Die Zahl 1 durch Lösen der Ungleichung x 2 1. Die Intervallmethode: Lösen der einfachsten strengen Ungleichungen

Diagramm in Abbildung 5:

Und folgendes Beispiel: Lösen Sie die Ungleichung 0,6 2x - 3< 0,36 .

Nach dem Diagramm in Abbildung 5 erhalten wir
2x - 3 > log 0,6 0,36,
2x - 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Antworten: (2,5; +∞) .

Betrachten Sie das letzte Schema zum Lösen einer Ungleichung der Form ein f(x)< b , bei a>0 Und B<0 gezeigt in Abbildung 6:

Lösen wir zum Beispiel die Ungleichung:

Wir stellen fest, dass, egal welche Zahl wir für x einsetzen, die linke Seite der Ungleichung immer größer als Null ist, und in unserem Fall ist dieser Ausdruck kleiner als -8, d.h. und Null bedeutet, dass es keine Lösungen gibt.

Antworten: keine Lösungen.

Da wir wissen, wie die einfachsten exponentiellen Ungleichungen gelöst werden, können wir fortfahren Lösen von exponentiellen Ungleichungen.

Beispiel 1

Finden Sie den größten ganzzahligen Wert von x, der die Ungleichung erfüllt

Da 6 x größer als Null ist (für kein x geht der Nenner gegen Null), multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit 6 x, erhalten wir:

440 - 2 6 2x > 8, dann
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2x > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Antwort 1.

Beispiel 2.

Löse die Ungleichung 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Bezeichne 2 x mit y, wir erhalten die Ungleichung y 2 - 3y + 2 ≤ 0, wir lösen diese quadratische Ungleichung.

y 2 - 3y +2 = 0,
y1 = 1 und y2 = 2.

Die Äste der Parabel sind nach oben gerichtet, zeichnen wir ein Diagramm:

Dann ist die Lösung der Ungleichung die Ungleichung 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Antworten: (0; 1) .

Beispiel 3. Löse die Ungleichung 5x+1 – 3x+2< 2·5 x – 2·3 x –1
Sammle Ausdrücke mit denselben Basen in einem Teil der Ungleichung

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Lassen Sie uns die Ungleichung auf der linken Seite der Klammern 5 x entfernen und auf der rechten Seite der Ungleichung 3 x und erhalten Sie die Ungleichung

5x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5x< (25/3)·3 х

Wir dividieren beide Teile der Ungleichung durch den Ausdruck 3 3 x, das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht, da 3 3 x eine positive Zahl ist, erhalten wir die Ungleichung:

x< 2 (так как 5/3 > 1).

Antworten: (–∞; 2) .

Wenn Sie Fragen zum Lösen exponentieller Ungleichungen haben oder das Lösen ähnlicher Beispiele üben möchten, melden Sie sich für meine Lektionen an. Tutor Valentina Galinevskaya.

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Lineare Ungleichungen werden aufgerufen der linke und der rechte Teil davon sind lineare Funktionen in Bezug auf den unbekannten Wert. Dazu gehören zum Beispiel die Ungleichungen:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Strikte Ungleichungen: ax+b>0 oder ax+b<0

2) Nicht strenge Ungleichungen: ax+b≤0 oder ax+b≫ 0

Nehmen wir diese Aufgabe an. Eine Seite eines Parallelogramms ist 7 cm lang. Wie lang muss die andere Seite sein, damit der Umfang des Parallelogramms größer als 44 cm ist?

Lassen Sie die gewünschte Seite sein x siehe In diesem Fall wird der Umfang des Parallelogramms durch (14 + 2x) dargestellt siehe Die Ungleichung 14 + 2x > 44 ist ein mathematisches Modell des Problems des Umfangs eines Parallelogramms. Wenn wir in dieser Ungleichung die Variable ersetzen x zum Beispiel die Zahl 16, dann erhalten wir die korrekte numerische Ungleichung 14 + 32\u003e 44. In diesem Fall soll die Zahl 16 eine Lösung der Ungleichung 14 + 2x\u003e 44 sein.

