Սինուսների և կոսինուսների թեորեմներ ուղղանկյուն եռանկյունների համար: Կոսինուսների, սինուսների թեորեմ. ձևակերպում, հետևանքներ և օրինակներ

Եռանկյունաչափությունը լայնորեն կիրառվում է ոչ միայն հանրահաշվի բաժնում՝ վերլուծության սկզբում, այլև երկրաչափության մեջ։ Այս առումով խելամիտ է ենթադրել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ կապված թեորեմների և դրանց ապացույցների առկայությունը։ Իրոք, կոսինուսների և սինուսների թեորեմները շատ հետաքրքիր և ամենակարևորը օգտակար հարաբերություններ են բերում եռանկյունների կողմերի և անկյունների միջև:

Օգտագործելով այս բանաձևը, դուք կարող եք դուրս բերել եռանկյան կողմերից որևէ մեկը.

Ասվածի ապացույցը ստացվում է Պյութագորասի թեորեմի հիման վրա՝ հիպոթենուսի քառակուսի գումարին հավասարոտքերի քառակուսիներ.

Դիտարկենք կամայական ABC եռանկյունը: C գագաթից մենք իջեցնում ենք h բարձրությունը մինչև նկարի հիմքը, այս դեպքում դրա երկարությունը բացարձակապես կարևոր չէ: Այժմ, եթե դիտարկենք կամայական եռանկյունը ACB, ապա մենք կարող ենք արտահայտել C կետի կոորդինատները եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ cos եւ մեղք.

Հիշենք կոսինուսի սահմանումը և գրենք ACD եռանկյան կողմերի հարաբերությունը՝ cos α = AD/AC | բազմապատկել հավասարության երկու կողմերը AC-ով; AD = AC * cos α.

Մենք վերցնում ենք AC երկարությունը որպես b և ստանում ենք C կետի առաջին կոորդինատի արտահայտությունը.
x = b * cos⁡α. Նմանապես մենք գտնում ենք C օրդինատի արժեքը՝ y = b * sin α: Այնուհետև մենք կիրառում ենք Պյութագորասի թեորեմը և h-ն արտահայտում ենք ACD և DCB եռանկյունու համար.

Ակնհայտ է, որ երկու արտահայտություններն էլ (1) և (2) հավասար են միմյանց։ Հավասարեցնենք աջ կողմերը և ներկայացնենք նմանները.

Գործնականում այս բանաձեւը թույլ է տալիս գտնել եռանկյան անհայտ կողմի երկարությունը տվյալ անկյուններում: Կոսինուսների թեորեմն ունի երեք հետևանք՝ եռանկյան ուղիղ, սուր և բութ անկյունների համար:

Եկեք փոխարինենք cos α-ի արժեքը սովորական x փոփոխականով, ապա ABC եռանկյան սուր անկյան համար մենք ստանում ենք.

Եթե ​​անկյունը ճիշտ է, ապա 2bx-ը կվերանա արտահայտությունից, քանի որ cos 90° = 0: Գրաֆիկորեն երկրորդ հետևանքը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Բութ անկյան դեպքում բանաձևի կրկնակի արգումենտից առաջ «-» նշանը կփոխվի «+»-ի.

Ինչպես երեւում է բացատրությունից, հարաբերություններում բարդ բան չկա։ Կոսինուսների թեորեմը ոչ այլ ինչ է, քան Պյութագորասի թեորեմի թարգմանությունը եռանկյունաչափական մեծությունների։

Թեորեմի գործնական կիրառում

Առաջադրանք 1. Տրվում է ABC եռանկյուն, որի կողմը BC = a = 4 սմ, AC = b = 5 սմ, և cos α = ½: Դուք պետք է գտնեք AB կողմի երկարությունը:

Հաշվարկը ճիշտ կատարելու համար անհրաժեշտ է որոշել α անկյունը։ Դա անելու համար դուք պետք է դիմեք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակին, ըստ որի աղեղի կոսինուսը հավասար է 1/2-ի 60° անկյան համար: Ելնելով դրանից՝ մենք օգտագործում ենք թեորեմի առաջին հետևանքի բանաձևը.

