Volumet av en kropp dannet av rotasjonen av en figur. Integrert i handling

Leksjonstype: kombinert.

Mål for leksjonen: lære å beregne volumene til revolusjonslegemer ved hjelp av integraler.

Oppgaver:

konsolidere evnen til å identifisere krumlinjede trapeser fra en rekke geometriske figurer og utvikle ferdighetene til å beregne arealene til krumlinjede trapeser;
bli kjent med konseptet med en tredimensjonal figur;
lære å beregne volumene til revolusjonslegemer;
fremme utvikling logisk tenkning, kompetent matematisk tale, nøyaktighet når du konstruerer tegninger;
å dyrke interesse for faget, i å operere med matematiske begreper og bilder, å dyrke vilje, selvstendighet og utholdenhet for å oppnå det endelige resultatet.

Leksjonsfremgang

I. Organisatorisk øyeblikk.

Hilsen fra gruppa. Formidle leksjonsmålene til elevene.

Speilbilde. Rolig melodi.

– Jeg vil starte dagens leksjon med en lignelse. «Det var en gang en klok mann som visste alt. En mann ville bevise at vismannen ikke vet alt. Han holdt en sommerfugl i hendene og spurte: "Fortell meg, vismann, hvilken sommerfugl er i hendene mine: død eller levende?" Og han tenker selv: «Hvis den levende sier: Jeg vil drepe henne, da vil jeg si: Jeg vil slippe henne løs.» Vismannen, etter å ha tenkt seg om, svarte: "Alt er i dine hender." (Presentasjon.Skyv)

– La oss derfor jobbe fruktbart i dag, tilegne oss ny kunnskap og bruke de tilegnete ferdighetene og evnene i senere liv og i praktiske aktiviteter. "Alt er i dine hender."

II. Repetisjon av tidligere studert materiale.

– La oss huske hovedpunktene i det tidligere studerte materialet. For å gjøre dette, la oss fullføre oppgaven "Eliminér det ekstra ordet."(Skyv.)

(Eleven går til I.D. bruker et viskelær for å fjerne det ekstra ordet.)

- Rett "Differensial". Prøv å navngi de resterende ordene med ett vanlig ord. (Integralregning.)

– La oss huske hovedstadiene og konseptene knyttet til integralregning.

"Matematisk gjeng".

Øvelse. Gjenopprett hullene. (Eleven kommer ut og skriver de nødvendige ordene med en penn.)

– Vi vil høre et sammendrag om anvendelse av integraler senere.

Arbeid i notatbøker.

– Newton-Leibniz-formelen ble utledet av den engelske fysikeren Isaac Newton (1643–1727) og den tyske filosofen Gottfried Leibniz (1646–1716). Og dette er ikke overraskende, for matematikk er språket som snakkes av naturen selv.

– La oss vurdere hvordan denne formelen brukes til å løse praktiske problemer.

Eksempel 1: Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer

Løsning: La oss bygge grafer over funksjoner på koordinatplanet . La oss velge området av figuren som må finnes.

III. Lære nytt stoff.

– Vær oppmerksom på skjermen. Hva vises på det første bildet? (lysbilde) (Figuren viser en flat figur.)

– Hva vises på det andre bildet? Er denne figuren flat? (lysbilde) (Figuren viser en tredimensjonal figur.)

– I verdensrommet, på jorden og i hverdagen Vi møter ikke bare flate figurer, men også tredimensjonale, men hvordan kan vi beregne volumet til slike kropper? For eksempel volumet til en planet, komet, meteoritt, etc.

– Folk tenker på volum både når man bygger hus og når man heller vann fra ett kar til et annet. Regler og teknikker for å beregne volumer måtte dukke opp hvor nøyaktige og rimelige de var, er en annen sak.

Melding fra en student. (Tyurina Vera.)

Året 1612 var svært fruktbart for innbyggerne i den østerrikske byen Linz, der den kjente astronomen Johannes Kepler bodde, spesielt for druer. Folk forberedte vintønner og ønsket å vite hvordan de praktisk talt kunne bestemme volumene deres. (lysbilde 2)

– Dermed la Keplers betraktede verk grunnlaget for en hel strøm av forskning som kulminerte i siste fjerdedel av 1600-tallet. design i verkene til I. Newton og G.V. Leibniz av differensial- og integralregning. Fra den tid av tok matematikken til variabler en ledende plass i systemet for matematisk kunnskap.

– I dag skal du og jeg delta i slike praktiske aktiviteter, derfor,

Temaet for leksjonen vår: "Beregne volumene til rotasjonslegemer ved å bruke en bestemt integral." (lysbilde)

– Du vil lære definisjonen av et rotasjonslegeme ved å fullføre følgende oppgave.

"Labyrint".

Labyrint (gresk ord) betyr å gå under jorden. En labyrint er et intrikat nettverk av stier, passasjer og sammenhengende rom.

Men definisjonen var "ødelagt", og etterlot ledetråder i form av piler.

Øvelse. Finn en vei ut av den forvirrende situasjonen og skriv ned definisjonen.

Skyv. "Kartinstruksjon" Beregning av volumer.

Ved å bruke et bestemt integral kan du beregne volumet til et bestemt legeme, spesielt et revolusjonslegeme.

