Առանց փակագծերի մաթեմատիկական գործողություններ կատարելու կարգը. Գործողությունների կատարման կարգը - Գիտելիքների հիպերմարկետ

հինգերորդ դարում մ.թ.ա հին հույն փիլիսոփաԶենոն Էլեացին ձևակերպեց իր հայտնի ապորիաները, որոնցից ամենահայտնին «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիան է։ Ահա թե ինչ է այն հնչում.

Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տաս անգամ ավելի արագ, քան կրիան և հազար քայլ հետ է մնում նրանից։ Այն ժամանակահատվածում, ինչ Աքիլեսից կպահանջվի այս տարածությունը վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ կսողա նույն ուղղությամբ։ Երբ Աքիլեսը վազում է հարյուր քայլ, կրիան սողում է ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը կշարունակվի անվերջ, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային:

Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում դարձավ հետագա բոլոր սերունդների համար։ Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Հիլբերտը... Նրանք բոլորն այս կամ այն կերպ դիտարկում էին Զենոնի ապորիան։ Ցնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « ... քննարկումները շարունակվում են մինչ օրս գիտական հանրությունը չի կարողացել ընդհանուր կարծիքի գալ պարադոքսների էության վերաբերյալ ... հարցի ուսումնասիրության մեջ ներգրավվել են մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, նոր ֆիզիկական և փիլիսոփայական մոտեցումներ; ; դրանցից ոչ մեկը չդարձավ խնդրի ընդհանուր ընդունված լուծում...«[Wikipedia, «Zeno's Aporia». Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե ինչից է բաղկացած խաբեությունը։

Մաթեմատիկական տեսանկյունից Զենոնն իր ապորիայում հստակ ցույց տվեց անցումը քանակից դեպի ։ Այս անցումը ենթադրում է մշտականի փոխարեն կիրառում։ Որքան հասկանում եմ, չափման փոփոխական միավորների օգտագործման մաթեմատիկական ապարատը կամ դեռ չի մշակվել, կամ չի կիրառվել Զենոնի ապորիայի վրա։ Մեր սովորական տրամաբանության կիրառումը մեզ տանում է ծուղակի մեջ: Մենք, մտածողության իներցիայի շնորհիվ, փոխադարձ արժեքին կիրառում ենք ժամանակի հաստատուն միավորներ։ Ֆիզիկական տեսանկյունից սա կարծես թե ժամանակն է դանդաղում, մինչև այն ամբողջովին դադարի այն պահին, երբ Աքիլլեսը կհասնի կրիային: Եթե ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող շրջանցել կրիային:

Եթե շրջենք մեր սովորական տրամաբանությունը, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլլեսը վազում է հետ հաստատուն արագություն. Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը տասն անգամ պակաս է նախորդից։ Եթե այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել՝ «Աքիլլեսը անսահման արագ կհասնի կրիային»։

Ինչպե՞ս խուսափել այս տրամաբանական թակարդից։ Մնացեք ժամանակի մշտական միավորների մեջ և մի անցեք փոխադարձ միավորների: Զենոնի լեզվով դա հետևյալն է.

Այն ժամանակ, ինչ Աքիլլեսին կպահանջվի հազար քայլ վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ կսողա նույն ուղղությամբ։ Առաջինին հավասար հաջորդ ժամանակամիջոցում Աքիլլեսը կվազի ևս հազար քայլ, իսկ կրիան կսողա հարյուր քայլ: Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից։

Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց դա այդպես չէ ամբողջական լուծումխնդիրներ. Լույսի արագության անդիմադրելիության մասին Էյնշտեյնի հայտարարությունը շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք ու լուծենք այս խնդիրը։ Իսկ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անսահման մեծ թվով, այլ չափման միավորներով։

Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.

Թռչող նետը անշարժ է, քանի որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին այն հանգստի վիճակում է, և քանի որ այն հանգստանում է ժամանակի յուրաքանչյուր պահի, այն միշտ հանգստանում է:

Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսը հաղթահարվում է շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին թռչող սլաքը հանգստանում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է: Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ նրա շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Որոշելու համար, թե արդյոք մեքենան շարժվում է, ձեզ անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, բայց դուք չեք կարող որոշել դրանցից հեռավորությունը: Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար ձեզ հարկավոր է երկու լուսանկար, որից արված են տարբեր կետերտարածություն ժամանակի մեկ կետում, բայց դրանցից շարժման փաստը հնարավոր չէ որոշել (բնականաբար, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են անհրաժեշտ, եռանկյունաչափությունը կօգնի ձեզ): Այն, ինչ ուզում եմ նշել հատուկ ուշադրություն, այն է, որ ժամանակի երկու կետը և տարածության երկու կետը տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք տարբեր հնարավորություններ են տալիս հետազոտության համար։

Չորեքշաբթի, 4 հուլիսի, 2018 թ

Set-ի և multiset-ի տարբերությունները շատ լավ նկարագրված են Վիքիպեդիայում։ Եկեք տեսնենք.

