք, որ այստեղ տրված բազմանդամը համապատասխանում է երկու թվերի տարբերությունը քառակուսու միջոցով ստացված բանաձևին (առաջին թվի քառակուսին, հանած երկուսի արտադրյալը առաջին թվի և երկրորդի կողմից, գումարած երկրորդ թվի քառակուսին). x 6 առաջին թվի քառակուսին է, և, հետևաբար, առաջին թիվը ինքնին x 3 է, երկրորդ թվի քառակուսին տվյալ բազմանդամի վերջին անդամն է, այսինքն՝ 1, իսկ երկրորդ թիվը ինքնին, հետևաբար, նաև 1 է. առաջին թվով երկուսի արտադրյալը, իսկ երկրորդը -2x 3 տերմինն է, քանի որ 2x3 \u003d 2 x 3 1: Այսպիսով, մեր բազմանդամը ստացվել է x 3 և 1 թվերի տարբերությունը քառակուսու միջոցով, այսինքն՝ այն հավասար է: մինչև (x 3 - 12. Դիտարկենք մեկ այլ 4-րդ օրինակ: Մենք տեսնում ենք, որ a 2 b 2 - 25 այս բազմանդամը կարելի է համարել որպես երկու թվերի քառակուսիների տարբերություն, այն է՝ առաջին թվի քառակուսին a 2 b 2 է, հետևաբար, առաջին թիվը ինքնին ab է, քառակուսին. երկրորդ թիվը 25 է, ինչու երկրորդ թիվն ինքնին 5 է: Հետևաբար, մեր բազմանդամը կարելի է համարել որպես ստացված երկու թվերի գումարը նրանց տարբերությամբ բազմապատկելով, այսինքն.

(ab + 5) (ab - 5):

Երբեմն պատահում է, որ տրված բազմանդամում տերմինները չեն գտնվում այն ​​հերթականությամբ, որին մենք սովոր ենք, օրինակ։

9a 2 + b 2 + 6ab - մտովի մենք կարող ենք վերադասավորել երկրորդ և երրորդ անդամները, և այդ ժամանակ մեզ համար պարզ կդառնա, որ մեր եռանկյունը = (3a + b) 2:

... (մտովի վերադասավորեք առաջին և երկրորդ անդամները):

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 և այլն:

Դիտարկենք մեկ այլ բազմանդամ

a 2 + 2ab + 4b 2.

Մենք տեսնում ենք, որ նրա առաջին անդամը a թվի քառակուսին է, իսկ երրորդ անդամը 2b թվի քառակուսին է, բայց երկրորդ անդամը առաջին թվի կրկնակի արտադրյալը չէ, իսկ երկրորդը, նման արտադրյալը հավասար կլինի. 2 a 2b = 4ab: Հետևաբար, անհնար է այս բազմանդամի նկատմամբ կիրառել երկու թվերի գումարի քառակուսու բանաձևը։ Եթե ​​ինչ-որ մեկը գրել է, որ a 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, ապա դա սխալ կլինի, դուք պետք է ուշադիր հաշվի առնեք բազմանդամի բոլոր պայմանները, նախքան դրա վրա ֆակտորիզացիա կիրառելը բանաձևերով:

40. Երկու մեթոդների համադրություն. Երբեմն բազմանդամները գործակիցների բաժանելիս անհրաժեշտ է համադրել ինչպես ընդհանուր գործակիցը փակագծերից հանելու տեխնիկան, այնպես էլ բանաձեւերի կիրառման տեխնիկան։ Ահա մի քանի օրինակներ.

1. 2a 3 – 2ab 2: Նախ փակագծերից հանում ենք ընդհանուր գործակիցը 2a, ստանում ենք 2a (a 2 - b 2): a 2 - b 2 գործոնն իր հերթին բանաձևի համաձայն տարրալուծվում է (a + b) և (a - b) գործոնների:

Երբեմն անհրաժեշտ է բազմիցս կիրառել ընդլայնման մեթոդը բանաձևերով.

1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

Մենք տեսնում ենք, որ a 2 + b 2 առաջին գործակիցը չի համապատասխանում ծանոթ բանաձևերից որևէ մեկին. Ավելին, հիշելով բաժանման հատուկ դեպքերը (Սեկ. 37), մենք կհաստատենք, որ a 2 + b 2 (երկու թվերի քառակուսիների գումարը) ամենևին էլ գործոն չէ: Ստացված գործակիցներից երկրորդը a 2 - b 2 (տարբերությունը երկու թվերի քառակուսիով) տարրալուծվում է (a + b) և (a - b) գործոնների։ Այսպիսով,

41. Բաժանման հատուկ դեպքերի կիրառում. Ելնելով 37-րդ կետից՝ անմիջապես կարող ենք գրել, որ, օրինակ.