Էգերի ամենապարզ հավասարումները. ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ առաջադրանք՝ պարզ հավասարումների լուծում

«Get an A» տեսադասընթացը ներառում է մաթեմատիկայի քննությունը 60-65 միավորով հաջող հանձնելու համար անհրաժեշտ բոլոր թեմաները։ Ամբողջովին բոլոր առաջադրանքները 1-13 պրոֆիլի ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԵԼ մաթեմատիկայի մեջ: Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական USE-ն անցնելու համար: Եթե ցանկանում եք քննությունը հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Քննությանը նախապատրաստական դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար. Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի քննության 1-ին մասը (առաջին 12 խնդիրները) և 13-րդ խնդիրը (եռանկյունաչափություն) լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական քննության 70 միավորից ավելին է, և առանց դրանց ոչ հարյուր միավոր, ոչ հումանիստ չի կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Արագ լուծումներ, թակարդներ և քննության գաղտնիքներ. Վերլուծվել են FIPI-ի բանկի առաջադրանքների 1-ին մասի բոլոր համապատասխան առաջադրանքները: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է USE-2018-ի պահանջներին:

Դասընթացը պարունակում է 5 խոշոր թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր քննական առաջադրանքներ. Տեքստի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող խնդիրների լուծման ալգորիթմներ: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, բոլոր տեսակի USE առաջադրանքների վերլուծություն: Ստերեոմետրիա. Լուծելու խորամանկ հնարքներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, տարածական երևակայության զարգացում։ Եռանկյունաչափությունը զրոյից - մինչև առաջադրանք 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների տեսողական բացատրություն: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Քննության 2-րդ մասի բարդ խնդիրների լուծման հիմք.

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլփոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

Մեր հավաքած անձնական տվյալները մեզ թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
Եթե դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

Այն դեպքում, երբ դա անհրաժեշտ է՝ օրենքին համապատասխան, դատական կարգով, դատական վարույթում և (կամ) հիմնվելով Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա, բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկատվությունը, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահերի այլ նպատակներով:
Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, այդ թվում՝ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական՝ պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները ապահով են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Հավասարումներ, մաս $C$

Անհայտ թիվ պարունակող հավասարությունը, որը նշվում է տառով, կոչվում է հավասարում: Հավասարության նշանից ձախ արտահայտությունը կոչվում է հավասարման ձախ կողմ, իսկ աջ կողմում գտնվող արտահայտությունը՝ հավասարման աջ կողմ։

Բարդ հավասարումների լուծման սխեմա.

Հավասարումը լուծելուց առաջ անհրաժեշտ է գրել դրա համար թույլատրելի արժեքների մակերեսը (ODV):
Լուծե՛ք հավասարումը.
Հավասարման ստացված արմատներից ընտրե՛ք նրանք, որոնք բավարարում են ODZ-ին։

Տարբեր արտահայտությունների ODZ (արտահայտության տակ մենք կհասկանանք այբբենական գրառումը).

1. Հայտարարի արտահայտությունը չպետք է հավասար լինի զրոյի:

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Արմատային արտահայտությունը չպետք է լինի բացասական:

$√ (g(x)); g(x) ≥ 0$:

3. Արմատական արտահայտությունը հայտարարում պետք է լինի դրական:

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$

4. Լոգարիթմի համար. ենթլոգարիթմական արտահայտությունը պետք է լինի դրական; հիմքը պետք է լինի դրական; հիմքը չի կարող հավասար լինել մեկի:

$log_(f(x))g(x)\աղյուսակ\(\ g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Լոգարիթմական հավասարումներ

Լոգարիթմական հավասարումները $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$ ձևի հավասարումներ են, որտեղ $a$-ը $1$-ից տարբերվող դրական թիվ է և հավասարումներ, որոնք կրճատվում են մինչև այս ձևը:

Լոգարիթմական հավասարումները լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ լոգարիթմների հատկությունները. մենք կդիտարկենք լոգարիթմների բոլոր հատկությունները $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ - ցանկացած իրական թվի համար:

1. Ցանկացած իրական թվերի համար $m$ և $n$ հավասարությունները ճշմարիտ են.