Ինչպես տեսնում եք, «կոմպլեկտում չի կարող լինել երկու նույնական տարր», բայց եթե մի շարքում կան նույնական տարրեր, ապա այդպիսի հավաքածուն կոչվում է «բազմաթիվ»: Ողջամիտ էակները երբեք չեն հասկանա նման անհեթեթ տրամաբանությունը։ Սա խոսող թութակների և վարժեցված կապիկների մակարդակն է, որոնք խելք չունեն «ամբողջովին» բառից։ Մաթեմատիկոսները հանդես են գալիս որպես սովորական մարզիչներ՝ մեզ քարոզելով իրենց անհեթեթ գաղափարները։

Ժամանակին կամուրջը կառուցած ինժեներները կամուրջը փորձարկելիս նավակի մեջ էին կամրջի տակ։ Եթե կամուրջը փլվեր, միջակ ինժեները մահացավ իր ստեղծագործության փլատակների տակ։ Եթե կամուրջը կարող էր դիմակայել ծանրաբեռնվածությանը, տաղանդավոր ինժեները կառուցեց այլ կամուրջներ:

Անկախ նրանից, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները թաքնվում «իմացիր ինձ, ես տանն եմ» արտահայտության հետևում, ավելի ճիշտ՝ «մաթեմատիկան ուսումնասիրում է վերացական հասկացությունները», կա մեկ պորտալար, որն անքակտելիորեն կապում է դրանք իրականության հետ: Այս պորտալարը փող է։ Եկեք կիրառենք մաթեմատիկական բազմությունների տեսությունը հենց մաթեմատիկոսների վրա:

Մաթեմատիկան շատ լավ ենք սովորել, հիմա էլ նստած ենք դրամարկղի մոտ, աշխատավարձ ենք տալիս։ Այսպիսով, մի մաթեմատիկոս գալիս է մեզ մոտ իր փողի համար: Մենք նրան հաշվում ենք ամբողջ գումարը և այն դնում մեր սեղանի վրա տարբեր կույտերով, որոնց մեջ դնում ենք նույն անվանական թղթադրամներ։ Այնուհետև մենք յուրաքանչյուր կույտից վերցնում ենք մեկ թղթադրամ և մաթեմատիկոսին տալիս ենք իր «աշխատավարձի մաթեմատիկական հավաքածուն»։ Եկեք բացատրենք մաթեմատիկոսին, որ նա կստանա մնացած հաշիվները միայն այն ժամանակ, երբ ապացուցի, որ առանց նույնական տարրերի հավաքածուն հավասար չէ նույն տարրերով բազմությանը: Այստեղից է սկսվում զվարճանքը:

Նախ՝ գործելու է պատգամավորների տրամաբանությունը. Այնուհետև նրանք կսկսեն մեզ հանգստացնել, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամները տարբեր թղթադրամների համարներ ունեն, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույն տարրերը: Լավ, եկեք հաշվարկենք աշխատավարձերը մետաղադրամներով. մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը կսկսի խելահեղորեն հիշել ֆիզիկան. տարբեր մետաղադրամների վրա կա տարբեր քանակությամբՅուրաքանչյուր մետաղադրամի կեղտը, բյուրեղային կառուցվածքը և ատոմային դասավորությունը յուրահատուկ է...

Իսկ հիմա ես ամենաշատն ունեմ հետաքրքիր հարցորտե՞ղ է այն գիծը, որից այն կողմ բազմաբնույթ տարրերը վերածվում են բազմության տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի՝ ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունն այստեղ նույնիսկ մոտ չէ ստելուն։

Նայեք այստեղ։ Մենք ընտրում ենք նույն դաշտի տարածքով ֆուտբոլային մարզադաշտեր: Դաշտերի տարածքները նույնն են, ինչը նշանակում է, որ մենք ունենք բազմաբնույթ: Բայց եթե նայենք այս նույն մարզադաշտերի անուններին, շատ ենք ստանում, քանի որ անունները տարբեր են։ Ինչպես տեսնում եք, տարրերի նույն հավաքածուն և՛ բազմություն է, և՛ բազմաբնույթ: Ո՞րն է ճիշտ: Եվ ահա մաթեմատիկոս-շաման-սրախոսը թևից հանում է հաղթաթուղթ և սկսում պատմել մեզ կա՛մ կոմպլեկտի, կա՛մ բազմահավաքի մասին: Ամեն դեպքում նա մեզ կհամոզի, որ ճիշտ է։

Հասկանալու համար, թե ինչպես են ժամանակակից շամանները գործում բազմությունների տեսության հետ՝ կապելով այն իրականության հետ, բավական է պատասխանել մի հարցի՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Ես ձեզ ցույց կտամ՝ առանց որևէ «պատկերացնելի որպես ոչ մի ամբողջություն» կամ «անընկալելի որպես մեկ ամբողջություն»։

կիրակի, 18 մարտի, 2018 թ

Թվի թվանշանների գումարը դափի հետ շամանների պար է, որը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Այո, մաթեմատիկայի դասերին մեզ սովորեցնում են գտնել թվերի թվանշանների գումարը և օգտագործել այն, բայց դրա համար էլ նրանք շամաններ են, որպեսզի իրենց ժառանգներին սովորեցնեն իրենց հմտություններն ու իմաստությունը, այլապես շամանները պարզապես կմահանան:

Դուք ապացույցի կարիք ունե՞ք։ Բացեք Վիքիպեդիան և փորձեք գտնել «Թվի թվանշանների գումարը» էջը։ Նա գոյություն չունի: Մաթեմատիկայում չկա որևէ բանաձև, որը կարող է օգտագործվել ցանկացած թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար: Ի վերջո, թվերն են գրաֆիկական նշաններ, որի օգնությամբ գրում ենք թվեր, իսկ մաթեմատիկայի լեզվով առաջադրանքը հնչում է այսպես՝ «Գտե՛ք ցանկացած թիվ ներկայացնող գրաֆիկական նշանների գումարը»։ Մաթեմատիկոսները չեն կարող լուծել այս խնդիրը, բայց շամանները կարող են դա անել հեշտությամբ:

Եկեք պարզենք, թե ինչ և ինչպես ենք անում, որպեսզի գտնենք տվյալ թվի թվանշանների գումարը: Եվ այսպես, թող ունենանք 12345 թիվը։ Ի՞նչ է պետք անել այս թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար։ Դիտարկենք բոլոր քայլերը հերթականությամբ։

1. Թղթի վրա գրի՛ր թիվը: Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք թիվը վերածել ենք գրաֆիկական թվանշանի։ Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։

2. Ստացված մեկ նկարը կտրում ենք առանձին թվեր պարունակող մի քանի նկարների։ Նկար կտրելը մաթեմատիկական գործողություն չէ։

3. Անհատական գրաֆիկական նշանները վերածել թվերի: Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։

4.Ավելացրե՛ք ստացված թվերը։ Հիմա դա մաթեմատիկան է:

12345 թվի թվանշանների գումարը 15 է։ Սրանք շամանների «կտրելու և կարելու դասընթացներն» են, որոնք օգտագործում են մաթեմատիկոսները։ Բայց սա դեռ ամենը չէ:

Մաթեմատիկական տեսանկյունից նշանակություն չունի, թե որ թվային համակարգում ենք թիվ գրում։ Այսպիսով, ներս տարբեր համակարգերՀաշվարկում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր կլինի։ Մաթեմատիկայի մեջ թվային համակարգը նշվում է որպես թվի աջ կողմում գտնվող բաժանորդ: ՀԵՏ մեծ թվով 12345 Չեմ ուզում գլուխս խաբել, եկեք նայենք 26 համարին հոդվածի մասին: Գրենք այս թիվը երկուական, օկտալ, տասնորդական և տասնվեցական թվային համակարգերով։ Մենք ամեն քայլ չենք նայի մանրադիտակի տակ, մենք դա արդեն արել ենք. Եկեք նայենք արդյունքին:

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր է։ Այս արդյունքը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Դա նույնն է, որ եթե ուղղանկյունի մակերեսը որոշեիր մետրերով և սանտիմետրերով, բոլորովին այլ արդյունքներ կստանայիր:

Զրոն բոլոր թվային համակարգերում նույն տեսքն ունի և չունի թվանշանների գումար: Սա եւս մեկ փաստարկ է այն փաստի օգտին, որ. Հարց մաթեմատիկոսներին. ինչպե՞ս է մաթեմատիկայում նշանակված մի բան, որը թիվ չէ: Ի՞նչ է, մաթեմատիկոսների համար ոչինչ գոյություն չունի, բացի թվերից: Ես կարող եմ սա թույլ տալ շամաններին, բայց ոչ գիտնականներին: Իրականությունը միայն թվերով չէ:

Ստացված արդյունքը պետք է համարել որպես ապացույց, որ թվային համակարգերը թվերի չափման միավորներ են։ Ի վերջո, մենք չենք կարող թվերը համեմատել տարբեր չափման միավորների հետ։ Եթե նույն մեծության տարբեր չափման միավորներով նույն գործողությունները հանգեցնում են տարբեր արդյունքներդրանք համեմատելուց հետո նշանակում է՝ դա մաթեմատիկայի հետ կապ չունի։

Ի՞նչ է իրական մաթեմատիկան: Սա այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական գործողության արդյունքը կախված չէ թվի չափից, օգտագործվող չափման միավորից և նրանից, թե ով է կատարում այս գործողությունը։

Ստորագրեք դռան վրա Նա բացում է դուռը և ասում.

Օ՜ Սա կանանց զուգարանը չէ՞։
-Երիտասարդ կին! Սա լաբորատորիա է հոգիների անդեֆիլական սրբության ուսումնասիրության համար նրանց երկինք համբարձվելու ժամանակ: Հալո վերևում և վերև սլաք: Էլ ի՞նչ զուգարան:

Իգական... Վերևի լուսապսակը և ներքև սլաքը արական են:

Եթե դիզայներական արվեստի նման գործը օրվա ընթացքում մի քանի անգամ փայլում է ձեր աչքի առաջ,

Այնուհետև զարմանալի չէ, որ հանկարծ ձեր մեքենայում տարօրինակ պատկերակ եք գտնում.

Անձամբ ես ջանում եմ տեսնել մինուս չորս աստիճան թուխ մարդու մեջ (մեկ նկար) (մի քանի նկարներից կազմված կոմպոզիցիա. մինուս նշան, թիվ չորս, աստիճանի նշանակում): Եվ ես չեմ կարծում, որ այս աղջիկը հիմար է, ով չգիտի ֆիզիկա: Նա պարզապես ունի գրաֆիկական պատկերներ ընկալելու ուժեղ կարծրատիպ: Եվ մաթեմատիկոսները դա մեզ անընդհատ սովորեցնում են: Ահա մի օրինակ.

