Stehende elastische Wellen in einem Ringkörper. Stehende Wellen

Kapitel 7. Mechanische Wellen

Wellen. Wellengleichung

Zusätzlich zu den Bewegungen, die wir bereits betrachtet haben, gibt es in fast allen Bereichen der Physik eine weitere Art von Bewegung – Wellen. Besonderheit Das Besondere an dieser Bewegung ist, dass es nicht die Materieteilchen selbst sind, die sich in der Welle ausbreiten, sondern Veränderungen in ihrem Zustand (Störungen).

Störungen, die sich zeitlich im Raum ausbreiten, nennt man Wellen . Wellen sind mechanisch und elektromagnetisch.

Elastische Wellensind Ausbreitungsstörungen eines elastischen Mediums.

Eine Störung eines elastischen Mediums ist jede Abweichung der Teilchen dieses Mediums von der Gleichgewichtslage. Störungen entstehen durch Verformung des Mediums an einer Stelle.

Die Menge aller Punkte, an denen die Welle eingedrungen ist im Moment Zeit, bildet eine Oberfläche namens Wellenfront .

Entsprechend der Form der Vorderseite werden Wellen in kugelförmige und flache Wellen unterteilt. Richtung Die Wellenfrontausbreitung wird bestimmt senkrecht zur Wellenfront, genannt Strahl . Für Kugelwelle Die Strahlen sind ein radial divergierendes Bündel. Bei einer ebenen Welle sind die Strahlen ein Bündel paralleler Linien.

In jeder mechanischen Welle gibt es gleichzeitig zwei Arten von Bewegung: Schwingungen von Partikeln des Mediums und Ausbreitung von Störungen.

Als Welle wird eine Welle bezeichnet, bei der die Schwingungen von Teilchen des Mediums und die Ausbreitung von Störungen in eine Richtung erfolgen längs (Abb. 7.2 A).

Als Welle bezeichnet man eine Welle, in der Teilchen des Mediums senkrecht zur Ausbreitungsrichtung von Störungen schwingen quer (Abb. 7.2 b).

Bei einer Longitudinalwelle stellen Störungen eine Kompression (oder Verdünnung) des Mediums dar, und bei einer Transversalwelle stellen sie Verschiebungen (Scherungen) einiger Schichten des Mediums relativ zu anderen dar. Longitudinalwellen können sich in allen Medien (flüssig, fest und gasförmig) ausbreiten, während sich Transversalwellen nur in festen Medien ausbreiten können.

Jede Welle breitet sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit aus . Unter Wellengeschwindigkeit υ die Geschwindigkeit der Störungsausbreitung verstehen. Die Geschwindigkeit einer Welle wird durch die Eigenschaften des Mediums bestimmt, in dem sich die Welle ausbreitet. IN Feststoffe Geschwindigkeit Longitudinalwellen größer als die Quergeschwindigkeit.

Wellenlängeλ ist die Entfernung, über die sich eine Welle in einer Zeit ausbreitet, die der Schwingungsperiode an ihrer Quelle entspricht. Da die Geschwindigkeit einer Welle (für ein gegebenes Medium) ein konstanter Wert ist, ist die von der Welle zurückgelegte Strecke gleich dem Produkt aus Geschwindigkeit und Ausbreitungszeit. Also die Wellenlänge

Aus Gleichung (7.1) folgt, dass Teilchen, die durch einen Abstand λ voneinander getrennt sind, in derselben Phase schwingen. Dann können wir die Wellenlänge wie folgt definieren: Die Wellenlänge ist der Abstand zwischen zwei nächstgelegenen Punkten, die in derselben Phase schwingen.

Lassen Sie uns eine Gleichung für eine ebene Welle herleiten, die es uns ermöglicht, die Verschiebung jedes beliebigen Punktes auf der Welle zu jedem Zeitpunkt zu bestimmen. Lassen Sie die Welle sich entlang des Strahls von der Quelle mit einer bestimmten Geschwindigkeit v ausbreiten.

Die Quelle regt einfache harmonische Schwingungen an und die Verschiebung eines beliebigen Punktes auf der Welle zu jedem Zeitpunkt wird durch die Gleichung bestimmt

S = Asinωt (7.2)

Dann wird ein Punkt im Medium, der sich im Abstand x von der Wellenquelle befindet, ebenfalls harmonische Schwingungen ausführen, allerdings mit einer Zeitverzögerung um einen Betrag, d. h. die Zeit, die Schwingungen benötigen, um sich von der Quelle bis zu diesem Punkt auszubreiten. Die Verschiebung des Schwingpunktes relativ zur Gleichgewichtslage zu jedem Zeitpunkt wird durch die Beziehung beschrieben

Dies ist die ebene Wellengleichung. Diese Welle ist charakterisiert die folgenden Parameter:

· S – Verschiebung aus der Gleichgewichtslage des Punktes des elastischen Mediums, den die Schwingung erreicht hat;

· ω – zyklische Frequenz der von der Quelle erzeugten Schwingungen, mit der auch die Punkte des Mediums schwingen;

· υ – W(Phasengeschwindigkeit);

· x ist der Abstand zu dem Punkt im Medium, den die Schwingung erreicht hat und dessen Verschiebung gleich S ist;

· t – Zeit, gezählt ab Beginn der Schwingungen;

Durch Einführen der Wellenlänge λ in den Ausdruck (7.3) kann die ebene Wellengleichung wie folgt geschrieben werden:

(7. 4)

Welleninterferenz. Stehende Wellen. Stehende Wellengleichung

Stehende Wellen entstehen durch die Interferenz zweier gegenläufiger ebener Wellen gleicher Frequenz ω und Amplitude A.

Stellen wir uns vor, dass es am Punkt S einen Vibrator gibt, von dem aus sich eine ebene Welle entlang des Strahls SO ausbreitet. Beim Erreichen des Hindernisses am Punkt O wird die Welle reflektiert und läuft in die entgegengesetzte Richtung, d.h. Zwei ebene Wellen breiten sich entlang des Strahls aus: vorwärts und rückwärts. Diese beiden Wellen sind kohärent, da sie von derselben Quelle erzeugt werden und sich gegenseitig überlagern, wenn sie sich überlagern.

Der durch Interferenz entstehende Schwingungszustand des Mediums wird als stehende Welle bezeichnet.

Schreiben wir die Gleichung der vorwärts und rückwärts wandernden Wellen auf:

gerade - ; umkehren -

wobei S 1 und S 2 die Verschiebung eines beliebigen Punktes auf dem SO-Strahl sind. Unter Berücksichtigung der Formel für den Sinus der Summe ist die resultierende Verschiebung gleich

Somit hat die Stehwellengleichung die Form

Der cosωt-Multiplikator zeigt, dass alle Punkte des Mediums auf dem SO-Strahl einfache harmonische Schwingungen mit einer Frequenz ausführen. Der Ausdruck wird als Stehwellenamplitude bezeichnet. Wie Sie sehen, wird die Amplitude durch die Position des Punktes auf dem Strahl SO (x) bestimmt.

Maximalwert Amplituden werden Punkte haben, für die

Oder (n = 0, 1, 2,….)

von wo, bzw (4.70)

stehende Wellenbäuche .

Mindestwert , gleich Null, wird die Punkte haben, für die

Oder (n = 0, 1, 2,….)

von wo oder (4.71)

Punkte mit solchen Koordinaten werden aufgerufen stehende Wellenknoten . Wenn wir die Ausdrücke (4.70) und (4.71) vergleichen, sehen wir, dass der Abstand zwischen benachbarten Schwingungsbäuchen und benachbarten Knoten gleich λ/2 ist.

Auf dem Bild durchgezogene Linie zeigt die Verschiebung oszillierender Punkte des Mediums zu einem bestimmten Zeitpunkt, die gepunktete Kurve zeigt die Position dieser Punkte durch T/2. Jeder Punkt schwingt mit einer Amplitude, die durch seinen Abstand vom Vibrator (x) bestimmt wird.

Im Gegensatz zu einer Wanderwelle findet bei einer stehenden Welle keine Energieübertragung statt. Energie geht innerhalb der Grenzen zwischen Knoten, die bewegungslos bleiben, einfach vom Potential (bei der maximalen Verschiebung von Punkten im Medium aus der Gleichgewichtsposition) zur Kinetik (wenn Punkte die Gleichgewichtsposition passieren) über.

Alle Punkte einer stehenden Welle innerhalb der Grenzen zwischen Knoten schwingen in der gleichen Phase und entsprechend verschiedene Seiten vom Knoten - in Gegenphase.

Stehende Wellen entstehen beispielsweise in einer gespannten, an beiden Enden befestigten Saite, wenn in ihr Querschwingungen angeregt werden. Darüber hinaus gibt es an den Befestigungsstellen Knoten einer stehenden Welle.

Entsteht in einer an einem Ende offenen Luftsäule eine stehende Welle (Schallwelle), so bildet sich am offenen Ende ein Schwingungsbauch und am gegenüberliegenden Ende ein Knoten.

Klang. Doppler-Effekt

Längsgerichtete elastische Wellen, die sich in Gasen, Flüssigkeiten und Feststoffen ausbreiten, sind unsichtbar. Unter bestimmten Voraussetzungen sind sie jedoch hörbar. Wenn wir also ein langes, in einen Schraubstock eingespanntes Stahllineal zum Schwingen anregen, werden wir die von ihm erzeugten Wellen nicht hören. Wenn wir jedoch den hervorstehenden Teil des Lineals verkürzen und dadurch die Frequenz seiner Schwingungen erhöhen, werden wir feststellen, dass das Lineal zu ertönen beginnt.

Als elastische Wellen werden bezeichnet, die beim Menschen Hörempfindungen hervorrufen Schallwellen oder einfach Klang.

Das menschliche Ohr ist in der Lage, elastisch wahrzunehmen mechanische Wellen mit einer Frequenz ν von 16Hz bis 20000Hz. Elastische Wellen mit der Frequenz ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000Hz – Ultraschall.

Als Schallfrequenzen werden Frequenzen im Bereich von 16 Hz bis 20.000 Hz bezeichnet. Jeder Körper (fest, flüssig oder gasförmig), der mit einer Schallfrequenz vibriert, erzeugt Umfeld Schallwelle.