Et revolusjonslegeme er et legeme oppnådd ved å rotere en buet trapes rundt bunnen (fig. 1, 2)

Volumet til et rotasjonslegeme beregnes ved å bruke en av formlene:

1. rundt OX-aksen.

2. , hvis rotasjonen av en buet trapes rundt aksen til op-ampen.

Hver elev får et instruksjonskort. Læreren legger vekt på hovedpoengene.

– Læreren forklarer løsningene til eksemplene på tavlen.

Tenk på et utdrag fra kjent eventyr A. S. Pushkin "Fortellingen om tsar Saltan, om hans strålende og mektige helt prins Guidon Saltanovich og om den vakre prinsesse Svanen" (lysbilde 4):

…..
Og den berusede budbringeren brakte
Samme dag er rekkefølgen som følger:
«Kongen beordrer guttene sine,
Uten å kaste bort tid,
Og dronningen og avkommet
Kast i all hemmelighet ned i vannets avgrunn.»
Det er ingenting å gjøre: gutter,
Bekymring for suverenen
Og til den unge dronningen,
En folkemengde kom til soverommet hennes.
De erklærte kongens vilje -
Hun og sønnen hennes har en ond del,
Vi leser dekretet høyt,
Og dronningen i samme time
De la meg i en tønne med sønnen min,
De tjæret og kjørte bort
Og de slapp meg inn i okiyan -
Dette er hva tsar Saltan beordret.

Hva skal volumet på tønnen være slik at dronningen og sønnen hennes får plass i den?

– Vurder følgende oppgaver

1. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere rundt ordinataksen til en krumlinjet trapes avgrenset av linjer: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Svar: 1163 cm 3 .

Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere en parabolsk trapes rundt abscisseaksen y = , x = 4, y = 0.

IV. Konsoliderer nytt materiale

Eksempel 2. Regn ut volumet av kroppen som dannes ved rotasjonen av kronbladet rundt x-aksen y = x 2, y 2 = x.

La oss bygge grafer av funksjonen. y = x 2, y 2 = x. Rute y2 = x konvertere til skjemaet y= .

Vi har V = V 1 – V 2 La oss beregne volumet til hver funksjon

– La oss nå se på tårnet for radiostasjonen i Moskva på Shabolovka, bygget i henhold til designet til den bemerkelsesverdige russiske ingeniøren, æresakademikeren V. G. Shukhov. Den består av deler - hyperboloider av rotasjon. Dessuten er hver av dem laget av rette metallstenger som forbinder tilstøtende sirkler (fig. 8, 9).

- La oss vurdere problemet.

Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere hyperbelbuene rundt sin imaginære akse, som vist i fig. 8, hvor

kube enheter

Gruppeoppgaver. Elevene trekker lodd med oppgaver, tegner tegninger på whatman-papir, og en av grupperepresentantene forsvarer arbeidet.

1. gruppe.

Treff! Treff! Nok et slag!
Ballen flyr i mål - BALL!
Og dette er en vannmelonball
Grønn, rund, velsmakende.
Ta en bedre titt - for en ball!
Den er laget av ingenting annet enn sirkler.
Skjær vannmelonen i sirkler
Og smak på dem.

Finn volumet av kroppen oppnådd ved rotasjon rundt OX-aksen til funksjonen begrenset

Feil! Bokmerket er ikke definert.

– Fortell meg hvor vi møter denne figuren?

Hus. oppgave for 1 gruppe. SYLINDER (lysbilde) .

"Sylinder - hva er det?" – Jeg spurte faren min.
Faren lo: Topphatten er en lue.
For å ha en riktig idé,
En sylinder, la oss si, er en blikkboks.
Dampbåtrør - sylinder,
Røret på taket vårt også,

Alle rør ligner på en sylinder.
Og jeg ga et eksempel som dette -
Kaleidoskop Min kjærlighet,
Du kan ikke ta øynene fra ham,
Og det ser også ut som en sylinder.

- Trening. Lekser tegne grafen for funksjonen og beregne volumet.

2. gruppe. KEGLE (lysbilde).

Mamma sa: Og nå
Min historie vil handle om kjeglen.
Stjernekikker i høy hatt
Teller stjernene hele året.
KEGLE - stjernekikkerhatt.
Det er slik han er. Forstått? Det er det.
Mamma sto ved bordet,
Jeg helte olje på flasker.
-Hvor er trakten? Ingen trakt.
Se etter det. Ikke stå på sidelinjen.
- Mamma, jeg gir meg ikke.
Fortell meg mer om kjeglen.
– Trakten er i form av en vannkannekjegle.
Kom igjen, finn henne for meg raskt.
Jeg fant ikke trakten
Men mamma laget en pose,
Jeg surret pappen rundt fingeren
Og hun festet den behendig med en binders.
Oljen renner, mamma er glad,
Kjeglen kom akkurat ut.

Øvelse. Beregn volumet til et legeme oppnådd ved å rotere rundt abscisseaksen

Hus. oppgave for 2. gruppe. PYRAMIDE(lysbilde).

Jeg så bildet. På dette bildet
Det er en PYRAMIDE i sandørkenen.
Alt i pyramiden er ekstraordinært,
Det er en slags mystikk og mystikk i det.
Og Spasskaya-tårnet på Røde plass
Det er veldig kjent for både barn og voksne.
Hvis du ser på tårnet, ser det vanlig ut,
Hva er på toppen av det? Pyramide!

