3, հաջորդականությունն ասում են, որ սահմանափակված է վերևում, եթե, օրինակ. Գործառույթի հայեցակարգ

Դաս և ներկայացում «Ֆունկցիայի հատկությունները. մեծացնող և նվազող ֆունկցիաներ» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ Ինտեգրալ առցանց խանութում 9-րդ դասարանի համար
Ինտերակտիվ դասագիրք 9-րդ դասարանի համար «Երկրաչափության կանոններ և վարժություններ»
Էլեկտրոնային դասագիրք «Հասկանալի երկրաչափություն» 7-9-րդ դասարանների համար

Տղերք, մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել թվային ֆունկցիաները։ Այսօր մենք կկենտրոնանանք այնպիսի թեմայի վրա, ինչպիսին է ֆունկցիայի հատկությունները: Ֆունկցիաները շատ հատկություններ ունեն. Հիշեք, թե ինչ հատկություններ ենք մենք վերջերս ուսումնասիրել: Ճիշտ է, սահմանման տիրույթը և արժեքների տիրույթը, դրանք հիմնական հատկություններից են: Երբեք մի մոռացեք դրանց մասին և հիշեք, որ ֆունկցիան միշտ ունի այս հատկությունները:

Այս բաժնում մենք կսահմանենք ֆունկցիաների որոշ հատկություններ: Ես խորհուրդ եմ տալիս հետևել այն հաջորդականությանը, որով մենք դրանք կորոշենք խնդիրները լուծելիս:

Գործառույթների ավելացում և նվազում

Առաջին հատկությունը, որը մենք կսահմանենք, աճող և նվազող ֆունկցիան է:

Ֆունկցիայի «մեծացում» և «նվազում» հասկացությունները շատ հեշտ է հասկանալ, եթե ուշադիր նայեք ֆունկցիայի գրաֆիկներին։ Աճող ֆունկցիայի համար՝ մենք կարծես բարձրանում ենք բլուր, իսկ նվազող ֆունկցիայի համար՝ համապատասխանաբար իջնում ​​ենք: Ընդհանուր տեսքաճող և նվազող ֆունկցիաները ներկայացված են ստորև ներկայացված գրաֆիկներում:

Աճող և նվազող ֆունկցիաները սովորաբար կոչվում են միապաղաղություն։Այսինքն՝ մեր խնդիրն է գտնել ֆունկցիայի նվազման և մեծացման միջակայքերը։ Ընդհանուր դեպքում սա ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝ գտնել միապաղաղության միջակայքերը կամ ուսումնասիրել միապաղաղության ֆունկցիան։

Ուսումնասիրեք $y=3x+2$ ֆունկցիայի միապաղաղությունը:
Լուծում. Եկեք ստուգենք ֆունկցիան ցանկացած x1 և x2 և թույլ տվեք x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Քանի որ, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Սահմանափակ գործառույթ

$y=f(x)$ ֆունկցիան ասում են, որ ներքևից սահմանափակված է X⊂D(f) բազմության վրա, եթե կա այնպիսի թիվ, որ ցանկացած хϵХ-ի համար գործում է f(x) անհավասարությունը:< a.

$y=f(x)$ ֆունկցիան ասում են, որ վերևից սահմանափակված է X⊂D(f) բազմության վրա, եթե կա այնպիսի թիվ, որ ցանկացած хϵХ-ի համար գործում է f(x) անհավասարությունը:< a.

Եթե ​​X միջակայքը նշված չէ, ապա ֆունկցիան համարվում է սահմանափակված ամբողջ սահմանման տիրույթում: Վերևից և ներքևից սահմանափակված ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակված:

Գործառույթի սահմանափակումը հեշտ է կարդալ գրաֆիկից: Հնարավոր է ինչ-որ ուղիղ գիծ քաշել
$у=а$, և եթե ֆունկցիան այս տողից բարձր է, ապա այն սահմանափակված է ներքևից։ Եթե ​​ներքևում, ապա համապատասխանաբար վերևում: Ստորև բերված է ստորև սահմանափակված ֆունկցիայի գրաֆիկը: Տղերք, փորձեք ինքներդ նկարել սահմանափակ ֆունկցիայի գրաֆիկ։

Ուսումնասիրեք $y=\sqrt(16-x^2)$ ֆունկցիայի սահմանափակությունը:
Լուծում. Որոշ թվի քառակուսի արմատը մեծ է կամից հավասար է զրոյի. Ակնհայտ է, որ մեր ֆունկցիան նույնպես մեծ է կամ հավասար է զրոյի, այսինքն՝ սահմանափակված է ներքևից։
Մենք կարող ենք միայն քառակուսի արմատը հանել ոչ բացասական թվից, այնուհետև $16-x^2≥0$:
Մեր անհավասարության լուծումը կլինի [-4;4] միջակայքը: Այս հատվածում $16-x^2≤16$ կամ $\sqrt(16-x^2)≤4$, բայց սա նշանակում է սահմանափակված վերևից:
Պատասխան․ մեր ֆունկցիան սահմանափակված է երկու ուղիղներով $y=0$ և $y=4$։

Ամենաբարձր և ամենացածր արժեքը

y= f(x) ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը X⊂D(f) բազմության վրա ինչ-որ m թիվ է, որ.

բ) Ցանկացած хϵХ-ի համար գործում է $f(x)≥f(x0)$:

y=f(x) ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը X⊂D(f) բազմության վրա որոշ m թիվ է, որ.
ա) Կա որոշ x0 այնպիսին, որ $f(x0)=m$:
բ) Ցանկացած хϵХ-ի համար գործում է $f(x)≤f(x0)$:

Ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները սովորաբար նշվում են y max-ով: և y անունը .

Սահմանափակություն և ֆունկցիայի ամենափոքր արժեք ունեցող ամենամեծ հասկացությունները սերտորեն կապված են: Հետևյալ պնդումները ճշմարիտ են.
ա) Եթե ֆունկցիայի համար կա նվազագույն արժեք, ապա այն սահմանափակված է ստորև:
բ) Եթե ֆունկցիայի համար կա առավելագույն արժեք, ապա այն սահմանափակված է վերևում:
գ) Եթե ֆունկցիան վերևում սահմանափակված չէ, ապա ամենամեծ արժեքը գոյություն չունի:
դ) Եթե ֆունկցիան ներքևում սահմանափակված չէ, ապա ամենափոքր արժեքը գոյություն չունի:

Գտե՛ք $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը։
Լուծում. $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
$х=4$ $f(4)=5$-ի համար, մնացած բոլոր արժեքների համար ֆունկցիան վերցնում է ավելի փոքր արժեքներ կամ գոյություն չունի, այսինքն՝ սա ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքն է։
Ըստ սահմանման՝ $9-4x^2+16x≥0$։ Գտնենք արմատները քառակուսի եռանկյուն$(2х+1)(2х-9)≥0$։ $x=-0.5$ և $x=4.5$ ֆունկցիան անհետանում է բոլոր մյուս կետերում այն ​​զրոյից մեծ է: Այնուհետև, ըստ սահմանման, ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը հավասար է զրոյի։
Պատասխան՝ y max. =5 և y անունը: =0.

Տղերք, մենք ուսումնասիրել ենք նաև ֆունկցիայի ուռուցիկության հասկացությունը։ Որոշ խնդիրներ լուծելիս մեզ կարող է անհրաժեշտ լինել այս գույքը։ Այս հատկությունը նույնպես հեշտությամբ որոշվում է գրաֆիկների միջոցով:

Ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքև, եթե սկզբնական ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած երկու կետ միացված է, և ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է կետերի միացման գծից ներքև:

Ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի վեր, եթե սկզբնական ֆունկցիայի գրաֆիկի երկու կետերը միացված են, և ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է կետերի միացման գծից վեր։

Ֆունկցիան շարունակական է, եթե մեր ֆունկցիայի գրաֆիկը չունի ընդմիջումներ, օրինակ, ինչպես վերը նշված ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի հատկությունները, ապա հատկությունների որոնման հաջորդականությունը հետևյալն է.
ա) սահմանման տիրույթ.
բ) Միապաղաղություն.
գ) սահմանափակում.
դ) ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը.
դ) շարունակականություն.
ե) Արժեքների միջակայք.

Գտե՛ք $y=-2x+5$ ֆունկցիայի հատկությունները։
Լուծում.
ա) սահմանման տիրույթ D(y)=(-∞;+∞).
բ) Միապաղաղություն. Եկեք ստուգենք ցանկացած արժեք x1 և x2 և թույլ տվեք x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$:
$f(x2)=-2x2+2$:
Քանի որ x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
գ) սահմանափակում. Ակնհայտ է, որ գործառույթը սահմանափակված չէ:
դ) ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը. Քանի որ ֆունկցիան անսահմանափակ է, չկա առավելագույն կամ նվազագույն արժեք:
դ) շարունակականություն. Մեր ֆունկցիայի գրաֆիկը ընդմիջումներ չունի, ապա ֆունկցիան շարունակական է։
ե) Արժեքների միջակայք. E(y)=(-∞;+∞):

Անկախ լուծման համար ֆունկցիայի հատկությունների խնդիրներ

Միալար ֆունկցիայի սահմանի թեորեմ. Թեորեմի ապացույցը տրվում է երկու մեթոդով. Տրված են նաև խիստ աճող, չնվազող, խիստ նվազող և չաճող ֆունկցիաների սահմանումներ։ Միապաղաղ ֆունկցիայի սահմանում.

Սահմանումներ

Աճող և նվազող ֆունկցիաների սահմանումներ
Թող ֆունկցիան f (x)որոշված ​​որոշ հավաքածուի վրա իրական թվեր X.
Ֆունկցիան կոչվում է խիստ աճող (խիստ նվազում), եթե բոլորի համար x′, x′′ ∈ Xայնպիսին, որ x′< x′′ выполняется неравенство:
զ (x′)< f(x′′) (զ (x′) > f(x′′) ) .
Ֆունկցիան կոչվում է չնվազող (չաճող), եթե բոլորի համար x′, x′′ ∈ Xայնպիսին, որ x′< x′′ выполняется неравенство:
զ (x′) ≤ f(x′′)(զ (x′) ≥ f(x′′) ) .

Դրանից բխում է, որ խիստ աճող ֆունկցիան նույնպես չի նվազում։ Խիստ նվազող ֆունկցիան նույնպես չաճող է։

Միապաղաղ ֆունկցիայի սահմանում
Ֆունկցիան կոչվում է միապաղաղ, եթե այն չի նվազում կամ չի աճում։

Որոշակի X բազմության վրա ֆունկցիայի միապաղաղությունն ուսումնասիրելու համար հարկավոր է գտնել դրա արժեքների տարբերությունը այս բազմությանը պատկանող երկու կամայական կետերում: Եթե ​​, ապա ֆունկցիան խիստ մեծանում է. եթե , ապա ֆունկցիան չի նվազում; եթե , ապա խստորեն նվազում է; եթե , ապա այն չի ավելանում։

Եթե ​​որոշակի բազմության վրա ֆունկցիան դրական է․ Եթե ​​, ապա ֆունկցիան խիստ մեծանում է. եթե , ապա ֆունկցիան չի նվազում; եթե , ապա խստորեն նվազում է; եթե , ապա այն չի ավելանում։

Թեորեմ
Թող ֆունկցիան f (x)միջակայքում չի նվազում (ա, բ), Որտեղ.
Եթե ​​այն վերևում սահմանափակված է M: թվով, ապա b: կետում կա վերջավոր ձախ սահման: (x)Եթե ​​զ
ի վերևից չի սահմանափակվում, ուրեմն . (x)Եթե ​​զ (x)ներքևում սահմանափակված է m թվով, ապա a կետում կա վերջավոր աջ սահման:

Եթե ​​զ
չի սահմանափակվում ստորև, ապա .

Եթե ​​a և b կետերը գտնվում են անվերջության վրա, ապա արտահայտություններում սահմանային նշանները նշանակում են, որ . (x)միջակայքում չի նվազում (ա, բ)Այս թեորեմը կարելի է ավելի կոմպակտ ձևակերպել։
;
.

Թող ֆունկցիան f

, Որտեղ. Այնուհետև a և b կետերում կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Նմանատիպ թեորեմ չաճող ֆունկցիայի համար։
Թող ֆունկցիան չմեծանա այն միջակայքում, որտեղ .
Այնուհետև կան միակողմանի սահմաններ.

Հետևանք

Թող ֆունկցիան լինի միապաղաղ միջակայքում:

Այնուհետև այս միջակայքից ցանկացած կետում կան ֆունկցիայի միակողմանի վերջավոր սահմաններ.

Եվ .

Թեորեմի ապացույց

.
;
.

Գործառույթը չի նվազում
բ - վերջնական համարը
Գործառույթը սահմանափակված է վերևից
;
;
.
1.1.1. Թող ֆունկցիան վերևից սահմանափակվի M թվով:
բ - վերջնական համարը

բ - վերջնական համարը
Քանի որ ֆունկցիան չի նվազում, ապա երբ .

Հետո

ժամը .
Փոխակերպենք վերջին անհավասարությունը.
Որովհետև, ուրեմն.
Հետո

.

բ - վերջնական համարը

«Ֆունկցիայի միակողմանի սահմանների սահմանումները վերջնակետում»):
բ - վերջնական համարը
Գործառույթը չի սահմանափակվում վերեւից

1. Թող ֆունկցիան չնվազի միջակայքում:

Եվ .

ժամը .
1.1. Թող b թիվը լինի վերջավոր.
Հետո

1.1.2. Թող ֆունկցիան վերևում սահմանափակված չլինի:
.
Փաստենք, որ այս դեպքում սահման կա։ Նշենք.:
;
Հետո ցանկացածի համար կա, այսպես
.

Սա նշանակում է, որ b կետում ձախ կողմի սահմանն է (տե՛ս «Ֆունկցիայի միակողմանի անսահման սահմանների սահմանումները վերջնակետում»):
բ - վերջնական համարը

b վաղ գումարած անսահմանություն
բ - վերջնական համարը
1.2.1. Թող ֆունկցիան վերևից սահմանափակվի M թվով:

Հետո

ժամը .
Քանի որ ֆունկցիան սահմանափակված է վերևում, կա վերջավոր գերակայություն
Ճշգրիտ վերին սահմանի սահմանման համաձայն.
Հետո

հետևյալ պայմանները
.

Քանի որ ֆունկցիան չի նվազում, ապա երբ .

Այնուհետև ժամը.
բ - վերջնական համարը
Այսպիսով, ցանկացածի համար կա մի թիվ, այնպես որ

Սա նշանակում է, որ սահմանը at հավասար է (տես «Միակողմանի անսահման սահմանների սահմանումները անսահմանության մեջ»):

Ֆունկցիան չի ավելանում

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ ֆունկցիան չի ավելանում։ Դուք կարող եք, ինչպես վերևում, յուրաքանչյուր տարբերակ դիտարկել առանձին: Բայց մենք անմիջապես կծածկենք դրանք: Դրա համար մենք օգտագործում ենք. Փաստենք, որ այս դեպքում սահման կա։
.
Դիտարկենք ֆունկցիայի արժեքների բազմության վերջավոր ինֆիմումը.
;
Այստեղ B-ն կարող է լինել կա՛մ վերջավոր թիվ, կա՛մ անվերջության կետ:
.
Ճշգրիտ ստորին սահմանի սահմանման համաձայն՝ բավարարվում են հետևյալ պայմանները.

B կետի ցանկացած հարևանության համար կա փաստարկ, որի համար
բ - վերջնական համարը
Ըստ թեորեմի պայմանների՝ .
բ - վերջնական համարը
Ահա թե ինչու.

Քանի որ ֆունկցիան չի մեծանում, ապա երբ .
բ - վերջնական համարը
Այդ ժամանակից ի վեր

Կամ

Հաջորդը, մենք նշում ենք, որ անհավասարությունը որոշում է b կետի ձախ ծակված հարևանությունը:

Այսպիսով, մենք գտանք, որ կետի ցանկացած հարևանության համար կա b կետի ձախ եզրագիծ, այնպես, որ

Սա նշանակում է, որ b կետում ձախ կողմի սահմանը հետևյալն է. -1 (տե՛ս ֆունկցիայի սահմանի համընդհանուր սահմանումը ըստ Քոշիի)։

Սահմանը ա կետում
.
Այժմ մենք ցույց կտանք, որ a կետում սահման կա և կգտնենք դրա արժեքը:
.

Դիտարկենք գործառույթը.
.

Ըստ թեորեմի պայմանների՝ ֆունկցիան միապաղաղ է .
(1) .
Եկեք x փոփոխականը փոխարինենք - x-ով (կամ կատարենք փոխարինում և հետո t փոփոխականը փոխարինենք x-ով): Այնուհետև ֆունկցիան միապաղաղ է .
.
Անհավասարությունները բազմապատկելով
բ - վերջնական համարը

և փոխելով դրանց հերթականությունը՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ ֆունկցիան միապաղաղ է .
բ - վերջնական համարը
Նմանապես հեշտ է ցույց տալ, որ եթե չի նվազում, ուրեմն չի ավելանում։ Հետո, ըստ վերը ապացուցվածի, սահման կա
բ - վերջնական համարը
Եթե ​​չի ավելանում, չի նվազում։ Այս դեպքում կա սահմանափակում
բ - վերջնական համարը

Այժմ մնում է ցույց տալ, որ եթե կա ֆունկցիայի սահմանը ժամը , ապա կա ֆունկցիայի սահմանը ժամը , և այս սահմանները հավասար են.
Ներկայացնենք նշումը.
Ներկայացնենք նշումը.
Ներկայացնենք նշումը.
բ - վերջնական համարը

Այսպիսով, մենք գտանք, որ ցանկացածի համար կա այդպիսին
բ - վերջնական համարը
Սա նշանակում է, որ
.

Թեորեմն ապացուցված է.

Մենք կանվանենք y=f(x) ֆունկցիան BOUNDED UPPER (BOTTOM) A բազմության վրա D(f) սահմանման տիրույթից, եթե այդպիսի թիվ կա: Մ , որ այս բազմությունից ցանկացած x-ի համար պայմանը բավարարված է

Օգտագործելով տրամաբանական նշաններ, սահմանումը կարելի է գրել այսպես.

f(x) – սահմանափակված վերևում նկարահանման հրապարակում

(f(x) – սահմանափակված ներքեւից նկարահանման հրապարակում

Հաշվի են առնվում նաև մոդուլով սահմանափակված կամ պարզապես սահմանափակ գործառույթները:

Սահմանման տիրույթից A բազմության վրա BOUNDED ֆունկցիան կանվանենք, եթե կա M դրական թիվ, որ

Տրամաբանական խորհրդանիշների լեզվով

f(x) – սահմանափակված է հավաքածուի վրա

Այն ֆունկցիան, որը սահմանափակված չէ, կոչվում է անսահմանափակ: Մենք գիտենք, որ ժխտման միջոցով տրված սահմանումները քիչ բովանդակություն ունեն: Այս հայտարարությունը որպես սահմանում ձևակերպելու համար մենք օգտագործում ենք քանակական գործողությունների հատկությունները (3.6) և (3.7): Այնուհետև տրամաբանական նշանների լեզվով ֆունկցիայի սահմանափակությունը ժխտելը կտա.

f(x) – սահմանափակված է հավաքածուի վրա

Ստացված արդյունքը թույլ է տալիս ձևակերպել հետևյալ սահմանումը.

Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթին պատկանող A բազմության վրա ֆունկցիան կոչվում է ԱՆՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿ, եթե այս բազմության վրա ցանկացած դրական M թվի համար կա x արգումենտի նման արժեքը: , որ արժեքը դեռ կգերազանցի M-ի արժեքը, այսինքն.

Որպես օրինակ, դիտարկեք գործառույթը

Այն սահմանված է ամբողջ իրական առանցքի վրա։ Եթե ​​վերցնենք [–2;1] հատվածը (Ա ​​բազմություն), ապա դրա վրա այն սահմանափակված կլինի և՛ վերևում, և՛ ներքևում։

Իսկապես, ցույց տալու համար, որ այն սահմանափակված է ի վերևից, մենք պետք է հաշվի առնենք պրեդիկատը

և ցույց տվեք, որ կա (կա) այնպիսի M, որ բոլոր x-ի համար, որոնք վերցված են [–2;1] միջակայքում, դա ճիշտ կլինի

Նման Մ գտնելը դժվար չէ։ Կարող ենք ենթադրել M = 7, գոյության քանակականը ներառում է M-ի առնվազն մեկ արժեք գտնելը: Նման M-ի առկայությունը հաստատում է այն փաստը, որ ֆունկցիան [–2;1] միջակայքում սահմանափակված է վերևից:

Ապացուցելու համար, որ այն սահմանափակված է ներքևից, մենք պետք է հաշվի առնենք պրեդիկատը

M-ի արժեքը, որն ապահովում է տվյալ պրեդիկատի ճշմարտացիությունը, օրինակ, M = –100 է:

Կարելի է ապացուցել, որ ֆունկցիան նույնպես սահմանափակվելու է մոդուլով. [–2;1] հատվածից բոլոր x-երի համար ֆունկցիայի արժեքները համընկնում են ի արժեքների հետ, այնպես որ որպես M կարող ենք վերցնել, օրինակ, նախորդ արժեքը M = 7:

Ցույց տանք, որ նույն ֆունկցիան, բայց միջակայքում, կլինի անսահմանափակ, այսինքն

Ցույց տալու համար, որ այդպիսի x գոյություն ունի, հաշվի առեք հայտարարությունը

Փաստարկի դրական արժեքների մեջ որոնելով x-ի պահանջվող արժեքները՝ մենք ստանում ենք

Սա նշանակում է, որ անկախ նրանից, թե ինչ դրական M մենք վերցնենք, x-ի արժեքներն ապահովում են անհավասարության կատարումը.

ստացվում են հարաբերությունից։

Ամբողջ իրական առանցքի վրա ֆունկցիան դիտարկելով՝ կարելի է ցույց տալ, որ այն բացարձակ արժեքով անսահմանափակ է։

Իսկապես, անհավասարությունից

Այսինքն՝ որքան էլ մեծ լինի դրական M-ը կամ կապահովի անհավասարության կատարումը։

Ծայրահեղ ՖՈՒՆԿՑԻԱ.

Ֆունկցիան ունի կետում Հետ տեղական առավելագույնը (նվազագույնը), եթե կա այս կետի այնպիսի հարևանություն, որ համար x¹ Հետ այս հարևանությամբ անհավասարությունը պահպանվում է

մանավանդ, որ ծայրահեղ կետը կարող է լինել միայն միջակայքի ներքին կետ, և դրա վրա f(x) պետք է անպայմանորեն սահմանվի: Ծայրահեղության բացակայության հնարավոր դեպքերը ներկայացված են Նկ. 8.8.

Եթե ​​ֆունկցիան որոշակի ինտերվալում մեծանում է (նվազում) և որոշակի ընդմիջումով փոքրանում (աճում), ապա կետը. Հետ տեղական առավելագույն (նվազագույն) կետ է:

f(x) ֆունկցիայի առավելագույն բացակայություն կետում Հետ կարելի է ձևակերպել այսպես.

_______________________

f(x)-ն ունի առավելագույնը c կետում

Սա նշանակում է, որ եթե c կետը տեղական առավելագույն կետ չէ, ապա ինչպիսին էլ լինի այն հարևանությունը, որը ներառում է c կետը որպես ներքին, կլինի առնվազն մեկ x արժեք, որը հավասար չէ c-ին, որի համար . Այսպիսով, եթե c կետում չկա առավելագույն, ապա այս կետում կարող է ընդհանրապես բացակայել էքստրեմումը, կամ կարող է լինել նվազագույն կետ (նկ. 8.9):

Ծայրահեղության հայեցակարգը տալիս է ցանկացած կետում ֆունկցիայի արժեքի համեմատական ​​գնահատում մոտակա գործառույթների նկատմամբ: Գործառույթների արժեքների նմանատիպ համեմատություն կարող է իրականացվել որոշակի ընդմիջման բոլոր կետերի համար:

Բազմության վրա ֆունկցիայի ՄԱՔՍԻՄՈՒՄ (ԱՄԵՆԱՓՈՔՐ) արժեքը նրա արժեքն է այս բազմությունից այնպիսի կետում, որ – ժամը . Ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը ձեռք է բերվում հատվածի ներքին կետում, իսկ ամենափոքրը – նրա ձախ ծայրում:

Ինտերվալի վրա նշված ֆունկցիայի ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը որոշելու համար անհրաժեշտ է ընտրել ամենամեծ (ամենափոքր) թիվը դրա առավելագույն արժեքների (նվազագույնների), ինչպես նաև ընդունված արժեքների մեջ։ ընդմիջման ծայրերում: Սա կլինի ֆունկցիայի ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը: Այս կանոնը կհստակեցվի ավելի ուշ:

Բաց ինտերվալում ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու խնդիրը միշտ չէ, որ հեշտ է լուծել: Օրինակ՝ ֆունկցիան

միջակայքում (նկ. 8.11) չունի դրանք։

Եկեք համոզվենք, որ, օրինակ, այս ֆունկցիան ամենամեծ նշանակությունը չունի։ Փաստորեն, հաշվի առնելով ֆունկցիայի միապաղաղությունը, կարելի է պնդել, որ անկախ նրանից, թե որքան մոտ ենք x-ի արժեքները միասնության ձախ կողմում, կլինեն այլ x, որոնցում ֆունկցիայի արժեքները կլինեն. լինի ավելի մեծ, քան իր արժեքները վերցված ֆիքսված կետերում, բայց դեռ մեկից պակաս:

Գործառույթի հայեցակարգը. Սահմանափակ հնարավորություններ.

Ֆունկցիայի սահմանում. Եթե D թվերի բազմությունից յուրաքանչյուր x թիվը կապված է եզակի y, ապա ասում են, որ D բազմության վրա տրված է f ֆունկցիա և գրում են y= f(x), որտեղ x-ը կոչվում է այս ֆունկցիայի անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ D բազմությունը այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթն է։

Սահմանափակ և անսահմանափակ գործառույթներ:Ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակ, եթե կա նման դրական թիվ Մինչ | զ(x) | Մբոլոր արժեքների համար x.Եթե ​​նման թիվ գոյություն չունի, ապա ֆունկցիան է անսահմանափակ.

ՕՐԻՆՆԵՐ.

Զույգ, կենտ, միապաղաղ ֆունկցիաներ:

Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ:Եթե ​​համար ցանկացած xֆունկցիայի սահմանման տիրույթից գործում է հետևյալը. զ(- x) = զ (x), այնուհետև կանչվում է ֆունկցիան նույնիսկ; եթե դա տեղի ունենա. զ(- x) = - զ (x), այնուհետև կանչվում է ֆունկցիան տարօրինակ. Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկ սիմետրիկ Y առանցքի նկատմամբ(նկ. 5), կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկ սիմետրիկ մոտ ծագում(նկ. 6):

Միապաղաղ ֆունկցիա.Եթե ​​փաստարկի ցանկացած երկու արժեքի համար x 1 և x 2 պայման x 2 >x 1 հետևում է զ(x 2 ) >զ(x 1), ապա ֆունկցիան զ(x) կանչեց աճող; եթե որևէ մեկի համար x 1 և x 2 պայման x 2 >x 1 հետևում է զ(x 2 ) <զ(x 1 ), ապա ֆունկցիան զ(x) կոչվում է նվազում է. Այն ֆունկցիան, որը միայն մեծանում կամ նվազում է, կոչվում է միապաղաղ.

3. Թվերի հաջորդականություններ. Սահմանում և օրինակներ.

Մենք կասենք, որ փոփոխականը xԿա պատվիրված փոփոխական, եթե հայտնի է նրա փոփոխության տարածքը, և դրա արժեքներից յուրաքանչյուրի համար կարելի է ասել, թե որն է նախորդը և որը հաջորդը։ Պատվիրված փոփոխական քանակի հատուկ դեպքը փոփոխական մեծությունն է, որի արժեքները ձևավորվում են թվերի հաջորդականություն x 1, x 2,…,x n,…Նման արժեքների համար ժամը ես< j, i, j Î N , իմաստ x iհամարվում է նախորդող, և x j– հետագա՝ անկախ նրանից, թե այս արժեքներից որն է ավելի մեծ: Այսպիսով, թվերի հաջորդականությունը փոփոխական է, որի հաջորդական արժեքները կարող են վերահամարակալվել: Թվային հաջորդականությունը կնշանակենք . Հերթականության առանձին թվերը կոչվում են իր տարրեր.

Օրինակ, թվային հաջորդականությունը ձևավորվում է հետևյալ մեծություններով.

3. , որտեղ ա, դ- հաստատուն թվեր.

Թվերի հաջորդականության սահմանը.

Համար ականչեց սահմանափակումհաջորդականություններ x = {x n), եթե կամայական կանխորոշված ​​կամայականորեն փոքր դրական թվի համար կա այդպիսին բնական թիվ Նոր բոլորի աչքի առաջ n>Nանհավասարությունը |x n - a|< ε.

Եթե ​​համարը ակա հաջորդականության սահմանափակում x = {x n), հետո ասում են x nձգտում է ա, և գրիր.

Այս սահմանումը երկրաչափական առումով ձևակերպելու համար ներկայացնում ենք հետևյալ հասկացությունը. x 0 կետի հարևանությունկոչվում է կամայական միջակայք ( ա, բ), իր ներսում պարունակող այս կետը: Հաճախ դիտարկվում է կետի հարևանությունը x 0, որի համար x 0միջինն է, ուրեմն x 0կանչեց կենտրոնհարևանությունը և արժեքը ( բ–ա)/2 – շառավիղըթաղամաս.

Այսպիսով, եկեք պարզենք, թե ինչ է նշանակում թվերի հաջորդականության սահմանի հասկացությունը երկրաչափորեն: Դա անելու համար սահմանումից վերջին անհավասարությունը գրում ենք This անհավասարություն ձևով նշանակում է, որ թվերով հաջորդականության բոլոր տարրերը. n>Nպետք է ընկած լինի միջակայքում (a – ε; a + ε):

Հետեւաբար, հաստատուն թիվ աթվերի հաջորդականության սահմանափակում կա ( x n), եթե որևէ փոքր թաղամասի համար, որը կենտրոնացած է կետում աշառավիղ ε (ε կետի հարևանությունն է ա) թվով հաջորդականության այսպիսի տարր կա Նոր բոլոր հաջորդ տարրերը համարակալված են n>Nգտնվելու է այս մերձակայքում:

Օրինակներ.

1. Թող փոփոխականը լինի xհաջորդաբար ընդունում է արժեքները

Ապացուցենք, որ այս թվային հաջորդականության սահմանը հավասար է 1-ի։ Վերցնենք կամայական դրական թիվ ε։ Պետք է գտնել այսպիսի բնական թիվ Նոր բոլորի աչքի առաջ n>Nանհավասարությունը պահպանում է | x n - 1| < ε. Действительно, т.к.

ապա բավարարել |x n - a| կապը< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве Նցանկացած բնական թիվ, որը բավարարում է անհավասարությունը, մենք ստանում ենք այն, ինչ մեզ անհրաժեշտ է: Այսպիսով, եթե վերցնենք, օրինակ, ապա, դնելով N= 6, բոլորի համար n>6 մենք կունենանք.

2. Օգտագործելով թվային հաջորդականության սահմանի սահմանումը, ապացուցիր, որ .

Վերցնենք կամայական ε > 0: Դիտարկենք Հետո , եթե կամ , i.e. . Հետեւաբար, մենք ընտրում ենք ցանկացած բնական թիվ, որը բավարարում է անհավասարությունը։

Օրինակներ.

3. Դիտարկենք. ժամը x→1կոտորակի համարիչը հակված է 1-ի, իսկ հայտարարը՝ 0-ի։ Բայց քանի որ, ի. ժամը անվերջ փոքր ֆունկցիա է x→ 1, ապա

Թեորեմ 4.Թող տրվի երեք գործառույթ f(x), u(x)Եվ v(x), բավարարելով անհավասարությունները u (x)≤f(x)≤ v(x). Եթե ​​գործառույթները u(x)Եվ v(x)ունեն նույն սահմանը ժամը x→a(կամ x→∞), ապա ֆունկցիան f(x)ձգտում է նույն սահմանին, այսինքն. Եթե

Թեորեմ 5.Եթե ​​ժամը x→a(կամ x→∞) գործառույթ y=f(x)ընդունում է ոչ բացասական արժեքներ y≥0և միևնույն ժամանակ ձգտում է սահմանին բ, ապա այս սահմանը չի կարող բացասական լինել. b≥0.

Ապացույց. Մենք կիրականացնենք ապացուցումը հակասությամբ։ Ենթադրենք, որ բ<0 , Հետո |յ – բ|≥|բ|և, հետևաբար, տարբերության մոդուլը չի ​​ձգտում զրոյի, երբ x→a. Բայց հետո yչի հասնում սահմանին բժամը x→a, որը հակասում է թեորեմի պայմաններին։

Թեորեմ 6.Եթե ​​երկու գործառույթ f(x)Եվ g(x)փաստարկի բոլոր արժեքների համար xբավարարել անհավասարությունը f(x)≥ g(x)և ունեն սահմաններ, ապա անհավասարությունը պահպանվում է b≥c.

Ապացույց.Ըստ թեորեմի պայմանների f(x)-g(x) ≥0, հետևաբար, թեորեմ 5-ով կամ .

6. Անորոշության բացահայտում (0/0), ∞ -∞

Ի.Անորոշություն.

Համարիչը գործոնավորելիս օգտագործեցինք բազմանդամը բազմանդամի վրա «անկյունով» բաժանելու կանոնը։ Քանի որ համարը x=1 բազմանդամի արմատն է x 3 – 6x 2 + 11x– 6, ապա բաժանելիս ստանում ենք

7. Հերթականության սահմանափակում . Բնական լոգարիթմի հայեցակարգը.

ԵՐԿՐՈՐԴ ՈՒՇԱԴՐԱԿԱՆ ՍԱՀՄԱՆԸ

Օրինակներ.

Լոգարիթմից հիմք ե (ե- կոչվում է տրանսցենդենտալ թիվ, որը մոտավորապես հավասար է 2,718281828...): բնական լոգարիթմ. Թվի բնական լոգարիթմ xնշվում է ln x. Բնական լոգարիթմները լայնորեն կիրառվում են մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և ինժեներական հաշվարկների մեջ։

Լոգարիթմները լայնորեն կիրառվում են

հիմք, որը կոչվում է բնական: Բնական լոգարիթմները նշվում են խորհրդանիշով

Ֆունկցիայի սահմանի հայեցակարգը.

Ֆունկցիայի շարունակականության հասկացությունն ուղղակիորեն կապված է ֆունկցիայի սահման հասկացության հետ։

A թիվը կոչվում է f ֆունկցիայի սահման a կետում, E բազմության սահման, եթե A կետի V(A) ցանկացած հարևանության համար գոյություն ունի a կետի ծակված հարևանություն, որի պատկերը տակ է. f-ի քարտեզագրումը A կետի V(A) տրված հարևանության ենթաբազմությունն է։

F ֆունկցիայի սահմանը a կետում, E բազմության սահմանը, նշվում է հետևյալ կերպ. կամ, եթե E բազմության հիշատակումը կարելի է բաց թողնել:

Քանի որ յուրաքանչյուր հարևանություն կարող է կապված լինել իր կանոնավոր (սիմետրիկ) հարևանության հետ, սահմանի սահմանումը կարող է ձևակերպվել -δ լեզվով, ինչպես ընդունված է մաթեմատիկական վերլուծության մեջ.

Գործառույթի սահմանը f կետում a կետում, E բազմության սահմանը անմիջականորեն կապված է հաջորդականության սահմանի հետ։

Մենք կդիտարկենք E բազմության կետերի բոլոր հնարավոր հաջորդականությունները, որոնք ունեն a կետը որպես իրենց սահման, և ֆունկցիայի արժեքների համապատասխան հաջորդականությունները հաջորդականության կետերում: Եթե ​​a կետում f ֆունկցիայի սահման կա, ապա այս սահմանը կլինի յուրաքանչյուր հաջորդականության սահմանը:

Ճիշտ է նաև հակառակը. եթե բոլոր հաջորդականությունները միանում են նույն արժեքին, ապա ֆունկցիան ունի այդ արժեքին հավասար սահման:

ԱՌԱՋԻՆ ՈՒՇԱԴՐԱԿԱՆ ՍԱՀՄԱՆԸ

Գործառույթը սահմանված չէ, երբ x=0, քանի որ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը դառնում են զրո: Ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է նկարում։

Այնուամենայնիվ, հնարավոր է գտնել այս ֆունկցիայի սահմանը ժամը X→0.

Եկեք գրավոր բանաձևի ապացույց բերենք. Դիտարկենք 1 շառավղով շրջան և ենթադրենք, որ α անկյունը, որը արտահայտված է ռադիաններով, գտնվում է 0-ի սահմաններում։< α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α >0.) Նկարից պարզ է դառնում, որ

SΔOAC .