Garis tengah trapesium adalah setengah alasnya. Rekstok gantung

Konsep garis tengah trapesium

Pertama, mari kita ingat bangun apa yang disebut trapesium.

Definisi 1

Trapesium adalah segi empat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar.

Dalam hal ini, sisi paralel disebut alas trapesium, dan tidak sejajar - sisi trapesium.

Definisi 2

Garis tengah trapesium adalah ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisi trapesium.

Teorema garis tengah trapesium

Kami sekarang memperkenalkan teorema pada garis tengah trapesium dan membuktikannya dengan metode vektor.

Teorema 1

Garis tengah trapesium sejajar dengan alas dan sama dengan setengah jumlah mereka.

Bukti.

Mari kita diberikan trapesium $ABCD$ dengan basis $AD\ dan\ BC$. Dan biarkan $MN$ -- garis tengah trapesium ini (Gbr. 1).

Gambar 1. Garis tengah trapesium

Mari kita buktikan bahwa $MN||AD\ dan\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Pertimbangkan vektor $\overrightarrow(MN)$. Selanjutnya, kita menggunakan aturan poligon untuk penjumlahan vektor. Di satu sisi, kita mengerti

Di sisi lain

Menambahkan dua persamaan terakhir, kita mendapatkan

Karena $M$ dan $N$ adalah titik tengah sisi trapesium, kita peroleh

Kita mendapatkan:

Karena itu

Dari persamaan yang sama (karena $\overrightarrow(BC)$ dan $\overrightarrow(AD)$ adalah codirectional dan, oleh karena itu, collinear), kita mendapatkan $MN||AD$.

Teorema telah terbukti.

Contoh tugas tentang konsep garis tengah trapesium

Contoh 1

Sisi trapesium masing-masing adalah $15\cm$ dan $17\cm$. Keliling trapesium adalah $52\cm$. Cari panjang garis tengah trapesium.

Keputusan.

Tunjukkan garis tengah trapesium dengan $n$.

Jumlah sisinya adalah

Oleh karena itu, karena kelilingnya adalah $52\ cm$, jumlah alasnya adalah

Oleh karena itu, dengan Teorema 1, kita memperoleh

Menjawab:$10\cm$.

Contoh 2

Ujung-ujung diameter lingkaran adalah $9$ cm dan $5$ cm dari garis singgungnya.Temukan diameter lingkaran ini.

Keputusan.

Mari kita diberikan sebuah lingkaran dengan pusat $O$ dan diameter $AB$. Gambar garis singgung $l$ dan buat jarak $AD=9\ cm$ dan $BC=5\ cm$. Mari menggambar jari-jari $OH$ (Gbr. 2).

Gambar 2.

Karena $AD$ dan $BC$ adalah jarak ke garis singgung, maka $AD\bot l$ dan $BC\bot l$ dan karena $OH$ adalah jari-jarinya, maka $OH\bot l$, maka $OH | \kiri|IKLAN\kanan||BC$. Dari semua ini kita dapatkan bahwa $ABCD$ adalah trapesium, dan $OH$ adalah garis tengahnya. Dengan Teorema 1, kita mendapatkan

Pada artikel ini, kami akan mencoba mencerminkan sifat-sifat trapesium semaksimal mungkin. Secara khusus, kita akan berbicara tentang fitur umum dan sifat-sifat trapesium, serta tentang sifat-sifat trapesium bertulis dan tentang lingkaran dalam trapesium. Kami juga akan menyentuh sifat-sifat trapesium sama kaki dan persegi panjang.

Contoh pemecahan masalah menggunakan sifat-sifat yang dipertimbangkan akan membantu Anda memilah-milah hal-hal di kepala Anda dan mengingat materi dengan lebih baik.

Trapeze dan semua-semua-semua

Untuk memulainya, mari kita ingat secara singkat apa itu trapesium dan konsep lain apa yang terkait dengannya.

Jadi, trapesium adalah bangun datar segi empat, dua sisinya sejajar satu sama lain (ini adalah alasnya). Dan dua tidak sejajar - ini adalah sisi-sisinya.

Dalam trapesium, tingginya dapat dihilangkan - tegak lurus dengan alasnya. Garis tengah dan diagonal digambar. Dan juga dari sudut trapesium mana pun dimungkinkan untuk menggambar garis bagi.

Pro berbagai properti terkait dengan semua elemen ini dan kombinasinya, kita akan berbicara sekarang.

