Obliczanie błędu względnego i bezwzględnego. Bezwzględne i względne błędy pomiaru

Bezwzględny błąd obliczeniowy określa wzór:

Znak modulo pokazuje, że nie obchodzi nas, która wartość jest większa, a która mniejsza. Ważny, jak daleko przybliżony wynik odbiegał od dokładnej wartości w jednym lub drugim kierunku.

Względny błąd obliczeniowy znajduje się za pomocą wzoru:
lub to samo:

Pokazuje błąd względny o jaki procent przybliżony wynik odbiegał od dokładnej wartości. Istnieje wersja formuły bez mnożenia przez 100%, ale w praktyce prawie zawsze widzę powyższą wersję z procentami.

Po krótkim tle wracamy do naszego problemu, w którym obliczyliśmy przybliżoną wartość funkcji za pomocą mechanizmu różnicowego.

Obliczać Dokładna wartość Funkcje z kalkulatorem:
Ściśle rzecz biorąc, wartość jest nadal przybliżona, ale uznamy ją za dokładną. Takie zadania się zdarzają.

Oblicz bezwzględny błąd:

Obliczmy błąd względny:
, otrzymuje się tysięczne części procenta, więc różnica daje tylko duże przybliżenie.

Odpowiedź: , bezwzględny błąd obliczeń , względny błąd obliczeń

Następny przykład dla niezależne rozwiązanie:

Przykład 4

W punkcie . Oblicz dokładniejszą wartość funkcji w danym punkcie, oceń bezwzględne i względne błędy obliczeniowe.

Zgrubny przykład zakończenia pracy i odpowiedź na końcu lekcji.

Wielu zauważyło, że we wszystkich rozważanych przykładach pojawiają się korzenie. Nie jest to przypadkowe, w większości przypadków w rozważanym problemie rzeczywiście proponuje się funkcje z pierwiastkami.

Ale dla cierpiących czytelników wygrzebałem mały przykład z arcsine:

Przykład 5

Oblicz w przybliżeniu korzystając z różniczki wartości funkcji w punkcie

Ten krótki, ale pouczający przykład służy również do samodzielnej decyzji. I trochę odpocząłem, aby z nową energią rozważyć zadanie specjalne:

Przykład 6

Oblicz w przybliżeniu używając różnicy, zaokrąglij wynik do dwóch miejsc po przecinku.

Rozwiązanie: Co nowego w zadaniu? Warunek wymaga zaokrąglenia wyniku do dwóch miejsc po przecinku. Ale to nie to, zadanie szkolne zaokrąglanie, jak sądzę, nie jest dla ciebie trudne. Rzecz w tym, że u nas podana jest styczna z argumentacją, która jest wyrażona w stopniach. Co zrobić, gdy zostaniesz poproszony o rozwiązanie funkcji trygonometrycznej stopniami? Na przykład , itp.

Algorytm rozwiązania jest zasadniczo zachowany, to znaczy konieczne jest, podobnie jak w poprzednich przykładach, zastosowanie wzoru

Zapisz oczywistą funkcję

Wartość musi być reprezentowana jako . Poważna pomoc będzie tabela wartości funkcji trygonometrycznych . Swoją drogą, jeśli tego nie wydrukowałeś, polecam to zrobić, bo będziesz musiał tam zaglądać przez cały tok studiów matematyki wyższej.

Analizując tabelę zauważamy „dobrą” wartość tangensa, która jest bliska 47 stopni:

W ten sposób:

Po wstępnej analizie stopnie należy zamienić na radiany. Tak i tylko tak!

W ten przykład bezpośrednio z tabeli trygonometrycznej możesz się tego dowiedzieć. Wzór na przeliczanie stopni na radiany to: (wzory można znaleźć w tej samej tabeli).

Dalszy szablon:

W ten sposób: (w obliczeniach używamy wartości ). Wynik, zgodnie z warunkiem, jest zaokrąglany do dwóch miejsc po przecinku.

Odpowiedź:

Przykład 7

Oblicz w przybliżeniu używając różnicy, zaokrąglij wynik do trzech miejsc po przecinku.

To jest przykład zrób to sam. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Jak widać, nic skomplikowanego, przeliczamy stopnie na radiany i stosujemy się do zwykłego algorytmu rozwiązania.

Obliczenia przybliżone z wykorzystaniem różniczki całkowitej funkcji dwóch zmiennych

Wszystko będzie bardzo, bardzo podobne, dlatego jeśli trafiłeś na tę stronę z tym konkretnym zadaniem, polecam najpierw przyjrzeć się przynajmniej kilku przykładom z poprzedniego akapitu.

Aby przestudiować akapit, musisz umieć znaleźć pochodne cząstkowe drugiego rzędu , gdzie bez nich. W powyższej lekcji funkcję dwóch zmiennych oznaczyłem literą . W odniesieniu do rozważanego zadania wygodniej jest zastosować zapis równoważny .

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, warunek problemu można sformułować na różne sposoby i postaram się uwzględnić wszystkie napotkane sformułowania.

Przykład 8

Rozwiązanie: Bez względu na to, jak napisany jest warunek, w samym rozwiązaniu, aby wyznaczyć funkcję, powtarzam, lepiej nie używać litery „Z”, ale .

A oto działająca formuła:

Przed nami właściwie starsza siostra formuły z poprzedniego paragrafu. Zmienna właśnie się powiększyła. Co mogę powiedzieć o sobie algorytm rozwiązania będzie zasadniczo taki sam!

Według warunku wymagane jest znalezienie przybliżonej wartości funkcji w punkcie .

Reprezentujmy liczbę 3,04 jako . Piernikowy ludzik prosi o zjedzenie:
,

Reprezentujmy liczbę 3,95 jako . Kolej na drugą połowę Koloboka:
,

I nie patrz na wszelkiego rodzaju sztuczki z lisami, jest Piernikowy Ludzik - musisz go zjeść.

Obliczmy wartość funkcji w punkcie :

Różnicę funkcji w punkcie można znaleźć za pomocą wzoru:

Ze wzoru wynika, że ​​musisz znaleźć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i obliczyć ich wartości w punkcie .

Obliczmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie :

Całkowita różnica w punkcie :

Zatem zgodnie ze wzorem przybliżona wartość funkcji w punkcie :

Obliczmy dokładną wartość funkcji w punkcie :

Ta wartość jest absolutnie poprawna.

Błędy obliczane są za pomocą standardowych formuł, które zostały już omówione w tym artykule.

Absolutny błąd:

Względny błąd:

Odpowiedź: , błąd bezwzględny: , błąd względny:

Przykład 9

Oblicz przybliżoną wartość funkcji w punkcie, używając pełnej różniczki, oceń błąd bezwzględny i względny.

To jest przykład zrób to sam. Kto bardziej szczegółowo omówi ten przykład, zwróci uwagę na to, że błędy obliczeniowe okazały się bardzo, bardzo zauważalne. Stało się tak z następującego powodu: w proponowanym problemie przyrosty argumentów są wystarczająco duże: .

Ogólny wzór to a - im większe są te przyrosty w wartości bezwzględnej, tym mniejsza dokładność obliczeń. Na przykład dla podobnego punktu przyrosty będą małe: , a dokładność obliczeń przybliżonych będzie bardzo wysoka.

Cecha ta obowiązuje również w przypadku funkcji jednej zmiennej (pierwsza część lekcji).

Przykład 10

Rozwiązanie: Obliczmy to wyrażenie w przybliżeniu, używając różniczki całkowitej funkcji dwóch zmiennych:

Różnica w stosunku do przykładów 8-9 polega na tym, że najpierw musimy utworzyć funkcję dwóch zmiennych: . Myślę, że sposób, w jaki ta funkcja jest skomponowany, jest intuicyjnie zrozumiały dla każdego.

Wartość 4,9973 jest bliska „pięć”, a więc: , .
Wartość 0,9919 jest bliska „jedynce”, dlatego zakładamy: , .

Obliczmy wartość funkcji w punkcie :

Różnicę znajdujemy w punkcie według wzoru:

W tym celu obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie .

Pochodne tutaj nie są najprostsze i należy być ostrożnym:

;

.

