Podsumowanie: Równania kwadratowe i równania wyższych rzędów. Historia rozwoju równań kwadratowych równania kwadratowe w starożytności

WPROWADZENIE

Wiodące miejsce zajmują równania w szkolnym toku algebry. Ich studiowaniu poświęca się więcej czasu niż jakiemukolwiek innemu tematowi szkolnego kursu matematyki. Siła teorii równań polega na tym, że ma ona nie tylko teoretyczne znaczenie dla poznania praw przyrody, ale służy także określonym celom praktycznym. Większość problemów dotyczących form przestrzennych i relacji ilościowych świata rzeczywistego sprowadza się do rozwiązania różnego rodzaju równania. Opanowując sposoby ich rozwiązywania, ludzie znajdują odpowiedzi na różne pytania z dziedziny nauki i techniki (transport, rolnictwo, przemysł, komunikacja itp.). Również dla kształtowania umiejętności rozwiązywania równań duże znaczenie ma samodzielna praca studenta w nauce rozwiązywania równań. Podczas studiowania dowolnego tematu równania mogą być wykorzystywane jako skuteczny środek konsolidacji, pogłębiania, powtarzania i poszerzania wiedzy teoretycznej w celu rozwoju twórczej aktywności matematycznej uczniów.

We współczesnym świecie równania są szeroko stosowane w różnych gałęziach matematyki przy rozwiązywaniu ważnych problemów aplikacyjnych. Temat ten charakteryzuje się dużą głębią prezentacji i bogactwem powiązań nawiązanych za jego pomocą w nauce, logiczną trafnością prezentacji. Dlatego zajmuje wyjątkową pozycję w linii równań. Studenci zaczynają studiować temat „trójmiany kwadratowe”, mając już pewne doświadczenie, posiadając dość duży zasób algebraicznych i ogólnych pojęć matematycznych, pojęć i umiejętności. W dużej mierze to właśnie na materiale tego tematu konieczne jest zsyntetyzowanie materiału związanego z równaniami, wdrożenie zasad historyzmu i dostępności.

Stosowność tematem jest konieczność realizacji zasad historyzmu i brak materiału do realizacji tego w temacie „Decyzja równania kwadratowe».

Problem badawczy: identyfikacja materiału historycznego do nauki rozwiązywania równań kwadratowych.

Cel: kształtowanie pomysłów dotyczących pracy nad równaniami kwadratowymi na lekcjach matematyki, wybór zestawu lekcji z elementami historyzmu na temat „Równania kwadratowe”.

Przedmiot studiów: rozwiązywanie równań kwadratowych w klasie 8 z wykorzystaniem elementów historyzmu.

Przedmiot badań: równania kwadratowe i opracowanie lekcji na temat uczenia się rozwiązywania równań kwadratowych z wykorzystaniem materiałów historycznych.

Zadania:

dokonać analizy literatury naukowej i metodologicznej dotyczącej problemu badawczego;

analizować podręczniki szkolne i podkreślać w nich miejsce nauki rozwiązywania równań kwadratowych;

odebrać zestaw lekcji na temat rozwiązywania równań kwadratowych z wykorzystaniem materiałów historycznych.

Metody badawcze:

analiza literatury na temat „Rozwiązywanie równań kwadratowych”;

obserwacja uczniów podczas lekcji na temat „Rozwiązywanie równań kwadratowych”;

wybór materiału: lekcje na temat „Rozwiązywanie równań kwadratowych” z wykorzystaniem odniesień historycznych.

§ 1. Z historii powstawania równań kwadratowych

Algebra powstała w związku z rozwiązywaniem różnych problemów za pomocą równań. Zwykle w problemach wymagane jest znalezienie jednej lub kilku niewiadomych, znając jednocześnie wyniki niektórych działań wykonanych na żądanych i podanych wielkościach. Takie problemy sprowadzają się do rozwiązania jednego lub układu kilku równań, do znalezienia pożądanych za pomocą operacji algebraicznych na danych wielkościach. Algebra bada ogólne właściwości działań na ilościach.

Niektóre techniki algebraiczne do rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych były znane już 4000 lat temu w starożytnym Babilonie.

Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia w czasach starożytnych była spowodowana koniecznością rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem obszarów ziemi i roboty ziemne militarny, a także wraz z rozwojem samej astronomii i matematyki. Babilończycy wiedzieli, jak rozwiązywać równania kwadratowe około 2000 rpne. Stosując współczesną notację algebraiczną możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych, oprócz niepełnych, występują np. zupełne równania kwadratowe:

Reguła rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułą współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Niemal wszystkie dotychczas odnalezione teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami podanymi w formie przepisów, bez wskazania sposobu ich znalezienia. Pomimo wysoki poziom rozwój algebry w Babilonie, w tekstach klinowych nie ma pojęcia liczby ujemnej i wspólne metody rozwiązania równań kwadratowych.

Arytmetyka Diofanta nie zawiera systematycznego wykładu algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i rozwiązywane są przez formułowanie równań różnego stopnia.

Podczas kompilacji równań Diophantus umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.

Oto na przykład jedno z jego zadań.

Zadanie 2. „Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn to 96”.

Diophantus argumentuje następująco: z warunku problemu wynika, że ​​pożądane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, to ich iloczyn byłby równy nie 96, ale 100. Zatem jedna z nich będzie więcej niż połowa ich sumy, tj.
. Drugi jest mniejszy, tj.
. Różnica między nimi
. Stąd równanie:

Stąd
. Jedna z pożądanych liczb to 12, druga to 8. Rozwiązanie
bo Diofant nie istnieje, ponieważ matematyka grecka znała tylko liczby dodatnie.

Jeśli rozwiążemy ten problem, wybierając jedną z nieznanych liczb jako niewiadomą, możemy dojść do rozwiązania równania:

Jasne jest, że Diophantus upraszcza rozwiązanie, wybierając połowę różnicy pożądanych liczb jako niewiadomą; udaje mu się zredukować problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego.

Równania kwadratowe w Indiach

Problemy z równaniami kwadratowymi zostały już znalezione w traktacie astronomicznym Aryabhattam, opracowanym w 499 przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski uczony, Brahmagupta (VII w.), wyjaśnił główna zasada rozwiązania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej:

(1)

W równaniu (1) współczynniki mogą być ujemne. Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi.

W Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak naukowiec przyćmić chwałę popularne zespoły, podpowiadanie i rozwiązywanie problemów algebraicznych”. Zadania często ubierano w poetycką formę.

Oto jeden z problemów słynnego matematyka indyjskiego z XII wieku. Bhaskara.

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że autor był świadomy dwuwartościowości pierwiastków równań kwadratowych.

Równanie odpowiadające zadaniu 3 to:

Bhaskara pisze pod przykrywką:

i uzupełnić lewa strona tego równania do kwadratu, dodaje 322 po obu stronach, a następnie otrzymuje:

Równania kwadratowe Al-Chwarizmiego

Traktat algebraiczny Al-Khwarizmiego podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco:

Dla Al-Khwarizmi, który unikał używania liczb ujemnych, warunki każdego z tych równań są dodatkami, a nie odejmowaniem. W tym przypadku równania, które nie mają pozytywnych rozwiązań, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor nakreśla metody rozwiązywania tych równań, wykorzystując metody al-dżabra i al-muqabala. Jego decyzja oczywiście nie pokrywa się całkowicie z naszą. Nie mówiąc już o tym, że jest to czysto retoryczne, należy na przykład zauważyć, że rozwiązując niepełne równanie kwadratowe pierwszego typu, Al-Khwarizmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę zera rozwiązanie, prawdopodobnie dlatego, że w konkretnych zadaniach praktycznych nie ma to znaczenia. Rozwiązując pełne równania kwadratowe, Al-Khwarizmi określa zasady ich rozwiązywania na podstawie konkretnych przykładów liczbowych, a następnie ich geometrycznych dowodów.

Weźmy przykład.

Zadanie 4. „Kwadrat i liczba 21 są równe 10 pierwiastkom. Znajdź pierwiastek "(oznaczający pierwiastek równania
).

Rozwiązanie: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5, odejmij 21 od iloczynu, pozostaje 4. Weź pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5, otrzymasz 3, to będzie żądany korzeń. Lub dodaj 2 do 5, co da 7, to też jest korzeń.

Traktat Al-Khwarizmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, w której systematycznie przedstawiana jest klasyfikacja równań kwadratowych oraz formuły ich rozwiązywania.

Równania kwadratowe w EuropieXII- XVIIw.

Formy rozwiązywania równań kwadratowych na modelu Al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy opisane w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202 roku. Włoski matematyk Leonard Fibonacci. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych.

Książka ta przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z tej księgi zostało przeniesionych do prawie wszystkich europejskich podręczników XIV-XVII wieku. Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej
ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków i współczynników b, c, sformułował w Europie w 1544 r. M. Stiefel.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w ogólny widok Viet ma, ale Viet rozpoznał tylko pozytywne korzenie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. weź pod uwagę oprócz dodatnich i ujemnych pierwiastków. Dopiero w XVII wieku. dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnej postaci.

Początki algebraicznych metod rozwiązywania problemów praktycznych są związane z nauką świat starożytny. Jak wiadomo z historii matematyki, znaczna część problemów natury matematycznej, rozwiązywanych przez egipskich, sumeryjskich, babilońskich skrybów-komputerów (XX-VI w. p.n.e.), miała charakter wykalkulowany. Jednak nawet wtedy od czasu do czasu pojawiały się problemy, w których pożądaną wartość wielkości określały jakieś pośrednie warunki, wymagające, z naszego współczesnego punktu widzenia, sformułowania równania lub układu równań. Początkowo do rozwiązywania takich problemów stosowano metody arytmetyczne. Później zaczęły powstawać początki reprezentacji algebraicznych. Na przykład kalkulatory babilońskie potrafiły rozwiązywać problemy, które z punktu widzenia współczesnej klasyfikacji sprowadzają się do równań drugiego stopnia. Stworzono metodę rozwiązywania problemów tekstowych, która później posłużyła jako podstawa do wyróżnienia składnika algebraicznego i jego samodzielnego badania.

Badanie to zostało przeprowadzone już w innej epoce, najpierw przez matematyków arabskich (VI-X wne), którzy wyodrębnili charakterystyczne działania, za pomocą których równania zostały zredukowane do forma standardowa redukcja wyrazów podobnych, przenoszenie wyrazów z jednej części równania na drugą ze zmianą znaku. A potem europejscy matematycy renesansu, w wyniku długich poszukiwań, stworzyli język współczesnej algebry, użycie liter, wprowadzenie symboli do operacji arytmetycznych, nawiasów itp. Na przełomie XVI- XVII wieki. Algebra jako specyficzna część matematyki, która ma swój przedmiot, metodę, obszary zastosowań, została już ukształtowana. Jej dalszy rozwój, do naszych czasów, polegał na doskonaleniu metod, poszerzaniu zakresu zastosowań, wyjaśnianiu pojęć i ich powiązań z pojęciami innych działów matematyki.