Առաջադրանք 2. ABC եռանկյան համար բոլոր կողմերը հայտնի են՝ AB =4√2,BC=5,AC=7: Դուք պետք է գտնեք գործչի բոլոր անկյունները:

Այս դեպքում դուք չեք կարող անել առանց խնդրի պայմանների գծագրման:

Քանի որ անկյունային արժեքները մնում են անհայտ, դուք պետք է օգտագործեք ամբողջական բանաձեւսուր անկյան համար.

Ըստ անալոգիայի, դժվար չէ բանաձևեր ստեղծել և հաշվարկել այլ անկյունների արժեքները.

Եռանկյան երեք անկյունների գումարը պետք է լինի 180°՝ 53 + 82 + 45 = 180, հետևաբար, լուծումը գտնվել է։

Սինուսների թեորեմա

Թեորեմը նշում է, որ բոլոր կողմերը կամայական եռանկյունիհամեմատական ​​հակառակ անկյունների սինուսներին: Հարաբերությունները գրվում են եռակի հավասարության ձևով.

Ասույթի դասական ապացույցն իրականացվում է շրջանագծի մեջ գծված գործչի օրինակով:

Պնդման ճշմարտացիությունը ստուգելու համար, օգտագործելով նկարում ներկայացված ABC եռանկյան օրինակը, անհրաժեշտ է հաստատել այն փաստը, որ 2R = BC / sin A: Այնուհետև ապացուցեք, որ մյուս կողմերը կապված են հակառակ անկյունների սինուսների հետ, ինչպիսիք են 2R կամ Շրջանակի D.

Դա անելու համար գծեք շրջանագծի տրամագիծը B գագաթից: Շրջանակի մեջ ներգծված անկյունների հատկությունից ∠GCB-ն ուղիղ գիծ է, իսկ ∠CGB-ը կամ հավասար է ∠CAB-ի կամ (π - ∠CAB): Սինուսի դեպքում այս վերջին հանգամանքը էական չէ, քանի որ sin (π –α) = sin α։ Ելնելով վերը նշված եզրակացություններից՝ կարելի է փաստել.

մեղք ∠CGB = BC/ BG կամ մեղք A = BC/2R,

Եթե ​​դիտարկենք նկարի այլ անկյունները, ապա մենք ստանում ենք սինուսների թեորեմի ընդլայնված բանաձև.

Սինուսի թեորեմի կիրառման տիպիկ առաջադրանքները հանգում են եռանկյան անհայտ կողմի կամ անկյունի հայտնաբերմանը:

Ինչպես երևում է օրինակներից, նման խնդիրների լուծումը դժվարություններ չի առաջացնում և բաղկացած է մաթեմատիկական հաշվարկներ կատարելուց։

Մենք կսկսենք մեր եռանկյունաչափության ուսումնասիրությունը ուղղանկյուն եռանկյուն. Եկեք սահմանենք, թե ինչ են սինուսը և կոսինուսը, ինչպես նաև սուր անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը: Սա եռանկյունաչափության հիմունքներն են:

Հիշեցնենք, որ ճիշտ անկյուն 90 աստիճանի հավասար անկյուն է։ Այսինքն՝ կես շրջված անկյուն։

Սուր անկյուն- 90 աստիճանից պակաս:

Բութ անկյուն- ավելի քան 90 աստիճան: Նման անկյան առնչությամբ «բութը» վիրավորանք չէ, այլ մաթեմատիկական տերմին :-)

Եկեք գծենք ուղղանկյուն եռանկյուն: Ուղղակի անկյունը սովորաբար նշվում է . Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ անկյունին հակառակ կողմը նշվում է նույն տառով, միայն փոքր: Այսպիսով, նշանակված է հակառակ կողմը A անկյունը:

Անկյունը նշվում է համապատասխան հունարեն տառով։

ՀիպոթենուզաՈւղղանկյուն եռանկյան այն կողմն է, որը հակառակ անկյան կողմն է:

Ոտքեր- կողմերը, որոնք ընկած են հակառակ սուր անկյունների վրա:

Անկյունին հակառակ ընկած ոտքը կոչվում է հակառակը(անկյան համեմատ): Մյուս ոտքը, որը ընկած է անկյան կողմերից մեկի վրա, կոչվում է կից.

ՍինուսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հակառակ կողմի հարաբերությունն է հիպոթենուսին.

Կոսինուսսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունում - հարակից ոտքի հարաբերակցությունը հիպոթենուսին.

Շոշափողսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունում - հակառակ կողմի հարաբերակցությունը հարակից.

Մեկ այլ (համարժեք) սահմանում. Սուր անկյան շոշափողը անկյան սինուսի և նրա կոսինուսի հարաբերությունն է.

ԿոտանգենսՈւղղանկյուն եռանկյունու սուր անկյուն - հարակից կողմի հարաբերակցությունը հակառակին (կամ, որը նույնն է, կոսինուսի և սինուսի հարաբերակցությունը).

Նկատի ունեցեք սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հիմնական հարաբերությունները ստորև: Դրանք մեզ օգտակար կլինեն խնդիրներ լուծելիս։

Եկեք ապացուցենք դրանցից մի քանիսը.

Լավ, մենք տվել ենք սահմանումներ և գրել բանաձևեր: Բայց ինչո՞ւ մեզ դեռ պետք են սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս:

Մենք դա գիտենք ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է.

Մենք գիտենք փոխհարաբերությունները կուսակցություններուղղանկյուն եռանկյուն. Սա Պյութագորասի թեորեմն է.

Ստացվում է, որ իմանալով եռանկյան երկու անկյուն, կարող ես գտնել երրորդը: Իմանալով ուղղանկյուն եռանկյան երկու կողմերը՝ կարող եք գտնել երրորդը: Սա նշանակում է, որ անկյուններն ունեն իրենց հարաբերակցությունը, իսկ կողմերը՝ իրենց։ Բայց ի՞նչ պետք է անեք, եթե ուղղանկյուն եռանկյունում գիտեք մեկ անկյուն (բացի ուղիղ անկյան տակ) և մի կողմ, բայց պետք է գտնել մյուս կողմերը:

Սա այն է, ինչի հետ մարդիկ բախվել են անցյալում տարածքի և աստղազարդ երկնքի քարտեզներ կազմելիս: Ի վերջո, միշտ չէ, որ հնարավոր է ուղղակիորեն չափել եռանկյան բոլոր կողմերը:

Սինուս, կոսինուս և շոշափող - դրանք նաև կոչվում են եռանկյունաչափական անկյան ֆունկցիաներ- փոխհարաբերություններ տալ կուսակցություններԵվ անկյուններըեռանկյուն. Իմանալով անկյունը՝ դուք կարող եք գտնել նրա բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝ օգտագործելով հատուկ աղյուսակներ: Իսկ իմանալով եռանկյան և նրա կողմերից մեկի անկյունների սինուսները, կոսինուսները և շոշափողները, կարող եք գտնել մնացածը:

Մենք նաև գծելու ենք սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքների աղյուսակը դեպի «լավ» անկյունները:

Խնդրում ենք ուշադրություն դարձնել աղյուսակի երկու կարմիր գծիկներին: Անկյունների համապատասխան արժեքներում շոշափող և կոտանգենս գոյություն չունեն:

Եկեք նայենք մի քանի եռանկյունաչափության խնդիրներ FIPI Task Bank-ից:

1. Եռանկյունում անկյունը , . Գտնել.

Խնդիրը լուծվում է չորս վայրկյանում։

Քանի որ ,.

2. Եռանկյան մեջ անկյունը , , . Գտնել.

Գտնենք այն՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը։

Խնդիրը լուծված է։

Հաճախ խնդիրների մեջ լինում են անկյուններով եռանկյուններ և կամ անկյուններով և. Անգիր հիշեք նրանց հիմնական գործակիցները:

Անկյուններով եռանկյունու համար, իսկ անկյան հակառակ ոտքը հավասար է հիպոթենուսի կեսը.