Øvelse. Lekser: Tegn graf funksjonen og beregn volumet til pyramiden

– Volumer forskjellige kropper vi beregnet basert på den grunnleggende formelen for volumene av kropper ved å bruke integralet.

Dette er nok en bekreftelse på at det bestemte integralet er et eller annet grunnlag for studiet av matematikk.

– Vel, la oss hvile litt nå.

Finn et par.

Matematisk domino-melodi spiller.

"Veien jeg selv var på jakt etter vil aldri bli glemt..."

Forskningsarbeid. Anvendelse av integralet i økonomi og teknologi.

Tester for sterke elever og matematisk fotball.

Matesimulator.

2. Settet av alle antiderivater av en gitt funksjon kalles

A) en ubestemt integral,

B) funksjon,

B) differensiering.

7. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere rundt abscisseaksen til en krumlinjet trapes avgrenset av linjer:

D/Z. Beregn volumene til rotasjonslegemer.

Speilbilde.

Mottak av refleksjon i formen syncwine(fem linjer).

1. linje – emnenavn (ett substantiv).

2. linje – beskrivelse av emnet med to ord, to adjektiver.

3. linje – beskrivelse av handlingen innenfor dette emnet med tre ord.

Den 4. linjen er en frase på fire ord som viser holdningen til emnet (en hel setning).

Den 5. linjen er et synonym som gjentar essensen av emnet.

Volum.
Definitiv integrert, integrerbar funksjon.
Vi bygger, vi roterer, vi regner.
Et legeme oppnådd ved å rotere en buet trapes (rundt basen).
Rotasjonslegeme (volumetrisk geometrisk legeme).

Konklusjon (lysbilde).

En bestemt integral er et visst grunnlag for studiet av matematikk, som gir et uerstattelig bidrag til å løse praktiske problemer.
Emnet "Integral" viser tydelig sammenhengen mellom matematikk og fysikk, biologi, økonomi og teknologi.
Utvikling moderne vitenskap er utenkelig uten å bruke integralen. I denne forbindelse er det nødvendig å begynne å studere det innenfor rammen av videregående spesialisert utdanning!

Karaktersetting. (Med kommentarer.)

Den store Omar Khayyam - matematiker, poet, filosof. Han oppmuntrer oss til å være herrer over vår egen skjebne. La oss lytte til et utdrag fra hans arbeid:

Du vil si, dette livet er ett øyeblikk.
Sett pris på det, hent inspirasjon fra det.
Når du bruker det, vil det gå over.
Ikke glem: hun er din skapelse.

I. Volumer av revolusjonskropper. Foreløpig studere kapittel XII, avsnitt 197, 198 fra læreboken til G. M. Fikhtengolts * Analyser i detalj eksemplene gitt i avsnitt 198.

508. Beregn volumet til et legeme dannet ved å rotere en ellipse rundt okseaksen.

Slik,

530. Finn overflatearealet som dannes ved rotasjon rundt Ox-aksen til sinusbuen y = sin x fra punkt X = 0 til punkt X = It.

531. Beregn overflatearealet til en kjegle med høyde h og radius r.

532. Beregn overflatearealet som dannes

rotasjon av astroiden x3 -)- y* - a3 rundt Ox-aksen.

533. Beregn overflatearealet som dannes ved å rotere løkken til kurven 18 ug - x (6 - x) z rundt Ox-aksen.

534. Finn overflaten til torusen produsert ved rotasjonen av sirkelen X2 - j - (y-3)2 = 4 rundt okseaksen.

535. Beregn overflatearealet som dannes ved rotasjonen av sirkelen X = en kostnad, y = asint rundt Ox-aksen.

536. Beregn overflatearealet som dannes ved rotasjonen av løkken til kurven x = 9t2, y = St - 9t3 rundt Ox-aksen.

537. Finn overflatearealet som dannes ved å rotere buen til kurven x = e*sint, y = el kostnad rundt Ox-aksen

fra t = 0 til t = —.

538. Vis at overflaten produsert ved rotasjonen av cykloidbuen x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) rundt Oy-aksen er lik 16 u2 o2.

539. Finn overflaten som er oppnådd ved å rotere kardioiden rundt den polare aksen.

540. Finn overflatearealet som dannes ved rotasjonen av lemniscaten Rundt polaraksen.

Tilleggsoppgaver for kapittel IV

Områder av flyfigurer

541. Finn hele området av området avgrenset av kurven Og aksen Ox.

542. Finn arealet av området avgrenset av kurven

Og aksen Ox.

543. Finn delen av området i regionen som ligger i første kvadrant og avgrenset av kurven

Jeg koordinerer akser.

544. Finn området i regionen inne

løkker:

545. Finn arealet av området avgrenset av en sløyfe av kurven:

546. Finn området i området inne i løkken:

547. Finn arealet av området avgrenset av kurven

Og aksen Ox.

548. Finn arealet av området avgrenset av kurven

Og aksen Ox.

