Ի՞նչ է գծային անհավասարությունների համակարգը: Անհավասարությունների համակարգեր - Գիտելիքի հիպերմարկետ
Դիտարկենք օրինակներ, թե ինչպես կարելի է լուծել գծային անհավասարությունների համակարգը:
4x + 29 \end(array) \right.\]" title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Համակարգը լուծելու համար անհրաժեշտ է դրա կազմող յուրաքանչյուր անհավասարություն: Միայն որոշում է կայացվում գրել ոչ թե առանձին, այլ միասին՝ դրանք համադրելով գանգուր փակագծով։
Համակարգի անհավասարություններից յուրաքանչյուրում անհայտները տեղափոխում ենք մի կողմ, հայտնիները՝ մյուս կողմ՝ հակառակ նշանով.
Title="(!LANG:Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}
Պարզեցումից հետո անհավասարության երկու մասերը պետք է բաժանվեն x-ից առաջ թվով: Առաջին անհավասարությունը բաժանում ենք դրական թվի, ուստի անհավասարության նշանը չի փոխվում։ Երկրորդ անհավասարությունը բաժանում ենք բացասական թվի, ուստի անհավասարության նշանը պետք է հակադարձվի.
Title="(!LANG:Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}
Անհավասարությունների լուծումը նշում ենք թվային տողերի վրա.
Ի պատասխան՝ գրում ենք լուծումների հատման կետը, այսինքն՝ այն հատվածը, որտեղ ստվերումը երկու տողերի վրա է։
Պատասխան՝ x∈[-2;1):
Ազատվենք առաջին անհավասարության կոտորակից։ Դրա համար մենք երկու մասերն էլ բազմապատկում ենք անդամ առ անդամ ամենափոքր ընդհանուր հայտարարով 2: Դրական թվով բազմապատկելիս անհավասարության նշանը չի փոխվում:
Բացեք փակագծերը երկրորդ անհավասարության մեջ։ Երկու արտահայտությունների գումարի և տարբերության արտադրյալը հավասար է այս արտահայտությունների քառակուսիների տարբերությանը։ Աջ կողմում նշված է երկու արտահայտությունների տարբերության քառակուսին:
Title="(!LANG:Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}
Անհայտները տեղափոխում ենք մի կողմ, հայտնիները՝ հակառակ նշանով և պարզեցնում.
Անհավասարության երկու կողմերը բաժանե՛ք x-ից առաջ թվով: Առաջին անհավասարության մեջ մենք բաժանում ենք բացասական թվի, ուստի անհավասարության նշանը հակադարձվում է։ Երկրորդում մենք բաժանում ենք դրական թվի, անհավասարության նշանը չի փոխվում.
Title="(!LANG:Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}
Երկու անհավասարություններն էլ նշվում են «պակաս, քան» (կարևոր չէ, որ մի նշանը խիստ «պակաս» է, մյուսը խիստ չէ, «պակաս կամ հավասար»): Մենք չենք կարող նշել երկու լուծումները, բայց օգտագործել կանոնը «»: Ամենափոքրը 1-ն է, հետևաբար, համակարգը վերածվում է անհավասարության
Թվային տողի վրա նշում ենք դրա լուծումը.
Պատասխան՝ x∈(-∞;1]:
Բացում ենք փակագծերը։ Առաջին անհավասարության մեջ - . Այն հավասար է այս արտահայտությունների խորանարդների գումարին։
Երկրորդում՝ երկու արտահայտությունների գումարի և տարբերության արտադրյալը, որը հավասար է քառակուսիների տարբերությանը: Քանի որ փակագծերի դիմաց կա մինուս նշան, ավելի լավ է դրանք բացել երկու փուլով. նախ օգտագործեք բանաձևը և միայն դրանից հետո բացեք փակագծերը՝ փոխելով յուրաքանչյուր տերմինի նշանը հակառակը։
Անհայտները տեղափոխում ենք մի կողմ, հայտնիները՝ մյուսը՝ հակառակ նշանով.
Title="(!LANG:Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}
Երկուսն էլ ավելի մեծ են, քան նշանները: Օգտագործելով «ավելի քան ավելի» կանոնը, մենք անհավասարությունների համակարգը նվազեցնում ենք մեկ անհավասարության: Երկու թվերից մեծը 5 է, ուրեմն
Title="(!LANG:Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}
Անհավասարության լուծումը նշում ենք թվային ուղղի վրա և գրում պատասխանը. 
Պատասխան՝ x∈(5;∞):
Քանի որ գծային անհավասարությունների համակարգերը հանրահաշիվում առաջանում են ոչ միայն որպես ինքնուրույն առաջադրանքներ, այլև տարբեր տեսակի հավասարումների, անհավասարությունների և այլնի լուծման ընթացքում, կարևոր է ժամանակին սովորել այս թեման:
Հաջորդ անգամ մենք կքննարկենք գծային անհավասարությունների համակարգերի լուծման օրինակներ հատուկ դեպքերում, երբ անհավասարություններից մեկը լուծում չունի կամ դրա լուծումը որևէ թիվ է:
Ռուբրիկա՝ |ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ I
§ 23 Գծային անհավասարությունների համակարգեր
Գծային անհավասարությունների համակարգ երկու կամ ավելի գծային անհավասարությունների ցանկացած բազմություն է, որը պարունակում է նույն անհայտ մեծությունը:
Նման համակարգերի օրինակներն են.
Անհավասարությունների համակարգ լուծել նշանակում է գտնել անհայտ մեծության բոլոր արժեքները, որոնց համար բավարարված է համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարություն:
Եկեք լուծենք վերը նշված համակարգերը.
Տեղադրենք երկու թվային տող մեկը մյուսի տակ (նկ. 31); վերևում նշեք այդ արժեքները X , որի տակ առաջին անհավասարությունը ( X > 1), իսկ ներքևում` այդ արժեքները X , որի դեպքում բավարարվում է երկրորդ անհավասարությունը ( X > 4).
Համեմատելով թվային տողերի արդյունքները՝ մենք նշում ենք, որ երկու անհավասարություններն էլ միաժամանակ կբավարարվեն. X > 4. Պատասխանել, X > 4.
Առաջին անհավասարությունը տալիս է -3 X < -б, или X > 2, իսկ երկրորդը - X > -8, կամ X < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения X , որի տակ բավարարվում է համակարգի առաջին անհավասարությունը, իսկ երկրորդ իրական գծի վրա, որը գտնվում է առաջինի տակ, բոլոր այդ արժեքները. X , որի համար բավարարվում է համակարգի երկրորդ անհավասարությունը (նկ. 32)։
Այս երկու արդյունքների համեմատությունը ցույց է տալիս, որ երկու անհավասարությունները միաժամանակ կպահպանվեն բոլոր արժեքների համար X , եզրակացված 2-ից 8. Նման արժեքների հավաքածու X գրվում է որպես կրկնակի անհավասարություն 2< X < 8.
Օրինակ 3. Լուծե՛ք անհավասարությունների համակարգ
Համակարգի առաջին անհավասարությունը տալիս է 5 X < 10, или X < 2, второе X > 4. Այսպիսով, ցանկացած թիվ, որը միաժամանակ բավարարում է երկու անհավասարություններին, պետք է լինի 2-ից ոչ ավելի և 4-ից ոչ ավելի (նկ. 33):
Բայց նման թվեր չկան։ Այսպիսով այս համակարգըանհավասարությունները չեն բավարարվում որևէ արժեքի համար X . Անհավասարությունների նման համակարգերը կոչվում են անհամապատասխան:
Զորավարժություններ
Լուծե՛ք անհավասարությունների այս համակարգերը (թիվ 179 -184).
Լուծել անհավասարություններ (թիվ 185, 186):
185. (2X + 3) (2 - 2X ) > 0. 186. (2 - π ) (2X - 15) (X + 4) > 0.
Գտեք հավասարության տվյալների մեջ ներառված տառերի վավեր արժեքները (թիվ 187, 188).
Լուծել անհավասարություններ (թիվ 189, 190):
189. 1 < 2X - 5 < 2. 190. -2 < 1 - Օ՜ < 5.
191. Որքա՞ն պետք է լինի 10 լիտր ջրի ջերմաստիճանը, որպեսզի այն 15 ° ջերմաստիճանում 6 լիտր ջրի հետ խառնելիս ստացվի առնվազն 30 ° 40 ° ջերմաստիճանի ջուր:
192. Եռանկյան մի կողմը 4 սմ է, իսկ մյուս երկուսի գումարը 10 սմ։Գտի՛ր այս կողմերը, եթե դրանք արտահայտված են ամբողջ թվերով։
193. Հայտնի է, որ երկու գծային անհավասարությունների համակարգը չի բավարարվում անհայտ մեծության որևէ արժեքի համար: Կարելի՞ է ասել, որ այս համակարգի անհատական անհավասարությունները չեն բավարարվում անհայտ մեծության որևէ արժեքի համար:
Սահմանում 1 . կետերի հավաքածու տիեզերքում Ռ n , որի կոորդինատները բավարարում են հավասարումը ա 1 X 1 + ա 2 X 2 +…+ ա n x n = բ, կոչվում է ( n - 1 )-չափային հիպերպլան in n- ծավալային տարածություն.
Թեորեմ 1. Հիպերպլանն ամբողջ տարածությունը բաժանում է երկու կիսատության: Կիսատությունը ուռուցիկ բազմություն է։
Վերջավոր թվով կիսաբացությունների հատումը ուռուցիկ բազմություն է։
Թեորեմ 2 . Գծային անհավասարության լուծում nանհայտ
ա 1 X 1 + ա 2 X 2 +…+ ա n x n բ
այն կիսատ տարածություններից մեկն է, որոնց ամբողջ տարածությունը բաժանված է հիպերպլանով
ա 1 X 1 + ա 2 X 2 +…+ա n x n= բ.
Դիտարկենք համակարգ մհետ գծային անհավասարություններ nանհայտ.
Համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարության լուծումը որոշակի կիսատ տարածություն է։ Համակարգի լուծումը կլինի բոլոր կիսատությունների հատումը։ Այս հավաքածուն կլինի փակ և ուռուցիկ:
Գծային անհավասարությունների համակարգերի լուծում
երկու փոփոխականներով
Թող համակարգ տրվի մգծային անհավասարություններ երկու փոփոխականներում.
Յուրաքանչյուր անհավասարության լուծումը կլինի այն կիսահարթություններից մեկը, որի վրա ամբողջ հարթությունը բաժանված է համապատասխան ուղիղով: Համակարգի լուծումը կլինի այս կիսահարթությունների հատումը։ Այս խնդիրը կարող է լուծվել գրաֆիկորեն հարթության վրա X 1 0 X 2 .
37. Ուռուցիկ բազմանկյունի պատկեր
Սահմանում 1. Փակված ուռուցիկսահմանափակ սահմանում Ռ n վերջավոր թիվ ունենալը անկյունային կետեր, կոչվում է ուռուցիկ n- ծավալային պոլիեդրոն:
Սահմանում 2 . Ներս մտավ փակ ուռուցիկ, անսահմանափակ Ռ n , որն ունի վերջավոր թվով անկյունային կետեր, կոչվում է ուռուցիկ բազմանիստ շրջան։
Սահմանում 3 . Մի փունջ ԲԱՅՑՌ n-ը կոչվում է սահմանափակ, եթե կա n- այս հավաքածուն պարունակող ծավալային գնդակ:
Սահմանում 4. Կետերի ուռուցիկ գծային համակցությունը արտահայտություն է, որտեղ t i , .
Թեորեմ (ուռուցիկ բազմանկյունի ներկայացման թեորեմ):Ուռուցիկ բազմանիստի ցանկացած կետ կարող է ներկայացվել որպես նրա անկյունային կետերի ուռուցիկ գծային համակցություն:
38. Հավասարումների և անհավասարությունների համակարգի թույլատրելի լուծումների տարածքը:
Թող համակարգ տրվի մհետ գծային հավասարումներ և անհավասարումներ nանհայտ.
Սահմանում 1 . Կետ Ռ n-ը կոչվում է համակարգի հնարավոր լուծում, եթե դրա կոորդինատները բավարարում են համակարգի հավասարումներն ու անհավասարությունները։ Բոլորի ամբողջությունը հնարավոր լուծումներկոչվում է համակարգի հնարավոր լուծումների տիրույթ (ROA):
Սահմանում 2. Հնարավոր լուծումը, որի կոորդինատները ոչ բացասական են, կոչվում է համակարգի թույլատրելի լուծում: Բոլոր թույլատրելի լուծումների հավաքածուն կոչվում է համակարգի թույլատրելի լուծումների տարածք (DDR):
Թեորեմ 1 . ODE-ն փակ, ուռուցիկ, սահմանափակ (կամ անսահմանափակ) ենթաբազմություն է Ռ n.
Թեորեմ 2. Համակարգի թույլատրելի լուծումը հղում է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այս կետը ODS-ի անկյունային կետն է:
Թեորեմ 3 (Թեորեմ ODT-ի ներկայացման վերաբերյալ):Եթե ODE-ն սահմանափակված բազմություն է, ապա ցանկացած թույլատրելի լուծում կարող է ներկայացվել որպես ODE-ի անկյունային կետերի ուռուցիկ գծային համակցություն (համակարգի օժանդակ լուծումների ուռուցիկ գծային համակցության տեսքով):
Թեորեմ 4 (համակարգի օժանդակ լուծման առկայության թեորեմ). Եթե համակարգն ունի առնվազն մեկ թույլատրելի լուծում (ODR), ապա թույլատրելի լուծումների թվում կա առնվազն մեկ հղումային լուծում:
նույն անհայտ մեծությունը պարունակող երկու կամ ավելի գծային անհավասարությունների ցանկացած հավաքածու կոչվում է
Ահա այսպիսի համակարգերի օրինակներ.
Երկու ճառագայթների հատման միջակայքը մեր լուծումն է: Հետևաբար, այս անհավասարության լուծումը բոլորն է Xգտնվում է երկուսի և ութի միջև:
Պատասխան. X
Անհավասարությունների համակարգի լուծման այս տեսակի քարտեզագրման կիրառումը երբեմն կոչվում է տանիքի մեթոդ.
Սահմանում:Երկու հավաքածուների խաչմերուկ ԲԱՅՑև ATկոչվում է այդպիսի երրորդ հավաքածու, որը ներառում է բոլոր տարրերը, որոնք ներառված են և մեջ ԲԱՅՑև մեջ AT. Սա կամայական բնույթի բազմությունների հատման իմաստն է։ Այժմ մենք մանրամասնորեն դիտարկում ենք թվային բազմությունները, հետևաբար, գծային անհավասարություններ գտնելիս այդպիսի բազմություններ են ճառագայթները՝ համակողմանի ուղղորդված, հակառակ ուղղորդված և այլն։
Եկեք պարզենք իրականում օրինակներգտնել անհավասարությունների գծային համակարգեր, ինչպես որոշել համակարգում ընդգրկված առանձին անհավասարությունների լուծումների բազմությունների հատումը։
Հաշվել անհավասարությունների համակարգ:
Եկեք երկու ուժի գիծ տեղադրենք մեկը մյուսի տակ: Վերևում մենք դնում ենք այդ արժեքները X,որոնք կատարում են առաջին անհավասարությունը x>7 , իսկ ներքևում - որոնք գործում են որպես երկրորդ անհավասարության լուծում x>10 Մենք փոխկապակցում ենք թվային տողերի արդյունքները, պարզում ենք, որ երկու անհավասարություններն էլ կբավարարվեն x>10.
Պատասխան՝ (10;+∞):
Մենք անում ենք անալոգիա առաջին նմուշի հետ: Տվյալ թվային առանցքի վրա գծեք բոլոր այդ արժեքները Xորի համար գոյություն ունի առաջինը համակարգի անհավասարություն, իսկ երկրորդ թվային առանցքի վրա՝ դրված առաջինի տակ՝ բոլոր այդ արժեքները X, որի համար բավարարվում է համակարգի երկրորդ անհավասարությունը։ Եկեք համեմատենք այս երկու արդյունքները և որոշենք, որ երկու անհավասարությունները միաժամանակ կբավարարվեն բոլոր արժեքների համար Xգտնվում է 7-ի և 10-ի միջև, հաշվի առնելով նշանները, ստանում ենք 7<x≤10
Պատասխան. (7; 10].
Նույն կերպ լուծվում են հետևյալները. անհավասարությունների համակարգեր։
