Cara menyelesaikan persamaan pecahan sama dengan nol. Persamaan rasional

Sederhananya, ini adalah persamaan yang penyebutnya paling sedikit ada satu variabel.

Misalnya:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Contoh Bukan persamaan rasional pecahan:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Bagaimana persamaan rasional pecahan diselesaikan?

Hal utama yang perlu diingat tentang persamaan rasional pecahan adalah Anda perlu menuliskannya. Dan setelah menemukan akarnya, pastikan untuk memeriksa penerimaannya. Jika tidak, akar asing mungkin muncul, dan seluruh keputusan akan dianggap salah.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

Tuliskan dan “pecahkan” ODZ.

Kalikan setiap suku dalam persamaan dengan penyebut yang sama dan hilangkan pecahan yang dihasilkan. Penyebutnya akan hilang.

Tulis persamaannya tanpa membuka tanda kurung.

Selesaikan persamaan yang dihasilkan.

Periksa akar yang ditemukan dengan ODZ.

Tuliskan dalam jawaban Anda akar-akar yang lulus ujian pada langkah 7.

Jangan hafal algoritmanya, 3-5 persamaan terselesaikan dan itu akan diingat dengan sendirinya.

Contoh . Selesaikan persamaan rasional pecahan \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Larutan:

Menjawab: \(3\).

Contoh . Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan \(=0\)

Larutan:

Menjawab: \(\frac(1)(2)\).

Kita telah mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Sekarang mari kita memperluas metode yang dipelajari ke persamaan rasional.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi rasional? Kami telah menemukan konsep ini. Ekspresi rasional adalah ekspresi yang terdiri dari angka, variabel, pangkatnya, dan simbol operasi matematika.

Oleh karena itu, persamaan rasional adalah persamaan yang berbentuk: , dimana - ekspresi rasional.

Sebelumnya, kita hanya membahas persamaan rasional yang dapat direduksi menjadi persamaan linier. Sekarang mari kita lihat persamaan rasional yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat.

Contoh 1

Selesaikan persamaan: .

Larutan:

Pecahan sama dengan 0 jika dan hanya jika pembilangnya sama dengan 0 dan penyebutnya tidak sama dengan 0.

Kami mendapatkan sistem berikut:

Persamaan pertama sistem ini adalah persamaan kuadrat. Sebelum menyelesaikannya, bagi semua koefisiennya dengan 3. Kita peroleh:

Kami mendapatkan dua akar: ; .

Karena 2 tidak pernah sama dengan 0, ada dua syarat yang harus dipenuhi: . Karena tidak ada akar persamaan yang diperoleh di atas yang bertepatan dengan nilai tidak valid dari variabel yang diperoleh saat menyelesaikan pertidaksamaan kedua, keduanya merupakan solusi persamaan ini.

Menjawab:.

Jadi, mari kita rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

1. Pindahkan semua suku ke ruas kiri sehingga ruas kanan berakhir dengan 0.

2. Ubah dan sederhanakan ruas kiri, bawa semua pecahan ke penyebut yang sama.

3. Samakan pecahan yang dihasilkan dengan 0 menggunakan algoritma berikut: .

4. Tuliskan akar-akar yang diperoleh pada persamaan pertama dan penuhi pertidaksamaan kedua pada jawabannya.

Mari kita lihat contoh lainnya.

Contoh 2

Selesaikan persamaan: .

Larutan

Pada awalnya, mari kita pindahkan semua persyaratan ke sisi kiri, sehingga 0 tetap di sebelah kanan.

Sekarang mari kita bawa ruas kiri persamaan tersebut ke penyebut yang sama:

Persamaan ini setara dengan sistem:

Persamaan pertama sistem ini adalah persamaan kuadrat.

Koefisien persamaan ini: . Kami menghitung diskriminan:

Kami mendapatkan dua akar: ; .

Sekarang mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua: hasil kali faktor-faktor tidak sama dengan 0 jika dan hanya jika tidak ada faktor yang sama dengan 0.

Dua syarat harus dipenuhi: . Kami menemukan bahwa dari dua akar persamaan pertama, hanya satu yang cocok - 3.

Menjawab:.

Dalam pelajaran ini, kita mengingat apa itu ekspresi rasional, dan juga mempelajari cara menyelesaikan persamaan rasional yang direduksi menjadi persamaan kuadrat.

Pada pelajaran berikutnya kita akan melihat persamaan rasional sebagai model situasi nyata, dan juga melihat masalah gerak.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Aljabar, kelas 8. - M.: Pendidikan, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain. Aljabar, 8. edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Aljabar, kelas 8. Buku teks untuk lembaga pendidikan umum. - M.: Pendidikan, 2006.

1. Festival ide-ide pedagogis "Pelajaran umum" ().
2. Sekolah.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com().

Pekerjaan rumah

Pertama-tama, untuk mempelajari cara mengerjakan pecahan rasional tanpa kesalahan, Anda perlu mempelajari rumus perkalian yang disingkat. Dan itu tidak mudah untuk dipelajari - mereka perlu dikenali meskipun peran suku adalah sinus, logaritma, dan akar.

Namun, alat utamanya tetap memfaktorkan pembilang dan penyebut pecahan rasional. Hal ini dapat dicapai dengan tiga cara berbeda:

1. Sebenarnya, menurut rumus perkalian yang disingkat: mereka memungkinkan Anda untuk menciutkan polinomial menjadi satu atau lebih faktor;
2. Menggunakan faktorisasi trinomial kuadrat melalui diskriminan. Metode yang sama memungkinkan untuk memverifikasi bahwa trinomial apa pun tidak dapat difaktorkan sama sekali;
3. Metode pengelompokan adalah alat yang paling rumit, tetapi memang demikian satu-satunya jalan, yang berfungsi jika dua cara sebelumnya tidak berfungsi.

Seperti yang mungkin sudah kamu tebak dari judul video ini, kita akan kembali membahas tentang pecahan rasional. Beberapa menit yang lalu, saya menyelesaikan pelajaran dengan seorang siswa kelas sepuluh, dan di sana kami menganalisis ekspresi-ekspresi ini dengan tepat. Oleh karena itu, pelajaran ini akan ditujukan khusus untuk siswa SMA.