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է յուրաքանչյուր գործակից նույն հիմքի լոգարիթմների գումարին։

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Քաղորդի լոգարիթմը հավասար է նույն հիմքով համարիչի և հայտարարի լոգարիթմների տարբերությանը.

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Երկու լոգարիթմները բազմապատկելիս կարող եք փոխել դրանց հիմքերը

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$ եթե $a, b, c$ և $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, որտեղ $a, b, c > 0, a≠1$

6. Նոր հատակ տեղափոխվելու բանաձև

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Մասնավորապես, եթե անհրաժեշտ է փոխանակել հիմքը և ենթլոգարիթմական արտահայտությունը

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Լոգարիթմական հավասարումների մի քանի հիմնական տեսակներ կան.

Ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումները՝ $log_(a)x=b$: Այս տեսակի հավասարումների լուծումը բխում է լոգարիթմի սահմանումից, այսինքն. $x=a^b$ և $x > 0$

Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ ներկայացնենք լոգարիթմի տեսքով $2$ հիմքով

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Եթե լոգարիթմները նույն հիմքում հավասար են, ապա ենթլոգարիթմական արտահայտությունները նույնպես հավասար են։

Պատասխան՝ $x = $8

Ձևի հավասարումներ՝ $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$: Որովհետեւ հիմքերը նույնն են, ապա հավասարեցնում ենք ենթլոգարիթմական արտահայտությունները և հաշվի ենք առնում ODZ-ը.

$\աղյուսակ\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, a > 0, a≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Որովհետեւ հիմքերը նույնն են, ապա հավասարեցնում ենք ենթլոգարիթմական արտահայտությունները

Բոլոր անդամները փոխանցում ենք հավասարման ձախ կողմում և տալիս ենք նմանատիպ անդամներ

Ստուգենք հայտնաբերված արմատները $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$ պայմանների համաձայն.

Երկրորդ անհավասարության մեջ փոխարինելիս $x=4$ արմատը չի բավարարում պայմանին, հետևաբար՝ այն կողմնակի արմատ է։

Պատասխան՝ $x=-3$

Փոփոխական փոխարինման մեթոդ.

Այս մեթոդով ձեզ հարկավոր է.

Գրի՛ր ՕՁՀ հավասարումը։
Ըստ լոգարիթմների հատկությունների, համոզվեք, որ նույն լոգարիթմները ստացվեն հավասարման մեջ:
Փոխարինեք $log_(a)f(x)$-ը ցանկացած փոփոխականով:
Լուծե՛ք նոր փոփոխականի հավասարումը.
Վերադարձեք 3-րդ քայլին, փոփոխականի փոխարեն փոխեք արժեքը և ստացեք ձևի ամենապարզ հավասարումը. $log_(a)x=b$
Լուծե՛ք ամենապարզ հավասարումը.
Լոգարիթմական հավասարման արմատները գտնելուց հետո անհրաժեշտ է դրանք դնել 1-ին կետում և ստուգել ODZ-ի վիճակը։

Լուծե՛ք $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$ հավասարումը

1. Գրենք ՕՁՀ հավասարումները.

$\table\(\ x>0,\text"քանի որ այն գտնվում է արմատի և լոգարիթմի նշանի տակ";\ √x≠1→x≠1;$

2. Կազմենք լոգարիթմներ $2$ հիմքի վրա, դրա համար երկրորդ անդամում կօգտագործենք նոր հիմքի անցնելու կանոնը.

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Ստանում ենք կոտորակային - ռացիոնալ հավասարում t փոփոխականի նկատմամբ

Եկեք բոլոր տերմինները կրճատենք մինչև $t$ ընդհանուր հայտարարի:

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Կոտորակը զրո է, երբ համարիչը զրո է, իսկ հայտարարը զրո չէ։

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Ստացված քառակուսային հավասարումը լուծում ենք Վիետայի թեորեմի միջոցով.