In Gasen und Flüssigkeiten breiten sich Schallwellen in Form von longitudinalen Kompressions- und Verdünnungswellen aus. Kompression und Verdünnung des Mediums, die durch Schwingungen der Schallquelle (Saiten, Stimmgabelschenkel, Stimmbänder etc.) entstehen, erreichen nach einiger Zeit das menschliche Ohr und verursachen durch die Ausführung erzwungener Schwingungen des Trommelfells bestimmte Hörgeräusche Empfindungen in einer Person.

Im Vakuum können sich Schallwellen nicht ausbreiten, da dort nichts vibrieren kann. Dies kann unter überprüft werden einfache Erfahrung. Bei Platzierung unter einer Glasabdeckung Luftpumpe Wenn die Luft abgepumpt wird, werden wir feststellen, dass der Klang immer schwächer wird, bis er ganz aufhört.

Schall in Gasen. Es ist bekannt, dass wir bei einem Gewitter zuerst einen Blitz sehen und erst dann das Grollen des Donners hören. Diese Verzögerung entsteht, weil die Schallgeschwindigkeit in der Luft viel geringer ist als die Lichtgeschwindigkeit. Die Schallgeschwindigkeit in Luft wurde erstmals 1646 vom französischen Wissenschaftler Marin Mersen gemessen. Bei einer Temperatur von +20 °C beträgt sie 343 m/s, d. h. 1235 km/h.

Die Schallgeschwindigkeit hängt von der Temperatur des Mediums ab. Mit zunehmender Temperatur nimmt sie zu, mit sinkender Temperatur ab.

Die Schallgeschwindigkeit hängt nicht von der Dichte des Gases ab, in dem sich dieser Schall ausbreitet. Allerdings kommt es auf die Masse seiner Moleküle an. Je größer die Masse der Gasmoleküle ist, desto geringer ist die Schallgeschwindigkeit darin. Also bei einer Temperatur

Bei 0 °C beträgt die Schallgeschwindigkeit in Wasserstoff 1284 m/s und in Kohlendioxid– 259 m/s.

Schall in Flüssigkeiten. Die Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten ist normalerweise größer als die Schallgeschwindigkeit in Gasen. Die Schallgeschwindigkeit im Wasser wurde erstmals 1826 gemessen. Die Experimente wurden am Genfersee in der Schweiz durchgeführt. Auf einem Boot zündeten sie Schießpulver an und schlugen gleichzeitig auf eine ins Wasser gesenkte Glocke ein. Der Klang dieser Glocke wurde mithilfe eines speziellen Horns, das ebenfalls ins Wasser gesenkt wurde, auf einem anderen Boot eingefangen, das sich 14 km vom ersten entfernt befand. Anhand der Zeitdifferenz zwischen dem Lichtblitz und dem Eintreffen des Schallsignals wurde die Schallgeschwindigkeit im Wasser bestimmt. Bei einer Temperatur von 8 °C betrug sie 1435 m/s.

In Flüssigkeiten nimmt die Schallgeschwindigkeit im Allgemeinen mit zunehmender Temperatur ab. Eine Ausnahme von dieser Regel bildet Wasser. Darin nimmt die Schallgeschwindigkeit mit steigender Temperatur zu und erreicht bei einer Temperatur von 74 °C ihr Maximum, bei weiterer Temperaturerhöhung nimmt sie ab.

Es muss gesagt werden, dass das menschliche Ohr unter Wasser nicht gut „funktioniert“. Der größte Teil des Schalls wird vom Trommelfell reflektiert und löst daher keine Hörempfindungen aus. Dies gab unseren Vorfahren einst die Grundlage, die Unterwasserwelt als eine „Welt der Stille“ zu betrachten. Daher der Ausdruck „dumm wie ein Fisch“. Allerdings schlug Leonardo da Vinci auch vor, Unterwassergeräusche zu hören, indem man sein Ohr an ein ins Wasser gesenktes Ruder legte. Mit dieser Methode können Sie erkennen, dass Fische tatsächlich recht gesprächig sind.

Klang in Festkörpern. Die Schallgeschwindigkeit ist in Festkörpern sogar noch größer als in Flüssigkeiten. Nur hier sollte berücksichtigt werden, dass sowohl Längs- als auch Transversalwellen. Wie wir wissen, ist die Geschwindigkeit dieser Wellen unterschiedlich. Beispielsweise breiten sich in Stahl Transversalwellen mit einer Geschwindigkeit von 3300 m/s und Longitudinalwellen mit einer Geschwindigkeit von 6100 m/s aus. Dass die Schallgeschwindigkeit in einem festen Körper größer ist als in Luft, kann wie folgt nachgewiesen werden. Wenn Ihr Freund auf ein Ende der Schiene trifft und Sie Ihr Ohr an das andere Ende legen, sind zwei Schläge zu hören. Der Schall erreicht Ihr Ohr zunächst durch die Schiene und dann durch die Luft.

Die Erde hat eine gute Leitfähigkeit. Daher wurden früher während einer Belagerung „Zuhörer“ in den Festungsmauern angebracht, die anhand des von der Erde übertragenen Geräusches feststellen konnten, ob sich der Feind in die Mauern grub oder nicht. Indem man sein Ohr auf den Boden legte, konnte man auch die Annäherung feindlicher Kavallerie erkennen.

