Ringkasan: Persamaan kuadrat dan persamaan orde tinggi. Sejarah Perkembangan Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat pada zaman dahulu

PENGANTAR

Persamaan dalam kursus aljabar sekolah menempati tempat terdepan. Lebih banyak waktu dikhususkan untuk studi mereka daripada topik lain dari kursus matematika sekolah. Kekuatan teori persamaan adalah bahwa ia tidak hanya memiliki signifikansi teoritis untuk pengetahuan hukum alam, tetapi juga melayani tujuan praktis tertentu. Sebagian besar masalah tentang bentuk spasial dan hubungan kuantitatif dunia nyata harus diselesaikan berbagai macam persamaan. Dengan menguasai cara-cara penyelesaiannya, manusia menemukan jawaban atas berbagai pertanyaan dari ilmu pengetahuan dan teknologi (transportasi, pertanian, industri, komunikasi, dll). Selain itu, untuk pembentukan kemampuan menyelesaikan persamaan, kerja mandiri siswa dalam belajar menyelesaikan persamaan sangat penting. Saat mempelajari topik apa pun, persamaan dapat digunakan sebagai cara yang efektif untuk mengkonsolidasikan, memperdalam, mengulangi, dan memperluas pengetahuan teoretis, untuk pengembangan aktivitas matematika kreatif siswa.

Di dunia modern, persamaan banyak digunakan di berbagai cabang matematika, dalam memecahkan masalah terapan yang penting. Topik ini dicirikan oleh kedalaman presentasi dan kekayaan koneksi yang dibangun dengan bantuannya dalam pembelajaran, validitas logis dari presentasi. Oleh karena itu, ia menempati posisi luar biasa dalam garis persamaan. Siswa mulai mempelajari topik "trinomial persegi" setelah mengumpulkan beberapa pengalaman, memiliki stok aljabar dan konsep matematika umum, konsep, dan keterampilan yang cukup besar. Untuk sebagian besar, pada materi topik inilah perlu untuk mensintesis materi yang terkait dengan persamaan, untuk menerapkan prinsip-prinsip historisisme dan aksesibilitas.

Relevansi topik adalah perlunya menerapkan prinsip-prinsip historisisme dan kurangnya bahan untuk implementasi ini pada topik “Keputusan persamaan kuadrat».

Permasalahan penelitian: mengidentifikasi materi sejarah untuk pembelajaran menyelesaikan persamaan kuadrat.

Objektif: pembentukan ide tentang mengerjakan persamaan kuadrat dalam pelajaran matematika, pemilihan satu set pelajaran dengan elemen historisisme pada topik "Persamaan kuadrat".

Objek studi: Menyelesaikan persamaan kuadrat di kelas 8 menggunakan unsur kesejarahan.

Subyek studi: persamaan kuadrat dan pengembangan pelajaran pada pembelajaran menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan materi sejarah.

tugas:

melakukan analisis literatur ilmiah dan metodologis terhadap masalah penelitian;

menganalisis buku teks sekolah dan menyoroti di dalamnya tempat belajar untuk memecahkan persamaan kuadrat;

mengambil satu set pelajaran tentang memecahkan persamaan kuadrat menggunakan bahan sejarah.

Metode penelitian:

analisis literatur dengan topik "Solusi persamaan kuadrat";

pengamatan siswa selama pelajaran dengan topik "Memecahkan persamaan kuadrat";

pemilihan materi: pelajaran dengan topik "Memecahkan persamaan kuadrat" menggunakan referensi sejarah.

1. Dari sejarah munculnya persamaan kuadrat

Aljabar muncul sehubungan dengan solusi berbagai masalah menggunakan persamaan. Biasanya dalam masalah diperlukan untuk menemukan satu atau beberapa yang tidak diketahui, sambil mengetahui hasil dari beberapa tindakan yang dilakukan pada jumlah yang diinginkan dan diberikan. Masalah seperti itu direduksi menjadi pemecahan satu atau sistem beberapa persamaan, hingga menemukan persamaan yang diinginkan dengan bantuan operasi aljabar pada besaran tertentu. Aljabar mempelajari sifat-sifat umum tindakan pada besaran.

Beberapa teknik aljabar untuk memecahkan persamaan linear dan kuadrat sudah dikenal sejak 4000 tahun yang lalu di Babel Kuno.

Persamaan Kuadrat di Babel Kuno

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya dari yang pertama, tetapi juga dari tingkat kedua di zaman kuno disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan mencari luas tanah dan pekerjaan tanah militer, serta dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Orang Babilonia tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat sekitar tahun 2000 SM. Menerapkan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks paku mereka ada, selain yang tidak lengkap, seperti, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

Aturan untuk memecahkan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babilonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dinyatakan dalam bentuk resep, tanpa menunjukkan bagaimana mereka ditemukan. Meskipun level tinggi perkembangan aljabar di Babel, dalam teks cuneiform tidak ada konsep bilangan negatif dan metode umum solusi persamaan kuadrat.

Aritmatika Diophantus tidak memuat eksposisi aljabar yang sistematis, tetapi berisi rangkaian masalah yang sistematis, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan merumuskan persamaan berbagai derajat.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Di sini, misalnya, adalah salah satu tugasnya.

Tugas 2. "Menemukan dua angka, mengetahui bahwa jumlah mereka adalah 20, dan produk mereka adalah 96."

Diophantus berpendapat sebagai berikut: mengikuti dari kondisi masalah bahwa angka yang diinginkan tidak sama, karena jika mereka sama, maka produk mereka tidak akan sama dengan 96, tetapi dengan 100. Jadi, salah satunya adalah lebih dari setengah jumlah mereka, yaitu
. Yang lainnya lebih kecil, yaitu
. Perbedaan di antara mereka
. Oleh karena itu persamaan:

Dari sini
. Salah satu angka yang diinginkan adalah 12, yang lain adalah 8. Solusi
karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengetahui bilangan positif.