549. Finn området i regionen avgrenset av Oxr-aksen

rett og kurve

Bruke integraler for å finne volumene til rotasjonslegemer

Den praktiske nytten av matematikk skyldes at uten

Spesifikk matematisk kunnskap gjør det vanskelig å forstå prinsippene for enheten og bruken av moderne teknologi. Hver person må gjøre nok i livet sitt komplekse beregninger, bruk ofte brukt teknologi, finn i oppslagsverk, bruk de nødvendige formlene, lag enkle algoritmer for å løse problemer. I moderne samfunn flere og flere spesialiteter krever høyt nivå utdanning er assosiert med direkte anvendelse av matematikk. Dermed blir matematikk et faglig viktig fag for en student. Den ledende rollen tilhører matematikken i dannelsen av algoritmisk tenkning den utvikler evnen til å handle i henhold til en gitt algoritme og til å konstruere nye algoritmer.

Mens jeg studerer emnet med å bruke integralet til å beregne volumene av revolusjonslegemer, foreslår jeg at studenter i valgfag vurderer emnet: "Volumer av rotasjonslegemer ved bruk av integraler." Nedenfor er metodiske anbefalinger for å vurdere dette emnet:

1. Arealet av en flat figur.

Fra algebrakurset vet vi at problemer av praktisk art førte til begrepet en bestemt integral..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

For å finne volumet til et rotasjonslegeme dannet av rotasjonen av en krumlinjet trapes rundt Ox-aksen, avgrenset av en brutt linje y=f(x), Ox-aksen, rette linjer x=a og x=b, beregner vi ved hjelp av formelen

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.Sylindervolum.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Keglen oppnås ved rotasjon rettvinklet trekant ABC(C=90) rundt okseaksen som benet AC ligger på.

Segment AB ligger på den rette linjen y=kx+c, hvor https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

La a=0, b=H (H er høyden på kjeglen), så Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.Volum av en avkortet kjegle.

En avkortet kjegle kan oppnås ved å rotere en rektangulær trapes ABCD (CDOx) rundt Ox-aksen.

Segmentet AB ligger på den rette linjen y=kx+c, hvor , c=r.

Siden den rette linjen går gjennom punkt A (0;r).

Dermed ser den rette linjen ut som https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

La a=0, b=H (H er høyden på den avkortede kjeglen), deretter https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Volum av ballen.

Kulen kan oppnås ved å rotere en sirkel med sentrum (0;0) rundt okseaksen. Halvsirkelen plassert over okseaksen er gitt av ligningen

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Som med problemet med å finne området, trenger du trygge tegneferdigheter - dette er nesten det viktigste (siden integralene i seg selv ofte vil være enkle). Du kan mestre kompetente og raske kartteknikker ved hjelp av undervisningsmateriell og geometriske transformasjoner av grafer. Men faktisk har jeg allerede snakket om viktigheten av tegninger flere ganger i timen.

Generelt er det mange interessante applikasjoner i integralregning ved å bruke en bestemt integral, du kan beregne arealet til en figur, volumet til en rotasjonskropp, buelengde, rotasjonsoverflate og mye; flere. Så det blir gøy, vær så snill å vær optimistisk!

Se for deg en flat figur på koordinatplanet. Introdusert? ... Jeg lurer på hvem som presenterte hva... =))) Vi har allerede funnet området. Men i tillegg kan denne figuren også roteres og roteres på to måter:

– rundt abscisseaksen;
– rundt ordinataksen.

Denne artikkelen vil undersøke begge tilfeller. Den andre rotasjonsmetoden er spesielt interessant, den forårsaker mest vanskeligheter, men faktisk er løsningen nesten den samme som i den mer vanlige rotasjonen rundt x-aksen. Som en bonus kommer jeg tilbake til problem med å finne arealet til en figur, og jeg skal fortelle deg hvordan du finner området på den andre måten - langs aksen. Det er ikke så mye en bonus da materialet passer godt inn i emnet.

La oss starte med den mest populære typen rotasjon.

flat figur rundt en akse

Eksempel 1

Beregn volumet til et legeme oppnådd ved å rotere en figur avgrenset av linjer rundt en akse.

Løsning: Som i problemet med å finne området, løsningen begynner med en tegning av en flat figur. Det vil si at på planet er det nødvendig å konstruere en figur avgrenset av linjene , og ikke glem at ligningen spesifiserer aksen. Hvordan du fullfører en tegning mer effektivt og raskt finner du på sidene Grafer og egenskaper til elementære funksjoner Og Sikker integral. Hvordan beregne arealet til en figur. Dette er en kinesisk påminnelse, og på dette punktet vil jeg ikke dvele mer.

Tegningen her er ganske enkel:

Den ønskede flate figuren er skyggelagt i blått, det er den som roterer rundt aksen. Resultatet er en lett eggformet flygende tallerken. Faktisk har kroppen et matematisk navn, men jeg er for lat til å avklare noe i oppslagsboken, så vi går videre.

Hvordan beregne volumet til et rotasjonslegeme?

Volumet til et omdreiningslegeme kan beregnes ved hjelp av formelen:

I formelen må tallet være tilstede før integralet. Så det skjedde - alt som dreier seg i livet er forbundet med denne konstanten.

Jeg tror det er lett å gjette hvordan man setter grensene for integrering "a" og "be" fra den ferdige tegningen.

Funksjon... hva er denne funksjonen? La oss se på tegningen. Planfiguren er avgrenset av grafen til parablen øverst. Dette er funksjonen som er antydet i formelen.

I praktiske oppgaver en flat figur kan noen ganger være plassert under aksen. Dette endrer ingenting - integranden i formelen er kvadratisk: , altså integralet er alltid ikke-negativt, noe som er veldig logisk.