Sifat-sifat diagonal trapesium

Untuk membuatnya lebih jelas, saat membaca, buat sketsa trapesium ACME di selembar kertas dan gambar diagonal di dalamnya.

Jika Anda menemukan titik tengah dari masing-masing diagonal (sebut saja titik ini X dan T) dan menghubungkannya, Anda mendapatkan segmen. Salah satu sifat diagonal trapesium adalah ruas XT terletak pada garis tengah. Dan panjangnya dapat diperoleh dengan membagi selisih alas dengan dua: XT \u003d (a - b) / 2.
Di depan kita adalah trapesium ACME yang sama. Diagonal berpotongan di titik O. Perhatikan segitiga AOE dan IOC yang dibentuk oleh ruas-ruas diagonal bersama alas trapesium. Segitiga ini serupa. Koefisien kesamaan k segitiga dinyatakan dalam rasio alas trapesium: k = AE/KM.
Rasio luas segitiga AOE dan IOC dijelaskan oleh koefisien k 2 .
Semua trapesium yang sama, diagonal yang sama berpotongan di titik O. Hanya kali ini kita akan mempertimbangkan segitiga yang segmen diagonalnya dibentuk bersama dengan sisi trapesium. Luas segitiga AKO dan EMO sama - luasnya sama.
Properti lain dari trapesium termasuk konstruksi diagonal. Jadi, jika kita melanjutkan sisi AK dan ME ke arah alas yang lebih kecil, maka cepat atau lambat mereka akan berpotongan ke suatu titik. Selanjutnya, tarik garis lurus melalui titik tengah alas trapesium. Ini memotong basis di titik X dan T.
Jika sekarang kita perpanjang garis XT, maka garis itu akan menyatukan titik potong diagonal trapesium O, titik di mana perpanjangan sisi dan titik tengah alas X dan T berpotongan.
Melalui titik perpotongan diagonal, kami menggambar segmen yang akan menghubungkan alas trapesium (T terletak pada alas KM yang lebih kecil, X - pada AE yang lebih besar). Titik potong diagonal membagi segmen ini dalam rasio berikut: TO/OH = KM/AE.
Dan sekarang melalui titik perpotongan diagonal kita menggambar segmen yang sejajar dengan alas trapesium (a dan b). Titik potong tersebut akan membaginya menjadi dua bagian yang sama. Anda dapat menemukan panjang segmen menggunakan rumus 2ab/(a + b).

Sifat-sifat garis tengah trapesium

Gambarlah garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya.

Panjang garis tengah trapesium dapat dihitung dengan menambahkan panjang alas dan membaginya menjadi dua: m = (a + b)/2.
Jika Anda menggambar segmen apa pun (tinggi, misalnya) melalui kedua alas trapesium, garis tengah akan membaginya menjadi dua bagian yang sama.

Sifat-sifat garis bagi trapesium

Pilih salah satu sudut trapesium dan gambarlah sebuah garis bagi. Ambil, misalnya, sudut KAE dari trapesium ACME kami. Setelah menyelesaikan konstruksi sendiri, Anda dapat dengan mudah melihat bahwa garis-bagi memotong dari alas (atau kelanjutannya pada garis lurus di luar gambar itu sendiri) segmen dengan panjang yang sama dengan sisinya.

Sifat sudut trapesium

Manakah dari dua pasang sudut yang berdekatan dengan sisi yang Anda pilih, jumlah sudut dalam pasangan selalu 180 0: + = 180 0 dan + = 180 0 .
Hubungkan titik tengah alas trapesium dengan segmen TX. Sekarang mari kita lihat sudut pada alas trapesium. Jika jumlah sudut untuk salah satu dari mereka adalah 90 0, panjang segmen TX mudah dihitung berdasarkan perbedaan panjang alas, dibagi dua: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Jika ditarik garis sejajar melalui sisi-sisi sudut trapesium, maka sisi-sisi sudut tersebut akan dibagi menjadi segmen-segmen yang proporsional.