Jika kita memecahkan masalah ini, memilih salah satu bilangan yang tidak diketahui sebagai yang tidak diketahui, maka kita dapat sampai pada solusi persamaan:

Jelas bahwa Diophantus menyederhanakan solusi dengan memilih setengah selisih dari angka yang diinginkan sebagai yang tidak diketahui; ia berhasil mengurangi masalah untuk memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Persamaan kuadrat di India

Masalah persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi Aryabhattam, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Sarjana India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan peraturan umum solusi persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

(1)

Dalam persamaan (1) koefisien bisa negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan kita.

Di India, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Dalam salah satu buku India kuno, berikut ini dikatakan tentang kompetisi semacam itu: “Saat matahari bersinar lebih terang dari bintang-bintang, demikian pula ilmuwan pria gerhana kemuliaan majelis populer, menyarankan dan memecahkan masalah aljabar". Tugas sering didandani dalam bentuk puitis.

Inilah salah satu masalah matematikawan India terkenal abad XII. Bhaskara.

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa penulis menyadari dua nilai dari akar persamaan kuadrat.

Persamaan yang sesuai dengan masalah 3 adalah:

Bhaskara menulis dengan kedok:

dan untuk melengkapi sisi kiri dari persamaan ini hingga kuadrat, tambahkan 322 ke kedua sisi, lalu dapatkan:

Persamaan Kuadrat Al-Khawarizmi

Risalah aljabar Al-Khawarizmi memberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis membuat daftar 6 jenis persamaan, yang menyatakannya sebagai berikut:

Bagi Al-Khawarizmi yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari masing-masing persamaan tersebut adalah penjumlahan, bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis menguraikan metode penyelesaian persamaan tersebut, dengan menggunakan metode al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sesuai dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahwa ini murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap dari tipe pertama, Al-Khawarizmi, seperti semua matematikawan sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan nol. solusi, mungkin karena dalam tugas-tugas praktis tertentu, itu tidak masalah. Saat memecahkan persamaan kuadrat lengkap, Al-Khawarizmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian bukti geometrisnya.

Mari kita ambil contoh.

Soal 4. “Persegi dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akar "(artinya akar persamaan
).

Solusi: bagi jumlah akar menjadi dua, Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan dirinya sendiri, kurangi 21 dari produk, sisa 4. Ambil akar 4, Anda mendapatkan 2. Kurangi 2 dari 5, Anda mendapatkan 3, ini akan menjadi akar yang diinginkan. Atau tambahkan 2 hingga 5, yang akan menghasilkan 7, ini juga merupakan root.

Risalah Al-Khawarizmi adalah buku pertama yang sampai kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadrat disajikan secara sistematis dan formula untuk penyelesaiannya diberikan.

Persamaan kuadrat di EropaXII- XVIIdi dalam.

Bentuk-bentuk penyelesaian persamaan kuadrat pada model Al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dijelaskan dalam “Book of the Abacus”, yang ditulis pada tahun 1202. Matematikawan Italia Leonard Fibonacci. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif.

Buku ini berkontribusi pada penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak tugas dari buku ini dipindahkan ke hampir semua buku teks Eropa abad ke-14-17. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal
dengan semua kemungkinan kombinasi tanda dan koefisien b, c, dirumuskan di Eropa pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Turunan dari rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dalam pandangan umum Viet memiliki, tetapi Viet hanya mengakui akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama di abad ke-16. memperhitungkan, selain akar positif, dan negatif. Hanya di abad XVII. berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lain, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

Asal usul metode aljabar untuk memecahkan masalah praktis terkait dengan sains dunia kuno. Seperti diketahui dari sejarah matematika, sebagian besar masalah yang bersifat matematis, yang diselesaikan oleh komputer juru tulis Mesir, Sumeria, Babilonia (abad XX-VI SM), memiliki karakter yang diperhitungkan. Namun, bahkan kemudian, dari waktu ke waktu, masalah muncul di mana nilai yang diinginkan dari suatu kuantitas ditentukan oleh beberapa kondisi tidak langsung yang membutuhkan, dari sudut pandang modern kita, perumusan persamaan atau sistem persamaan. Awalnya, metode aritmatika digunakan untuk memecahkan masalah seperti itu. Kemudian, awal dari representasi aljabar mulai terbentuk. Misalnya, kalkulator Babilonia mampu memecahkan masalah yang, dari sudut pandang klasifikasi modern, direduksi menjadi persamaan derajat kedua. Sebuah metode untuk memecahkan masalah teks telah dibuat, yang kemudian menjadi dasar untuk menyoroti komponen aljabar dan studi independennya.

Studi ini sudah dilakukan di era lain, pertama oleh matematikawan Arab (abad VI-X M), yang memilih tindakan karakteristik dimana persamaan direduksi menjadi bentuk standar pengurangan istilah yang sama, transfer istilah dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan perubahan tanda. Dan kemudian oleh ahli matematika Eropa Renaisans, sebagai hasil dari pencarian panjang, mereka menciptakan bahasa aljabar modern, penggunaan huruf, pengenalan simbol untuk operasi aritmatika, tanda kurung, dll. Pada pergantian tanggal 16- abad ke-17. Aljabar sebagai bagian tertentu dari matematika, yang memiliki subjek, metode, area aplikasinya sendiri, telah terbentuk. Perkembangan selanjutnya, hingga saat ini, terdiri dari peningkatan metode, perluasan ruang lingkup aplikasi, klarifikasi konsep dan hubungannya dengan konsep cabang matematika lainnya.