Zusätzlich zu hörbaren Geräuschen, Erdkruste Außerdem breiten sich Infraschallwellen aus, die das menschliche Ohr nicht mehr wahrnehmen kann. Solche Wellen können bei Erdbeben auftreten.

Bei Vulkanausbrüchen und Explosionen treten starke Infraschallwellen auf, die sich sowohl im Boden als auch in der Luft ausbreiten Atombomben. Zu den Quellen von Infraschall können auch Luftwirbel in der Atmosphäre, Frachtentladungen, Schüsse, Wind, fließende Meereswellenkämme, laufende Düsentriebwerke usw. gehören.

Auch Ultraschall wird vom menschlichen Ohr nicht wahrgenommen. Einige Tiere sind jedoch in der Lage, es beispielsweise auszusenden und einzufangen Fledermäuse und Delfine. In der Technik werden spezielle Geräte zur Ultraschallgewinnung eingesetzt.

Ein schwingender Körper, der sich in einem elastischen Medium befindet, ist eine Quelle von Schwingungen, die sich von ihm in alle Richtungen ausbreiten. Der Vorgang der Ausbreitung von Schwingungen in einem Medium nennt man Welle.

Bei der Ausbreitung einer Welle bewegen sich die Teilchen des Mediums nicht mit der Welle, sondern schwingen um ihre Gleichgewichtslagen. Zusammen mit der Welle wird nur der Zustand der Schwingungsbewegung und ihrer Energie von Teilchen zu Teilchen übertragen. Daher ist die Haupteigenschaft aller Wellen, unabhängig von ihrer Natur, die Übertragung von Energie ohne die Übertragung von Materie.

Wellen können transversal (Schwingungen treten in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung auf) und longitudinal (Kondensation und Entladung von Partikeln des Mediums erfolgen in Ausbreitungsrichtung) sein.

Wenn sich zwei identische Wellen mit gleichen Amplituden und Perioden aufeinander zu ausbreiten, entstehen bei der Überlappung stehende Wellen. Stehende Wellen können durch Reflexion an Hindernissen entstehen. Nehmen wir an, der Sender sendet eine Welle an ein Hindernis (einfallende Welle). Die von ihm reflektierte Welle überlagert die einfallende Welle. Die Gleichung der stehenden Welle kann durch Addition der Gleichung der einfallenden Welle erhalten werden

(Ein sehr wichtiger Interferenzfall wird beobachtet, wenn sich zwei gegenläufige ebene Wellen mit gleicher Amplitude überlagern. Der resultierende Schwingungsvorgang wird als stehende Welle bezeichnet. Praktisch entstehen stehende Wellen, wenn sie an Hindernissen reflektiert werden.)

Diese Gleichung wird Wellengleichung genannt. Jede Funktion, die diese Gleichung erfüllt, beschreibt eine bestimmte Welle.
Wellengleichung ist ein Ausdruck, der gibt Voreingenommenheit Schwingpunkt als Funktion seiner Koordinaten ( X, j, z) und Zeit T.

Diese Funktion muss sowohl zeitlich als auch koordinatenmäßig periodisch sein (eine Welle ist eine sich ausbreitende Schwingung, also eine sich periodisch wiederholende Bewegung). Darüber hinaus schwingen Punkte im Abstand l voneinander in gleicher Weise.

- Das ebene Wellengleichung.
Gleichung (5.2.3) hat die gleiche Form, wenn sich die Schwingungen entlang der Achse ausbreiten j oder z
IN Gesamtansicht ebene Wellengleichung ist so geschrieben:

Die Ausdrücke (5.2.3) und (5.2.4) lauten Wanderwellengleichungen .

Gleichung (5.2.3) beschreibt eine Welle, die sich in zunehmender Richtung ausbreitet X. Eine Welle, die sich in die entgegengesetzte Richtung ausbreitet, hat die Form:

Stellen wir uns vor Wellenzahl , oder in Vektorform:

Wo ist der Wellenvektor und die Normale zur Wellenoberfläche?

Seitdem. Von hier. Dann ebene Wellengleichung wird so geschrieben:

Kugelwellengleichung:

Wo A gleich der Amplitude in einem Abstand von der Quelle gleich eins.

Wellenvektor- Vektor k, die die Ausbreitungsrichtung und die räumliche Periode eines flachen Monochromaten bestimmt. Wellen

wo sind die konstante Amplitude und Phase der Welle, ist die Kreisfrequenz, R- Radiusvektor. Modul V.V. angerufen Wellenzahl k= , Wo - räumliche Periode oder Wellenlänge. In Richtung E. die schnellste Phasenänderung der Welle auftritt, daher wird sie als Ausbreitungsrichtung angenommen. Die Geschwindigkeit der Phasenbewegung in dieser Richtung oder Phasengeschwindigkeit wird durch die Wellenzahl bestimmt. c.

6.1 Stehende Wellen in einem elastischen Medium

Wenn sich mehrere Wellen gleichzeitig in einem elastischen Medium ausbreiten, kommt es nach dem Überlagerungsprinzip zu einer Überlagerung, ohne dass sich die Wellen gegenseitig stören: Die Schwingungen der Partikel des Mediums sind die Vektorsumme der Schwingungen, die die Partikel ausführen würden wenn sich jede der Wellen separat ausbreitete.

Als Wellen werden Wellen bezeichnet, die Schwingungen des Mediums erzeugen, deren Phasenunterschiede an jedem Punkt im Raum konstant sind kohärent.

Wenn kohärente Wellen hinzugefügt werden, tritt das Phänomen auf Interferenz, was darin besteht, dass sich die Wellen an manchen Punkten im Raum gegenseitig verstärken und an anderen Punkten gegenseitig abschwächen. Ein wichtiger Interferenzfall wird beobachtet, wenn zwei gegenläufige ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Amplitude überlagert werden. Die resultierenden Schwingungen werden aufgerufen stehende Welle. Am häufigsten entstehen stehende Wellen, wenn eine Wanderwelle von einem Hindernis reflektiert wird. In diesem Fall ergeben die einfallende Welle und die darauf reflektierte Welle zusammen eine stehende Welle.

Wir erhalten die Stehwellengleichung. Nehmen wir zwei ebene harmonische Wellen, die sich entlang der Achse aufeinander zu ausbreiten X und mit der gleichen Frequenz und Amplitude:

Wo – Phase der Schwingungen von Punkten des Mediums während des Durchgangs der ersten Welle;

– Phase der Schwingungen von Punkten im Medium während des Durchgangs der zweiten Welle.

Phasenunterschied an jedem Punkt der Achse X Das Netzwerk ist nicht von der Zeit abhängig, d. h. wird konstant sein:

Daher sind beide Wellen kohärent.

Die Schwingung der Teilchen des Mediums, die sich aus der Addition der betrachteten Wellen ergibt, wird wie folgt sein:

Transformieren wir die Summe der Winkelkosinuswerte gemäß Regel (4.4) und erhalten:

Wenn wir die Faktoren neu gruppieren, erhalten wir:

Um den Ausdruck zu vereinfachen, wählen wir den Referenzpunkt so, dass die Phasendifferenz vorliegt und der Beginn der Zeit zählen so, dass die Summe der Phasen gleich Null ist: .

Dann nimmt die Gleichung für die Summe der Wellen die Form an:

Gleichung (6.6) wird aufgerufen Stehwellengleichung. Es zeigt, dass die Frequenz einer stehenden Welle gleich der Frequenz einer Wanderwelle ist und die Amplitude im Gegensatz zu einer Wanderwelle von der Entfernung vom Ursprung abhängt:

. (6.7)

Unter Berücksichtigung von (6.7) hat die Stehwellengleichung die Form:

. (6.8)

Somit schwingen Punkte des Mediums mit einer Frequenz, die mit der Frequenz und der Amplitude der Wanderwelle übereinstimmt A, abhängig von der Position des Punktes auf der Achse X. Dementsprechend ändert sich die Amplitude nach dem Kosinusgesetz und weist eigene Maxima und Minima auf (Abb. 6.1).

Um die Lage der Minima und Maxima der Amplitude visuell darzustellen, ersetzen wir gemäß (5.29) die Wellenzahl durch ihren Wert:

Dann nimmt der Ausdruck (6.7) für die Amplitude die Form an

(6.10)

Daraus wird deutlich, dass die Verschiebungsamplitude bei maximal ist , d.h. an Punkten, deren Koordinaten die Bedingung erfüllen:

, (6.11)

Wo

Von hier erhalten wir die Koordinaten der Punkte, an denen die Verschiebungsamplitude maximal ist:

; (6.12)

Es werden die Punkte genannt, an denen die Schwingungsamplitude des Mediums maximal ist Bäuche der Welle.

Die Amplitude der Welle ist an Punkten Null . Die Koordinaten solcher Punkte werden genannt Wellenknoten, erfüllt die Bedingung:

, (6.13)

Wo

Aus (6.13) geht hervor, dass die Koordinaten der Knoten die Werte haben:

, (6.14)

In Abb. Abbildung 6.2 zeigt eine ungefähre Ansicht einer stehenden Welle und markiert die Lage der Knoten und Schwingungsbäuche. Es ist zu erkennen, dass benachbarte Knoten und Verschiebungsbäuche den gleichen Abstand voneinander haben.

Lassen Sie uns den Abstand zwischen benachbarten Bäuchen und Knoten ermitteln. Aus (6.12) erhalten wir den Abstand zwischen den Schwingungsbäuchen:

(6.15)

Der Abstand zwischen den Knoten ergibt sich aus (6.14):

(6.16)

Aus den erhaltenen Beziehungen (6.15) und (6.16) geht hervor, dass der Abstand zwischen benachbarten Knoten sowie zwischen benachbarten Bäuchen konstant und gleich ist; Knoten und Bäuche sind relativ zueinander um verschoben (Abb. 6.3).

Aus der Definition der Wellenlänge können wir einen Ausdruck für die Länge einer stehenden Welle formulieren: Sie ist gleich der halben Länge einer Wanderwelle:

Schreiben wir unter Berücksichtigung von (6.17) Ausdrücke für die Koordinaten von Knoten und Bäuchen:

, (6.18)

, (6.19)

Der Faktor, der die Amplitude einer stehenden Welle bestimmt, ändert beim Durchgang durch den Nullwert sein Vorzeichen, wodurch sich die Phase der Schwingungen auf verschiedenen Seiten des Knotens um unterscheidet. Folglich schwingen alle Punkte, die auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens liegen, gegenphasig. Alle zwischen benachbarten Knoten liegenden Punkte schwingen gleichphasig.

Die Knoten unterteilen die Umgebung bedingt in autonome Bereiche, in denen harmonische Schwingungen unabhängig voneinander auftreten. Es gibt keine Bewegungsübertragung zwischen Regionen und daher keinen Energiefluss zwischen Regionen. Das heißt, es findet keine Störungsübertragung entlang der Achse statt. Deshalb wird die Welle auch stehende Welle genannt.

Eine stehende Welle entsteht also aus zwei entgegengesetzt gerichteten Wanderwellen gleicher Frequenz und Amplitude. Die Umov-Vektoren jeder dieser Wellen haben den gleichen Betrag und die entgegengesetzte Richtung, und wenn sie addiert werden, ergeben sie Null. Folglich überträgt eine stehende Welle keine Energie.

6.2 Beispiele für stehende Wellen

6.2.1 Stehende Welle in einer Saite

Betrachten wir eine Zeichenfolge mit einer Länge L, an beiden Enden befestigt (Abb. 6.4).

Platzieren wir eine Achse entlang der Zeichenfolge X sodass das linke Ende der Zeichenfolge die Koordinate hat x=0, und das Richtige – x=L. In der Saite treten Schwingungen auf, die durch die Gleichung beschrieben werden:

Schreiben wir die Randbedingungen für den betrachteten String auf. Da seine Enden fixiert sind, dann an Punkten mit Koordinaten x=0 Und x=L kein Zögern:

(6.22)

Finden wir die Gleichung der Saitenschwingungen basierend auf den geschriebenen Randbedingungen. Schreiben wir Gleichung (6.20) für das linke Ende der Zeichenfolge unter Berücksichtigung von (6.21):

Beziehung (6.23) ist für jeden Zeitpunkt erfüllt T in zwei Fällen:

1. . Dies ist möglich, wenn in der Saite () keine Vibrationen auftreten. Dieser Fall ist nicht von Interesse und wir werden ihn nicht berücksichtigen.

2. . Hier ist die Phase. Dieser Fall wird es uns ermöglichen, die Gleichung der Saitenschwingungen zu erhalten.

Setzen wir den resultierenden Phasenwert in die Randbedingung (6.22) für das rechte Ende der Zeichenfolge ein:

. (6.25)

In Anbetracht dessen

, (6.26)

aus (6.25) erhalten wir:

Auch hier treten zwei Fälle auf, in denen die Beziehung (6.27) erfüllt ist. Wir werden den Fall nicht betrachten, wenn in der Saite () keine Vibrationen vorhanden sind.

Im zweiten Fall muss die Gleichheit erfüllt sein:

und dies ist nur möglich, wenn das Argument des Sinus ein Vielfaches einer ganzen Zahl ist:

Wir verwerfen den Wert, weil In diesem Fall würde dies bedeuten, dass die Zeichenfolge entweder die Länge Null hat ( L=0) oder Wellenzahl k=0. Unter Berücksichtigung des Zusammenhangs (6.9) zwischen der Wellenzahl und der Wellenlänge ist klar, dass die Wellenlänge unendlich sein muss, damit die Wellenzahl gleich Null ist, und dies würde das Fehlen von Schwingungen bedeuten.

Aus (6.28) geht hervor, dass die Wellenzahl beim Schwingen einer an beiden Enden befestigten Saite nur bestimmte diskrete Werte annehmen kann:

Unter Berücksichtigung von (6.9) schreiben wir (6.30) in der Form:

Daraus erhalten wir den Ausdruck für mögliche Wellenlängen in der Zeichenfolge:

Mit anderen Worten, über die Länge der Zeichenfolge L muss in eine ganze Zahl passen N Halbwellen:

Die entsprechenden Schwingungsfrequenzen lassen sich aus (5.7) ermitteln:

Hier ist die Phasengeschwindigkeit der Welle, abhängig nach (5.102), von der linearen Dichte der Saite und der Zugkraft der Saite:

Wenn wir (6.34) in (6.33) einsetzen, erhalten wir einen Ausdruck, der die möglichen Schwingungsfrequenzen der Saite beschreibt:

, (6.36)

Die Frequenzen werden aufgerufen Eigenfrequenzen Saiten. Häufigkeit (bei N = 1):

(6.37)

angerufen Grundfrequenz(oder Hauptton) Saiten. Frequenzen bestimmt bei n>1 werden aufgerufen Obertöne oder Harmonische. Die harmonische Zahl ist n-1. Zum Beispiel Häufigkeit:

entspricht der ersten Harmonischen und Frequenz:

entspricht der zweiten Harmonischen usw. Da eine Saite als diskretes System mit unendlich vielen Freiheitsgraden dargestellt werden kann, gilt dies für jede Harmonische Mode Saitenvibrationen. Im Allgemeinen stellen Saitenschwingungen eine Überlagerung von Moden dar.

Jede Harmonische hat ihre eigene Wellenlänge. Für den Hauptton (mit n= 1) Wellenlänge:

jeweils für die erste und zweite Harmonische (bei n= 2 und n= 3) Wellenlängen werden sein:

Abbildung 6.5 zeigt das Auftreten verschiedener Schwingungsmoden einer Saite.

Somit realisiert eine Saite mit festen Enden einen Ausnahmefall im Rahmen der klassischen Physik – ein diskretes Spektrum von Schwingungsfrequenzen (bzw. Wellenlängen). Ein elastischer Stab mit einem oder beiden eingespannten Enden und Schwingungen einer Luftsäule in Rohren verhalten sich auf die gleiche Weise, worauf in den folgenden Abschnitten eingegangen wird.

6.2.2 Einfluss der Anfangsbedingungen auf die Bewegung

fortlaufende Zeichenfolge. Fourier-Analyse

Schwingungen einer Saite mit eingespannten Enden haben neben dem diskreten Spektrum der Schwingungsfrequenzen noch eine weitere wichtige Eigenschaft: Die konkrete Schwingungsform der Saite hängt von der Art der Schwingungsanregung ab, d.h. aus den Anfangsbedingungen. Schauen wir genauer hin.

Gleichung (6.20), die eine Mode einer stehenden Welle in einer Saite beschreibt, ist eine spezielle Lösung der Differentialwellengleichung (5.61). Da die Schwingung einer Saite aus allen möglichen Modi besteht (für eine Saite - eine unendliche Zahl), dann allgemeine Lösung Wellengleichung (5.61) besteht aus unendlich vielen Teillösungen:

, (6.43)

Wo ich– Nummer des Vibrationsmodus. Ausdruck (6.43) wird unter Berücksichtigung der Tatsache geschrieben, dass die Enden der Zeichenfolge festgelegt sind:

und auch unter Berücksichtigung des Frequenzzusammenhangs ich-ter Modus und seine Wellenzahl:

(6.46)

Hier – Wellennummer ich die Mode;

– Wellennummer des 1. Modus;

Lassen Sie uns den Wert der Anfangsphase für jeden Schwingungsmodus ermitteln. Dafür im Moment t=0 Geben wir der Zeichenfolge eine durch die Funktion beschriebene Form F 0 (X), den Ausdruck, für den wir aus (6.43) erhalten:

. (6.47)

In Abb. Abbildung 6.6 zeigt ein Beispiel für die Form einer durch die Funktion beschriebenen Zeichenfolge F 0 (X).

Zu einem bestimmten Zeitpunkt t=0 die Saite ist noch in Ruhe, d.h. die Geschwindigkeit aller seiner Punkte ist Null. Aus (6.43) finden wir einen Ausdruck für die Geschwindigkeit der Stringpunkte:

und darin ersetzen t=0 erhalten wir einen Ausdruck für die Geschwindigkeit der Punkte auf der Zeichenfolge zum Anfangszeitpunkt:

. (6.49)

Da zum Anfangszeitpunkt die Geschwindigkeit gleich Null ist, ist der Ausdruck (6.49) für alle Punkte der Zeichenfolge gleich Null, wenn . Daraus folgt, dass die Anfangsphase für alle Modi ebenfalls Null ist (). Unter Berücksichtigung dieser Tatsache nimmt der Ausdruck (6.43), der die Bewegung der Saite beschreibt, die Form an:

, (6.50)

und Ausdruck (6.47), beschreibend Ausgangsform Zeichenfolgen, sieht aus wie:

. (6.51)

Eine stehende Welle in einer Saite wird durch eine über das Intervall periodische Funktion beschrieben, wobei sie zwei Längen der Saite entspricht (Abb. 6.7):

Dies lässt sich daran erkennen, dass Periodizität auf einem Intervall bedeutet:

Somit,

was uns zum Ausdruck (6.52) führt.

Aus der mathematischen Analyse ist bekannt, dass jede periodische Funktion mit hoher Genauigkeit in eine Fourier-Reihe entwickelt werden kann:

, (6.57)

wobei , , Fourier-Koeffizienten sind.

Wenn sich in einem Medium mehrere Wellen gleichzeitig ausbreiten, dann erweisen sich die Schwingungen der Teilchen des Mediums als die geometrische Summe der Schwingungen, die die Teilchen machen würden, wenn sich jede der Wellen getrennt ausbreiten würde. Dadurch überlagern sich die Wellen einfach, ohne sich gegenseitig zu stören. Diese Aussage wird als Prinzip der Wellenüberlagerung bezeichnet. Das Superpositionsprinzip besagt, dass die Bewegung, die durch die Ausbreitung mehrerer Wellen gleichzeitig entsteht, wiederum ein bestimmter Wellenprozess ist. Ein solcher Vorgang ist beispielsweise der Klang eines Orchesters. Es entsteht durch gleichzeitige Erregung Schallschwingungen Luft mit einzelnen Musikinstrumenten. Bemerkenswert ist, dass bei der Überlagerung von Wellen besondere Phänomene auftreten können. Man nennt sie Additionseffekte oder, wie man auch sagt, Überlagerung von Wellen. Unter diesen Effekten sind Interferenz und Beugung die wichtigsten.

Interferenz ist ein Phänomen der zeitlichen Umverteilung von Schwingungsenergie im Raum, wodurch Schwingungen an manchen Stellen verstärkt und an anderen abgeschwächt werden. Dieses Phänomen tritt auf, wenn Wellen mit einer über die Zeit anhaltenden Phasendifferenz addiert werden, sogenannte kohärente Wellen. Interferenz große Zahl Wellen nennt man Beugung. Grundlegender Unterschied Es gibt keinen Unterschied zwischen Interferenz und Beugung. Die Natur dieser Phänomene ist dieselbe. Wir beschränken uns darauf, nur einen sehr wichtigen Interferenzeffekt zu diskutieren, nämlich die Bildung stehender Wellen.

