Forschungsarbeit: „Die Entstehungsgeschichte quadratischer Gleichungen.“ Aus der Entstehungsgeschichte quadratischer Gleichungen

Aus der Geschichte der quadratischen Gleichungen Autor: Schüler der Klasse 9 "A" Radchenko Svetlana Betreuer: Alabugina I.A. Lehrer für Mathematik MBOU „Sekundarschule Nr. 5 von Guryevsk“ des Gebiets Kemerowo Themenbereich der Präsentation: Mathematik Zur Unterstützung des Lehrers gemacht Insgesamt 20 Folien Inhalt Einführung ……………………………………………… ……………… ……………3 Aus der Entstehungsgeschichte quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen im alten Babylon…………………………………….4 Quadratische Gleichungen in Indien…………………………………………………...5 Quadratische Gleichungen in Al-Khorezm…………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….....7 Quadratische Gleichungen in Europa Xll – XVll Jahrhunderte……………… ……………………………...8 3. Quadratische Gleichungen heute……………………………………………………………….10 Methoden zum Studium quadratischer Gleichungen Gleichungen…………… ………………………11 10 Wege zum Lösen quadratischer Gleichungen………………………………….12 Algorithmus zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen………………… …………………………………………………………………………………… 13 Algorithmus zum Lösen einer vollständigen quadratischen Gleichung…………………………. .14 ​​Lösung der obigen quadratischen Gleichungen……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………….16 5. Fazit. …………………………………………………………………………… 18 1. 2. 6. Verzeichnis der verwendeten Literatur………………………… ……… …………….19 2 Einleitung Diesen Tag oder diese Stunde, in der Sie nichts Neues gelernt haben, als unglücklich zu betrachten, hat Ihrer Bildung nichts hinzugefügt. Jan Amos Comenius 3 Quadratische Gleichungen sind die Grundlage, auf der das majestätische Gebäude der Algebra ruht. Sie werden häufig zur Lösung trigonometrischer, exponentieller, logarithmischer, irrationaler und transzendentaler Gleichungen und Ungleichungen verwendet. Quadratische Gleichungen nehmen im Schulunterricht der Algebra einen führenden Platz ein. Ein Großteil der Schulzeit in Mathematik wird darauf verwendet, sie zu studieren. Grundsätzlich dienen quadratische Gleichungen bestimmten praktischen Zwecken. Die meisten Probleme über räumliche Formen und quantitative Beziehungen der realen Welt müssen gelöst werden verschiedene Sorten Gleichungen, auch quadratische. Durch die Beherrschung der Lösungswege finden Menschen Antworten auf verschiedene Fragen aus Wissenschaft und Technik. Aus der Entstehungsgeschichte quadratischer Gleichungen Altes Babylon: Bereits etwa 2000 Jahre v. Chr. wussten die Babylonier, wie man quadratische Gleichungen löst. Verfahren zum Lösen sowohl vollständiger als auch unvollständiger quadratischer Gleichungen waren bekannt. Im alten Babylon wurden beispielsweise die folgenden quadratischen Gleichungen gelöst: 4 Indien Probleme, die mit Hilfe quadratischer Gleichungen gelöst werden, finden sich in der astronomischen Abhandlung „Aryabhattiam“, die der indische Astronom und Mathematiker Aryabhata im Jahr 499 n. Chr. verfasste. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta, skizzierte eine universelle Regel zum Lösen einer quadratischen Gleichung, die auf die kanonische Form reduziert wurde: ax2+bx=c; außerdem wurde angenommen, dass alle darin enthaltenen Koeffizienten außer "a" negativ sein können. Die vom Wissenschaftler formulierte Regel stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein. 5 Al-Khwarizmis quadratische Gleichungen: Al-Khwarizmis algebraische Abhandlung gibt eine Klassifizierung von linearen und quadratischen Gleichungen. Der Autor listet 6 Arten von Gleichungen auf und drückt sie wie folgt aus: „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d.h. ax2 = bx.; "Quadrate sind gleich Zahl", dh ax2 = c; "Die Wurzeln sind gleich der Zahl", d. H. Axt \u003d c; "Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln", d.h. ax2 + c = bx; "Quadrate und Wurzeln sind gleich Zahl", dh ax2 + bx = c; „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, also bx + c = ax2. 6 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste: Einer der merkwürdigsten antiken griechischen Mathematiker war Diophantus von Alexandria. Bisher sind weder das Geburtsjahr noch das Todesdatum des Diophantus geklärt; Er soll im 3. Jahrhundert gelebt haben. ANZEIGE Von den Werken des Diophantus ist die Arithmetik die wichtigste, von der 13 Bücher bis heute nur 6 erhalten sind. Die "Arithmetik" von Diophantus enthält keine systematische Darstellung der Algebra, aber sie enthält eine Reihe von Problemen, die von Erklärungen begleitet und durch das Zusammenstellen von Gleichungen unterschiedlichen Grades gelöst werden. Beim Zusammenstellen von Gleichungen wählt Diophantus geschickt Unbekannte aus, um die Lösung zu vereinfachen. 7 Quadratische Gleichungen in Europa XII-XVII Jahrhundert: Der italienische Mathematiker Leonard Fibonacci entwickelte unabhängig voneinander einige neue algebraische Beispiele zur Problemlösung und war der erste in Europa, der sich der Einführung negativer Zahlen näherte. Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form x2 + bx = c mit allen möglichen Kombinationen von Vorzeichen und Koeffizienten b, c, wurde 1544 in Europa von Michael Stiefel formuliert. 8 François Viet Der französische Mathematiker F. Viet (1540-1603) führte ein System algebraischer Symbole ein und entwickelte die Grundlagen der elementaren Algebra. Er war einer der ersten, der damit begann, Zahlen mit Buchstaben zu bezeichnen, was die Gleichungstheorie maßgeblich weiterentwickelte. Herleitung der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung in Gesamtansicht Viet hat, aber Viet hat nur positive Wurzeln erkannt. 9 Quadratische Gleichungen heute Die Fähigkeit, quadratische Gleichungen zu lösen, dient als Grundlage für die Lösung anderer Gleichungen und ihrer Systeme. Das Lösen von Gleichungen beginnt mit ihren einfachsten Typen, und das Programm bewirkt die allmähliche Anhäufung beider Typen und den „Fonds“ identischer und äquivalenter Transformationen, mit denen Sie eine beliebige Gleichung auf die einfachste bringen können. Auch der Prozess der Bildung verallgemeinerter Methoden zur Lösung von Gleichungen im Schulkurs Algebra sollte in dieser Richtung aufgebaut sein. Im Gymnasium Mathematik werden die Schüler mit neuen Klassen von Gleichungen, Systemen oder mit einem vertieften Studium bereits bekannter Gleichungen konfrontiert. Dieses Thema zeichnet sich durch eine große Tiefe der Darstellung und den Reichtum der Verbindungen aus, die mit seiner Hilfe beim Lernen, der logischen Gültigkeit der Präsentation hergestellt werden. Daher nimmt es eine Ausnahmestellung in der Reihe der Gleichungen und Ungleichungen ein. Ein wichtiger Punkt beim Studium quadratischer Gleichungen ist die Betrachtung des Vieta-Theorems, das die Existenz einer Beziehung zwischen den Wurzeln und Koeffizienten der reduzierten quadratischen Gleichung besagt. Die Komplexität der Beherrschung des Vieta-Theorems ist mit mehreren Umständen verbunden. Zunächst muss der Unterschied zwischen direkten und inversen Sätzen berücksichtigt werden. 11 10 Wege zum Lösen quadratischer Gleichungen: Faktorisieren der linken Seite der Gleichung. Vollquadrat-Auswahlmethode. Lösung quadratischer Gleichungen nach Formel. Lösung von Gleichungen mit dem Satz von Vieta. Lösen von Gleichungen nach der Methode der "Übertragung" Eigenschaften der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung. Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung. Lösen quadratischer Gleichungen mit Zirkel und Lineal. 12 Lösen quadratischer Gleichungen mit einem Nomogramm. Geometrische Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen. Algorithmus zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen 1) wenn die Gleichung die Form ax2 = 0 hat, dann hat sie eine Wurzel x = 0; 2) wenn die Gleichung die Form ax2 + bx = 0 hat, dann wird die Faktorisierungsmethode verwendet: x (ax + b) = 0; also entweder x = 0 oder ax + b = 0. Als Ergebnis erhält man zwei Wurzeln: x1 = 0; x2 \u003d 3) Wenn die Gleichung die Form ax2 + c \u003d 0 hat, wird sie in die Form ax2 \u003d - c und dann x2 umgewandelt. = In dem Fall, wenn -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, d.h. - \u003d m, wobei m>0 ist, hat die Gleichung x2 \u003d m zwei Wurzeln. Daher kann eine unvollständige quadratische Gleichung zwei Wurzeln haben, eine Wurzel, keine Wurzel. 13 Algorithmus zur Lösung der vollständigen quadratischen Gleichung. Dies sind Gleichungen der Form ax2 + bx + c = 0, wobei a, b, c gegebene Zahlen sind und ≠ 0, x die Unbekannte ist. Jede vollständige quadratische Gleichung kann in die Form umgewandelt werden, um die Anzahl der Wurzeln der quadratischen Gleichung zu bestimmen und diese Wurzeln zu finden. Die folgenden Fälle der Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen werden betrachtet: D< 0, D = 0, D >0. 1. Wenn D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D >0, dann hat die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 zwei Wurzeln, die durch die Formeln gefunden werden: ; 14 Lösung der reduzierten quadratischen Gleichungen Satz von F. Vieta: Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Mit anderen Worten, wenn x1 und x2 die Wurzeln der Gleichung x2 +px + q = 0 sind, dann ist x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Umkehrsatz zum Satz von Vieta: Wenn die Formeln (*) für die Zahlen x1, x2, p, q gelten, dann sind x1 und x2 die Wurzeln der Gleichung x2 + px + q = 0. 15 Praktische Anwendungen von quadratische Gleichungen zur Lösung angewandter Bhaskar-Probleme ( 1114-1185) - der größte indische Mathematiker und Astronom des 12. Jahrhunderts. Er leitete das astronomische Observatorium in Ujjain. Bhaskara schrieb die Abhandlung „Siddhanta-shiromani“ („Die Krone der Lehre“), bestehend aus vier Teilen: „Lilavati“ ist der Arithmetik gewidmet, „Bizhdaganita“ – der Algebra, „Goladhaya“ – der Sphäre, „Granhaganita“ – zur Theorie der Planetenbewegungen. Bhaskara erhielt negative Wurzeln von Gleichungen, obwohl er ihre Bedeutung bezweifelte. Er besitzt eines der frühesten Perpetuum-Motion-Projekte. 16 Eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskara: Bhaskaras Lösung zeigt, dass der Autor sich der Zweiwertigkeit der Wurzeln quadratischer Gleichungen bewusst war. 17 Schlussfolgerung Die Entwicklung der Wissenschaft zum Lösen quadratischer Gleichungen hat einen langen und dornigen Weg zurückgelegt. Erst nach den Arbeiten von Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes und Newton hat sich die Wissenschaft der Lösung quadratischer Gleichungen durchgesetzt moderner Look. Der Wert quadratischer Gleichungen liegt nicht nur in der Eleganz und Kürze der Problemlösung, obwohl dies sehr wichtig ist. Nicht weniger wichtig ist die Tatsache, dass durch die Verwendung quadratischer Gleichungen bei der Lösung von Problemen oft neue Details entdeckt, interessante Verallgemeinerungen vorgenommen und Verfeinerungen vorgenommen werden können, die durch eine Analyse der erhaltenen Formeln und Beziehungen angeregt werden. Beim Studium der Literatur und Internetquellen zur Entwicklungsgeschichte quadratischer Gleichungen fragte ich mich: „Was motivierte Wissenschaftler, die in einer so schwierigen Zeit lebten, selbst unter Todesdrohung Wissenschaft zu betreiben?“ Wahrscheinlich ist es vor allem die Neugier des menschlichen Geistes, die der Schlüssel zur Entwicklung der Wissenschaft ist. Fragen nach dem Wesen der Welt, nach dem Platz des Menschen in dieser Welt verfolgen zu allen Zeiten denkende, neugierige, vernünftige Menschen. Die Menschen haben zu allen Zeiten danach gestrebt, sich selbst und ihren Platz in der Welt zu verstehen. Schauen Sie auch in sich hinein, vielleicht leidet Ihre natürliche Neugier, weil Sie der Alltagsfaulheit erlegen sind? Das Schicksal vieler Wissenschaftler - 18 Beispiele folgen. Nicht alle Namen sind bekannt und beliebt. Denken Sie: Was bin ich für die Menschen um mich herum? Aber das Wichtigste ist, wie ich mich fühle, verdiene ich Respekt? Denken Sie darüber nach... Referenzen 1. Zvavich L.I. „Algebra Klasse 8“, M., 2002. 2. Savin Yu.P. „ Enzyklopädisches Wörterbuch junger Mathematiker“, M., 1985. 3. Yu.N. Makarychev „Algebra Grade 8“, M, 2012. /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/ index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 20

 Vertreter verschiedener Zivilisationen: antikes Ägypten, Altes Babylon, Antikes Griechenland, altes indien, Antikes China, Mittelalterlicher Osten, Europa beherrschte die Techniken zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Erstmals gelang es den Mathematikern des alten Ägypten, eine quadratische Gleichung zu lösen. Einer der mathematischen Papyri enthält das Problem:

"Finde die Seiten eines Feldes, das die Form eines Rechtecks ​​hat, wenn sein Flächeninhalt 12 ist, und - die Längen gleich der Breite sind." „Die Länge des Feldes ist 4“, sagt der Papyrus.

Jahrtausende vergingen, negative Zahlen kamen in die Algebra. Wenn wir die Gleichung x² = 16 lösen, erhalten wir zwei Zahlen: 4, -4.

 Beim ägyptischen Problem würden wir natürlich X = 4 nehmen, da die Länge des Feldes nur ein positiver Wert sein kann.

Quellen, die uns überliefert sind, weisen darauf hin, dass alte Wissenschaftler einige allgemeine Methoden zur Lösung von Problemen mit unbekannten Größen besaßen. Die in den babylonischen Texten dargelegte Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen ist im Wesentlichen die gleiche wie die moderne, aber es ist nicht bekannt, wie die Babylonier „an diesen Punkt kamen“. Aber in fast allen gefundenen Papyri und Keilschrifttexten werden nur Probleme mit Lösungen angegeben. Nur gelegentlich versahen die Autoren ihre numerischen Berechnungen mit fiesen Kommentaren wie: „Schau mal!“, „Mach es!“, „Du hast es richtig gefunden!“.

Der griechische Mathematiker Diophantus schrieb und löste quadratische Gleichungen. Seine "Arithmetik" enthält keine systematische Darstellung der Algebra, aber sie enthält eine systematische Reihe von Problemen, begleitet von Erklärungen und gelöst durch das Zusammenstellen von Gleichungen unterschiedlichen Grades.

Aufgaben zur Aufstellung quadratischer Gleichungen finden sich bereits in der astronomischen Abhandlung „Aria-bhatiam“, die der indische Mathematiker und Astronom Ariabhatta 499 zusammenstellte.

Ein anderer indischer Gelehrter Brahmagupta (7. Jahrhundert) skizzierte allgemeine Regel Lösungen quadratischer Gleichungen der Form ax² + bx = c.

Im alten Indien waren öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme üblich. In einem der alten indischen Bücher über solche Wettbewerbe heißt es: „Wie die Sonne die Sterne mit ihrem Glanz überstrahlt, so Wissenschaftler Mann den Ruhm eines anderen in den Schatten stellen beliebte Versammlungen, Vorschlagen und Lösen algebraischer Probleme". Aufgaben wurden oft in poetische Form gekleidet.

Hier ist eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskara:

Eine Herde verspielter Affen

Gut essen, Spaß haben.

Der achte Teil von ihnen auf dem Platz amüsierte sich auf der Lichtung.

Und zwölf entlang der Reben ... begannen zu springen, hängend ...​

Wie viele Affen waren

Du sagst mir, in dieser Herde?

Bhaskaras Lösung weist darauf hin, dass er um die Zweiwertigkeit der Wurzeln quadratischer Gleichungen wusste.

 Die ältesten uns überlieferten mathematischen Texte aus China stammen aus dem Ende des 1. Jahrhunderts v. BC. Im II Jahrhundert. BC. Mathematik in neun Büchern wurde geschrieben. Später, im 7. Jahrhundert, wurde es in die Sammlung "Zehn klassische Abhandlungen" aufgenommen, die viele Jahrhunderte lang studiert wurde. Die Abhandlung "Mathematik in neun Büchern" erklärt, wie man extrahiert Quadratwurzel mit der Formel für das Quadrat der Summe zweier Zahlen.

Die Methode hieß „tian-yuan“ (wörtlich – „ himmlisches Element“) - so bezeichneten die Chinesen eine unbekannte Größe.​

 Die erste Anleitung zur Lösung von Problemen, die weithin bekannt wurde, war das Werk des Bagdad-Gelehrten des 9. Jahrhunderts. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Das Wort "al-jabr" wurde im Laufe der Zeit zum bekannten Wort "Algebra", und die Arbeit von al-Khwarizmi selbst wurde zum Ausgangspunkt in der Entwicklung der Wissenschaft der Lösung von Gleichungen. Die algebraische Abhandlung von Al-Khorezmi gibt eine Klassifizierung von linearen und quadratischen Gleichungen. Der Autor listet sechs Arten von Gleichungen auf und drückt sie wie folgt aus:

-Quadrate gleich Wurzeln, das ist äh ² = bx;

-Quadrate gleich viele, das ist äh ² = c;

-die Wurzeln sind gleich der Zahl, das heißt, ax = c;

-Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln, das ist äh ²+c \u003d bx;

-Quadrate und Wurzeln sind gleich der Zahl, das ist äh ² + bx \u003d c;

-Wurzeln und Zahlen sind quadratisch, also bx + c = ax ²;

Die Abhandlung von al-Khwarizmi ist das erste uns überlieferte Buch, in dem die Klassifikation quadratischer Gleichungen systematisch dargestellt und Formeln zu ihrer Lösung angegeben werden.

Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von al-Khwarizmi in Europa wurden erstmals im Buch des Abakus niedergelegt, das 1202 vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci verfasst wurde. Der Autor hat eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Problemlösung entwickelt und sich als erster in Europa der Einführung negativer Zahlen genähert. Sein Buch trug zur Verbreitung des algebraischen Wissens nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Aufgaben aus dem Buch des Abakus wurden in fast alle europäischen Lehrbücher des 16.-17. Jahrhunderts aufgenommen. und Teil des 18. Jahrhunderts.

Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form x ² + bx \u003d c mit allen möglichen Vorzeichenkombinationen der Koeffizienten b und c wurde in Europa erst 1544 von M. Stiefel formuliert.

Vieta hat eine allgemeine Herleitung der Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung, aber er erkannte auch nur positive Wurzeln. Die italienischen Mathematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli gehörten zu den ersten im 16. Jahrhundert. zusätzlich positive und negative Wurzeln berücksichtigen. Erst im 17. Jahrhundert nahm die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen dank der Arbeiten von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern eine moderne Form an.

​

​

Quadratische Gleichungen im alten Babylon Erdarbeiten militärischer Natur sowie mit der Entwicklung der Astronomie und Mathematik selbst. Die Babylonier wussten etwa 2000 Jahre vor unserem Glauben, wie man quadratische Gleichungen löst. Unter Verwendung der modernen algebraischen Notation können wir sagen, dass in ihren Keilschrifttexten neben unvollständigen auch vollständige quadratische Gleichungen enthalten sind: Vorschriften. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte geben nur Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten an, ohne Hinweis darauf, wie sie gefunden wurden. Trotz hohes Niveau Entwicklung der Algebra in Babylonien, in Keilschrifttexten gibt es kein Konzept einer negativen Zahl und gängige Methoden Lösungen quadratischer Gleichungen.

Wie Diophantus die quadratischen Gleichungen aufstellte und löste „Finde zwei Zahlen, wissend, dass ihre Summe 20 ist und das Produkt 96 ist“ Diophantus argumentiert wie folgt: Aus der Bedingung des Problems folgt, dass die gesuchten Zahlen nicht gleich sind, weil wenn sie gleich wären, dann wäre ihr Produkt nicht 96, sondern 100. Also wäre einer von ihnen mehr als die Hälfte ihre Summen, d.h. 10+X, der andere ist kleiner, d.h. 10-X. Die Differenz zwischen ihnen ist 2X, also X=2. Eine der gesuchten Zahlen ist 12, die andere 8. Die Lösung X = -2 für Diophantus gibt es nicht, da die griechische Mathematik nur positive Zahlen kannte. GLEICHUNG: oder sonst:

Quadratische Gleichungen in Indien Probleme mit quadratischen Gleichungen finden sich auch in der astronomischen Abhandlung "Aryabhattam", die 499 von dem indischen Mathematiker und Astronomen Aryabhatta zusammengestellt wurde. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta, skizzierte die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form: ax² + bx=c, a>0 Teil acht von ihnen in einem Quadrat Ich hatte Spaß auf der Lichtung. Und zwölf entlang der Lianen ... Sie begannen hängend zu springen ... Wie viele Affen waren Sie mir sagen, in dieser Herde?. Die dem Problem entsprechende Gleichung: Baskara schreibt unter dem Deckmantel: Ergänzt linke Seite zum Platz 0 Eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers Bhaskara aus dem 12. Jahrhundert Ein Schwarm verspielter Affen Nachdem sie nach Herzenslust gegessen hatten, hatten sie Spaß. Teil acht von ihnen in einem Quadrat Ich hatte Spaß auf der Lichtung. Und zwölf entlang der Lianen ... Sie begannen hängend zu springen ... Wie viele Affen waren Sie mir sagen, in dieser Herde?. Die dem Problem entsprechende Gleichung: Baskara schreibt unter dem Deckmantel: Ergänze die linke Seite zu einem Quadrat, „>

Quadratische Gleichungen im alten Asien So löste der zentralasiatische Wissenschaftler al-Khwarizmi diese Gleichung: Er schrieb: „Die Regel lautet: Verdoppeln Sie die Anzahl der Wurzeln, x = 2x 5, erhalten Sie fünf in dieser Aufgabe, multiplizieren Sie 5 mit diesem Gleichen dazu wird es fünfundzwanzig, 5 5=25 addiere dies zu neununddreißig, es wird vierundsechzig, 64 ziehe die Wurzel daraus, es wird acht, 8 und ziehe davon die Hälfte der Wurzeln ab, d.h. fünf, 8-5 bleibt 3, das ist die Wurzel des gesuchten Quadrats." Was ist mit der zweiten Wurzel? Die zweite Wurzel wurde nicht gefunden, da negative Zahlen nicht bekannt waren. x x = 39

Quadratische Gleichungen in Europa XIII-XVII Jahrhundert. Die allgemeine Regel zur Lösung quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form x2 + in + c = 0, wurde in Europa erst 1544 von Stiefel formuliert, die Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen in Europa wurden erstmals 1202 von dem italienischen Mathematiker Leonard Fibonacci aufgestellt. Vieta hat eine allgemeine Ableitung der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung, aber Vieta erkannte nur positive Wurzeln. Erst im 17. Jahrhundert Dank der Arbeiten von Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern nimmt die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form an

Über das Vieta-Theorem ist gleich D. Um Vieta zu verstehen, sollte daran erinnert werden, dass A wie jeder Vokal das Unbekannte (unser x) bedeutet, während die Vokale B, D Koeffizienten für das Unbekannte sind. In der Sprache der modernen Algebra bedeutet die obige Formulierung von Vieta: Wenn die gegebene quadratische Gleichung x 2 +px + q \u003d 0 echte Wurzeln hat, dann ist ihre Summe gleich -p und das Produkt ist gleich q, das ist x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 = q (die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, der mit dem entgegengesetzten Vorzeichen genommen wird, und das Produkt der Wurzeln ist gleich zum freien Termin).

Das Faktorisierungsverfahren soll eine allgemeine quadratische Gleichung in die Form bringen: A(x)·B(x)=0, wobei A(x) und B(x) Polynome in Bezug auf x sind. Zweck: Herausnehmen des gemeinsamen Teilers aus Klammern; Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln; Gruppierungsmethode. Wege: Beispiel:

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung: Wenn D>0, wenn D 0, If D"> 0, If D"> 0, If D" title="(!LANG: Quadratische Wurzeln: If D>0, If D"> title="Die Wurzeln der quadratischen Gleichung: Wenn D>0, wenn D"> !}

X 1 und x 2 sind die Wurzeln der Gleichung Lösen von Gleichungen mit dem Vieta-Theorem X 2 + 3X - 10 \u003d 0 X 1 X 2 \u003d - 10, was bedeutet, dass die Wurzeln haben verschiedene Vorzeichen X 1 + X 2 \u003d - 3, was bedeutet, dass die Wurzel im absoluten Wert größer ist - negativ Durch Auswahl finden wir die Wurzeln: X 1 \u003d - 5, X 2 \u003d 2 Zum Beispiel:

0, nach dem Satz, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist, erhalten wir die Wurzeln: 5, 6, dann kehren wir zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zurück: 2,5; 3. Antwort: 2,5; 3. Lösung der Gleichung "title="(!LANG: Lösen Sie die Gleichung: 2x 2 - 11x +15 = 0. Übertragen Sie den Koeffizienten 2 auf den freien Term y 2 - 11y +30 = 0. D>0, gem Mit dem Satz, der Umkehrung des Satzes von Vieta, erhalten wir die Wurzeln: 5;6, dann kehren wir zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zurück: 2,5, 3. Antwort: 2,5, 3. Lösung der Gleichung" class="link_thumb"> 14 !} Lösen Sie die Gleichung: 2x x +15 \u003d 0. Übertragen Sie den Koeffizienten 2 auf den freien Term y y +30 \u003d 0. D\u003e 0, nach dem Satz, der Umkehrung des Vieta-Satzes, erhalten wir die Wurzeln: 5 ;6, dann kehren wir zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zurück: 2, 5; 3. Antwort: 2,5; 3. Lösung von Gleichungen nach der Methode der "Übertragung" 0, nach dem Satz, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist, erhalten wir die Wurzeln: 5, 6, dann kehren wir zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zurück: 2,5; 3. Antwort: 2,5; 3. Die Lösung der Gleichung "\u003e 0, nach dem Satz, der Umkehrung des Satzes von Vieta, erhalten wir die Wurzeln: 5; 6, dann kehren wir zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zurück: 2,5; 3. Antwort: 2,5 3. Lösen von Gleichungen mit der "Transfer"-Methode" > 0, nach dem Satz, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist, erhalten wir die Wurzeln: 5;6, dann kehren wir zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zurück: 2,5; 3. Antwort: 2,5; 3. Lösung der Gleichung "title="(!LANG: Lösen Sie die Gleichung: 2x 2 - 11x +15 = 0. Übertragen Sie den Koeffizienten 2 auf den freien Term y 2 - 11y +30 = 0. D>0, gem Mit dem Satz, der Umkehrung des Satzes von Vieta, erhalten wir die Wurzeln: 5;6, dann kehren wir zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zurück: 2,5, 3. Antwort: 2,5, 3. Lösung der Gleichung"> title="Lösen Sie die Gleichung: 2x 2 - 11x +15 \u003d 0. Übertragen wir den Koeffizienten 2 auf den freien Term y 2 - 11y +30 \u003d 0. D> 0, gemäß dem Satz, der Umkehrung des Vieta-Satzes, wir nimm die Wurzeln: 5, 6, dann kehren wir zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichungen zurück: 2,5; 3. Antwort: 2,5; 3. Lösung der Gleichung"> !}

Wenn in der quadratischen Gleichung a + b + c \u003d 0 ist, dann ist eine der Wurzeln gleich 1, und die zweite gemäß dem Vieta-Theorem ist gleich der zweiten gemäß dem Vieta-Theorem, wenn in der quadratischen Gleichung a + c \u003d b, dann ist eine der Wurzeln gleich (-1), und die zweite ist nach dem Satz von Vieta gleich Beispiel: Eigenschaften der Koeffizienten der quadratischen Gleichung 137x x - 157 = 0. a = 137 , b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, Antwort: 1; 137x x - 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, Antwort: 1;

Grafischer Weg zum Lösen einer quadratischen Gleichung Ohne die Verwendung von Formeln kann eine quadratische Gleichung gelöst werden grafisch. Lassen Sie uns die Gleichung lösen Dazu erstellen wir zwei Graphen: X Y X 01 Y012 Antwort: Die Abszissen der Schnittpunkte der Graphen und werden die Wurzeln der Gleichung sein. Wenn sich die Graphen an zwei Punkten schneiden, hat die Gleichung zwei Wurzeln. Wenn sich die Graphen an einem Punkt schneiden, hat die Gleichung eine Wurzel. Wenn sich die Graphen nicht schneiden, hat die Gleichung keine Wurzeln. 1)y=x2 2)y=x+1

Lösen quadratischer Gleichungen mit einem Nomogramm Dies ist eine alte und zu Unrecht vergessene Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf S. 83 "Vierwertige mathematische Tabellen" platziert wurde. Bradis V.M. Tabelle XXII. Nomogramm zur Lösung der Gleichung Dieses Nomogramm ermöglicht es, ohne eine quadratische Gleichung zu lösen, die Wurzeln der Gleichung durch ihre Koeffizienten zu bestimmen. Für die Gleichung gibt das Nomogramm die Wurzeln an

Geometrische Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen In der Antike, als die Geometrie weiter entwickelt war als die Algebra, wurden quadratische Gleichungen nicht algebraisch, sondern geometrisch gelöst. Und hier zum Beispiel, wie die alten Griechen die Gleichung gelöst haben: oder Ausdrücke und liefern geometrisch dasselbe Quadrat, und die ursprüngliche Gleichung ist dieselbe Gleichung. Wo bekommen wir was, bzw

Fazit Diese Entscheidungsmethoden verdienen Aufmerksamkeit, da sie nicht alle in Schulmathematiklehrbüchern enthalten sind; die Beherrschung dieser Techniken hilft den Schülern, Zeit zu sparen und Gleichungen effizient zu lösen; brauchen hinein schnelle Entscheidung aufgrund der Verwendung eines Testsystems von Aufnahmeprüfungen;

a) Quadratische Gleichungen im alten Babylon

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur des ersten, sondern auch des zweiten Grades zu lösen, wurde in der Antike durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Landgebieten und Erdarbeiten militärischer Natur sowie mit der Entwicklung zu lösen der Astronomie und Mathematik selbst. Quadratische Gleichungen konnten etwa 2000 v. Chr. gelöst werden. Babylonier. Unter Anwendung der modernen algebraischen Notation können wir sagen, dass es in ihren Keilschrifttexten neben unvollständigen auch vollständige quadratische Gleichungen gibt:

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14

Die in den babylonischen Texten aufgestellte Regel zur Lösung dieser Gleichungen stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, aber es ist nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel kamen. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte geben nur Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten an, ohne Hinweis darauf, wie sie gefunden wurden.

Trotz des hohen Entwicklungsstandes der Algebra in Babylon fehlen den Keilschrifttexten das Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Die Arithmetik von Diophantus enthält keine systematische Darstellung der Algebra, aber sie enthält eine systematische Reihe von Problemen, die von Erklärungen begleitet und durch das Zusammenstellen von Gleichungen verschiedener Grade gelöst werden.

Beim Zusammenstellen von Gleichungen wählt Diophantus geschickt Unbekannte aus, um die Lösung zu vereinfachen.

Hier ist zum Beispiel eine seiner Aufgaben.

Aufgabe 2. "Finde zwei Zahlen, wobei du weißt, dass ihre Summe 20 und ihr Produkt 96 ist."

Diophantus argumentiert wie folgt: Aus der Bedingung des Problems folgt, dass die gewünschten Zahlen nicht gleich sind, denn wenn sie gleich wären, wäre ihr Produkt nicht 96, sondern 100. Eine von ihnen wird also mehr als die Hälfte von ihnen sein Summe, also .10 + x. Der andere ist kleiner, also 10 - x. Der Unterschied zwischen ihnen ist 2x. Daher die Gleichung:

(10+x)(10-x)=96,

oder

Also x = 2. Eine der gesuchten Zahlen ist 12, die andere 8. Die Lösung x = - 2 für Diophantus gibt es nicht, da die griechische Mathematik nur positive Zahlen kannte.

Wenn wir dieses Problem lösen, indem wir eine der unbekannten Zahlen als Unbekannte auswählen, können wir zur Lösung der Gleichung kommen:

Es ist klar, dass Diophantus die Lösung vereinfacht, indem er die halbe Differenz der gesuchten Zahlen als Unbekannte wählt; er schafft es, das Problem auf die Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung zu reduzieren.
b) Quadratische Gleichungen in Indien.

Probleme zu quadratischen Gleichungen finden sich bereits in dem astronomischen Traktat „Aryabhattayam“, zusammengestellt 499 vom indischen Mathematiker und Astronomen Aryabahatta. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta (7. Jahrhundert), skizzierte die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf eine einzige kanonische Form reduziert wurden

Oh 2 + bx = c, a > 0

In der Gleichung sind die Koeffizienten , außer a, kann negativ sein. Brahmaguptas Regel stimmt im Wesentlichen mit unserer überein.

In Indien waren öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme üblich. In einem der alten indischen Bücher wird über solche Wettbewerbe Folgendes gesagt: „Wie die Sonne die Sterne mit ihrem Glanz überstrahlt, so wird eine gelehrte Person den Ruhm in öffentlichen Versammlungen überstrahlen, indem sie algebraische Probleme vorschlägt und löst.“ Aufgaben wurden oft in poetische Form gekleidet.

Hier ist eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskara.

Aufgabe 3.

Die Gleichung zu Aufgabe 3 lautet:

Bhaskara schreibt unter dem Deckmantel von:

x 2 - 64x = - 768

und um die linke Seite dieser Gleichung zum Quadrat zu vervollständigen, addieren Sie 32 2 zu beiden Seiten und erhalten dann:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Al-Khwarizmis quadratische Gleichungen

Die algebraische Abhandlung von Al-Khwarizmi gibt eine Klassifizierung von linearen und quadratischen Gleichungen. Der Autor listet 6 Arten von Gleichungen auf und drückt sie wie folgt aus:

1. 
   „Die Quadrate sind gleich den Wurzeln“, also ax 2 = bx.
2. 
   "Quadrate sind gleich Zahl", dh Axt 2 = c.
3. 
   "Die Wurzeln sind gleich der Zahl", dh ax = c.
4. 
   "Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln", d.h. ax 2 + c \u003d bx.
5. 
   "Quadrate und Wurzeln sind gleich der Zahl", d.h. Axt 2 + bx \u003d c.
6. 
   „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, also bx + c == ax 2.

Nehmen wir ein Beispiel.

Aufgabe 4. „Das Quadrat und die Zahl 21 sind gleich 10 Wurzeln. Finden Sie die Wurzel "(bedeutet die Wurzel der Gleichung x 2 + 21 \u003d 10x).

Lösung: Teilen Sie die Anzahl der Wurzeln in zwei Hälften, Sie erhalten 5, multiplizieren Sie 5 mit sich selbst, subtrahieren Sie 21 vom Produkt, es bleibt 4. Ziehen Sie die Wurzel aus 4, Sie erhalten 2. Subtrahieren Sie 2 von 5, Sie erhalten 3, das wird sein die gewünschte Wurzel. Oder addiere 2 zu 5, was 7 ergibt, das ist auch eine Wurzel.

Die Abhandlung von Al-Khwarizmi ist das erste uns überlieferte Buch, in dem die Klassifikation quadratischer Gleichungen systematisch dargestellt und Formeln zu ihrer Lösung angegeben werden.

d) Quadratische Gleichungen in Europa XIII-XVII Jahrhundert.

Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von al-Khwarizmi in Europa wurden erstmals im „Buch des Abakus“ niedergelegt, das 1202 von dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci verfasst wurde. Dieses umfangreiche Werk, das den Einfluss der Mathematik sowohl aus den Ländern des Islam als auch aus dem antiken Griechenland widerspiegelt, zeichnet sich sowohl durch Vollständigkeit als auch durch Klarheit der Darstellung aus. Der Autor hat eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Problemlösung entwickelt und sich als erster in Europa der Einführung negativer Zahlen genähert. Sein Buch trug zur Verbreitung des algebraischen Wissens nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Aufgaben aus dem Buch des Abakus gingen in fast alle europäischen Lehrbücher des 16.-17. Jahrhunderts über. und teilweise XVIII.

Allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form

x 2 + bx \u003d c,

für alle möglichen Vorzeichenkombinationen der Koeffizienten b, Mit wurde in Europa erst 1544 von M. Stiefel formuliert.

Vieta hat eine allgemeine Ableitung der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung, Vieta erkannte jedoch nur positive Wurzeln. Die italienischen Mathematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli gehörten zu den ersten im 16. Jahrhundert. Berücksichtigen Sie neben positiven auch negative Wurzeln. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Arbeiten von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern erhält die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen ein modernes Aussehen.

Die Ursprünge algebraischer Methoden zur Lösung praktischer Probleme liegen in der Wissenschaft antike Welt. Wie aus der Geschichte der Mathematik bekannt ist, hatte ein erheblicher Teil der mathematischen Probleme, die von ägyptischen, sumerischen und babylonischen Schreibcomputern (XX-VI Jahrhunderte v. Chr.) gelöst wurden, einen kalkulierten Charakter. Allerdings traten schon damals von Zeit zu Zeit Probleme auf, bei denen der gewünschte Wert einer Größe durch indirekte Bedingungen festgelegt wurde, was aus heutiger Sicht die Formulierung einer Gleichung oder eines Gleichungssystems erforderte. Zur Lösung solcher Probleme wurden zunächst arithmetische Methoden eingesetzt. Später begannen sich die Anfänge algebraischer Darstellungen zu bilden. Zum Beispiel konnten babylonische Taschenrechner Probleme lösen, die in Bezug auf reduziert werden können moderne Klassifikation auf Gleichungen zweiten Grades. Es wurde eine Methode zur Lösung von Textproblemen geschaffen, die später als Grundlage für die Hervorhebung der algebraischen Komponente und ihr unabhängiges Studium diente.

Diese Studie wurde bereits in einer anderen Zeit durchgeführt, zuerst von arabischen Mathematikern (VI-X Jahrhunderte n. Chr.), die die charakteristischen Aktionen auswählten, durch die die Gleichungen reduziert wurden Standard Ansicht Reduktion ähnlicher Terme, Übertragung von Termen von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit Vorzeichenwechsel. Und dann schufen die europäischen Mathematiker der Renaissance als Ergebnis einer langen Suche die Sprache der modernen Algebra, die Verwendung von Buchstaben, die Einführung von Symbolen für arithmetische Operationen, Klammern usw. Um die Wende des 16. 17. Jahrhundert. Algebra als spezifischer Teil der Mathematik mit eigenem Fach, eigener Methode und eigenen Anwendungsgebieten hat sich bereits herausgebildet. Ihre Weiterentwicklung bis in unsere Zeit bestand darin, die Methoden zu verbessern, den Anwendungsbereich zu erweitern, die Begriffe und ihre Zusammenhänge mit den Begriffen anderer Bereiche der Mathematik zu verdeutlichen.

Angesichts der Bedeutung und des Umfangs des Materials, das mit dem Begriff der Gleichung verbunden ist, ist sein Studium in moderne Methodik Mathematik ist mit drei Hauptbereichen ihrer Entstehung und Funktionsweise verbunden.