Tabela rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Faktoring dużych liczb

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakaz sądowy, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Dowolną liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze. Istnieje kilka sposobów rozkładu. Każda metoda daje ten sam wynik.

Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze? wygodnym sposobem? Zastanówmy się, jak zrobić to lepiej na konkretnych przykładach.

Przykłady. 1) Rozłóż liczbę 1400 na czynniki pierwsze.

1400 jest podzielne przez 2. 2 to liczba pierwsza, nie ma potrzeby rozkładania jej na czynniki. Otrzymujemy 700. Dzielimy przez 2. Otrzymujemy 350. Dzielimy również 350 przez 2. Otrzymaną liczbę 175 można podzielić przez 5. Wynik to z5 - ponownie dzielimy przez 5. Razem - 7. Może być tylko podzielone przez 7. Otrzymaliśmy 1, dzielenie zakończone.

Ta sama liczba może być inaczej rozłożona na czynniki pierwsze:

1400 wygodnie dzieli się przez 10. 10 nie jest liczbą pierwszą, więc musi być rozłożone na czynniki pierwsze: 10=2∙5. Wynik to 140. Ponownie dzielimy przez 10=2∙5. Otrzymujemy 14. Jeśli 14 dzielimy przez 14, to należy to również rozłożyć na iloczyn czynników pierwszych: 14=2∙7.

W ten sposób ponownie doszliśmy do tego samego rozkładu, co w pierwszym przypadku, ale szybciej.

Wniosek: przy rozkładaniu liczby nie jest konieczne dzielenie jej tylko przez dzielniki pierwsze. Dzielimy przez to, co jest wygodniejsze, na przykład przez 10. Musimy tylko pamiętać, aby rozłożyć złożone dzielniki na proste czynniki.

2) Rozłóż liczbę 1620 na czynniki pierwsze.

Liczbę 1620 najwygodniej podzielić przez 10. Ponieważ 10 nie jest liczbą pierwszą, przedstawiamy ją jako iloczyn czynników pierwszych: 10=2∙5. Mamy 162. Wygodnie jest podzielić ją przez 2. Wynik to 81. Liczbę 81 można podzielić przez 3, ale 9 jest wygodniejsze. Ponieważ 9 nie jest liczbą pierwszą, rozkładamy ją jako 9=3∙3. Mamy 9. Również dzielimy przez 9 i rozkładamy na iloczyn czynników pierwszych.

Co to znaczy rozkładać na czynniki? Jak to zrobić? Czego można się nauczyć z rozkładu liczby na czynniki pierwsze? Odpowiedzi na te pytania zilustrowano konkretnymi przykładami.

Definicje:

Liczba pierwsza to liczba, która ma dokładnie dwa różne dzielniki.

Liczba złożona to liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki.

rozkładać się Liczba naturalna do czynników oznacza przedstawienie go jako iloczynu liczb naturalnych.

Rozłożenie liczby naturalnej na czynniki pierwsze oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb pierwszych.

Uwagi:

W rozwinięciu liczby pierwszej jeden z czynników jest równy jednemu, a drugi jest równy tej liczbie.
Nie ma sensu mówić o rozkładzie jedności na czynniki.
Liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki, z których każdy różni się od 1.

	Rozłóżmy na czynniki liczbę 150. Na przykład 150 to 15 razy 10. 15 to liczba złożona. Można go rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 3. 10 to liczba złożona. Można go rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 2. Po wpisaniu ich rozwinięć na czynniki pierwsze zamiast 15 i 10 otrzymaliśmy rozkład liczby 150.
	Liczbę 150 można rozłożyć na czynniki w inny sposób. Na przykład 150 jest iloczynem liczb 5 i 30. 5 to liczba pierwsza. 30 to liczba złożona. Można go przedstawić jako iloczyn 10 i 3. 10 to liczba złożona. Można go rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 2. Rozkład liczby 150 na czynniki pierwsze uzyskaliśmy w inny sposób.
	Zauważ, że pierwszy i drugi dodatek są takie same. Różnią się tylko kolejnością mnożników. Zwyczajowo czynniki zapisuje się w porządku rosnącym.
Dowolną liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze w unikalny sposób aż do kolejności czynników.

Podczas rozkładania dużych liczb na czynniki pierwsze używa się wpisu w kolumnie:

Najmniejsza liczba pierwsza podzielna przez 216 to 2.

Podziel 216 przez 2. Otrzymujemy 108.

Wynikowa liczba 108 jest podzielna przez 2.

Zróbmy podział. W rezultacie otrzymujemy 54.

Zgodnie z testem podzielności przez 2 liczba 54 jest podzielna przez 2.

Po podzieleniu otrzymujemy 27.

Liczba 27 kończy się liczbą nieparzystą 7. Ono

Niepodzielna przez 2. Następna liczba pierwsza to 3.

Podziel 27 przez 3. Otrzymujemy 9. Najmniejsza liczba pierwsza

Liczba podzielna przez 9 to 3. Trójka sama w sobie jest liczbą pierwszą, podzielną przez siebie i przez jeden. Podzielmy 3 przez siebie. W rezultacie otrzymaliśmy 1.

Liczba jest podzielna tylko przez te liczby pierwsze, które są częścią jego rozkładu.
Liczba jest podzielna tylko przez te liczby złożone, których rozkład na czynniki pierwsze jest w niej całkowicie zawarty.

Rozważ przykłady:

4900 jest podzielne przez liczby pierwsze 2, 5 i 7 (są one uwzględnione w rozwinięciu liczby 4900), ale nie jest podzielne, na przykład przez 13.

11 550 75. Dzieje się tak, ponieważ rozwinięcie liczby 75 jest całkowicie zawarte w rozwinięciu liczby 11550.

Wynik podziału będzie iloczynem czynników 2, 7 i 11.

11550 nie jest podzielne przez 4, ponieważ w rozwinięciu liczby 4 jest dodatkowa 2

Znajdź iloraz dzielenia liczby a przez liczbę b, jeśli te liczby są rozłożone na czynniki pierwsze w następujący sposób a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Rozkład liczby b jest całkowicie zawarty w rozkładzie liczby a.

Wynik dzielenia a przez b jest iloczynem trzech liczb pozostałych w rozwinięciu a.

Więc odpowiedź brzmi: 30.

Bibliografia

Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka 6 klasa. - Gimnazjum. 2006.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - M.: Oświecenie, 1989.
Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania na zajęcia z matematyki klasy 5-6. - M.: MEPhI ZSh, 2011.
Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Zasiłek dla uczniów klas 6 szkoła korespondencyjna MEPhI. - M.: MEPhI ZSh, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 liceum. - M .: Edukacja, Biblioteka Nauczycieli Matematyki, 1989.

Portal internetowy Matematika-na.ru ().
Portal internetowy Math-portal.ru ().

Zadanie domowe

Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemozina, 2012. nr 127, nr 129, nr 141.
Inne zadania: nr 133, nr 144.

Faktoring dużej liczby nie jest łatwym zadaniem. Większość ludzi ma trudności z rozłożeniem liczb cztero- lub pięciocyfrowych. Aby uprościć proces, napisz liczbę nad dwiema kolumnami.

Rozłóżmy na czynniki liczbę 6552.

Podziel podaną liczbę przez najmniejszy dzielnik pierwszy (inny niż 1), który dzieli podaną liczbę bez reszty. Zapisz ten dzielnik w lewej kolumnie, a wynik dzielenia wpisz w prawej kolumnie. Jak wspomniano powyżej, liczby parzyste są łatwe do rozłożenia na czynniki, ponieważ ich najmniejszy czynnik pierwszy będzie zawsze wynosił 2 (liczby nieparzyste mają różne najmniejsze czynniki pierwsze).

W naszym przykładzie 6552 jest liczbą parzystą, więc 2 jest jej najmniejszym czynnikiem pierwszym. 6552 ÷ 2 = 3276. Wpisz 2 w lewej kolumnie i 3276 w prawej kolumnie.

Następnie podziel liczbę w prawej kolumnie przez najmniejszy dzielnik pierwszy (inny niż 1), który dzieli podaną liczbę bez reszty. Wpisz ten dzielnik w lewej kolumnie, a wynik dzielenia w prawej kolumnie (kontynuuj ten proces, aż 1 pozostanie w prawej kolumnie).