1A-ն «մինուս չորս աստիճան» կամ «մեկ ա» չէ: Սա «մղող մարդ» է կամ տասնվեցական նշումով «քսանվեց» թիվը: Այն մարդիկ, ովքեր անընդհատ աշխատում են այս թվային համակարգում, ավտոմատ կերպով ընկալում են թիվը և տառը որպես մեկ գրաֆիկական խորհրդանիշ։

Ք.ա. հինգերորդ դարում հին հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեյացին ձևակերպեց իր հայտնի ապորիաները, որոնցից ամենահայտնին «Աքիլես և կրիա» ապորիան է։ Ահա թե ինչ է այն հնչում.

Եթե շրջենք մեր սովորական տրամաբանությունը, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլլեսը վազում է հաստատուն արագությամբ։ Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը տասն անգամ պակաս է նախորդից։ Եթե այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել՝ «Աքիլլեսը անսահման արագ կհասնի կրիային»։

Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց սա խնդրի ամբողջական լուծում չէ։ Էյնշտեյնի հայտարարությունը լույսի արագության անդիմադրելիության մասին շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք ու լուծենք այս խնդիրը։ Իսկ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անսահման մեծ թվով, այլ չափման միավորներով։

Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.

Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսը հաղթահարվում է շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին թռչող սլաքը հանգստանում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է: Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ նրա շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Որոշելու համար, թե արդյոք մեքենան շարժվում է, ձեզ անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, բայց դուք չեք կարող որոշել դրանցից հեռավորությունը: Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար ձեզ անհրաժեշտ է ժամանակի մեկ կետում տարածության տարբեր կետերից արված երկու լուսանկար, բայց դրանցից դուք չեք կարող որոշել շարժման փաստը (իհարկե, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են պետք, եռանկյունաչափությունը կօգնի ձեզ ) Այն, ինչի վրա ուզում եմ հատուկ ուշադրություն հրավիրել, այն է, որ ժամանակի երկու կետը և տարածության երկու կետը տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք տարբեր հնարավորություններ են տալիս հետազոտության համար:

Չորեքշաբթի, 4 հուլիսի, 2018 թ

Set-ի և multiset-ի տարբերությունները շատ լավ նկարագրված են Վիքիպեդիայում։ Եկեք տեսնենք.

Առաջին հերթին գործելու է պատգամավորների տրամաբանությունը. «Սա կարող է վերաբերվել ուրիշներին, իսկ ինձ՝ ոչ»։ Այնուհետև նրանք կսկսեն մեզ հանգստացնել, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամները տարբեր թղթադրամների համարներ ունեն, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույն տարրերը: Լավ, եկեք հաշվարկենք աշխատավարձերը մետաղադրամներով. մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը կսկսի խելագարորեն հիշել ֆիզիկան. տարբեր մետաղադրամներ ունեն տարբեր քանակությամբ կեղտ, բյուրեղային կառուցվածքը և ատոմների դասավորությունը յուրահատուկ է յուրաքանչյուր մետաղադրամի համար...

Եվ հիմա ինձ մոտ ամենահետաքրքիր հարցն է՝ որտե՞ղ է այն գիծը, որից այն կողմ բազմաբնույթ տարրերը վերածվում են բազմության տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի՝ ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունն այստեղ նույնիսկ մոտ չէ ստելուն։

կիրակի, 18 մարտի, 2018 թ

Դուք ապացույցի կարիք ունե՞ք։ Բացեք Վիքիպեդիան և փորձեք գտնել «Թվի թվանշանների գումարը» էջը։ Նա գոյություն չունի: Մաթեմատիկայում չկա որևէ բանաձև, որը կարող է օգտագործվել ցանկացած թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար: Ի վերջո, թվերը գրաֆիկական նշաններ են, որոնցով մենք գրում ենք թվեր, իսկ մաթեմատիկայի լեզվով առաջադրանքը հնչում է այսպես. Մաթեմատիկոսները չեն կարող լուծել այս խնդիրը, բայց շամանները կարող են դա հեշտությամբ անել:

3. Անհատական գրաֆիկական նշանները վերածել թվերի: Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։

4.Ավելացրե՛ք ստացված թվերը։ Հիմա դա մաթեմատիկան է:

Մաթեմատիկական տեսանկյունից նշանակություն չունի, թե որ թվային համակարգում ենք թիվ գրում։ Այսպիսով, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր կլինի։ Մաթեմատիկայի մեջ թվային համակարգը նշվում է որպես թվի աջ կողմում գտնվող բաժանորդ: 12345 մեծ թվով ես չեմ ուզում գլուխս խաբել, եկեք հաշվի առնենք 26 համարը հոդվածի մասին։ Գրենք այս թիվը երկուական, օկտալ, տասնորդական և տասնվեցական թվային համակարգերով։ Մենք ամեն քայլ չենք նայի մանրադիտակի տակ, մենք դա արդեն արել ենք. Եկեք նայենք արդյունքին:

Ստացված արդյունքը պետք է համարել որպես ապացույց, որ թվային համակարգերը թվերի չափման միավորներ են։ Ի վերջո, մենք չենք կարող թվերը համեմատել տարբեր չափման միավորների հետ։ Եթե նույն մեծության չափման տարբեր միավորներով նույն գործողությունները դրանք համեմատելուց հետո հանգեցնում են տարբեր արդյունքների, ապա դա ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։

Ստորագրեք դռան վրա Նա բացում է դուռը և ասում.

Իգական... Վերևի լուսապսակը և ներքև սլաքը արական են:

Եթե դիզայներական արվեստի նման գործը օրվա ընթացքում մի քանի անգամ փայլում է ձեր աչքի առաջ,

Այնուհետև զարմանալի չէ, որ հանկարծ ձեր մեքենայում տարօրինակ պատկերակ եք գտնում.

Հոկտեմբերի 24, 2017 admin

Լոպատկո Իրինա Գեորգիևնա

Թիրախ:առանց փակագծերի և փակագծերով թվային արտահայտություններում թվաբանական գործողություններ կատարելու կարգի վերաբերյալ գիտելիքների ձևավորում՝ բաղկացած 2-3 գործողություններից.

Առաջադրանքներ.

Ուսումնական:սովորողների մեջ զարգացնել կոնկրետ արտահայտություններ հաշվարկելիս գործողությունների հերթականության կանոնները, գործողությունների ալգորիթմ կիրառելու կարողությունը:

Զարգացնող:զարգացնել զույգերով աշխատելու հմտություններ, սովորողների մտավոր ակտիվություն, տրամաբանելու, համեմատելու և հակադրելու, հաշվարկելու և մաթեմատիկական խոսքի կարողություն:

Ուսումնական:զարգացնել հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ, միմյանց նկատմամբ հանդուրժողական վերաբերմունք, փոխադարձ համագործակցություն.

Տեսակը:նոր նյութ սովորելը

Սարքավորումներ:շնորհանդես, տեսողական նյութեր, թերթիկներ, բացիկներ, դասագիրք:

Մեթոդներ:բանավոր, տեսողական և փոխաբերական:

ԴԱՍԻ ԱՅՑԸ

Կազմակերպչական պահ

Ողջույններ.

Մենք եկել ենք այստեղ սովորելու

Մի ծույլ մի եղեք, բայց աշխատեք։

Մենք ջանասիրաբար աշխատում ենք

Եկեք ուշադիր լսենք.

Մարկուշևիչը հիանալի խոսքեր ասաց. «Նա, ով մանկուց մաթեմատիկա է սովորում, զարգացնում է ուշադրությունը, մարզում է իր ուղեղը, իր կամքը, զարգացնում է հաստատակամություն և հաստատակամություն նպատակներին հասնելու համար:.” Բարի գալուստ մաթեմատիկայի դաս:

Գիտելիքների թարմացում

Մաթեմատիկա առարկան այնքան լուրջ է, որ ոչ մի հնարավորություն չպետք է բաց թողնել այն ավելի զվարճալի դարձնելու համար։(Բ. Պասկալ)

Առաջարկում եմ կատարել տրամաբանական առաջադրանքներ։ պատրա՞ստ ես։

Ո՞ր երկու թվերը, երբ բազմապատկվում են, տալիս են նույն արդյունքը, ինչ գումարելիս: (2 և 2)

Ցանկապատի տակից կարելի է տեսնել 6 զույգ ձիու ոտքեր։ Այս կենդանիներից քանի՞սն կա բակում: (3)

Մեկ ոտքի վրա կանգնած աքլորը կշռում է 5 կգ։ Որքա՞ն կկշռի նա երկու ոտքի վրա կանգնած: (5 կգ)

Ձեռքերին 10 մատ կա։ Քանի՞ մատ կա 6 ձեռքի վրա: (30)

Ծնողներն ունեն 6 որդի։ Բոլորն ունեն քույր: Քանի՞ երեխա կա ընտանիքում: (7)

Քանի՞ պոչ ունի յոթ կատու:

Քանի՞ քիթ ունի երկու շուն:

Քանի՞ ականջ ունի 5 երեխա:

Տղերք, հենց այսպիսի աշխատանք էի սպասում ձեզնից՝ ակտիվ, ուշադիր և խելացի էիք։

Գնահատում՝ բանավոր:

Բանավոր հաշվում

ԳԻՏԵԼԻՔԻ ՏՈՒԿ

2 * 3, 4 * 2 թվերի արտադրյալ;

Մասնակի համարներ 15: 3, 10:2;

100 + 20, 130 + 6, 650 + 4 թվերի գումարը;

Թվերի տարբերությունը 180 – 10, 90 – 5, 340 – 30 է:

Բազմապատկման, բաժանման, գումարման, հանման բաղադրիչները.

Գնահատում. սովորողները ինքնուրույն են գնահատում միմյանց

Դասի թեմայի և նպատակի հաղորդակցում

«Գիտելիքը մարսելու համար հարկավոր է այն ախորժակով ներծծել»։(Ա. Ֆրանց)

Պատրա՞ստ եք ախորժակով կլանել գիտելիքները։

Տղաներին, Մաշային և Միշային առաջարկվել է նման շղթա

24 + 40: 8 – 4=

Մաշան որոշեց այսպես.

24 + 40՝ 8 – 4= 25 ճի՞շտ է։ Երեխաների պատասխանները.

Եվ Միշան որոշեց այսպես.

24 + 40: 8 – 4= 4 ճիշտ? Երեխաների պատասխանները.

Ի՞նչն է ձեզ զարմացրել։ Կարծես թե Մաշան և Միշան ճիշտ են որոշել։ Այդ դեպքում ինչո՞ւ են նրանք տարբեր պատասխաններ ունենում։

Տարբեր կարգով հաշվում էին.

Ինչից է կախված հաշվարկի արդյունքը: Պատվերից.

Ի՞նչ եք տեսնում այս արտահայտություններում: Թվեր, նշաններ.

Ի՞նչ նշաններ են անվանում մաթեմատիկայում: Գործողություններ.

Ի՞նչ կարգի շուրջ չեն պայմանավորվել տղաները։ Ընթացակարգի մասին.

Ի՞նչ ենք սովորելու դասարանում։ Ո՞րն է դասի թեման:

Կուսումնասիրենք թվաբանական գործողությունների հերթականությունը արտահայտություններում։

Ինչու՞ պետք է իմանանք ընթացակարգը: Հաշվարկները ճիշտ կատարեք երկար արտահայտություններով

«Գիտելիքների զամբյուղ». (Զամբյուղը կախված է տախտակի վրա)

Ուսանողները նշում են թեմային առնչվող ասոցիացիաներ:

Նոր նյութ սովորելը

Տղերք, խնդրում եմ, լսեք, թե ինչ է ասել ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Դ.Պոյան. “Լավագույն միջոցըինչ-որ բան ուսումնասիրելը նշանակում է ինքներդ բացահայտել այն»:Պատրա՞ստ եք բացահայտումների։

180 – (9 + 2) =

Կարդացեք արտահայտությունները. Համեմատեք դրանք:

Ինչո՞վ են նրանք նման: 2 գործողություն, նույն թվերը

Ինչո՞վ են դրանք տարբեր: Փակագծեր, տարբեր գործողություններ

Կանոն 1.

Կարդացեք կանոնը սլայդում: Երեխաները բարձրաձայն կարդում են կանոնը.

Միայն գումարում և հանում պարունակող առանց փակագծերի արտահայտություններում կամԲազմապատկում և բաժանում, գործողությունները կատարվում են իրենց գրած հերթականությամբ՝ ձախից աջ:

Ի՞նչ գործողությունների մասին է խոսքը այստեղ։ +, — կամ : , ·

Այս արտահայտություններից գտե՛ք միայն նրանք, որոնք համապատասխանում են 1-ին կանոնին: Գրե՛ք դրանք ձեր նոթատետրում:

Հաշվեք արտահայտությունների արժեքները:

Փորձաքննություն.

180 – 9 + 2 = 173

Կանոն 2.

Կարդացեք կանոնը սլայդում:

Երեխաները բարձրաձայն կարդում են կանոնը.

Առանց փակագծերի արտահայտություններում նախ կատարվում է բազմապատկում կամ բաժանում՝ ձախից աջ հերթականությամբ, ապա գումարում կամ հանում։

:, · և +, — (միասին)

Կա՞ն փակագծեր։ Ոչ

Ի՞նչ գործողություններ կանենք առաջինը: ·, : ձախից աջ

Ի՞նչ գործողություններ ենք ձեռնարկելու հաջորդիվ: +, - ձախ, աջ

Գտեք դրանց իմաստները:

Փորձաքննություն.

180 – 9 * 2 = 162

Կանոն 3

Փակագծերով արտահայտություններում նախ գնահատեք փակագծերում տրված արտահայտությունների արժեքը, ապաՁախից աջ հերթականությամբ կատարվում են բազմապատկում կամ բաժանում, այնուհետև գումարում կամ հանում:

Ի՞նչ թվաբանական գործողություններ են նշված այստեղ:

:, · և +, — (միասին)

Կա՞ն փակագծեր։ Այո՛։

Ի՞նչ գործողություններ կանենք առաջինը: Փակագծերում

Ի՞նչ գործողություններ ենք ձեռնարկելու հաջորդիվ: ·, : ձախից աջ

Իսկ հետո՞։ +, - ձախ, աջ

Դուրս գրի՛ր արտահայտությունները, որոնք վերաբերում են երկրորդ կանոնին:

Գտեք դրանց իմաստները:

Փորձաքննություն.

180: (9 * 2) = 10

180 – (9 + 2) = 169

Եվս մեկ անգամ բոլորս միասին ասում ենք կանոնը.

ՖԻՍՄԻՆՈՒՏ

Համախմբում

«Մաթեմատիկայի մեծ մասը չի մնում հիշողության մեջ, բայց երբ հասկանում ես այն, հեշտ է հիշել այն, ինչ երբեմն մոռացել ես»:, ասել է Մ.Վ. Օստրոգրադսկի. Այժմ մենք կհիշենք մեր նոր սովորածը և գործնականում կկիրառենք նոր գիտելիքները .