Jadi, mengingat pentingnya dan luasnya materi yang terkait dengan konsep persamaan, studinya di metodologi modern matematika dikaitkan dengan tiga bidang utama asal dan fungsinya.

Bagaimana Diophantus menyusun dan memecahkan persamaan kuadrat. Oleh karena itu persamaan: (10 + x) (10 - x) \u003d 96 atau: 100 - x2 \u003d 96 x2 - 4 \u003d 0 (1) Solusi x \u003d -2 untuk Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya tahu bilangan positif.

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="(!LANG: Persamaan kuadrat di India. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Persamaan kuadrat di al-Khorezmi. 1) "Kotak sama dengan akar", mis. ax2 + c \u003d bx. 2) “Persegi sama dengan bilangan”, yaitu ax2 = c. 3) "Akar sama dengan angka", mis. ah \u003d c. 4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu ax2 + c = bx. 5) “Kuadrat dan akar sama dengan suatu bilangan”, yaitu ax2 + bx = c. 6) "Akar dan angka sama dengan kuadrat", mis. bx + c \u003d ax2.

Persamaan kuadrat di Eropa pada abad 13-17. x2 + bx = c, dengan semua kemungkinan kombinasi tanda-tanda koefisien b, c dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Pada teorema Vieta. "Jika B + D dikali A - A 2 sama dengan BD, maka A sama dengan B dan sama dengan D." Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas berarti: jika (a + b)x - x2 = ab, yaitu x2 - (a + b)x + ab = 0, maka x1 = a, x2 = b.

Metode untuk memecahkan persamaan kuadrat. 1. METODE: Penguraian ruas kiri persamaan menjadi faktor. Selesaikan persamaan x2 + 10 x - 24 = 0. Faktorkan ruas kiri: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Oleh karena itu, persamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut: (x + 12) (x - 2) = 0 Karena produk sama dengan nol, maka setidaknya salah satu faktornya nol. Oleh karena itu, ruas kiri persamaan hilang pada x = 2, dan juga pada x = - 12. Artinya, bilangan 2 dan - 12 adalah akar-akar persamaan x2 + 10 x - 24 = 0.

2. METODE: Metode pemilihan kotak penuh. Selesaikan persamaan x2 + 6 x - 7 = 0. Pilih persegi penuh di sisi kiri. Untuk melakukan ini, kami menulis ekspresi x2 + 6 x dalam bentuk berikut: x2 + 6 x \u003d x2 + 2 x 3. Dalam ekspresi yang dihasilkan, suku pertama adalah kuadrat dari angka x, dan yang kedua adalah hasil kali ganda dari x dengan 3. Oleh karena itu, untuk mendapatkan kuadrat penuh, Anda perlu menambahkan 32, karena x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Kami sekarang mengubah sisi kiri persamaan x2 + 6 x - 7 \u003d 0, menambah dan mengurangi 32. Kami memiliki: x2 + 6 x - 7 \u003d x2 + 2 x 3 + 32 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16. Dengan demikian, persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut: (x + 3) 2 - 16 \u003d 0, (x + 3) 2 \u003d 16 Oleh karena itu, x + 3 - 4 \u003d 0, x1 = 1, atau x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODE: Penyelesaian persamaan kuadrat dengan rumus. Kalikan kedua ruas persamaan ax2 + bx + c = 0, a 0 dengan 4 a dan berturut-turut kita mendapatkan: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax) 2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± b 2 - 4 ac ,

4. METODE: Memecahkan persamaan menggunakan teorema Vieta. Seperti yang Anda ketahui, persamaan kuadrat yang diberikan memiliki bentuk x2 + px + c \u003d 0. (1) Akarnya memenuhi teorema Vieta, yang untuk a \u003d 1 memiliki bentuk x 1 x 2 \u003d q, x 1 + x 2 \u003d - pa) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 dan x 2 = 1, karena q = 2 > 0 dan p = - 3 0 dan p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 \u003d - 5 dan x 2 \u003d 1, karena q \u003d - 5 0; x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 \u003d 9 dan x 2 \u003d - 1, karena q \u003d - 9

5. METODE: Memecahkan persamaan menggunakan metode "transfer". Pertimbangkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c \u003d 0, di mana a 0. Mengalikan kedua bagiannya dengan a, kita memperoleh persamaan a 2 x2 + abx + ac \u003d 0. Biarkan ax \u003d y, dari mana x \ u003d y / a; maka kita sampai pada persamaan y2 + by + ac = 0, yang ekivalen dengan yang diberikan. Kami menemukan akarnya y1 dan y2 menggunakan teorema Vieta. Akhirnya, kita memperoleh x1 = y1/a dan x1 = y2/a.

Contoh. Selesaikan persamaan 2 x2 - 11 x + 15 = 0. Solusi. “Lempar” koefisien 2 ke suku bebas, sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaan y2 - 11 y + 30 = 0. Menurut teorema Vieta y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Jawaban : 2, 5; 3. x 1 = 2, 5 x 2 = 3.

6. METODE: Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat. A. Biarkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c \u003d 0 diberikan, di mana a 0. 1) Jika, a + b + c \u003d 0 (yaitu, jumlah koefisien adalah nol), maka x1 \u003d 1, x2 \u003d c / tetapi. Bukti. Bagi kedua sisi persamaan dengan a 0, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi x 2 + b / ax + c / a \u003d 0. Menurut teorema Vieta x 1 + x 2 \u003d - b / a, x 1 x 2 \u003d 1 c / a. Dengan syarat a - b + c = 0, dimana b = a + c. Jadi, x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a, x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a), yaitu x1 \u003d -1 dan x2 \u003d c / a, yang harus dibuktikan.

B. Jika koefisien kedua b \u003d 2 k adalah bilangan genap, maka rumus akar C. Persamaan di atas x2 + px + q \u003d 0 bertepatan dengan persamaan umum, di mana a \u003d 1, b \u003d p dan c \u003d q. Oleh karena itu, untuk persamaan kuadrat tereduksi, rumus akar-akarnya

7. METODE: Solusi grafis dari persamaan kuadrat. Jika pada persamaan x2 + px + q = 0 kita pindahkan suku kedua dan ketiga ke ruas kanan, maka diperoleh x2 = - px - q. Mari kita buat grafik ketergantungan y \u003d x2 dan y \u003d - px - q.

Contoh 1) Mari selesaikan secara grafis persamaan x2 - 3 x - 4 = 0 (Gbr. 2). Larutan. Kami menulis persamaan dalam bentuk x2 \u003d 3 x + 4. Kami membuat parabola y \u003d x2 dan garis lurus y \u003d 3 x + 4. Garis lurus y \u003d 3 x + 4 dapat dibangun menggunakan dua titik M (0; 4) dan N (3; 13) . Jawaban: x1 = - 1; x2 = 4

8. METODE: Memecahkan persamaan kuadrat dengan kompas dan penggaris. menemukan akar kompas persegi dan penggaris (Gbr. 5). Persamaan Kemudian, dengan teorema secan, kita memiliki OB OD = OA OC, dimana OC = OB OD/ OA= x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 dengan

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="(!LANG:1) Jari-jari lingkaran lebih besar dari ordinat pusat (AS > SK, atau R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. METODE: Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan nomogram. z 2 + pz + q = 0. Skala lengkung nomogram dibangun sesuai dengan rumus (Gbr. 11): Dengan asumsi OS = p, ED = q, OE = a (semua dalam cm), Dari kesamaan segitiga SAN dan CDF kita peroleh proporsinya

Contoh. 1) Untuk persamaan z 2 - 9 z + 8 = 0, nomogram memberikan akar z 1 = 8, 0 dan z 2 = 1, 0 (Gbr. 12). 2) Dengan menggunakan nomogram, kita selesaikan persamaan 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Bagi koefisien persamaan ini dengan 2, kita dapatkan persamaan z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomogram memberikan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0, 5. 3) Untuk persamaan z 2 - 25 z + 66 \u003d 0, koefisien p dan q berada di luar skala, kami melakukan substitusi z \u003d 5 t, kami dapatkan persamaan t 2 - 5 t + 2, 64 \u003d 0, yang kita selesaikan dengan nomogram dan dapatkan t 1 = 0,6 dan t 2 = 4,4, dari mana z 1 = 5 t 1 = 3,0 dan z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. METODE: Cara geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Contoh. 1) Memecahkan persamaan x2 + 10 x = 39. Dalam aslinya, masalah ini dirumuskan sebagai berikut: "Kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39" (Gbr. 15). Untuk sisi x yang diinginkan dari persegi asli, kita dapatkan

y2 + 6 y - 16 = 0. Solusinya ditunjukkan pada gambar. 16, di mana y2 + 6 y = 16, atau y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Solusi. Ekspresi y2 + 6 y + 9 dan 16 + 9 secara geometris persegi yang sama, dan persamaan asli y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 adalah persamaan yang sama. Dari mana kita mendapatkan bahwa y + 3 = ± 5, atau y1 = 2, y2 = - 8 (Gbr. 16).

Dari sejarah persamaan kuadrat.

a) Persamaan kuadrat di Babel kuno

Kebutuhan untuk memecahkan persamaan tidak hanya dari yang pertama, tetapi juga dari tingkat kedua, pada zaman kuno, disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan menemukan bidang tanah dan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta untuk pengembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat mampu memecahkan sekitar 2000 SM. Babilonia. Menerapkan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks paku mereka ada, selain yang tidak lengkap, seperti, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14

Aturan untuk memecahkan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babel sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dinyatakan dalam bentuk resep, tanpa menunjukkan bagaimana mereka ditemukan.

Meskipun perkembangan aljabar tingkat tinggi di Babel, teks-teks runcing tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk memecahkan persamaan kuadrat.

Dalam "Aritmatika" Diophantus tidak ada presentasi aljabar yang sistematis, namun berisi serangkaian masalah yang sistematis, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan menyusun persamaan dari berbagai derajat.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Di sini, misalnya, adalah salah satu tugasnya.

Tugas 2. "Menemukan dua angka, mengetahui bahwa jumlah mereka adalah 20 dan produk mereka adalah 96."

Diophantus berpendapat sebagai berikut: mengikuti dari kondisi masalah bahwa angka yang diinginkan tidak sama, karena jika mereka sama, maka produk mereka tidak akan menjadi 96, tetapi 100. Dengan demikian, salah satunya akan lebih dari setengah dari mereka jumlah, yaitu .10 + x. Yang lainnya lebih kecil, yaitu 10 - x. Selisih keduanya adalah 2x. Oleh karena itu persamaan:

(10+x)(10-x)=96,

atau

100 -x 2 = 96.

Jadi x = 2. Salah satu bilangan yang diinginkan adalah 12, yang lainnya adalah 8. Solusi x = - 2 untuk Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.

Jika kita memecahkan masalah ini, memilih salah satu bilangan yang tidak diketahui sebagai bilangan yang tidak diketahui, maka kita dapat sampai pada solusi persamaan:

Masalah untuk persamaan kuadrat sudah ditemukan di jalur astronomi "Aryabhattam", yang disusun pada tahun 499 oleh matematikawan dan astronom India Aryabahatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan aturan umum untuk memecahkan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal

Oh 2 + Bx = c, a > 0

Dalam persamaan, koefisien , kecuali tetapi, bisa negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan kita.

Di India, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Dalam salah satu buku India kuno, berikut ini dikatakan tentang kompetisi semacam itu: "Seperti halnya matahari menyinari bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang yang terpelajar akan lebih cemerlang daripada kemuliaannya dalam pertemuan-pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar." Tugas sering didandani dalam bentuk puitis.

Inilah salah satu masalah matematikawan India terkenal abad XII. Bhaskara.

Tugas 3.

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa penulis menyadari dua nilai akar persamaan kuadrat.

Persamaan yang sesuai dengan masalah 3 adalah:

Bhaskara menulis dengan kedok:

x 2 - 64x = - 768

dan, untuk melengkapi sisi kiri persamaan ini ke kuadrat, tambahkan 32 2 ke kedua sisinya, sehingga diperoleh:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) persamaan kuadrat Al-Khawarizmi

Risalah aljabar Al-Khawarizmi memberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis membuat daftar 6 jenis persamaan, yang menyatakannya sebagai berikut:

“Kuadrat sama dengan akar-akarnya”, yaitu ax 2 = bx.
"Persegi sama dengan angka", yaitu ax 2 = c.
"Akar sama dengan bilangan", yaitu ax = c.
"Kuadrat dan angka sama dengan akar", mis. ax 2 + c \u003d bx.
"Kuadrat dan akar sama dengan angka", mis. ax 2 + bx \u003d c.
“Akar dan bilangan sama dengan kuadrat”, yaitu bx + c == ax 2.

Bagi Al-Khawarizmi yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari masing-masing persamaan tersebut adalah penjumlahan, bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis menetapkan metode untuk menyelesaikan persamaan ini, menggunakan metode al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sesuai dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahwa ini murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap dari tipe pertama, Al-Khawarizmi, seperti semua matematikawan sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan nol. solusi, mungkin karena dalam tugas-tugas praktis tertentu, itu tidak masalah. Saat memecahkan persamaan kuadrat lengkap, Al-Khawarizmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian bukti geometrisnya.

Mari kita ambil contoh.

Soal 4. “Persegi dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akar "(artinya akar persamaan x 2 + 21 \u003d 10x).

Risalah Al-Khawarizmi adalah buku pertama yang sampai kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadrat disajikan secara sistematis dan formula untuk penyelesaiannya diberikan.

d) Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII-XVII.

Rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat pada model al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam "Book of the Abacus", yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya besar ini, yang mencerminkan pengaruh matematika dari kedua negara Islam dan Yunani kuno, berbeda dalam kelengkapan dan kejelasan presentasi. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi pada penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak tugas dari Kitab Abacus masuk ke hampir semua buku teks Eropa abad 16-17. dan sebagian XVIII.

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal

x 2 + bx \u003d c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda-tanda koefisien B, dari diformulasikan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Vieta memiliki turunan umum dari rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, namun, Vieta hanya mengenali akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama di abad ke-16. Memperhitungkan, selain akar positif, dan negatif. Hanya di abad XVII. berkat karya Girard, Descartes, Newton, dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat terlihat modern.

Asal usul metode aljabar untuk memecahkan masalah praktis terkait dengan sains dunia kuno. Seperti diketahui dari sejarah matematika, sebagian besar masalah yang bersifat matematis, yang diselesaikan oleh komputer juru tulis Mesir, Sumeria, Babilonia (abad XX-VI SM), memiliki karakter yang diperhitungkan. Namun, bahkan kemudian, dari waktu ke waktu, masalah muncul di mana nilai yang diinginkan dari suatu kuantitas ditentukan oleh beberapa kondisi tidak langsung, yang membutuhkan, dari sudut pandang modern kita, perumusan persamaan atau sistem persamaan. Awalnya, metode aritmatika digunakan untuk memecahkan masalah seperti itu. Kemudian, awal dari representasi aljabar mulai terbentuk. Misalnya, kalkulator Babilonia mampu memecahkan masalah yang dapat direduksi dalam hal klasifikasi modern untuk persamaan derajat kedua. Sebuah metode untuk memecahkan masalah teks telah dibuat, yang kemudian menjadi dasar untuk menyoroti komponen aljabar dan studi independennya.

Studi ini sudah dilakukan di era lain, pertama oleh matematikawan Arab (abad VI-X M), yang memilih tindakan karakteristik dimana persamaan direduksi menjadi bentuk standar, pengurangan istilah serupa, transfer istilah dari satu bagian dari persamaan ke persamaan lain dengan perubahan tanda. Dan kemudian oleh ahli matematika Eropa Renaisans, sebagai hasil dari pencarian panjang, mereka menciptakan bahasa aljabar modern, penggunaan huruf, pengenalan simbol untuk operasi aritmatika, tanda kurung, dll. Pada pergantian tanggal 16- abad ke-17. aljabar sebagai bagian tertentu dari matematika, memiliki subjek, metode, area aplikasinya sendiri, telah terbentuk. Perkembangan selanjutnya, hingga saat ini, terdiri dari peningkatan metode, perluasan ruang lingkup aplikasi, klarifikasi konsep dan hubungannya dengan konsep cabang matematika lainnya.

Jadi, mengingat pentingnya dan luasnya materi yang terkait dengan konsep persamaan, studinya dalam metodologi matematika modern dikaitkan dengan tiga bidang utama kemunculan dan fungsinya.