W naszym przykładzie: 3276 ÷ 2 = 1638. Wpisz 2 w lewej kolumnie i 1638 w prawej kolumnie Następnie: 1638 ÷ 2 = 819. Wpisz 2 w lewej kolumnie i 819 w prawej.

Masz nieparzystą liczbę; dla takich liczb znalezienie najmniejszego dzielnika pierwszego jest trudniejsze. Jeśli otrzymasz nieparzystą liczbę, spróbuj podzielić ją przez najmniejsze nieparzyste liczby pierwsze: 3, 5, 7, 11.

W naszym przykładzie otrzymałeś nieparzystą liczbę 819. Podziel ją przez 3: 819 ÷ 3 = 273. Wpisz 3 w lewej kolumnie i 273 w prawej.
Wybierając dzielniki, wypróbuj wszystkie liczby pierwsze do pierwiastek kwadratowy od największego dzielnika, który znalazłeś. Jeśli żaden dzielnik nie dzieli równo liczby, najprawdopodobniej masz liczbę pierwszą i możesz przestać obliczać.

Kontynuuj proces dzielenia liczb przez czynniki pierwsze, aż w prawej kolumnie zostanie 1 (jeśli otrzymasz liczbę pierwszą w prawej kolumnie, podziel ją przez siebie, aby uzyskać 1).

Kontynuujmy nasz przykład:
- Podziel przez 3: 273 ÷ 3 = 91. Nie ma reszty. Napisz 3 w lewej kolumnie i 91 w prawej kolumnie.
- Dzielenie przez 3. 91 jest podzielne przez 3 przez resztę, więc podziel przez 5. 91 jest podzielne przez 5 przez resztę, więc podziel przez 7: 91 ÷ 7 = 13. Nie ma żadnej reszty. Napisz 7 w lewej kolumnie i 13 w prawej kolumnie.
- Podziel przez 7. 13 jest podzielne przez 7 przez resztę, więc podziel przez 11. 13 jest podzielne przez 11 przez resztę, więc podziel przez 13: 13 ÷ 13 = 1. Nie ma żadnej reszty. Wpisz 13 w lewej kolumnie i 1. Twoje obliczenia są kompletne.

Lewa kolumna pokazuje czynniki pierwsze oryginalnej liczby. Innymi słowy, mnożąc wszystkie liczby z lewej kolumny, otrzymasz liczbę zapisaną nad kolumnami. Jeśli ten sam czynnik pojawia się wielokrotnie na liście czynników, użyj wykładników, aby go wskazać. W naszym przykładzie 2 pojawia się 4 razy na liście mnożników; zapisz te czynniki jako 2 4 , a nie jako 2*2*2*2.

W naszym przykładzie 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Rozłożyłeś liczbę 6552 na czynniki pierwsze (kolejność czynników w tym zapisie nie ma znaczenia).

Co to znaczy rozkładać na czynniki? Oznacza to znalezienie liczb, których iloczyn jest równy liczbie oryginalnej.

Aby zrozumieć, co to znaczy rozkładać na czynniki, rozważ przykład.

Przykład faktoryzacji liczby

Uwzględnij liczbę 8.

Liczbę 8 można przedstawić jako iloczyn 2 przez 4:

Reprezentowanie 8 jako iloczyn 2 * 4 i stąd faktoryzacja.

Zauważ, że nie jest to jedyna faktoryzacja liczby 8.

W końcu 4 jest rozkładane w następujący sposób:

Stąd 8 może być reprezentowane:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Sprawdźmy naszą odpowiedź. Znajdźmy, co równa się faktoryzacji:

Oznacza to, że otrzymaliśmy oryginalny numer, odpowiedź jest prawidłowa.

Faktoryzacja liczby 24

Jak rozłożyć liczbę 24 na czynniki?

Liczba jest nazywana liczbą pierwszą, jeśli jest podzielna tylko przez 1 i samą siebie.

Liczbę 8 można przedstawić jako iloczyn 3 przez 8:

Tutaj liczy się liczba 24. Ale zadanie mówi „faktoryzować liczbę 24”, tj. potrzebujemy czynników pierwszych. A w naszej ekspansji 3 jest czynnikiem pierwszym, a 8 nie jest czynnikiem pierwszym.