Całkowita różnica w punkcie :

Zatem przybliżona wartość tego wyrażenia:

Obliczmy dokładniejszą wartość za pomocą mikrokalkulatora: 2,998899527

Znajdźmy względny błąd obliczeniowy:

Odpowiedź: ,

Tylko ilustracja powyższego, w rozważanym problemie przyrosty argumentów są bardzo małe, a błąd okazał się fantastycznie skąpy.

Przykład 11

Korzystając z różniczki całkowitej funkcji dwóch zmiennych, oblicz w przybliżeniu wartość tego wyrażenia. Oblicz to samo wyrażenie za pomocą mikrokalkulatora. Oszacuj w procentach błąd względny obliczeń.

To jest przykład zrób to sam. Przybliżona próbka wykończenia na koniec lekcji.

Jak już wspomniano, najbardziej prywatny gość ten typ zadania są swego rodzaju korzeniami. Ale od czasu do czasu pojawiają się inne funkcje. I ostatni prosty przykład na relaks:

Przykład 12

Korzystając z różniczki całkowitej funkcji dwóch zmiennych, oblicz w przybliżeniu wartość funkcji if

Rozwiązanie znajduje się bliżej dołu strony. Ponownie zwróć uwagę na sformułowanie zadań lekcji, w różne przykłady w praktyce sformułowania mogą być różne, ale nie zmienia to zasadniczo istoty i algorytmu rozwiązania.

Szczerze mówiąc trochę się zmęczyłem, bo materiał był nudny. Na początku artykułu nie było to pedagogiczne, ale teraz jest to już możliwe =) Rzeczywiście, problemy matematyki obliczeniowej zwykle nie są bardzo trudne, niezbyt interesujące, najważniejszą rzeczą być może nie jest zrobienie błąd w zwykłych obliczeniach.

Niech klawisze twojego kalkulatora nie zostaną wymazane!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2:

Rozwiązanie: Używamy formuły:
W tym przypadku: , ,

W ten sposób:

Odpowiedź:

Przykład 4:

Rozwiązanie: Używamy formuły:
W tym przypadku: , ,

W ten sposób:

Obliczmy dokładniejszą wartość funkcji za pomocą mikrokalkulatora:

Absolutny błąd:

Względny błąd:

Odpowiedź: , bezwzględny błąd obliczeń , względny błąd obliczeń

Przykład 5:

Rozwiązanie: Używamy formuły:

W tym przypadku: , ,

W ten sposób:

Odpowiedź:

Przykład 7:

Rozwiązanie: Używamy formuły:
W tym przypadku: , ,

Jak wspomniano wcześniej, porównując dokładność pomiaru pewnej przybliżonej wartości, posługujemy się błędem bezwzględnym.

Pojęcie błędu absolutnego

Błąd bezwzględny wartości przybliżonej to moduł różnicy między wartością dokładną a wartością przybliżoną.
Błąd bezwzględny można wykorzystać do porównania dokładności aproksymacji tych samych wielkości, a jeśli zamierzamy porównywać dokładność aproksymacji różnych wielkości, to sam błąd bezwzględny nie wystarczy.

Na przykład: Długość arkusza papieru A4 wynosi (29,7 ± 0,1) cm, a odległość od Petersburga do Moskwy wynosi (650 ± 1) km. Błąd bezwzględny w pierwszym przypadku nie przekracza jednego milimetra, aw drugim – kilometra. Pytanie brzmi, jak porównać dokładność tych pomiarów.

Jeśli uważasz, że długość arkusza jest mierzona dokładniej, ponieważ błąd bezwzględny nie przekracza 1 mm. Więc się mylisz. Tych wartości nie można bezpośrednio porównywać. Zróbmy trochę rozumowania.

Przy pomiarze długości arkusza błąd bezwzględny nie przekracza 0,1 cm na 29,7 cm, czyli w procentach wynosi 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% zmierzonej wartości.

Gdy mierzymy odległość z Petersburga do Moskwy, błąd bezwzględny nie przekracza 1 km na 650 km, co stanowi 1/650 * 100% = 0,15% zmierzonej wartości w procentach. Widzimy, że odległość między miastami jest mierzona dokładniej niż długość arkusza A4.

Pojęcie błędu względnego

Tutaj, aby ocenić jakość aproksymacji, wprowadzono nową koncepcję błędu względnego. Względny błąd jest ilorazem dzielenia błędu bezwzględnego przez moduł przybliżonych wartości mierzonej wielkości. Zwykle błąd względny jest wyrażany w procentach. W naszym przykładzie otrzymaliśmy dwa błędy względne równe 0,33% i 0,15%.

Jak można się domyślić, względna wartość błędu jest zawsze dodatnia. Wynika to z faktu, że błąd bezwzględny jest zawsze dodatni i dzielimy go przez moduł, przy czym moduł jest zawsze dodatni.

Przy każdym pomiarze, zaokrąglaniu wyników obliczeń, wykonywaniu dość złożonych obliczeń, nieuchronnie pojawia się jedno lub drugie odchylenie. Aby ocenić taką niedokładność, zwyczajowo używa się dwóch wskaźników - są to błędy bezwzględne i względne.

Jeśli odejmiemy wynik od dokładnej wartości liczby, otrzymamy odchylenie bezwzględne (ponadto przy liczeniu odejmowane jest mniejsze). Na przykład, jeśli zaokrąglisz 1370 do 1400, to bezwzględny błąd wyniesie 1400-1382 = 18. Jeśli zaokrąglisz do 1380, bezwzględne odchylenie wyniesie 1382-1380 = 2. Wzór na bezwzględny błąd to:

Δx = |x* - x|, tutaj

x* - prawdziwa wartość,

x to wartość przybliżona.

Jednak sam ten wskaźnik wyraźnie nie wystarcza do scharakteryzowania dokładności. Oceńcie sami, jeśli błąd wagi wynosi 0,2 grama, to przy ważeniu chemikaliów do mikrosyntezy będzie to dużo, przy ważenie 200 gramów kiełbasy jest to całkiem normalne, a przy pomiarze wagi wagonu można tego nie zauważyć w ogóle. Dlatego często wraz z błędem bezwzględnym wskazywany lub obliczany jest również błąd względny. Wzór na ten wskaźnik wygląda tak:

Rozważ przykład. Niech łączna liczba uczniów w szkole wyniesie 196. Zaokrąglijmy tę liczbę do 200.

Odchylenie bezwzględne wyniesie 200 - 196 = 4. Błąd względny wyniesie 4/196 lub zaokrąglony, 4/196 = 2%.

Tak więc, jeśli znana jest prawdziwa wartość pewnej wielkości, to względny błąd przyjętej przybliżonej wartości jest stosunkiem bezwzględnego odchylenia wartości przybliżonej do wartości dokładnej. Jednak w większości przypadków ujawnienie prawdziwej dokładnej wartości jest bardzo problematyczne, a czasem nawet niemożliwe. I dlatego nie da się obliczyć dokładnej, ale zawsze można wyznaczyć jakąś liczbę, która zawsze będzie nieco większa niż maksymalny błąd bezwzględny lub względny.

Na przykład sprzedawca waży melon na wadze. W tym przypadku najmniejsza waga to 50 gramów. Wagi pokazały 2000 gramów. To jest wartość przybliżona. Dokładna waga melona nie jest znana. Wiemy jednak, że nie może być więcej niż 50 gramów. Wtedy względna waga nie przekracza 50/2000 = 2,5%.

Wartość, która jest początkowo większa od błędu bezwzględnego lub, w najgorszym przypadku, równa, jest zwykle nazywana granicznym błędem bezwzględnym lub bezwzględną granicą błędu. W poprzednim przykładzie liczba ta wynosi 50 gramów. W podobny sposób wyznaczany jest graniczny błąd względny, który w powyższym przykładzie wyniósł 2,5%.

Wartość błędu krańcowego nie jest ściśle określona. Czyli zamiast 50 gramów moglibyśmy wziąć dowolną liczbę większą niż waga najmniejszej wagi, powiedzmy 100 g lub 150 g. Jednak w praktyce wybiera się minimalna wartość. A jeśli da się go dokładnie określić, będzie jednocześnie błędem krańcowym.

Zdarza się, że bezwzględny błąd krańcowy nie jest określony. Wówczas należy wziąć pod uwagę, że jest ona równa połowie jednostki ostatniej wskazanej cyfry (jeśli jest to liczba) lub minimalnej jednostce podziału (jeśli jest to instrument). Na przykład dla linijki milimetrowej ten parametr wynosi 0,5 mm, a dla przybliżonej liczby 3,65 odchylenie granicy bezwzględnej wynosi 0,005.

W praktycznej realizacji procesu pomiarowego, niezależnie od dokładności przyrządów pomiarowych, poprawności metodyki i dokładności
pomiarów, wyniki pomiarów różnią się od rzeczywistej wartości mierzonej wielkości, tj. błędy pomiarowe są nieuniknione. Podczas oceny błędu zamiast wartości prawdziwej brana jest wartość rzeczywista; dlatego można podać tylko przybliżone oszacowanie błędu pomiaru. Ocena wiarygodności wyniku pomiaru, tj. określenie błędu pomiaru jest jednym z głównych zadań metrologii.
Błąd to odchylenie wyniku pomiaru od rzeczywistej wartości mierzonej wielkości. Błędy można warunkowo podzielić na błędy przyrządów pomiarowych i błędy wyniku pomiaru.
Błędy przyrządów pomiarowych zostały omówione w rozdziale 3.
Błąd pomiaru to liczba wskazująca możliwe granice niepewności wartości mierzonej wielkości.
Poniżej zostanie podana klasyfikacja i brane pod uwagę błędy wyniku pomiaru.
Za pomocą wyrażenia liczbowego wyróżnić absolutne i błędy względne.
W zależności od pochodzenia są błędy instrumentalne, metodyczne, odczyty i oprawy.
Zgodnie ze wzorami manifestacji błędy pomiaru są dzielone przez systematyczne, progresywne, losowe i brutto.
Rozważmy bardziej szczegółowo wskazane błędy pomiaru.

4.1. Błędy bezwzględne i względne

Absolutny błąd D to różnica między zmierzonym X a rzeczywistym X i wartościami mierzonej wielkości. Błąd bezwzględny wyrażony jest w jednostkach wartości mierzonej: D = X - Chi.
Ponieważ nie można określić prawdziwej wartości mierzonej wielkości, w praktyce zamiast tego używana jest rzeczywista wartość mierzonej wielkości Xd. Rzeczywistą wartość można znaleźć eksperymentalnie, stosując wystarczającą ilość precyzyjne metody i przyrządy pomiarowe. Różni się niewiele od prawdziwej wartości i może być zamiast niej wykorzystana do rozwiązania problemu. Podczas weryfikacji za wartość rzeczywistą przyjmuje się zwykle wskazania przykładowych przyrządów pomiarowych. Tak więc w praktyce błąd bezwzględny znajduje się za pomocą wzoru D » X - Xd. Względny błąd d jest stosunkiem bezwzględnego błędu pomiaru do rzeczywistej (rzeczywistej) wartości mierzonej wielkości (zwykle wyrażanej w procentach): .

4.2. błędy instrumentalne i metodologiczne,
odczyty i ustawienia

instrumentalny Błędy (instrumentu lub sprzętu) to te, które należą do danego przyrządu pomiarowego, które można wykryć podczas jego testowania i wpisać do jego paszportu.
Błędy te wynikają z niedociągnięć konstrukcyjnych i technologicznych przyrządów pomiarowych, a także z konsekwencji ich zużycia, starzenia się lub wadliwego działania. Błędy instrumentalne, ze względu na błędy zastosowanych przyrządów pomiarowych, omówiono w rozdziale 3.
Jednak oprócz błędów instrumentalnych, podczas pomiarów występują również takie błędy, których nie można przypisać temu urządzeniu, nie można ich wskazać w paszporcie i są nazywane metodyczny, tych. związane nie z samym urządzeniem, ale ze sposobem jego użytkowania.
Błędy metodologiczne może wynikać z niedoskonałości rozwoju teorii zjawisk leżących u podstaw metody pomiaru, niedokładności zależności stosowanych do oszacowania wielkości mierzonej, a także z powodu rozbieżności między wielkością mierzoną a jej modelem.
Rozważ przykłady ilustrujące metodologiczny błąd pomiaru.
Przedmiotem badań jest przemienne źródło napięcia, którego wartość amplitudy hmm trzeba zmierzyć. Na podstawie wstępnych badań obiektu badań jako jego model przyjęto sinusoidalny generator napięcia. Posługując się woltomierzem przeznaczonym do pomiaru wartości efektywnych napięć przemiennych oraz znając zależność pomiędzy wartościami efektywnymi i amplitudowymi napięcia sinusoidalnego otrzymujemy wynik pomiaru w postaci um = × UV, gdzie UV- odczyt woltomierza. Dokładniejsze badanie obiektu może wykazać, że kształt mierzonego napięcia różni się od sinusoidalnego i bardziej poprawną zależność między wartością mierzonej wartości a odczytem woltomierza um =k× UV, gdzie k¹ . Tym samym niedoskonałość przyjętego modelu przedmiotu badań prowadzi do metodologicznego błędu pomiaru DU= × UV-k× UV.
Ten błąd można zmniejszyć, obliczając wartość k w oparciu o analizę kształtu krzywej mierzonego napięcia lub poprzez wymianę przyrządu pomiarowego, pobranie woltomierza przeznaczonego do pomiaru wartości amplitudy napięć przemiennych.
Bardzo częstą przyczyną występowania błędów metodologicznych jest fakt, że organizując pomiary, jesteśmy zmuszeni mierzyć (lub celowo mierzyć) nie tę wartość, która powinna być mierzona, ale jakąś inną, bliską, ale nierówną jej.

Przykładem takiego błędu metodologicznego jest błąd pomiaru napięcia woltomierzem o skończonej rezystancji (rys. 4.1).
Ze względu na bocznikowanie przez woltomierz odcinka obwodu, w którym mierzone jest napięcie, okazuje się, że jest ono mniejsze niż przed podłączeniem woltomierza. I rzeczywiście, napięcie, które pokaże woltomierz, jest określone przez wyrażenie U=I×Rv. Biorąc pod uwagę, że prąd w obwodzie I=MI/(Ri +Rv), następnie
< .
Dlatego dla tego samego woltomierza podłączonego kolejno do różnych sekcji badanego obwodu błąd ten jest inny: w sekcjach o niskiej rezystancji jest znikomy, a w sekcjach o wysokiej rezystancji może być bardzo duży. Błąd ten można by wyeliminować, gdyby woltomierz był stale podłączony do tego odcinka obwodu przez cały czas pracy urządzenia (jak na panelu elektrowni), ale jest to niekorzystne z wielu powodów.
Często zdarzają się przypadki, w których generalnie trudno jest wskazać metodę pomiaru wykluczającą błąd metodologiczny. Niech na przykład zmierzymy temperaturę gorących wlewków wychodzących z pieca do walcowni. Pytanie, gdzie umieścić czujnik temperatury (np. termoparę): pod blankietem, z boku czy nad blankiem? Gdziekolwiek go umieścimy, nie będziemy mierzyć temperatury wewnętrznej blanku, tj. będziemy mieli znaczny błąd metodologiczny, ponieważ mierzymy nie to, co jest potrzebne, ale to, co jest łatwiejsze (nie wiercimy kanału w każdym półfabrykacie, aby umieścić termoparę w jego środku).
Więc główne osobliwość błędy metodologiczne polegają na tym, że nie mogą być one wskazane w paszporcie urządzenia, ale muszą zostać ocenione przez samego eksperymentatora przy organizacji wybranej techniki pomiarowej, dlatego musi wyraźnie rozróżnić rzeczywiste wymierny ich rozmiar do zmierzenia.
Błąd odczytu pochodzi z niedokładnych odczytów. Wynika to z subiektywnych cech obserwatora (na przykład błędu interpolacji, czyli niedokładnego odczytu ułamków podziału na skali instrumentu) oraz rodzaju urządzenia odczytującego (na przykład błąd paralaksy). Podczas korzystania z cyfrowych przyrządów pomiarowych nie ma błędów liczenia, co jest jedną z przyczyn obiecującego charakteru tych ostatnich.
Błąd instalacji spowodowane jest odchyleniem warunków pomiaru od normalnych, tj. warunki, w jakich przeprowadzono kalibrację i weryfikację przyrządów pomiarowych. Obejmuje to na przykład błąd związany z nieprawidłową instalacją urządzenia w przestrzeni lub jego wskazówką do zera, ze zmian temperatury, napięcia zasilania i innych wielkości wpływających.
Rozważane rodzaje błędów są równie odpowiednie do charakteryzowania dokładności zarówno poszczególnych wyników pomiarów, jak i przyrządów pomiarowych.

4.3. Błędy systematyczne, postępujące, losowe i rażące

Systematyczny błąd pomiaru Dc jest składową błędu pomiaru, która pozostaje stała lub regularnie zmienia się podczas powtarzanych pomiarów tej samej wartości.
Przyczyny występowania błędów systematycznych można zwykle ustalić podczas przygotowywania i prowadzenia pomiarów. Przyczyny te są bardzo różnorodne: niedoskonałość stosowanych przyrządów i metod pomiarowych, nieprawidłowa instalacja przyrządu pomiarowego, wpływ czynników zewnętrznych (wielkości wpływające) na parametry przyrządów pomiarowych i na sam przedmiot pomiaru, wady metoda pomiaru (błędy metodologiczne), indywidualne cechy operator (błędy subiektywne) itp. . Zgodnie z naturą manifestacji błędy systematyczne dzielą się na stałe i zmienne. Do stałych należą np. błędy spowodowane niedokładną regulacją wartości miary, nieprawidłową podziałką skali przyrządu, nieprawidłową instalacją przyrządu względem kierunku pól magnetycznych itp. Zmienne błędy systematyczne wynikają z wpływu wielkości wpływających na proces pomiarowy i mogą wystąpić np. przy zmianach napięcia źródła zasilania urządzenia, zewnętrznych polach magnetycznych, częstotliwości mierzonego napięcia przemiennego itp. Cechą błędów systematycznych jest to, że ich zależność od wielkości wpływających podlega pewnemu prawu. To prawo można badać, a wynik pomiaru można udoskonalić, zmieniając, jeśli wartości liczbowe te błędy są określane. Innym sposobem na ograniczenie wpływu błędów systematycznych jest zastosowanie takich metod pomiarowych, które umożliwiają wykluczenie wpływu błędów systematycznych bez określania ich wartości (na przykład metoda substytucji).
Wynik pomiaru jest tym bliższy prawdziwej wartości mierzonej wielkości, tym mniejsze są pozostałe niewykluczone błędy systematyczne. Obecność wykluczonych błędów systematycznych determinuje poprawność pomiarów, jakość, która odzwierciedla bliskość błędów systematycznych do zera. Wynik pomiaru będzie tak poprawny, jak nie będzie zniekształcony błędami systematycznymi, a im bardziej poprawny, tym błędy te są mniejsze.
progresywny(lub dryf) nazywane są nieprzewidywalnymi błędami, które powoli zmieniają się w czasie. Błędy te z reguły są spowodowane procesami starzenia się niektórych części sprzętu (rozładowywanie zasilaczy, starzenie się rezystorów, kondensatorów, deformacja części mechanicznych, kurczenie się taśmy papierowej w przyrządach samorejestrujących itp.). Cechą błędów progresywnych jest to, że można je skorygować, wprowadzając korektę tylko w określonym momencie, a następnie w nieprzewidywalny sposób ponownie narastać. Dlatego w przeciwieństwie do błędów systematycznych, które można skorygować poprawką znalezioną jednorazowo na cały okres eksploatacji urządzenia, błędy progresywne wymagają ciągłego powtarzania korekty i im częściej tym mniejsza powinna być ich wartość rezydualna. Inną cechą błędów progresywnych jest to, że ich zmiana w czasie jest procesem losowym niestacjonarnym i dlatego w ramach dobrze rozwiniętej teorii stacjonarnych procesów losowych można je opisywać tylko z zastrzeżeniami.
Błąd pomiaru losowego jest składową błędu pomiaru, która zmienia się losowo podczas powtarzanych pomiarów tej samej wielkości. Nie można określić wartości i znaku błędów przypadkowych, nie można ich bezpośrednio uwzględnić ze względu na ich chaotyczną zmianę na skutek jednoczesnego wpływu różnych niezależnych od siebie czynników na wynik pomiaru. Błędy losowe występują w wielokrotnych pomiarach tej samej wielkości (w tym przypadku pojedyncze pomiary nazywane są obserwacjami) przez te same przyrządy pomiarowe w tych samych warunkach przez tego samego obserwatora, tj. przy jednakowo dokładnych (równomiernie rozproszonych) pomiarach. Wpływ błędów losowych na wynik pomiaru uwzględniają metody statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa.
Błędy pomiaru brutto - przypadkowe błędy pomiarowe znacznie przekraczające oczekiwane w danych warunkach błędu.
Błędy brutto (chybienia) są zwykle spowodowane nieprawidłowymi odczytami przyrządu, błędem w zapisie obserwacji, obecnością silnie wpływającej wielkości, wadliwym działaniem przyrządów pomiarowych i innymi przyczynami. Z reguły wyniki pomiarów zawierające duże błędy nie są brane pod uwagę, więc duże błędy mają niewielki wpływ na dokładność pomiaru. Znalezienie chybienia nie zawsze jest łatwe, zwłaszcza przy jednym pomiarze; często trudno jest odróżnić duży błąd od dużego błędu losowego. Jeśli rażące błędy są powszechne, poddamy w wątpliwość wszystkie wyniki pomiarów. Dlatego też błędy rażące wpływają na ważność pomiarów.
Podsumowując opisany podział błędów średnich i wyników pomiarów na składowe losowe, progresywne i systematyczne, należy zwrócić uwagę na fakt, że taki podział jest bardzo uproszczoną metodą ich analizy. Dlatego należy zawsze pamiętać, że w rzeczywistości te składowe błędu występują razem i tworzą jeden niestacjonarny proces losowy. W tym przypadku błąd wyniku pomiaru można przedstawić jako sumę błędów przypadkowych i systematycznych Dc: D = Dc +. Błędy pomiaru zawierają składnik losowy, dlatego należy go traktować jako zmienną losową.
Rozważenie natury przejawów błędów pomiarowych pokazuje nam, że jedyny właściwy sposób oceny błędów daje nam teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

4.4. Probabilistyczne podejście do opisu błędów

Prawa rozkładu błędów losowych. Błędy losowe są wykrywane podczas serii pomiarów o tej samej wartości. W tym przypadku wyniki pomiarów z reguły nie pokrywają się ze sobą, ponieważ ze względu na łączny wpływ wielu różnych czynników, których nie można brać pod uwagę, każdy nowy pomiar daje również nową losową wartość mierzonej wielkości. Na prawidłowy przebieg pomiarów, ich wystarczającą liczbę i wykluczenie błędów systematycznych i pomyłek, można argumentować, że prawdziwa wartość mierzonej wielkości nie wykracza poza wartości uzyskane podczas tych pomiarów. Pozostaje nieznana, dopóki nie zostanie określona teoretycznie prawdopodobna wartość błędu losowego.
Niech wartość A zostanie zmierzona P razy i obserwowane wartości a1, a2, a3,…,a i,...,jakiś. Losowy błąd bezwzględny pojedynczego pomiaru zależy od różnicy
Di = ai - A . (4.1)
Graficznie wyniki poszczególnych pomiarów przedstawiono na rys. 4.2.
Dla wystarczająco dużej liczby P te same błędy, jeśli mają kilka wartości dyskretnych, są powtarzane, dzięki czemu można ustalić względną częstotliwość (częstotliwość) ich występowania, tj. stosunek liczby otrzymanych identycznych danych mi do Łączna wykonane pomiary P. W miarę kontynuacji pomiarów ilości ALE częstotliwość ta nie ulegnie zmianie, więc można uznać prawdopodobieństwo błędu w tych pomiarach: P(AI) = mi / n.