Sifat-sifat trapesium sama kaki (sama kaki)

Dalam trapesium sama kaki, sudut di salah satu alasnya sama besar.
Sekarang buat trapesium lagi untuk memudahkan membayangkan tentang apa itu. Perhatikan baik-baik alas AE - titik sudut dari alas M yang berlawanan diproyeksikan ke titik tertentu pada garis yang memuat AE. Jarak dari titik A ke titik proyeksi titik M dan garis tengah trapesium sama kaki adalah sama.
Beberapa kata tentang properti diagonal trapesium sama kaki - panjangnya sama. Dan juga sudut kemiringan diagonal ini ke dasar trapesium adalah sama.
Hanya di dekat trapesium sama kaki lingkaran dapat digambarkan, karena jumlah sudut yang berlawanan dari segi empat 180 0 adalah prasyarat untuk ini.
Properti trapesium sama kaki mengikuti dari paragraf sebelumnya - jika lingkaran dapat dijelaskan di dekat trapesium, itu adalah sama kaki.
Dari ciri-ciri trapesium sama kaki, sifat tinggi trapesium sebagai berikut: jika diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus, maka panjang tingginya sama dengan setengah jumlah alasnya: h = (a + b)/2.
Gambarkan garis TX lagi melalui titik tengah alas trapesium - dalam trapesium sama kaki tegak lurus terhadap alasnya. Dan pada saat yang sama, TX adalah sumbu simetri trapesium sama kaki.
Kali ini lebih rendah ke alas yang lebih besar (sebut saja a) tinggi dari puncak trapesium yang berlawanan. Anda akan mendapatkan dua potongan. Panjang satu dapat ditemukan jika panjang alas dijumlahkan dan dibagi dua: (a+b)/2. Kami mendapatkan yang kedua ketika kami mengurangi yang lebih kecil dari basis yang lebih besar dan membagi perbedaan yang dihasilkan dengan dua: (a – b)/2.

Sifat-sifat trapesium berbentuk lingkaran

Karena kita sudah berbicara tentang trapesium yang tertulis dalam lingkaran, mari kita bahas masalah ini secara lebih rinci. Secara khusus, di mana adalah pusat lingkaran dalam kaitannya dengan trapesium. Di sini juga disarankan untuk tidak terlalu malas untuk mengambil pensil dan menggambar apa akan di diskusikan di bawah. Jadi Anda akan mengerti lebih cepat, dan mengingat lebih baik.

Letak pusat lingkaran ditentukan oleh sudut kemiringan diagonal trapesium terhadap sisinya. Misalnya, diagonal mungkin muncul dari atas trapesium tegak lurus ke samping. Dalam hal ini, alas yang lebih besar memotong pusat lingkaran berbatas tepat di tengah (R = AE).
Diagonal dan sisi dapat bertemu di bawah sudut lancip- maka pusat lingkaran berada di dalam trapesium.
Pusat lingkaran yang dibatasi mungkin berada di luar trapesium, di luar alas besarnya, jika ada sudut tumpul antara diagonal trapesium dan sisi lateral.
Sudut yang dibentuk oleh diagonal dan alas besar trapesium ACME (sudut tertulis) adalah setengah dari sudut pusat yang sesuai dengannya: MAE = SAYA.
Secara singkat tentang dua cara untuk menemukan jari-jari lingkaran yang dibatasi. Metode satu: perhatikan baik-baik gambar Anda - apa yang Anda lihat? Anda akan dengan mudah melihat bahwa diagonal membagi trapesium menjadi dua segitiga. Jari-jari dapat ditemukan melalui rasio sisi segitiga dengan sinus sudut yang berlawanan, dikalikan dua. Sebagai contoh, R \u003d AE / 2 * sinAME. Demikian pula, rumus dapat ditulis untuk salah satu sisi dari kedua segitiga.
Metode dua: kami menemukan jari-jari lingkaran yang dibatasi melalui area segitiga yang dibentuk oleh diagonal, sisi dan alas trapesium: R \u003d AM * SAYA * AE / 4 * S AME.

Sifat-sifat trapesium yang dibatasi lingkaran

Anda dapat membuat lingkaran dalam trapesium jika salah satu syarat terpenuhi. Lebih lanjut tentangnya di bawah ini. Dan bersama-sama kombinasi angka ini memiliki sejumlah sifat menarik.

Jika sebuah lingkaran ditulis dalam trapesium, panjang garis tengahnya dapat dengan mudah ditemukan dengan menambahkan panjang sisi-sisinya dan membagi jumlah yang dihasilkan menjadi dua: m = (c + d)/2.
Untuk trapesium ACME, dibatasi di sekitar lingkaran, jumlah panjang alasnya sama dengan jumlah panjang sisinya: AK + SAYA = KM + AE.
Dari sifat alas trapesium ini, pernyataan kebalikannya adalah sebagai berikut: pada trapesium dapat dibuat sebuah lingkaran, yang jumlah alasnya sama dengan jumlah sisinya.
Titik singgung lingkaran dengan jari-jari r pada trapesium membagi sisi lateral menjadi dua segmen, sebut saja a dan b. Jari-jari lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus: r = ab.
Dan satu properti lagi. Agar tidak bingung, gambarkan contoh ini sendiri. Kami memiliki trapesium ACME tua yang bagus, dibatasi di sekitar lingkaran. Diagonal digambar di dalamnya, berpotongan di titik O. Segitiga AOK dan EOM dibentuk oleh segmen diagonal dan sisi-sisinya persegi panjang.
Ketinggian segitiga-segitiga ini, diturunkan ke sisi miring (yaitu, sisi trapesium), bertepatan dengan jari-jari lingkaran tertulis. Dan tinggi trapesium sama dengan diameter lingkaran bertulisan.