Eine notwendige Bedingung Die Bildung stehender Wellen ist das Vorhandensein von Grenzen, die die auf sie einfallenden Wellen reflektieren. Stehende Wellen entstehen durch die Addition einfallender und reflektierter Wellen. Phänomene dieser Art kommen recht häufig vor. Somit wird jeder Ton eines Musikinstruments durch eine stehende Welle angeregt. Diese Welle wird entweder in einer Saite (Saiteninstrumente) oder in einer Luftsäule ( Blasinstrumente). Die reflektierenden Grenzen sind in diesen Fällen die Befestigungspunkte der Saite und die Oberflächen der Innenhohlräume von Blasinstrumenten.

Jede stehende Welle hat die folgenden Eigenschaften. Der gesamte Raumbereich, in dem die Welle angeregt wird, kann so in Zellen unterteilt werden, dass an den Grenzen der Zellen keinerlei Schwingungen auftreten. Punkte, die sich auf diesen Grenzen befinden, werden stehende Wellenknoten genannt. Die Schwingungsphasen an den inneren Punkten jeder Zelle sind gleich. Schwingungen benachbarter Zellen erfolgen gegeneinander, also gegenphasig. Innerhalb einer Zelle variiert die Amplitude der Schwingungen im Raum und erreicht an manchen Stellen einen Maximalwert. Die Punkte, an denen dies beobachtet wird, werden stehende Wellenbäuche genannt. Eine charakteristische Eigenschaft stehender Wellen ist schließlich die Diskretion ihres Frequenzspektrums. In einer stehenden Welle können Schwingungen nur mit genau definierten Frequenzen auftreten, und der Übergang von einer zur anderen erfolgt abrupt.

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel einer stehenden Welle an. Nehmen wir an, dass eine Schnur begrenzter Länge entlang der Achse gedehnt wird; Seine Enden sind starr befestigt, wobei sich das linke Ende im Koordinatenursprung befindet. Dann ist die Koordinate des rechten Endes. Erregen wir eine Welle in der Saite

,

von links nach rechts ausbreitend. Die Welle wird vom rechten Ende der Saite reflektiert. Nehmen wir an, dass dies ohne Energieverlust geschieht. In diesem Fall hat die reflektierte Welle dieselbe Amplitude und dieselbe Frequenz wie die einfallende Welle. Daher sollte die reflektierte Welle die Form haben:

Seine Phase enthält eine Konstante, die die Phasenänderung bei Reflexion bestimmt. Da die Reflexion an beiden Enden der Saite und ohne Energieverlust erfolgt, breiten sich Wellen gleicher Frequenz gleichzeitig in der Saite aus. Daher sollte es bei der Zugabe zu Störungen kommen. Finden wir die resultierende Welle.

Dies ist die Stehwellengleichung. Daraus folgt, dass an jedem Punkt der Saite Schwingungen mit einer bestimmten Frequenz auftreten. In diesem Fall ist die Amplitude der Schwingungen an einem Punkt gleich

.

Da die Enden der Saite fixiert sind, entstehen dort keine Vibrationen. Aus der Bedingung folgt, dass . Daher erhalten wir schließlich:

.

Nun ist klar, dass es an den Punkten, an denen überhaupt keine Schwingungen auftreten. Diese Punkte sind die Knoten der stehenden Welle. Wo die Amplitude der Schwingungen maximal ist, entspricht sie dem Doppelten der Amplitude der hinzugefügten Schwingungen. Diese Punkte sind die Schwingungsbäuche einer stehenden Welle. Das Auftreten von Schwingungsbäuchen und Knoten ist genau der Grund für die Interferenz: An manchen Stellen verstärken sich die Schwingungen, an anderen verschwinden sie. Der Abstand zwischen benachbarten Knoten und Bäuchen ergibt sich aus der offensichtlichen Bedingung: . Denn dann. Daher beträgt der Abstand zwischen benachbarten Knoten.

Aus der Stehwellengleichung geht klar hervor, dass der Faktor Beim Durchlaufen des Nullwerts ändert sich das Vorzeichen. Dementsprechend unterscheidet sich die Phase der Schwingungen auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens um . Das bedeutet, dass Punkte, die auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens liegen, gegenphasig schwingen. Alle Punkte zwischen zwei benachbarten Knoten schwingen in derselben Phase.

Durch Addition der einfallenden und reflektierten Wellen ist es also tatsächlich möglich, das zuvor beschriebene Bild der Wellenbewegung zu erhalten. In diesem Fall sind die im eindimensionalen Fall diskutierten Zellen Segmente, die zwischen benachbarten Knoten eingeschlossen sind und die Länge haben.

Stellen wir abschließend sicher, dass die von uns betrachtete Welle nur bei genau definierten Schwingungsfrequenzen existieren kann. Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass es am rechten Ende der Saite keine Vibrationen gibt. Daraus ergibt sich, dass . Diese Gleichheit ist möglich, wenn , wobei eine beliebige positive ganze Zahl ist.