6. Վերադառնանք 3-րդ քայլին, կատարենք հակադարձ փոխարինումը և ստացենք երկու պարզ լոգարիթմական հավասարումներ.

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Վերցնում ենք հավասարումների ճիշտ մասերի լոգարիթմը

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Հավասարեցրեք ենթալոգարիթմական արտահայտությունները

$√x=2$, $√x=4$

Արմատից ազատվելու համար հավասարման երկու կողմերն էլ քառակուսի ենք դնում

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Փոխարինենք 1-ին կետի լոգարիթմական հավասարման արմատները և ստուգենք ODZ պայմանը:

$\(\աղյուսակ\ 4 >0; \4≠1;$

Առաջին արմատը բավարարում է ODZ-ին։

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Երկրորդ արմատը նույնպես բավարարում է DDE-ին:

Պատասխան՝ $4; 16 դոլար

$log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$ ձևի հավասարումներ։ Նման հավասարումները լուծվում են՝ ներմուծելով նոր փոփոխական և անցնելով սովորական քառակուսային հավասարմանը։ Հավասարման արմատները գտնելուց հետո անհրաժեշտ է ընտրել դրանք՝ հաշվի առնելով ODZ-ը։

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումներ

Եթե կոտորակը զրո է, ապա համարիչը զրո է, իսկ հայտարարը զրո չէ։
Եթե ռացիոնալ հավասարման առնվազն մեկ մասը պարունակում է կոտորակ, ապա հավասարումը կոչվում է կոտորակային ռացիոնալ:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է.

Գտեք այն փոփոխականի արժեքները, որոնց համար հավասարումը իմաստ չունի (ODV)
Գտե՛ք հավասարման մեջ ներառված կոտորակների ընդհանուր հայտարարը.
Բազմապատկել հավասարման երկու կողմերը ընդհանուր հայտարարով;
Լուծեք ստացված ամբողջ հավասարումը;
Բացառեք իր արմատներից նրանք, որոնք չեն բավարարում ODZ պայմանին։

Եթե հավասարման մեջ ներգրավված են երկու կոտորակներ, և համարիչները նրանց հավասար արտահայտություններն են, ապա հայտարարները կարող են հավասարվել միմյանց և ստացված հավասարումը լուծել առանց համարիչներին ուշադրություն դարձնելու։ ԲԱՅՑ հաշվի առնելով ամբողջ սկզբնական հավասարման ODZ-ը:

էքսպոնենցիալ հավասարումներ

Էքսպոնենցիալ հավասարումը այն հավասարումն է, որում անհայտը պարունակվում է աստիճանի մեջ:

Էքսպոնենցիալ հավասարումներ լուծելիս օգտագործվում են հզորությունների հատկությունները, հիշենք դրանցից մի քանիսը.

1. Նույն հիմքերով հզորությունները բազմապատկելիս հիմքը մնում է նույնը, իսկ աստիճանները գումարվում են:

$a^n a^m=a^(n+m)$

2. Նույն հիմքերով աստիճանները բաժանելիս հիմքը մնում է նույնը, իսկ ցուցիչները հանվում են.

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Աստիճանը մինչև հզորություն բարձրացնելիս հիմքը մնում է նույնը, իսկ ցուցիչները բազմապատկվում են.

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Արտադրանքը հզորության բարձրացնելիս յուրաքանչյուր գործոն բարձրացվում է այս հզորության

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Կոտորակը մեծացնելու դեպքում համարիչը և հայտարարը բարձրացվում են այս աստիճանի.

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Ցանկացած հիմք զրոյական աստիճանի բարձրացնելիս արդյունքը հավասար է մեկի

7. Ցանկացած բացասական ցուցիչի հիմքը կարող է ներկայացվել որպես հիմք նույն դրական ցուցիչում` փոխելով հիմքի դիրքը կոտորակի գծի նկատմամբ:

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Ռադիկալը (արմատը) կարելի է ներկայացնել որպես աստիճան՝ կոտորակային ցուցիչով

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Էքսպոնենցիալ հավասարումների տեսակները.