La oss beregne volumet til et revolusjonslegeme ved å bruke denne formelen:

Som jeg allerede har nevnt, viser integralet seg nesten alltid å være enkelt, det viktigste er å være forsiktig.

Svare:

I svaret ditt må du angi dimensjonen - kubikkenheter. Det vil si at i rotasjonskroppen vår er det omtrent 3,35 "kuber". Hvorfor kubikk enheter? Fordi den mest universelle formuleringen. Det kan være kubikkcentimeter, kanskje kubikkmeter, kanskje kubikkkilometer osv., det er hvor mange grønne menn fantasien din kan legge i en flygende tallerken.

Eksempel 2

Finn volumet til et legeme dannet ved rotasjon rundt aksen til en figur avgrenset av linjer , ,

Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse. Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen.

La oss vurdere to til komplekse oppgaver, som man også ofte møter i praksis.

Eksempel 3

Beregn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere rundt abscisseaksen til figuren avgrenset av linjene , , og

Løsning: La oss på tegningen avbilde en flat figur avgrenset av linjene , , , , uten å glemme at ligningen definerer aksen:

Den ønskede figuren er skyggelagt i blått. Når den roterer rundt sin akse, viser den seg å være en surrealistisk smultring med fire hjørner.

La oss beregne volumet til rotasjonslegemet som forskjell i volum av kropper.

La oss først se på figuren som er ringt inn i rødt. Når den roterer rundt en akse, oppnås en avkortet kjegle. La oss betegne volumet til denne avkortede kjeglen med .

Tenk på figuren som er sirklet grønn. Roterer du denne figuren rundt aksen, får du også en avkortet kjegle, bare litt mindre. La oss betegne volumet med .

Og, åpenbart, er forskjellen i volumer nøyaktig volumet til vår "smultring".

Vi bruker standardformelen for å finne volumet til et revolusjonslegeme:

1) Figuren sirklet i rødt er avgrenset over av en rett linje, derfor:

2) Figuren sirklet i grønt er avgrenset over av en rett linje, derfor:

3) Volum av ønsket omdreiningslegeme:

Svare:

Det er merkelig at i dette tilfellet kan løsningen kontrolleres ved hjelp av skoleformelen for å beregne volumet til en avkortet kjegle.

Selve avgjørelsen er ofte skrevet kortere, noe som dette:

La oss nå hvile litt og fortelle deg om geometriske illusjoner.

Folk har ofte illusjoner knyttet til bind, noe som ble lagt merke til av Perelman (en annen) i boken Underholdende geometri. Se på den flate figuren i det løste problemet - det ser ut til å være lite i areal, og volumet av revolusjonslegemet er litt over 50 kubikkenheter, noe som virker for stort. Forresten, den gjennomsnittlige personen drikker tilsvarende et rom med et areal på 18 i hele sitt liv. kvadratmeter, som tvert imot ser ut til å være et for lite volum.

Generelt var utdanningssystemet i USSR virkelig det beste. Den samme boken av Perelman, utgitt tilbake i 1950, utvikler veldig godt, som humoristen sa, forståelse og lærer deg å lete etter original ikke-standardiserte løsninger problemer. Jeg har nylig lest noen av kapitlene på nytt med stor interesse, jeg anbefaler det, det er tilgjengelig selv for humanister. Nei, du trenger ikke å smile at jeg tilbød fritid, lærdom og brede horisonter i kommunikasjon er en flott ting.

Etter en lyrisk digresjon er det bare passende å løse en kreativ oppgave:

Eksempel 4

Beregn volumet av et legeme dannet ved rotasjon om aksen til en flat figur avgrenset av linjene , , hvor .

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Vær oppmerksom på at alle tilfeller forekommer i bandet, med andre ord er ferdige grenser for integrering faktisk gitt. Tegn grafer riktig trigonometriske funksjoner, la meg minne deg på leksjonsmaterialet om geometriske transformasjoner av grafer: hvis argumentet er delt på to: , så strekkes grafene to ganger langs aksen. Det er lurt å finne minst 3-4 poeng i henhold til trigonometriske tabeller for å fullføre tegningen mer nøyaktig. Full løsning og svar på slutten av timen. Oppgaven kan forresten løses rasjonelt og lite rasjonelt.

Beregning av volumet til et legeme dannet ved rotasjon
flat figur rundt en akse

Det andre avsnittet vil være enda mer interessant enn det første. Oppgaven med å beregne volumet til et omdreiningslegeme rundt ordinataksen er også en ganske hyppig gjest i tester. Underveis vil det bli vurdert problem med å finne arealet til en figur den andre metoden er integrasjon langs aksen, dette vil tillate deg ikke bare å forbedre ferdighetene dine, men også lære deg å finne den mest lønnsomme løsningsveien. Det er også en praktisk livsmening i dette! Som læreren min i matematikkundervisning husket med et smil, takket mange nyutdannede henne med ordene: "Faget ditt hjalp oss mye, nå er vi effektive ledere og leder personalet optimalt." Ved å benytte denne muligheten uttrykker jeg også min store takknemlighet til henne, spesielt siden jeg bruker den ervervede kunnskapen til det tiltenkte formålet =).