Pasti banyak yang sekarang bertanya-tanya: “Mengapa siswa kelas 10-11 harus mempelajari hal-hal sederhana seperti pecahan rasional, padahal ini diajarkan di kelas 8?” Namun masalahnya adalah kebanyakan orang “membahas” topik ini. Di kelas 10-11 mereka sudah tidak ingat lagi bagaimana cara melakukan perkalian, pembagian, pengurangan dan penjumlahan pecahan rasional dari kelas 8, namun atas pengetahuan sederhana inilah selanjutnya, lebih lanjut desain yang rumit, sebagai solusi logaritma, persamaan trigonometri dan banyak ekspresi kompleks lainnya, jadi praktis tidak ada yang bisa dilakukan di sekolah menengah tanpa pecahan rasional.

Rumus untuk memecahkan masalah

Mari kita mulai berbisnis. Pertama-tama, kita memerlukan dua fakta - dua rangkaian rumus. Pertama-tama, Anda perlu mengetahui rumus perkalian yang disingkat:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — selisih kuadrat;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ — kuadrat dari jumlah atau selisih;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\kiri(a+b \kanan)\kiri(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \kanan)$ adalah jumlah kubus;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\kiri(a-b \kanan)\kiri(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \kanan)$ adalah selisih kubus.

DI DALAM bentuk murni mereka tidak ditemukan dalam contoh apa pun atau dalam ekspresi yang sangat serius. Oleh karena itu, tugas kita adalah belajar melihat struktur yang jauh lebih kompleks di bawah huruf $a$ dan $b$, misalnya logaritma, akar, sinus, dll. Anda dapat belajar melihat ini hanya melalui latihan terus-menerus. Oleh karena itu penyelesaian pecahan rasional mutlak diperlukan.

Rumus kedua yang sangat jelas adalah faktorisasi trinomial kuadrat:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ adalah akar.

Kami telah membahas bagian teoritis. Tetapi bagaimana cara menyelesaikan pecahan rasional nyata yang dibahas di kelas 8? Sekarang kita akan berlatih.

Tugas No.1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Mari kita coba menerapkan rumus di atas untuk menyelesaikan pecahan rasional. Pertama-tama, saya ingin menjelaskan mengapa faktorisasi diperlukan. Faktanya adalah bahwa pada pandangan pertama pada bagian pertama tugas, Anda ingin mengurangi kubus dengan kuadrat, tetapi ini dilarang keras, karena keduanya adalah suku dalam pembilang dan penyebut, tetapi bukan merupakan faktor.

Sebenarnya apa itu singkatan? Reduksi adalah penggunaan aturan dasar untuk bekerja dengan ekspresi tersebut. Sifat utama pecahan adalah kita dapat mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama selain “nol”. Dalam hal ini, ketika kita mengurangi, sebaliknya kita membaginya dengan angka yang sama, berbeda dari “nol”. Namun, kita harus membagi semua suku pada penyebutnya dengan angka yang sama. Anda tidak bisa melakukan itu. Dan kita berhak mengurangi pembilang dengan penyebutnya hanya jika keduanya difaktorkan. Mari kita lakukan.

Sekarang Anda perlu melihat berapa banyak suku dalam suatu elemen tertentu, dan mencari tahu rumus mana yang akan digunakan.

Mari kita ubah setiap ekspresi menjadi kubus eksak:

Mari kita tulis ulang pembilangnya:

\[((\kiri(3a \kanan))^(3))-((\kiri(4b \kanan))^(3))=\kiri(3a-4b \kanan)\kiri(((\kiri (3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kiri(4b \kanan))^(2)) \kanan)\]

Mari kita lihat penyebutnya. Mari kita kembangkan menggunakan rumus selisih kuadrat:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\kiri(b-2 \kanan)\kiri(b+2 \ Kanan)\]

Sekarang mari kita lihat bagian kedua dari ekspresi tersebut:

Pembilang:

Masih mencari tahu penyebutnya:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\kiri(b+2 \kanan))^(2))\]

Mari kita menulis ulang seluruh struktur dengan mempertimbangkan fakta di atas:

\[\frac(\kiri(3a-4b \kanan)\kiri(((\kiri(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kiri(4b \kanan))^(2 )) \kanan))(\kiri(b-2 \kanan)\kiri(b+2 \kanan))\cdot \frac(((\kiri(b+2 \kanan))^(2)))( ((\kiri(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kiri(4b \kanan))^(2)))=\]

\[=\frac(\kiri(3a-4b \kanan)\kiri(b+2 \kanan))(\kiri(b-2 \kanan))\]

Nuansa mengalikan pecahan rasional

Kesimpulan utama dari konstruksi ini adalah sebagai berikut:

• Tidak semua polinomial dapat difaktorkan.
• Kalaupun diurai, Anda perlu mencermati apa sebenarnya rumus perkalian yang disingkat itu.

Untuk melakukan ini, pertama-tama, kita perlu memperkirakan berapa banyak suku yang ada (jika ada dua, yang bisa kita lakukan hanyalah memperluasnya dengan jumlah selisih kuadrat, atau dengan jumlah atau selisih kubus; dan jika ada tiga, maka ini, uniknya, kuadrat jumlah atau kuadrat selisihnya). Seringkali pembilang atau penyebutnya tidak memerlukan faktorisasi sama sekali; bisa linier, atau diskriminannya negatif.

Masalah No.2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Secara umum, skema untuk menyelesaikan masalah ini tidak berbeda dengan skema sebelumnya - hanya akan ada lebih banyak tindakan, dan tindakan tersebut akan menjadi lebih beragam.