Dari sejarah persamaan kuadrat Penulis : siswa kelas 9 “A” Radchenko Svetlana Pembimbing : Alabugina I.A. guru matematika MBOU "Sekolah menengah No. 5 Guryevsk" dari wilayah Kemerovo Area subjek presentasi: matematika Dibuat untuk membantu guru Total 20 slide Daftar Isi Pendahuluan……………………………………………… ……………… ……………3 Dari sejarah munculnya persamaan kuadrat Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno………………………………….4 Persamaan kuadrat di India…………… ……………………………… ……….5 Persamaan Kuadrat Al-Khawarizmi……………………………………………6 Bagaimana Diophantus Menyusun dan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat…… ……………………… 7 Persamaan kuadrat di Eropa abad Xll - XVll……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… .10 Metode untuk mempelajari kuadrat persamaan……………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………..11 10 cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat…………………………………….12 Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap………… …… …………13 Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap…………………………..14 memecahkan masalah yang diterapkan ………………………………………………………… ……………………………….16 5.Kesimpulan. ……………………………………………………………………………… 18 1. 2. 6. Daftar pustaka yang digunakan…………………………… ……… ……………….19 2 Pengantar Untuk mempertimbangkan malang hari itu atau jam di mana Anda tidak belajar sesuatu yang baru, tidak menambah apapun untuk pendidikan Anda. Jan Amos Comenius 3 Persamaan kuadrat adalah fondasi tempat berdirinya bangunan aljabar yang megah. Mereka banyak digunakan dalam memecahkan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritmik, irasional dan transendental. Persamaan kuadrat dalam kursus sekolah aljabar menempati tempat terdepan. Banyak waktu sekolah dalam matematika dikhususkan untuk mempelajarinya. Pada dasarnya, persamaan kuadrat melayani tujuan praktis tertentu. Sebagian besar masalah tentang bentuk spasial dan hubungan kuantitatif dunia nyata bermuara pada penyelesaian berbagai jenis persamaan, termasuk persamaan kuadrat. Dengan menguasai cara-cara pemecahannya, manusia menemukan jawaban atas berbagai pertanyaan dari ilmu pengetahuan dan teknologi. Dari sejarah munculnya persamaan kuadrat Babel Kuno: sudah sekitar 2000 tahun sebelum masehi, orang Babilonia tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap telah diketahui. Misalnya, di Babilonia Kuno, persamaan kuadrat berikut diselesaikan: 4 India Masalah yang diselesaikan dengan persamaan kuadrat ditemukan dalam risalah tentang astronomi "Aryabhattiam", yang ditulis oleh astronom dan matematikawan India Aryabhata pada tahun 499 M. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta, menguraikan aturan universal untuk memecahkan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik: ax2+bx=c; apalagi, diasumsikan bahwa semua koefisien di dalamnya, kecuali "a", bisa negatif. Aturan yang dirumuskan oleh ilmuwan pada dasarnya bertepatan dengan aturan modern. 5 Persamaan kuadrat Al-Khawarizmi: Risalah aljabar Al-Khawarizmi memberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis membuat daftar 6 jenis persamaan, yang menyatakannya sebagai berikut: “Persegi sama dengan akar”, mis. ax2 = bx.; "Persegi sama dengan angka", yaitu ax2 = c; "Akar sama dengan angka", mis. ax \u003d c; "Kuadrat dan angka sama dengan akar", mis. ax2 + c = bx; "Kuadrat dan akar sama dengan bilangan", yaitu ax2 + bx = c; "Akar dan bilangan sama dengan kuadrat", yaitu bx + c = ax2. 6 Bagaimana Diophantus menyusun dan memecahkan persamaan kuadrat: Salah satu matematikawan Yunani kuno yang paling aneh adalah Diophantus dari Alexandria. Sampai saat ini, baik tahun lahir maupun tanggal kematian Diophantus belum diklarifikasi; Ia diyakini hidup pada abad ke-3. IKLAN Dari karya-karya Diophantus, yang paling penting adalah Aritmatika, di mana 13 buku hanya 6 yang bertahan hingga hari ini. "Aritmatika" Diophantus tidak berisi eksposisi sistematis aljabar, tetapi berisi sejumlah masalah, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan menyusun persamaan berbagai derajat. Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya. 7 Persamaan kuadrat di Eropa Abad XII-XVII: Matematikawan Italia Leonard Fibonacci secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2 + bx = c dengan semua kemungkinan kombinasi tanda dan koefisien b, c, dirumuskan di Eropa pada tahun 1544 oleh Michael Stiefel. 8 Francois Viet Matematikawan Prancis F. Viet (1540-1603), memperkenalkan sistem simbol aljabar, mengembangkan dasar-dasar aljabar dasar. Dia adalah salah satu orang pertama yang mulai menunjuk angka dengan huruf, yang secara signifikan mengembangkan teori persamaan. Vieta memiliki turunan umum dari rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, tetapi Vieta hanya mengenali akar positif. 9 Persamaan kuadrat saat ini Kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat menjadi dasar untuk menyelesaikan persamaan lain dan sistemnya. Belajar memecahkan persamaan dimulai dengan jenisnya yang paling sederhana, dan program ini menyebabkan akumulasi bertahap dari kedua jenisnya dan "dana" dari transformasi yang identik dan setara, yang dengannya Anda dapat membawa persamaan sewenang-wenang ke yang paling sederhana. Proses pembentukan metode umum untuk memecahkan persamaan dalam kursus aljabar sekolah juga harus dibangun ke arah ini. Dalam kursus matematika sekolah menengah, siswa dihadapkan dengan kelas baru persamaan, sistem, atau dengan studi mendalam tentang persamaan yang sudah diketahui.10 Metode untuk mempelajari persamaan kuadrat Sejak awal mempelajari mata kuliah aljabar sistematik, mata kuliah utama perhatian diberikan pada metode untuk memecahkan persamaan kuadrat, yang menjadi objek studi khusus. Topik ini dicirikan oleh kedalaman presentasi dan kekayaan koneksi yang dibangun dengan bantuannya dalam pembelajaran, validitas logis dari presentasi. Oleh karena itu, ia menempati posisi luar biasa dalam garis persamaan dan ketidaksetaraan. Poin penting dalam studi persamaan kuadrat adalah pertimbangan teorema Vieta, yang menyatakan adanya hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat tereduksi. Kompleksitas penguasaan teorema Vieta dikaitkan dengan beberapa keadaan. Pertama-tama, perlu memperhitungkan perbedaan antara teorema langsung dan terbalik. 