Parameter mechanischer Wellen. Zusammenfassung der Lektion „Mechanische Wellen und ihre Haupteigenschaften“

DEFINITION

Längswelle- Dies ist eine Welle, bei deren Ausbreitung die Verschiebung der Partikel des Mediums in Richtung der Wellenausbreitung erfolgt (Abb. 1, a).

Die Ursache für das Auftreten einer Longitudinalwelle ist Kompression/Dehnung, d.h. der Widerstand eines Mediums gegenüber einer Volumenänderung. In Flüssigkeiten oder Gasen geht eine solche Verformung mit einer Verdünnung oder Verdichtung der Partikel des Mediums einher. Longitudinalwellen können sich in allen Medien ausbreiten – fest, flüssig und gasförmig.

Beispiele für Longitudinalwellen sind Wellen in einem elastischen Stab oder Schallwellen in Gasen.

Transversalwellen

DEFINITION

Transversalwelle- Dies ist eine Welle, bei deren Ausbreitung die Verschiebung der Partikel des Mediums in Richtung senkrecht zur Ausbreitung der Welle erfolgt (Abb. 1b).

Die Ursache einer Transversalwelle ist die Scherverformung einer Schicht des Mediums relativ zu einer anderen. Wenn sich eine Transversalwelle in einem Medium ausbreitet, bilden sich Grate und Wellentäler. Flüssigkeiten und Gase besitzen im Gegensatz zu Feststoffen keine Elastizität gegenüber Schichtschub, d. h. Widerstehen Sie der Formänderung nicht. Deshalb Transversalwellen kann sich nur in Festkörpern ausbreiten.

Beispiele für Transversalwellen sind Wellen, die sich entlang eines gespannten Seils oder einer Schnur ausbreiten.

Wellen auf der Oberfläche einer Flüssigkeit verlaufen weder longitudinal noch transversal. Wenn Sie einen Schwimmkörper auf die Wasseroberfläche werfen, können Sie sehen, dass er sich kreisförmig bewegt und auf den Wellen schwankt. Somit hat eine Welle auf einer Flüssigkeitsoberfläche sowohl Quer- als auch Längskomponenten. Auch auf der Oberfläche einer Flüssigkeit können sich Wellen bilden. spezieller Typ- sogenannt Oberflächenwellen. Sie entstehen durch die Wirkung und Kraft der Oberflächenspannung.

Beispiele für Problemlösungen

BEISPIEL 1

1. Mechanische Wellen, Wellenfrequenz. Longitudinal- und Transversalwellen.

2. Wellenfront. Geschwindigkeit und Wellenlänge.

3. Gleichung einer ebenen Welle.

4. Energieeigenschaften der Welle.

5. Einige besondere Wellenarten.

6. Doppler-Effekt und seine Verwendung in der Medizin.

7. Anisotropie bei der Ausbreitung von Oberflächenwellen. Wirkung von Stoßwellen auf biologisches Gewebe.

8. Grundkonzepte und Formeln.

9. Aufgaben.

2.1. Mechanische Wellen, Wellenfrequenz. Longitudinal- und Transversalwellen

Wenn an einer beliebigen Stelle eines elastischen Mediums (fest, flüssig oder gasförmig) Schwingungen seiner Teilchen angeregt werden, dann beginnt sich diese Schwingung aufgrund der Wechselwirkung zwischen Teilchen im Medium mit einer bestimmten Geschwindigkeit von Teilchen zu Teilchen auszubreiten v.

Befindet sich beispielsweise ein oszillierender Körper in einem flüssigen oder gasförmigen Medium, so wird die oszillierende Bewegung des Körpers auf die ihm benachbarten Partikel des Mediums übertragen. Sie wiederum versetzen benachbarte Teilchen in oszillierende Bewegungen und so weiter. In diesem Fall schwingen alle Punkte des Mediums mit der gleichen Frequenz, die der Schwingungsfrequenz des Körpers entspricht. Diese Frequenz wird aufgerufen Wellenfrequenz.

Welle ist der Prozess der Ausbreitung mechanischer Schwingungen in einem elastischen Medium.

Wellenfrequenz nennt man die Schwingungsfrequenz der Punkte des Mediums, in denen sich die Welle ausbreitet.

Die Welle ist mit der Übertragung von Schwingungsenergie von der Schwingungsquelle auf die peripheren Teile des Mediums verbunden. Gleichzeitig gibt es in der Umgebung

periodische Verformungen, die von einer Welle von einem Punkt des Mediums zum anderen getragen werden. Die Teilchen des Mediums selbst bewegen sich nicht mit der Welle, sondern schwingen um ihre Gleichgewichtslagen. Daher geht die Ausbreitung der Welle nicht mit der Übertragung von Materie einher.

nach Häufigkeit mechanische Wellen sind in verschiedene Bereiche unterteilt, die in der Tabelle angegeben sind. 2.1.

Tabelle 2.1. Skala mechanischer Wellen

Abhängig von der Richtung der Teilchenschwingungen im Verhältnis zur Wellenausbreitungsrichtung werden Longitudinal- und Transversalwellen unterschieden.

Longitudinalwellen- Wellen, bei deren Ausbreitung die Teilchen des Mediums entlang derselben Geraden schwingen, entlang derer sich die Welle ausbreitet. Dabei wechseln sich im Medium die Bereiche der Verdichtung und Verdünnung ab.

Es können longitudinale mechanische Wellen auftreten insgesamt Medien (fest, flüssig und gasförmig).

Transversalwellen- Wellen, bei deren Ausbreitung Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen. Dabei kommt es zu periodischen Scherverformungen im Medium.

In Flüssigkeiten und Gasen entstehen elastische Kräfte nur bei Kompression und nicht bei Scherung, sodass sich in diesen Medien keine Transversalwellen ausbilden. Die Ausnahme bilden Wellen auf der Oberfläche einer Flüssigkeit.

2.2. Wellenfront. Geschwindigkeit und Wellenlänge

In der Natur gibt es keine Prozesse, die sich mit unendlich hoher Geschwindigkeit ausbreiten. Daher wird eine durch einen äußeren Einfluss an einem Punkt der Umgebung verursachte Störung nicht sofort, sondern nach einiger Zeit einen anderen Punkt erreichen. In diesem Fall wird das Medium in zwei Bereiche unterteilt: den Bereich, dessen Punkte bereits an der Schwingungsbewegung beteiligt sind, und den Bereich, dessen Punkte sich noch im Gleichgewicht befinden. Die Fläche, die diese Bereiche trennt, wird genannt Wellenfront.

Wellenfront - der Ort der Punkte, an denen die Schwingung (Störung des Mediums) einen bestimmten Zeitpunkt erreicht hat.

Wenn sich eine Welle ausbreitet, bewegt sich ihre Front mit einer bestimmten Geschwindigkeit, die man Wellengeschwindigkeit nennt.

Wellengeschwindigkeit (v) ist die Bewegungsgeschwindigkeit ihrer Front.

Die Geschwindigkeit einer Welle hängt von den Eigenschaften des Mediums und der Art der Welle ab: Transversal- und Longitudinalwellen breiten sich in einem Festkörper mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aus.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit aller Wellentypen wird unter der Bedingung einer schwachen Wellendämpfung durch den folgenden Ausdruck bestimmt:

Dabei ist G der effektive Elastizitätsmodul und ρ die Dichte des Mediums.

Die Geschwindigkeit einer Welle in einem Medium darf nicht mit der Geschwindigkeit der am Wellenprozess beteiligten Teilchen des Mediums verwechselt werden. Wenn sich beispielsweise eine Schallwelle in Luft ausbreitet, beträgt die durchschnittliche Schwingungsgeschwindigkeit ihrer Moleküle etwa 10 cm/s und die Geschwindigkeit einer Schallwelle bei normale Bedingungen etwa 330 m/s.

Die Wellenfrontform bestimmt den geometrischen Typ der Welle. Die einfachsten Wellentypen auf dieser Basis sind Wohnung Und sphärisch.

Wohnung Als Welle bezeichnet man eine Welle, deren Vorderseite eine Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ist.

Ebene Wellen entstehen beispielsweise in einem geschlossenen Kolbenzylinder mit Gas, wenn der Kolben schwingt.

Die Amplitude der ebenen Welle bleibt praktisch unverändert. Ihre leichte Abnahme mit der Entfernung von der Wellenquelle hängt mit der Viskosität des flüssigen oder gasförmigen Mediums zusammen.

sphärisch bezeichnet man eine Welle, deren Vorderseite die Form einer Kugel hat.

Dies ist beispielsweise eine Welle, die in einem flüssigen oder gasförmigen Medium durch eine pulsierende kugelförmige Quelle verursacht wird.

Die Amplitude einer Kugelwelle nimmt mit der Entfernung von der Quelle umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ab.

Um eine Reihe von Wellenphänomenen wie Interferenz und Beugung zu beschreiben, verwenden Sie eine spezielle Eigenschaft, die Wellenlänge genannt wird.

Wellenlänge nennt man die Distanz, über die sich seine Front in einer Zeit bewegt, die der Schwingungsperiode der Teilchen des Mediums entspricht:

Hier v- Wellengeschwindigkeit, T - Schwingungsperiode, ν - Schwingungsfrequenz mittlerer Punkte, ω - zyklische Frequenz.

Da die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung von den Eigenschaften des Mediums, der Wellenlänge, abhängt λ Beim Übergang von einem Medium zum anderen ändert sich gleichzeitig die Frequenz ν bleibt gleich.

Diese Definition der Wellenlänge hat eine wichtige geometrische Interpretation. Betrachten Sie Abb. 2.1a, die die Verschiebungen der Punkte des Mediums zu einem bestimmten Zeitpunkt zeigt. Die Position der Wellenfront wird durch die Punkte A und B markiert.

Nach einer Zeit T, die einer Schwingungsperiode entspricht, wird sich die Wellenfront bewegen. Seine Positionen sind in Abb. dargestellt. 2.1, b Punkte A 1 und B 1. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Wellenlänge λ ist gleich dem Abstand zwischen benachbarten Punkten, die in derselben Phase schwingen, beispielsweise dem Abstand zwischen zwei benachbarten Maxima oder Minima der Störung.

Reis. 2.1. Geometrische Interpretation der Wellenlänge

2.3. Ebene Wellengleichung

Die Welle entsteht durch periodische äußere Einflüsse auf das Medium. Betrachten Sie die Verteilung Wohnung Welle, die durch harmonische Schwingungen der Quelle erzeugt wird:

wo x und - Verschiebung der Quelle, A - Schwingungsamplitude, ω - Kreisfrequenz der Schwingungen.

Wenn ein Punkt des Mediums im Abstand s von der Quelle entfernt ist und die Wellengeschwindigkeit gleich ist v, dann erreicht die von der Quelle erzeugte Störung diesen Zeitpunkt τ = s/v. Daher ist die Phase der Schwingungen am betrachteten Punkt zum Zeitpunkt t dieselbe wie die Phase der Quellenschwingungen zu diesem Zeitpunkt (t - s/v), und die Amplitude der Schwingungen bleibt praktisch unverändert. Dadurch werden die Schwankungen dieses Punktes durch die Gleichung bestimmt

Hier haben wir die Formeln für die Kreisfrequenz verwendet (ω = 2π/T) und Wellenlänge (λ = v T).

Wenn wir diesen Ausdruck in die ursprüngliche Formel einsetzen, erhalten wir

Es wird Gleichung (2.2) aufgerufen, die die Verschiebung eines beliebigen Punktes des Mediums zu jedem Zeitpunkt bestimmt ebene Wellengleichung. Das Argument beim Kosinus ist die Größe φ = ωt - 2 π S /λ - genannt Wellenphase.

2.4. Energieeigenschaften der Welle

Das Medium, in dem sich die Welle ausbreitet, verfügt über mechanische Energie, die sich aus den Energien der Schwingungsbewegung aller seiner Teilchen zusammensetzt. Die Energie eines Teilchens mit der Masse m 0 ergibt sich aus der Formel (1.21): E 0 = m 0 Α 2 w 2/2. Die Volumeneinheit des Mediums enthält n = P/m 0 Teilchen (ρ ist die Dichte des Mediums). Daher hat eine Volumeneinheit des Mediums die Energie w ð = nЕ 0 = ρ Α 2 w 2 /2.

Massenenergiedichte(\¥ p) - die Energie der oszillierenden Bewegung der Partikel des Mediums, die in einer Einheit seines Volumens enthalten sind:

Dabei ist ρ die Dichte des Mediums, A die Amplitude der Teilchenschwingungen und ω die Frequenz der Welle.

Während sich die Welle ausbreitet, wird die von der Quelle abgegebene Energie in entfernte Regionen übertragen.

Zur quantitativen Beschreibung des Energietransfers werden folgende Größen eingeführt.

Energiefluss(Ф) – ein Wert, der der Energie entspricht, die die Welle pro Zeiteinheit durch eine bestimmte Oberfläche transportiert:

Wellenintensität oder Energieflussdichte (I) – ein Wert, der dem Energiefluss entspricht, der von einer Welle durch einen einzelnen Bereich senkrecht zur Wellenausbreitungsrichtung getragen wird:

Es lässt sich zeigen, dass die Wellenintensität gleich dem Produkt aus ihrer Ausbreitungsgeschwindigkeit und der Volumenenergiedichte ist

2.5. Einige besondere Sorten

Wellen

1. Stoßwellen. Bei der Ausbreitung von Schallwellen überschreitet die Schwingungsgeschwindigkeit der Teilchen einige cm/s nicht, d. h. sie ist hunderte Male kleiner als die Wellengeschwindigkeit. Bei starken Störungen (Explosion, Bewegung von Körpern mit Überschallgeschwindigkeit, starke elektrische Entladung) kann die Geschwindigkeit schwingender Teilchen des Mediums mit der Schallgeschwindigkeit vergleichbar werden. Dadurch entsteht ein Effekt, der Stoßwelle genannt wird.

Im Falle einer Explosion werden die Produkte auf hohe Temperaturen erhitzt Hohe Dichte, expandieren und komprimieren eine dünne Schicht Umgebungsluft.

Stoßwelle - ein dünner Übergangsbereich, der sich mit Überschallgeschwindigkeit ausbreitet und in dem Druck, Dichte und Geschwindigkeit der Materie abrupt ansteigen.

Die Stoßwelle kann eine erhebliche Energie haben. Ja, um Nukleare Explosion zur Bildung einer Stoßwelle in Umfeld Dabei werden etwa 50 % der Gesamtenergie der Explosion verbraucht. Die Stoßwelle, die Objekte erreicht, kann Zerstörung verursachen.

2. Oberflächenwellen. Neben Körperwellen in kontinuierlichen Medien bei Vorhandensein erweiterter Grenzen können in der Nähe der Grenzen lokalisierte Wellen auftreten, die die Rolle von Wellenleitern spielen. Dies sind insbesondere Oberflächenwellen in einem flüssigen und elastischen Medium, die der englische Physiker W. Strett (Lord Rayleigh) in den 90er Jahren des 19. Jahrhunderts entdeckte. Im Idealfall breiten sich Rayleigh-Wellen entlang der Grenze des Halbraums aus und klingen in Querrichtung exponentiell ab. Dadurch lokalisieren Oberflächenwellen die Energie der an der Oberfläche erzeugten Störungen in einer relativ schmalen oberflächennahen Schicht.

Oberflächenwellen - Wellen, die sich entlang der freien Oberfläche eines Körpers oder entlang der Grenze des Körpers zu anderen Medien ausbreiten und mit zunehmender Entfernung von der Grenze schnell abklingen.

Wellen herein Erdkruste(Seismische Wellen). Die Eindringtiefe von Oberflächenwellen beträgt mehrere Wellenlängen. In einer Tiefe gleich der Wellenlänge λ beträgt die volumetrische Energiedichte der Welle etwa 0,05 ihrer volumetrischen Dichte an der Oberfläche. Die Verschiebungsamplitude nimmt mit der Entfernung von der Oberfläche schnell ab und verschwindet praktisch in einer Tiefe von mehreren Wellenlängen.

3. Anregungswellen in aktiven Medien.

Eine aktiv erregbare oder aktive Umgebung ist eine kontinuierliche Umgebung, die aus einer Vielzahl von Elementen besteht, von denen jedes über eine Energiereserve verfügt.

Darüber hinaus kann sich jedes Element in einem von drei Zuständen befinden: 1 – Anregung, 2 – Feuerfestigkeit (Nichterregbarkeit für eine bestimmte Zeit nach der Anregung), 3 – Ruhe. Elemente können nur aus dem Ruhezustand in Erregung geraten. Anregungswellen in aktiven Medien werden Autowellen genannt. Autowaves - Hierbei handelt es sich um sich selbst erhaltende Wellen in einem aktiven Medium, deren Eigenschaften aufgrund der im Medium verteilten Energiequellen konstant bleiben.

Die Eigenschaften einer Autowelle – Periode, Wellenlänge, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Amplitude und Form – im stationären Zustand hängen nur von den lokalen Eigenschaften des Mediums und nicht von den Anfangsbedingungen ab. In der Tabelle. 2.2 zeigt die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen Autowellen und gewöhnlichen mechanischen Wellen.

Autowellen können mit der Ausbreitung von Bränden in der Steppe verglichen werden. Die Flamme breitet sich über eine Fläche mit verteilten Energiereserven (trockenes Gras) aus. Jedes nachfolgende Element (trockener Grashalm) wird vom vorherigen entzündet. Und so breitet sich die Front der Anregungswelle (Flamme) durch das aktive Medium (trockenes Gras) aus. Wenn zwei Feuer aufeinandertreffen, verschwindet die Flamme, da die Energiereserven erschöpft sind – das gesamte Gras ist ausgebrannt.

Die Beschreibung der Ausbreitungsprozesse von Autowellen in aktiven Medien wird bei der Untersuchung der Ausbreitung von Aktionspotentialen entlang von Nerven- und Muskelfasern verwendet.

Tabelle 2.2. Vergleich von Autowellen und gewöhnlichen mechanischen Wellen

2.6. Doppler-Effekt und seine Verwendung in der Medizin

Christian Doppler (1803–1853) – österreichischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Direktor des weltweit ersten physikalischen Instituts.

Doppler-Effekt besteht darin, die vom Beobachter wahrgenommene Schwingungsfrequenz aufgrund der relativen Bewegung der Schwingungsquelle und des Beobachters zu ändern.

Der Effekt wird in der Akustik und Optik beobachtet.

Wir erhalten eine Formel, die den Doppler-Effekt für den Fall beschreibt, dass sich Quelle und Empfänger der Welle relativ zum Medium entlang einer Geraden mit den Geschwindigkeiten v I bzw. v P bewegen. Quelle führt relativ zu seiner Gleichgewichtslage harmonische Schwingungen mit der Frequenz ν 0 aus. Die durch diese Schwingungen erzeugte Welle breitet sich mit hoher Geschwindigkeit im Medium aus v. Lassen Sie uns herausfinden, welche Schwingungsfrequenz in diesem Fall behoben wird Empfänger.

Störungen, die durch Schwingungen der Quelle entstehen, breiten sich im Medium aus und erreichen den Empfänger. Betrachten Sie eine vollständige Schwingung der Quelle, die zum Zeitpunkt t 1 = 0 beginnt

und endet im Moment t 2 = T 0 (T 0 ist die Schwingungsperiode der Quelle). Die in diesen Zeitpunkten erzeugten Störungen des Mediums erreichen den Empfänger jeweils zu den Zeitpunkten t" 1 und t" 2. In diesem Fall erfasst der Empfänger Schwingungen mit einer Periode und Frequenz:

Finden wir die Momente t" 1 und t" 2 für den Fall, dass sich Quelle und Empfänger bewegen in Richtung zueinander und der anfängliche Abstand zwischen ihnen ist gleich S. Im Moment t 2 \u003d T 0 wird dieser Abstand gleich S - (v I + v P) T 0, (Abb. 2.2).

Reis. 2.2. Gegenseitige Position von Quelle und Empfänger zu den Zeitpunkten t 1 und t 2

Diese Formel gilt für den Fall, dass die Geschwindigkeiten v und und v p gerichtet sind in Richtung gegenseitig. Im Allgemeinen beim Umzug

Wenn Quelle und Empfänger entlang einer Geraden verlaufen, ergibt sich die Formel für den Doppler-Effekt:

Für die Quelle wird die Geschwindigkeit v And mit dem „+“-Zeichen genommen, wenn sie sich in Richtung des Empfängers bewegt, andernfalls mit dem „-“-Zeichen. Für den Empfänger - ähnlich (Abb. 2.3).

Reis. 2.3. Wahl der Vorzeichen für die Geschwindigkeiten der Quelle und des Empfängers von Wellen

Betrachten Sie einen besonderen Fall der Nutzung des Doppler-Effekts in der Medizin. Lassen Sie den Ultraschallgenerator mit dem Empfänger in Form eines technischen Systems kombinieren, das relativ zum Medium stationär ist. Der Generator sendet Ultraschall mit der Frequenz ν 0 aus, der sich im Medium mit der Geschwindigkeit v ausbreitet. In Richtung System mit einer Geschwindigkeit v t bewegt einen Körper. Zunächst übernimmt das System die Rolle Quelle (v UND= 0) und der Körper ist die Rolle des Empfängers (vTl= v T). Anschließend wird die Welle vom Objekt reflektiert und von einem festen Empfangsgerät fixiert. In diesem Fall ist v AND = v T, und v p \u003d 0.

Durch zweimaliges Anwenden der Formel (2.7) erhalten wir die Formel für die vom System festgelegte Frequenz nach der Reflexion des ausgesendeten Signals:

Bei Ansatz Objekt auf die Sensorfrequenz des reflektierten Signals erhöht sich und bei Entfernung - nimmt ab.

Durch Messung der Doppler-Frequenzverschiebung können wir aus Formel (2.8) die Geschwindigkeit des reflektierenden Körpers ermitteln:

Das Zeichen „+“ entspricht der Bewegung des Körpers zum Emitter hin.

Mit dem Doppler-Effekt werden die Geschwindigkeit des Blutflusses, die Bewegungsgeschwindigkeit der Klappen und Wände des Herzens (Doppler-Echokardiographie) und anderer Organe bestimmt. Ein Diagramm des entsprechenden Aufbaus zur Messung der Blutgeschwindigkeit ist in Abb. dargestellt. 2.4.

Reis. 2.4. Schema einer Anlage zur Messung der Blutgeschwindigkeit: 1 – Ultraschallquelle, 2 – Ultraschallempfänger

Das Gerät besteht aus zwei Piezokristallen, von denen einer zur Erzeugung von Ultraschallschwingungen (umgekehrter piezoelektrischer Effekt) und der zweite zum Empfang von durch Blut gestreutem Ultraschall (direkter piezoelektrischer Effekt) dient.

Beispiel. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Blutflusses in der Arterie, wenn die Gegenreflexion des Ultraschalls erfolgt (ν 0 = 100 kHz = 100.000 Hz, v \u003d 1500 m/s) kommt es zu einer Doppler-Frequenzverschiebung von Erythrozyten gegen D = 40 Hz.

Lösung. Nach Formel (2.9) finden wir:

v 0 = v D v /2v0 = 40X 1500/(2X 100.000) = 0,3 m/s.

2.7. Anisotropie bei der Ausbreitung von Oberflächenwellen. Wirkung von Stoßwellen auf biologisches Gewebe

1. Anisotropie der Oberflächenwellenausbreitung. Bei der Untersuchung der mechanischen Eigenschaften der Haut mittels Oberflächenwellen mit einer Frequenz von 5-6 kHz (nicht zu verwechseln mit Ultraschall) zeigt sich eine akustische Anisotropie der Haut. Dies drückt sich darin aus, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Oberflächenwelle in zueinander senkrechten Richtungen – entlang der vertikalen (Y) und horizontalen (X) Achse des Körpers – unterschiedlich sind.

Um den Schweregrad der akustischen Anisotropie zu quantifizieren, wird der mechanische Anisotropiekoeffizient verwendet, der nach folgender Formel berechnet wird:

Wo v y- Geschwindigkeit entlang der vertikalen Achse, v x- entlang der horizontalen Achse.

Der Anisotropiekoeffizient wird als positiv (K+) angenommen, wenn v y> v x bei v y < v x der Koeffizient wird als negativ (K -) angenommen. Die Zahlenwerte der Geschwindigkeit von Oberflächenwellen in der Haut und der Grad der Anisotropie sind objektive Kriterien zur Beurteilung verschiedener Wirkungen, auch auf die Haut.

2. Wirkung von Stoßwellen auf biologisches Gewebe. In vielen Fällen der Einwirkung auf biologische Gewebe (Organe) ist es notwendig, die entstehenden Stoßwellen zu berücksichtigen.

So entsteht beispielsweise eine Stoßwelle, wenn ein stumpfer Gegenstand auf den Kopf trifft. Daher wird bei der Gestaltung von Schutzhelmen darauf geachtet, die Stoßwelle zu dämpfen und den Hinterkopf bei einem Frontalaufprall zu schützen. Diesem Zweck dient das Innenband im Helm, das auf den ersten Blick nur zur Belüftung notwendig zu sein scheint.

Stoßwellen entstehen im Gewebe, wenn es hochintensiver Laserstrahlung ausgesetzt wird. Danach beginnen sich oft narbige (oder andere) Veränderungen in der Haut zu entwickeln. Dies ist beispielsweise bei kosmetischen Eingriffen der Fall. Daher, um zu reduzieren schädliche Wirkung Bei Stoßwellen ist es notwendig, die Expositionsdosis vorab zu berechnen und dabei die physikalischen Eigenschaften sowohl der Strahlung als auch der Haut selbst zu berücksichtigen.

Reis. 2.5. Ausbreitung radialer Stoßwellen

Stoßwellen werden in der radialen Stoßwellentherapie eingesetzt. Auf Abb. In Abb. 2.5 zeigt die Ausbreitung radialer Stoßwellen vom Applikator.

Solche Wellen werden in Geräten erzeugt, die mit einem speziellen Kompressor ausgestattet sind. Die radiale Stoßwelle wird pneumatisch erzeugt. Der im Manipulator befindliche Kolben bewegt sich unter dem Einfluss eines kontrollierten Impulses mit hoher Geschwindigkeit Druckluft. Wenn der Kolben auf den im Manipulator installierten Applikator trifft, wird seine kinetische Energie in mechanische Energie des betroffenen Körperbereichs umgewandelt. Gleichzeitig sollen Verluste bei der Übertragung von Wellen reduziert werden Luftspalt Es befindet sich zwischen Applikator und Haut und sorgt mit einem Kontaktgel für eine gute Stoßwellenleitfähigkeit. Normalbetrieb: Frequenz 6-10Hz, Betriebsdruck 250 kPa, Anzahl der Impulse pro Sitzung – bis zu 2000.

1. Auf dem Schiff wird eine Sirene eingeschaltet, die im Nebel Signale gibt, und nach t = 6,6 s ist ein Echo zu hören. Wie weit ist die reflektierende Oberfläche entfernt? Schallgeschwindigkeit in der Luft v= 330 m/s.

Lösung

In der Zeit t legt der Schall einen Weg 2S zurück: 2S = vt →S = vt/2 = 1090 m. Antworten: S = 1090 m.

2. Was Mindestgröße Objekte, deren Position bestimmt werden kann die Fledermäuse mit Ihrem Sensor, der eine Frequenz von 100.000 Hz hat? Was ist die Mindestgröße von Objekten, die Delfine mit einer Frequenz von 100.000 Hz erkennen können?

Lösung

Die Mindestabmessungen eines Objekts entsprechen der Wellenlänge:

λ1\u003d 330 m / s / 10 5 Hz \u003d 3,3 mm. Dies entspricht ungefähr der Größe der Insekten, von denen sich Fledermäuse ernähren.

λ2\u003d 1500 m / s / 10 5 Hz \u003d 1,5 cm. Ein Delfin kann einen kleinen Fisch erkennen.

Antworten:λ1= 3,3 mm; λ2= 1,5 cm.

3. Zuerst sieht eine Person einen Blitz und nach 8 Sekunden hört sie einen Donnerschlag. In welcher Entfernung blitzte der Blitz von ihm auf?

Lösung

S \u003d v star t \u003d 330 X 8 = 2640 m. Antworten: 2640 m

4. Zwei Schallwellen haben die gleichen Eigenschaften, nur dass eine die doppelte Wellenlänge der anderen hat. Welches trägt die meiste Energie? Wie oft?

Lösung

Die Intensität der Welle ist direkt proportional zum Quadrat der Frequenz (2.6) und umgekehrt proportional zum Quadrat der Wellenlänge (ω = 2πv/λ ). Antworten: eines mit einer kürzeren Wellenlänge; 4 Mal.

5. Eine Schallwelle mit einer Frequenz von 262 Hz breitet sich in der Luft mit einer Geschwindigkeit von 345 m/s aus. a) Welche Wellenlänge hat es? b) Wie lange dauert es, bis sich die Phase an einem bestimmten Punkt im Raum um 90° ändert? c) Wie groß ist die Phasendifferenz (in Grad) zwischen Punkten im Abstand von 6,4 cm?

Lösung

A) λ =v /ν = 345/262 = 1,32 m;

V) Δφ = 360°s/λ= 360 X 0,064/1,32 = 17,5°. Antworten: A) λ = 1,32 m; b) t = T/4; V) Δφ = 17,5°.

6. Schätzen Sie die Obergrenze (Frequenz) von Ultraschall in Luft ab, wenn die Geschwindigkeit seiner Ausbreitung bekannt ist v= 330 m/s. Nehmen Sie an, dass Luftmoleküle eine Größe in der Größenordnung von d = 10 -10 m haben.

Lösung

In Luft ist eine mechanische Welle longitudinal und die Wellenlänge entspricht dem Abstand zwischen zwei nächstgelegenen Konzentrationen (oder Entladungen) von Molekülen. Da der Abstand zwischen den Clustern nicht sein kann kleinere Größen Moleküle, dann d = λ. Aus diesen Überlegungen haben wir ν =v /λ = 3,3X 10 12 Hz. Antworten:ν = 3,3X 10 12 Hz.

7. Zwei Autos bewegen sich mit der Geschwindigkeit v 1 = 20 m/s und v 2 = 10 m/s aufeinander zu. Die erste Maschine gibt ein Signal mit einer Frequenz ab ν 0 = 800 Hz. Schallgeschwindigkeit v= 340 m/s. Welche Frequenz wird der Fahrer des zweiten Autos hören: a) bevor sich die Autos treffen; b) nach dem Treffen der Autos?

8. Wenn ein Zug vorbeifährt, hört man, wie sich die Frequenz seines Pfiffes von ν 1 = 1000 Hz (beim Heranfahren) auf ν 2 = 800 Hz (beim Wegfahren) ändert. Wie schnell ist der Zug?

Lösung

Dieses Problem unterscheidet sich von den vorherigen darin, dass wir die Geschwindigkeit der Schallquelle – des Zuges – nicht kennen und die Frequenz seines Signals ν 0 unbekannt ist. Daher erhält man ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:

Lösung

Lassen v ist die Geschwindigkeit des Windes und weht von der Person (Empfänger) zur Schallquelle. Relativ zur Erde sind sie bewegungslos und relativ zu Luftumgebung beide bewegen sich mit der Geschwindigkeit u nach rechts.

Mit der Formel (2.7) erhalten wir die Schallfrequenz. vom Menschen wahrgenommen. Sie ist unverändert:

Antworten: Die Frequenz ändert sich nicht.

Sie können sich vorstellen, was mechanische Wellen sind, indem Sie einen Stein ins Wasser werfen. Die darauf erscheinenden Kreise, die abwechselnd Täler und Grate darstellen, sind ein Beispiel für mechanische Wellen. Was ist ihr Wesen? Mechanische Wellen sind der Prozess der Ausbreitung von Schwingungen in elastischen Medien.

Wellen auf flüssigen Oberflächen

Solche mechanischen Wellen entstehen durch den Einfluss intermolekularer Kräfte und der Schwerkraft auf die Flüssigkeitspartikel. Die Menschen beschäftigen sich seit langem mit diesem Phänomen. Am bemerkenswertesten sind das Meer und die Meereswellen. Mit zunehmender Windgeschwindigkeit verändern sie sich und ihre Höhe nimmt zu. Auch die Form der Wellen selbst wird komplizierter. Im Meer können sie erschreckende Ausmaße erreichen. Eines der offensichtlichsten Beispiele für Gewalt ist der Tsunami, der alles wegfegt, was ihm in den Weg kommt.

Energie von Meer und Meereswellen

Wenn die Meereswellen das Ufer erreichen, nehmen sie mit einer starken Änderung der Tiefe zu. Sie erreichen teilweise eine Höhe von mehreren Metern. In solchen Momenten wird eine kolossale Wassermasse auf Küstenhindernisse übertragen, die unter ihrem Einfluss schnell zerstört werden. Die Stärke der Brandung erreicht teilweise grandiose Werte.

elastische Wellen

In der Mechanik werden nicht nur Schwingungen an der Oberfläche einer Flüssigkeit untersucht, sondern auch die sogenannten elastischen Wellen. Hierbei handelt es sich um Störungen, die sich in verschiedenen Medien unter der Einwirkung elastischer Kräfte in ihnen ausbreiten. Eine solche Störung ist jede Abweichung der Teilchen eines gegebenen Mediums von der Gleichgewichtslage. gutes Beispiel Bei elastischen Wellen handelt es sich um ein langes Seil oder einen Gummischlauch, der an einem Ende an etwas befestigt ist. Wenn man es festzieht und dann am zweiten (unfixierten) Ende mit einer seitlichen scharfen Bewegung eine Störung erzeugt, sieht man, wie es über die gesamte Länge des Seils bis zur Stütze „läuft“ und zurückreflektiert wird.

Die anfängliche Störung führt zum Auftreten einer Welle im Medium. Sie wird durch die Einwirkung eines Fremdkörpers verursacht, der in der Physik als Quelle der Welle bezeichnet wird. Es kann die Hand einer Person sein, die ein Seil schwingt, oder ein ins Wasser geworfener Kieselstein. Wenn die Wirkung der Quelle nur von kurzer Dauer ist, tritt im Medium häufig eine einzelne Welle auf. Wenn der „Störer“ lange Wellen schlägt, tauchen sie nacheinander auf.

Bedingungen für das Auftreten mechanischer Wellen

Solche Schwingungen entstehen nicht immer. Notwendige Bedingung denn ihr Erscheinen ist das Auftreten von Kräften, die es verhindern, insbesondere der Elastizität, im Moment der Störung des Mediums. Sie neigen dazu, benachbarte Teilchen näher zusammenzubringen, wenn sie sich voneinander entfernen, und sie voneinander wegzudrücken, wenn sie sich einander nähern. Elastische Kräfte, die auf Partikel weit entfernt von der Störungsquelle einwirken, beginnen, diese aus dem Gleichgewicht zu bringen. Im Laufe der Zeit sind alle Teilchen des Mediums an einer Schwingungsbewegung beteiligt. Die Ausbreitung solcher Schwingungen erfolgt wellenförmig.

Mechanische Wellen in einem elastischen Medium

In einer elastischen Welle gibt es zwei Arten von Bewegung gleichzeitig: Teilchenoszillationen und Störungsausbreitung. Eine Longitudinalwelle ist eine mechanische Welle, deren Teilchen entlang ihrer Ausbreitungsrichtung schwingen. Eine Transversalwelle ist eine Welle, deren mittlere Teilchen quer zur Ausbreitungsrichtung schwingen.

Eigenschaften mechanischer Wellen

Störungen in einer Longitudinalwelle sind Verdünnung und Kompression, und in einer Transversalwelle sind sie Verschiebungen (Verschiebungen) einiger Schichten des Mediums relativ zu anderen. Mit der Druckverformung gehen elastische Kräfte einher. In diesem Fall ist es mit dem Auftreten elastischer Kräfte ausschließlich in Festkörpern verbunden. In gasförmigen und flüssigen Medien geht die Verschiebung der Schichten dieser Medien nicht mit dem Auftreten der genannten Kraft einher. Aufgrund ihrer Eigenschaften können sich Longitudinalwellen in jedem Medium und Transversalwellen nur in Feststoffen ausbreiten.

Merkmale von Wellen auf der Oberfläche von Flüssigkeiten

Wellen auf der Oberfläche einer Flüssigkeit verlaufen weder longitudinal noch transversal. Sie haben einen komplexeren, sogenannten Längs-Quer-Charakter. Dabei bewegen sich die Flüssigkeitsteilchen kreisförmig oder entlang langgestreckter Ellipsen. Partikel auf der Flüssigkeitsoberfläche, insbesondere bei großen Schwankungen, gehen mit ihrer langsamen, aber kontinuierlichen Bewegung in Richtung der Wellenausbreitung einher. Es sind diese Eigenschaften mechanischer Wellen im Wasser, die das Auftreten verschiedener Meeresfrüchte am Ufer bewirken.

Frequenz mechanischer Wellen

Wenn in einem elastischen Medium (flüssig, fest, gasförmig) die Schwingung seiner Teilchen angeregt wird, dann breitet sie sich aufgrund der Wechselwirkung zwischen ihnen mit einer Geschwindigkeit aus u. Befindet sich also ein oszillierender Körper in einem gasförmigen oder flüssigen Medium, beginnt seine Bewegung auf alle ihm benachbarten Partikel übertragen zu werden. Sie werden die nächsten in den Prozess einbeziehen und so weiter. In diesem Fall beginnen absolut alle Punkte des Mediums mit der gleichen Frequenz zu schwingen, die der Frequenz des schwingenden Körpers entspricht. Es ist die Frequenz der Welle. Mit anderen Worten, diese Größe kann als Punkte im Medium charakterisiert werden, an denen sich die Welle ausbreitet.

Es ist möglicherweise nicht sofort klar, wie dieser Prozess abläuft. Mechanische Wellen sind mit der Übertragung von Energie einer oszillierenden Bewegung von ihrer Quelle zur Peripherie des Mediums verbunden. Dadurch entstehen sogenannte periodische Verformungen, die von der Welle von einem Punkt zum anderen getragen werden. In diesem Fall bewegen sich die Teilchen des Mediums selbst nicht mit der Welle. Sie schwingen nahe ihrer Gleichgewichtslage. Deshalb geht die Ausbreitung einer mechanischen Welle nicht mit der Übertragung von Materie von einem Ort zum anderen einher. Mechanische Wellen haben unterschiedliche Frequenzen. Deshalb wurden sie in Bereiche unterteilt und eine spezielle Skala erstellt. Die Frequenz wird in Hertz (Hz) gemessen.

Grundformeln

Mechanische Wellen, deren Berechnungsformeln recht einfach sind, sind ein interessantes Untersuchungsobjekt. Die Wellengeschwindigkeit (υ) ist die Bewegungsgeschwindigkeit ihrer Front (geometrischer Ort aller Punkte, die die Schwingung des Mediums zu einem bestimmten Zeitpunkt erreicht hat):

wobei ρ die Dichte des Mediums und G der Elastizitätsmodul ist.

Bei der Berechnung sollte man die Geschwindigkeit einer mechanischen Welle in einem Medium nicht mit der Bewegungsgeschwindigkeit der daran beteiligten Teilchen des Mediums verwechseln. So breitet sich beispielsweise eine Schallwelle in Luft mit einer durchschnittlichen Schwingungsgeschwindigkeit ihrer Moleküle aus von 10 m/s, während die Geschwindigkeit einer Schallwelle unter normalen Bedingungen 330 m/s beträgt.

Die Wellenfront passiert verschiedene Typen, die einfachsten davon sind:

Sphärisch – verursacht durch Schwankungen in einem gasförmigen oder flüssigen Medium. In diesem Fall nimmt die Wellenamplitude mit der Entfernung von der Quelle umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ab.

Flach – ist eine Ebene, die senkrecht zur Wellenausbreitungsrichtung verläuft. Sie tritt beispielsweise bei einem geschlossenen Kolbenzylinder auf, wenn dieser oszilliert. Eine ebene Welle zeichnet sich durch eine nahezu konstante Amplitude aus. Ihre leichte Abnahme mit der Entfernung von der Störquelle hängt mit dem Grad der Viskosität des gasförmigen oder flüssigen Mediums zusammen.

Wellenlänge

Unter verstehen Sie die Distanz, über die sich seine Front in einer Zeit bewegt, die gleich der Schwingungsperiode der Teilchen des Mediums ist:

λ = υT = υ/v = 2πυ/ ω,

Dabei ist T die Schwingungsperiode, υ die Wellengeschwindigkeit, ω die zyklische Frequenz und ν die Schwingungsfrequenz der mittleren Punkte.

Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer mechanischen Welle vollständig von den Eigenschaften des Mediums abhängt, ändert sich ihre Länge λ beim Übergang von einem Medium in ein anderes. In diesem Fall bleibt die Schwingfrequenz ν immer gleich. Mechanisch und ähneln sich darin, dass bei ihrer Verteilung Energie übertragen wird, jedoch keine Übertragung von Materie stattfindet.

Wenn an einem beliebigen Ort eines festen, flüssigen oder gasförmigen Mediums Teilchenschwingungen angeregt werden, ist das Ergebnis der Wechselwirkung von Atomen und Molekülen des Mediums die Übertragung von Schwingungen von einem Punkt zum anderen mit endlicher Geschwindigkeit.

Definition 1

Welle ist der Prozess der Ausbreitung von Schwingungen im Medium.

Es gibt folgende Arten mechanischer Wellen:

Definition 2

Transversalwelle: Teilchen des Mediums werden in einer Richtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung einer mechanischen Welle verschoben.

Beispiel: Wellen, die sich unter Spannung entlang einer Schnur oder eines Gummibandes ausbreiten (Abbildung 2.6.1);

Definition 3

Längswelle: Die Teilchen des Mediums werden in Ausbreitungsrichtung der mechanischen Welle verschoben.

Beispiel: Wellen, die sich in einem Gas oder einem elastischen Stab ausbreiten (Abbildung 2.6.2).

Interessanterweise umfassen die Wellen auf der Flüssigkeitsoberfläche sowohl transversale als auch longitudinale Komponenten.

Bemerkung 1

Wir weisen auf eine wichtige Klarstellung hin: Wenn sich mechanische Wellen ausbreiten, übertragen sie Energie, bilden sich, übertragen aber keine Masse, d. h. Bei beiden Arten von Wellen findet keine Übertragung von Materie in Richtung der Wellenausbreitung statt. Bei der Ausbreitung oszillieren die Teilchen des Mediums um die Gleichgewichtslagen. In diesem Fall übertragen Wellen, wie bereits erwähnt, Energie, nämlich die Energie von Schwingungen, von einem Punkt des Mediums zum anderen.

Figur 2. 6. 1 . Ausbreitung einer Transversalwelle entlang eines gespannten Gummibandes.

Figur 2. 6. 2. Ausbreitung einer Longitudinalwelle entlang eines elastischen Stabes.

Ein charakteristisches Merkmal mechanischer Wellen ist ihre Ausbreitung in materiellen Medien, anders als beispielsweise Lichtwellen, die sich auch im Vakuum ausbreiten können. Für die Entstehung eines mechanischen Wellenimpulses wird ein Medium benötigt, das die Fähigkeit besitzt, kinetische und potentielle Energien zu speichern: also Das Medium muss inerte und elastische Eigenschaften haben. In realen Umgebungen sind diese Eigenschaften über das gesamte Volumen verteilt. Zum Beispiel jedes kleine Element Festkörper haben Masse und Elastizität. Das einfachste eindimensionale Modell eines solchen Körpers ist ein Satz aus Kugeln und Federn (Abbildung 2.6.3).

Figur 2. 6. 3 . Das einfachste eindimensionale Modell eines starren Körpers.

In diesem Modell werden inerte und elastische Eigenschaften getrennt. Die Kugeln haben Masse M und Federn - Steifigkeit k . Solch einfaches Modell ermöglicht die Beschreibung der Ausbreitung longitudinaler und transversaler mechanischer Wellen in einem Festkörper. Wenn sich eine Longitudinalwelle ausbreitet, werden die Kugeln entlang der Kette verschoben und die Federn werden gedehnt oder gestaucht, was einer Dehnungs- oder Druckverformung entspricht. Tritt eine solche Verformung in einem flüssigen oder gasförmigen Medium auf, geht sie mit einer Verdichtung oder Verdünnung einher.

Bemerkung 2

Eine Besonderheit von Longitudinalwellen besteht darin, dass sie sich in jedem Medium ausbreiten können: fest, flüssig und gasförmig.

Wenn im angegebenen Modell eines starren Körpers eine oder mehrere Kugeln eine Verschiebung senkrecht zur gesamten Kette erfahren, kann man vom Auftreten einer Scherverformung sprechen. Federn, die infolge der Verschiebung eine Verformung erlitten haben, neigen dazu, die verschobenen Partikel in die Gleichgewichtsposition zurückzubringen, und die nächsten nicht verschobenen Partikel werden von elastischen Kräften beeinflusst, die dazu neigen, diese Partikel aus der Gleichgewichtsposition abzulenken. Das Ergebnis ist das Auftreten einer Transversalwelle in Richtung entlang der Kette.

In einem flüssigen oder gasförmigen Medium tritt keine elastische Scherverformung auf. Die Verschiebung einer Flüssigkeits- oder Gasschicht in einiger Entfernung relativ zur benachbarten Schicht führt nicht zum Auftreten von Tangentialkräften an der Grenze zwischen den Schichten. Die Kräfte, die an der Grenze einer Flüssigkeit und eines Festkörpers wirken, sowie die Kräfte zwischen benachbarten Schichten einer Flüssigkeit sind immer entlang der Grenznormalen gerichtet – das sind Druckkräfte. Das Gleiche gilt auch für das gasförmige Medium.

Bemerkung 3

Somit ist das Auftreten von Transversalwellen in flüssigen oder gasförmigen Medien unmöglich.

In Planung praktische Anwendung Von besonderem Interesse sind einfache harmonische oder Sinuswellen. Sie zeichnen sich durch die Schwingungsamplitude A, die Frequenz f und die Wellenlänge λ der Teilchen aus. Sinusförmige Wellen breiten sich in homogenen Medien mit einigen aus konstante Geschwindigkeit υ .

Schreiben wir einen Ausdruck, der die Abhängigkeit der Verschiebung y (x, t) der Partikel des Mediums von der Gleichgewichtsposition in einer Sinuswelle von der Koordinate x auf der O-X-Achse, entlang der sich die Welle ausbreitet, und von der Zeit t zeigt :

y (x, t) = A cos ω t - x υ = A cos ω t - k x .

Im obigen Ausdruck ist k = ω υ die sogenannte Wellenzahl und ω = 2 π f ist die Kreisfrequenz.

Figur 2. 6. 4 zeigt „Momentaufnahmen“ einer Scherwelle zum Zeitpunkt t und t + Δt. Während des Zeitintervalls Δ t bewegt sich die Welle entlang der Achse O X im Abstand υ Δ t . Solche Wellen werden Wanderwellen genannt.

Figur 2. 6. 4 . „Schnappschüsse“ einer wandernden Sinuswelle zu einem bestimmten Zeitpunkt t und t + ∆t.

Definition 4

Wellenlängeλ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten auf der Achse O X in den gleichen Phasen schwingen.

Der Abstand, dessen Wert die Wellenlänge λ ist, den die Welle in einer Periode T zurücklegt. Somit lautet die Formel für die Wellenlänge: λ = υ T, wobei υ die Wist.

Mit der Zeit t ändert sich die Koordinate x ein beliebiger Punkt im Diagramm, der den Wellenprozess anzeigt (z. B. Punkt A in Abbildung 2 . 6 . 4), während der Wert des Ausdrucks ω t - k x unverändert bleibt. Nach einer Zeit Δ t bewegt sich Punkt A entlang der Achse O X einiger Entfernung Δ x = υ Δ t . Auf diese Weise:

ω t - k x = ω (t + ∆ t) - k (x + ∆ x) = c o n s t oder ω ∆ t = k ∆ x .

Aus diesem Ausdruck folgt:

υ = ∆ x ∆ t = ω k oder k = 2 π λ = ω υ .

Es wird deutlich, dass eine wandernde Sinuswelle eine doppelte Periodizität hat – zeitlich und räumlich. Die Zeitperiode ist gleich der Schwingungsperiode T der Teilchen des Mediums und die räumliche Periode ist gleich der Wellenlänge λ.

Definition 5

Wellenzahl k = 2 π λ ist das räumliche Analogon der Kreisfrequenz ω = - 2 π T .

Wir möchten betonen, dass die Gleichung y (x, t) = A cos ω t + k x eine Beschreibung einer Sinuswelle ist, die sich entgegen der Achsenrichtung ausbreitet O X, mit der Geschwindigkeit υ = - ω k .

Bei der Ausbreitung einer Wanderwelle schwingen alle Teilchen des Mediums harmonisch mit einer bestimmten Frequenz ω. Dies bedeutet, dass wie bei einem einfachen Oszillationsprozess die durchschnittliche potentielle Energie, die die Reserve eines bestimmten Volumens des Mediums darstellt, die durchschnittliche kinetische Energie in demselben Volumen ist, proportional zum Quadrat der Schwingungsamplitude.

Bemerkung 4

Aus dem Vorstehenden können wir schließen, dass bei der Ausbreitung einer Wanderwelle ein Energiefluss auftritt, der proportional zur Geschwindigkeit der Welle und dem Quadrat ihrer Amplitude ist.

Wanderwellen bewegen sich in einem Medium mit bestimmten Geschwindigkeiten, die von der Art der Welle sowie den trägen und elastischen Eigenschaften des Mediums abhängen.

Die Geschwindigkeit, mit der sich Transversalwellen in einer gespannten Saite oder einem Gummiband ausbreiten, hängt von der linearen Masse μ (oder Masse pro Längeneinheit) und der Zugkraft ab T:

Die Geschwindigkeit, mit der sich Longitudinalwellen in einem unendlichen Medium ausbreiten, wird unter Einbeziehung von Größen wie der Dichte des Mediums ρ (oder der Masse pro Volumeneinheit) und dem Kompressionsmodul berechnet B(gleich dem Proportionalitätskoeffizienten zwischen der Druckänderung Δ p und der relativen Volumenänderung Δ V V , genommen mit umgekehrtem Vorzeichen):

∆ p = - B ∆ V V .

Somit wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Longitudinalwellen in einem unendlichen Medium durch die Formel bestimmt:

Beispiel 1

Bei einer Temperatur von 20 °C beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Longitudinalwellen im Wasser υ ≈ 1480 m/s, in verschiedenen Stahlsorten υ ≈ 5 – 6 km/s.

Wenn wir redenÖ Longitudinalwellen, die in elastischen Stäben verteilt sind, enthält die Formel für die Wellengeschwindigkeit nicht den Kompressionsmodul, sondern den Youngschen Modul:

Für Stahlunterschied E aus B unbedeutend, bei anderen Materialien kann er jedoch 20 - 30 % oder mehr betragen.

Figur 2. 6. 5 . Modell von Longitudinal- und Transversalwellen.

Angenommen, eine mechanische Welle, die sich in einem bestimmten Medium ausbreitet, stößt auf ihrem Weg auf ein Hindernis: In diesem Fall ändert sich die Art ihres Verhaltens dramatisch. Beispielsweise an der Schnittstelle zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen mechanische Eigenschaften Die Welle wird teilweise reflektiert und dringt teilweise in das zweite Medium ein. Eine an einem Gummiband oder einer Schnur entlanglaufende Welle wird am festen Ende reflektiert und es entsteht eine Gegenwelle. Wenn beide Enden der Saite fixiert sind, treten komplexe Schwingungen auf, die das Ergebnis der Überlagerung (Überlagerung) zweier Wellen sind, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten und an den Enden Reflexionen und Rückreflexionen erfahren. So „funktionieren“ die Saiten aller Saiten Musikinstrumente an beiden Enden befestigt. Ein ähnlicher Vorgang findet beim Klang von Blasinstrumenten, insbesondere Orgelpfeifen, statt.

Wenn die Wellen, die sich entlang der Saite in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten, eine Sinusform haben, bilden sie unter bestimmten Bedingungen eine stehende Welle.

Angenommen, eine Zeichenfolge der Länge l ist so fixiert, dass sich eines ihrer Enden am Punkt x \u003d 0 und das andere am Punkt x 1 \u003d L befindet (Abbildung 2.6.6). Die Saite ist gespannt T.

Zeichnung 2 . 6 . 6 . Die Entstehung einer stehenden Welle in einer an beiden Enden befestigten Saite.

Zwei Wellen gleicher Frequenz laufen gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung entlang der Saite:

• y 1 (x, t) = A cos (ω t + k x) ist eine Welle, die sich von rechts nach links ausbreitet;
• y 2 (x, t) = A cos (ω t - k x) ist eine Welle, die sich von links nach rechts ausbreitet.

Der Punkt x = 0 ist eines der festen Enden der Saite: An diesem Punkt erzeugt die einfallende Welle y 1 durch Reflexion eine Welle y 2. Bei der Reflexion am festen Ende tritt die reflektierte Welle in Gegenphase zur einfallenden Welle ein. Gemäß dem Superpositionsprinzip (das eine experimentelle Tatsache ist) werden die Schwingungen summiert, die durch gegenläufige Wellen an allen Punkten der Saite erzeugt werden. Daraus folgt, dass die endgültige Fluktuation an jedem Punkt als die Summe der Fluktuationen definiert ist, die durch die Wellen y 1 und y 2 getrennt verursacht werden. Auf diese Weise:

y = y 1 (x, t) + y 2 (x, t) = (- 2 A sin ω t) sin k x.

Der obige Ausdruck ist eine Beschreibung einer stehenden Welle. Lassen Sie uns einige Konzepte vorstellen, die auf ein Phänomen wie eine stehende Welle anwendbar sind.

Definition 6

Knoten sind Punkte der Unbeweglichkeit in einer stehenden Welle.

Bäuche– Punkte, die zwischen den Knoten liegen und mit der maximalen Amplitude schwingen.

Wenn wir diesen Definitionen folgen, müssen beide festen Enden der Saite Knoten sein, damit eine stehende Welle auftritt. Die obige Formel erfüllt diese Bedingung am linken Ende (x = 0). Damit die Bedingung am rechten Ende erfüllt ist (x = L), ist es notwendig, dass k L = n π ist, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Aus dem Gesagten können wir schließen, dass eine stehende Welle nicht immer in einer Saite auftritt, sondern nur bei der Länge L string ist gleich einer ganzzahligen Anzahl von Halbwellenlängen:

l = n λ n 2 oder λ n = 2 l n (n = 1 , 2 , 3 , . . .) .

Die Wertemenge λ n der Wellenlängen entspricht der Menge der möglichen Frequenzen F

f n = υ λ n = n υ 2 l = n f 1 .

In dieser Schreibweise ist υ = T μ die Geschwindigkeit, mit der sich Transversalwellen entlang der Saite ausbreiten.

Definition 7

Jede der Frequenzen f n und die damit verbundene Art der Saitenschwingung wird als Normalmodus bezeichnet. Die niedrigste Frequenz f 1 wird als Grundfrequenz bezeichnet, alle anderen (f 2 , f 3 , ...) werden als Harmonische bezeichnet.

Figur 2. 6. 6 veranschaulicht den Normalmodus für n = 2.

Eine stehende Welle hat keinen Energiefluss. Die Energie der Schwingungen, die im Saitenabschnitt zwischen zwei benachbarten Knoten „eingesperrt“ ist, wird nicht auf den Rest der Saite übertragen. In jedem dieser Segmente wird eine periodische (zweimal pro Periode) T) Umwandlung von kinetischer Energie in potentielle Energie und umgekehrt, ähnlich einem gewöhnlichen Schwingungssystem. Allerdings gibt es hier einen Unterschied: Wenn ein Gewicht auf einer Feder oder einem Pendel eine einzige Eigenfrequenz f 0 = ω 0 2 π hat, dann ist die Saite durch das Vorhandensein unendlich vieler Eigenfrequenzen (Resonanzfrequenzen) f n gekennzeichnet. Figur 2. 6. In Abb. 7 zeigt mehrere Varianten stehender Wellen in einer an beiden Enden befestigten Saite.

Figur 2. 6. 7. Die ersten fünf normalen Schwingungsmodi einer an beiden Enden befestigten Saite.

Nach dem Superpositionsprinzip entstehen stehende Wellen verschiedene Sorten(Mit verschiedene Werte N) können gleichzeitig in den Schwingungen der Saite vorhanden sein.

Figur 2. 6. 8 . Modell der Normalmodi einer Saite.

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mechanische Wellen

Wenn an einer beliebigen Stelle eines festen, flüssigen oder gasförmigen Mediums Schwingungen von Teilchen angeregt werden, beginnen Schwingungen aufgrund der Wechselwirkung von Atomen und Molekülen des Mediums mit endlicher Geschwindigkeit von einem Punkt zum anderen zu übertragen. Der Vorgang der Schwingungsausbreitung in einem Medium nennt man Welle .

mechanische Wellen sind unterschiedlicher Art. Wenn in einer Welle die Teilchen des Mediums eine Verschiebung in einer Richtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung erfahren, spricht man von einer Welle quer . Ein Beispiel für eine solche Welle können Wellen sein, die entlang eines gespannten Gummibandes (Abb. 2.6.1) oder entlang einer Schnur laufen.

Erfolgt die Verschiebung der Partikel des Mediums in Richtung der Wellenausbreitung, spricht man von einer Welle längs . Beispiele für solche Wellen sind Wellen in einem elastischen Stab (Abb. 2.6.2) oder Schallwellen in einem Gas.

Wellen auf der Flüssigkeitsoberfläche haben sowohl Quer- als auch Längskomponenten.

Sowohl bei Transversal- als auch bei Longitudinalwellen findet keine Stoffübertragung in Richtung der Wellenausbreitung statt. Bei der Ausbreitung schwingen die Teilchen des Mediums lediglich um die Gleichgewichtslagen. Wellen transportieren jedoch die Energie von Schwingungen von einem Punkt des Mediums zum anderen.

charakteristisches Merkmal Mechanische Wellen breiten sich in materiellen Medien (fest, flüssig oder gasförmig) aus. Es gibt Wellen, die sich auch im Vakuum ausbreiten können (zum Beispiel Lichtwellen). Für mechanische Wellen ist ein Medium erforderlich, das die Fähigkeit besitzt, kinetische und potentielle Energie zu speichern. Daher muss die Umgebung vorhanden sein inerte und elastische Eigenschaften. In realen Umgebungen sind diese Eigenschaften über das gesamte Volumen verteilt. So hat beispielsweise jedes kleine Element eines Festkörpers Masse und Elastizität. Im einfachsten eindimensionales Modell Ein fester Körper kann als eine Ansammlung von Kugeln und Federn dargestellt werden (Abb. 2.6.3).

Mechanische Longitudinalwellen können sich in allen Medien ausbreiten – fest, flüssig und gasförmig.

Werden in einem eindimensionalen Modell eines starren Körpers eine oder mehrere Kugeln senkrecht zur Kette verschoben, kommt es zu einer Verformung scheren. Die bei einer solchen Verschiebung verformten Federn neigen dazu, die verschobenen Partikel in die Gleichgewichtsposition zurückzuführen. In diesem Fall wirken elastische Kräfte auf die nächstgelegenen unverschobenen Teilchen und neigen dazu, diese aus der Gleichgewichtsposition abzulenken. Dadurch läuft eine Transversalwelle entlang der Kette.

In Flüssigkeiten und Gasen tritt keine elastische Scherverformung auf. Wenn eine Flüssigkeits- oder Gasschicht gegenüber der benachbarten Schicht um eine gewisse Distanz verschoben wird, treten an der Grenze zwischen den Schichten keine Tangentialkräfte auf. Die an der Grenze einer Flüssigkeit und eines Festkörpers wirkenden Kräfte sowie die Kräfte zwischen benachbarten Schichten einer Flüssigkeit sind immer entlang der Grenznormalen gerichtet – es handelt sich um Druckkräfte. Das Gleiche gilt auch für gasförmige Medien. Somit, Transversalwellen können in flüssigen oder gasförmigen Medien nicht existieren.

Von erheblichem Interesse für die Praxis sind einfache harmonische oder sinusförmige Wellen . Sie zeichnen sich aus AmplitudeA Teilchenschwingungen, FrequenzF Und Wellenlängeλ. Sinusförmige Wellen breiten sich in homogenen Medien mit einer konstanten Geschwindigkeit υ aus.

Voreingenommenheit j (X, T) Teilchen des Mediums aus der Gleichgewichtslage in einer Sinuswelle hängen von der Koordinate ab X auf Achse OCHSE, entlang derer sich die Welle ausbreitet, und von der Zeit T vor dem Gesetz.