Tak więc, ze względu na wagę i rozległość materiału związanego z pojęciem równania, jego badanie w nowoczesna metodologia matematyka związana jest z trzema głównymi obszarami jej powstania i funkcjonowania.

Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe. Stąd równanie: (10 + x) (10 - x) \u003d 96 lub: 100 - x2 \u003d 96 x2 - 4 \u003d 0 (1) Rozwiązanie x \u003d -2 dla Diofanta nie istnieje, ponieważ matematyka grecka znał tylko liczby dodatnie.

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="(!LANG: Równania kwadratowe w Indiach. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Równania kwadratowe w al-Khorezmi. 1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. ax2 + c \u003d bx. 2) „Kwadraty są równe liczbie”, tj. ax2 = c. 3) „Korzenie są równe liczbie”, tj. ah \u003d c. 4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, czyli ax2 + c = bx. 5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 + bx = c. 6) „Korzenie i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c \u003d ax2.

Równania kwadratowe w Europie w XIII–XVII wieku. x2 + bx = c, ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków współczynników b, c sformułował w Europie dopiero w 1544 r. M. Stiefel.

O twierdzeniu Viety. „Jeżeli B + D razy A – A 2 równa się BD, to A równa się B i równa się D.” W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Viety oznacza: jeśli (a + b)x - x2 = ab, czyli x2 - (a + b)x + ab = 0, to x1 = a, x2 = b.

Metody rozwiązywania równań kwadratowych. 1. METODA: Rozkład lewej strony równania na czynniki. Rozwiąż równanie x2 + 10 x - 24 = 0. Faktoryzuj lewą stronę: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x-2). Dlatego równanie można przepisać w następujący sposób: (x + 12) (x - 2) = 0 Ponieważ iloczyn jest równy zero, to przynajmniej jeden z jego współczynników zero. Dlatego lewa strona równania znika przy x = 2, a także przy x = - 12. Oznacza to, że liczby 2 i - 12 są pierwiastkami równania x2 + 10 x - 24 = 0.

2. METODA: Metoda pełnego wyboru kwadratu. Rozwiążmy równanie x2 + 6 x - 7 = 0. Wybierz pełny kwadrat po lewej stronie. Aby to zrobić, piszemy wyrażenie x2 + 6 x w następującej postaci: x2 + 6 x \u003d x2 + 2 x 3. W otrzymanym wyrażeniu pierwszy wyraz to kwadrat liczby x, a drugi to podwójny iloczyn x przez 3. Dlatego, aby otrzymać pełny kwadrat, musisz dodać 32, ponieważ x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Teraz przekształcamy lewą stronę równania x2 + 6 x - 7 \u003d 0, dodając do niej i odejmując 32. Mamy: x2 + 6 x - 7 \u003d x2 + 2 x 3 + 32 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16. Zatem to równanie można zapisać w następujący sposób: (x + 3) 2 - 16 \u003d 0, (x + 3) 2 \u003d 16 Dlatego x + 3 - 4 \u003d 0, x1 = 1 lub x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODA: Rozwiązanie równań kwadratowych za pomocą wzoru. Pomnóż obie strony równania ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 przez 4 a i kolejno otrzymujemy: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax) 2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac ,

4. METODA: Rozwiązywanie równań za pomocą twierdzenia Vieta. Jak wiadomo, dane równanie kwadratowe ma postać x2 + px + c \u003d 0. (1) Jego pierwiastki spełniają twierdzenie Vieta, które dla a \u003d 1 ma postać x 1 x 2 \u003d q, x 1 + x 2 \u003d - pa) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 i x 2 = 1, ponieważ q = 2 > 0 i p = - 3 0 i p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 \u003d - 5 i x 2 \u003d 1, ponieważ q \u003d - 5 0; x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 \u003d 9 i x 2 \u003d - 1, ponieważ q \u003d - 9

5. METODA: Rozwiązywanie równań metodą „przeniesienia”. Rozważ równanie kwadratowe ax2 + bx + c \u003d 0, gdzie a ≠ 0. Mnożąc obie jego części przez a, otrzymujemy równanie a 2 x2 + abx + ac \u003d 0. Niech ax \u003d y, skąd x \ u003d r / r; wtedy dochodzimy do równania y2 + przez + ac = 0, które jest równoważne danemu. Znajdujemy jego pierwiastki y1 i y2 za pomocą twierdzenia Vieta. Ostatecznie otrzymujemy x1 = y1/a i x1 = y2/a.

Przykład. Rozwiążmy równanie 2 x2 - 11 x + 15 = 0. Rozwiązanie. „Wrzuć” współczynnik 2 do wyrazu wolnego, w wyniku otrzymamy równanie y2 - 11 y + 30 = 0. Zgodnie z twierdzeniem Vieta y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Odpowiedź : 2, 5; 3. x 1 = 2, 5 x 2 = 3.