11 10 cara menyelesaikan persamaan kuadrat: Memfaktorkan ruas kiri persamaan. Metode seleksi persegi penuh. Solusi persamaan kuadrat dengan rumus. Solusi persamaan menggunakan teorema Vieta. Memecahkan persamaan dengan metode "transfer" Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat. Solusi grafis dari persamaan kuadrat. Memecahkan persamaan kuadrat dengan kompas dan penggaris. 12 Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan nomogram. Cara geometris untuk memecahkan persamaan kuadrat. Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat tak lengkap 1) jika persamaan tersebut berbentuk ax2 = 0, maka persamaan tersebut memiliki satu akar x = 0; 2) jika persamaan berbentuk ax2 + bx = 0, maka digunakan metode faktorisasi: x (ax + b) = 0; jadi x = 0 atau ax + b = 0. Hasilnya, diperoleh dua akar: x1 = 0; x2 \u003d 3) jika persamaan memiliki bentuk ax2 + c \u003d 0, maka diubah menjadi bentuk ax2 \u003d - c dan kemudian x2. = Dalam kasus ketika -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, yaitu - \u003d m, di mana m>0, persamaan x2 \u003d m memiliki dua akar. Dengan demikian, persamaan kuadrat yang tidak lengkap dapat memiliki dua akar, satu akar, tanpa akar. 13 Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap. Ini adalah persamaan bentuk ax2 + bx + c = 0, di mana a, b, c diberikan angka, dan 0, x tidak diketahui. Persamaan kuadrat lengkap apa pun dapat dikonversi ke bentuk untuk menentukan jumlah akar persamaan kuadrat dan menemukan akar-akar ini. Kasus-kasus penyelesaian persamaan kuadrat berikut dipertimbangkan: D< 0, D = 0, D >0. 1. Jika D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki dua akar, yang ditemukan dengan rumus: ; 14 Penyelesaian persamaan kuadrat tereduksi F. Teorema Vieta: Jumlah akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akarnya sama dengan suku bebas. Dengan kata lain, jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 +px + q = 0, maka x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Kebalikan teorema teorema Vieta: Jika rumus (*) berlaku untuk bilangan x1, x2, p, q, maka x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 + px + q = 0. 15 Penerapan praktis dari persamaan kuadrat untuk memecahkan masalah Bhaskar terapan ( 1114-1185) - matematikawan dan astronom India terbesar abad XII. Dia mengepalai observatorium astronomi di Ujjain. Bhaskara menulis risalah "Siddhanta-shiromani" ("Mahkota Pengajaran"), yang terdiri dari empat bagian: "Lilavati" dikhususkan untuk aritmatika, "Bizhdaganita" - untuk aljabar, "Goladhaya" - untuk bola, "Granhaganita" - dengan teori pergerakan planet. Bhaskara menerima akar persamaan negatif, meskipun ia meragukan signifikansinya. Dia memiliki salah satu proyek gerak abadi paling awal. 16 Salah satu masalah matematikawan India terkenal abad XII. Bhaskara: Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa penulis menyadari dua nilai dari akar persamaan kuadrat. 17 Kesimpulan Perkembangan ilmu pemecahan persamaan kuadrat telah melalui jalan yang panjang dan berduri. Hanya setelah karya Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes, Newton barulah ilmu memecahkan persamaan kuadrat menjadi bentuk modern. Nilai persamaan kuadrat tidak hanya terletak pada keanggunan dan singkatnya penyelesaian masalah, meskipun ini sangat penting. Yang tidak kalah penting adalah kenyataan bahwa sebagai hasil dari penggunaan persamaan kuadrat dalam memecahkan masalah, detail baru sering ditemukan, generalisasi yang menarik dapat dibuat dan penyempurnaan dibuat, yang didorong oleh analisis rumus dan hubungan yang diperoleh. Mempelajari literatur dan sumber daya Internet yang terkait dengan sejarah perkembangan persamaan kuadrat, saya bertanya pada diri sendiri: "Apa yang memotivasi para ilmuwan yang hidup di masa yang sulit untuk melakukan sains, bahkan di bawah ancaman kematian?" Mungkin, pertama-tama, keingintahuan pikiran manusia, yang merupakan kunci pengembangan sains. Pertanyaan tentang esensi Dunia, tentang tempat manusia di dunia ini menghantui setiap saat orang-orang yang berpikir, ingin tahu, dan berakal. Orang-orang telah berusaha untuk memahami diri mereka sendiri, tempat mereka di dunia setiap saat. Lihatlah ke dalam diri Anda juga, mungkin keingintahuan alami Anda menderita, karena Anda telah menyerah pada kehidupan sehari-hari, kemalasan? Nasib banyak ilmuwan - 18 contoh untuk diikuti. Tidak semua nama terkenal dan populer. Pikirkan: apa arti saya bagi orang-orang di sekitar saya? Tetapi yang paling penting adalah bagaimana perasaan saya tentang diri saya sendiri, apakah saya pantas dihormati? Pikirkan tentang ini... Referensi 1. Zvavich L.I. “Aljabar Kelas 8”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “ kamus ensiklopedis matematikawan muda”, M., 1985. 3. Yu.N. Makarychev “Aljabar Kelas 8”, M, 2012. /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/ index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Terima kasih atas perhatian Anda 20