1. Պարզ էքսպոնենցիալ հավասարումներ.

ա) $a^(f(x))=a^(g(x))$ ձևը, որտեղ $a >0, a≠1, x$ անհայտ է: Նման հավասարումներ լուծելու համար մենք օգտագործում ենք հզորությունների հատկությունը՝ միևնույն հիմք ունեցող հզորությունները ($а >0, a≠1$) հավասար են միայն այն դեպքում, երբ դրանց ցուցիչները հավասար են։

բ) $a^(f(x))=b, b>0$ ձևի հավասարում

Նման հավասարումներ լուծելու համար անհրաժեշտ է $a$ հիմքում վերցնել լոգարիթմի երկու մասերը, պարզվում է.

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Հիմքի ճշգրտման մեթոդ:

3. Ֆակտորիզացիայի և փոփոխականի փոփոխության մեթոդ.

Այս մեթոդի համար ամբողջ հավասարման մեջ, ըստ աստիճանների հատկության, անհրաժեշտ է աստիճանները վերածել $a^(f(x))$ մեկ ձևի։
Փոխեք $a^(f(x))=t փոփոխականը, t > 0$:
Ստանում ենք ռացիոնալ հավասարում, որը պետք է լուծվի արտահայտությունը գործակցելով։
Կատարում ենք հակադարձ փոխարինումներ՝ հաշվի առնելով, որ $t >

Լուծե՛ք $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$ հավասարումը.

Աստիճանների հատկությամբ մենք արտահայտությունը փոխակերպում ենք այնպես, որ ստացվի 2^x աստիճանը։

$(2^x)^3-(7 (2^x)^2)/(2)+(7 2^x)/(2-1)=0$

Փոխենք $2^x=t փոփոխականը; t> 0$

Մենք ստանում ենք ձևի խորանարդ հավասարում

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Բազմապատկեք ամբողջ հավասարումը $2$-ով, որպեսզի ազատվեք հայտարարներից

$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Եկեք ընդլայնենք հավասարման ձախ կողմը խմբավորման մեթոդով

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Առաջին փակագծից հանում ենք $2$ ընդհանուր գործակիցը, երկրորդ փակագծից $7t$

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Բացի այդ, առաջին փակագծում տեսնում ենք խորանարդների տարբերության բանաձեւը

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Արտադրյալը զրո է, երբ գործոններից առնվազն մեկը զրո է

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Լուծենք առաջին հավասարումը

Երկրորդ հավասարումը լուծում ենք դիսկրիմինանտի միջոցով

$D=25-4 2 2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

Պատասխան՝ $-1; 0; 1$

4. Քառակուսային հավասարման վերածելու մեթոդ

Մենք ունենք $A·a^(2f(x))+В·a^(f(x))+С=0$ ձևի հավասարում, որտեղ $A, B$ և $C$ գործակիցներ են։
Փոփոխությունը կատարում ենք $a^(f(x))=t, t > 0$:
Ստացվում է $A·t^2+B·t+С=0$ ձևի քառակուսային հավասարում։ Մենք լուծում ենք ստացված հավասարումը.
Կատարում ենք հակադարձ փոխարինում՝ հաշվի առնելով, որ $t > 0$։ Ստանում ենք ամենապարզ $a^(f(x))=t$ էքսպոնենցիալ հավասարումը, լուծում ենք այն և ի պատասխան գրում արդյունքը։

Ֆակտորինգի մեթոդներ.

Ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելը.

Բազմանդամը ֆակտորիզացնելու համար փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը, անհրաժեշտ է.