Jeg anbefaler å lese til alle, til og med full av dummies. Dessuten vil materialet lært i andre ledd gi uvurderlig hjelp til å beregne doble integraler.

Eksempel 5

Gitt en flat figur avgrenset av linjene , , .

1) Finn arealet til en flat figur avgrenset av disse linjene.
2) Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere en flat figur avgrenset av disse linjene rundt aksen.

Oppmerksomhet! Selv om du bare vil lese det andre punktet, først Nødvendigvis les den første!

Løsning: Oppgaven består av to deler. La oss starte med torget.

1) La oss lage en tegning:

Det er lett å se at funksjonen spesifiserer den øvre grenen av parablen, og funksjonen spesifiserer den nedre grenen av parablen. Foran oss er en triviell parabel som «ligger på siden».

Den ønskede figuren, hvis område er å finne, er skyggelagt i blått.

Hvordan finne arealet til en figur? Den kan bli funnet på "vanlig" måte, som ble diskutert i klassen Sikker integral. Hvordan beregne arealet til en figur. Dessuten er arealet av figuren funnet som summen av arealene:
- på segmentet ;
- på segmentet.

Det er derfor:

Hvorfor er den vanlige løsningen dårlig i dette tilfellet? For det første fikk vi to integraler. For det andre er integraler røtter, og røtter i integraler er ikke en gave, og dessuten kan du bli forvirret når du erstatter grensene for integrasjon. Faktisk er integralene selvfølgelig ikke mordere, men i praksis kan alt være mye tristere, jeg valgte bare "bedre" funksjoner for problemet.

Det finnes en mer rasjonell løsning: den består i å flytte til inverse funksjoner og integrasjon langs aksen.

Hvordan komme til inverse funksjoner? Grovt sett må du uttrykke «x» til «y». La oss først se på parabelen:

Dette er nok, men la oss sørge for at den samme funksjonen kan utledes fra den nedre grenen:

Det er lettere med en rett linje:

Se nå på aksen: vipp hodet med jevne mellomrom til høyre 90 grader mens du forklarer (dette er ikke en spøk!). Figuren vi trenger ligger på segmentet, som er indikert med den røde stiplede linjen. I dette tilfellet, på segmentet, er den rette linjen plassert over parabelen, noe som betyr at området til figuren skal finnes ved å bruke formelen som allerede er kjent for deg: . Hva har endret seg i formelen? Bare et brev og ikke noe mer.

! Note: Grensene for integrasjon langs aksen bør settes strengt tatt fra bunn til topp!

Finne området:

På segmentet, derfor:

Vær oppmerksom på hvordan jeg utførte integreringen, dette er den mest rasjonelle måten, og i neste avsnitt av oppgaven vil det være klart hvorfor.

For lesere som tviler på riktigheten av integrasjon, vil jeg finne derivater:

Den opprinnelige integrand-funksjonen er oppnådd, noe som betyr at integrasjonen ble utført riktig.

Svare:

2) La oss beregne volumet av legemet dannet ved rotasjonen av denne figuren rundt aksen.

Jeg skal tegne tegningen på nytt i en litt annen design:

Så figuren skyggelagt i blått roterer rundt aksen. Resultatet er en "svevende sommerfugl" som roterer rundt sin akse.

For å finne volumet til et rotasjonslegeme, vil vi integrere langs aksen. Først må vi gå til inverse funksjoner. Dette er allerede gjort og beskrevet i detalj i forrige avsnitt.

Nå vipper vi hodet mot høyre igjen og studerer figuren vår. Det er klart at volumet til et rotasjonslegeme skal finnes som forskjellen i volumer.

Vi roterer figuren sirklet i rødt rundt aksen, noe som resulterer i en avkortet kjegle. La oss betegne dette bindet med .

Vi roterer figuren sirklet i grønt rundt aksen og betegner den med volumet til den resulterende rotasjonskroppen.

Volumet til sommerfuglen vår er lik forskjellen i volum.

Vi bruker formelen for å finne volumet til et revolusjonslegeme:

Hva er forskjellen fra formelen i forrige avsnitt? Bare i brevet.

Men fordelen med integrasjon, som jeg nylig snakket om, er mye lettere å finne , i stedet for først å heve integranden til 4. potens.

Svare:

Dog ikke en sykelig sommerfugl.

Merk at hvis den samme flate figuren roteres rundt aksen, vil du få en helt annen rotasjonskropp, med et annet volum, naturlig nok.

Eksempel 6

Gitt en flat figur avgrenset av linjer og en akse.

1) Gå til inverse funksjoner og finn arealet til en plan figur avgrenset av disse linjene ved å integrere over variabelen.
2) Beregn volumet av legemet oppnådd ved å rotere en flat figur avgrenset av disse linjene rundt aksen.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Interesserte kan også finne området til en figur på "vanlig" måte, og dermed sjekke punkt 1). Men hvis, jeg gjentar, du roterer en flat figur rundt aksen, vil du få en helt annen rotasjonskropp med et annet volum, forresten, riktig svar (også for de som liker å løse problemer).

Den fullstendige løsningen på de to foreslåtte punktene i oppgaven er på slutten av leksjonen.

Ja, og ikke glem å vippe hodet til høyre for å forstå rotasjonsorganene og grensene for integrering!

Hvordan beregne volumet til et revolusjonslegeme
bruker en bestemt integral?