Perwakilan dari berbagai peradaban: mesir kuno, Babel Kuno, Yunani Kuno, india kuno, Cina kuno, Abad Pertengahan, Eropa menguasai teknik penyelesaian persamaan kuadrat.

Untuk pertama kalinya, matematikawan Mesir Kuno mampu memecahkan persamaan kuadrat. Salah satu papirus matematika berisi masalah:

"Temukan sisi-sisi lapangan yang berbentuk persegi panjang, jika luasnya 12, dan - panjangnya sama dengan lebarnya." “Panjang bidangnya adalah 4,” kata papirus.

Ribuan tahun berlalu, angka negatif memasuki aljabar. Memecahkan persamaan x² = 16, kita mendapatkan dua angka: 4, -4.

Tentu saja, dalam soal Mesir, kita akan mengambil X = 4, karena panjang medan hanya dapat berupa nilai positif.

Sumber-sumber yang telah sampai kepada kita menunjukkan bahwa para ilmuwan kuno memiliki beberapa metode umum untuk memecahkan masalah dengan jumlah yang tidak diketahui. Aturan untuk memecahkan persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam teks Babilonia pada dasarnya sama dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babel "sampai ke titik ini." Namun di hampir semua naskah papirus dan paku yang ditemukan, hanya masalah dengan solusi yang diberikan. Penulis hanya sesekali memberikan perhitungan numerik mereka dengan komentar jahat seperti: "Lihat!", "Lakukan!", "Anda menemukannya dengan benar!".

Matematikawan Yunani Diophantus menulis dan memecahkan persamaan kuadrat. "Aritmatika"-nya tidak memuat presentasi aljabar yang sistematis, tetapi berisi serangkaian masalah yang sistematis, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan menyusun persamaan dari berbagai derajat.

Tugas untuk menyusun persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi "Aria-bhatiam", yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Ariabhatta.

Ilmuwan India lainnya Brahmagupta (abad ke-7) menguraikan aturan umum untuk memecahkan persamaan kuadrat dalam bentuk ax² + bx = c.

Di India kuno, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Dalam salah satu buku India kuno tentang kompetisi semacam itu, berikut ini dikatakan: "Seperti matahari yang bersinar lebih terang dari bintang-bintang, demikian pula orang yang terpelajar akan lebih cemerlang dari kemuliaan orang lain dalam pertemuan-pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar." Tugas sering didandani dalam bentuk puitis.

Inilah salah satu masalah matematikawan India terkenal abad XII. Bhaskara:

Kawanan monyet lincah

Makan enak, bersenang-senang.

Bagian kedelapan dari mereka di alun-alun itu geli di tempat terbuka.

Dan dua belas di sepanjang tanaman merambat ... mulai melompat, menggantung ...

Berapa banyak monyet?

Anda memberitahu saya, dalam kawanan ini?

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahwa ia mengetahui tentang nilai dua dari akar persamaan kuadrat.

Teks matematika Cina paling kuno yang sampai kepada kita berasal dari akhir abad ke-1 SM. SM. Pada abad II. SM. Matematika dalam Sembilan Buku telah ditulis. Kemudian, pada abad ke-7, itu dimasukkan dalam koleksi "Sepuluh Risalah Klasik", yang dipelajari selama berabad-abad. Risalah "Matematika dalam Sembilan Buku" menjelaskan cara mengekstrak Akar pangkat dua menggunakan rumus kuadrat jumlah dua bilangan.

Metode itu disebut "tian-yuan" (secara harfiah - " elemen langit”) - ini adalah bagaimana orang Cina menunjukkan jumlah yang tidak diketahui.

Manual pertama untuk memecahkan masalah, yang menjadi dikenal luas, adalah karya sarjana Baghdad abad ke-9. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Kata “al-jabr” – lama kelamaan berubah menjadi kata “aljabar” yang terkenal, dan karya al-Khawarizmi sendiri menjadi titik tolak perkembangan ilmu pemecahan persamaan. Risalah aljabar Al-Khorezmi memberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis membuat daftar enam jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

-akar kuadrat sama dengan, itu ah ² = bx;

-kuadrat sama dengan bilangan, itu ah ² = c;

-akar sama dengan bilangan, yaitu, ax = c;

-kuadrat dan bilangan sama dengan akar, itu ah ²+ c \u003d bx;

-kuadrat dan akar sama dengan bilangan, itu ah ² + bx \u003d c;

-akar dan bilangan adalah persegi, yaitu bx + c = ax ²;

Risalah al-Khawarizmi adalah buku pertama yang sampai kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadrat disajikan secara sistematis dan formula untuk penyelesaiannya diberikan.

Rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat pada model al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam Kitab Abacus, yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi pada penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak tugas dari Kitab Abacus dimasukkan dalam hampir semua buku teks Eropa abad 16-17. dan bagian dari abad ke-18.

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x ² + bx \u003d c, dengan semua kemungkinan kombinasi tanda-tanda koefisien b dan c, dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Vieta memiliki turunan umum dari rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, tetapi dia juga hanya mengenali akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama di abad ke-16. memperhitungkan selain akar positif dan negatif. Hanya pada abad ke-17, berkat karya Girard, Descartes, Newton, dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat menjadi bentuk modern.