Անկյուններով և հավասարաչափ եռանկյուն: Դրանում հիպոթենուսը անգամ ավելի մեծ է, քան ոտքը:

Մենք նայեցինք ուղղանկյուն եռանկյուններ լուծելու խնդիրներին, այսինքն՝ գտնելով անհայտ կողմեր ​​կամ անկյուններ: Բայց սա դեռ ամենը չէ։ IN Պետական ​​միասնական քննության տարբերակներՄաթեմատիկայի մեջ կան բազմաթիվ խնդիրներ՝ կապված եռանկյան արտաքին անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի կամ կոտանգենսի հետ: Այս մասին ավելի շատ հաջորդ հոդվածում:

Ոչ բոլոր դպրոցականները և հատկապես մեծահասակները գիտեն, որ կոսինուսների թեորեմն ուղղակիորեն կապված է Պյութագորասի թեորեմի հետ։ Ավելի ճիշտ՝ վերջինս առաջինի առանձնահատուկ դեպքն է։ Այս կետը, ինչպես նաև կոսինուսների թեորեմն ապացուցելու երկու եղանակները կօգնեն ձեզ ավելին դառնալ բանիմաց մարդ. Բացի այդ, սկզբնական արտահայտություններից քանակություններ արտահայտելու պրակտիկան լավ է զարգանում տրամաբանական մտածողություն. Ուսումնասիրվող թեորեմի երկար բանաձեւը ձեզ անպայման կստիպի քրտնաջան աշխատել ու կատարելագործվել։

Զրույց սկսելը. ծանոթացնելով նշումներին

Այս թեորեմը ձևակերպված և ապացուցված է կամայական եռանկյունու համար։ Հետևաբար, այն կարող է օգտագործվել միշտ, ցանկացած իրավիճակում, եթե տրվում է երկու կողմ, իսկ որոշ դեպքերում՝ երեք, և անկյուն, և պարտադիր չէ, որ նրանց միջև լինի։ Ինչպիսին էլ լինի եռանկյան տեսակը, թեորեմը միշտ կաշխատի:

Իսկ հիմա բոլոր արտահայտություններում մեծությունների նշանակման մասին։ Ավելի լավ է անմիջապես համաձայնվել, որպեսզի հետո ստիպված չլինեք մի քանի անգամ բացատրել։ Այդ նպատակով կազմվել է հետևյալ աղյուսակը.

Ձևակերպում և մաթեմատիկական նշում

Այսպիսով, կոսինուսների թեորեմը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

Ցանկացած եռանկյան կողմի քառակուսին հավասար է նրա երկու մյուս կողմերի քառակուսիների գումարին` հանած այս նույն կողմերի և նրանց միջև ընկած անկյան կոսինուսի արտադրյալի կրկնապատիկը:

Իհարկե, երկար է, բայց եթե հասկանաք դրա էությունը, հեշտ կլինի հիշել։ Դուք նույնիսկ կարող եք պատկերացնել եռանկյունի նկարելը: Տեսողականորեն հիշելը միշտ ավելի հեշտ է:

Այս թեորեմի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

Մի քիչ երկար, բայց ամեն ինչ տրամաբանական է։ Եթե ​​մի փոքր ավելի ուշադիր նայեք, կարող եք տեսնել, որ տառերը կրկնվում են, ինչը նշանակում է, որ դժվար չէ հիշել:

Թեորեմի ընդհանուր ապացույցը

Քանի որ դա ճշմարիտ է բոլոր եռանկյունների համար, կարող եք տրամաբանության համար ընտրել ցանկացած տեսակի: Թող բոլորի հետ գործիչ լինի սուր անկյուններ. Մտածեք կամայական սուր եռանկյուն, որի C անկյունը մեծ է B անկյունից. Սրանով գագաթից բարձր անկյունպետք է իջեցնել ուղղահայացը հակառակ կողմը. Նկարված բարձրությունը կբաժանի եռանկյունին երկու ուղղանկյունի: Սա կպահանջվի ապացույցների համար:

Կողքը կբաժանվի երկու հատվածի՝ x, y: Նրանք պետք է արտահայտվեն հայտնի քանակներով: Այն մասը, որը կլինի b-ին հավասար հիպոթենուս ունեցող եռանկյան մեջ, կարտահայտվի նշումով.

x = b * cos A.

Մյուսը հավասար կլինի այս տարբերությանը.

y = c - մեջ * cos Ա.

Այժմ դուք պետք է գրեք Պյութագորասի թեորեմը ստացված երկու ուղղանկյուն եռանկյունների համար՝ ընդունելով բարձրությունը որպես անհայտ արժեք: Այս բանաձևերը կունենան հետևյալ տեսքը.

n 2 = 2-ում - (* cos A-ում) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

Այս հավասարությունները պարունակում են նույն արտահայտությունները ձախ կողմում: Սա նշանակում է, որ նրանց աջ կողմերը նույնպես հավասար կլինեն։ Հեշտ է գրել այն: Այժմ դուք պետք է բացեք փակագծերը.