6. METODA: Własności współczynników równania kwadratowego. A. Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax2 + bx + c \u003d 0, gdzie a ≠ 0. 1) Jeśli a + b + c \u003d 0 (tj. suma współczynników wynosi zero), to x1 \u003d 1, x2 \u003d c / ale. Dowód. Podziel obie strony równania przez a ≠ 0, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + b / ax + c / a \u003d 0. Zgodnie z twierdzeniem Vieta x 1 + x 2 \u003d - b / a, x 1 x 2 \u003d 1 c / a. Warunek a - b + c = 0, skąd b = a + c. Zatem x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a, x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a), tj. x1 \u003d -1 i x2 \u003d c /a, co miało być udowodnione.

B. Jeśli drugi współczynnik b \u003d 2 k jest liczbą parzystą, to wzór pierwiastka C. Powyższe równanie x2 + px + q \u003d 0 pokrywa się z równaniem ogólnym, w którym a \u003d 1, b \u003d p i c \u003d q. Dlatego dla zredukowanego równania kwadratowego wzór na pierwiastki

7. METODA: Graficzne rozwiązanie równania kwadratowego. Jeżeli w równaniu x2 + px + q = 0 przenosimy drugi i trzeci składnik na prawą stronę, to otrzymujemy x2 = - px - q. Zbudujmy wykresy zależności y \u003d x2 i y \u003d - px - q.

Przykład 1) Rozwiążmy graficznie równanie x2 - 3 x - 4 = 0 (ryc. 2). Rozwiązanie. Piszemy równanie w postaci x2 \u003d 3 x + 4. Konstruujemy parabolę y \u003d x2 i linię prostą y \u003d 3 x + 4. Linię prostą y \u003d 3 x + 4 można zbudować za pomocą dwóch punkty M (0; 4) i N (3; 13) . Odpowiedź: x1 = - 1; x2 = 4

8. METODA: Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą cyrkla i linijki. znalezienie korzeni kwadratowego kompasu i linijki (ryc. 5). Równania Następnie, z twierdzenia o siecznych, mamy OB OD = OA OC, skąd OC = OB OD/ OA= x1 x2/1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 z

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="(!LANG:1) Promień okręgu większy niż rzędna środkowa (AS > SK lub R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. METODA: Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą nomogramu. z 2 + pz + q = 0. Skala krzywoliniowa nomogramu jest zbudowana według wzorów (rys. 11): Zakładając OS = p, ED = q, OE = a (wszystkie w cm), Z podobieństwa trójkątów SAN i CDF uzyskujemy proporcje

Przykłady. 1) Dla równania z 2 - 9 z + 8 = 0, nomogram daje pierwiastki z 1 = 8, 0 i z 2 = 1, 0 (ryc. 12). 2) Używając nomogramu rozwiązujemy równanie 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Współczynniki tego równania dzielimy przez 2, otrzymujemy równanie z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomogram podaje pierwiastki z 1 = 4 i z 2 = 0, 5. 3) Dla równania z 2 - 25 z + 66 \u003d 0 współczynniki p i q są poza skalą, wykonujemy podstawienie z \u003d 5 t, my uzyskaj równanie t 2 - 5 t + 2, 64 \u003d 0, które rozwiązujemy za pomocą nomogramów i otrzymujemy t 1 = 0,6 i t 2 = 4,4, skąd z 1 = 5 t 1 = 3,0 i z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. METODA: Geometryczny sposób rozwiązywania równań kwadratowych. Przykłady. 1) Rozwiążmy równanie x2 + 10 x = 39. W oryginale problem ten jest sformułowany w następujący sposób: „Kwadrat i dziesięć pierwiastków równa się 39” (ryc. 15). Dla żądanego boku x pierwotnego kwadratu otrzymujemy

y2 + 6 y - 16 = 0. Rozwiązanie pokazano na ryc. 16, gdzie y2 + 6 y = 16 lub y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Rozwiązanie. Wyrażenia y2 + 6 y + 9 i 16 + 9 są geometrycznie tym samym kwadratem, a pierwotne równanie y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 jest tym samym równaniem. Skąd otrzymujemy, że y + 3 = ± 5 lub y1 = 2, y2 = - 8 (ryc. 16).

a) Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia, już w starożytności, spowodowana była koniecznością rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem obszarów gruntów i robót ziemnych o charakterze militarnym, a także z zagospodarowaniem samej astronomii i matematyki. Równania kwadratowe były w stanie rozwiązać około 2000 r. p.n.e. Babilończycy. Stosując współczesną notację algebraiczną, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych oprócz niepełnych występują np. zupełne równania kwadratowe:

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14

Reguła rozwiązywania tych równań, przedstawiona w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułą współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Niemal wszystkie dotychczas odnalezione teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami podanymi w formie przepisów, bez wskazania sposobu ich znalezienia.

Pomimo wysokiego poziomu rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje koncepcji liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

W „Arytmetyce” Diophantus nie ma systematycznej prezentacji algebry, zawiera ona jednak usystematyzowany ciąg problemów, któremu towarzyszą wyjaśnienia i rozwiązywane są przez zestawienie równań różnego stopnia.

Podczas kompilacji równań Diophantus umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.

Oto na przykład jedno z jego zadań.

Zadanie 2. „Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn 96”.

Diophantus argumentuje w następujący sposób: z warunku problemu wynika, że ​​pożądane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, to ich iloczyn nie byłby 96, ale 100. Zatem jedna z nich będzie więcej niż połowa ich suma, tj. 0,10 + x. Drugi jest mniejszy, tj. 10 - x. Różnica między nimi wynosi 2x. Stąd równanie:

(10+x)(10-x)=96,

lub

Stąd x = 2. Jedna z pożądanych liczb to 12, druga to 8. Rozwiązanie x = -2 dla Diofanta nie istnieje, ponieważ grecka matematyka znała tylko liczby dodatnie.

Jeśli rozwiążemy ten problem, wybierając jedną z nieznanych liczb jako niewiadomą, możemy dojść do rozwiązania równania:

Jasne jest, że Diophantus upraszcza rozwiązanie, wybierając połowę różnicy pożądanych liczb jako niewiadomą; udaje mu się zredukować problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego.
b) Równania kwadratowe w Indiach.

Problemy z równaniami kwadratowymi zostały już znalezione w traktacie astronomicznym „Aryabhattayam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabahattę. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII w.), przedstawił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do jednej postaci kanonicznej

Oh 2 + bx = c, a > 0

W równaniu współczynniki , z wyjątkiem ale, może być ujemna. Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi.

W Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczona osoba przyćmiewa chwałę na publicznych zebraniach, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Zadania często ubierano w poetycką formę.

Oto jeden z problemów słynnego matematyka indyjskiego z XII wieku. Bhaskara.

Zadanie 3.

Równanie odpowiadające zadaniu 3 to:

Bhaskara pisze pod przykrywką:

x 2 - 64x = - 768

i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje 32 2 do obu stron, a następnie otrzymujemy:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) równania kwadratowe Al-Chwarizmiego

Traktat algebraiczny Al-Khwarizmiego podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco:

1. 
   „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. ax 2 = bx.
2. 
   „Kwadraty są równe liczbie”, tj. topór 2 = c.
3. 
   „Pierwiastki są równe liczbie”, czyli ax = c.
4. 
   „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. ax 2 + c \u003d bx.
5. 
   „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. topór 2 + bx \u003d c.
6. 
   „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c == ax 2.

Weźmy przykład.

Zadanie 4. „Kwadrat i liczba 21 są równe 10 pierwiastkom. Znajdź pierwiastek ”(co oznacza pierwiastek równania x 2 + 21 \u003d 10x).

Rozwiązanie: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5, odejmij 21 od iloczynu, pozostaje 4. Weź pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5, otrzymasz 3, to będzie żądany korzeń. Lub dodaj 2 do 5, co da 7, to też jest korzeń.

Traktat Al-Khwarizmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, w której systematycznie przedstawiana jest klasyfikacja równań kwadratowych oraz formuły ich rozwiązywania.

d) Równania kwadratowe w Europie XIII-XVII wieku.

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na modelu al-Chwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202 r. przez włoskiego matematyka Leonardo Fibonacciego. To obszerne dzieło, które odzwierciedla wpływ matematyki zarówno z krajów islamu, jak i Starożytna Grecja, różni się zarówno kompletnością, jak i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z Księgi Abacus przeszło do prawie wszystkich europejskich podręczników XVI-XVII wieku. a częściowo XVIII.

Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej

x 2 + bx \u003d c,

dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników b, od został sformułowany w Europie dopiero w 1544 r. przez M. Stiefela.

Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, jednak Vieta rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Weź pod uwagę, oprócz dodatnich i ujemnych korzeni. Dopiero w XVII wieku. dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnego wyglądu.

Początki algebraicznych metod rozwiązywania problemów praktycznych związane są z nauką świata starożytnego. Jak wiadomo z historii matematyki, znaczna część problemów natury matematycznej, rozwiązywanych przez egipskich, sumeryjskich, babilońskich skrybów-komputerów (XX-VI w. p.n.e.), miała charakter wykalkulowany. Jednak nawet wtedy od czasu do czasu pojawiały się problemy, w których pożądaną wartość wielkości wyznaczały jakieś pośrednie warunki, wymagające, z naszego współczesnego punktu widzenia, sformułowania równania lub układu równań. Początkowo do rozwiązywania takich problemów stosowano metody arytmetyczne. Później zaczęły powstawać początki reprezentacji algebraicznych. Na przykład kalkulatory babilońskie były w stanie rozwiązać problemy, które można zredukować pod względem współczesna klasyfikacja do równań II stopnia. Stworzono metodę rozwiązywania problemów tekstowych, która później posłużyła jako podstawa do wyróżnienia składnika algebraicznego i jego samodzielnego badania.

Badanie to zostało przeprowadzone już w innej epoce, najpierw przez matematyków arabskich (VI-X wne), którzy wyróżnili charakterystyczne działania, za pomocą których równania zostały sprowadzone do postaci standardowej, redukcja podobnych członów, przeniesienie członów z jednej części równanie na drugie ze zmianą znaku. A potem europejscy matematycy renesansu, w wyniku długich poszukiwań, stworzyli język współczesnej algebry, użycie liter, wprowadzenie symboli do operacji arytmetycznych, nawiasów itp. Na przełomie XVI- XVII wieki. algebra jako specyficzna część matematyki, posiadająca własny przedmiot, metodę, obszary zastosowań, została już ukształtowana. Jej dalszy rozwój, do naszych czasów, polegał na doskonaleniu metod, poszerzaniu zakresu zastosowań, wyjaśnianiu pojęć i ich powiązań z pojęciami innych działów matematyki.

Tak więc, ze względu na wagę i rozległość materiału związanego z pojęciem równania, jego badanie we współczesnej metodologii matematyki wiąże się z trzema głównymi obszarami jego występowania i funkcjonowania.

Z historii równań kwadratowych Autor: uczeń klasy 9 „A” Radchenko Svetlana Promotor: Alabugina I.A. nauczyciel matematyki MBOU „Szkoła średnia nr 5 w Guryevsk” regionu Kemerowo Temat prezentacji: matematyka Stworzony, aby pomóc nauczycielowi Razem 20 slajdów Spis treści Wprowadzenie…………………………………… ………………………… ……………3 Z historii powstania równań kwadratowych Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie………………………………….4 Równania kwadratowe w Indiach… ……………………………………… ………...5 Równania kwadratowe Al-Chwarizmiego …………………………………………………6 Jak skompilował i rozwiązał Diophantus Równania kwadratowe…………………….... 7 Równania kwadratowe w Europie Xll - XVll wieki……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………….10 Metody badania równań kwadratowych……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………..11 10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych……………………………………….12 Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych…… …… ………………13 Algorytm rozwiązywania pełnego równania kwadratowego………………………………..14 rozwiązywanie problemów aplikacyjnych……………………………………………… ……………………………………….16 5.Wniosek. …………………………………………………………………………… 18 1. 2. 6. Wykaz wykorzystanej literatury………………………… … …………….19 2 Wstęp Uznanie za niefortunny ten dzień lub godzinę, w której nie nauczyłeś się niczego nowego, nie wniosło niczego do twojego wykształcenia. Jan Amos Comenius 3 Równania kwadratowe są podstawą, na której opiera się majestatyczny gmach algebry. Są szeroko stosowane w rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, irracjonalnych i transcendentalnych. Wiodące miejsce w szkolnym toku algebry zajmują równania kwadratowe. Dużo czasu szkolnego w matematyce poświęca się na ich studiowanie. Zasadniczo równania kwadratowe służą konkretnym celom praktycznym. Większość problemów dotyczących form przestrzennych i relacji ilościowych świata rzeczywistego sprowadza się do rozwiązywania różnego rodzaju równań, w tym równań kwadratowych. Opanowując sposoby ich rozwiązywania, ludzie znajdują odpowiedzi na różne pytania z dziedziny nauki i techniki. Z historii pojawienia się równań kwadratowych Starożytny Babilon: już około 2000 lat pne Babilończycy wiedzieli, jak rozwiązywać równania kwadratowe. Znane były metody rozwiązywania zarówno pełnych, jak i niepełnych równań kwadratowych. Na przykład w starożytnym Babilonie rozwiązano następujące równania kwadratowe: 4 Indie Problemy rozwiązywane za pomocą równań kwadratowych można znaleźć w traktacie o astronomii „Aryabhattiam”, napisanym przez indyjskiego astronoma i matematyka Aryabhatę w 499 r. n.e. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta, przedstawił uniwersalną zasadę rozwiązywania równania kwadratowego zredukowanego do postaci kanonicznej: ax2+bx=c; ponadto założono, że wszystkie zawarte w nim współczynniki, z wyjątkiem „a”, mogą być ujemne. Zasada sformułowana przez naukowca w zasadzie pokrywa się z tą współczesną. 5 Równania kwadratowe Al-Khwarizmiego: Traktat algebraiczny Al-Khwarizmiego podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco: „Kwadraty są równe pierwiastkom”, czyli oś2 = bx.; „Kwadraty są równe liczbie”, tj. ax2 = c; „Korzenie są równe liczbie”, tj. topór \u003d c; „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. ax2 + c = bx; „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 + bx = c; „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c = ax2. 6 Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe: Jednym z najbardziej osobliwych starożytnych matematyków greckich był Diofant z Aleksandrii. Do tej pory nie wyjaśniono ani roku urodzenia, ani daty śmierci Diofanta; Uważa się, że żył w III wieku. OGŁOSZENIE Z dzieł Diofanta najważniejsza jest Arytmetyka, z której do dziś przetrwało tylko 13 ksiąg. „Arytmetyka” Diofantusa nie zawiera systematycznego wykładu algebry, ale zawiera szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i które rozwiązywane są za pomocą równań różnego stopnia. Podczas kompilacji równań Diophantus umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie. 7 Równania kwadratowe w Europie XII-XVII wiek: Włoski matematyk Leonard Fibonacci niezależnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do pojedynczej postaci kanonicznej x2 + bx = c ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków i współczynników b, c została sformułowana w Europie w 1544 r. przez Michaela Stiefela. 8 Francois Viet Francuski matematyk F. Viet (1540-1603), wprowadził system symboli algebraicznych, opracował podstawy algebry elementarnej. Był jednym z pierwszych, którzy zaczęli oznaczać liczby literami, co znacznie rozwinęło teorię równań. Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, ale Vieta rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. 9 Równania kwadratowe dzisiaj Umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych służy jako podstawa do rozwiązywania innych równań i ich układów. Nauka rozwiązywania równań zaczyna się od ich najprostszych typów, a program powoduje stopniową akumulację obu ich typów oraz „zasób” identycznych i równoważnych przekształceń, za pomocą których można sprowadzić dowolne równanie do najprostszego. W tym kierunku należy również budować proces tworzenia uogólnionych metod rozwiązywania równań w szkolnym toku algebry. Na licealnym kursie matematyki uczniowie mają do czynienia z nowymi klasami równań, układów lub dogłębną nauką znanych już równań 10 Metody badania równań kwadratowych Od początku nauki w ramach kursu algebry systematycznej głównym zwraca się uwagę na metody rozwiązywania równań kwadratowych, które stają się szczególnym przedmiotem badań. Temat ten charakteryzuje się dużą głębią prezentacji i bogactwem powiązań nawiązanych za jego pomocą w nauce, logiczną trafnością prezentacji. Dlatego zajmuje wyjątkową pozycję w linii równań i nierówności. Ważnym punktem w badaniu równań kwadratowych jest uwzględnienie twierdzenia Vieta, które stwierdza istnienie związku między pierwiastkami a współczynnikami zredukowanego równania kwadratowego. Złożoność opanowania twierdzenia Vieta wiąże się z kilkoma okolicznościami. Przede wszystkim należy wziąć pod uwagę różnicę między twierdzeniami prostymi i odwrotnymi. 11 10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych: Rozkład lewej strony równania na czynniki. Pełnokwadratowa metoda selekcji. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Viety. Rozwiązywanie równań metodą „przeniesienia” Własności współczynników równania kwadratowego. Graficzne rozwiązanie równania kwadratowego. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą cyrkla i linijki. 12 Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą nomogramu. Geometryczny sposób rozwiązywania równań kwadratowych. Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych 1) jeśli równanie ma postać ax2 = 0, to ma jeden pierwiastek x = 0; 2) jeżeli równanie ma postać ax2 + bx = 0, to stosuje się metodę faktoryzacji: x (ax + b) = 0; więc albo x = 0 albo ax + b = 0. W rezultacie otrzymujemy dwa pierwiastki: x1 = 0; x2 \u003d 3) jeśli równanie ma postać ax2 + c \u003d 0, to jest konwertowane do postaci ax2 \u003d - c, a następnie x2. = W przypadku, gdy -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, czyli - \u003d m, gdzie m>0, równanie x2 \u003d m ma dwa pierwiastki.Tak więc niepełne równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki, jeden pierwiastek, bez pierwiastka. 13 Algorytm rozwiązywania pełnego równania kwadratowego. Są to równania postaci ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c są liczbami, a ≠ 0, x jest niewiadomą. Każde pełne równanie kwadratowe można przekształcić do postaci w celu określenia liczby pierwiastków równania kwadratowego i znalezienia tych pierwiastków. Rozważane są następujące przypadki rozwiązywania pełnych równań kwadratowych: D< 0, D = 0, D >0. 1. Jeśli D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, to równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 ma dwa pierwiastki, które znajdują się we wzorach: ; 14 Rozwiązanie zredukowanych równań kwadratowych Twierdzenie F. Viety: Suma pierwiastków danego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi, przyjętemu ze znakiem przeciwnym, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi wolnemu. Innymi słowy, jeśli x1 i x2 są pierwiastkami równania x2 +px + q = 0, to x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety: Jeżeli wzory (*) są poprawne dla liczb x1, x2, p, q, to ​​x1 i x2 są pierwiastkami równania x2 + px + q = 0,15 Praktyczne zastosowania równania kwadratowe do rozwiązywania problemów stosowanych Bhaskar ( 1114-1185) - największy indyjski matematyk i astronom XII wieku. Kierował obserwatorium astronomicznym w Ujjain. Bhaskara napisał traktat „Siddhanta-shiromani” („Korona nauczania”), składający się z czterech części: „Lilavati” poświęcony jest arytmetyce, „Bizhdaganita” – algebrze, „Goladhaya” – sferze, „Granhaganita” – do teorii ruchów planet. Bhaskara otrzymał negatywne korzenie równań, chociaż wątpił w ich znaczenie. Jest właścicielem jednego z najwcześniejszych projektów perpetum motion. 16 Jeden z problemów słynnego matematyka indyjskiego XII wieku. Bhaskara: Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że autor był świadomy dwuwartościowości pierwiastków równań kwadratowych. 17 Podsumowanie Rozwój nauki o rozwiązywaniu równań kwadratowych przeszedł długą i trudną drogę. Dopiero po pracach Stiefela, Viety, Tartaglii, Cardano, Bombelli, Girarda, Kartezjusza, Newtona nauka rozwiązywania równań kwadratowych przybrała nowoczesną formę. Wartość równań kwadratowych polega nie tylko na elegancji i zwięzłości rozwiązywania problemów, choć jest to bardzo ważne. Nie mniej ważny jest fakt, że w wyniku wykorzystania równań kwadratowych w rozwiązywaniu problemów często odkrywane są nowe szczegóły, można dokonać ciekawych uogólnień i uściśleń, które podpowiada analiza otrzymanych wzorów i zależności. Studiując literaturę i zasoby internetowe związane z historią rozwoju równań kwadratowych, zadałem sobie pytanie: „Co motywowało naukowców żyjących w tak trudnych czasach do uprawiania nauki, nawet pod groźbą śmierci?” Prawdopodobnie przede wszystkim dociekliwość ludzkiego umysłu jest kluczem do rozwoju nauki. Pytania o istotę Świata, o miejsce człowieka w tym świecie nie zawsze dają spokój myślącym, dociekliwym, rozsądnym ludziom. Ludzie przez cały czas starali się zrozumieć siebie, swoje miejsce w świecie. Zajrzyj też w siebie, może ucierpi Twoja naturalna ciekawość, bo uległeś codzienności, lenistwu? Losy wielu naukowców - 18 przykładów do naśladowania. Nie wszystkie nazwiska są dobrze znane i popularne. Pomyśl: kim jestem dla ludzi wokół mnie? Ale najważniejsze jest to, co o sobie myślę, czy zasługuję na szacunek? Pomyśl o tym... Referencje 1. Zvavich L.I. „Algebra klasa 8”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “ słownik encyklopedyczny młody matematyk”, M., 1985. 3. YuN Makarychev „Algebra Grade 8”, M, 2012. /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/ index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Dziękuję za uwagę 20

Przedstawiciele różnych cywilizacji: Starożytny Egipt, Starożytny Babilon, Starożytna Grecja, starożytne Indie, Starożytne Chiny, Średniowieczny Wschód, Europa opanowała techniki rozwiązywania równań kwadratowych.

Po raz pierwszy matematycy starożytnego Egiptu byli w stanie rozwiązać równanie kwadratowe. Jeden z matematycznych papirusów zawiera problem:

"Znajdź boki pola, które ma kształt prostokąta, jeśli jego powierzchnia wynosi 12, a - długości są równe szerokości." „Długość pola wynosi 4”, mówi papirus.

Minęły tysiąclecia, liczby ujemne weszły w algebrę. Rozwiązując równanie x² = 16, otrzymujemy dwie liczby: 4, -4.

Oczywiście w zadaniu egipskim przyjęlibyśmy X = 4, ponieważ długość pola może być tylko wartością dodatnią.

Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy posiadali pewne ogólne metody rozwiązywania problemów o nieznanych ilościach. Zasada rozwiązywania równań kwadratowych podana w tekstach babilońskich jest zasadniczo taka sama jak współczesna, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy „doszli do tego punktu”. Ale w prawie wszystkich znalezionych tekstach papirusowych i klinowych podane są tylko problemy z rozwiązaniami. Autorzy tylko sporadycznie podawali do swoich obliczeń numerycznych złośliwe komentarze typu: „Spójrz!”, „Zrób to!”, „Dobrze trafiłeś!”.

Grecki matematyk Diophantus napisał i rozwiązał równania kwadratowe. Jego „Arytmetyka” nie zawiera systematycznej prezentacji algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i rozwiązywane są przez zestawienie równań różnego stopnia.

Zadania dotyczące kompilacji równań kwadratowych znajdują się już w traktacie astronomicznym „Aria-bhatiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Ariabhattę.

Inny indyjski naukowiec Brahmagupta (VII w.) nakreślił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych postaci ax² + bx = c.

W starożytnych Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach powiedziano: „Podobnie jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczona osoba przyćmi chwałę innej osoby podczas publicznych spotkań, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Zadania często ubierano w poetycką formę.

Oto jeden z problemów słynnego matematyka indyjskiego z XII wieku. Bhaskara:

Rozbrykane stado małp

Dobre jedzenie, dobra zabawa.

Ósma ich część na placu bawiła się na polanie.

A dwanaście wzdłuż winorośli ... zaczęło skakać, wiszące ...​

Ile było małp

Mówisz mi, w tym stadzie?

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że wiedział on o dwuwartościowości pierwiastków równań kwadratowych.

Najstarsze chińskie teksty matematyczne, które do nas dotarły, pochodzą z końca I wieku p.n.e. PNE. W II wieku. PNE. Napisano matematykę w dziewięciu księgach. Później, w VII wieku, został włączony do zbioru „Dziesięć traktatów klasycznych”, który był badany przez wiele stuleci. Traktat „Matematyka w dziewięciu księgach” wyjaśnia, jak wyodrębnić Pierwiastek kwadratowy używając wzoru na kwadrat sumy dwóch liczb.

Metoda została nazwana "tian-yuan" (dosłownie - " niebiański żywioł”) - tak Chińczycy oznaczyli nieznaną ilość.​

Pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, który stał się powszechnie znany, była praca uczonego bagdadzkiego z IX wieku. Muhammad bin Musa al-Chwarizmi. Słowo „al-jabr” – z czasem przekształciło się w znane słowo „algebra”, a sama praca al-Khwarizmiego stała się punktem wyjścia w rozwoju nauki rozwiązywania równań. Traktat algebraiczny Al-Khorezmiego podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia sześć typów równań, wyrażając je następująco:

-kwadraty równe pierwiastki, to jest ah ² = bx;

-kwadraty równa liczba, to jest ah ² = c;

-korzenie są równe liczbie czyli ax = c;

-kwadraty i liczby są równe pierwiastkom, to jest ah ²+ c \u003d bx;

-kwadraty i pierwiastki są równe liczbie, to jest ah ² + bx \u003d c;

-pierwiastki i liczby są kwadratowe, czyli bx + c = ax ²;

Traktat al-Khwarizmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, w której systematycznie przedstawiana jest klasyfikacja równań kwadratowych oraz formuły ich rozwiązywania.

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na modelu al-Chwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w Księdze Liczydła, napisanej w 1202 r. przez włoskiego matematyka Leonardo Fibonacciego. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z Księgi Abakusa zostało zawartych w prawie wszystkich europejskich podręcznikach XVI-XVII wieku. i część XVIII wieku.

Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do pojedynczej postaci kanonicznej x ² + bx \u003d c, ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków współczynników bi c, sformułował w Europie dopiero w 1544 r. M. Stiefel.

Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, ale rozpoznał również tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. weź pod uwagę oprócz dodatnich i ujemnych pierwiastków. Dopiero w XVII wieku dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabrała nowoczesnej postaci.

​

​