Որոշեք ընդհանուր գործոնը:
Տրված բազմանդամը բաժանի՛ր նրա վրա։
Գրե՛ք ընդհանուր գործակցի և ստացված գործակիցի արտադրյալը (այս գործակիցը փակելով փակագծերում):

Գործոնացնել բազմանդամը՝ $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$:

Այս բազմանդամի ընդհանուր գործակիցը $2a$ է, քանի որ բոլոր տերմինները բաժանվում են $2$-ի և “a”-ի: Այնուհետև մենք գտնում ենք սկզբնական բազմանդամը «2a»-ի բաժանելու գործակիցը, ստանում ենք.

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Սա ֆակտորիզացիայի վերջնական արդյունքն է։

Համառոտ բազմապատկման բանաձևերի կիրառում

1. Գումարի քառակուսին տարրալուծվում է առաջին թվի քառակուսու՝ գումարած առաջին թվի արտադրյալի կրկնապատիկը երկրորդ թվով և գումարած երկրորդ թվի քառակուսին:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Տարբերության քառակուսին տարրալուծվում է առաջին թվի քառակուսու՝ հանած առաջին թվի արտադրյալի կրկնապատիկը երկրորդի և գումարած երկրորդ թվի քառակուսու վրա:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Քառակուսիների տարբերությունը տարրալուծվում է թվերի տարբերության և դրանց գումարի արտադրյալի։

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Գումարի խորանարդը հավասար է առաջին թվի խորանարդին գումարած եռապատիկ առաջին և երկրորդ թվի քառակուսին գումարած եռապատիկ առաջինի արտադրյալը և երկրորդ թվի քառակուսին գումարած երկրորդ թվի խորանարդը։ .

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Տարբերության խորանարդը հավասար է առաջին թվի խորանարդին՝ հանած առաջին և երկրորդ թվերի քառակուսու արտադրյալի եռապատիկը, գումարած եռապատիկ առաջինի և երկրորդ թվի քառակուսու արտադրյալը և հանած. երկրորդ թվի խորանարդը.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6.Խորանարդների գումարը հավասար է թվերի գումարի և տարբերության ոչ լրիվ քառակուսու արտադրյալին:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7.Խորանարդների տարբերությունը հավասար է թվերի տարբերության արտադրյալին գումարի թերի քառակուսու վրա:

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Խմբավորման մեթոդ

Խմբավորման մեթոդը հարմար է օգտագործել, երբ անհրաժեշտ է բազմանդամի ֆակտորիզացնել զույգ թվով անդամներով։ Այս մեթոդով անհրաժեշտ է խմբերով հավաքել տերմինները և յուրաքանչյուր խմբից փակագծից հանել ընդհանուր գործոնը։ Մի քանի խմբեր փակագծերում տեղադրվելուց հետո պետք է ստանան նույն արտահայտությունները, այնուհետև այս փակագիծը առաջ ենք տանում որպես ընդհանուր գործակից և բազմապատկում ենք ստացված գործակիցի փակագծով։

Գործոնացնել $2a^3-a^2+4a-2$ բազմանդամը

Այս բազմանդամն ընդլայնելու համար մենք օգտագործում ենք գումարելի խմբավորման մեթոդը, դրա համար խմբավորում ենք առաջին երկու և վերջին երկու անդամները, մինչդեռ կարևոր է նշանը ճիշտ դնել երկրորդ խմբավորման դիմաց, դնում ենք + նշանը և հետևաբար գրում ենք. տերմիններն իրենց նշաններով փակագծերում:

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Ընդհանուր գործոնները հանելուց հետո մենք ստացանք մի զույգ նույնական փակագծեր: Այժմ մենք հանում ենք այս փակագիծը որպես ընդհանուր գործոն։

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Այս փակագծերի արտադրյալը ֆակտորիզացիայի վերջնական արդյունքն է:

Օգտագործելով քառակուսի եռանդամի բանաձևը.

Եթե կա $ax^2+bx+c$ ձևի քառակուսի եռանկյուն, ապա այն կարող է ընդլայնվել բանաձևով.

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, որտեղ $x_1$ և $x_2$ քառակուսի եռանկյունի արմատներն են