Praca naukowa: „Historia powstawania równań kwadratowych”. Z historii powstawania równań kwadratowych

Z historii równań kwadratowych Autor: uczennica IX klasy „A” Swietłana Radczenko Opiekun: Alabugina I.A. nauczyciel matematyki MBOU „Szkoła Średnia nr 5 w Guryevsku” obwód kemerowski Obszar tematyczny prezentacji: matematyka Stworzone, aby pomóc nauczycielowi Razem 20 slajdów Spis treści Wprowadzenie…………………………………………… …………… ……………3 Z historii pochodzenia równania kwadratowe Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie………………………………….4 Równania kwadratowe w Indiach…………………………………………………………...5 Równania kwadratowe w Al-Khorezmi……………………………………………………6 Jak Diofantos układał i rozwiązywał równania kwadratowe………………………7 Równania kwadratowe w Europa Xll – XVIII w.……………………………...8 3. Równania kwadratowe współcześnie……………………………………………………….10 Metodologia do badania równań kwadratowych…………… ………………………11 10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych………………………………….12 Algorytm rozwiązywania niekompletnych równań kwadratowych………… ………………13 Algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych………………………..14 Rozwiązywanie zadanych równań kwadratowych…………………………………15 4. Zastosowania praktyczne równań kwadratowych do rozwiązywania stosowanych problemów………………… ……………………………………………………………….16 5. Zakończenie. …………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Wykaz wykorzystanej literatury………………… ………………… …………….19 2 Wprowadzenie Za nieszczęśliwy uznaj ten dzień lub tę godzinę, w której nie nauczyłeś się niczego nowego, nie wniosłeś nic do swojej edukacji. Jan Amos Komeński 3 Równania kwadratowe są fundamentem, na którym opiera się majestatyczny gmach algebry. Są szeroko stosowane w rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, irracjonalnych i przestępnych. Równania kwadratowe zajmują czołowe miejsce w szkolnym kursie algebry. Dużo czasu na szkolnych zajęciach z matematyki poświęca się ich nauce. Zasadniczo równania kwadratowe służą konkretnym celom praktycznym. Większość problemów dotyczących form przestrzennych i relacji ilościowych w świecie rzeczywistym sprowadza się do rozwiązania różne rodzaje równania, w tym kwadratowe. Opanowując sposoby ich rozwiązywania, ludzie znajdują odpowiedzi na różne pytania z zakresu nauki i technologii. Z historii powstania równań kwadratowych Starożytny Babilon: już około 2000 lat p.n.e. Babilończycy wiedzieli, jak rozwiązywać równania kwadratowe. Znane były metody rozwiązywania zarówno pełnych, jak i niepełnych równań kwadratowych. Na przykład w starożytnym Babilonie rozwiązano następujące równania kwadratowe: 4 Indie Problemy rozwiązywane za pomocą równań kwadratowych można znaleźć w traktacie o astronomii „Aryabhattiam”, napisanym przez indyjskiego astronoma i matematyka Aryabhattę w 499 r. n.e. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta, przedstawił uniwersalną zasadę rozwiązywania równania kwadratowego zredukowanego do postaci kanonicznej: ax2+bx=c; Ponadto założono, że wszystkie znajdujące się w nim współczynniki, z wyjątkiem „a”, mogą być ujemne. Zasada sformułowana przez naukowca w zasadzie pokrywa się z zasadą współczesną. 5 Równania kwadratowe w Al-Khorezmi: W traktacie algebraicznym Al-Khorezmi podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor wyróżnia 6 rodzajów równań, wyrażając je w następujący sposób: „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. ax2 = bx.; „Kwadraty są równe liczbom”, tj. ax2 = c; „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax = c; „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór2 + c = bx; „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 + bx = c; „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c = ax2. 6 Jak Diofantos układał i rozwiązywał równania kwadratowe: Jednym z najbardziej wyjątkowych starożytnych matematyków greckich był Diofantos z Aleksandrii. Ani rok urodzenia, ani data śmierci Diofantusa nie zostały wyjaśnione; Uważa się, że żył w III wieku. OGŁOSZENIE Spośród dzieł Diofantosa najważniejsza jest Arytmetyka, z której do dziś przetrwało 13 ksiąg, tylko 6. Arytmetyka Diofantosa nie zawiera systematycznego przedstawienia algebry, zawiera jednak szereg problemów wraz z wyjaśnieniami i rozwiązywanych poprzez konstruowanie równań różnego stopnia. Układając równania, Diofant umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie. 7 Równania kwadratowe w Europie XII-XVII w.: Włoski matematyk Leonard Fibonacci niezależnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie wprowadził liczby ujemne. Ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej x2 + bх = с dla wszystkich możliwych kombinacji znaków i współczynników b, c sformułował w Europie w 1544 roku Michael Stiefel. 8 Francois Viet Francuski matematyk F. Viet (1540-1603), wprowadził system symboli algebraicznych, rozwinął podstawy algebry elementarnej. Jako jeden z pierwszych oznaczył liczby literami, co znacząco rozwinęło teorię równań. Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w ogólna perspektywa Viet to ma, ale Viet dostrzegł tylko pozytywne korzenie. 9 Równania kwadratowe dzisiaj Umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych jest podstawą rozwiązywania innych równań i ich układów. Nauka rozwiązywania równań rozpoczyna się od ich najprostszych typów, a program wyznacza stopniową kumulację obu ich typów oraz „fundusz” przekształceń identycznych i równoważnych, za pomocą których można sprowadzić dowolne równanie do najprostszego. W tym kierunku należy również rozwijać proces opracowywania uogólnionych technik rozwiązywania równań na szkolnym kursie algebry. Na kursie matematyki w szkole średniej uczniowie mają do czynienia z nowymi klasami równań, układów lub z dogłębnym badaniem już znanych równań.10 Metody badania równań kwadratowych Rozpoczynając naukę systematycznego kursu algebry, główna uwaga skupia się na zwrócono uwagę na metody rozwiązywania równań kwadratowych, które stają się szczególnym przedmiotem badań. Tematyka ta charakteryzuje się dużą głębią przedstawienia i bogactwem powiązań nawiązanych przy jego pomocy w nauczaniu, a także logiczną zasadnością prezentacji. Dlatego zajmuje wyjątkową pozycję w ciągu równań i nierówności. Ważnym punktem w badaniu równań kwadratowych jest rozważenie twierdzenia Viety, które stwierdza istnienie związku między pierwiastkami a współczynnikami zredukowanego równania kwadratowego. Trudność w opanowaniu twierdzenia Viety wynika z kilku okoliczności. Przede wszystkim należy wziąć pod uwagę różnicę między twierdzeniami prostymi i odwrotnymi. 11 10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych: Rozłożenie na czynniki lewej strony równania. Metoda wyboru całego kwadratu. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Viety. Rozwiązywanie równań metodą „rzucania” Własności współczynników równania kwadratowego. Graficzne rozwiązanie równania kwadratowego. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą kompasu i linijki. 12 Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą nomogramu. Geometryczna metoda rozwiązywania równań kwadratowych. Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych 1) jeśli równanie ma postać ax2 = 0, to ma jeden pierwiastek x = 0; 2) jeżeli równanie ma postać ax2 + bx = 0, to stosuje się metodę faktoryzacji: x (ax + b) = 0; oznacza to albo x = 0, albo ax + b = 0. W rezultacie otrzymujemy dwa pierwiastki: x1 = 0; x2 = 3) jeżeli równanie ma postać ax2 + c = 0, to przekształca się je do postaci ax2 = - c i wtedy x2.= W przypadku, gdy -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, tj. - = m, gdzie m>0, równanie x2 = m ma dwa pierwiastki. Zatem niekompletne równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki, jeden pierwiastek lub nie mieć pierwiastków. 13 Algorytm rozwiązywania pełnego równania kwadratowego. Są to równania w postaci ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c są podanymi liczbami, a ≠ 0, x jest niewiadomą. Każde pełne równanie kwadratowe można przekształcić do postaci w celu określenia liczby pierwiastków równania kwadratowego i znalezienia tych pierwiastków. Rozważane są następujące przypadki rozwiązywania pełnych równań kwadratowych: D< 0, D = 0, D >0. 1. Jeśli D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D >0, wówczas równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 ma dwa pierwiastki, które można znaleźć za pomocą wzorów: ; 14 Rozwiązanie zredukowanych równań kwadratowych Twierdzenie F. Viety: Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Innymi słowy, jeśli x1 i x2 są pierwiastkami równania x2 +px + q = 0, to x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety: Jeżeli wzory (*) obowiązują dla liczb x1, x2, p, q, to ​​x1 i x2 są pierwiastkami równania x2 +px + q = 0. 15 Zastosowania praktyczne równań kwadratowych do rozwiązywania problemów stosowanych Bhaskar (1114-1185) – największy indyjski matematyk i astronom XII wieku. Kierował obserwatorium astronomicznym w Ujjain. Bhaskara napisał traktat „Siddhanta-shiromani” („Korona nauczania”), składający się z czterech części: „Lilavati” poświęcona arytmetyce, „Bizhdaganita” algebrze, „Goladhaya” sfery i „Granhaganita” teorii ruchy planet. Bhaskara uzyskał ujemne pierwiastki równań, chociaż wątpił w ich znaczenie. Jest właścicielem jednego z najwcześniejszych projektów maszyny perpetuum mobile. 16 Jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskara: Rozwiązanie Bhaskary pokazuje, że autor wiedział, że pierwiastki równań kwadratowych są dwuwartościowe. 17 Zakończenie Rozwój nauki o rozwiązywaniu równań kwadratowych przeszedł długą i ciernistą drogę. Dopiero po pracach Stiefela, Viety, Tartaglii, Cardano, Bombellego, Girarda, Kartezjusza i Newtona nauka o rozwiązywaniu równań kwadratowych przyjęła nowoczesny wygląd. Znaczenie równań kwadratowych polega nie tylko na elegancji i zwięzłości rozwiązywania problemów, choć jest to również bardzo ważne. Równie ważne jest, że w wyniku zastosowania równań kwadratowych do rozwiązywania problemów często odkrywane są nowe szczegóły, można dokonać ciekawych uogólnień i dokonać wyjaśnień, co sugeruje analiza otrzymanych wzorów i zależności. Studiując literaturę i zasoby internetowe związane z historią rozwoju równań kwadratowych, zadałem sobie pytanie: „Co motywowało naukowców żyjących w tak trudnych czasach do zajmowania się nauką, nawet pod groźbą śmierci?” Prawdopodobnie kluczem do rozwoju nauki jest przede wszystkim dociekliwość ludzkiego umysłu. Pytania o istotę Świata, o miejsce człowieka w tym świecie nieustannie dręczą myślących, dociekliwych, inteligentnych ludzi. Ludzie zawsze starali się zrozumieć siebie i swoje miejsce w świecie. Spójrz w głąb siebie, może cierpi Twoja naturalna ciekawość, bo poddałaś się codzienności i lenistwu? Losy wielu naukowców to 18 przykładów do naśladowania. Nie wszystkie nazwiska są dobrze znane i popularne. Pomyśl o tym: jaki jestem dla bliskich mi osób? Ale najważniejsze jest to, co o sobie myślę, czy zasługuję na szacunek? Pomyśl o tym... Referencje 1. Zvavich L.I. „Algebra 8. klasa”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. „ słownik encyklopedyczny młody matematyk”, M., 1985. 3. Yu.N.Makarychev „Algebra 8. klasa”, M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Dziękuję o uwagę 20

Przedstawiciele różnych cywilizacji: Starożytny Egipt, Starożytny Babilon, Starożytna Grecja, Starożytne Indie, Starożytne Chiny, Średniowieczny Wschód, Europa opanowała techniki rozwiązywania równań kwadratowych.

Po raz pierwszy matematycy starożytnego Egiptu byli w stanie rozwiązać równanie kwadratowe. Jeden z papirusów matematycznych zawiera następujący problem:

„Znajdź boki pola w kształcie prostokąta, jeśli jego pole wynosi 12, a długości są równe jego szerokości”. „Długość pola wynosi 4” – podaje papirus.

Minęły tysiąclecia i liczby ujemne weszły do ​​algebry. Rozwiązując równanie x²= 16, otrzymujemy dwie liczby: 4, –4.

Oczywiście w zagadnieniu egipskim przyjęlibyśmy X = 4, ponieważ długość pola może być tylko wielkością dodatnią.

Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy dysponowali pewnymi ogólnymi technikami rozwiązywania problemów z nieznanymi wielkościami. Zasada rozwiązywania równań kwadratowych podana w tekstach babilońskich jest zasadniczo taka sama jak zasada współczesna, nie wiadomo jednak, w jaki sposób Babilończycy „dotarli tak daleko”. Jednak prawie we wszystkich znalezionych tekstach papirusowych i klinowych podane są jedynie problemy z rozwiązaniami. Autorzy jedynie sporadycznie opatrywali swoje obliczenia numeryczne skąpymi komentarzami typu: „Patrz!”, „Zrób to!”, „Znalazłeś właściwy!”

Grecki matematyk Diofantos ułożył i rozwiązał równania kwadratowe. Jego Arytmetyka nie zawiera systematycznego przedstawienia algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i które są rozwiązywane poprzez konstruowanie równań różnego stopnia.

Problemy z układaniem równań kwadratowych można znaleźć już w traktacie astronomicznym „Aria-bhatiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę.

Opisał inny indyjski naukowiec Brahmagupta (VII wiek). główna zasada rozwiązywanie równań kwadratowych postaci ax² + bx = c.

W starożytnych Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. Jedna ze starych indyjskich ksiąg tak mówi o takich konkursach: „Jak słońce swym blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak samo uczony człowiek przyćmi chwałę innego zgromadzenia ludowe, proponowanie i rozwiązywanie problemów algebraicznych.” Problemy często przedstawiano w formie poetyckiej.

Jest to jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskars:

Stado rozbrykanych małp

Po zjedzeniu do syta dobrze się bawiłem.

Część ósma bawiła się na polanie na placu.

A dwanaście na winorośli... zaczęło skakać, wisieć...​

Ile było małp?

Powiedz mi, w tej paczce?

Rozwiązanie Bhaskary pokazuje, że wiedział, że pierwiastki równań kwadratowych mają dwie wartości.

Najstarsze chińskie teksty matematyczne, które do nas dotarły, pochodzą z końca I wieku. PNE. W II wieku. PNE. Napisano Matematykę w dziewięciu księgach. Później, w VII wieku, włączono go do zbioru „Dziesięć traktatów klasycznych”, który był studiowany przez wiele stuleci. Traktat „Matematyka w dziewięciu księgach” wyjaśnia, jak wyodrębniać Pierwiastek kwadratowy korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch liczb.

Metodę tę nazwano „Tian Yuan” (dosłownie „ element niebiański") - tak Chińczycy oznaczali nieznaną ilość.​

Pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, który stał się powszechnie znany, było dzieło naukowca z Bagdadu z IX wieku. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Słowo „al-jabr” z czasem zamieniło się w dobrze znane słowo „algebra”, a sama praca al-Khorezmi stała się punktem wyjścia w rozwoju nauki o rozwiązywaniu równań. Traktat algebraiczny Al-Khwarizmiego podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych. Autor wyróżnia sześć rodzajów równań, wyrażając je w następujący sposób:

-kwadraty równe pierwiastki, czyli ach ² = bх;

-kwadraty równej liczbie, czyli ach ² = s;

-pierwiastki są równe liczbie, czyli topór = c;

-kwadraty i liczby są równe pierwiastkom, czyli ach ²+ с = bх;

-kwadraty i pierwiastki są równe liczbie, czyli ach ² + bх = с;

-pierwiastki i liczby są równe kwadratom, czyli bx + c = ax ²;

Traktat Al-Khwarizmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, która systematycznie przedstawia klasyfikację równań kwadratowych i podaje wzory na ich rozwiązanie.

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych wzorowane na al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w Księdze liczydła, napisanej w 1202 roku przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie wprowadził liczby ujemne. Jego książka przyczyniła się do szerzenia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele problemów z „Księgi liczydła” znalazło się w prawie wszystkich europejskich podręcznikach XVI-XVII wieku. i częściowo z XVIII w.

Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowana do jednej postaci kanonicznej x ² + bх = с, dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników b i с sformułował w Europie dopiero w 1544 roku M. Stiefel.

Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, ale rozpoznał także tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Oprócz korzeni pozytywnych i negatywnych są one brane pod uwagę. Dopiero w XVII wieku, dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców, metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabrała nowoczesnej formy.

​

​

Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale także drugiego stopnia w czasach starożytnych spowodowana była koniecznością rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem powierzchni działek i roboty ziemne o charakterze militarnym, a także z rozwojem samej astronomii i matematyki. Babilończycy potrafili rozwiązywać równania kwadratowe około 2000 lat przed naszą wiarą. Używając współczesnej notacji algebraicznej, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych, oprócz niekompletnych, znajdują się na przykład pełne równania kwadratowe: Zasada rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, pokrywa się ze współczesną, nie wiadomo jednak, w jaki sposób Babilończycy zdobyli tam zasady. Prawie wszystkie odnalezione dotychczas teksty klinowe przedstawiają jedynie problemy z rozwiązaniami zawartymi w formie przepisów, bez wskazania, w jaki sposób je odnaleziono. Pomimo wysoki poziom rozwoju algebry w Babilonii, w tekstach klinowych brakuje pojęcia liczby ujemnej i metody ogólne rozwiązywanie równań kwadratowych.

Jak Diofantos ułożył i rozwiązał równania kwadratowe „Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn wynosi 96.” Diofantos rozumuje w następujący sposób: z warunków zadania wynika, że ​​wymagane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, to ich iloczyn nie wynosiłby 96, ale 100. Zatem jednym z nich byłoby więcej niż połowa ich kwoty, tj. 10+X, drugi jest mniejszy, tj. 10-X. Różnica między nimi wynosi 2X, zatem X=2. Jedna z wymaganych liczb to 12, druga to 8. Rozwiązanie X = -2 nie istnieje dla Diofantosa, ponieważ grecka matematyka znała tylko liczby dodatnie. RÓWNANIE: lub:

Równania kwadratowe w Indiach Zagadnienia równań kwadratowych można znaleźć także w traktacie astronomicznym „Aryabhattiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski uczony, Brahmagupta, nakreślił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzoną do jednej postaci kanonicznej: ax ² +bx=c, a>0 Jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII w. Bhaskary Stado rozbrykanych małp , jedząc do syta, dobrze się bawili. Część ósma Na placu bawiłem się na polanie. A dwanaście na winorośli... Zaczęli skakać wisząc... Ile małp było, powiedz mi, w tym stadzie? Równanie odpowiadające problemowi: Baskara pisze w formie: Dodano lewa strona do kwadratu, 0 Jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku Bhaskary Stado rozbrykanych małp, po zjedzeniu do syta, dobrze się bawiło. Część ósma Na placu bawiłem się na polanie. A dwanaście na winorośli... Zaczęli skakać wisząc... Ile małp było, powiedz mi, w tym stadzie? Równanie odpowiadające problemowi: Baskara pisze w formie: Uzupełniłem lewą stronę do kwadratu, „>

Równania kwadratowe w starożytnej Azji Tak środkowoazjatycki naukowiec al-Khwarizmi rozwiązał to równanie: Napisał: „Zasada jest następująca: podwoić liczbę pierwiastków, x = 2x5, w tym zadaniu otrzymasz pięć, pomnóż 5 przez tę równość do tego będzie dwadzieścia pięć, 5 ·5=25 dodaj to do trzydziestu dziewięciu, wyjdzie sześćdziesiąt cztery, 64 weź z tego pierwiastek, wyjdzie osiem, 8 i odejmij od tej połowy liczbę pierwiastki, tj. pięć, 8-5 pozostanie 3, to będzie pierwiastek kwadratu, którego szukałem. A co z drugim korzeniem? Drugiego pierwiastka nie znaleziono, ponieważ nie były znane liczby ujemne. xx = 39

Równania kwadratowe w Europie XIII-XVII w. Ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzoną do jednej postaci kanonicznej x2+inx+c=0 sformułował w Europie dopiero Stiefel w 1544 r. Wzory rozwiązywania równań kwadratowych w Europie po raz pierwszy podał w 1202 r. włoski matematyk Leonard Fibonacci. Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w postaci ogólnej jest dostępne u Viète, ale Viète rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Dopiero w XVII w. dzięki pracom Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnej formy

O twierdzeniu Viety Twierdzenie wyrażające związek współczynników równania kwadratowego z jego pierwiastkami, noszące nazwę Vieta, zostało przez niego po raz pierwszy sformułowane w 1591 roku w następujący sposób: „Jeśli B + D pomnożone przez A-A równa się BD, wówczas A jest równe B i równe D.” Aby zrozumieć Vietę, należy pamiętać, że A, jak każda litera samogłoskowa, oznaczało nieznane (nasze x), natomiast samogłoski B, D są współczynnikami nieznanego. W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Vieta oznacza: Jeżeli dane równanie kwadratowe x 2 +px+q=0 ma pierwiastki rzeczywiste, to ich suma jest równa -p, a iloczyn jest równy q, czyli x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (suma pierwiastków powyższego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu ).

Metoda faktoryzacji sprowadza ogólne równanie kwadratowe do postaci: A(x)·B(x)=0, gdzie A(x) i B(x) są wielomianami względem x. Cel: Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów; Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie; Metoda grupowania. Metody: Przykład:

Pierwiastki równania kwadratowego: Jeśli D>0, Jeśli D 0, Jeśli D"> 0, Jeśli D"> 0, Jeśli D" title="Pierwiastki równania kwadratowego: Jeśli D>0, Jeśli D"> title="Pierwiastki równania kwadratowego: Jeśli D>0, Jeśli D"> !}

X 1 i x 2 są pierwiastkami równania. Rozwiązywanie równań przy użyciu twierdzenia Viety X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 X 2 = – 10, co oznacza, że ​​pierwiastki mają różne znaki X 1 + X 2 = – 3, co oznacza, że ​​pierwiastek o większym module jest ujemny.W drodze selekcji znajdujemy pierwiastki: X 1 = – 5, X 2 = 2 Na przykład:

0, korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety, otrzymujemy pierwiastki: 5;6, następnie wracamy do pierwiastków pierwotnego równania: 2,5; 3. Odpowiedź: 2,5; 3. Rozwiązanie równania" title="Rozwiąż równanie: 2x 2 - 11x +15 = 0. Przenieśmy współczynnik 2 na wolny wyraz 2 - 11y +30= 0. D>0, zgodnie do twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety otrzymujemy pierwiastki: 5,6, następnie wracamy do pierwiastków pierwotnego równania: 2,5, 3. Odpowiedź: 2,5, 3. Rozwiązanie równania" class="link_thumb"> 14 !} Rozwiązujemy równanie: 2x x +15 = 0. Przenosimy współczynnik 2 na wyraz wolny y y +30= 0. D>0, zgodnie z twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Viety, otrzymujemy pierwiastki: 5;6, wtedy otrzymujemy wróć do pierwiastków pierwotnego równania: 2, 5; 3. Odpowiedź: 2,5; 3. Rozwiązywanie równań metodą „rzutu”. 0, korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety, otrzymujemy pierwiastki: 5;6, następnie wracamy do pierwiastków pierwotnego równania: 2,5; 3. Odpowiedź: 2,5; 3. Rozwiązanie równania „> 0, zgodnie z twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Viety, otrzymujemy pierwiastki: 5;6, następnie wracamy do pierwiastków pierwotnego równania: 2,5; 3. Odpowiedź: 2,5; 3. Rozwiązanie równań metodą „przeniesienia”.” > 0, z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety otrzymujemy pierwiastki: 5;6, następnie wracamy do pierwiastków pierwotnego równania: 2,5; 3. Odpowiedź: 2,5; 3. Rozwiązanie równania" title="Rozwiąż równanie: 2x 2 - 11x +15 = 0. Przenieśmy współczynnik 2 na wolny wyraz 2 - 11y +30= 0. D>0, zgodnie do twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety otrzymujemy pierwiastki: 5,6, następnie wracamy do pierwiastków pierwotnego równania: 2,5, 3. Odpowiedź: 2,5, 3. Rozwiązanie równania"> title="Rozwiąż równanie: 2x 2 - 11x +15 = 0. Przenieśmy współczynnik 2 na wyraz wolny y 2 - 11y +30= 0. D>0, z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety, otrzymamy pierwiastki: 5; 6, następnie wracamy do pierwiastków pierwotnych równań: 2,5; 3. Odpowiedź: 2,5; 3. Rozwiązanie równania"> !}

Jeżeli w równaniu kwadratowym a+b+c=0, to jeden z pierwiastków jest równy 1, a drugi według twierdzenia Viety jest równy drugiemu według twierdzenia Viety jest równy Jeśli w równaniu kwadratowym a+c=b , to jeden z pierwiastków jest równy (-1), a drugi zgodnie z twierdzeniem Viety jest równy Przykład: Własności współczynników równania kwadratowego 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Odpowiedź: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Odpowiedź: 1;

Graficzna metoda rozwiązywania równania kwadratowego Bez użycia wzorów można rozwiązać równanie kwadratowe graficznie. Rozwiążmy równanie.W tym celu zbudujemy dwa wykresy: X Y X 01 Y012 Odpowiedź: Odcięte punktów przecięcia wykresów będą pierwiastkami równania. Jeżeli wykresy przecinają się w dwóch punktach, wówczas równanie ma dwa pierwiastki. Jeśli wykresy przecinają się w jednym punkcie, równanie ma jeden pierwiastek. Jeśli wykresy się nie przecinają, równanie nie ma pierwiastków. 1)y=x2 2)y=x+1

Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą nomogramu Jest to stara i niezasłużenie zapomniana metoda rozwiązywania równań kwadratowych, umieszczona na s. 83 „Czterocyfrowe tablice matematyczne” Bradis V.M. Tabela XXII. Nomogram do rozwiązywania równania Nomogram ten pozwala, bez rozwiązywania równania kwadratowego, wyznaczyć pierwiastki równania na podstawie jego współczynników. W przypadku równania nomogram daje pierwiastki

Geometryczna metoda rozwiązywania równań kwadratowych W czasach starożytnych, kiedy geometria była bardziej rozwinięta niż algebra, równania kwadratowe rozwiązywano nie algebraicznie, ale geometrycznie. Ale na przykład, jak starożytni Grecy rozwiązywali równanie: czyli Wyrażenia i geometrycznie przedstawiały ten sam kwadrat, a pierwotne równanie było tym samym równaniem. Skąd co dostajemy, lub

Podsumowanie Wymienione metody rozwiązywania zasługują na uwagę, gdyż nie wszystkie znajdują odzwierciedlenie w szkolnych podręcznikach matematyki; opanowanie tych technik pomoże uczniom zaoszczędzić czas i skutecznie rozwiązywać równania; potrzebuję w szybkie rozwiązanie w związku ze stosowaniem testowego systemu egzaminów wstępnych;

a) Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale także drugiego stopnia, już w czasach starożytnych, spowodowana była koniecznością rozwiązywania problemów związanych z ustalaniem powierzchni działek oraz pracami wykopaliskowymi o charakterze wojskowym, a także podobnie jak rozwój samej astronomii i matematyki. Równania kwadratowe można było rozwiązać około 2000 roku p.n.e. Babilończycy. Korzystając ze współczesnej notacji algebraicznej, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych oprócz niekompletnych znajdują się na przykład pełne równania kwadratowe:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Zasada rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się ze współczesną, nie wiadomo jednak, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Prawie wszystkie odnalezione dotychczas teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami zawartymi w formie przepisów, bez wskazania, w jaki sposób je odnaleziono.

Pomimo wysokiego poziomu rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje pojęcia liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

Arytmetyka Diofantosa nie zawiera systematycznego przedstawienia algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i które są rozwiązywane poprzez konstruowanie równań różnego stopnia.

Układając równania, Diofant umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.

Oto na przykład jedno z jego zadań.

Zadanie 2. „Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn wynosi 96.”

Diofantus rozumuje w następujący sposób: z warunków problemu wynika, że ​​wymagane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, ich iloczyn nie byłby równy 96, ale 100. Zatem jedna z nich będzie większa niż połowa ich sumy, tj. 0,10 + x. Drugi jest mniejszy, tj. 10 - x. Różnica między nimi wynosi 2x. Stąd równanie:

(10+x)(10-x) =96,

Lub

Stąd x = 2. Jedna z wymaganych liczb to 12, druga to 8. Dla Diofantosa rozwiązanie x = - 2 nie istnieje, ponieważ grecka matematyka znała tylko liczby dodatnie.

Jeśli rozwiążesz ten problem, wybierając jedną z wymaganych liczb jako niewiadomą, możesz dojść do rozwiązania równania:

Oczywiste jest, że wybierając połowę różnicy wymaganych liczb jako niewiadomą, Diofant upraszcza rozwiązanie; udaje mu się sprowadzić problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego.
b) Równania kwadratowe w Indiach.

Zagadnienia równań kwadratowych można znaleźć już w traktacie astronomicznym „Aryabhattiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII w.), ustalił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do jednej postaci kanonicznej

Oh 2 + Bx = do, a > 0

W równaniu współczynniki z wyjątkiem A, może być negatywny. Reguła Brahmagupty jest zasadniczo taka sama jak nasza.

W Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. Jedna ze starych indyjskich ksiąg tak mówi o takich konkursach: „Jak słońce swym blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczony przyćmi swą chwałę na zgromadzeniach publicznych, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Problemy często przedstawiano w formie poetyckiej.

Jest to jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskars.

Zadanie 3.

Równanie odpowiadające zagadnieniu 3 to:

Bhaskara pisze pod przykrywką:

x 2 - 64x = - 768

i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje 32 2 do obu stron, otrzymując w ten sposób:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Równania kwadratowe Al-Khorezmiego

Traktat algebraiczny Al-Khwarizmiego podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych. Autor wyróżnia 6 rodzajów równań, wyrażając je w następujący sposób:

1. 
   „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. ax 2 = bx.
2. 
   „Kwadraty są równe liczbom”, tj. topór 2 = c.
3. 
   „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. topór = c.
4. 
   „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = bx.
5. 
   „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax 2 + bx = c.
6. 
   „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c == ax 2.

Podajmy przykład.

Zadanie 4. „Kwadrat i liczba 21 równają się 10 pierwiastkom. Znajdź pierwiastek” (czyli pierwiastek równania x 2 + 21 = 10x).

Rozwiązanie: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5 przez siebie, odejmij 21 od iloczynu, zostanie 4. Weź pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5, otrzymasz 3, to będzie pożądanym korzeniem. Lub dodaj 2 do 5, co daje 7, to także jest pierwiastek.

Traktat Al-Khorezmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, która systematycznie przedstawia klasyfikację równań kwadratowych i podaje wzory na ich rozwiązanie.

d) Równania kwadratowe w Europie XIII-XVII w.

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych wzorowane na al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w „Księdze liczydła”, napisanej w 1202 roku przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego. To obszerne dzieło, odzwierciedlające wpływ matematyki zarówno z krajów islamskich, jak i starożytnej Grecji, wyróżnia się kompletnością i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do szerzenia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zagadnień z Księgi liczydła wykorzystano w niemal wszystkich podręcznikach europejskich XVI-XVII w. i częściowo XVIII.

Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowana do jednej postaci kanonicznej

x 2 + bx = c,

dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników B, Z została sformułowana w Europie dopiero w 1544 roku przez M. Stiefela.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w postaci ogólnej jest dostępne w Vieta, ale Vieta rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Oprócz pozytywnych, brane są pod uwagę również pierwiastki negatywne. Dopiero w XVII w. Dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnej formy.

Początki algebraicznych metod rozwiązywania problemów praktycznych wiążą się z nauką świat starożytny. Jak wiadomo z historii matematyki, znaczna część problemów o charakterze matematycznym, rozwiązywanych przez egipskich, sumeryjskich, babilońskich skrybów-kalkulatorów (XX-VI wiek p.n.e.), miała charakter obliczeniowy. Jednak nawet wtedy od czasu do czasu pojawiały się problemy, w których pożądana wartość wielkości była określona przez pewne warunki pośrednie, które z naszego współczesnego punktu widzenia wymagały złożenia równania lub układu równań. Początkowo do rozwiązywania takich problemów stosowano metody arytmetyczne. Następnie zaczęły powstawać początki pojęć algebraicznych. Na przykład kalkulatory babilońskie były w stanie rozwiązać problemy, które z punktu widzenia można zredukować nowoczesna klasyfikacja do równań drugiego stopnia. Powstała metoda rozwiązywania problemów tekstowych, która później posłużyła jako podstawa do wyodrębnienia składnika algebraicznego i jego samodzielnego badania.

Badanie to zostało przeprowadzone w innej epoce, najpierw przez matematyków arabskich (VI-X w. n.e.), którzy zidentyfikowali charakterystyczne działania, za pomocą których równania sprowadzały się do postaci standardowy widok wprowadzanie podobnych terminów, przenoszenie terminów z jednej części równania do drugiej ze zmianą znaku. A potem przez europejskich matematyków renesansu, którzy w wyniku długich poszukiwań stworzyli język współczesnej algebry, użycie liter, wprowadzenie symboli dla działań arytmetycznych, nawiasów itp. Na przełomie XVI i XVI-XVII-go wieku XVII wiek. Algebra jako specyficzna część matematyki, posiadająca własny przedmiot, metodę i obszary zastosowań, była już ukształtowana. Jej dalszy rozwój, aż do naszych czasów, polegał na udoskonalaniu metod, rozszerzaniu zakresu zastosowań, wyjaśnianiu pojęć i ich powiązań z pojęciami innych działów matematyki.

Zatem, biorąc pod uwagę wagę i ogrom materiału związanego z pojęciem równania, jego badanie w nowoczesne metody matematyka kojarzona jest z trzema głównymi obszarami jej powstania i funkcjonowania.