Statystyczną zależność prawdopodobieństwa wystąpienia błędów losowych od ich wartości nazywamy prawo dystrybucji błędów lub prawo rozkładu prawdopodobieństwa. Prawo to określa charakter pojawiania się różnych wyników poszczególnych pomiarów. Istnieją dwa rodzaje opisu praw dystrybucji: całka I mechanizm różnicowy.
prawo integralne, lub rozkład prawdopodobieństwaF( D ) błąd losowy Di wja-th doświadczenie, nazywają funkcję, której wartością dla każdego D jest prawdopodobieństwo zdarzenia R(D), który polega na tym, że błąd losowy Di przyjmuje wartości mniejsze niż jakaś wartość D, czyli funkcjonować F( D ) = P[ Di < D ]. Ta funkcja, gdy D zmienia się z -¥ na +¥, przyjmuje wartości od 0 do 1 i nie maleje. Istnieje dla wszystkich zmiennych losowych, zarówno dyskretnych, jak i ciągłych (rysunek 4.3 a).
Jeśli F(D) symetryczny względem punktu ALE, odpowiadające prawdopodobieństwo 0,5, to rozkład wyników obserwacji będzie symetryczny względem wartości prawdziwej ALE. W takim przypadku jest to wskazane F(D) przesunięcie wzdłuż odciętej o wartość DA, tj. wykluczyć systematyczny składnik błędu (DA =Dc) i uzyskaj funkcję rozkładu losowego składnika błędu D=(rys. 4.3 b). Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa błędu D różni się od rozkładu prawdopodobieństwa składowej losowej błędu jedynie przesunięciem wzdłuż osi odciętej o wartość składowej systematycznej błędu DC.
prawo różniczkowe rozkłady prawdopodobieństwa dla błędu losowego z ciągłą i różniczkowalną funkcją rozkładu F(D) wywołaj funkcję . Ta zależność jest gęstość rozkładu prawdopodobieństwa. Wykres gęstości prawdopodobieństwa może mieć inny kształt w zależności od prawa rozkładu błędów. Do F(D) pokazano na ryc. 4.3 b, krzywa rozkładu F(D) ma kształt zbliżony do kształtu dzwonu (ryc. 4.3 c).
Prawdopodobieństwo wystąpienia błędów losowych jest określone przez obszar ograniczony krzywą F(D) lub jego część i oś x (rys. 4.3 c). W zależności od rozważanego przedziału błędu .

Oznaczający F(D)DD istnieje element prawdopodobieństwa równy powierzchni prostokąta o podstawie DD i odcięta D1,D2, zwane kwantylami. Dlatego F(+¥)= 1, to równość ,
tych. obszar pod krzywą F(D) zgodnie z zasadą normalizacji jest równy jeden i odzwierciedla prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń.
W praktyce pomiarów elektrycznych jednym z najczęstszych praw dystrybucji błędów losowych jest normalne prawo(Gaus).
wyrażenie matematyczne normalne prawo ma formę
,
gdzie F(D)- gęstość prawdopodobieństwa błędu losowego D = ai-A; s - odchylenie standardowe. Odchylenie standardowe można wyrazić w postaci odchyleń losowych wyników obserwacji Di (patrz wzór (4.1)):
.
Charakter krzywych opisanych tym równaniem dla dwóch wartości s pokazano na ryc. 4.4. Z tych krzywych widać, że im mniejsze s, tym częściej występują małe błędy losowe, tj. tym dokładniejsze pomiary. W praktyce pomiarowej istnieją inne prawa dystrybucji, które można ustalić na podstawie przetwarzania statystycznego.

dane eksperymentalne. Niektóre z najczęstszych praw dystrybucji podano w GOST 8.011-84 „Wskaźniki dokładności pomiaru i formy prezentacji wyników pomiarów”.
Głównymi cechami praw dystrybucji są wartość oczekiwana I dyspersja.
Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest jego wartością, wokół której grupowane są wyniki poszczególnych obserwacji. Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej M[X] definiuje się jako sumę iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej przez prawdopodobieństwo tych wartości .
W przypadku zmiennych losowych ciągłych należy uciec się do całkowania, dla którego konieczna jest znajomość zależności gęstości prawdopodobieństwa od X, tj. f(x), gdzie x=D. Następnie .
Wyrażenie to oznacza, że ​​oczekiwanie matematyczne jest równe sumie nieskończonej liczby produktów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej x na nieskończenie małych obszarach f(x)dx, gdzie f(x) - rzędne dla każdego X, a dx - elementarne odcinki osi x.
Jeśli istnieje rozkład normalny błędów losowych, to matematyczne oczekiwanie błędu losowego wynosi zero (ryc. 4.4). Jeśli weźmiemy pod uwagę rozkład normalny wyników, wówczas oczekiwanie matematyczne będzie odpowiadać prawdziwej wartości mierzonej wielkości, którą oznaczamy A.
Błędem systematycznym w tym przypadku jest odchylenie matematyczne oczekiwanie wyniki obserwacyjne z wartości prawdziwej ALE zmierzona wartość: Dc = M[X]-A, a błąd losowy to różnica między wynikiem pojedynczej obserwacji a oczekiwaniem matematycznym: .
Rozrzut serii obserwacji charakteryzuje stopień rozproszenia (rozrzutu) wyników poszczególnych obserwacji wokół matematycznego oczekiwania:
D[X] =Dx=M[(ai-mx)2].
Im mniejsza wariancja, tym mniejszy rozrzut poszczególnych wyników, tym dokładniejsze pomiary. Jednak dyspersję wyraża się w jednostkach na kwadrat mierzonej wielkości. Dlatego jako cechę dokładności szeregu obserwacji najczęściej stosuje się odchylenie standardowe (RMS), równy pierwiastkowi do kwadratu dyspersji: .
Rozpatrywany rozkład normalny zmiennych losowych, w tym błędy losowe, ma charakter teoretyczny, dlatego opisany rozkład normalny należy uznać za „idealny”, tj. jako podstawy teoretyczne badanie błędów przypadkowych i ich wpływu na wynik pomiaru.
Ponadto przedstawiono sposoby praktycznego zastosowania tego rozkładu z różnym stopniem przybliżenia. Rozważany jest również inny rozkład (rozkład Studenta), który jest używany dla małej liczby obserwacji.
Szacunki błędów w wynikach pomiarów bezpośrednich. Niech się to odbędzie P bezpośrednie pomiary tej samej ilości. W ogólnym przypadku w każdym z aktów pomiarowych błąd będzie inny:
Dja =ai-A,
gdzie Di jest błędem i-tego pomiaru; ai- wynik i-tego pomiaru.
Ponieważ prawdziwa wartość mierzonej ilości A jest nieznany, losowego błędu bezwzględnego nie można obliczyć bezpośrednio. W praktycznych obliczeniach zamiast A użyj jego wyniku. Zazwyczaj przyjmuje się, że prawdziwa wartość to średnia arytmetyczna serii pomiarów:
. (4.2)
gdzie alei- wyniki poszczególnych pomiarów; P - liczba pomiarów.
Teraz, podobnie jak w wyrażeniu (4.1), możemy wyznaczyć odchylenie wyniku każdego pomiaru od wartości średniej :
(4.3)
gdzie v i- odchylenie wyniku pojedynczego pomiaru od wartości średniej. Należy pamiętać, że suma odchyleń wyniku pomiaru od wartości średniej wynosi zero, a suma ich kwadratów jest minimalna, tj.
i min.
Właściwości te są wykorzystywane podczas przetwarzania wyników pomiarów do kontroli poprawności obliczeń.
Następnie oblicz oszacowanie wartości średni błąd kwadratowy dla danej serii pomiarów

. (4.4)
Zgodnie z teorią prawdopodobieństwa, dla wystarczająco dużej liczby pomiarów z niezależnymi błędami losowymi oszacowanie S zbiega się w prawdopodobieństwie do s. W ten sposób,

. (4.5)
Ponieważ średnia arytmetyczna jest również zmienną losową, koncepcja odchylenia standardowego średniej arytmetycznej ma sens. Ta wartość będzie oznaczona symbolem sav. Można wykazać, że dla niezależnych błędów
. (4.6)
Wartość sav charakteryzuje stopień rozprzestrzeniania się . Jak stwierdzono powyżej, działa jako oszacowanie prawdziwej wartości mierzonej wartości, tj. jest końcowym wynikiem przeprowadzonych pomiarów. Dlatego sav jest również nazywany błędem średniokwadratowym wyniku pomiaru.
W praktyce wartość s obliczoną ze wzoru (4.5) stosuje się, gdy konieczne jest scharakteryzowanie dokładności zastosowanej metody pomiarowej: jeśli metoda jest dokładna, to rozrzut wyników poszczególnych pomiarów jest niewielki, tj. mała wartość s . Wartość sp , obliczany przez (4.6) służy do scharakteryzowania dokładności wyniku pomiaru określonej wielkości, tj. wynik uzyskany w wyniku matematycznego przetwarzania wyników szeregu indywidualnych pomiarów bezpośrednich.
Przy ocenie wyników pomiarów czasami stosuje się pojęcie maksymalny lub maksymalny dopuszczalny błąd, których wartość jest określona w akcjach s lub S . Aktualnie jest różne kryteria ustalenie błędu maksymalnego, czyli granic pola tolerancji ±D, w których muszą się zmieścić błędy przypadkowe. Definicja błędu maksymalnego D = 3s (lub 3 S). W Ostatnio na podstawie teoria informacji pomiarów, profesor P. V. Novitsky zaleca stosowanie wartości D = 2s.
Wprowadzamy teraz ważne pojęcia poziom zaufania I przedział ufności. Jak wspomniano powyżej, średnia arytmetyczna , otrzymany w wyniku kilku serii pomiarów, jest oszacowaniem wartości prawdziwej ALE i z reguły nie pokrywa się z nim, ale różni się wartością błędu. Zostawiać R & D istnieje możliwość, że różni się od ALE co najwyżej D, tj. R(-D< ALE< + D)=Rd. Prawdopodobieństwo R & D nazywa się prawdopodobieństwo ufności, i zakres wartości mierzonej wartości od - D do + D- przedział ufności.
Powyższe nierówności oznaczają, że z prawdopodobieństwem R & D przedział ufności od - D do + D zawiera prawdziwe znaczenie ALE. Tak więc, aby w pełni scharakteryzować błąd losowy, konieczne jest posiadanie dwóch liczb - prawdopodobieństwa ufności i odpowiadającego mu przedziału ufności. Jeżeli znane jest prawo rozkładu prawdopodobieństw błędów, to z danego prawdopodobieństwa ufności można wyznaczyć przedział ufności. W szczególności dla wystarczająco dużej liczby pomiarów często uzasadnione jest zastosowanie prawa normalnego, natomiast dla małej liczby pomiarów (P< 20), których wyniki należą do rozkładu normalnego, należy zastosować rozkład Studenta. Ten rozkład ma gęstość prawdopodobieństwa, która praktycznie pokrywa się z normalną dla dużych P, ale znacząco różni się od normalnego przy małym P.
W tabeli. 4.1 pokazuje tzw. kwantyle rozkładu Studenta ½ T(n)½ R & D dla liczby pomiarów P= 2 - 20 i prawdopodobieństwa ufności r = 0,5 - 0,999.
Zwracamy jednak uwagę, że zwykle tabele rozkładów Studenta nie są podawane dla wartości P I R & D, i dla wartości m =n-1 I a \u003d 1 - Rd, co wziąć pod uwagę podczas ich używania. Aby określić przedział ufności, konieczne jest, aby dane P I R & D znajdź kwantyl ½ T(n)½Rd i oblicz wartości jakiś = - sp× ½ T(n)½Rdi Awu = + sp× ½ T(n)½Rd, która będzie dolną i górną granicą przedziału ufności.

Po znalezieniu przedziałów ufności dla danego prawdopodobieństwa ufności zgodnie z powyższą metodyką wynik pomiaru jest zapisywany w postaci ; D=Dn¸ Dv; R & D,
gdzie - ocena prawdziwej wartości wyniku pomiaru w jednostkach wartości mierzonej; D - błąd pomiaru; Dw = + sp× ½ T(n)½Рд i Dн = - sp× ½ T(n)½Rd - górna i dolna granica błędu pomiaru; Rd - prawdopodobieństwo ufności.

Tabela 4.1

Szacowanie błędów wyników pomiarów pośrednich. Przy pomiarach pośrednich pożądana wartość ALE funkcjonalnie powiązane z jedną lub więcej bezpośrednio mierzonymi wielkościami: X,tak,..., T. Rozważ najprostszy przypadek określenia błędu dla jednej zmiennej, gdy A= F(x). Oznaczający bezwzględny błąd pomiaru ilości x przez ±Dx , otrzymujemy A+ D A= F(x± D x).
Rozszerzając prawą stronę tej równości na szereg Taylora i pomijając człony rozwinięcia zawierające Dx do potęgi większej niż pierwsza, otrzymujemy
A+DA » F(x) ± Dx lub DA » ± Dx.
Względny błąd pomiaru funkcji jest określany z wyrażenia
.
Jeśli zmierzona wartość ALE jest funkcją kilku zmiennych: A=F(x,y,...,T), to błąd bezwzględny wyniku pomiarów pośrednich
.
Częściowe błędy względne pomiaru pośredniego są określone wzorami ; itp. Błąd względny wyniku pomiaru
.
Zastanówmy się również nad cechami szacowania wyniku pomiaru pośredniego w obecności błędu losowego.
Aby oszacować błąd losowy wyników pośrednich pomiarów wielkości ALE przyjmiemy, że błędy systematyczne w pomiarach wielkości x, y,…, t są wykluczone, a przypadkowe błędy w pomiarach tych samych wielkości nie zależą od siebie.
Przy pomiarach pośrednich wartość mierzonej wielkości określa wzór ,
gdzie są średnie lub średnie ważone wartości ilości x, y,…, t .
Aby obliczyć odchylenie standardowe mierzonej wartości ALE wskazane jest korzystanie z odchyleń standardowych uzyskanych podczas pomiarów x, y,…, t .
W ogólny widok do wyznaczenia odchylenia standardowego s pomiaru pośredniego stosuje się następujący wzór:
, (4.7)
gdzie Dx ;Dy ;…;Dt- tzw. błędy cząstkowe pomiaru pośredniego ; ; …; ; ; ; … ; — pochodne cząstkowe ALE na x, y,…, t ;sx; sy ,…,st, …— odchylenia standardowe wyników pomiarów x, y,…, t .
Rozważmy kilka szczególnych przypadków zastosowania równania (4.7), gdy funkcjonalną zależność między wielkościami mierzonymi pośrednio i bezpośrednio wyraża się wzorem A=k× xa× takb× zg , gdzie k- współczynnik liczbowy (bezwymiarowy).
W tym przypadku wzór (4.7) przyjmuje postać:
.
Jeśli a =b=g = 1 I A=k× x× tak× z, to względna formuła błędu jest uproszczona do postaci .
Ten wzór ma zastosowanie na przykład do obliczenia odchylenia standardowego pomiaru objętości od pomiarów wysokości, szerokości i głębokości prostopadłościanu.

4.5. Zasady sumowania błędów losowych i systematycznych
Błąd złożonych przyrządów pomiarowych zależy od błędów jego poszczególnych węzłów (bloków). Błędy są podsumowywane według pewnych zasad.
Niech na przykład urządzenie pomiarowe składa się z m bloki, z których każdy ma niezależne błędy losowe. Jednocześnie bezwzględne wartości średniej kwadratowej sk lub maksimum mk błąd dla każdego bloku.
Suma arytmetyczna lub daje maksymalny błąd urządzenia, który ma znikome prawdopodobieństwo i dlatego jest rzadko używany do oceny dokładności urządzenia jako całości. Zgodnie z teorią błędów wynikowy błąd sres i Mrez określona przez dodawanie kwadratowe lub .
Wynikowy względny błąd pomiaru wyznacza się podobnie: . (4.8)
Równanie (4.8) można wykorzystać do wyznaczenia błędów dopuszczalnych poszczególnych bloków opracowywanych urządzeń z zadanym błędem całkowitym pomiaru. Projektując urządzenie, zwykle podaje się im równe błędy dla poszczególnych bloków w nim zawartych. Jeżeli istnieje kilka źródeł błędów, które w różny sposób wpływają na końcowy wynik pomiaru (lub urządzenie składa się z kilku bloków z różnymi błędami), należy wprowadzić współczynniki wagowe do wzoru (4.8) Ki :
, (4.9)
gdzie d1, d2, …, dm są błędami względnymi poszczególnych węzłów (bloków) urządzenie pomiarowe; k1,k2, … ,km- współczynniki uwzględniające stopień wpływu błędu losowego tego bloku na wynik pomiaru.
Jeżeli urządzenie pomiarowe (lub jego bloki) ma również błędy systematyczne, całkowity błąd jest określany przez ich sumę: To samo podejście dotyczy jeszcze składniki.
Oceniając wpływ błędów cząstkowych należy wziąć pod uwagę, że dokładność pomiarów zależy głównie od błędów o dużych wartościach bezwzględnych, a niektóre z najmniejszych błędów można w ogóle pominąć. Błąd częściowy szacowany jest na podstawie tzw kryterium pomijalnego błędu, co jest następujące. Załóżmy, że błąd całkowity dres jest określony wzorem (4.8) uwzględniającym wszystkie m błędy częściowe, wśród których pewien błąd di ma niewielką wartość. Jeżeli całkowity błąd d¢res, obliczony bez uwzględnienia błędu di, różni się od dres o nie więcej niż 5%, tj. drez-d¢rez< 0,05×dрез или 0,95×dрезW praktyce obliczeń technicznych często stosuje się mniej rygorystyczne kryterium - do tych wzorów wprowadza się współczynnik 0,4.

4.6. Formy prezentacji wyników pomiarów

Wynik pomiaru ma wartość tylko wtedy, gdy można oszacować jego przedział niepewności, tj. stopień niezawodności. Wynik pomiaru musi zatem zawierać wartość mierzonej wielkości oraz charakterystykę dokładności tej wartości, które są błędami systematycznymi i przypadkowymi. Ilościowe wskaźniki błędów, sposoby ich wyrażania, a także formy prezentacji wyników pomiarów reguluje GOST 8.011-72 „Wskaźniki dokładności pomiaru i formy prezentacji wyników pomiarów”. Rozważmy główne formy prezentacji wyników pomiarów.
Błąd wyniku bezpośredniego pojedynczego pomiaru zależy od wielu czynników, ale przede wszystkim jest zdeterminowany błędem zastosowanych przyrządów pomiarowych. Dlatego w pierwszym przybliżeniu błąd wyniku pomiaru można przyjąć równy
błąd, który w danym punkcie zakresu pomiarowego charakteryzuje używany przyrząd pomiarowy.
Błędy przyrządów pomiarowych różnią się w zakresie pomiarów. Dlatego w każdym przypadku dla każdego pomiaru konieczne jest obliczenie błędu wyniku pomiaru za pomocą wzorów (3.19) - (3.21) normalizacji błędu odpowiedniego przyrządu pomiarowego. Należy obliczyć zarówno bezwzględne, jak i względne błędy wyniku pomiaru, ponieważ pierwszy z nich jest potrzebny do zaokrąglenia wyniku i jego prawidłowego zapisu, a drugi do jednoznacznej porównawczej charakterystyki jego dokładności.
Dla różnych charakterystyk normalizacji błędu SI obliczenia te są wykonywane na różne sposoby, dlatego rozważymy trzy typowe przypadki.
1. Klasa urządzenia jest wskazywana jako pojedyncza liczba Q, zamknięte w kręgu. Wtedy błąd względny wyniku (w procentach) g = Q, i jego bezwzględny błąd D x =Q× x/ 100.
2. Klasę urządzenia oznacza jeden numer P(bez koła). Wtedy błąd bezwzględny wyniku pomiaru D x =P× xk / 100 gdzie xk- granicę pomiaru, przy której zostało przeprowadzone, oraz względny błąd pomiaru (w procentach) określa wzór ,
czyli w tym przypadku podczas pomiaru, z wyjątkiem odczytu wartości mierzonej x musi być ustalony i limit pomiarów xk , w przeciwnym razie nie będzie możliwe późniejsze obliczenie błędu wyniku.
3. W formularzu klasę urządzenia wskazują dwie cyfry Płyta CD. W takim przypadku wygodniej jest obliczyć błąd względny D wynik według wzoru (3.21), a dopiero potem znajdź błąd bezwzględny jako Dx=D× x/100.
Po wykonaniu obliczeń błędu wykorzystywany jest jeden z formularzy prezentacji wyniku pomiaru w postaci: X;± D I D, gdzie x- zmierzona wartość; D- bezwzględny błąd pomiaru; D- względny błąd pomiaru. Na przykład wprowadzany jest następujący wpis: „Pomiar został wykonany z błędem względnym D= …%. zmierzona wartość x = (A± D), gdzie ALE- wynik pomiaru.
Jednak wyraźniej jest wskazać granice przedziału niepewności wartości mierzonej w postaci: x = (A-D)¸(A+D) lub (A-D)< х < (A+D) wskazując jednostki miary.
Inną formę prezentacji wyniku pomiaru ustala się następująco: x; D od Dn zanim Dv; R, gdzie x- wynik pomiaru w jednostkach wartości mierzonej; D,Dn,Dv- odpowiednio błąd pomiaru z jego dolną i górną granicą w tych samych jednostkach; r- prawdopodobieństwo, z jakim błąd pomiaru mieści się w tych granicach.
GOST 8.011-72 dopuszcza również inne formy prezentacji wyników pomiarów, które różnią się od powyższych form tym, że wskazują oddzielnie charakterystykę systematycznych i losowych składowych błędu pomiaru. Jednocześnie dla błędu systematycznego wskazano jego charakterystykę probabilistyczną. W tym przypadku główną cechą błędu systematycznego jest matematyczne oczekiwanie M [ Dxc], odchylenia standardowe[ Dxc] i jego przedział ufności. Rozdzielenie systematycznych i losowych składowych błędu jest wskazane, jeżeli wynik pomiaru będzie wykorzystany w dalszym przetwarzaniu danych, np. przy ustalaniu wyniku pomiarów pośrednich i ocenie jego dokładności, przy błędach sumowania itp.

Każda z form prezentacji wyniku pomiaru, przewidziana przez GOST 8.011-72, musi zawierać niezbędne dane, na podstawie których można określić przedział ufności dla błędu wyniku pomiaru. W ogólnym przypadku przedział ufności można ustalić, jeśli znana jest postać prawa rozkładu błędów i główne cechy liczbowe tego prawa.

Główną cechą jakościową dowolnego czujnika oprzyrządowania jest błąd pomiaru kontrolowanego parametru. Błąd pomiaru przyrządu to wielkość rozbieżności między tym, co pokazał (zmierzony) czujnik oprzyrządowania, a tym, co w rzeczywistości jest. Błąd pomiaru dla każdego typu czujnika jest wskazany w dołączonej dokumentacji (paszport, instrukcja obsługi, procedura weryfikacji), która jest dostarczana z tym czujnikiem.

Zgodnie z formą prezentacji błędy dzielą się na: absolutny, względny I dany błędy.

Absolutny błąd- jest to różnica pomiędzy wartością Hisma zmierzoną przez czujnik a rzeczywistą wartością Xd tej wartości.

Rzeczywista wartość Xd mierzonej wielkości jest eksperymentalnie ustaloną wartością mierzonej wielkości możliwie najbliższą jej rzeczywistej wartości. Mówiąc prościej, rzeczywista wartość Xd jest wartością zmierzoną przez instrument odniesienia lub wygenerowaną przez kalibrator lub bardzo precyzyjną nastawę. Błąd bezwzględny wyrażony jest w tych samych jednostkach, co wartość mierzona (np. m3/h, mA, MPa itp.). Ponieważ zmierzona wartość może być większa lub mniejsza niż jej rzeczywista wartość, błąd pomiaru może być ze znakiem plus (odczyty przyrządu są zbyt wysokie) lub ze znakiem minus (przyrząd zaniża się).

Względny błąd jest stosunkiem bezwzględnego błędu pomiaru Δ do rzeczywistej wartości Xd wielkości mierzonej.

Błąd względny jest wyrażany w procentach lub jest wielkością bezwymiarową i może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.

Zmniejszony błąd jest stosunkiem bezwzględnego błędu pomiaru Δ do wartości normalizacyjnej Xn, która jest stała w całym zakresie pomiarowym lub jego części.

Wartość normalizująca Xn zależy od rodzaju skali czujnika oprzyrządowania:

1. Jeżeli skala czujnika jest jednostronna, a dolna granica pomiaru wynosi zero (np. skala czujnika wynosi od 0 do 150 m3/h), to Xn przyjmuje się jako górną granicę pomiaru (w naszym przypadku Xn = 150 m3/h).
2. Jeżeli skala czujnika jest jednostronna, ale dolna granica pomiaru nie jest równa zeru (np. skala czujnika wynosi od 30 do 150 m3/h), to przyjmuje się Xn równe różnicy między pomiarem górnym i dolnym limity (w naszym przypadku Xn = 150-30 = 120 m3/h ).
3. Jeśli skala czujnika jest dwustronna (na przykład od -50 do +150 ˚С), to Хn jest równe szerokości zakresu pomiarowego czujnika (w naszym przypadku Хn = 50+150 = 200 ˚С).

Podany błąd jest wyrażony w procentach lub jest wartością bezwymiarową i może również przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.

Dość często w opisie konkretnego czujnika podawany jest nie tylko zakres pomiarowy np. od 0 do 50 mg/m3, ale także zakres odczytu np. od 0 do 100 mg/m3. Podany błąd jest w tym przypadku znormalizowany do końca zakresu pomiarowego, czyli do 50 mg/m3, a w zakresie wskazań od 50 do 100 mg/m3 błąd pomiaru czujnika w ogóle nie jest wyznaczany - w zasadzie czujnik może pokazywać wszystko i mieć jakikolwiek błąd pomiaru. Zakres pomiarowy czujnika można podzielić na kilka podzakresów pomiarowych, dla każdego z których można określić własny błąd zarówno co do wielkości, jak i reprezentacji. Jednocześnie przy wzorcowaniu takich czujników dla każdego podzakresu można wykorzystać ich własne przykładowe przyrządy pomiarowe, których lista jest wskazana w procedurze wzorcowania dla tego urządzenia.

Dla niektórych urządzeń w paszportach zamiast błędu pomiaru podana jest klasa dokładności. Takie przyrządy obejmują manometry mechaniczne wskazujące termometry bimetaliczne, termostaty, przepływomierze, amperomierze wskazówkowe i woltomierze do montażu panelowego itp. Klasa dokładności to uogólniona charakterystyka przyrządów pomiarowych, określona przez granice dopuszczalnych błędów podstawowych i dodatkowych, a także szereg innych właściwości, które wpływają na dokładność pomiarów wykonywanych za ich pomocą. Jednocześnie klasa dokładności nie jest bezpośrednią cechą dokładności pomiarów wykonywanych przez to urządzenie, wskazuje jedynie na możliwą instrumentalną składową błędu pomiaru. Klasa dokładności urządzenia jest stosowana do jego skali lub obudowy zgodnie z GOST 8.401-80.

Przypisując klasę dokładności do urządzenia, wybiera się ją z zakresu 1,10 n ; 1,5 10n; (1,6 10n); 2 10n; 2,5 10n; (3 10n); 4 10n; 5 10n; 6 10n; (gdzie n =1, 0, -1, -2 itd.). Podane w nawiasach wartości klas dokładności nie są ustalane dla nowo opracowanych przyrządów pomiarowych.

Wyznaczanie błędu pomiarowego czujników odbywa się np. podczas ich okresowej weryfikacji i kalibracji. Za pomocą różnych nastawników i kalibratorów generowane są z dużą dokładnością określone wartości określonej wielkości fizycznej, a wskazania weryfikowanego czujnika są porównywane z odczytami przykładowego przyrządu pomiarowego, do którego ta sama wartość wielkości fizycznej jest zaopatrywany. Ponadto błąd pomiaru czujnika kontrolowany jest zarówno podczas skoku do przodu (wzrost mierzonej wielkości fizycznej od minimum do maksimum skali) jak i podczas skoku wstecznego (zmniejszenie wartości mierzonej od maksimum do minimum skali). Wynika to z faktu, że ze względu na elastyczne właściwości czułego elementu czujnika (membrana czujnika ciśnienia), różną intensywność reakcji chemicznych (czujnik elektrochemiczny), bezwładność cieplną itp. odczyty czujnika będą się różnić w zależności od tego, jak zmienia się wielkość fizyczna działająca na czujnik: maleje lub wzrasta.

Dość często, zgodnie z procedurą weryfikacyjną, odczyt wskazań czujnika podczas weryfikacji musi być wykonywany nie według jego wyświetlacza lub skali, ale według wartości sygnału wyjściowego, np. według wartości prądu wyjściowego wyjścia prądowego 4 ... 20 mA.

Dla skalibrowanego czujnika ciśnienia o skali pomiarowej od 0 do 250 mbar, główny względny błąd pomiaru w całym zakresie pomiarowym wynosi 5%. Czujnik posiada wyjście prądowe 4…20 mA. Kalibrator podał czujnik ciśnienie 125 mbar, a jego sygnał wyjściowy wynosi 12,62 mA. Konieczne jest ustalenie, czy odczyty czujnika mieszczą się w dopuszczalnych granicach.

Najpierw należy obliczyć jaki powinien być prąd wyjściowy czujnika Iout.t przy ciśnieniu Pt = 125 mbar.

Iout.t \u003d Ish.out.min + ((Ish.out.max - Ish.out.min) / (Rsh.max - Rsh.min)) * Pt

gdzie Iout.t jest prądem wyjściowym czujnika przy danym ciśnieniu 125 mbar, mA.

Ish.out.min – minimalny prąd wyjściowy czujnika, mA. Dla czujnika z wyjściem 4…20 mA Ish.out.min = 4 mA, dla czujnika z wyjściem 0…5 lub 0…20 mA Ish.out.min = 0.

Ish.out.max - maksymalny prąd wyjściowy czujnika, mA. Dla czujnika z wyjściem 0…20 lub 4…20 mA, Ish.out.max = 20 mA, dla czujnika z wyjściem 0…5 mA, Ish.out.max = 5 mA.

Psh.max - maksymalna skala czujnika ciśnienia, mbar. Rsh.max = 250 mbar.

Psh.min - minimalna skala czujnika ciśnienia, mbar. Rsh.min = 0 mbar.

Pt to ciśnienie dostarczane z kalibratora do czujnika, mbar. RT = 125 mbar.

Zastępując znane wartości, otrzymujemy:

Iwy.t = 4 + ((20-4)/(250-0))*125 = 12 mA

Oznacza to, że przy ciśnieniu 125 mbar przyłożonym do czujnika, jego wyjście prądowe powinno wynosić 12 mA. Rozważamy, w jakich granicach obliczona wartość prądu wyjściowego może się zmienić, biorąc pod uwagę, że główny względny błąd pomiaru wynosi ± 5%.

ΔIout.t \u003d 12 ± (12 * 5%) / 100% \u003d (12 ± 0,6) mA

Oznacza to, że przy ciśnieniu 125 mbar przyłożonym do czujnika sygnał wyjściowy na jego wyjściu prądowym powinien mieścić się w zakresie od 11,40 do 12,60 mA. W zależności od stanu problemu mamy sygnał wyjściowy 12,62 mA, co oznacza, że ​​nasz czujnik nie mieścił się w podanym przez producenta błędzie pomiaru i wymaga regulacji.

Główny względny błąd pomiaru naszego czujnika to:

δ = ((12,62 – 12,00)/12,00)*100% = 5,17%

Weryfikacja i kalibracja oprzyrządowania powinna być wykonywana w normalnych warunkach otoczenia dla ciśnienia atmosferycznego, wilgotności i temperatury oraz przy nominalnym napięciu zasilania czujnika, ponieważ wyższa lub niższa temperatura i napięcie zasilania mogą prowadzić do dodatkowych błędów pomiarowych. Warunki weryfikacji są określone w procedurze weryfikacji. Wyroby, których błąd pomiaru nie mieścił się w ramach ustalonych w procedurze weryfikacyjnej, są albo ponownie adiustowane i adiustowane, po czym są ponownie badane, albo, jeśli adiustacja nie przyniosła rezultatów, np. z powodu starzenia się lub nadmiernego odkształcenia czujnika, są naprawiane. Jeżeli naprawa nie jest możliwa, urządzenia są odrzucane i wycofywane z eksploatacji.

Jeżeli jednak urządzenia były naprawiane, to nie podlegają już weryfikacji okresowej, lecz weryfikacji pierwotnej z zachowaniem wszystkich punktów określonych w procedurze legalizacyjnej dla tego typu weryfikacji. W niektórych przypadkach przyrząd jest specjalnie poddawany drobnym naprawom () gdyż zgodnie z metodą legalizacji znacznie łatwiej i taniej jest przeprowadzić legalizację pierwotną niż legalizację okresową, ze względu na różnice w zestawie przykładowych przyrządów pomiarowych stosowanych w weryfikacja okresowa i pierwotna.

Aby skonsolidować i przetestować zdobytą wiedzę, polecam to zrobić.