Sifat-sifat trapesium persegi panjang

Trapesium disebut persegi panjang, salah satu sudutnya siku-siku. Dan sifat-sifatnya berasal dari keadaan ini.

Trapesium persegi panjang memiliki salah satu sisi yang tegak lurus dengan alasnya.
Tinggi dan sisi trapesium yang berdekatan dengan sudut kanan, adalah sama. Ini memungkinkan Anda untuk menghitung luas trapesium persegi panjang (rumus umum S = (a + b) * j/2) tidak hanya melalui ketinggian, tetapi juga melalui sisi yang berdekatan dengan sudut siku-siku.
Untuk trapesium persegi panjang, sifat umum diagonal trapesium yang telah dijelaskan di atas adalah relevan.

Bukti beberapa sifat trapesium

Persamaan sudut di dasar trapesium sama kaki:

Anda mungkin sudah menebak bahwa di sini kita membutuhkan trapesium ACME lagi - gambarlah trapesium sama kaki. Tarik garis MT dari simpul M sejajar dengan sisi AK (MT || AK).

AKMT segi empat yang dihasilkan adalah jajar genjang (AK || MT, KM || AT). Karena ME = KA = MT, MTE sama kaki dan MET = MTE.

AK || MT, oleh karena itu MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Dimana AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sekarang, berdasarkan sifat trapesium sama kaki (persamaan diagonal), kami membuktikan bahwa trapesium ACME adalah sama kaki:

Untuk memulainya, mari kita menggambar garis lurus – || KE. Kami mendapatkan jajaran genjang KMHE (basis - MX || KE dan KM || EX).

AMH adalah sama kaki, karena AM = KE = MX, dan MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, maka MAE = MXE.

Ternyata segitiga AKE dan EMA sama satu sama lain, karena AM \u003d KE dan AE adalah sisi yang sama dari kedua segitiga. Dan juga MAE \u003d MXE. Kita dapat menyimpulkan bahwa AK = ME, dan oleh karena itu trapesium AKME adalah sama kaki.

Tugas untuk mengulang

Alas trapesium ACME adalah 9 cm dan 21 cm, sisi KA sama dengan 8 cm membentuk sudut 150 0 dengan alas yang lebih kecil. Anda perlu menemukan luas trapesium.

Solusi: Dari titik K kita turunkan tingginya ke dasar trapesium yang lebih besar. Dan mari kita mulai melihat sudut trapesium.

Sudut AEM dan KAN adalah satu sisi. Yang berarti mereka menambahkan hingga 1800. Oleh karena itu, KAN = 30 0 (berdasarkan sifat sudut trapesium).

Pertimbangkan sekarang ANK persegi panjang (saya pikir poin ini jelas bagi pembaca tanpa bukti lebih lanjut). Dari sana kita menemukan ketinggian trapesium KH - dalam segitiga itu adalah kaki, yang terletak di seberang sudut 30 0. Oleh karena itu, KN \u003d AB \u003d 4 cm.

Luas trapesium ditemukan dengan rumus: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

kata penutup

Jika Anda mempelajari artikel ini dengan cermat dan serius, tidak terlalu malas untuk menggambar trapesium untuk semua properti di atas dengan pensil di tangan Anda dan menganalisisnya dalam praktik, Anda harus menguasai materi dengan baik.

Tentu saja, ada banyak informasi di sini, bervariasi dan kadang-kadang bahkan membingungkan: tidak begitu sulit untuk mengacaukan sifat-sifat trapesium yang dijelaskan dengan sifat-sifat yang tertulis. Tetapi Anda sendiri melihat bahwa perbedaannya sangat besar.

Sekarang Anda memiliki ringkasan terperinci dari semuanya sifat umum trapesium. Serta sifat dan ciri khusus trapesium sama kaki dan persegi panjang. Sangat nyaman digunakan untuk mempersiapkan ujian dan ujian. Cobalah sendiri dan bagikan tautannya dengan teman-teman Anda!

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan atau permintaan publik dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Ruas garis yang menghubungkan titik tengah diagonal trapesium setengah perbedaan dasar
Segitiga yang dibentuk oleh alas trapesium dan ruas-ruas diagonalnya sampai titik potongnya adalah sebangun
Segitiga yang dibentuk oleh segmen diagonal trapesium, sisi-sisinya terletak di sisi trapesium - luas yang sama (memiliki luas yang sama)
Jika kita memperpanjang sisi trapesium ke arah alas yang lebih kecil, maka mereka akan berpotongan di satu titik dengan garis lurus yang menghubungkan titik tengah alas
Ruas yang menghubungkan alas trapesium, dan melalui titik perpotongan diagonal trapesium, dibagi dengan titik ini dalam proporsi yang sama dengan rasio panjang alas trapesium
Sebuah segmen yang sejajar dengan alas trapesium dan ditarik melalui titik perpotongan diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik ini, dan panjangnya adalah 2ab / (a + b), di mana a dan b adalah alas trapesium

Sifat-sifat segmen yang menghubungkan titik tengah diagonal trapesium

Hubungkan titik-titik tengah diagonal trapesium ABCD, sebagai akibatnya kita akan memiliki segmen LM.
Ruas garis yang menghubungkan titik tengah diagonal trapesium terletak di garis tengah trapesium.

Segmen ini sejajar dengan alas trapesium.

Panjang ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal trapesium sama dengan selisih setengah alasnya.

LM = (AD - SM)/2
atau
LM = (a-b)/2

Sifat-sifat segitiga yang dibentuk oleh diagonal-diagonal trapesium

Segitiga yang dibentuk oleh alas trapesium dan titik potong diagonal trapesium - mirip.
Segitiga BOC dan AOD serupa. Karena sudut BOC dan AOD adalah vertikal, maka keduanya sama besar.
Sudut OCB dan OAD adalah melintang internal yang terletak pada garis paralel AD dan BC (alas trapesium sejajar satu sama lain) dan garis potong AC, oleh karena itu, mereka sama.
Sudut OBC dan ODA adalah sama untuk alasan yang sama (internal cross-lying).

Karena ketiga sudut dari satu segitiga sama dengan sudut-sudut yang bersesuaian dengan segitiga lain, segitiga-segitiga ini sebangun.

Apa yang mengikuti dari ini?

Untuk menyelesaikan masalah dalam geometri, persamaan segitiga digunakan sebagai berikut. Jika kita mengetahui panjang dua elemen yang bersesuaian dari segitiga sebangun, maka kita menemukan koefisien kesamaan (kita membagi satu dengan yang lain). Dari mana panjang semua elemen lainnya terkait satu sama lain dengan nilai yang persis sama.

Sifat-sifat segitiga yang terletak pada sisi lateral dan diagonal trapesium

Perhatikan dua buah segitiga yang terletak pada sisi trapesium AB dan CD. Ini adalah segitiga AOB dan COD. Terlepas dari kenyataan bahwa ukuran masing-masing sisi segitiga ini bisa sangat berbeda, tetapi luas segitiga yang dibentuk oleh sisi-sisinya dan titik potong diagonal-diagonal trapesium adalah, yaitu segitiga-segitiga itu sama besar.

Jika sisi-sisi trapesium diperpanjang ke arah alas yang lebih kecil, maka titik potong sisi-sisinya adalah berimpit dengan garis lurus yang melalui titik tengah alas.

Jadi, trapesium apa pun dapat diperluas menjadi segitiga. Di mana:

Segitiga yang dibentuk oleh alas trapesium dengan titik sudut yang sama di titik perpotongan sisi yang diperpanjang adalah sama
Garis lurus yang menghubungkan titik tengah alas trapesium, pada saat yang sama, adalah median segitiga yang dibangun

Sifat-sifat segmen yang menghubungkan alas trapesium

Jika Anda menggambar sebuah ruas yang ujung-ujungnya terletak pada alas trapesium, yang terletak pada titik potong diagonal trapesium (KN), maka perbandingan ruas-ruas penyusunnya dari sisi alas terhadap titik potong trapesium tersebut adalah diagonal (KO / ON) akan sama dengan rasio alas trapesium(SM/AD).

KO/ON=BC/AD

Properti ini mengikuti kesamaan segitiga yang sesuai (lihat di atas).

Sifat-sifat segmen yang sejajar dengan alas trapesium

Jika Anda menggambar segmen yang sejajar dengan alas trapesium dan melewati titik potong diagonal trapesium, maka ia akan memiliki sifat-sifat berikut:

Jarak prasetel (KM) membagi dua titik potong diagonal trapesium
potong panjang, melalui titik potong diagonal trapesium dan sejajar dengan alasnya, sama dengan KM = 2ab/(a + b)

Rumus mencari diagonal trapesium

a, b- alas trapesium

c, d- sisi trapesium

d1 d2- diagonal trapesium

α β - sudut dengan alas trapesium yang lebih besar

Rumus untuk mencari diagonal trapesium melalui alas, sisi, dan sudut pada alasnya

Kelompok rumus pertama (1-3) mencerminkan salah satu sifat utama diagonal trapesium:

1. Jumlah kuadrat diagonal-diagonal trapesium sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya ditambah dua kali hasilkali alasnya. Sifat diagonal trapesium ini dapat dibuktikan sebagai teorema terpisah

2 . Rumus ini diperoleh dengan mentransformasikan rumus sebelumnya. Kuadrat diagonal kedua dilemparkan ke atas tanda sama dengan, setelah itu akar kuadrat diekstraksi dari sisi kiri dan kanan ekspresi.

3 . Rumus untuk menemukan panjang diagonal trapesium ini mirip dengan yang sebelumnya, dengan perbedaan bahwa diagonal lain dibiarkan di sisi kiri ekspresi

Kelompok rumus berikutnya (4-5) memiliki arti yang serupa dan menyatakan hubungan yang serupa.

Kelompok rumus (6-7) memungkinkan Anda menemukan diagonal trapesium jika Anda mengetahui alas trapesium yang lebih besar, satu sisi dan sudut di alasnya.

Rumus untuk menemukan diagonal trapesium dalam hal tinggi

Catatan. Dalam pelajaran ini, solusi masalah dalam geometri tentang trapesium diberikan. Jika Anda belum menemukan solusi untuk masalah geometri jenis yang Anda minati - ajukan pertanyaan di forum.

Tugas.
Diagonal-diagonal trapesium ABCD (AD | | BC) berpotongan di titik O. Tentukan panjang BC alas trapesium jika alas AD = 24 cm, panjang AO = 9 cm, panjang OS = 6 cm.

Keputusan.
Penyelesaian tugas ini secara mutlak identik dengan tugas-tugas sebelumnya dalam hal ideologi.

Segitiga AOD dan BOC serupa dalam tiga sudut - AOD dan BOC vertikal, dan sudut yang tersisa berpasangan sama, karena mereka dibentuk oleh perpotongan satu garis dan dua garis sejajar.

Karena segitiga-segitiga itu sebangun, semuanya dimensi geometris berhubungan satu sama lain sebagai dimensi geometris dari segmen AO dan OC yang kita ketahui dengan kondisi masalah. Yaitu

AO/OC=AD/BC
9/6 = 24 / SM
SM = 24 * 6 / 9 = 16

Menjawab: 16 cm

Tugas .
Pada trapesium ABCD diketahui AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Temukan luas trapesium.

Keputusan .
Untuk mencari tinggi trapesium dari simpul alas B dan C yang lebih kecil, kita turunkan dua ketinggian ke alas yang lebih besar. Karena trapesium tidak sama, kami menyatakan panjang AM = a, panjang KD = b ( jangan bingung dengan simbol dalam rumus mencari luas trapesium). Karena alas trapesium sejajar dan kita telah menghilangkan dua ketinggian yang tegak lurus dengan alas yang lebih besar, maka MBCK adalah persegi panjang.

Cara
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Segitiga DBM dan ACK siku-siku, jadi sudut siku-sikunya dibentuk oleh ketinggian trapesium. Mari kita nyatakan ketinggian trapesium sebagai h. Kemudian dengan teorema Pythagoras

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
dan
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Pertimbangkan bahwa a \u003d 16 - b, maka dalam persamaan pertama
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Substitusikan nilai kuadrat tinggi ke persamaan kedua, yang diperoleh dengan Teorema Pythagoras. Kita mendapatkan:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Jadi, KD = 12
Di mana
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Temukan luas trapesium menggunakan tinggi dan setengah jumlah alasnya
, di mana a b - alas trapesium, h - ketinggian trapesium
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Menjawab: luas trapesium adalah 80 cm2.