2-ում - 2-ում * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * in * cos A - 2 *-ում (cos A) 2.

Եթե ​​այստեղ իրականացնենք նմանատիպ տերմինների փոխանցում և կրճատում, ապա կստանանք սկզբնական բանաձևը, որը գրված է ձևակերպումից հետո, այսինքն՝ կոսինուսի թեորեմը։ Ապացույցն ամբողջական է։

Թեորեմի ապացույց վեկտորների միջոցով

Այն շատ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Եվ եթե դուք գիտեք վեկտորների հատկությունները, ապա եռանկյունու կոսինուսի թեորեմը պարզ կհաստատվի:

Եթե ​​a, b, c կողմերը նշանակված են համապատասխանաբար BC, AC և AB վեկտորներով, ապա հավասարությունը գործում է.

BC = AC - AB.

Այժմ դուք պետք է կատարեք որոշ քայլեր: Դրանցից առաջինը հավասարության երկու կողմերի քառակուսումն է.

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB:

Այնուհետև հավասարությունը պետք է վերաշարադրվի սկալյար տեսքով՝ հաշվի առնելով, որ վեկտորների արտադրյալը հավասար է նրանց միջև անկյան կոսինուսին և դրանց սկալյար արժեքներին.

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

Մնում է միայն վերադառնալ հին նշումին, և կրկին ստանում ենք կոսինուսի թեորեմը.

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

Բանաձևեր այլ կողմերի և բոլոր անկյունների համար

Կողքը գտնելու համար հարկավոր է վերցնել կոսինուսի թեորեմի քառակուսի արմատը: Մյուս կողմերից մեկի քառակուսիների բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

Կողքի քառակուսու արտահայտությունը գրել Վ, պետք է փոխարինել նախորդ հավասարության մեջ Հետվրա Վ, և հակառակը և կոսինուսի տակ դրեք B անկյունը։

Թեորեմի հիմնական բանաձևից մենք կարող ենք արտահայտել A անկյան կոսինուսի արժեքը.

cos A = (2 + c 2 - a 2-ում) / (2 in * c):

Նմանապես ստացվում են նաև այլ անկյունների բանաձևերը: Սա լավ պրակտիկա, այնպես որ կարող եք փորձել դրանք ինքներդ գրել:

Բնականաբար, կարիք չկա անգիր անել այս բանաձեւերը։ Բավական է հասկանալ թեորեմը և այդ արտահայտությունները դրա հիմնական նշումից բխելու կարողությունը։

Թեորեմի սկզբնական բանաձևը հնարավորություն է տալիս գտնել այն կողմը, եթե անկյունը չի գտնվում երկու հայտնիների միջև։ Օրինակ, դուք պետք է գտնեք Վ, երբ տրված են արժեքները. ա, գ, Ա. Կամ անհայտ Հետ, բայց կան իմաստներ ա, բ, Ա.

Այս իրավիճակում դուք պետք է փոխանցեք բանաձևի բոլոր պայմանները ձախ կողմը. Դուք ստանում եք հետևյալ հավասարությունը.

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0:

Եկեք այն վերաշարադրենք մի փոքր այլ ձևով.

c 2 - (2 * in * cos A) * c + (2 - a 2) = 0:

Հեշտ կարելի է տեսնել քառակուսային հավասարում. Դրա մեջ անհայտ քանակություն կա. Հետ, իսկ մնացած բոլորը տրված են։ Հետևաբար, բավական է լուծել այն՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ: Այսպես կհայտնաբերվի անհայտ կողմը։

Երկրորդ կողմի բանաձևը ստացվում է նույն կերպ.

2-ում - (2 * c * cos A) * մեջ + (c 2 - a 2) = 0:

Այլ արտահայտություններից նման բանաձևերը նույնպես հեշտ է ձեռք բերել ինքնուրույն:

Ինչպե՞ս կարող եք պարզել անկյան տեսակը՝ առանց կոսինուսը հաշվարկելու:

Եթե ​​ուշադիր նայեք ավելի վաղ ստացված անկյան կոսինուսի բանաձևին, ապա կնկատեք հետևյալը.