Էջ 52 թիվ 2

(52 – 48) * 4 =

Էջ 52 Թիվ 6 (1)

Աշակերտները ջերմոցում հավաքել են 700 կգ բանջարեղեն՝ 340 կգ վարունգ, 150 կգ լոլիկ, իսկ մնացածը՝ պղպեղ։ Քանի՞ կիլոգրամ պղպեղ են հավաքել աշակերտները:

Ինչի՞ մասին են խոսում։ Ինչ է հայտնի. Ի՞նչ է պետք գտնել:

Փորձենք արտահայտությամբ լուծել այս խնդիրը։

700 – (340 + 150) = 210 (կգ)

Պատասխան՝ Սովորողները հավաքեցին 210 կգ պղպեղ։

Աշխատեք զույգերով.

Տրվում են առաջադրանքներով քարտեր:

5 + 5 + 5 5 = 35

(5+5) : 5 5 = 10

Գնահատում:

արագություն – 1 բ
կոռեկտություն - 2 բ
տրամաբանություն - 2 բ

Տնային աշխատանք

Էջ 52 Թիվ 6 (2) լուծել խնդիրը, լուծումը գրել արտահայտության տեսքով։

Արդյունք, արտացոլում

Բլումի խորանարդը

Անվանեք այնմեր դասի թեմա?

Բացատրիրփակագծերով արտահայտություններում գործողությունների կատարման կարգը.

Ինչո՞ւԿարևոր է արդյոք ուսումնասիրել այս թեման:

Շարունակեքառաջին կանոնը.

Եկեք դրա հետփակագծերով արտահայտություններում գործողություններ կատարելու ալգորիթմ:

«Եթե ցանկանում եք մասնակցել մեծ կյանք, ապա գլուխդ լցրու մաթեմատիկայով, քանի դեռ հնարավորություն ունես։ Այնուհետև նա ձեզ մեծ օգնություն կցուցաբերի ձեր բոլոր գործերում»։(Մ.Ի. Կալինին)

Շնորհակալություն դասարանում կատարած աշխատանքի համար!!!

ԿԻՍՎԵԼԴուք կարող եք

«Գործողությունների կարգը» տեսադասում մանրամասն բացատրվում է մաթեմատիկայի մի կարևոր թեմա՝ արտահայտություն լուծելիս թվաբանական գործողություններ կատարելու հաջորդականությունը: Տեսադասի ընթացքում քննարկվում է, թե ինչ առաջնահերթություն ունեն տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ, ինչպես են դրանք օգտագործվում արտահայտությունները հաշվելու ժամանակ, օրինակներ են տրվում նյութը յուրացնելու համար, և ստացված գիտելիքներն ընդհանրացվում են առաջադրանքների լուծման ժամանակ, որտեղ առկա են բոլոր դիտարկված գործողությունները: Տեսադասի օգնությամբ ուսուցիչը հնարավորություն ունի արագ հասնել դասի նպատակներին և բարձրացնել դրա արդյունավետությունը։ Տեսանյութը կարող է օգտագործվել որպես տեսողական նյութ՝ ուղեկցելու ուսուցչի բացատրությանը, ինչպես նաև որպես դասի անկախ մաս:

Տեսողական նյութում օգտագործվում են տեխնիկա, որոնք օգնում են ավելի լավ հասկանալ թեման, ինչպես նաև հիշել կարևոր կանոններ. Գույնի և տարբեր գրության օգնությամբ ընդգծվում են գործողությունների առանձնահատկություններն ու հատկությունները, նշվում օրինակների լուծման առանձնահատկությունները։ Անիմացիոն էֆեկտները օգնում են հետևողականություն ապահովել ուսումնական նյութինչպես նաև ուսանողների ուշադրությունը հրավիրել կարևոր կետեր. Տեսանյութը հնչում է, ուստի այն լրացվում է ուսուցչի մեկնաբանություններով՝ օգնելով աշակերտին հասկանալ և հիշել թեման:

Տեսադասը սկսվում է թեմայի ներկայացմամբ։ Այնուհետև նշվում է, որ բազմապատկումը և հանումը առաջին փուլի գործողություններ են, բազմապատկման և բաժանման գործողությունները կոչվում են երկրորդ փուլի գործողություններ։ Այս սահմանումը պետք է հետագայում գործարկվի, ցուցադրվի էկրանին և ընդգծվի մեծ գունային տառատեսակով: Այնուհետեւ ներկայացվում են գործառնությունների հերթականությունը կազմող կանոնները։ Ստացվում է առաջին կարգի կանոնը, որը ցույց է տալիս, որ եթե արտահայտության մեջ չկան փակագծեր, և կան նույն մակարդակի գործողություններ, ապա այդ գործողությունները պետք է կատարվեն հերթականությամբ։ Երկրորդ կարգի կանոնը սահմանում է, որ եթե կան երկու փուլերի գործողություններ և չկան փակագծեր, ապա նախ կատարվում են երկրորդ փուլի գործողությունները, ապա առաջին փուլի գործողությունները: Երրորդ կանոնը սահմանում է փակագծեր ներառող արտահայտությունների գործողությունների հերթականությունը: Նշվում է, որ այս դեպքում առաջինը կատարվում են փակագծերի վիրահատությունները։ Կանոնների ձևակերպումը ընդգծված է գունավոր տառատեսակով և խորհուրդ է տրվում անգիր անել:

Հաջորդը, առաջարկվում է հասկանալ գործողությունների հերթականությունը՝ դիտարկելով օրինակներ: Նկարագրված է միայն գումարման և հանման գործողություններ պարունակող արտահայտության լուծումը: Նշվում են հիմնական հատկանիշները, որոնք ազդում են հաշվարկների կարգի վրա՝ չկան փակագծեր, կան առաջին փուլի գործողություններ։ Ստորև բերված է նկարագրությունը, թե ինչպես են կատարվում հաշվարկները՝ սկզբում հանում, ապա երկու անգամ գումարում և հետո հանում:

Երկրորդ օրինակում 780:39·212:156·13 պետք է գնահատել արտահայտությունը՝ կատարելով գործողություններ ըստ հերթականության: Նշվում է, որ այս արտահայտությունը պարունակում է բացառապես երկրորդ փուլի գործողություններ՝ առանց փակագծերի։ IN այս օրինակումբոլոր գործողությունները կատարվում են խստորեն ձախից աջ: Ստորև հերթով նկարագրում ենք գործողությունները՝ աստիճանաբար մոտենալով պատասխանին։ Հաշվարկի արդյունքը 520 թիվն է։

Երրորդ օրինակը դիտարկում է մի օրինակի լուծում, որտեղ կան երկու փուլերի գործողություններ: Նշվում է, որ այս արտահայտության մեջ չկան փակագծեր, սակայն կան երկու փուլերի գործողություններ։ Գործողությունների հերթականության համաձայն՝ կատարվում են երկրորդ փուլի վիրահատությունները, որին հաջորդում են առաջին փուլի վիրահատությունները։ Ստորև ներկայացված է լուծման քայլ առ քայլ նկարագրությունը, որում առաջինը կատարվում է երեք գործողություն՝ բազմապատկում, բաժանում և մեկ այլ բաժանում։ Այնուհետև առաջին փուլի գործողությունները կատարվում են արտադրանքի և գործակիցների հայտնաբերված արժեքներով: Լուծման ընթացքում յուրաքանչյուր քայլի գործողությունները համակցվում են գանգուր բրեկետներում՝ պարզության համար:

Հետևյալ օրինակը պարունակում է փակագծեր։ Հետևաբար, ցույց է տրվում, որ առաջին հաշվարկները կատարվում են փակագծերում տրված արտահայտությունների վրա։ Դրանցից հետո կատարվում են երկրորդ փուլի վիրահատությունները, որին հաջորդում է առաջինը։

Ստորև ներկայացնում ենք նշում, թե որ դեպքերում արտահայտություններ լուծելիս չի կարելի փակագծեր գրել։ Նշվում է, որ դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ փակագծերը վերացնելը չի փոխում գործողությունների հերթականությունը։ Օրինակ՝ փակագծերով (53-12)+14 արտահայտությունը, որը պարունակում է միայն առաջին փուլի գործողություններ։ 53-12+14-ը փակագծերի վերացումով վերաշարադրելով՝ կարող եք նկատել, որ արժեքի որոնման հերթականությունը չի փոխվի՝ նախ կատարվում է 53-12=41 հանումը, իսկ հետո՝ 41+14=55 գումարումը։ Ստորև նշվում է, որ դուք կարող եք փոխել գործողությունների հաջորդականությունը՝ օգտագործելով գործողությունների հատկությունները արտահայտության լուծումը:

Տեսադասի վերջում ուսումնասիրված նյութը ամփոփվում է այն եզրակացության մեջ, որ լուծում պահանջող յուրաքանչյուր արտահայտություն սահմանում է հաշվարկման հատուկ ծրագիր՝ բաղկացած հրամաններից։ Նման ծրագրի օրինակը ներկայացված է լուծման նկարագրության մեջ բարդ օրինակ, որը (814+36·27) և (101-2052:38) գործակիցն է։ Տրված ծրագիրը պարունակում է հետևյալ կետերը՝ 1) գտնել 36-ի արտադրյալը 27-ով, 2) գտնված գումարը ավելացնել 814-ին, 3) 2052 թիվը բաժանել 38-ի, 4) 101 թվից հանել 3 միավոր բաժանելու արդյունքը. 5) 2-րդ քայլի արդյունքը բաժանել 4-րդ կետի արդյունքի վրա.

Տեսադասի վերջում կա հարցերի ցանկ, որոնց պատասխանները հանձնարարվում է ուսանողներին: Դրանք ներառում են առաջին և երկրորդ փուլերի գործողությունները տարբերելու ունակությունը, նույն փուլի և տարբեր փուլերի գործողություններով արտահայտություններում գործողությունների կարգի վերաբերյալ հարցեր, արտահայտությունների մեջ փակագծերի առկայության դեպքում գործողությունների կարգի մասին:

«Գործողությունների կարգը» տեսադասը խորհուրդ է տրվում օգտագործել ավանդական դպրոցական դասին՝ դասի արդյունավետությունը բարձրացնելու համար։ Նաև տեսողական նյութը օգտակար կլինի հեռավար ուսուցման համար։ Եթե աշակերտին անհրաժեշտ է լրացուցիչ դաս՝ թեմայի յուրացման համար կամ ինքնուրույն է ուսումնասիրում այն, ապա տեսանյութը կարող է առաջարկվել անկախ ուսումնասիրության համար: