Differenzierungsbeispiellösungen. Ableitung einer komplexen Funktion

Wie findet man die Ableitung, wie nimmt man die Ableitung? In dieser Lektion lernen wir, wie man Ableitungen von Funktionen findet. Bevor Sie diese Seite studieren, empfehle ich Ihnen jedoch dringend, sich damit vertraut zu machen methodisches Material Heiße Formeln für den Schulmathematikkurs. Das Referenzhandbuch kann auf der Seite geöffnet oder heruntergeladen werden Mathematische Formeln und Tabellen. Auch von dort werden wir brauchen Derivatetabelle, es ist besser, es auszudrucken; Sie werden oft darauf zurückgreifen müssen, nicht nur jetzt, sondern auch offline.

Essen? Fangen wir an. Ich habe zwei Neuigkeiten für Sie: eine gute und eine sehr gute. Die gute Nachricht ist: Um zu lernen, wie man Derivate findet, muss man nicht wissen und verstehen, was ein Derivat ist. Darüber hinaus ist es angemessener, die Definition der Ableitung einer Funktion und die mathematische, physikalische und geometrische Bedeutung der Ableitung später zu verdauen, da ein qualitativ hochwertiges Studium der Theorie meiner Meinung nach das Studium einer Reihe von Faktoren erfordert weitere Themen sowie einige praktische Erfahrungen.
Und nun besteht unsere Aufgabe darin, diese Derivate technisch zu beherrschen. Sehr gute Nachrichten ist, dass das Erlernen der Ableitung nicht so schwierig ist; es gibt einen ziemlich klaren Algorithmus zum Lösen (und Erklären) dieser Aufgabe, Integrale oder Grenzwerte sind beispielsweise schwieriger zu meistern;

Ich empfehle die folgende Reihenfolge beim Studium des Themas:: Zuerst dieser Artikel. Dann müssen Sie die wichtigste Lektion lesen Ableitung einer komplexen Funktion. Diese beiden grundlegenden Lektionen werden Ihre Fähigkeiten verbessern vollständige Null. Als nächstes können Sie sich im Artikel mit komplexeren Derivaten vertraut machen Komplexe Derivate. Logarithmische Ableitung. Wenn die Messlatte zu hoch liegt, lesen Sie die Sache zuerst Die einfachsten typischen Probleme mit Derivaten. Zusätzlich zum neuen Material behandelt die Lektion andere, einfachere Arten von Ableitungen und ist eine großartige Gelegenheit, Ihre Differenzierungstechnik zu verbessern. Darüber hinaus in Tests Fast immer gibt es Aufgaben, Ableitungen von Funktionen zu finden, die implizit oder parametrisch angegeben sind. Es gibt auch eine solche Lektion: Ableitungen impliziter und parametrisch definierter Funktionen.

Ich werde versuchen, Ihnen Schritt für Schritt in einer zugänglichen Form beizubringen, wie man Ableitungen von Funktionen findet. Alle Informationen werden detailliert und in einfachen Worten dargestellt.

Schauen wir uns gleich ein Beispiel an:

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung:

Dies ist das einfachste Beispiel, bitte finden Sie es in der Derivatetabelle elementare Funktionen. Schauen wir uns nun die Lösung an und analysieren, was passiert ist. Und folgendes geschah: Wir hatten eine Funktion, die sich durch die Lösung in eine Funktion verwandelte.

Um es ganz einfach auszudrücken: Um die Ableitung einer Funktion zu finden, benötigen Sie bestimmte Regeln Verwandeln Sie es in eine andere Funktion. Schauen Sie sich noch einmal die Ableitungstabelle an – dort werden Funktionen zu anderen Funktionen. Die einzige Ausnahme ist die Exponentialfunktion, die sich in sich selbst verwandelt. Die Operation zum Finden der Ableitung wird aufgerufen Differenzierung .

Bezeichnungen: Die Ableitung wird mit oder bezeichnet.

ACHTUNG, WICHTIG! Vergessen, einen Strich zu setzen (wo es nötig ist) oder einen zusätzlichen Strich zu zeichnen (wo es nicht nötig ist) - Großer Fehler! Eine Funktion und ihre Ableitung sind zwei verschiedene Funktionen!

Kehren wir zu unserer Tabelle der Derivate zurück. Aus dieser Tabelle ist es wünschenswert auswendig lernen: Differenzierungsregeln und Ableitungen einiger Elementarfunktionen, insbesondere:

Ableitung der Konstante:
, wo ist eine konstante Zahl;

Ableitung einer Potenzfunktion:
, insbesondere: , , .

Warum erinnern? Bei diesem Wissen handelt es sich um Grundwissen über Derivate. Und wenn Sie die Frage des Lehrers „Was ist die Ableitung einer Zahl?“ nicht beantworten können, kann es sein, dass Ihr Studium an der Universität für Sie endet (ich persönlich kenne zwei). echte Fälle aus dem Leben). Darüber hinaus sind dies die gebräuchlichsten Formeln, die wir fast jedes Mal verwenden müssen, wenn wir auf Derivate stoßen.

In der Realität sind einfache tabellarische Beispiele selten; bei der Suche nach Ableitungen werden normalerweise zuerst Differenzierungsregeln und dann eine Tabelle mit Ableitungen elementarer Funktionen verwendet.

In diesem Zusammenhang gehen wir weiter zur Überlegung über Differenzierungsregeln:

1) Aus dem Ableitungszeichen kann (und sollte) eine konstante Zahl entnommen werden

Wo ist eine konstante Zahl (konstant)

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Schauen wir uns die Tabelle der Derivate an. Die Ableitung des Kosinus ist da, aber wir haben .

Es ist Zeit, die Regel anzuwenden: Wir nehmen den konstanten Faktor aus dem Vorzeichen der Ableitung:

Nun rechnen wir unseren Kosinus gemäß der Tabelle um:

Nun, es ist ratsam, das Ergebnis ein wenig zu „kämmen“ – das Minuszeichen an die erste Stelle zu setzen und gleichzeitig die Klammern zu entfernen:

2) Die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lass uns entscheiden. Wie Sie wahrscheinlich bereits bemerkt haben, besteht der erste Schritt, der beim Finden einer Ableitung immer ausgeführt wird, darin, den gesamten Ausdruck in Klammern zu setzen und oben rechts eine Primzahl einzufügen:

Wenden wir die zweite Regel an:

Bitte beachten Sie, dass zur Differenzierung alle Wurzeln und Grade in der Form dargestellt werden müssen, und wenn sie im Nenner stehen, dann nach oben verschieben. Wie das geht, wird in meinen Unterrichtsmaterialien besprochen.

Erinnern wir uns nun an die erste Differenzierungsregel: Wir nehmen die konstanten Faktoren (Zahlen) außerhalb des Ableitungszeichens:

Normalerweise werden diese beiden Regeln während der Lösung gleichzeitig angewendet (um einen langen Ausdruck nicht erneut umzuschreiben).

Alle unter den Strichen liegenden Funktionen sind elementare Tabellenfunktionen; anhand der Tabelle führen wir die Transformation durch:

Sie können alles so lassen, wie es ist, da keine Striche mehr vorhanden sind und die Ableitung gefunden wurde. Ausdrücke wie dieser vereinfachen jedoch normalerweise:

Es empfiehlt sich, alle Potenzen des Typs noch einmal in Form von Wurzeln darzustellen; Potenzen mit negativem Exponenten sollten auf den Nenner zurückgesetzt werden. Obwohl Sie dies nicht tun müssen, wird es kein Fehler sein.

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Versuchen Sie es zu lösen dieses Beispiel selbstständig (Antwort am Ende der Lektion). Interessierte können auch nutzen Intensivkurs im PDF-Format, was besonders relevant ist, wenn Sie nur sehr wenig Zeit zur Verfügung haben.

3) Ableitung des Funktionsprodukts

Es scheint, dass die Analogie die Formel nahelegt ..., aber die Überraschung ist:

Dies ist eine ungewöhnliche Regel (wie übrigens auch andere) folgt aus Ableitungsdefinitionen. Aber mit der Theorie bleiben wir vorerst zurück – jetzt ist es wichtiger zu lernen, wie man Folgendes löst:

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier haben wir das Produkt zweier Funktionen in Abhängigkeit von .
Zuerst wenden wir unsere seltsame Regel an und transformieren dann die Funktionen mithilfe der Ableitungstabelle:

Schwierig? Überhaupt nicht, selbst für eine Teekanne durchaus zugänglich.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Diese Funktion enthält die Summe und das Produkt zweier Funktionen - quadratisches Trinom und Logarithmus. Aus der Schule wissen wir, dass Multiplikation und Division Vorrang vor Addition und Subtraktion haben.

Hier ist es das Gleiche. ANFANGS Wir verwenden die Produktdifferenzierungsregel:

Für die Klammer verwenden wir nun die ersten beiden Regeln:

Durch die Anwendung der Differenzierungsregeln unter den Strichen bleiben uns nur noch Elementarfunktionen übrig, die wir mithilfe der Ableitungstabelle in andere Funktionen umwandeln:

Bereit.

Mit einiger Erfahrung in der Suche nach Derivaten scheint es nicht notwendig zu sein, einfache Derivate so detailliert zu beschreiben. Im Allgemeinen werden sie meist mündlich beschlossen und das sofort schriftlich niedergelegt .

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel dafür unabhängige Entscheidung(Antwort am Ende der Lektion)

4) Ableitung von Quotientenfunktionen

In der Decke hat sich eine Luke geöffnet. Seien Sie nicht beunruhigt, es ist ein Fehler.
Aber das ist die harte Realität:

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Was hier fehlt – Summe, Differenz, Produkt, Bruch…. Wo soll ich anfangen?! Es gibt Zweifel, es gibt keine Zweifel, aber, OHNEHIN Zeichnen Sie zunächst Klammern und setzen Sie oben rechts einen Strich:

Schauen wir uns nun den Ausdruck in Klammern an. Wie können wir ihn vereinfachen? In diesem Fall fällt uns ein Faktor auf, den man nach der ersten Regel außerhalb des Vorzeichens der Ableitung platzieren sollte.