• Կոտորակի հայտարարը միշտ դրական թիվ է, քանի որ այն պարունակում է կողմերի արտադրյալ, որոնք չեն կարող բացասական լինել.
• անկյան արժեքը կախված կլինի համարիչի նշանից։

A անկյունը կլինի.

• սուր իրավիճակում, երբ համարիչը զրոյից մեծ է.
• հիմար է, եթե այս արտահայտությունը բացասական է.
• ուղիղ, երբ այն հավասար է զրոյի:

Ի դեպ, վերջին իրավիճակը կոսինուսի թեորեմը վերածում է Պյութագորասի թեորեմի։ Քանի որ 90º անկյան համար դրա կոսինուսը հավասար է հավասար է զրոյի, իսկ վերջին տերմինը անհետանում է։

Առաջին առաջադրանքը

Վիճակ

Որոշ կամայական եռանկյունու բութ անկյունը 120º է: Այն կողմերի մասին, որոնցով այն սահմանափակվում է, հայտնի է, որ դրանցից մեկը մյուսից մեծ է 8 սմ-ով, հայտնի է 28 սմ-ով:

Լուծում

Նախ անհրաժեշտ է կողմերից մեկը նշել «x» տառով: Այս դեպքում մյուսը հավասար կլինի (x + 8): Քանի որ բոլոր երեք կողմերի համար կան արտահայտություններ, մենք կարող ենք օգտագործել կոսինուսի թեորեմով նախատեսված բանաձևը.

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º:

Կոսինուսների աղյուսակներում անհրաժեշտ է գտնել 120 աստիճանին համապատասխան արժեքը: Սա կլինի 0,5 թիվը մինուս նշանով: Այժմ անհրաժեշտ է բացել փակագծերը՝ պահպանելով բոլոր կանոնները և բերել նմանատիպ տերմիններ.

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0.5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0:

Այս քառակուսային հավասարումը լուծվում է՝ գտնելով դիսկրիմինանտը, որը հավասար կլինի.

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216:

Քանի որ դրա արժեքը զրոյից մեծ է, հավասարումը ունի երկու արմատային պատասխան:

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20:

Վերջին արմատը չի կարող լինել խնդրի պատասխանը, քանի որ կողմը պետք է դրական լինի։

Մեզանից յուրաքանչյուրը շատ ժամեր է ծախսել երկրաչափության այս կամ այն ​​խնդրի լուծման վրա: Իհարկե, հարց է առաջանում՝ ինչի՞ն է պետք ընդհանրապես մաթեմատիկա սովորել։ Հարցը հատկապես արդիական է երկրաչափության համար, որի իմացությունը, եթե օգտակար է, շատ հազվադեպ է։ Բայց մաթեմատիկան նաև նպատակ ունի նրանց համար, ովքեր մտադիր չեն դառնալ աշխատող, այն ստիպում է մարդուն աշխատել և զարգանալ։

Մաթեմատիկայի սկզբնական նպատակը ուսանողներին առարկայի վերաբերյալ գիտելիքներ տալը չէր: Ուսուցիչները նպատակ են դրել երեխաներին սովորեցնել մտածել, տրամաբանել, վերլուծել և վիճել: Սա հենց այն է, ինչ մենք գտնում ենք երկրաչափության մեջ իր բազմաթիվ աքսիոմներով և թեորեմներով, հետևանքներով և ապացույցներով:

Կոսինուսների թեորեմ

Օգտագործումը

Բացի մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի դասերից, այս թեորեմը լայնորեն կիրառվում է ճարտարապետության և շինարարության մեջ՝ պահանջվող կողմերն ու անկյունները հաշվարկելու համար։ Այն օգտագործվում է որոշելու համար պահանջվող չափերըշենքերը և նյութերի քանակը, որոնք կպահանջվեն դրա կառուցման համար: Իհարկե, գործընթացների մեծ մասը, որոնք նախկինում պահանջում էին անմիջական մարդկային մասնակցություն և գիտելիքներ, այսօր ավտոմատացված են: Կան հսկայական թվով ծրագրեր, որոնք թույլ են տալիս նմանակել նման նախագծերը համակարգչում: Նրանց ծրագրավորումը նույնպես իրականացվում է հաշվի առնելով բոլորը մաթեմատիկական օրենքներ, հատկություններ և բանաձևեր.