Mari kita mulai dengan pecahan pertama: lihat pembilangnya dan buat kemungkinan transformasinya:

Sekarang mari kita lihat penyebutnya:

Dengan pecahan kedua: tidak ada yang bisa dilakukan sama sekali pada pembilangnya, karena ini adalah ekspresi linier, dan tidak mungkin menghilangkan faktor apa pun darinya. Mari kita lihat penyebutnya:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\kiri(x-2 \kanan ))^(2))\]

Mari kita beralih ke pecahan ketiga. Pembilang:

Mari kita lihat penyebut pecahan terakhir:

Mari kita tulis ulang ekspresi tersebut dengan mempertimbangkan fakta di atas:

\[\frac(3\kiri(1-2x \kanan))(2\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))\cdot \frac(2x+1)((( \kiri(x-2 \kanan))^(2)))\cdot \frac(\kiri(2-x \kanan)\kiri(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \kanan))(\kiri(2x-1 \kanan)\kiri(2x+1 \kanan))=\]

\[=\frac(-3)(2\kiri(2-x \kanan))=-\frac(3)(2\kiri(2-x \kanan))=\frac(3)(2\kiri (x-2 \kanan))\]

Nuansa solusinya

Seperti yang Anda lihat, tidak semuanya dan tidak selalu bergantung pada rumus perkalian yang disingkat - terkadang cukup dengan menempatkan konstanta atau variabel di luar tanda kurung. Namun, situasi sebaliknya juga terjadi, ketika ada begitu banyak suku atau dikonstruksi sedemikian rupa sehingga rumus perkalian yang disingkat pada umumnya tidak mungkin dilakukan. Dalam hal ini, ini membantu kami alat universal, yaitu metode pengelompokan. Inilah yang sekarang akan kita terapkan pada soal berikutnya.

Tugas No.3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Mari kita lihat bagian pertama:

\[((a)^(2))+ab=a\kiri(a+b \kanan)\]

\[=5\kiri(a-b \kanan)-\kiri(a-b \kanan)\kiri(a+b \kanan)=\kiri(a-b \kanan)\kiri(5-1\kiri(a+b \kanan )\kanan)=\]

\[=\kiri(a-b \kanan)\kiri(5-a-b \kanan)\]

Mari kita tulis ulang ekspresi aslinya:

\[\frac(a\left(a+b \kanan))(\left(a-b \kanan)\left(5-a-b \kanan))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Sekarang mari kita lihat braket kedua:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \kiri(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \kanan)-((b)^(2))=\]

\[=((\kiri(a-5 \kanan))^(2))-((b)^(2))=\kiri(a-5-b \kanan)\kiri(a-5+b \Kanan)\]

Karena dua elemen tidak dapat dikelompokkan, kami mengelompokkan tiga elemen. Yang tersisa hanyalah mencari penyebut pecahan terakhir:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\kiri(a-b \kanan)\kiri(a+b \kanan)\]

Sekarang mari kita menulis ulang seluruh konstruksi kita:

\[\frac(a\left(a+b \kanan))(\left(a-b \kanan)\left(5-a-b \kanan))\cdot \frac(\left(a-5-b \kanan) \kiri(a-5+b \kanan))(\kiri(a-b \kanan)\kiri(a+b \kanan))=\frac(a\kiri(b-a+5 \kanan))((( \kiri(a-b \kanan))^(2)))\]

Masalahnya sudah terpecahkan, dan tidak ada lagi yang bisa disederhanakan di sini.

Nuansa solusinya

Kami menemukan pengelompokannya dan mendapatkan alat lain yang sangat ampuh yang memperluas kemampuan faktorisasi. Tapi masalahnya adalah di dalam kehidupan nyata Tidak ada yang akan memberi kita contoh yang begitu bagus, di mana ada beberapa pecahan yang hanya perlu memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, lalu, jika memungkinkan, menguranginya. Ekspresi nyata akan jauh lebih kompleks.

Kemungkinan besar, selain perkalian dan pembagian, akan ada pengurangan dan penambahan, semua jenis tanda kurung - secara umum, Anda harus memperhitungkan urutan tindakan. Namun yang terburuk adalah ketika mengurangkan dan menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda, pecahan tersebut harus direduksi menjadi satu penyebut yang sama. Untuk melakukan ini, masing-masing pecahan perlu difaktorkan, dan kemudian diubah menjadi pecahan-pecahan ini: berikan pecahan yang serupa dan banyak lagi. Bagaimana cara melakukannya dengan benar, cepat, dan sekaligus mendapatkan jawaban yang jelas benar? Inilah yang akan kita bicarakan sekarang dengan menggunakan konstruksi berikut sebagai contoh.

Soal No.4

\[\kiri(((x)^(2))+\frac(27)(x) \kanan)\cdot \kiri(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \kanan)\]

Mari kita tuliskan pecahan pertama dan coba cari tahu secara terpisah:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\kiri(x+3 \kanan)\kiri(((x)^(2))-3x+9 \kanan))(x)\]

Mari kita beralih ke yang kedua. Mari kita segera menghitung diskriminan penyebutnya:

Itu tidak dapat difaktorkan, jadi kita tuliskan sebagai berikut:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\kiri(x+3 \kanan)\kiri(((x)^(2))-3x+9 \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\kiri(x+3 \kanan)\kiri(((x)^(2))-3x+9 \kanan)) \]

Kami akan menulis pembilangnya secara terpisah:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Oleh karena itu, polinomial ini tidak dapat difaktorkan.

Kami sudah melakukan semaksimal mungkin yang bisa kami lakukan dan dekomposisi.

Jadi kami menulis ulang konstruksi asli kami dan mendapatkan:

\[\frac(\kiri(x+3 \kanan)\kiri(((x)^(2))-3x+9 \kanan))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\kiri(x+3 \kanan)\kiri(((x)^(2))-3x+9 \kanan))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Itu saja, masalah terpecahkan.

Sejujurnya, itu tidak terlalu bagus tugas yang sulit: di sana semuanya mudah difaktorkan, suku-suku serupa dikurangi dengan cepat, dan semuanya dikurangi dengan indah. Jadi sekarang mari kita coba selesaikan masalah yang lebih serius.

Soal No.5

\[\kiri(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \kanan)\cdot \kiri(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Pertama mari kita bahas braket pertama. Dari awal, mari kita faktorkan penyebut pecahan kedua secara terpisah:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x) ^(2))+2x+4 \kanan)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\kiri(x-2 \kanan)\ kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\kiri(x-2 \kanan)+((x)^(2))+8-\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))( \kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan)) =\frac(((\kiri(x-2 \kanan))^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Sekarang mari kita bekerja dengan pecahan kedua:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ kiri(x-2 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))\]

Mari kita kembali ke kita desain asli dan tulis:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Poin-poin penting

Sekali lagi, fakta utama dari video pelajaran hari ini:

1. Anda perlu hafal rumus perkalian yang disingkat - dan tidak hanya sekedar mengetahui, tetapi dapat melihat ekspresi yang akan Anda temui dalam soal nyata. Sebuah aturan yang bagus dapat membantu kita dalam hal ini: jika ada dua suku, maka itu adalah selisih kuadrat, atau selisih atau jumlah kubus; jika tiga, itu hanya kuadrat dari jumlah atau selisihnya.
2. Jika konstruksi apa pun tidak dapat diperluas menggunakan rumus perkalian yang disingkat, maka rumus standar untuk memfaktorkan trinomial atau metode pengelompokan dapat membantu kami.
3. Jika sesuatu tidak berhasil, perhatikan baik-baik ekspresi sumber untuk melihat apakah ada transformasi yang diperlukan sama sekali. Mungkin cukup dengan mengeluarkan faktor dari tanda kurung, dan seringkali ini hanya sebuah konstanta.
4. Dalam ekspresi kompleks di mana Anda perlu melakukan beberapa tindakan berturut-turut, jangan lupa untuk menguranginya menjadi penyebut yang sama, dan hanya setelah itu, ketika semua pecahan telah dikurangi, pastikan untuk membawa pembilang yang sama ke dalam pembilang baru, lalu faktorkan lagi pembilang barunya - ada kemungkinan ada yang dikurangi.

Itu saja yang ingin saya sampaikan kepada Anda hari ini tentang pecahan rasional. Jika ada yang kurang jelas, masih banyak video tutorial di situs ini, serta banyak tugas untuknya keputusan independen. Jadi pantau terus!

Pada artikel ini saya akan menunjukkannya kepada Anda algoritma untuk menyelesaikan tujuh jenis persamaan rasional, yang dapat direduksi menjadi kuadrat dengan mengubah variabel. Dalam kebanyakan kasus, transformasi yang mengarah pada penggantian sangatlah tidak sepele, dan cukup sulit untuk menebaknya sendiri.

Untuk setiap jenis persamaan, saya akan menjelaskan cara mengubah variabel di dalamnya, dan kemudian menunjukkan solusi detailnya dalam video tutorial terkait.

Anda memiliki kesempatan untuk melanjutkan menyelesaikan persamaan sendiri, dan kemudian memeriksa solusi Anda dengan video pelajaran.

Jadi, mari kita mulai.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Perhatikan bahwa di ruas kiri persamaan terdapat hasil kali empat tanda kurung, dan di ruas kanan ada bilangan.

1. Mari kita kelompokkan tanda kurung menjadi dua sehingga jumlah suku bebasnya sama.

2. Lipat gandakan.

3. Mari kita perkenalkan perubahan variabel.

Dalam persamaan kita, kita akan mengelompokkan braket pertama dengan braket ketiga, dan braket kedua dengan braket keempat, karena (-1)+(-4)=(-7)+2:

Pada titik ini penggantian variabel menjadi jelas:

Kami mendapatkan persamaannya

Menjawab:

2 .

Persamaan jenis ini mirip dengan persamaan sebelumnya dengan satu perbedaan: di sisi kanan persamaan terdapat hasil kali bilangan dan . Dan itu diselesaikan dengan cara yang sangat berbeda:

1. Kita mengelompokkan tanda kurung menjadi dua sehingga hasil kali suku bebasnya sama.

2. Kalikan setiap pasang tanda kurung.

3. Kita ambil x dari setiap faktor.

4. Bagilah kedua ruas persamaan dengan .

5. Kami memperkenalkan perubahan variabel.

Dalam persamaan ini, kita mengelompokkan tanda kurung pertama dengan tanda kurung keempat, dan tanda kurung kedua dengan tanda kurung ketiga, karena:

Perhatikan bahwa dalam setiap tanda kurung, koefisien at dan suku bebasnya sama. Mari kita ambil satu faktor dari masing-masing kelompok:

Karena x=0 bukan akar persamaan awal, kita bagi kedua ruas persamaan tersebut dengan . Kita mendapatkan:

Kami mendapatkan persamaan:

Menjawab:

3 .

Perhatikan bahwa penyebut kedua pecahan adalah trinomial persegi, yang koefisien terdepan dan suku bebasnya sama. Mari kita keluarkan x dari tanda kurung, seperti pada persamaan tipe kedua. Kita mendapatkan:

Bagilah pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan x:

Sekarang kita dapat memperkenalkan pengganti variabel:

Kami memperoleh persamaan untuk variabel t:

4 .

Perhatikan bahwa koefisien persamaannya simetris terhadap koefisien pusat. Persamaan ini disebut dapat dikembalikan .

Untuk mengatasinya,

1. Bagilah kedua ruas persamaan dengan (Hal ini dapat dilakukan karena x=0 bukan akar persamaan.) Kita memperoleh:

2. Mari kita kelompokkan istilah-istilah tersebut seperti ini:

3. Di setiap kelompok, kita keluarkan faktor persekutuannya dari dalam tanda kurung:

4. Mari perkenalkan penggantinya:

5. Ekspresikan melalui t ekspresi:

Dari sini

Kami mendapatkan persamaan untuk t:

Menjawab:

5. Persamaan homogen.

Persamaan yang berstruktur homogen dapat dijumpai pada penyelesaian persamaan eksponensial, logaritma, dan trigonometri, sehingga harus dapat mengenalinya.

Persamaan homogen memiliki struktur sebagai berikut:

Dalam persamaan ini, A, B, dan C adalah bilangan, sedangkan persegi dan lingkaran menunjukkan ekspresi yang identik. Artinya, di ruas kiri persamaan homogen terdapat jumlah monomial yang mempunyai derajat yang sama (dalam hal ini derajat monomialnya adalah 2), dan tidak ada suku bebas.

Untuk menyelesaikan persamaan homogen, bagilah kedua ruasnya dengan

Perhatian! Saat membagi ruas kanan dan kiri suatu persamaan dengan ekspresi yang mengandung persamaan yang tidak diketahui, Anda bisa kehilangan akar-akarnya. Oleh karena itu, perlu diperiksa apakah akar-akar persamaan yang kita gunakan untuk membagi kedua ruas persamaan merupakan akar-akar persamaan aslinya.