Generelt er det mange interessante applikasjoner i integralregning ved å bruke en bestemt integral, du kan beregne arealet til en figur, volumet til et rotasjonslegeme, lengden på en bue, overflatearealet til rotasjon og mye mer. Så det blir gøy, vær så snill å vær optimistisk!

- rundt abscisseaksen;
- rundt ordinataksen.

La oss starte med den mest populære typen rotasjon.

flat figur rundt en akse

Beregn volumet til et legeme oppnådd ved å rotere en figur avgrenset av linjer rundt en akse.

Løsning: Som i problemet med å finne området, løsningen begynner med en tegning av en flat figur. Det vil si at på planet er det nødvendig å konstruere en figur avgrenset av linjene , og ikke glem at ligningen spesifiserer aksen. Hvordan du fullfører en tegning mer effektivt og raskt finner du på sidene Grafer og egenskaper til elementære funksjoner Og . Dette er en kinesisk påminnelse, og på dette punktet vil jeg ikke dvele mer.

Tegningen her er ganske enkel:

Hvordan beregne volumet til et rotasjonslegeme?

Volumet til et omdreiningslegeme kan beregnes ved hjelp av formelen:

I formelen må tallet være tilstede før integralet. Så det skjedde - alt som dreier seg i livet er forbundet med denne konstanten.

Jeg tror det er lett å gjette hvordan man setter grensene for integrering "a" og "be" fra den ferdige tegningen.

Funksjon... hva er denne funksjonen? La oss se på tegningen. Planfiguren er avgrenset av grafen til parablen øverst. Dette er funksjonen som er antydet i formelen.

I praktiske oppgaver kan en flat figur noen ganger være plassert under aksen. Dette endrer ingenting - integranden i formelen er kvadratisk: , altså integralet er alltid ikke-negativt, noe som er veldig logisk.

La oss beregne volumet til et revolusjonslegeme ved å bruke denne formelen:

Som jeg allerede har nevnt, viser integralet seg nesten alltid å være enkelt, det viktigste er å være forsiktig.

Svare:

I svaret ditt må du angi dimensjonen - kubikkenheter. Det vil si at i rotasjonskroppen vår er det omtrent 3,35 "kuber". Hvorfor kubikk enheter? Fordi den mest universelle formuleringen. Det kan være kubikkcentimeter, det kan være kubikkmeter, det kan være kubikkkilometer, osv., det er hvor mange grønne menn fantasien din kan legge i en flygende tallerken.

Finn volumet til et legeme dannet ved rotasjon rundt aksen til en figur avgrenset av linjer , ,

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.

La oss vurdere to mer komplekse problemer, som også ofte oppstår i praksis.

Beregn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere rundt abscisseaksen til figuren avgrenset av linjene , , og

Løsning: La oss på tegningen avbilde en flat figur avgrenset av linjene , , , , uten å glemme at ligningen definerer aksen:

Den ønskede figuren er skyggelagt i blått. Når den roterer rundt sin akse, viser den seg å være en surrealistisk smultring med fire hjørner.

La oss beregne volumet til rotasjonslegemet som forskjell i volum av kropper.

La oss først se på figuren som er ringt inn i rødt. Når den roterer rundt en akse, oppnås en avkortet kjegle. La oss betegne volumet til denne avkortede kjeglen med .

Tenk på figuren som er sirklet i grønt. Roterer du denne figuren rundt aksen, får du også en avkortet kjegle, bare litt mindre. La oss betegne volumet med .

Og, åpenbart, er forskjellen i volumer nøyaktig volumet til vår "smultring".

Vi bruker standardformelen for å finne volumet til et revolusjonslegeme:

1) Figuren sirklet i rødt er avgrenset over av en rett linje, derfor:

2) Figuren sirklet i grønt er avgrenset over av en rett linje, derfor:

3) Volum av ønsket omdreiningslegeme:

Svare:

Det er merkelig at i dette tilfellet kan løsningen kontrolleres ved hjelp av skoleformelen for å beregne volumet til en avkortet kjegle.

Selve avgjørelsen er ofte skrevet kortere, noe som dette:

La oss nå hvile litt og fortelle deg om geometriske illusjoner.

Folk har ofte illusjoner knyttet til bind, noe som ble lagt merke til av Perelman (en annen) i boken Underholdende geometri. Se på den flate figuren i det løste problemet - det ser ut til å være lite i areal, og volumet av revolusjonslegemet er litt over 50 kubikkenheter, noe som virker for stort. Forresten, den gjennomsnittlige personen drikker tilsvarende et rom med 18 kvadratmeter væske i hele sitt liv, noe som tvert imot virker for lite volum.

Etter en lyrisk digresjon er det bare passende å løse en kreativ oppgave:

Beregn volumet av et legeme dannet ved rotasjon om aksen til en flat figur avgrenset av linjene , , hvor .

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Vær oppmerksom på at alle tilfeller forekommer i bandet, med andre ord er ferdige grenser for integrering faktisk gitt. Tegn grafene til trigonometriske funksjoner riktig, la meg minne deg på leksjonsmaterialet om geometriske transformasjoner av grafer: hvis argumentet er delt på to: , så strekkes grafene to ganger langs aksen. Det er lurt å finne minst 3-4 poeng i henhold til trigonometriske tabeller for å fullføre tegningen mer nøyaktig. Full løsning og svar på slutten av timen. Oppgaven kan forresten løses rasjonelt og lite rasjonelt.