Ungleichheitslösung Nennen Sie den Wert der Variablen, der daraus eine echte numerische Ungleichung macht.

Daher ist jede der Zahlen 15.1; 20;73 fungieren als Lösung der Ungleichung 14 + 2x > 44, und die Zahl 10 beispielsweise ist nicht ihre Lösung.

Löse die Ungleichung bedeutet, alle seine Lösungen aufzustellen oder zu beweisen, dass es keine Lösungen gibt.

Die Formulierung der Lösung der Ungleichung ist ähnlich der Formulierung der Wurzel der Gleichung. Und doch ist es nicht üblich, die „Wurzel der Ungleichheit“ zu benennen.

Die Eigenschaften numerischer Gleichungen halfen uns, Gleichungen zu lösen. In ähnlicher Weise helfen Eigenschaften numerischer Ungleichungen beim Lösen von Ungleichungen.

Beim Lösen der Gleichung ändern wir sie in eine andere, einfachere Gleichung, die aber der gegebenen entspricht. Auf ähnliche Weise wird die Antwort für Ungleichheiten gefunden. Wenn sie die Gleichung in eine ihr äquivalente Gleichung umwandeln, verwenden sie den Satz über die Übertragung von Termen von einem Teil der Gleichung in den anderen und über die Multiplikation beider Teile der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null. Beim Lösen einer Ungleichung gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen ihr und einer Gleichung, der darin besteht, dass jede Lösung einer Gleichung überprüft werden kann, indem man sie einfach in die ursprüngliche Gleichung einsetzt. Bei Ungleichungen gibt es kein solches Verfahren, da es nicht möglich ist, unendlich viele Lösungen in die ursprüngliche Ungleichung einzusetzen. Daher gibt es ein wichtiges Konzept, diese Pfeile<=>ist das Zeichen für äquivalente oder äquivalente Transformationen. Die Transformation wird aufgerufen gleichwertig oder gleichwertig wenn sie den Entscheidungssatz nicht ändern.

Ähnliche Regeln zum Lösen von Ungleichungen.

Wenn ein Term von einem Teil der Ungleichung zu einem anderen verschoben wird, während sein Vorzeichen durch das entgegengesetzte ersetzt wird, dann erhalten wir eine Ungleichung, die der gegebenen entspricht.

Wenn beide Teile der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert (dividiert) werden, dann erhalten wir eine der gegebenen äquivalente Ungleichung.

Wenn beide Teile der Ungleichung mit derselben negativen Zahl multipliziert (dividiert) werden, während das Ungleichheitszeichen durch das entgegengesetzte ersetzt wird, erhalten wir eine Ungleichung, die der gegebenen entspricht.

Verwenden Sie diese Vorschriften wir berechnen die folgenden Ungleichungen.

1) Lassen Sie uns die Ungleichheit analysieren 2x - 5 > 9.

Das lineare Ungleichheit, finden Sie seine Lösung und diskutieren Sie die grundlegenden Konzepte.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 wurde mit dem entgegengesetzten Vorzeichen auf die linke Seite verschoben), dann haben wir alles durch 2 geteilt und wir haben x > 7. Wir wenden eine Reihe von Lösungen auf die Achse an x

Wir haben einen positiv gerichteten Strahl erhalten. Wir notieren die Menge der Lösungen entweder in Form der Ungleichung x > 7, oder als Intervall x(7; ∞). Und was ist eine bestimmte Lösung für diese Ungleichung? Zum Beispiel, x=10 ist eine spezielle Lösung für diese Ungleichung, x=12 ist auch eine spezielle Lösung dieser Ungleichung.

Es gibt viele Einzellösungen, aber unsere Aufgabe ist es, alle Lösungen zu finden. Und die Lösungen sind normalerweise unendlich.

Lassen Sie uns analysieren Beispiel 2:

2) Lösen Sie die Ungleichung 4a - 11 > a + 13.

Lösen wir es: aber auf eine Seite bewegen 11 Bewegen Sie sich auf die andere Seite, wir erhalten 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 Ungleichheit hat die Form ein<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>ein< 8 .

Wir werden auch das Set zeigen ein< 8 , aber schon auf der Achse aber.

Die Antwort wird entweder als Ungleichung a geschrieben< 8, либо aber(-∞;8), 8 schaltet sich nicht ein.

Nachdem wir die ersten Informationen über Ungleichungen mit Variablen erhalten haben, wenden wir uns der Frage nach ihrer Lösung zu. Analysieren wir die Lösung linearer Ungleichungen mit einer Variablen und alle Methoden zu ihrer Auflösung mit Algorithmen und Beispielen. Es werden nur lineare Gleichungen mit einer Variablen betrachtet.

Was ist eine lineare Ungleichung?

Zuerst müssen Sie eine lineare Gleichung definieren und ihre Standardform herausfinden und wie sie sich von anderen unterscheidet. Aus dem Schulunterricht wissen wir, dass Ungleichheiten keinen grundsätzlichen Unterschied haben, also müssen mehrere Definitionen verwendet werden.

Bestimmung 1

Lineare Ungleichung mit einer Variablen x ist eine Ungleichung der Form a x + b > 0, wenn anstelle von > ein beliebiges Ungleichheitszeichen verwendet wird< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Bestimmung 2

Ungleichungen a x< c или a · x >c , wobei x eine Variable und a und c einige Zahlen sind, heißt lineare Ungleichungen mit einer Variablen.

Da nichts darüber gesagt wird, ob der Koeffizient gleich 0 sein kann, dann eine strenge Ungleichung der Form 0 x > c und 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ihre Unterschiede sind:

• Notation a · x + b > 0 im ersten und a · x > c – im zweiten;
• Zulässigkeit des Nullkoeffizienten a , a ≠ 0 - im ersten und a = 0 - im zweiten.

Es wird angenommen, dass die Ungleichungen a x + b > 0 und a x > c äquivalent sind, da sie durch Übertragung des Terms von einem Teil auf einen anderen erhalten werden. Das Lösen der Ungleichung 0 · x + 5 > 0 führt dazu, dass sie gelöst werden muss und der Fall a = 0 nicht funktioniert.

Bestimmung 3

Es wird angenommen, dass lineare Ungleichungen in einer Variablen x Ungleichungen der Form sind ein x + b< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0 Und a x + b ≥ 0, wobei a und b reelle Zahlen sind. Anstelle von x kann auch eine gewöhnliche Zahl stehen.

Basierend auf der Regel haben wir, dass 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 heißen linear.

Wie man eine lineare Ungleichung löst

Der Hauptweg, solche Ungleichungen zu lösen, besteht darin, äquivalente Transformationen zu verwenden, um die elementaren Ungleichungen x zu finden< p (≤ , >, ≥) , wobei p eine Zahl ist, für a ≠ 0 , und von der Form a< p (≤ , >, ≥) für a = 0 .

Um eine Ungleichung mit einer Variablen zu lösen, können Sie die Intervallmethode anwenden oder grafisch darstellen. Jeder von ihnen kann isoliert verwendet werden.

Verwenden von äquivalenten Transformationen

Eine lineare Ungleichung der Form a x + b lösen< 0 (≤ , >, ≥) , ist es notwendig, äquivalente Transformationen der Ungleichung anzuwenden. Der Koeffizient kann Null sein oder nicht. Betrachten wir beide Fälle. Zur Verdeutlichung muss ein Schema eingehalten werden, das aus 3 Punkten besteht: der Essenz des Prozesses, dem Algorithmus, der Lösung selbst.

Bestimmung 4

Algorithmus zum Lösen einer linearen Ungleichung ein x + b< 0 (≤ , >, ≥) für a ≠ 0

• die Zahl b wird mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite der Ungleichung übertragen, wodurch wir zum Äquivalent a x kommen< − b (≤ , > , ≥) ;
• beide Teile der Ungleichung werden durch eine Zahl ungleich 0 dividiert. Außerdem bleibt bei positivem a das Vorzeichen, bei negativem a ändert es sich ins Gegenteil.

Betrachten Sie die Anwendung dieses Algorithmus zum Lösen von Beispielen.

Beispiel 1

Lösen Sie eine Ungleichung der Form 3 · x + 12 ≤ 0 .

Lösung

Diese lineare Ungleichung hat a = 3 und b = 12 . Daher ist der Koeffizient a von x ungleich Null. Lassen Sie uns die obigen Algorithmen anwenden und lösen.

Es ist notwendig, den Term 12 mit einem Vorzeichenwechsel davor auf einen anderen Teil der Ungleichung zu übertragen. Dann erhalten wir eine Ungleichung der Form 3 · x ≤ − 12 . Es ist notwendig, beide Teile durch 3 zu teilen. Das Vorzeichen ändert sich nicht, da 3 eine positive Zahl ist. Wir erhalten, dass (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , was das Ergebnis x ≤ − 4 ergibt.

Eine Ungleichung der Form x ≤ − 4 ist äquivalent. Das heißt, die Lösung für 3 x + 12 ≤ 0 ist jede reelle Zahl, die kleiner oder gleich 4 ist. Die Antwort wird als Ungleichung x ≤ − 4 oder als numerisches Intervall der Form (− ∞ , − 4 ] geschrieben.

Der gesamte oben beschriebene Algorithmus wird wie folgt geschrieben:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Antworten: x ≤ − 4 oder (− ∞ , − 4 ] .

Beispiel 2

Geben Sie alle verfügbaren Lösungen der Ungleichung − 2 , 7 · z > 0 an.

Lösung

Aus der Bedingung sehen wir, dass der Koeffizient a bei z gleich - 2, 7 ist und b ausdrücklich nicht vorhanden oder gleich Null ist. Sie können den ersten Schritt des Algorithmus nicht verwenden, sondern sofort zum zweiten gehen.

Wir teilen beide Teile der Gleichung durch die Zahl - 2, 7. Da die Zahl negativ ist, muss das Ungleichheitszeichen in das Gegenteil geändert werden. Das heißt, wir erhalten (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Wir schreiben den ganzen Algorithmus in Kurzform:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Antworten: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Beispiel 3

Lösen Sie die Ungleichung - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Lösung

Gemäß der Bedingung sehen wir, dass es notwendig ist, die Ungleichung mit dem Koeffizienten a für die Variable x zu lösen, die gleich - 5 ist, mit dem Koeffizienten b, der dem Bruch - 15 22 entspricht. Es ist notwendig, die Ungleichung nach dem Algorithmus zu lösen, dh: Übertragen Sie - 15 22 in einen anderen Teil mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, teilen Sie beide Teile durch - 5, ändern Sie das Ungleichheitszeichen:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Beim letzten Übergang wird für die rechte Seite die Regel zum Teilen einer Zahl mit unterschiedlichen Vorzeichen verwendet 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, wonach wir den gewöhnlichen Bruch durch eine natürliche Zahl teilen - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Antworten: x ≥ - 3 22 und [ - 3 22 + ∞) .

Betrachten Sie den Fall, wenn a = 0 ist. Linearer Ausdruck der Form a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Alles basiert auf der Definition der Lösung der Ungleichung. Für jeden Wert von x erhalten wir eine numerische Ungleichung der Form b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Wir betrachten alle Urteile in Form eines Algorithmus zur Lösung linearer Ungleichungen 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Bestimmung 5

Numerische Ungleichung der Form b< 0 (≤ , >, ≥) wahr ist, dann hat die ursprüngliche Ungleichung eine Lösung für jeden Wert, und falsch, wenn die ursprüngliche Ungleichung keine Lösungen hat.

Beispiel 4

Lösen Sie die Ungleichung 0 · x + 7 > 0 .

Lösung

Diese lineare Ungleichung 0 · x + 7 > 0 kann jeden beliebigen Wert x annehmen. Dann erhalten wir eine Ungleichung der Form 7 > 0 . Die letzte Ungleichung gilt als wahr, also kann jede Zahl ihre Lösung sein.

Antworten: Intervall (− ∞ , + ∞) .

Beispiel 5

Finden Sie eine Lösung für die Ungleichung 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Lösung

Wenn wir die Variable x durch eine beliebige Zahl ersetzen, erhalten wir, dass die Ungleichung die Form − 12 , 7 ≥ 0 annimmt. Es ist falsch. Das heißt, 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 hat keine Lösungen.

Antworten: es gibt keine lösungen.

Betrachten Sie die Lösung linearer Ungleichungen, bei denen beide Koeffizienten gleich Null sind.

Beispiel 6

Bestimmen Sie eine unlösbare Ungleichung aus 0 · x + 0 > 0 und 0 · x + 0 ≥ 0 .

Lösung

Wenn wir anstelle von x eine beliebige Zahl einsetzen, erhalten wir zwei Ungleichungen der Form 0 > 0 und 0 ≥ 0 . Das erste ist falsch. Das bedeutet, dass 0 x + 0 > 0 keine Lösungen hat und 0 x + 0 ≥ 0 unendlich viele Lösungen hat, also beliebig viele.

Antworten: die Ungleichung 0 x + 0 > 0 hat keine Lösungen, und 0 x + 0 ≥ 0 hat Lösungen.

Diese Methode wird im Schulfach Mathematik berücksichtigt. Die Intervallmethode ist in der Lage, verschiedene Arten von Ungleichungen aufzulösen, einschließlich linearer.

Die Intervallmethode wird für lineare Ungleichungen verwendet, wenn der Wert des Koeffizienten x ungleich 0 ist. Andernfalls müssen Sie mit einer anderen Methode rechnen.

Bestimmung 6

Die Abstandsmethode ist:

• Einführung der Funktion y = a x + b ;
• Suche nach Nullen, um den Definitionsbereich in Intervalle aufzuteilen;
• Bestimmung von Zeichen für den Begriff von ihnen auf Intervallen.

Lassen Sie uns einen Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen a x + b zusammenstellen< 0 (≤ , >, ≥) für a ≠ 0 nach der Intervallmethode:

• die Nullstellen der Funktion y = a · x + b finden, um eine Gleichung der Form a · x + b = 0 zu lösen. Wenn a ≠ 0, dann ist die Lösung die einzige Wurzel, die die Bezeichnung x 0 annimmt;
• Konstruktion einer Koordinatenlinie mit dem Bild eines Punktes mit einer Koordinate x 0, bei einer strengen Ungleichung wird der Punkt durch eine Ausstanzung gekennzeichnet, bei einer nicht strengen Ungleichung wird er schattiert;
• bestimmung der Vorzeichen der Funktion y = a x + b in den Intervallen, dazu ist es notwendig, die Werte der Funktion an Punkten im Intervall zu finden;
• die Lösung der Ungleichung mit den Zeichen > oder ≥ auf der Koordinatenlinie, Schraffierung wird über der positiven Lücke hinzugefügt,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Betrachten Sie einige Beispiele zum Lösen einer linearen Ungleichung mit der Intervallmethode.

Beispiel 6

Lösen Sie die Ungleichung − 3 · x + 12 > 0 .

Lösung

Aus dem Algorithmus folgt, dass Sie zuerst die Wurzel der Gleichung − 3 · x + 12 = 0 finden müssen. Wir erhalten, dass − 3 · x = − 12 , x = 4 . Es ist notwendig, die Koordinatenlinie darzustellen, wo wir den Punkt 4 markieren. Es wird punktiert, da die Ungleichheit streng ist. Betrachten Sie die Zeichnung unten.

Es ist notwendig, die Vorzeichen der Intervalle zu bestimmen. Um ihn auf dem Intervall (− ∞ , 4) zu bestimmen, muss man die Funktion y = − 3 · x + 12 für x = 3 berechnen. Von hier erhalten wir das − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Das Vorzeichen des Intervalls ist positiv.

Wir bestimmen das Vorzeichen aus dem Intervall (4, + ∞) und ersetzen dann den Wert x \u003d 5. Wir haben − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Die Lösung der Ungleichung führen wir mit dem Vorzeichen > durch, und die Schraffur erfolgt über die positive Lücke. Betrachten Sie die Zeichnung unten.

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass die gesuchte Lösung die Form (− ∞ , 4) oder x hat< 4 .

Antworten: (− ∞ , 4) oder x< 4 .

Um zu verstehen, wie man grafisch darstellt, ist es notwendig, 4 lineare Ungleichungen als Beispiel zu betrachten: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 und 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Ihre Lösungen sind x< 2 , x ≤ 2 , x >2 und x ≥ 2 . Zeichnen Sie dazu unten einen Graphen der linearen Funktion y = 0 , 5 · x − 1.

Es ist klar, dass

Bestimmung 7

• Lösung der Ungleichung 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• die Lösung 0 , 5 x − 1 ≤ 0 ist das Intervall, in dem die Funktion y = 0 , 5 x − 1 kleiner als 0 x ist oder zusammenfällt;
• die Lösung 0 , 5 x − 1 > 0 wird als das Intervall betrachtet, in dem die Funktion über O x liegt;
• die Lösung 0 , 5 x − 1 ≥ 0 ist das Intervall, in dem der Graph größer als O x ist oder zusammenfällt.

Die Bedeutung der grafischen Lösung von Ungleichungen besteht darin, die Lücken zu finden, die auf dem Graphen dargestellt werden müssen. In diesem Fall erhalten wir, dass die linke Seite y \u003d a x + b und die rechte Seite y \u003d 0 hat und mit About x übereinstimmt.

Das Plotten der Funktion y = a x + b wird durchgeführt:

• beim Lösen der Ungleichung a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• beim Lösen der Ungleichung a x + b ≤ 0 wird das Intervall bestimmt, in dem der Graph unterhalb der O x -Achse angezeigt wird oder zusammenfällt;
• beim Lösen der Ungleichung a x + b > 0 wird das Intervall bestimmt, in dem der Graph über O x angezeigt wird;
• beim Lösen der Ungleichung a x + b ≥ 0 wird das Intervall bestimmt, in dem der Graph über O x liegt oder zusammenfällt.

Beispiel 7

Lösen Sie die Ungleichung - 5 · x - 3 > 0 mithilfe des Graphen.

Lösung

Es ist notwendig, einen Graphen einer linearen Funktion - 5 · x - 3 > 0 zu erstellen. Diese Linie nimmt ab, weil der Koeffizient von x negativ ist. Um die Koordinaten des Schnittpunktes mit O x - 5 · x - 3 > 0 zu bestimmen, erhalten wir den Wert - 3 5 . Lassen Sie es uns grafisch darstellen.

Die Lösung der Ungleichung mit dem Zeichen >, dann müssen Sie auf das Intervall über O x achten. Wir markieren den erforderlichen Teil des Flugzeugs rot und erhalten ihn

Die erforderliche Lücke ist der O x -Anteil der roten Farbe. Daher wird der offene Zahlenstrahl - ∞ , - 3 5 die Lösung der Ungleichung sein. Wenn sie per Bedingung eine nicht strenge Ungleichung hätten, dann wäre der Wert des Punktes – 3 5 auch eine Lösung für die Ungleichung. Und würde mit O x zusammenfallen.

Antworten: - ∞ , - 3 5 oder x< - 3 5 .

Die grafische Lösung wird verwendet, wenn die linke Seite der Funktion y = 0 x + b entspricht, also y = b . Dann ist die Linie parallel zu O x oder fällt bei b \u003d 0 zusammen. Diese Fälle zeigen, dass eine Ungleichung möglicherweise keine Lösungen hat oder dass jede Zahl eine Lösung sein kann.

Beispiel 8

Bestimme aus Ungleichungen 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Lösung

Die Darstellung y = 0 x + 7 ist y = 7 , dann ist eine Koordinatenebene mit einer Geraden parallel zu O x und über O x gegeben. Also 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Der Graph der Funktion y \u003d 0 x + 0 wird als y \u003d 0 betrachtet, dh die Linie fällt mit O x zusammen. Daher hat die Ungleichung 0 · x + 0 ≥ 0 viele Lösungen.

Antworten: Die zweite Ungleichung hat eine Lösung für jeden Wert von x .

Lineare Ungleichungen

Die Lösung von Ungleichungen lässt sich auf die Lösung einer linearen Gleichung zurückführen, die als lineare Ungleichungen bezeichnet werden.

Diese Ungleichungen wurden im Schulunterricht berücksichtigt, da es sich um einen Sonderfall der Lösung von Ungleichungen handelte, was zur Öffnung von Klammern und zur Kürzung ähnlicher Begriffe führte. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Die oben angegebenen Ungleichungen werden immer auf die Form einer linearen Gleichung gebracht. Danach werden die Klammern geöffnet und ähnliche Begriffe angegeben, die aus verschiedenen Teilen übertragen werden, wobei das Vorzeichen in das Gegenteil geändert wird.

Wenn wir die Ungleichung 5 − 2 x > 0 auf eine lineare reduzieren, stellen wir sie so dar, dass sie die Form − 2 x + 5 > 0 hat, und um die zweite zu reduzieren, erhalten wir 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Es ist notwendig, die Klammern zu öffnen, ähnliche Begriffe zu bringen, alle Begriffe auf die linke Seite zu verschieben und ähnliche Begriffe zu bringen. Es sieht aus wie das:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Dies führt zur Lösung einer linearen Ungleichung.

Diese Ungleichungen werden als linear angesehen, da sie das gleiche Lösungsprinzip haben, wonach es möglich ist, sie auf elementare Ungleichungen zu reduzieren.

Um eine solche Ungleichung zu lösen, ist es notwendig, sie auf eine lineare zu reduzieren. Es sollte so gemacht werden:

Bestimmung 9

• offene Klammern;
• Sammeln Sie Variablen auf der linken Seite und Zahlen auf der rechten Seite;
• ähnliche Begriffe bringen;
• dividiere beide Teile durch den Koeffizienten von x .

Beispiel 9

Lösen Sie die Ungleichung 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Lösung

Wir erweitern die Klammern, dann erhalten wir eine Ungleichung der Form 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Nach Reduktion ähnlicher Terme haben wir 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Nachdem wir die Terme von links nach rechts verschoben haben, erhalten wir 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Es hat also eine Ungleichung der Form 32 ≤ 0 aus dem Ergebnis der Rechnung 0 · x + 32 ≤ 0 . Es ist ersichtlich, dass die Ungleichung falsch ist, was bedeutet, dass die durch die Bedingung gegebene Ungleichung keine Lösungen hat.

Antworten: keine Lösungen.

Es ist erwähnenswert, dass es viele Ungleichungen anderer Art gibt, die auf eine lineare oder eine Ungleichung der oben gezeigten Art reduziert werden können. Zum Beispiel 5 2 x − 1 ≥ 1 ist eine Exponentialgleichung, die sich auf eine lineare Lösung 2 · x − 1 ≥ 0 reduziert. Diese Fälle werden beim Lösen derartiger Ungleichungen betrachtet.

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Ungleichheiten online lösen

Vor dem Lösen von Ungleichungen ist es notwendig, gut zu verstehen, wie Gleichungen gelöst werden.

Es spielt keine Rolle, ob die Ungleichung streng () oder nicht streng (≤, ≥) ist, der erste Schritt besteht darin, die Gleichung zu lösen, indem das Ungleichheitszeichen durch Gleichheit (=) ersetzt wird.

Erklären Sie, was es bedeutet, eine Ungleichung zu lösen?

Nach dem Studium der Gleichungen hat der Schüler folgendes Bild im Kopf: Sie müssen solche Werte der Variablen finden, für die beide Teile der Gleichung die gleichen Werte annehmen. Mit anderen Worten, finden Sie alle Punkte, an denen die Gleichheit gilt. Alles ist richtig!

Wenn über Ungleichungen gesprochen wird, meinen sie, die Intervalle (Segmente) zu finden, für die die Ungleichung gilt. Wenn es zwei Variablen in der Ungleichung gibt, dann ist die Lösung nicht mehr Intervalle, sondern einige Bereiche auf der Ebene. Raten Sie, was die Lösung der Ungleichung in drei Variablen sein wird?

Wie löst man Ungleichungen?

Die Methode der Intervalle (auch Intervallmethode genannt) wird als universelle Methode zur Lösung von Ungleichungen angesehen, die darin besteht, alle Intervalle zu bestimmen, innerhalb derer die gegebene Ungleichung erfüllt wird.

Ohne auf die Art der Ungleichung einzugehen, ist es in diesem Fall nicht das Wesentliche, es ist erforderlich, die entsprechende Gleichung zu lösen und ihre Wurzeln zu bestimmen, gefolgt von der Bezeichnung dieser Lösungen auf der numerischen Achse.

Wie schreibt man die Lösung einer Ungleichung richtig?

Wenn Sie die Intervalle zum Lösen der Ungleichung bestimmt haben, müssen Sie die Lösung selbst korrekt aufschreiben. Es gibt eine wichtige Nuance - sind die Grenzen der Intervalle in der Lösung enthalten?

Hier ist alles einfach. Wenn die Lösung der Gleichung die ODZ erfüllt und die Ungleichung nicht streng ist, wird die Grenze des Intervalls in die Lösung der Ungleichung einbezogen. Ansonsten nein.

Betrachtet man jedes Intervall, kann die Lösung der Ungleichung das Intervall selbst oder ein halbes Intervall (wenn eine seiner Grenzen die Ungleichung erfüllt) oder ein Segment sein – ein Intervall zusammen mit seinen Grenzen.

Wichtiger Punkt

Denken Sie nicht, dass nur Intervalle, Halbintervalle und Segmente die Lösung für eine Ungleichung sein können. Nein, es können auch einzelne Punkte in die Lösung aufgenommen werden.

Beispielsweise hat die Ungleichung |x|≤0 nur eine Lösung - Punkt 0.

Und die Ungleichung |x|

Wozu dient der Ungleichheitsrechner?

Der Ungleichheitsrechner gibt die richtige endgültige Antwort. Dabei wird in den meisten Fällen eine Darstellung einer numerischen Achse oder Ebene angegeben. Sie können sehen, ob die Grenzen der Intervalle in der Lösung enthalten sind oder nicht – die Punkte werden gefüllt oder durchbrochen dargestellt.

Dank des Online-Ungleichungsrechners können Sie überprüfen, ob Sie die Wurzeln der Gleichung richtig gefunden, auf dem Zahlenstrahl markiert und die Ungleichungsbedingungen an den Intervallen (und Grenzen) überprüft haben?

Wenn Ihre Antwort von der Antwort des Taschenrechners abweicht, müssen Sie Ihre Lösung unbedingt noch einmal überprüfen und den gemachten Fehler identifizieren.