Ayo pergi ke cara pertama. Kami mendapatkan persamaan:

Sekarang kami memperkenalkan penggantian variabel:

Mari kita sederhanakan persamaannya dan dapatkan persamaan biquadratic untuk t:

Menjawab: atau

7 .

Persamaan ini memiliki struktur sebagai berikut:

Untuk mengatasinya, Anda perlu memilih kuadrat lengkap di sisi kiri persamaan.

Untuk memilih persegi penuh, Anda perlu menambah atau mengurangi hasil perkaliannya dua kali. Kemudian kita mendapatkan kuadrat dari jumlah atau selisihnya. Ini penting untuk keberhasilan penggantian variabel.

Mari kita mulai dengan mencari produk dua kali lipat. Ini akan menjadi kunci untuk mengganti variabel. Dalam persamaan kita, dua kali hasil kali sama dengan

Sekarang mari kita cari tahu apa yang lebih nyaman bagi kita - kuadrat jumlah atau selisihnya. Pertama mari kita pertimbangkan jumlah ekspresi:

Besar! Ekspresi ini sama persis dengan dua kali hasil kali. Kemudian, untuk mendapatkan kuadrat jumlah dalam tanda kurung, Anda perlu menjumlahkan dan mengurangi hasil kali gandanya:

Mari kita lanjutkan pembicaraannya menyelesaikan persamaan. Pada artikel ini kita akan membahas secara detail persamaan rasional dan prinsip penyelesaian persamaan rasional dengan satu variabel. Pertama, mari kita cari tahu jenis persamaan apa yang disebut rasional, berikan definisi persamaan rasional utuh dan persamaan rasional pecahan, dan berikan contohnya. Selanjutnya, kita akan mendapatkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional, dan, tentu saja, kita akan mempertimbangkan solusi dari contoh-contoh tipikal dengan semua penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Berdasarkan definisi di atas, kami memberikan beberapa contoh persamaan rasional. Misalnya, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , semuanya merupakan persamaan rasional.

Dari contoh yang diberikan terlihat jelas bahwa persamaan rasional, maupun persamaan jenis lainnya, bisa dengan satu variabel, atau dengan dua, tiga, dan seterusnya. variabel. Pada paragraf berikut kita akan membahas tentang penyelesaian persamaan rasional dengan satu variabel. Memecahkan persamaan dalam dua variabel dan mereka jumlah yang besar patut mendapat perhatian khusus.

Selain membagi persamaan rasional dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui, persamaan tersebut juga dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan rasional disebut utuh, jika ruas kiri dan kanannya merupakan ekspresi rasional bilangan bulat.

Definisi.

Jika paling sedikit salah satu bagian persamaan rasional merupakan ekspresi pecahan, maka persamaan tersebut disebut rasional secara fraksional(atau rasional pecahan).

Jelas bahwa persamaan utuh tidak memuat pembagian dengan variabel; sebaliknya, persamaan rasional pecahan harus memuat pembagian dengan variabel (atau variabel dalam penyebutnya). Jadi 3 x+2=0 dan (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– ini adalah persamaan rasional utuh, kedua bagiannya merupakan ekspresi utuh. A dan x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 adalah contoh persamaan rasional pecahan.

Sebagai penutup poin ini, mari kita perhatikan fakta bahwa persamaan linier dan persamaan kuadrat yang diketahui sampai saat ini adalah persamaan rasional keseluruhan.

Memecahkan seluruh persamaan

Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan seluruh persamaan adalah dengan mereduksinya menjadi persamaan yang setara persamaan aljabar. Hal ini selalu dapat dilakukan dengan melakukan transformasi persamaan ekuivalen berikut:

• pertama, ekspresi dari ruas kanan persamaan bilangan bulat asli dipindahkan ke ruas kiri dengan tanda yang berlawanan untuk mendapatkan nol di sisi kanan;
• setelah ini, di sisi kiri persamaan hasilnya tampilan standar.

Hasilnya adalah persamaan aljabar yang ekuivalen dengan persamaan bilangan bulat aslinya. Jadi secara maksimal kasus sederhana menyelesaikan seluruh persamaan direduksi menjadi menyelesaikan persamaan linier atau kuadrat, dan dalam kasus umum menjadi menyelesaikan persamaan aljabar derajat n. Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat solusinya dengan menggunakan contoh.

Contoh.

Temukan akar seluruh persamaan 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Larutan.

Mari kita reduksi solusi seluruh persamaan ini menjadi solusi persamaan aljabar ekuivalen. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke kiri, sebagai hasilnya kita sampai pada persamaannya 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Dan kedua, kita mengubah ekspresi yang dibentuk di sisi kiri menjadi polinomial bentuk standar dengan menyelesaikan yang diperlukan: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Jadi, solusi persamaan bilangan bulat asli direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat x 2 −5 x−6=0 .

Kami menghitung diskriminannya D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, bernilai positif, artinya persamaan tersebut mempunyai dua akar real, yang dicari menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat:

Untuk benar-benar yakin, mari kita lakukan memeriksa akar persamaan yang ditemukan. Pertama kita periksa akar 6, gantikan variabel x ke persamaan bilangan bulat asli: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, yang sama, 63=63. Ini adalah persamaan numerik yang valid, oleh karena itu x=6 memang merupakan akar persamaan tersebut. Sekarang kita periksa akar −1 yang kita punya 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, dari mana, 0=0 . Jika x=−1, persamaan awal juga berubah menjadi persamaan numerik yang benar, oleh karena itu, x=−1 juga merupakan akar persamaan.

Menjawab:

6 , −1 .

Di sini perlu juga diperhatikan bahwa istilah “derajat seluruh persamaan” dikaitkan dengan representasi seluruh persamaan dalam bentuk persamaan aljabar. Mari kita berikan definisi yang sesuai:

Definisi.

Kekuatan seluruh persamaan disebut derajat persamaan aljabar ekuivalen.

Menurut definisi ini, seluruh persamaan dari contoh sebelumnya mempunyai derajat kedua.

Ini bisa menjadi akhir dari penyelesaian seluruh persamaan rasional, jika bukan karena satu hal…. Seperti diketahui, menyelesaikan persamaan aljabar derajat di atas derajat kedua dikaitkan dengan kesulitan yang signifikan, dan untuk persamaan derajat di atas derajat keempat tidak ada rumus akar umum sama sekali. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan derajat yang lebih tinggi, sering kali perlu menggunakan metode penyelesaian lain.

Dalam kasus seperti itu, pendekatan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional berdasarkan metode faktorisasi. Dalam hal ini, algoritma berikut dipatuhi:

• pertama, mereka memastikan bahwa ada angka nol di ruas kanan persamaan; untuk melakukan ini, mereka memindahkan ekspresi dari ruas kanan seluruh persamaan ke kiri;
• kemudian, ekspresi yang dihasilkan di sisi kiri disajikan sebagai produk dari beberapa faktor, yang memungkinkan kita beralih ke himpunan beberapa persamaan yang lebih sederhana.

Algoritma yang diberikan untuk menyelesaikan seluruh persamaan melalui faktorisasi memerlukan penjelasan rinci dengan menggunakan contoh.

Contoh.

Selesaikan seluruh persamaan (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Larutan.

Pertama, seperti biasa, kita pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke ruas kiri persamaan, jangan lupa mengubah tandanya, kita peroleh (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Di sini cukup jelas bahwa tidak disarankan untuk mengubah ruas kiri persamaan yang dihasilkan menjadi polinomial bentuk standar, karena ini akan menghasilkan persamaan aljabar bentuk derajat keempat. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, solusinya sulit.

Di sisi lain, jelas bahwa di ruas kiri persamaan yang dihasilkan kita dapat x 2 −10·x+13 , sehingga menyajikannya sebagai hasil kali. Kita punya (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Persamaan yang dihasilkan setara dengan persamaan utuh aslinya, dan selanjutnya dapat diganti dengan satu set dua persamaan kuadrat x 2 −10·x+13=0 dan x 2 −2·x−1=0. Menemukan akarnya rumus yang diketahui akar melalui diskriminan tidak sulit, akarnya sama. Mereka adalah akar-akar yang diinginkan dari persamaan awal.

Menjawab:

Juga berguna untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional metode untuk memperkenalkan variabel baru. Dalam beberapa kasus, ini memungkinkan Anda berpindah ke persamaan yang derajatnya lebih rendah dari derajat seluruh persamaan aslinya.

Contoh.

Temukan akar real dari persamaan rasional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Larutan.

Mereduksi seluruh persamaan rasional ini menjadi persamaan aljabar, secara halus, bukanlah ide yang baik, karena dalam kasus ini kita perlu menyelesaikan persamaan derajat keempat yang tidak memiliki akar rasional. Oleh karena itu, Anda harus mencari solusi lain.

Di sini mudah untuk melihat bahwa Anda dapat memasukkan variabel baru y dan mengganti ekspresi x 2 +3·x dengan variabel tersebut. Penggantian ini membawa kita ke seluruh persamaan (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , yang, setelah memindahkan ekspresi −2·(y−4) ke ruas kiri dan transformasi ekspresi selanjutnya terbentuk di sana, direduksi menjadi persamaan kuadrat y 2 +4·y+3=0. Akar persamaan y=−1 dan y=−3 mudah ditemukan, misalnya dapat dipilih berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta.

Sekarang kita beralih ke bagian kedua dari metode memasukkan variabel baru, yaitu melakukan penggantian terbalik. Setelah melakukan substitusi terbalik, kita memperoleh dua persamaan x 2 +3 x=−1 dan x 2 +3 x=−3, yang dapat ditulis ulang menjadi x 2 +3 x+1=0 dan x 2 +3 x+3 =0 . Dengan menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, kita mencari akar-akar persamaan pertama. Dan persamaan kuadrat kedua tidak memiliki akar real, karena diskriminannya negatif (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Menjawab:

Secara umum, ketika kita berhadapan dengan seluruh persamaan derajat tinggi, kita harus selalu siap untuk mencarinya metode non-standar atau metode buatan untuk menyelesaikannya.

Memecahkan persamaan rasional pecahan

Pertama, akan berguna untuk memahami cara menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi rasional bilangan bulat. Dan kemudian kami akan menunjukkan cara mereduksi solusi persamaan rasional pecahan lainnya menjadi solusi persamaan tipe yang ditunjukkan.

Salah satu pendekatan untuk menyelesaikan persamaan ini didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik u/v, di mana v adalah bilangan bukan nol (jika tidak, kita akan menemukan , yang tidak terdefinisi), sama dengan nol jika dan hanya jika pembilangnya adalah sama dengan nol, maka adalah, jika dan hanya jika u=0 . Berdasarkan pernyataan ini, penyelesaian persamaan dikurangi menjadi pemenuhan dua kondisi p(x)=0 dan q(x)≠0.

Kesimpulan ini sesuai dengan berikut ini algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan. Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk , Anda memerlukan

• selesaikan seluruh persamaan rasional p(x)=0 ;
• dan periksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk setiap akar yang ditemukan, sementara
• jika benar, maka akar ini adalah akar persamaan aslinya;
• jika tidak terpenuhi, maka akar tersebut asing, artinya bukan akar persamaan aslinya.

Mari kita lihat contoh penggunaan algoritma yang diumumkan saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Contoh.

Temukan akar persamaannya.

Larutan.

Ini adalah persamaan rasional pecahan, dan berbentuk , di mana p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Menurut algoritma penyelesaian persamaan rasional pecahan jenis ini, pertama-tama kita perlu menyelesaikan persamaan 3 x−2=0. Ini adalah persamaan linier yang akarnya adalah x=2/3.

Tetap memeriksa root ini, yaitu memeriksa apakah memenuhi kondisi 5 x 2 −2≠0. Kita substitusikan bilangan 2/3 ke dalam persamaan 5 x 2 −2 sebagai pengganti x, dan kita peroleh . Syaratnya terpenuhi, jadi x=2/3 adalah akar persamaan awal.

Menjawab:

2/3 .

Anda dapat menyelesaikan persamaan rasional pecahan dari posisi yang sedikit berbeda. Persamaan ini ekuivalen dengan persamaan bilangan bulat p(x)=0 pada variabel x persamaan awal. Artinya, Anda bisa tetap berpegang pada ini algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan :

• selesaikan persamaan p(x)=0 ;
• temukan ODZ dari variabel x;
• mengambil akar yang termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima - itu adalah akar yang diinginkan dari persamaan rasional pecahan asli.

Misalnya, mari kita selesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma ini.

Contoh.

Selesaikan persamaannya.

Larutan.

Pertama, kita selesaikan persamaan kuadrat x 2 −2·x−11=0. Akar-akarnya dapat dihitung menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap yang kita miliki D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Dan .

Kedua, kita mencari ODZ variabel x untuk persamaan aslinya. Terdiri dari semua bilangan yang x 2 +3·x≠0, yang sama dengan x·(x+3)≠0, sehingga x≠0, x≠−3.

Tinggal memeriksa apakah akar yang ditemukan pada langkah pertama termasuk dalam ODZ. Jelas ya. Oleh karena itu, persamaan rasional pecahan asli memiliki dua akar.

Menjawab:

Perhatikan bahwa pendekatan ini lebih menguntungkan daripada pendekatan pertama jika ODZ mudah ditemukan, dan khususnya bermanfaat jika akar-akar persamaan p(x) = 0 tidak rasional, misalnya, atau rasional, tetapi dengan pembilang yang agak besar dan /atau penyebut, misalnya 127/1101 dan −31/59. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu, memeriksa kondisi q(x)≠0 akan memerlukan upaya komputasi yang signifikan, dan lebih mudah untuk mengecualikan akar asing menggunakan ODZ.

Dalam kasus lain, saat menyelesaikan persamaan, terutama jika akar persamaan p(x) = 0 adalah bilangan bulat, akan lebih menguntungkan jika menggunakan algoritma pertama yang diberikan. Artinya, disarankan untuk segera mencari akar-akar persamaan p(x)=0, lalu memeriksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi, daripada mencari ODZ, lalu menyelesaikan persamaan tersebut p(x)=0 pada ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk memeriksa daripada menemukan DZ.

Mari kita pertimbangkan solusi dari dua contoh untuk menggambarkan nuansa yang ditentukan.

Contoh.

Temukan akar persamaannya.

Larutan.

Pertama, mari kita cari akar-akar persamaannya (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, disusun menggunakan pembilang pecahan. Sisi kiri persamaan ini adalah hasil kali, dan ruas kanannya adalah nol, oleh karena itu, menurut metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi, persamaan ini setara dengan himpunan empat persamaan 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . Tiga dari persamaan ini linier dan satu lagi persamaan kuadrat; Dari persamaan pertama kita menemukan x=1/2, dari persamaan kedua - x=6, dari persamaan ketiga - x=7, x=−2, dari persamaan keempat - x=−1.

Jika akar-akarnya ditemukan, cukup mudah untuk memeriksa apakah penyebut pecahan di ruas kiri persamaan awal hilang, tetapi sebaliknya, menentukan ODZ tidak sesederhana itu, karena untuk ini Anda harus menyelesaikan sebuah persamaan aljabar derajat kelima. Oleh karena itu, kami akan mengabaikan pencarian ODZ demi memeriksa akarnya. Untuk melakukan ini, kita menggantinya satu per satu sebagai pengganti variabel x dalam ekspresi x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, diperoleh setelah substitusi, dan bandingkan dengan nol: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Jadi, 1/2, 6 dan −2 adalah akar-akar yang diinginkan dari persamaan rasional pecahan asli, dan 7 dan −1 adalah akar-akar asing.

Menjawab:

1/2 , 6 , −2 .

Contoh.

Temukan akar persamaan rasional pecahan.

Larutan.

Pertama, mari kita cari akar persamaannya (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Persamaan ini setara dengan himpunan dua persamaan: kuadrat 5 x 2 −7 x−1=0 dan linier x−2=0. Dengan menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, kita menemukan dua akar, dan dari persamaan kedua kita mendapatkan x=2.

Memeriksa apakah penyebutnya menjadi nol pada nilai x yang ditemukan cukup tidak menyenangkan. Dan menentukan kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x dalam persamaan aslinya cukup sederhana. Oleh karena itu, kami akan bertindak melalui ODZ.

Dalam kasus kita, ODZ variabel x dari persamaan rasional pecahan asli terdiri dari semua bilangan kecuali bilangan yang memenuhi kondisi x 2 +5·x−14=0. Akar persamaan kuadrat ini adalah x=−7 dan x=2, yang darinya kita menarik kesimpulan tentang ODZ: ODZ terdiri dari semua x sedemikian rupa sehingga .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan dan x=2 termasuk dalam kisaran nilai yang dapat diterima. Akar-akar tersebut termasuk, oleh karena itu, merupakan akar-akar persamaan awal, dan x=2 tidak termasuk, oleh karena itu, merupakan akar asing.

Menjawab:

Akan berguna juga untuk membahas secara terpisah kasus-kasus ketika dalam bentuk persamaan rasional pecahan terdapat bilangan pada pembilangnya, yaitu ketika p(x) diwakili oleh suatu bilangan. Di mana

• jika bilangan ini bukan nol, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar, karena suatu pecahan sama dengan nol jika dan hanya jika pembilangnya sama dengan nol;
• jika bilangan ini nol, maka akar persamaannya adalah bilangan apa pun dari ODZ.

Contoh.

Larutan.

Karena pembilang pecahan di ruas kiri persamaan mengandung bilangan bukan nol, maka untuk sembarang x nilai pecahan tersebut tidak boleh sama dengan nol. Karena itu, persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.

Menjawab:

tidak ada akar.

Contoh.

Selesaikan persamaannya.

Larutan.

Pembilang pecahan di sebelah kiri persamaan rasional pecahan ini mengandung nol, sehingga nilai pecahan ini adalah nol untuk setiap x yang masuk akal. Dengan kata lain, solusi persamaan ini adalah nilai x apa pun dari ODZ variabel ini.

Masih menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. Ini mencakup semua nilai x yang x 4 +5 x 3 ≠0. Penyelesaian persamaan x 4 +5 x 3 =0 adalah 0 dan −5, karena persamaan ini ekuivalen dengan persamaan x 3 (x+5)=0, dan ekuivalen dengan kombinasi dua persamaan x 3 =0 dan x +5=0, dari tempat akar-akar tersebut terlihat. Oleh karena itu, rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah sembarang x kecuali x=0 dan x=−5.

Jadi, persamaan rasional pecahan mempunyai banyak solusi yang tak terhingga, yaitu bilangan apa pun kecuali nol dan minus lima.

Menjawab:

Terakhir, saatnya berbicara tentang penyelesaian persamaan rasional pecahan dalam bentuk sembarang. Mereka dapat ditulis sebagai r(x)=s(x), di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Ke depan, katakanlah solusi mereka direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk yang sudah kita kenal.

Diketahui bahwa perpindahan suatu suku dari suatu bagian persamaan ke bagian persamaan yang lain yang bertanda berlawanan akan menghasilkan persamaan ekuivalen, oleh karena itu persamaan r(x)=s(x) ekuivalen dengan persamaan r(x)−s(x )=0.

Kita juga tahu bahwa sembarang , yang identik dengan ekspresi ini, adalah mungkin. Jadi, kita selalu dapat mengubah ekspresi rasional di sisi kiri persamaan r(x)−s(x)=0 menjadi pecahan rasional yang identik dalam bentuk .

Jadi kita beralih dari persamaan rasional pecahan awal r(x)=s(x) ke persamaan tersebut, dan penyelesaiannya, seperti yang kita temukan di atas, direduksi menjadi penyelesaian persamaan p(x)=0.

Namun di sini perlu diperhitungkan fakta bahwa ketika mengganti r(x)−s(x)=0 dengan , dan kemudian dengan p(x)=0, kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x dapat diperluas .

Akibatnya, persamaan awal r(x)=s(x) dan persamaan p(x)=0 yang kita peroleh mungkin menjadi tidak sama, dan dengan menyelesaikan persamaan p(x)=0, kita bisa mendapatkan akar-akarnya itu akan menjadi akar asing dari persamaan asli r(x)=s(x) . Anda dapat mengidentifikasi dan tidak memasukkan akar-akar asing dalam jawaban dengan melakukan pemeriksaan atau dengan memeriksa apakah akar-akar tersebut termasuk dalam ODZ persamaan asli.

Mari kita rangkum informasi ini algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x). Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x) , Anda perlu

• Dapatkan nol di sebelah kanan dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan dengan tanda berlawanan.
• Lakukan operasi dengan pecahan dan polinomial di sisi kiri persamaan, sehingga mengubahnya menjadi bentuk pecahan rasional.
• Selesaikan persamaan p(x)=0.
• Mengidentifikasi dan menghilangkan akar-akar asing, yang dilakukan dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan asli atau dengan memeriksa apakah akar-akar tersebut termasuk dalam ODZ persamaan asli.

Untuk lebih jelasnya, kami akan menunjukkan seluruh rantai penyelesaian persamaan rasional pecahan:
.

Mari kita lihat solusi dari beberapa contoh dengan penjelasan rinci tentang proses solusi untuk memperjelas blok informasi yang diberikan.

Contoh.

Memecahkan persamaan rasional pecahan.

Larutan.

Kami akan bertindak sesuai dengan algoritma solusi yang baru saja diperoleh. Dan pertama-tama kita pindahkan suku-suku dari ruas kanan persamaan ke kiri, sebagai hasilnya kita beralih ke persamaan.

Pada langkah kedua, kita perlu mengubah ekspresi rasional pecahan di sisi kiri persamaan yang dihasilkan menjadi bentuk pecahan. Untuk melakukan ini, kita mengurangi pecahan rasional menjadi penyebut yang sama dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan: . Jadi kita sampai pada persamaannya.

Pada tahap selanjutnya kita perlu menyelesaikan persamaan −2·x−1=0. Kami menemukan x=−1/2.

Masih harus diperiksa apakah bilangan yang ditemukan −1/2 bukan merupakan akar asing dari persamaan aslinya. Untuk melakukan ini, Anda dapat memeriksa atau mencari VA dari variabel x dari persamaan awal. Mari kita tunjukkan kedua pendekatan tersebut.

Mari kita mulai dengan memeriksa. Kita substitusikan bilangan −1/2 ke dalam persamaan awal dan bukan variabel x, dan kita mendapatkan hasil yang sama, −1=−1. Substitusi ini menghasilkan persamaan numerik yang benar, jadi x=−1/2 adalah akar persamaan awal.

Sekarang kami akan menunjukkan bagaimana poin terakhir dari algoritma dilakukan melalui ODZ. Kisaran nilai yang dapat diterima dari persamaan awal adalah himpunan semua bilangan kecuali −1 dan 0 (pada x=−1 dan x=0 penyebut pecahannya hilang). Akar x=−1/2 yang ditemukan pada langkah sebelumnya termasuk dalam ODZ, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar persamaan awal.

Menjawab:

−1/2 .

Mari kita lihat contoh lainnya.

Contoh.

Temukan akar persamaannya.

Larutan.

Kita perlu menyelesaikan persamaan rasional pecahan, mari kita melalui semua langkah algoritmanya.

Pertama, kita pindahkan suku dari sisi kanan ke kiri, kita peroleh .

Kedua, kita mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri: . Hasilnya, kita sampai pada persamaan x=0.

Akarnya jelas - nol.

Pada langkah keempat, masih harus dicari apakah akar yang ditemukan asing dengan persamaan rasional pecahan asli. Ketika disubstitusikan ke persamaan awal, diperoleh ekspresi. Jelas tidak masuk akal karena mengandung pembagian dengan nol. Oleh karena itu kita menyimpulkan bahwa 0 adalah akar asing. Oleh karena itu, persamaan aslinya tidak memiliki akar.

7, yang mengarah ke Persamaan. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa penyebut ruas kiri harus sama dengan penyebut ruas kanan, yaitu . Sekarang kita kurangi kedua sisi tripelnya: . Dengan analogi, dari mana, dan selanjutnya.

Pemeriksaan menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan merupakan akar persamaan rasional pecahan asli.

Menjawab:

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.