Beregning av volumet til et legeme dannet ved rotasjon
flat figur rundt en akse

Det andre avsnittet vil være enda mer interessant enn det første. Oppgaven med å beregne volumet til et rotasjonslegeme rundt ordinataksen er også en ganske vanlig gjest i testarbeid. Underveis vil det bli vurdert problem med å finne arealet til en figur den andre metoden er integrasjon langs aksen, dette vil tillate deg ikke bare å forbedre ferdighetene dine, men også lære deg å finne den mest lønnsomme løsningsveien. Det er også en praktisk livsmening i dette! Som læreren min i matematikkundervisning husket med et smil, takket mange nyutdannede henne med ordene: "Faget ditt hjalp oss mye, nå er vi effektive ledere og leder personalet optimalt." Ved å benytte denne muligheten uttrykker jeg også min store takknemlighet til henne, spesielt siden jeg bruker den ervervede kunnskapen til det tiltenkte formålet =).

Jeg anbefaler det til alle, selv komplette dummies. Dessuten vil materialet lært i andre ledd gi uvurderlig hjelp til å beregne doble integraler.

Gitt en flat figur avgrenset av linjene , , .

1) Finn arealet til en flat figur avgrenset av disse linjene.
2) Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere en flat figur avgrenset av disse linjene rundt aksen.

Oppmerksomhet! Selv om du bare vil lese det andre punktet, sørg for å lese det første først!

Løsning: Oppgaven består av to deler. La oss starte med torget.

1) La oss lage en tegning:

Det er lett å se at funksjonen spesifiserer den øvre grenen av parablen, og funksjonen spesifiserer den nedre grenen av parablen. Foran oss er en triviell parabel som «ligger på siden».

Den ønskede figuren, hvis område er å finne, er skyggelagt i blått.

Det er derfor:

Hvorfor er den vanlige løsningen dårlig i dette tilfellet? For det første fikk vi to integraler. For det andre er det røtter under integraler, og røtter i integraler er ikke en gave, og dessuten kan du bli forvirret når du erstatter grensene for integrasjon. Faktisk er integralene selvfølgelig ikke mordere, men i praksis kan alt være mye tristere, jeg valgte bare "bedre" funksjoner for problemet.

Det er en mer rasjonell løsning: den består av å bytte til inverse funksjoner og integrere langs aksen.

Hvordan komme til inverse funksjoner? Grovt sett må du uttrykke «x» til «y». La oss først se på parabelen:

Dette er nok, men la oss sørge for at den samme funksjonen kan utledes fra den nedre grenen:

Det er lettere med en rett linje:

! Note: Grensene for integrasjon langs aksen bør settes strengt tatt fra bunn til topp!

Finne området:

På segmentet, derfor:

Vær oppmerksom på hvordan jeg utførte integreringen, dette er den mest rasjonelle måten, og i neste avsnitt av oppgaven vil det være klart hvorfor.

For lesere som tviler på riktigheten av integrasjon, vil jeg finne derivater:

Den opprinnelige integrand-funksjonen er oppnådd, noe som betyr at integrasjonen ble utført riktig.

Svare:

2) La oss beregne volumet av legemet dannet ved rotasjonen av denne figuren rundt aksen.

Jeg skal tegne tegningen på nytt i en litt annen design:

Så figuren skyggelagt i blått roterer rundt aksen. Resultatet er en "svevende sommerfugl" som roterer rundt sin akse.

For å finne volumet til et rotasjonslegeme, vil vi integrere langs aksen. Først må vi gå til inverse funksjoner. Dette er allerede gjort og beskrevet i detalj i forrige avsnitt.

Nå vipper vi hodet mot høyre igjen og studerer figuren vår. Det er klart at volumet til et rotasjonslegeme skal finnes som forskjellen i volumer.

Vi roterer figuren sirklet i rødt rundt aksen, noe som resulterer i en avkortet kjegle. La oss betegne dette bindet med .

Vi roterer figuren sirklet i grønt rundt aksen og betegner den med volumet til den resulterende rotasjonskroppen.

Volumet til sommerfuglen vår er lik forskjellen i volum.

Vi bruker formelen for å finne volumet til et revolusjonslegeme:

Hva er forskjellen fra formelen i forrige avsnitt? Bare i brevet.

Men fordelen med integrasjon, som jeg nylig snakket om, er mye lettere å finne , i stedet for først å heve integranden til 4. potens.

Svare:

Merk at hvis den samme flate figuren roteres rundt aksen, vil du få en helt annen rotasjonskropp, med et annet volum, naturlig nok.

Gitt en flat figur avgrenset av linjer og en akse.

Den fullstendige løsningen på de to foreslåtte punktene i oppgaven er på slutten av leksjonen.

Ja, og ikke glem å vippe hodet til høyre for å forstå rotasjonsorganene og grensene for integrering!

Jeg var i ferd med å fullføre artikkelen, men i dag kom de med den interessant eksempel bare for å finne volumet til et omdreiningslegeme rundt ordinataksen. Fersk:

Beregn volumet til et legeme som er dannet ved rotasjon rundt aksen til en figur avgrenset av kurver og .

Løsning: La oss lage en tegning: