Գտեք հարթությունների երկու տարբեր ընդհանուր կետեր: Ինքնաթիռ տիեզերքում - անհրաժեշտ տեղեկատվություն

Հարց 7.

Տիեզերքում երկու հարթությունները կարող են լինել կամ միմյանց զուգահեռ, իսկ կոնկրետ դեպքում՝ միմյանց հետ համընկնող կամ հատվող: Փոխադարձ ուղղահայաց հարթությունները հատվող հարթությունների հատուկ դեպք են և կքննարկվեն ստորև:

զուգահեռ հարթություններ.Հարթությունները զուգահեռ են, եթե մի հարթության երկու հատվող ուղիղները համապատասխանաբար զուգահեռ են մեկ այլ հարթության երկու հատվող ուղիղներին: Տարբեր խնդիրներ լուծելիս հաճախ անհրաժեշտ է լինում β հարթություն գծել տրված A կետով, տվյալ հարթությանը զուգահեռ։

Նկ. 81 α հարթությունը տրված է երկու հատվող a և b ուղիղներով։ Ցանկալի β հարթությունը սահմանվում է a1 և b1 ուղիղներով, որոնք համապատասխանաբար զուգահեռ են a և b-ին և անցնում են A1 կետով:

Փոխհատվող հարթություններ.Երկու հարթությունների հատման գիծը ուղիղ գիծ է, որի կառուցման համար բավական է որոշել երկու հարթությունների համար ընդհանուր երկու կետ կամ մեկ կետ և հարթությունների հատման գծի ուղղությունը։

Նախքան երկու հարթությունների հատման գծի կառուցումը դիտարկելը, մենք կվերլուծենք մի կարևոր և օժանդակ խնդիր՝ կգտնենք գծի հատման Կ կետը ընդհանուր դիրքում ելնող հարթության հետ։

Թող, օրինակ, տրվի a ուղիղ գիծ և α հորիզոնական ելնող հարթություն (նկ. 82): Այնուհետև ցանկալի կետի K1 հորիզոնական պրոյեկցիան պետք է միաժամանակ ընկնի α հարթության հորիզոնական պրոյեկցիայի α1 և a ուղիղ գծի հորիզոնական պրոյեկցիայի վրա, այսինքն. ա1-ի հետ a1 հատման կետում (նկ. 83): Կ կետի ճակատային պրոյեկցիան K2 գտնվում է պրոյեկցիոն միացման գծի վրա և a2 ուղիղ գծի ճակատային պրոյեկցիայի վրա:

Իսկ հիմա վերլուծենք հատվող հարթությունների հատուկ դեպքերից մեկը, երբ դրանցից մեկը պրոյեկտում է։

Նկ. 84-ը ցույց է տալիս հարթությունը ընդհանուր դիրքում, որը տրված է ABC եռանկյունով, և հորիզոնական ելնող α հարթությունը: Գտնենք երկու ընդհանուր կետ այս երկու հարթությունների համար։ Ակնհայտորեն, ∆ABC և α հարթությունների այս ընդհանուր կետերը կլինեն ABC եռանկյան AB և BC կողմերի հատման կետերը ելնող α հարթության հետ: Նման D և E կետերի կառուցումը ինչպես տարածական գծագրի (նկ. 84), այնպես էլ գծապատկերի վրա (նկ. 85) դժվարություններ չի առաջացնում վերը քննարկված օրինակից հետո:

Միացնելով D և E կետերի համանուն պրոյեկցիաները՝ ստանում ենք ∆ ABC հարթության և α հարթության հատման ուղիղի պրոյեկցիաները։

Այսպիսով, տրված հարթությունների հատման գծի հորիզոնական պրոյեկցիան D1E1 համընկնում է ելնող հարթության α-ի հորիզոնական պրոյեկցիայի հետ՝ իր α1 հորիզոնական հետքով։

Այժմ դիտարկենք ընդհանուր դեպքը: Թող տարածության մեջ տրվեն α և β ընդհանուր դիրքի երկու հարթություններ (նկ. 86): Նրանց հատման գիծը կառուցելու համար անհրաժեշտ է, ինչպես նշվեց վերևում, երկու հարթությունների համար ընդհանուր երկու կետ գտնել:

Այս կետերը որոշելու համար տրված հարթությունները հատվում են երկու օժանդակ հարթություններով։ Որպես այդպիսի ինքնաթիռներ, առավել նպատակահարմար է վերցնել ելնող ինքնաթիռները և, մասնավորապես, հարթաչափերը։ Նկ. 86 առաջին օժանդակ մակարդակի γ հարթությունը հատում է այս հարթություններից յուրաքանչյուրը h և h1 հորիզոնականների երկայնքով, որոնք սահմանում են α և β հարթությունների համար ընդհանուր 1 կետը։ Այս կետը որոշվում է h2 և h3 հորիզոնականների հատմամբ, որի երկայնքով δ օժանդակ հարթությունը հատում է այս հարթություններից յուրաքանչյուրը։

Թող երկու ինքնաթիռ տրվի

Առաջին հարթությունն ունի նորմալ վեկտոր (A 1; B 1; C 1), երկրորդ հարթությունը (A 2; B 2; C 2):

Եթե ​​հարթությունները զուգահեռ են, ապա վեկտորները և համագիծ են, այսինքն. = l որոշ l թվի համար: Այսպիսով

─ հարթության զուգահեռության պայմանը.

Ինքնաթիռների համընկնման պայման.

,

քանի որ այս դեպքում երկրորդ հավասարումը բազմապատկելով l=-ով ստանում ենք առաջին հավասարումը։

Եթե ​​զուգահեռության պայմանը չի կատարվում, ապա հարթությունները հատվում են։ Մասնավորապես, եթե հարթությունները ուղղահայաց են, ապա վեկտորները նույնպես ուղղահայաց են։ Հետեւաբար, նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է 0-ի, այսինքն. = 0, կամ

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 \u003d 0:

Սա անհրաժեշտ և բավարար պայման է, որպեսզի հարթությունները լինեն ուղղահայաց։

Անկյուն երկու հարթությունների միջև:

Անկյուն երկու հարթությունների միջև

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

նրանց նորմալ վեկտորների և , այսպես

cosj = =
.

ուղիղ գիծ տարածության մեջ.

Ուղիղ գծի վեկտոր-պարամետրային հավասարում.

Սահմանում. Ուղղության վեկտորը ուղիղՑանկացած վեկտոր, որը ընկած է ուղիղի վրա կամ դրան զուգահեռ, կոչվում է:

Կազմե՛ք ուղիղ գծի հավասարումը, որն անցնում է M 0 կետով (x 0; y 0; z 0) և ունի ուղղության վեկտոր = (a 1; a 2; a 3):

Մի կողմ դրեք M 0 կետից վեկտորը . Թող M(x; y; z) լինի տրված ուղիղի կամայական կետ, և ─ նրա շառավիղ-վեկտորը М 0 կետի: Հետո , , Ահա թե ինչու . Այս հավասարումը կոչվում է Ուղիղ գծի վեկտոր-պարամետրային հավասարում.

Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ.

Ուղիղ գծի վեկտոր-պարամետրային հավասարման մեջ կանցնի կոորդինատային հարաբերություններին (x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t. Այստեղից մենք ստանում ենք Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ

x \u003d x 0 + a 1 տ,

y = y 0 + a 2 տ, (4)

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ.

(4) հավասարումներից մենք արտահայտում ենք t.

t =, t = , t = ,

որտեղ ենք մենք ստանում գծի կանոնական հավասարումներ

= = (5)

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Թող բերվի երկու միավոր M 1 (x 1; y 1; z 1) և M 2 (x 2; y 2; z 2): Որպես ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր, կարող եք վերցնել վեկտորը = (x 2 - x 1; y 2 ​​- y 1; z 2 - z 1): Քանի որ տողը անցնում է M 1 կետով (x 1; y 1; z 1), ապա դրա կանոնական հավասարումները (5)-ին համապատասխան կգրվեն ձևով.

(6)

Անկյուն երկու գծերի միջև:

Դիտարկենք երկու ուղիղ գծեր՝ ուղղության վեկտորներով = (a 1; a 2; a 3) և .

Գծերի միջև ընկած անկյունը հավասար է նրանց ուղղության վեկտորների միջև ընկած անկյունին, ուստի

cosj = =
(7)

Գծերի ուղղահայացության պայմանը.

ա 1-ը 1-ում + ա 2-ը 2-ում + ա 3-ը 3-ում = 0:

Զուգահեռ ուղիղների վիճակը.

լ,

. (8)

Գծերի փոխադարձ դասավորությունը տարածության մեջ.

Թող երկու տող տրվի
և
.

Ակնհայտ է, որ ուղիղները գտնվում են նույն հարթության վրա, եթե և միայն այն դեպքում, եթե վեկտորները , և համակողմանի, այսինքն.

= 0 (9)

Եթե ​​(9)-ում առաջին երկու շարքերը համաչափ են, ապա ուղիղները զուգահեռ են: Եթե ​​երեք տողերն էլ համաչափ են, ապա տողերը համընկնում են։ Եթե ​​(9) պայմանը բավարարված է, և առաջին երկու տողերը համաչափ չեն, ապա ուղիղները հատվում են։

Եթե
¹ 0, ապա գծերը թեքված են:

Խնդիրներ ուղիղ գծի և հարթության վրա տարածության մեջ:

Ուղիղ գիծը երկու հարթությունների հատումն է։

Թող երկու ինքնաթիռ տրվի

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

Եթե ​​ինքնաթիռները զուգահեռ չեն, ուրեմն պայմանը խախտված է

.

Եկեք, օրինակ, ¹.

Գտնենք այն ուղիղ գծի հավասարումը, որով հատվում են հարթությունները։

Որպես ցանկալի ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր, մենք կարող ենք վերցնել վեկտորը

= × = =
.

Ցանկալի գծին պատկանող կետ գտնելու համար մենք ամրագրում ենք որոշակի արժեք

z = z 0 և լուծել համակարգը

,

մենք ստանում ենք x \u003d x 0, y \u003d y 0 արժեքները: Այսպիսով, ցանկալի կետը M է (x 0; y 0; z 0):

Պահանջվող հավասարում

.

Ուղիղ գծի և հարթության փոխադարձ դասավորություն.

Թող տրված լինի x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t ուղիղ գիծը:

և ինքնաթիռ

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0:

Ուղղի և հարթության ընդհանուր կետեր գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել դրանց հավասարումների համակարգը

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0:

Եթե ​​A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, ապա համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում.

t = t 0 = -
.

Այս դեպքում ուղիղը և հարթությունը հատվում են մեկ կետում M 1 (x 1; y 1; z 1), որտեղ.

x 1 \u003d x 0 + a 1 t 0, y 1 \u003d y 0 + a 2 t 0, z 1 \u003d z 0 + a 3 t 0:

Եթե ​​A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, ապա ուղիղը և հարթությունը չունեն ընդհանուր կետեր. , այսինքն. զուգահեռ են։

Եթե ​​A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 \u003d 0, ապա գիծը պատկանում է հարթությանը:

Անկյուն ուղիղի և հարթության միջև:

Տիեզերքում երկու հարթություններ կարող են լինել կամ միմյանց զուգահեռ կամ հատվող:

Հարթությունները զուգահեռ են, եթե մի հարթության երկու հատվող ուղիղները համապատասխանաբար զուգահեռ են մեկ այլ հարթության երկու հատվող ուղիղներին:

Եռանկյունների կողմերի ընտրությունը կամայական է, քանի որ միայն կառուցման միջոցով կարելի է ճշգրիտ որոշել, թե որ եռանկյան կողմն է իրականում հատելու մյուսի հարթությունը: Օժանդակ հարթության ընտրությունը նույնպես կամայական է, քանի որ ընդհանուր դիրքում գտնվող գիծը, որը բոլոր կողմերն են ∆. ABCև ∆ DEF, կարող է պարփակվել հորիզոնական ելնող կամ ճակատային ելնող հարթության մեջ։

1. Կետ կառուցելու համար Մօգտագործվում է հորիզոնական ելնող օժանդակ հարթություն Ֆ (Ֆ ԱԲեռանկյուն ABC (ԱԲ Î Ֆ).

2. Կառուցում ենք օժանդակ հարթության հատման գիծը (գծագրում տրված է 1-ին և 2-րդ կետերով). Ֆ (Ֆ 2) եւ հարթությունը ∆ DEF.

Գտնվել է մեկ կետ Մցանկալի խաչմերուկ:

4. Կետ կառուցելու համար ՆՕգտագործված հորիզոնական նախագծման հարթություն Ռ (Ռ 2) որում ընդգրկված է կուսակցությունը ԷՖեռանկյուն DEF.

Շինարարությունը նման է նախորդներին.

5. Ինքնաթիռի վրա տարրերի տեսանելիության որոշում Պ 2-ը կատարվում է՝ օգտագործելով ճակատային մրցակցող 1=2 և 5=2 կետերը:

Կետ 5 (5О ԱԲ) գտնվում է առանցքից ավելի հեռու Xքան 1-ին կետը (1О Դ Ֆ.), այնպես որ ինքնաթիռում Պ 2 մասի եռանկյուն ABC, որը գտնվում է դեպի 1 կետը, ծածկում է եռանկյան մի մասը DEFգտնվում է հատման գծից դեպի 5 կետ.

«Get an A» տեսադասընթացը ներառում է մաթեմատիկայի քննությունը 60-65 միավորով հաջող հանձնելու համար անհրաժեշտ բոլոր թեմաները։ Ամբողջովին բոլոր առաջադրանքները 1-13 պրոֆիլի ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԵԼ մաթեմատիկայի մեջ: Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական USE-ն անցնելու համար: Եթե ​​ցանկանում եք քննությունը հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Քննությանը նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար. Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի քննության 1-ին մասը (առաջին 12 խնդիրները) և 13-րդ խնդիրը (եռանկյունաչափություն) լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական ​​քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ հարյուր բալանոց ուսանողը, ոչ հումանիստը առանց դրանց չեն կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Արագ լուծումներ, թակարդներ և քննության գաղտնիքներ. Վերլուծվել են FIPI-ի բանկի առաջադրանքների 1-ին մասի բոլոր համապատասխան առաջադրանքները: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է USE-2018-ի պահանջներին:

Դասընթացը պարունակում է 5 խոշոր թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր քննական առաջադրանքներ. Տեքստի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող խնդիրների լուծման ալգորիթմներ: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, բոլոր տեսակի USE առաջադրանքների վերլուծություն: Ստերեոմետրիա. Լուծելու խորամանկ հնարքներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, տարածական երևակայության զարգացում։ Եռանկյունաչափությունը զրոյից - մինչև առաջադրանք 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների տեսողական բացատրություն: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Քննության 2-րդ մասի բարդ խնդիրների լուծման հիմք.

Տիեզերքում երկու հարթությունները կարող են կամ փոխադարձ զուգահեռ լինել, կոնկրետ դեպքում միմյանց հետ համընկնել, կամ հատվել: Փոխադարձ ուղղահայաց հարթությունները հատվող հարթությունների հատուկ դեպք են։

1. Զուգահեռ հարթություններ.Հարթությունները զուգահեռ են, եթե մի հարթության երկու հատվող ուղիղները համապատասխանաբար զուգահեռ են մեկ այլ հարթության երկու հատվող ուղիղներին:

Այս սահմանումը լավ երևում է B կետի միջոցով երկու հատվող ab ուղիղներով տրված հարթությանը զուգահեռ հարթություն գծելու առաջադրանքով (նկ. 61):

Առաջադրանք. Տրված է՝ հարթություն ընդհանուր դիրքում, որը տրված է երկու հատվող ուղիղ ուղիղներով ab և B կետով:

B կետի միջով պահանջվում է գծել ab հարթությանը զուգահեռ հարթություն և սահմանել այն երկու հատվող c և d ուղիղներով:

Ըստ սահմանման, եթե մի հարթության երկու հատվող ուղիղները համապատասխանաբար զուգահեռ են մեկ այլ հարթության երկու հատվող ուղիղներին, ապա այդ հարթությունները զուգահեռ են միմյանց։

Դիագրամի վրա զուգահեռ գծեր գծելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել զուգահեռ պրոյեկցիայի հատկությունը՝ զուգահեռ գծերի պրոյեկցիաները զուգահեռ են միմյանց։

d//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3.

Նկար 61. Զուգահեռ հարթություններ

2. Հատվող հարթություններ,հատուկ դեպք՝ փոխադարձ ուղղահայաց հարթություններ: Երկու հարթությունների հատման գիծը ուղիղ գիծ է, որի կառուցման համար բավական է որոշել երկու հարթությունների համար ընդհանուր երկու կետերը կամ մեկ կետը և հարթությունների հատման գծի ուղղությունը։

Դիտարկենք երկու հարթությունների հատման գծի կառուցումը, երբ նրանցից մեկը դուրս է գալիս (նկ. 62):

Առաջադրանք. Տրված է. ընդհանուր դիրքի հարթությունը տրված է ABC եռանկյունով, իսկ երկրորդ հարթությունը հորիզոնական ցայտուն է a.

Պահանջվում է հարթությունների հատման գիծ կառուցել:

Խնդրի լուծումը այս հարթությունների համար ընդհանուր երկու կետ գտնելն է, որոնց միջով կարելի է ուղիղ գիծ գծել։ ABC եռանկյունով սահմանված հարթությունը կարող է ներկայացվել ուղիղ գծերով (AB), (AC), (BC): Ուղղի (AB) հատման կետը a հարթության հետ - կետ D, ուղիղ (AC) -F: Հատվածը սահմանում է հարթությունների հատման գիծը: Քանի որ a-ն հորիզոնական ելնող հարթություն է, D1F1 պրոյեկցիան համընկնում է aP1 հարթության հետքի հետ, ուստի մնում է միայն բացակայող պրոյեկցիաները կառուցել P2-ի և P3-ի վրա:

Նկար 62. Ընդհանուր դիրքի հարթության հատումը հորիզոնական ելնող հարթության հետ

Անցնենք ընդհանուր գործին. Թող տարածության մեջ տրվեն երկու ընդհանուր հարթություններ a(m,n) և b (ABC) (նկ.63):

Նկար 63. Ինքնաթիռների հատումը ընդհանուր դիրքում

Դիտարկենք a(m//n) և b(ABC) հարթությունների հատման գծի կառուցման հաջորդականությունը: Նախորդ խնդրին անալոգիայով այս հարթությունների հատման գիծը գտնելու համար գծում ենք g և d սեկանտային օժանդակ հարթությունները։ Գտնենք այս հարթությունների հատման գծերը դիտարկվող հարթությունների հետ։ Գ հարթությունը հատում է a հարթությունը ուղիղ գծով (12), իսկ b հարթությունը՝ ուղիղ գծով (34): K կետ - այս ուղիղների հատման կետը միաժամանակ պատկանում է երեք հարթությունների a, b և g, այսպիսով լինելով a և b հարթությունների հատման գծին պատկանող կետ: d հարթությունը հատում է a և b հարթությունները (56) և (7C) գծերով, համապատասխանաբար, դրանց հատման կետը M գտնվում է միաժամանակ երեք հարթություններում a, b, d և պատկանում է a և b հարթությունների հատման ուղիղ գծին։ Այսպիսով, հայտնաբերվել են a և b հարթությունների հատման գծին պատկանող երկու կետ՝ ուղիղ (KM):

Ինքնաթիռների հատման գիծը կառուցելիս կարելի է հասնել որոշակի պարզեցման, եթե օժանդակ հատվածային հարթությունները գծվեն հարթությունը սահմանող ուղիղ գծերի միջով:

Փոխադարձ ուղղահայաց հարթություններ.Ստերեոմետրիայից հայտնի է, որ երկու հարթությունները միմյանց ուղղահայաց են, եթե դրանցից մեկն անցնում է մյուսին ուղղահայաց։ A կետի միջոցով կարելի է գծել տրված a (f, h) հարթությանը ուղղահայաց հարթությունների բազմություն։ Այս հարթությունները տարածության մեջ կազմում են հարթությունների մի կապ, որի առանցքը A կետից դեպի a հարթությունն ընկած ուղղահայացն է։ A կետից երկու հատվող hf ուղիղներով տրված հարթությանը ուղղահայաց հարթություն գծելու համար անհրաժեշտ է A կետից hf հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գծել n (հորիզոնական պրոյեկցիան n ուղղահայաց է հորիզոնական պրոյեկցիայի վրա. հորիզոնական h, ճակատային պրոյեկցիան n ուղղահայաց է ճակատային f-ի ճակատային ելուստին): n ուղիղով անցնող ցանկացած հարթություն ուղղահայաց կլինի hf հարթությանը, հետևաբար, A կետերով հարթությունը դնելու համար մենք կամայական m ուղիղ ենք գծում: Երկու հատվող mn ուղիղներով տրված հարթությունը ուղղահայաց կլինի hf հարթությանը (նկ.64):

Նկար 64. Փոխադարձ ուղղահայաց հարթություններ