Das Finden der Ableitung einer mathematischen Funktion nennt man Differentiation. Das Finden der Ableitung einer mathematischen Funktion ist ein häufiges Problem in der höheren Mathematik. Man kann auf unterschiedliche Weise sprechen: die Ableitung finden, die Ableitung berechnen, eine Funktion differenzieren, die Ableitung bilden, aber das sind alles die gleichen Konzepte. Natürlich gibt es komplexe Aufgaben, bei denen das Finden der Ableitung nur eine der Komponenten des Problems ist. Auf unserem Website-Service haben Sie die Möglichkeit, die Ableitung sowohl von elementaren als auch von komplexen Funktionen, für die es keine analytische Lösung gibt, online zu berechnen. Die Online-Ableitung unseres Dienstes kann von fast jeder mathematischen Funktion gefunden werden, selbst der komplexesten, die andere Dienste nicht für Sie lösen konnten. Und die erhaltene Antwort ist immer 100 % richtig und fehlerfrei. Wie der Prozess der Derivatefindung abläuft, können Sie auf unserer Website anhand konkreter Beispiele nachvollziehen. Beispiele finden Sie rechts neben der Schaltfläche „Lösung“. Wählen Sie eine beliebige Funktion aus der Beispielliste aus, sie wird automatisch in das Funktionsfeld eingefügt und klicken Sie dann auf die Schaltfläche „Lösung“. Sie erhalten eine Schritt-für-Schritt-Lösung, Ihr Derivat wird auf die gleiche Weise gefunden. Vorteile der Online-Lösung von Derivaten. Selbst wenn Sie wissen, wie man Derivate findet, kann der Prozess viel Zeit und Mühe kosten. Die Serviceseite soll Ihnen mühsame und langwierige Berechnungen ersparen, bei denen Sie möglicherweise auch einen Fehler machen. Wir berechnen die Ableitung online mit einem Klick auf die Schaltfläche „Lösung“ nach Eingabe der angegebenen Funktion. Die Website ist auch perfekt für diejenigen, die ihre Fähigkeiten beim Finden der Ableitung einer mathematischen Funktion testen und sicherstellen möchten, dass ihre unabhängige Lösung korrekt ist, oder einen darin gemachten Fehler finden möchten. Dazu müssen Sie lediglich Ihre Antwort mit dem Berechnungsergebnis des Onlinedienstes vergleichen. Wenn Sie keine Ableitungstabellen verwenden möchten, die viel Zeit in Anspruch nehmen, um die gewünschte Funktion zu finden, dann nutzen Sie unseren Service anstelle von Ableitungstabellen, um die Ableitung zu finden. Die Hauptvorteile unserer Website im Vergleich zu anderen ähnlichen Diensten bestehen darin, dass die Berechnung sehr schnell erfolgt (durchschnittlich 5 Sekunden) und Sie dafür nichts bezahlen müssen – der Dienst ist absolut kostenlos. Sie müssen sich nicht registrieren, keine E-Mail-Adresse eingeben oder Ihre persönlichen Daten eingeben. Alles, was Sie tun müssen, ist einzutreten gegebene Funktion und klicken Sie auf die Schaltfläche „Lösung“. Was ist ein Derivat? Die Ableitung einer Funktion ist ein Grundkonzept der Mathematik und der mathematischen Analysis. Die Umkehrung dieses Prozesses ist die Integration, d. h. das Finden einer Funktion mithilfe einer bekannten Ableitung. Einfach ausgedrückt ist die Differenzierung eine Aktion auf eine Funktion, und die Ableitung ist das Ergebnis einer solchen Aktion. Um die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu berechnen, wird das Argument x durch einen numerischen Wert ersetzt und der Ausdruck ausgewertet. Die Ableitung wird durch einen Strich auf der rechten Seite angezeigt obere Eckeüber die Funktion. Der Strich kann auch eine Bezeichnung einer bestimmten Funktion sein. Um die Ableitung einer Elementarfunktion zu finden, müssen Sie die Ableitungstabelle kennen oder immer zur Hand haben, was möglicherweise nicht sehr praktisch ist, und auch die Differenzierungsregeln kennen. Wir empfehlen daher, unseren Service zu nutzen, wo sich die Ableitung befindet Online berechnet, geben Sie einfach die Funktion in das dafür vorgesehene Feld ein. Das Argument muss die x-Variable sein, da in Bezug auf sie differenziert wird. Wenn Sie die zweite Ableitung berechnen müssen, können Sie die resultierende Antwort differenzieren. So berechnen Sie die Ableitung online. Ableitungstabellen für Elementarfunktionen wurden schon vor langer Zeit erstellt und sind leicht zu finden. Daher ist die Berechnung der Ableitung einer elementaren (einfachen) mathematischen Funktion eine ziemlich einfache Angelegenheit. Wenn Sie jedoch die Ableitung einer komplexen mathematischen Funktion finden müssen, ist dies keine triviale Aufgabe mehr und erfordert viel Aufwand und Zeit. Mit unserem können Sie sinnlose und langwierige Berechnungen vermeiden Online-Dienst. Dank dessen wird die Ableitung in Sekundenschnelle berechnet.

Einstiegsniveau

Ableitung einer Funktion. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen wir uns eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie stark dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null; im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als sie.

Wenn wir auf einem solchen Weg voranschreiten, bewegen wir uns auch nach oben oder unten. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was für ein Wert könnte das sein? Es ist ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich werden wir auf verschiedenen Straßenabschnitten, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der x-Achse) bewegen, auf- oder absteigen unterschiedliche Mengen Meter relativ zum Meeresspiegel (entlang der Ordinatenachse).

Bezeichnen wir den Fortschritt (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt – das ist eine Mengenänderung, – eine Veränderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Ein Ausdruck ist ein einzelnes Ganzes, eine Variable. Trennen Sie niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben!

Das ist zum Beispiel .

Wir sind also horizontal vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Funktionsgraphen vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, je weiter wir voranschreiten, desto höher steigen wir.

Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und uns nach der Bewegung in einer Höhe befanden, dann. Wenn der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Kommen wir zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe zunimmt, wenn man sich eine Distanzeinheit vorwärts bewegt:

Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Straßenabschnitt beim Vorwärtsfahren um einen Kilometer um einen Kilometer ansteigt. Dann ist die Steigung an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße, während sie sich um m vorwärts bewegt, um km abfällt? Dann ist die Steigung gleich.

Schauen wir uns nun die Spitze eines Hügels an. Nimmt man den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer vor dem Gipfel und das Ende einen halben Kilometer danach, erkennt man, dass die Höhenlage nahezu gleich ist.

IN echtes Leben Entfernungen auf den Millimeter genau zu messen ist mehr als ausreichend. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher wurde das Konzept erfunden unendlich klein, das heißt, der absolute Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Und so weiter. Wenn wir schreiben wollen, dass eine Größe unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht gleich Null ist! Aber sehr nah dran. Das bedeutet, dass man dadurch dividieren kann.

Das Gegenteil von Infinitesimal ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich schon darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist modulo größer als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie die größtmögliche Zahl erhalten, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten eine noch größere Zahl. Und die Unendlichkeit ist noch größer als das, was passiert. Tatsächlich sind das Unendlich Große und das Unendlich Kleine das Gegenteil voneinander, also at, und umgekehrt: at.

Kommen wir nun zurück zu unserem Weg. Die ideal berechnete Steigung ist die Steigung, die für einen unendlich kleinen Abschnitt des Pfades berechnet wurde, d. h.:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung verschwindend gering sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass „unendlich klein“ nicht gleichbedeutend ist gleich Null. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man eine ganz gewöhnliche Zahl, zum Beispiel . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau um ein Vielfaches größer sein als ein anderer.

Wozu dient das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir nehmen nicht an einer Autorallye teil, sondern unterrichten Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Konzept der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments.

Inkrementell in der Mathematik nennt man Veränderung. Das Ausmaß, in dem sich das Argument () ändert, während es sich entlang der Achse bewegt, wird aufgerufen Argumentinkrement und wird bezeichnet, um wie viel sich die Funktion (Höhe) bei einer Vorwärtsbewegung entlang der Achse um eine Strecke verändert hat Funktionsinkrement und ist bezeichnet.

Die Ableitung einer Funktion ist also das Verhältnis zu when. Wir bezeichnen die Ableitung mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Primzahl oben rechts: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Kann die Ableitung gleich Null sein? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Und es stimmt, die Höhe ändert sich überhaupt nicht. So ist es auch mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für jede gleich Null ist.

Erinnern wir uns an das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments entlang anzuordnen verschiedene Seiten von oben, so dass die Höhe an den Enden gleich ist, d. h. das Segment ist parallel zur Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.

Wenn wir uns schließlich unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments verschwindend klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (es tendiert nicht dazu, sondern ist gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links vom Scheitelpunkt nimmt die Funktion zu, rechts ab. Wie wir zuvor herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn eine Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher muss zwischen negativen und positiven Werten liegen. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.

Das Gleiche gilt für den Tiefpunkt (den Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in Größe. Ab welchem Wert wechseln wir? Was ist daraus (das Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Wir erhöhen die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Ganz einfach: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wo das Argument hingehört, gehört auch die Funktion dazu: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:

Üben Sie das Finden von Inkrementen:

Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt, an dem das Inkrement des Arguments gleich ist.
Dasselbe gilt für die Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

IN verschiedene Punkte Bei gleichem Argumentinkrement ist das Funktionsinkrement unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt unterschiedlich ist (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.

Darüber hinaus – in jedem Umfang: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern wir uns an die Definition einer Ableitung:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Inkrement der Funktion?

Inkrement ist das. Aber eine Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist gleich:

Die Ableitung von ist gleich:

b) Überlegen Sie nun quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund des anderen Termes unbedeutend ist:

Also haben wir uns eine weitere Regel ausgedacht:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf verschiedene Arten vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Summe mit dem Würfel, oder faktorisieren Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Würfel. Versuchen Sie es selbst mit einer der vorgeschlagenen Methoden.

Also, ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Die Regel lässt sich mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und dann um reduziert.“

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung der Funktionen:

(auf zwei Arten: durch Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung – durch Berechnung des Inkrements der Funktion);

. Ob Sie es glauben oder nicht, dies ist eine Potenzfunktion. Wenn Sie Fragen haben wie „Wie ist das? Wo ist der Abschluss?“, denken Sie an das Thema „“!
Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein Bruch: .
Also unseres Quadratwurzel- Dies ist nur ein Abschluss mit einem Indikator:
.
Wir suchen die Ableitung mithilfe der kürzlich erlernten Formel:
Sollte es an dieser Stelle erneut unklar werden, wiederholen Sie das Thema „“!!!“ (ungefähr ein Grad mit negativem Exponenten)
. Nun der Exponent:
Und nun zur Definition (haben Sie es schon vergessen?):
;
.
Nun vernachlässigen wir wie üblich den Begriff, der Folgendes enthält:
.
. Kombination früherer Fälle: .

Trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Mit Ausdruck.

Den Nachweis erlernen Sie im ersten Studienjahr (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie das Einheitliche Staatsexamen gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm ausgeschnitten wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher liegt die Funktion an diesem „Ziel“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nehmen Sie einen Taschenrechner mit, wir sind noch nicht beim Einheitlichen Staatsexamen.

Versuchen wir es also: ;

Vergessen Sie nicht, Ihren Rechner auf den Bogenmaßmodus umzustellen!

usw. Wir sehen, je weniger, desto näherer Wert Beziehung zu

a) Betrachten Sie die Funktion. Lassen Sie uns wie üblich das Inkrement ermitteln:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“): .

Nun die Ableitung:

Machen wir einen Ersatz: . Dann ist es für Infinitesimal auch Infinitesimal: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn eine unendlich kleine Größe in der Summe (also at) vernachlässigt werden könnte?

Wir erhalten also die folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dabei handelt es sich um einfache („tabelläre“) Ableitungen. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt;
Finden Sie die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

Finden wir zunächst die Ableitung in Gesamtansicht, und ersetzen Sie dann seinen Wert:
;
.
Hier haben wir so etwas wie eine Potenzfunktion. Versuchen wir, sie dazu zu bringen
Normalansicht:
.
Großartig, jetzt können Sie die Formel verwenden:
.
.
. Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen noch nicht, wie man solche Derivate findet. Hier haben wir eine Kombination mehrerer Arten von Funktionen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen Sie noch ein paar Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

In der Mathematik gibt es eine Funktion, deren Ableitung für einen beliebigen Wert gleichzeitig gleich dem Wert der Funktion selbst ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion ist eine Konstante – sie ist unendlich dezimal, also eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Also die Regel:

Sehr leicht zu merken.

Nun, gehen wir nicht zu weit, betrachten wir gleich die Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis die Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennen wir „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist es gleich? Natürlich.

Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:

Beispiele:

Finden Sie die Ableitung der Funktion.
Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Aussteller und natürlicher Logarithmus- Funktionen sind im Hinblick auf Ableitungen einzigartig einfach. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden Gehen wir die Regeln durch Differenzierung.

Differenzierungsregeln

Regeln wofür? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Das ist alles. Wie kann man diesen Prozess sonst in einem Wort nennen? Keine Ableitung... Mathematiker nennen das Differential das gleiche Inkrement einer Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lass es sein, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

an einem Punkt;
an einem Punkt;
an einem Punkt;
an der Stelle.

Lösungen:

(Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da es sich um eine lineare Funktion handelt, erinnern Sie sich?);

Derivat des Produkts

Hier ist alles ähnlich: Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen und deren Inkrement ermitteln:

Derivat:

Beispiele:

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen und;
Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung einer Exponentialfunktion

Jetzt reicht Ihr Wissen aus, um zu lernen, wie man die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion und nicht nur von Exponenten findet (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Also, wo ist eine Zahl?

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu reduzieren:

Dafür werden wir verwenden einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Hat es funktioniert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung eines Exponenten sehr ähnlich war: So wie sie war, blieb sie gleich, es erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

Antworten:

Dies ist lediglich eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, also nicht in einfacherer Form niedergeschrieben werden kann. Deshalb belassen wir es in der Antwort in dieser Form.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen Sie bereits:

Um also einen beliebigen Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus auf die Basis reduzieren. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir stattdessen:

Der Nenner ist einfach eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung erhält man ganz einfach:

Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen werden im Einheitlichen Staatsexamen fast nie gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Sie jedoch Schwierigkeiten mit dem Logarithmus haben, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und es wird Ihnen nichts ausmachen), aber aus mathematischer Sicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Das Ergebnis ist ein zusammengesetztes Objekt: eine Tafel Schokolade, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte ausführen umgekehrte Reihenfolge.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Wir bekommen also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Umschlag) und dann quadrieren Sie, was ich bekommen habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine zweite Aktion mit dem Ergebnis der ersten.

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen: Zuerst quadrieren Sie es, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl: . Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Wichtiges Merkmal komplexe Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel: .

Zweites Beispiel: (das Gleiche). .

Die Aktion, die wir zuletzt ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion, und die zuerst ausgeführte Aktion - entsprechend „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Das Trennen innerer und äußerer Funktionen ist dem Ändern von Variablen sehr ähnlich: zum Beispiel in einer Funktion

Welche Aktion werden wir zuerst durchführen? Berechnen wir zunächst den Sinus und würfeln ihn erst dann. Dies bedeutet, dass es sich um eine interne Funktion handelt, jedoch um eine externe.
Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
Intern: ; extern: .
Prüfung: .
Intern: ; extern: .
Prüfung: .
Intern: ; extern: .
Prüfung: .
Intern: ; extern: .
Prüfung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Tafel Schokolade herausnehmen und nach dem Derivat suchen. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Bezogen auf das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein weiteres Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt bloß nicht, es zu schneiden! Unter dem Kosinus kommt nichts heraus, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies bereits eine komplexe Funktion für sich, und wir extrahieren daraus auch die Wurzel, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (die Schokolade in eine Verpackung legen). und mit einer Schleife in der Aktentasche). Aber es gibt keinen Grund zur Angst: Wir werden diese Funktion trotzdem in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf ist derselbe wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Ableitung einer Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen:

Ableitung der Summe:

Derivat des Produkts:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Anwendung

Lösung der Ableitung auf der Website, um den von Studenten und Schülern behandelten Stoff zu konsolidieren. Die Berechnung der Ableitung einer Funktion in wenigen Sekunden scheint nicht schwierig zu sein, wenn Sie unseren Online-Problemlösungsdienst nutzen. Führen detaillierte Analyse Jeder dritte Schüler kann sich im Rahmen einer praktischen Unterrichtsstunde intensiv mit dem Studium befassen. Wir werden häufig von der Abteilung der zuständigen Abteilung zur Förderung der Mathematik in Bildungseinrichtungen des Landes kontaktiert. Wie können wir in diesem Fall nicht erwähnen, dass die Ableitung online gelöst wird? begrenzter Raum Zahlenfolgen. Viele wohlhabende Privatpersonen dürfen ihre Verwunderung äußern. Aber in der Zwischenzeit sitzen Mathematiker nicht still und arbeiten viel. Der Ableitungsrechner akzeptiert Änderungen der Eingabeparameter basierend auf linearen Eigenschaften, hauptsächlich aufgrund des Supremums der absteigenden Positionen der Würfel. Das Ergebnis ist so unvermeidlich wie die Oberfläche. Durch die Online-Ableitung der Ausgangsdaten entfällt die Notwendigkeit, unnötige Schritte zu unternehmen. Außer fiktiver Hausarbeit. Abgesehen davon, dass das Online-Lösen von Ableitungen ein notwendiger und wichtiger Aspekt beim Erlernen der Mathematik ist, können sich Schüler oft nicht an Probleme aus der Vergangenheit erinnern. Der Student, der ein faules Wesen ist, versteht das. Aber Studenten sind lustige Leute! Machen Sie es entweder gemäß den Regeln oder leiten Sie die Funktion ab schiefe Ebene kann einem materiellen Punkt Beschleunigung verleihen. Richten wir den Vektor des nach unten gerichteten räumlichen Strahls irgendwohin. In der erforderlichen Antwort scheint das Finden der Ableitung aufgrund der Instabilität des mathematischen Systems eine abstrakte theoretische Richtung zu sein. Stellen wir uns eine Zahlenrelation als eine Folge ungenutzter Optionen vor. Der Kommunikationskanal wurde mit einer fünften Linie entlang eines abnehmenden Vektors vom Punkt der geschlossenen Gabelung des Würfels ergänzt. Auf der Ebene gekrümmter Räume führt uns die Online-Lösung der Ableitung zu einer Schlussfolgerung, die im letzten Jahrhundert die größten Köpfe der Welt zum Nachdenken brachte. Im Laufe der Ereignisse auf dem Gebiet der Mathematik gibt es grundsätzlich fünf wichtige Faktoren Dies trägt zur Verbesserung der Variablenauswahlposition bei. Das Punktegesetz besagt also, dass die Online-Ableitung nicht in jedem Fall detailliert berechnet wird, mit Ausnahme eines loyal progressiven Moments. Die Prognose brachte uns auf eine neue Entwicklungsstufe. Wir brauchen Ergebnisse. In der unter der Oberfläche verlaufenden Linie der mathematischen Steigung befindet sich der Modenableitungsrechner im Schnittpunkt der Produkte auf dem Biegesatz. Es bleibt die Differenzierung der Funktion an ihrem unabhängigen Punkt in der Nähe der Epsilon-Nachbarschaft zu analysieren. Jeder kann dies in der Praxis überprüfen. Am Ende wird es etwas zu entscheiden geben nächste Stufe Programmierung. Der Student benötigt das Online-Derivat wie immer, unabhängig von der imaginären Forschung, die er praktiziert. Es stellt sich heraus, dass die Lösung der Online-Ableitung multipliziert mit einer Konstante nicht die allgemeine Bewegungsrichtung des materiellen Punktes ändert, sondern die Geschwindigkeitszunahme entlang einer geraden Linie charakterisiert. In diesem Sinne ist es nützlich, unseren Ableitungsrechner zu verwenden und alle Werte der Funktion für den gesamten Satz ihrer Definition zu berechnen. Es besteht keine Notwendigkeit, die Kraftwellen des Gravitationsfeldes zu untersuchen. In keinem Fall wird die Online-Lösung von Ableitungen die Neigung des ausgehenden Strahls zeigen, aber nur in seltenen Fällen, wenn dies wirklich notwendig ist, können sich Universitätsstudenten dies vorstellen. Lassen Sie uns den Schulleiter untersuchen. Der Wert des kleinsten Rotors ist vorhersehbar. Wenden Sie auf das Ergebnis nach rechts gerichtete Linien an, die den Ball beschreiben, aber Online-Rechner Derivate, dies ist die Grundlage für Zahlen besonderer Stärke und nichtlinearer Abhängigkeit. Der Mathematik-Projektbericht ist fertig. Persönliche Merkmale: Die Differenz zwischen den kleinsten Zahlen und der Ableitung einer Funktion entlang der Ordinatenachse bringt die Konkavität derselben Funktion auf die Höhe. Es gibt eine Richtung – es gibt eine Schlussfolgerung. Es ist einfacher, die Theorie in die Praxis umzusetzen. Die Studierenden haben einen Vorschlag zum Zeitpunkt des Studienbeginns. Brauche die Antwort eines Lehrers. Wie bei der vorherigen Position wird das mathematische System nicht auf der Grundlage einer Aktion reguliert, die dabei hilft, die Ableitung zu finden. Wie bei der unteren halblinearen Version zeigt die Online-Ableitung detailliert die Identifizierung der Lösung an entartetes bedingtes Gesetz. Die Idee, Formeln zu berechnen, wurde gerade vorgestellt. Die lineare Differentiation einer Funktion lenkt die Wahrheit der Lösung auf die einfache Darstellung irrelevanter positiver Variationen um. Die Bedeutung von Vergleichszeichen wird als kontinuierlicher Bruch der Funktion entlang der Achse angesehen. Dies sei die Bedeutung der bewusstesten Schlussfolgerung, so der Student, bei der die Online-Ableitung etwas anderes sei als ein treues Beispiel der mathematischen Analyse. Der Radius eines gekrümmten Kreises im euklidischen Raum hingegen gab dem Ableitungsrechner eine natürliche Darstellung des Austauschs entscheidender Probleme gegen Stabilität. Beste Methode gefunden. Es war einfacher, die Aufgabe eine Ebene nach oben zu verschieben. Lassen Sie die Anwendbarkeit des unabhängigen Differenzanteils online zur Lösung der Ableitungen führen. Die Lösung dreht sich um die Abszissenachse und beschreibt die Figur eines Kreises. Es gibt einen Ausweg, und er basiert auf theoretisch fundierter Forschung von Universitätsstudenten, die jeder studiert, und selbst zu diesen Zeitpunkten gibt es eine Ableitung der Funktion. Wir haben einen Weg gefunden, Fortschritte zu erzielen, und die Studenten haben ihn bestätigt. Wir können es uns leisten, die Ableitung zu finden, ohne über den unnatürlichen Ansatz zur Transformation des mathematischen Systems hinauszugehen. Das linke Proportionalitätszeichen nimmt mit der geometrischen Folge zu mathematische Darstellung Online-Ableitungsrechner aufgrund des unbekannten Umstands linearer Faktoren auf der unendlichen Ordinate. Mathematiker auf der ganzen Welt haben die Außergewöhnlichkeit bewiesen Produktionsprozess. Essen kleinstes Quadrat innerhalb des Kreises entsprechend der Beschreibung der Theorie. Auch hier wird das Online-Derivat im Detail unsere Vermutung darüber zum Ausdruck bringen, was die theoretisch verfeinerte Meinung überhaupt beeinflussen könnte. Es gab Meinungen anderer Natur als der von uns analysierte Bericht. Den Studierenden unserer Fakultäten wird vielleicht keine besondere Aufmerksamkeit geschenkt, nicht aber den klugen und technologisch fortgeschrittenen Mathematikern, für die die Differentiation einer Funktion nur eine Ausrede ist. Die mechanische Bedeutung der Ableitung ist sehr einfach. Die Auftriebskraft wird als Online-Ableitung für aufsteigende, stationäre Zeiträume berechnet. Der offensichtlich abgeleitete Rechner ist ein strenges Verfahren zur Beschreibung des Problems der Entartung einer künstlichen Transformation als amorpher Körper. Die erste Ableitung gibt eine Änderung in der Bewegung eines materiellen Punktes an. dreidimensionaler Raum Dies wird offensichtlich im Zusammenhang mit speziell geschulten Technologien zur Online-Lösung von Ableitungen beobachtet; tatsächlich ist dies in jedem Kolloquium zum Thema einer mathematischen Disziplin der Fall. Die zweite Ableitung charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung eines materiellen Punktes und bestimmt die Beschleunigung. Der Meridianansatz, der auf der Verwendung der affinen Transformation basiert, führt zu neues Level Ableitung einer Funktion an einem Punkt aus dem Definitionsbereich dieser Funktion. Ein Online-Ableitungsrechner kann nicht ohne Zahlen und symbolische Notationen für den richtigen ausführbaren Moment sowie die umwandelbare Anordnung der Dinge in der Aufgabe existieren. Überraschenderweise gibt es eine zweite Beschleunigung des materiellen Punktes; dies charakterisiert die Beschleunigungsänderung. In Kürze werden wir damit beginnen, das Lösen der Ableitung online zu lernen, aber sobald ein bestimmter Wissensmeilenstein erreicht ist, wird unser Student diesen Prozess unterbrechen. Das beste Mittel Kontakte knüpfen bedeutet, live weiterzukommunizieren Mathe-Thema. Es gibt Grundsätze, die unter keinen Umständen verletzt werden dürfen, egal wie schwierig die Aufgabe ist. Es ist sinnvoll, das Derivat rechtzeitig und fehlerfrei online zu finden. Dies wird zu einer neuen Situation führen mathematischer Ausdruck. Das System ist stabil. Die physikalische Bedeutung des Derivats ist nicht so beliebt wie die mechanische. Es ist unwahrscheinlich, dass sich irgendjemand daran erinnert, wie die Online-Ableitung den Umriss der Linien der Funktion in der Normalen aus dem Dreieck neben der Abszissenachse detailliert in der Ebene anzeigte. Der Mensch verdient eine wichtige Rolle in der Forschung des letzten Jahrhunderts. Differenzieren wir die Funktion an Punkten sowohl aus dem Definitionsbereich als auch im Unendlichen in drei Grundstufen. Wird dabei sein schriftlich gerade im Bereich der Forschung, kann aber in der Mathematik und Zahlentheorie den Platz des Hauptvektors einnehmen, sobald das Geschehen den Online-Ableitungsrechner mit dem Problem verbindet. Wenn es einen Grund gäbe, gäbe es einen Grund, eine Gleichung zu erstellen. Es ist sehr wichtig, alle Eingabeparameter im Auge zu behalten. Das Beste wird nicht immer direkt akzeptiert; dahinter verbirgt sich eine riesige Zahl der besten Köpfe, die wussten, wie das Online-Derivat im Weltraum berechnet wird. Seitdem wird Konvexität als Eigenschaft einer stetigen Funktion betrachtet. Dennoch ist es besser, das Problem der Lösung von Derivaten zunächst online zu stellen so schnell wie möglich. Damit ist die Lösung vollständig. Abgesehen von nicht erfüllten Standards wird dies als nicht ausreichend angesehen. Zunächst schlägt fast jeder Student vor, eine einfache Methode vorzuschlagen, wie die Ableitung einer Funktion einen umstrittenen Augmentationsalgorithmus verursacht. In Richtung des aufsteigenden Strahls. Das macht Sinn als allgemeine Situation. Zuvor der Beginn der Fertigstellung eines bestimmten mathematische Operation, aber heute wird es umgekehrt sein. Vielleicht wirft die Lösung der Ableitung online das Problem erneut auf und wir werden eine gemeinsame Meinung verabschieden, um es während der Diskussion beim Lehrertreffen zu bewahren. Wir hoffen auf Verständnis auf allen Seiten der Tagungsteilnehmer. Die logische Bedeutung liegt in der Beschreibung des Ableitungsrechners in der Resonanz von Zahlen über die Reihenfolge der Darstellung des Gedankens des Problems, das im letzten Jahrhundert von den großen Wissenschaftlern der Welt beantwortet wurde. Es hilft Ihnen, eine komplexe Variable aus einem transformierten Ausdruck zu extrahieren und die Ableitung online zu finden, um eine umfangreiche Aktion desselben Typs auszuführen. Die Wahrheit ist um ein Vielfaches besser als Vermutungen. Niedrigster Wert im Trend. Das Ergebnis wird nicht lange auf sich warten lassen, wenn man einen einzigartigen Dienst zur genauen Bestimmung nutzt, für den es eine Essenz des Derivats online im Detail gibt. Indirekt, aber auf den Punkt gebracht, wie ein weiser Mann sagte, wurde auf Wunsch vieler Studenten aus verschiedenen Städten der Union ein Online-Derivaterechner erstellt. Wenn es einen Unterschied gibt, warum dann zweimal entscheiden? Der gegebene Vektor liegt auf derselben Seite wie die Normale. In der Mitte des letzten Jahrhunderts wurde Funktionsdifferenzierung überhaupt nicht so wahrgenommen wie heute. Dank der fortschreitenden Entwicklung entstand Online-Mathematik. Mit der Zeit vergessen die Schüler, den Mathematikfächern die gebührende Anerkennung zu geben. Die Lösung der Ableitung online stellt unsere These zu Recht in Frage, basierend auf der Anwendung der Theorie, unterstützt durch praktisches Wissen. Es wird über den bestehenden Wert des Präsentationsfaktors hinausgehen und wir werden die Formel in einer expliziten Form für die Funktion schreiben. Es kommt vor, dass Sie sofort ein Derivat online finden müssen, ohne einen Taschenrechner zu verwenden. Sie können jedoch jederzeit auf den Trick eines Studenten zurückgreifen und trotzdem einen Dienst wie eine Website nutzen. Dadurch spart der Student viel Zeit beim Kopieren von Beispielen aus dem groben Notizbuch in die endgültige Form. Wenn es keine Widersprüche gibt, dann nutzen Sie den Service Schritt-für-Schritt-Lösung solch komplexe Beispiele.

Es werden Beispiele für die Berechnung von Ableitungen anhand der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion gegeben.

Hier geben wir Beispiele für die Berechnung von Ableitungen von folgende Funktionen:
; ; ; ; .

Wenn eine Funktion als komplexe Funktion in der folgenden Form dargestellt werden kann:
,
dann wird seine Ableitung durch die Formel bestimmt:
.
In den folgenden Beispielen schreiben wir diese Formel wie folgt:
.
Wo .
Dabei bezeichnen die unter dem Ableitungszeichen stehenden Indizes oder die Variablen, nach denen differenziert wird.

Normalerweise werden in Ableitungstabellen Ableitungen von Funktionen aus der Variablen x angegeben.

Allerdings ist x ein formaler Parameter. Die Variable x kann durch jede andere Variable ersetzt werden. Wenn wir also eine Funktion von einer Variablen ableiten, ändern wir in der Ableitungstabelle einfach die Variable x in die Variable u.

Einfache Beispiele

Beispiel 1
.

Finden Sie die Ableitung einer komplexen Funktion

Lösung
.
Schreiben wir die gegebene Funktion in äquivalenter Form:
;
.

In der Ableitungstabelle finden wir:
.
Nach der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion gilt:

Hier .

Antwort

Beispiel 2
.

Finden Sie die Ableitung einer komplexen Funktion

Finden Sie die Ableitung
.

.
Nach der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion gilt:

Hier .

Wir nehmen die Konstante 5 aus dem Ableitungszeichen und aus der Ableitungstabelle finden wir:

Beispiel 3
.

Finden Sie die Ableitung einer komplexen Funktion

Finden Sie die Ableitung -1 Wir nehmen eine Konstante heraus
;
für das Vorzeichen der Ableitung und aus der Ableitungstabelle finden wir:
.

Aus der Ableitungstabelle finden wir:
.
Nach der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion gilt:

Hier .

Wir wenden die Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion an:

Komplexere Beispiele In komplexeren Beispielen wenden wir die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion mehrmals an. In diesem Fall berechnen wir die Ableitung vom Ende. Das heißt, wir zerlegen die Funktion in ihre Bestandteile und ermitteln mithilfe von die Ableitungen der einfachsten Teile Tabelle der Derivate . Wir verwenden auch Regeln zur Differenzierung von Summen

, Produkte und Brüche. Dann nehmen wir Substitutionen vor und wenden die Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion an.

Beispiel 3
.

Finden Sie die Ableitung einer komplexen Funktion

Beispiel 4 Lassen Sie uns das Meiste hervorheben einfacher Teil

.
Formel und finde ihre Ableitung. .
.

Hier haben wir die Notation verwendet
.

Wir ermitteln die Ableitung des nächsten Teils der Originalfunktion anhand der erhaltenen Ergebnisse. Wir wenden die Regel zur Differenzierung der Summe an:

.
Nach der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion gilt:

Hier .

Wir wenden erneut die Regel der Differenzierung komplexer Funktionen an.

Beispiel 5
.

Finden Sie die Ableitung einer komplexen Funktion

Finden Sie die Ableitung der Funktion

Wählen wir den einfachsten Teil der Formel aus und ermitteln wir seine Ableitung aus der Ableitungstabelle. .
.
Wir wenden die Differenzierungsregel komplexer Funktionen an.
.