Под формата на обикновена дроб, десетична дроб. Преобразувайте смесени числа в десетични

В тази статия ще анализираме как преобразуване на обикновени дроби в десетични, а също така разгледайте обратния процес - преобразуването на десетични дроби в обикновени дроби. Тук ще изразим правилата за обръщане на дроби и ще дадем подробни решениятипични примери.

Навигация в страницата.

Преобразуване на обикновени дроби в десетични

Нека обозначим последователността, в която ще се занимаваме с преобразуване на обикновени дроби в десетични.

Първо, ще разгледаме как да представим обикновени дроби със знаменател 10, 100, 1000, ... като десетични дроби. Това е така, защото десетичните знаци са по същество компактна формазаписване на обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ....

След това ще продължим и ще покажем как всяка обикновена дроб (не само със знаменатели 10, 100, ...) може да бъде записана като десетична дроб. При това преобразуване на обикновени дроби се получават както крайни десетични дроби, така и безкрайни периодични десетични дроби.

Сега за всичко по ред.

Преобразуване на обикновени дроби със знаменател 10, 100, ... в десетични дроби

Някои редовни дроби се нуждаят от "предварителна подготовка", преди да се превърнат в десетични дроби. Това важи за обикновените дроби, чийто брой цифри в числителя е по-малък от броя на нулите в знаменателя. Например обикновената дроб 2/100 трябва първо да бъде подготвена за преобразуване в десетична дроб, но дробта 9/10 не е необходимо да се подготвя.

„Предварителната подготовка“ на правилните обикновени дроби за преобразуване в десетични дроби се състои в добавяне на толкова много нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Например дроб след добавяне на нули ще изглежда като .

След като подготвите правилната обикновена дроб, можете да започнете да я преобразувате в десетична дроб.

Да дадем правило за преобразуване на правилна обикновена дроб със знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетична дроб. Състои се от три стъпки:

• запишете 0;
• поставете десетична точка след него;
• записваме числото от числителя (заедно с добавените нули, ако сме ги добавили).

Обмислете приложението на това правило при решаване на примери.

Пример.

Преобразувайте правилната дроб 37/100 в десетична.

Решение.

Знаменателят съдържа числото 100, което има две нули в своя запис. Числителят съдържа числото 37, в неговия запис има две цифри, следователно тази фракция не трябва да се подготвя за преобразуване в десетична дроб.

Сега пишем 0, поставяме десетична запетая и записваме числото 37 от числителя, докато получаваме десетичната дроб 0,37.

Отговор:

0,37 .

За да консолидираме уменията за превод на редовни обикновени дроби с числители 10, 100, ... в десетични дроби, ще анализираме решението на друг пример.

Пример.

Запишете правилната дроб 107/10 000 000 като десетичен знак.

Решение.

Броят на цифрите в числителя е 3, а броят на нулите в знаменателя е 7, така че тази обикновена дроб трябва да бъде подготвена за преобразуване в десетична. Трябва да добавим 7-3=4 нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Получаваме .

Остава да образуваме желаната десетична дроб. За да направите това, първо, записваме 0, второ, поставяме запетая, трето, записваме числото от числителя заедно с нули 0000107 , като резултат имаме десетична дроб 0,0000107 .

Отговор:

0,0000107 .

Неправилните обикновени дроби не се нуждаят от подготовка при преобразуване в десетични дроби. Трябва да се спазва следното правила за преобразуване на неправилни обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични дроби:

• запишете числото от числителя;
• разделяме с десетична запетая толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на първоначалната дроб.

Нека анализираме приложението на това правило при решаване на пример.

Пример.

Преобразувайте неправилна обикновена дроб 56 888 038 009/100 000 в десетична.

Решение.

Първо записваме числото от числителя 56888038009 и второ отделяме 5 цифри отдясно с десетична запетая, тъй като в знаменателя на оригиналната дроб има 5 нули. В резултат на това имаме десетична дроб 568 880.38009.

Отговор:

568 880,38009 .

За да преобразувате смесено число в десетична дроб, чийто знаменател на дробната част е числото 10, или 100, или 1000, ..., можете да преобразувате смесеното число в неправилна обикновена дроб, след което получената дроб може да се преобразува в десетична дроб. Но можете да използвате и следното правилото за преобразуване на смесени числа със знаменател на дробната част 10, или 100, или 1000, ... в десетични дроби:

• ако е необходимо, изпълнете предварителна подготовка» на дробната част от първоначалното смесено число чрез добавяне необходимо количествонули отляво в числителя;
• запишете цялата част от първоначалното смесено число;
• поставете десетична точка;
• записваме числото от числителя заедно с добавените нули.

Нека разгледаме пример, в решението на който изпълняваме всички необходимите стъпкиза представяне на смесено число като десетичен знак.

Пример.

Преобразувайте смесено число в десетично.

Решение.

Има 4 нули в знаменателя на дробната част и числото 17 в числителя, състоящ се от 2 цифри, следователно трябва да добавим две нули отляво в числителя, така че броят на знаците там да стане равен на брой нули в знаменателя. Като направите това, числителят ще бъде 0017.

Сега записваме цялата част от оригиналното число, тоест числото 23, поставяме десетична точка, след което записваме числото от числителя заедно с добавените нули, тоест 0017, докато получаваме желания десетичен знак дроб 23.0017.

Нека запишем накратко цялото решение: .

Несъмнено беше възможно смесеното число първо да се представи като неправилна дроб и след това да се преобразува в десетична дроб. С този подход решението изглежда така:

Отговор:

23,0017 .

Преобразуване на обикновени дроби в крайни и безкрайни периодични десетични дроби

В десетична дроб могат да се преобразуват не само обикновени дроби със знаменател 10, 100, ..., но и обикновени дроби с други знаменатели. Сега ще разберем как се прави това.

В някои случаи първоначалната обикновена дроб лесно се свежда до един от знаменателите 10, или 100, или 1000, ... (виж редуцирането на обикновена дроб до нов знаменател), след което не е трудно да се представи получената дроб като десетична дроб. Например, очевидно е, че дробта 2/5 може да се сведе до дроб със знаменател 10, за това трябва да умножите числителя и знаменателя по 2, което ще даде дроб 4/10, което според правилата, обсъдени в предишния параграф, могат лесно да бъдат преобразувани в десетична дроб 0, 4 .

В други случаи трябва да използвате различен начин за преобразуване на обикновена дроб в десетична, което сега ще разгледаме.

За да преобразувате обикновена дроб в десетична дроб, числителят на дробта се разделя на знаменателя, числителят първо се заменя с равна десетична дроб с произволен брой нули след десетичната запетая (говорихме за това в раздела равно и неравни десетични дроби). В този случай делението се извършва по същия начин като деленето на колона от естествени числа, а десетичната запетая се поставя в частното, когато делението на цялата част от дивидента приключи. Всичко това ще стане ясно от решенията на дадените по-долу примери.

Пример.

Преобразувайте обикновената дроб 621/4 в десетична.

Решение.

Представяме числото в числителя 621 като десетична дроб, като добавяме десетична запетая и няколко нули след нея. Като начало ще добавим 2 цифри 0, по-късно, ако е необходимо, винаги можем да добавим още нули. И така, имаме 621,00.

Сега нека разделим числото 621 000 на 4 с колона. Първите три стъпки не се различават от деленето на колона от естествени числа, след което стигаме до следната картина:

Така стигнахме до десетичната запетая в дивидента и остатъкът е различен от нула. В този случай поставяме десетична запетая в частното и продължаваме делението по колона, като игнорираме запетаите:

Това деление е завършено и в резултат получаваме десетичната дроб 155,25, която съответства на оригиналната обикновена дроб.

Отговор:

155,25 .

За да консолидирате материала, помислете за решението на друг пример.

Пример.

Преобразувайте обикновената дроб 21/800 в десетична.

Решение.

За да преобразуваме тази обикновена дроб в десетична, нека разделим десетичната дроб 21 000 ... на 800 с колона. След първата стъпка ще трябва да поставим десетична запетая в частното и след това да продължим делението:

Накрая получихме остатъка 0, с това преобразуването на обикновената дроб 21/400 в десетичната дроб е завършено и стигнахме до десетичната дроб 0,02625.

Отговор:

0,02625 .

Може да се случи така, че при разделянето на числителя на знаменателя на обикновена дроб никога да не получим остатък 0. В тези случаи разделянето може да продължи колкото желаете. Въпреки това, започвайки от определена стъпка, остатъците започват да се повтарят периодично, докато цифрите в частното също се повтарят. Това означава, че оригиналната обикновена дроб се превръща в безкраен периодичен десетичен знак. Нека покажем това с пример.

Пример.

Запишете обикновената дроб 19/44 като десетичен знак.

Решение.

За да преобразуваме обикновена дроб в десетична, извършваме деление по колона:

Вече е ясно, че при деленето остатъците 8 и 36 са започнали да се повтарят, докато в частното числата 1 и 8 се повтарят. Така оригиналната обикновена дроб 19/44 се превежда в периодична десетична дроб 0,43181818…=0,43(18) .

Отговор:

0,43(18) .

В заключение на този параграф ще разберем кои обикновени дроби могат да бъдат преобразувани в крайни десетични дроби и кои могат да бъдат преобразувани само в периодични.

Нека имаме нередуцируема обикновена дроб пред нас (ако дробта е редуцируема, тогава първо извършваме редукцията на дробта) и трябва да разберем в каква десетична дроб може да бъде преобразувана - крайна или периодична.

Ясно е, че ако една обикновена дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ..., тогава получената дроб може лесно да бъде преобразувана в последна десетична дроб съгласно правилата, разгледани в предишния параграф. Но към знаменателите 10, 100, 1000 и т.н. не са дадени всички обикновени дроби. До такива знаменатели могат да се сведат само дроби, чиито знаменатели са поне едно от числата 10, 100, ... А кои числа могат да бъдат делители на 10, 100, ...? Числата 10, 100, … ще ни позволят да отговорим на този въпрос, а те са както следва: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . От това следва, че делителите на 10, 100, 1000 и т.н. може да има само числа, чиито разширения в основни факторисъдържат само числата 2 и (или) 5 .

Сега можем да направим общо заключение за преобразуването на обикновени дроби в десетични дроби:

• ако само числата 2 и (или) 5 присъстват в разлагането на знаменателя на прости множители, тогава тази дроб може да бъде преобразувана в последна десетична дроб;
• ако освен две и петици има и други в разширението на знаменателя прости числа, тогава тази дроб се превежда в безкрайна десетична периодична дроб.

Пример.

Без да преобразувате обикновените дроби в десетични, кажете ми коя от дробите 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 може да се преобразува в крайна десетична дроб и коя може да се преобразува само в периодична.

Решение.

Разлагането на прости множители на знаменателя на дробта 47/20 има формата 20=2 2 5 . В това разширение има само двойки и петици, така че тази дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ... (в този пример до знаменателя 100), следователно може да бъде преобразувана в краен десетичен знак фракция.

Разлагането на прости множители на знаменателя на дробта 7/12 има формата 12=2 2 3 . Тъй като съдържа прост фактор 3, различен от 2 и 5, тази дроб не може да бъде представена като крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в периодична десетична дроб.

Фракция 21/56 - свиваем, след редукция приема формата 3/8. Разлагането на знаменателя на прости множители съдържа три множителя, равни на 2, следователно обикновената дроб 3/8, а оттам и дробта, равна на нея 21/56, могат да бъдат преведени в крайна десетична дроб.

И накрая, разширението на знаменателя на дробта 31/17 само по себе си е 17, следователно тази дроб не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в безкрайна периодична дроб.

Отговор:

47/20 и 21/56 могат да бъдат преобразувани в краен десетичен знак, докато 7/12 и 31/17 могат да бъдат преобразувани само в периодичен десетичен знак.

Обикновените дроби не се преобразуват в безкрайни неповтарящи се десетични знаци

Информацията от предишния параграф повдига въпроса: „Може ли да се получи безкрайна непериодична дроб при разделяне на числителя на дроб на знаменателя“?

Отговор: не. При превод на обикновена дроб може да се получи или крайна десетична дроб, или безкрайна периодична десетична дроб. Нека обясним защо това е така.

От теоремата за делимост с остатък става ясно, че остатъкът винаги е по-малък от делителя, т.е. ако разделим някакво цяло число на цяло число q, тогава само едно от числата 0, 1, 2, ..., q −1 може да бъде остатъкът. От това следва, че след приключване на делението на цялата част от числителя на обикновена дроб на знаменателя q, след не повече от q стъпки, ще възникне една от следните две ситуации:

• или получаваме остатъка 0, това ще приключи делението и ще получим последната десетична дроб;
• или ще получим остатък, който вече се е появил преди, след което остатъците ще започнат да се повтарят както в предишния пример (тъй като при деление на равни числа на q се получават равни остатъци, което следва от вече споменатата теорема за делимост), така че ще се получи безкрайна периодична десетична дроб.

Не може да има други опции, следователно при преобразуване на обикновена дроб в десетична дроб не може да се получи безкрайна непериодична десетична дроб.

От разсъжденията, дадени в този параграф, също следва, че дължината на периода на десетична дроб винаги е по-малка от стойността на знаменателя на съответната обикновена дроб.

Преобразувайте десетични числа в обикновени дроби

Сега нека да разберем как да преобразуваме десетична дроб в обикновена. Нека започнем с преобразуване на крайните десетични числа в обикновени дроби. След това разгледайте метода за обръщане на безкрайни периодични десетични дроби. В заключение, нека кажем за невъзможността за преобразуване на безкрайни непериодични десетични дроби в обикновени дроби.

Преобразуване на крайните десетични числа в обикновени дроби

Получаването на обикновена дроб, която се записва като последна десетична дроб, е доста проста. Правилото за преобразуване на крайна десетична дроб в обикновена дробсе състои от три стъпки:

• първо, запишете дадената десетична дроб в числителя, като преди това сте изхвърлили десетичната запетая и всички нули отляво, ако има такива;
• второ, напишете едно в знаменателя и добавете към него толкова нули, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
• трето, ако е необходимо, намалете получената фракция.

Нека разгледаме примери.

Пример.

Преобразувайте десетичната запетая 3,025 в обикновена дроб.

Решение.

Ако премахнем десетичната запетая в оригиналната десетична дроб, тогава получаваме числото 3025. Няма нули отляво, които бихме изхвърлили. И така, в числителя на търсената дроб записваме 3025.

Записваме числото 1 в знаменателя и добавяме 3 нули вдясно от него, тъй като в оригиналната десетична дроб има 3 цифри след десетичната запетая.

Така че имаме обикновена дроб 3 025/1 000. Тази дроб може да се намали с 25, получаваме .

Отговор:

.

Пример.

Преобразувайте десетичната дроб 0,0017 в обикновена дроб.

Решение.

Без десетична запетая оригиналната десетична дроб изглежда като 00017, като изхвърлим нулите отляво, получаваме числото 17, което е числителят на желаната обикновена дроб.

В знаменателя записваме единица с четири нули, тъй като в оригиналната десетична дроб има 4 цифри след десетичната запетая.

В резултат на това имаме обикновена дроб 17/10 000. Тази дроб е несъкратима и преобразуването на десетична дроб в обикновена е завършено.

Отговор:

.

Когато цялата част от оригиналната крайна десетична дроб е различна от нула, тогава тя може незабавно да бъде преобразувана в смесено число, заобикаляйки обикновената дроб. Да дадем правило за преобразуване на последен десетичен знак в смесено число:

• числото преди десетичната запетая трябва да бъде записано като цяла част от желаното смесено число;
• в числителя на дробната част трябва да напишете числото, получено от дробната част на оригиналната десетична дроб, след като изхвърлите всички нули отляво в нея;
• в знаменателя на дробната част трябва да напишете числото 1, към което отдясно добавете толкова нули, колкото има цифри в записа на първоначалната десетична дроб след десетичната точка;
• ако е необходимо, намалете дробната част на полученото смесено число.

Помислете за пример за преобразуване на десетична дроб в смесено число.

Пример.

Изразете десетичната запетая 152,06005 като смесено число

Ще посветим този материал на такава важна тема като десетичните дроби. Първо, нека дефинираме основните дефиниции, да дадем примери и да се спрем на правилата на десетичната нотация, както и какви са цифрите на десетичните дроби. След това подчертаваме основните типове: крайни и безкрайни, периодични и непериодични дроби. В последната част ще покажем как точките, съответстващи на дробни числа, са разположени върху координатната ос.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво е десетична нотация за дробни числа

Така нареченият десетичен запис за дробни числа може да се използва както за естествени, така и за дробни числа. Изглежда като набор от две или повече числа със запетая между тях.

Десетичната запетая се използва за разделяне на целочислената част от дробната част. По правило последната цифра на десетичната запетая никога не е нула, освен ако десетичната точка не е непосредствено след първата нула.

Кои са някои примери за дробни числа в десетична система? Може да бъде 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9 и т.н.

В някои учебници можете да намерите използването на точка вместо запетая (5. 67, 6789. 1011 и т.н.) Тази опция се счита за еквивалентна, но е по-типична за англоезични източници.

Дефиниция на десетичните знаци

Въз основа на горната концепция за десетична нотация, можем да формулираме следната дефиниция на десетични дроби:

Определение 1

Десетичните числа са дробни числа в десетична система.

Защо трябва да пишем дроби в тази форма? Той ни дава някои предимства пред обикновените, например по-компактен запис, особено в случаите, когато знаменателят е 1000, 100, 10 и т.н. или смесено число. Например, вместо 6 10 можем да зададем 0 , 6 , вместо 25 10000 - 0 , 0023 , вместо 512 3 100 - 512 , 03 .

Как да представим правилно десетичен знакобикновени дроби с десетици, стотици, хиляди в знаменателя, ще бъдат описани в отделен материал.

Как да четем правилно десетичните знаци

Има някои правила за четене на записи от десетични знаци. И така, онези десетични дроби, които съответстват на техните правилни обикновени еквиваленти, се четат почти по същия начин, но с добавянето на думите "нула десети" в началото. И така, записът 0, 14, който съответства на 14 100, се чете като "нула точка и четиринадесет стотни."

Ако десетична дроб може да бъде свързана със смесено число, тогава тя се чете по същия начин като това число. Така че, ако имаме дроб 56 002, което съответства на 56 2 1000, ние четем такъв запис като "петдесет и шест кома две хилядни."

Стойността на цифрата в десетичния запис зависи от това къде се намира (точно както в случая с естествените числа). И така, в десетична дроб 0, 7, седем е десети, в 0, 0007 е десет хилядни, а в дроб 70 000, 345 означава седем десетки хиляди цели единици. По този начин в десетичните дроби има и концепцията за числова цифра.

Имената на цифрите, разположени преди запетаята, са подобни на тези, които съществуват в естествените числа. Имената на тези, които са разположени след, са ясно представени в таблицата:

Да вземем пример.

Пример 1

Имаме десетичен знак 43, 098. Тя има четири на мястото на десетиците, тройка на мястото на единиците, нула на десетото място, 9 на стотното място и 8 на хилядното място.

Обичайно е да се разграничават цифрите на десетичните дроби по старшинство. Ако се движим през числата отляво надясно, тогава ще преминем от високи към ниски цифри. Оказва се, че стотните са по-стари от десетките, а милионните са по-млади от стотните. Ако вземем тази последна десетична дроб, която цитирахме като пример по-горе, тогава в нея старшата или най-високата ще бъде цифрата на стотиците, а най-ниската или най-малката ще бъде цифрата на 10 хилядни.

Всяка десетична дроб може да бъде разложена на отделни цифри, т.е. представена като сума. Тази операция се извършва по същия начин, както при естествените числа.

Пример 2

Нека се опитаме да разгънем дробта 56, 0455 на цифри.

Ние ще можем да:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Ако си спомним свойствата на добавянето, можем да представим тази дроб в други форми, например като сумата 56 + 0, 0455 или 56, 0055 + 0, 4 и т.н.

Какво представляват следните десетични знаци

Всички дроби, за които говорихме по-горе, са десетични знаци в края. Това означава, че броят на цифрите след десетичната запетая е краен. Нека вземем определението:

Определение 1

Крайните десетични знаци са вид десетичен знак, който има краен брой цифри след запетаята.

Примери за такива дроби могат да бъдат 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 и т.н.

Всяка от тези дроби може да бъде преобразувана или в смесено число (ако стойността на тяхната дробна част е различна от нула), или в обикновена дроб (ако цялата част е нула). Посветихме отделен материал на това как се прави това. Нека просто посочим няколко примера тук: например, можем да доведем крайната десетична дроб 5 , 63 до формата 5 63 100 , а 0 , 2 съответства на 2 10 (или всяка друга дроб, равна на нея, например 4 20 или 1 5 .)

Но обратният процес, т.е. записването на обикновена дроб в десетична форма не винаги може да се извърши. Така че 5 13 не може да бъде заменено с равна дроб със знаменател 100, 10 и т.н., което означава, че крайната десетична дроб няма да се получи от нея.

Основните видове безкрайни десетични дроби: периодични и непериодични дроби

По-горе посочихме, че крайните дроби се наричат ​​така, защото имат краен брой цифри след десетичната запетая. Въпреки това може да е безкрайно, в който случай самите дроби също ще се наричат ​​безкрайни.

Определение 2

Безкрайните десетични знаци са тези, които имат безкраен брой цифри след десетичната запетая.

Очевидно е, че такива числа просто не могат да бъдат записани изцяло, затова посочваме само част от тях и след това поставяме многоточие. Този знак показва безкрайно продължение на последователността от десетични знаци. Примери за безкрайни десетични знаци биха били 0, 143346732 ..., 3, 1415989032 ..., 153, 0245005 ..., 2, 66666666666 ..., 69, 748768152 .... и т.н.

В "опашката" на такава фракция може да има не само привидно произволни поредици от числа, но и постоянно повторение на един и същи знак или група от знаци. Дроби с редуване след десетичната запетая се наричат ​​периодични.

Определение 3

Периодичните десетични дроби са такива безкрайни десетични дроби, в които една цифра или група от няколко цифри се повтаря след десетичната точка. Повтарящата се част се нарича период на дробта.

Например за дробта 3, 444444 ... . периодът ще бъде числото 4, а за 76, 134134134134 ... - групата 134.

Какъв е минималният брой знаци, разрешен в периодична дроб? За периодични дроби ще бъде достатъчно да напишете целия период веднъж в скоби. И така, дробта е 3, 444444 ... . ще бъде правилно да запишете като 3, (4) , и 76, 134134134134 ... - като 76, (134) .

Като цяло, записи с множество периоди в скоби ще имат абсолютно същото значение: например периодичната дроб 0,677777 е същата като 0,6 (7) и 0,6 (77) и т.н. Записи като 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) и други също са разрешени.

За да избегнем грешки, въвеждаме еднаквост на нотацията. Нека се съгласим да напишем само една точка (най-кратката възможна последователност от цифри), която е най-близо до десетичната запетая и да я поставим в скоби.

Тоест, за горната фракция ще считаме записа 0, 6 (7) за основен и, например, в случай на дроб 8, 9134343434, ще напишем 8, 91 (34) .

Ако знаменателят на обикновена дроб съдържа прости множители, които не са равни на 5 и 2, тогава при преобразуване в десетична система от тях ще се получат безкрайни дроби.

По принцип можем да запишем всяка крайна дроб като периодична. За да направим това, просто трябва да добавим безкраен брой нули отдясно. Как изглежда на запис? Да кажем, че имаме крайна дроб 45, 32. В периодична форма ще изглежда като 45 , 32 (0) . Това действие е възможно, защото добавянето на нули отдясно на която и да е десетична дроб ни дава като резултат дроб, равна на нея.

Отделно трябва да се спрем на периодични дроби с период 9, например 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Те са алтернативен запис за подобни дроби с период 0, така че често се заменят, когато се записват с дроби с нулев период. В същото време единица се добавя към стойността на следващата цифра и (0) се посочва в скоби. Равенството на получените числа се проверява лесно, като се представят като обикновени дроби.

Например дробта 8, 31 (9) може да бъде заменена със съответната дроб 8, 32 (0). Или 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Безкрайните десетични периодични дроби са рационални числа. С други думи, всяка периодична дроб може да бъде представена като обикновена дроб и обратно.

Има и дроби, в които няма безкрайно повтаряща се последователност след десетичната запетая. В този случай те се наричат ​​непериодични дроби.

Определение 4

Непериодичните десетични дроби включват онези безкрайни десетични дроби, които не съдържат точка след десетичната запетая, т.е. повтаряща се група от числа.

Понякога непериодичните дроби изглеждат много подобни на периодичните. Например 9 , 03003000300003 ... на пръв поглед изглежда, че има точка, но подробен анализдесетични знаци потвърждава, че това все още е непериодична дроб. Трябва да сте много внимателни с числа като това.

Непериодичните дроби са ирационални числа. Те не се преобразуват в обикновени дроби.

Основни операции с десетични знаци

Следните операции могат да се извършват с десетични дроби: сравнение, изваждане, събиране, деление и умножение. Нека анализираме всеки от тях поотделно.

Сравняването на десетични числа може да се сведе до сравняване на обикновени дроби, които съответстват на оригиналните десетични знаци. Но безкрайните непериодични дроби не могат да бъдат сведени до тази форма и превръщането на десетични дроби в обикновени често е трудоемка задача. Как бързо да извършим сравнително действие, ако трябва да го направим в процеса на решаване на проблема? Удобно е да сравняваме десетични дроби по цифри по същия начин, както сравняваме естествените числа. Ще посветим отделна статия на този метод.

За да добавите една десетична дроб към друга, е удобно да използвате метода за събиране на колони, както при естествените числа. За да добавите периодични десетични дроби, първо трябва да ги замените с обикновени и да броите според стандартна схема. Ако според условията на задачата трябва да съберем безкрайни непериодични дроби, тогава първо трябва да ги закръглим до определена цифра и след това да ги съберем. Колкото по-малка е цифрата, до която закръгляме, толкова по-висока ще бъде точността на изчислението. За изваждане, умножение и деление на безкрайни дроби също е необходимо предварително закръгляване.

Намирането на разликата на десетичните дроби е обратното на събирането. Всъщност с помощта на изваждане можем да намерим число, чиято сума с извадената дроб ще ни даде намалената. Ще говорим за това по-подробно в отделна статия.

Умножението на десетични дроби се извършва по същия начин, както при естествените числа. Методът на изчисление по колона също е подходящ за това. Отново свеждаме това действие с периодични дроби до умножение на обикновени дроби по вече изучените правила. Безкрайните дроби, както си спомняме, трябва да бъдат закръглени преди броене.

Процесът на деление на десетични числа е обратен на процеса на умножение. Когато решаваме задачи, ние също използваме преброяване на колони.

Можете да зададете точно съответствие между крайната десетична точка и точка на координатната ос. Нека да разберем как да маркираме точка на оста, която точно ще съответства на необходимата десетична дроб.

Вече проучихме как да конструираме точки, съответстващи на обикновени дроби, а десетичните дроби могат да бъдат сведени до тази форма. Например обикновена дроб 14 10 е същата като 1 , 4 , така че точката, съответстваща на нея, ще бъде отстранена от началото в положителна посока на точно същото разстояние:

Можете да направите, без да замените десетичната дроб с обикновена и да вземете метода за разширяване на цифрите като основа. Така че, ако трябва да маркираме точка, чиято координата ще бъде равна на 15 , 4008 , тогава първо ще представим това число като сума 15 + 0 , 4 + , 0008 . Като начало отделяме 15 цели единични сегмента в положителна посока от началото, след това 4 десети от един сегмент и след това 8 десетхилядни от един сегмент. В резултат на това ще получим координатна точка, която съответства на фракцията 15, 4008.

За безкрайна десетична дроб е по-добре да използвате този конкретен метод, тъй като той ви позволява да се приближите до желаната точка толкова близо, колкото искате. В някои случаи е възможно да се изгради точно съответствие на безкрайна фракция на координатната ос: например 2 = 1, 41421. . . , и тази фракция може да бъде свързана с точка от координатния лъч, отдалечена от 0 с дължината на диагонала на квадрата, чиято страна ще бъде равна на един сегмент.

Ако намерим не точка на оста, а десетична дроб, съответстваща на нея, тогава това действие се нарича десетично измерване на сегмента. Нека видим как да го направим правилно.

Да предположим, че трябва да стигнем от нула до дадена точка на координатната ос (или да се приближим възможно най-близо в случай на безкрайна дроб). За да направим това, постепенно отделяме сегменти от единица от началото, докато стигнем до желана точка. След цели сегменти, ако е необходимо, измерваме десети, стотни и по-малки части, така че съответствието да е възможно най-точно. В резултат на това получихме десетична дроб, която съответства на дадена точка на координатната ос.

По-горе дадохме снимка с точка М. Погледнете го отново: за да стигнете до тази точка, трябва да измерите един сегмент от нулата и четири десети от нея, тъй като тази точка съответства на десетичната дроб 1, 4.

Ако не можем да уцелим точка в процеса на десетично измерване, това означава, че на нея съответства безкрайна десетична дроб.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Като:

± d m … д 1 д 0 , д -1 д -2 …

където ± е знакът за дроб: или +, или -,

, - десетична точка, която служи като разделител между целите и дробните части на числото,

dk- десетични цифри.

В същото време редът на цифрите преди запетаята (вляво от нея) има край (като min 1-на цифра), а след запетаята (вдясно) може да бъде краен (като опция, може изобщо да няма цифри след запетаята) и безкрайно.

Десетична стойност ± d m … д 1 д 0 , д -1 д -2 … е реално число:

което е равно на сумата от краен или безкраен брой членове.

Представянето на реални числа с помощта на десетични дроби е обобщение на записа на цели числа в десетичната бройна система. Десетичното представяне на цяло число няма цифри след десетичната запетая и следователно това представяне изглежда така:

± d m … д 1 д 0 ,

И това съвпада със записа на нашето число в десетичната бройна система.

десетична - това е резултатът от разделянето на 1 на 10, 100, 1000 и така нататък. Тези дроби са доста удобни за изчисления, т.к те се основават на същата позиционна система, върху която са изградени броенето и записването на цели числа. Поради това записът и правилата за десетичните дроби са почти същите като за целите числа.

Когато пишете десетични дроби, не е необходимо да отбелязвате знаменателя, той се определя от мястото, което заема съответната цифра. Първо напишете цялата част от числото, след което поставете десетична запетая отдясно. Първата цифра след десетичната запетая показва броя на десетите, втората - броя на стотните, третата - броя на хилядните и т.н. Числата след десетичната запетая са десетични знаци.

Например:

Едно от предимствата на десетичните дроби е, че те могат много лесно да се преобразуват в обикновени дроби: числото след десетичната запетая (нашето е 5047) е числител; знаменателравно на нстепен 10, където н- броят на десетичните знаци (имаме това n=4):

Когато в десетичната дроб няма цяло число, тогава поставяме нула пред десетичната запетая:

Свойства на десетичните дроби.

1. Десетичният знак не се променя, когато се добавят нули отдясно:

13.6 =13.6000.

2. Десетичният знак не се променя, когато нулите, които са в края на десетичния знак, се премахнат:

0.00123000 = 0.00123.

внимание!Нулите, които НЕ са в края на десетичната запетая, не трябва да се премахват!

3. Десетичната дроб се увеличава с 10, 100, 1000 и т.н. пъти, когато преместим десетичната запетая съответно на 1-добре, 2, 2 и така нататък вдясно:

3,675 → 367,5 (фракцията се е увеличила сто пъти).

4. Десетичната дроб става по-малка от десет, сто, хиляда и така нататък, когато преместим десетичната запетая съответно на 1, 2, 3 и така нататък вляво:

1536.78 → 1.53678 (фракцията е станала хиляда пъти по-малка).

Видове десетични знаци.

Десетичните знаци се делят на финал, безкраенИ периодични десетични знаци.

Краен десетичен знак -това е дроб, съдържащ краен брой цифри след десетичната запетая (или изобщо ги няма), т.е. изглежда така:

Едно реално число може да бъде представено като крайна десетична дроб само ако това число е рационално и когато е написано като несъкратима дроб p/qзнаменател рняма прости делители, различни от 2 и 5.

Безкраен десетичен знак.

Съдържа безкрайно повтаряща се група от цифри, наречени Период. Периодът е изписан в скоби. Например 0,12345123451234512345… = 0.(12345).

Периодичен десетичен знак- това е такава безкрайна десетична дроб, в която последователността от цифри след десетичната точка, започваща от определено място, е периодично повтаряща се група от цифри. С други думи, периодична дробе десетичен знак, който изглежда така:

Такава дроб обикновено се записва накратко така:

Числова група b 1 … b l, което се повтаря, е дробен период, броят на цифрите в тази група е продължителност на периода.

Когато в периодична дроб точката идва веднага след десетичната запетая, тогава дробта е чист периодичен. Когато има числа между запетаята и 1-вата точка, тогава дробта е смесен периодичени група от цифри след десетичната запетая до първия знак за точка - дроб предпериод.

Например, дробта 1,(23) = 1,2323… е чисто периодична, а дробта 0,1(23)=0,12323… е смесена периодична.

Основното свойство на периодичните дроби, поради което се отличават от цялото множество десетични дроби, се крие във факта, че периодичните дроби и само те представляват рационални числа. По-точно се случва следното:

Всяка безкрайна периодична десетична дроб представлява рационално число. Обратно, когато едно рационално число се разложи на безкрайна десетична дроб, тогава тази дроб ще бъде периодична.

вече в начално училищеучениците се занимават с дроби. И тогава се появяват във всяка тема. Невъзможно е да забравите действия с тези числа. Следователно трябва да знаете цялата информация за обикновените и десетичните дроби. Тези концепции са прости, основното е да разберете всичко в ред.

Защо са необходими дроби?

Светът около нас се състои от цели обекти. Следователно няма нужда от акции. Но ежедневиетопостоянно тласка хората да работят с части от предмети и неща.

Например, шоколадът се състои от няколко резена. Помислете за ситуацията, в която неговата плочка е образувана от дванадесет правоъгълника. Ако го разделите на две, получавате 6 части. Ще бъде добре разделена на три. Но петимата няма да могат да дадат цял ​​брой резени шоколад.

Между другото, тези резени вече са дроби. И по-нататъшното им разделяне води до появата на по-сложни числа.

Какво е "фракция"?

Това е число, състоящо се от части на едно. Външно изглежда като две числа, разделени с хоризонтална или наклонена черта. Тази характеристика се нарича фракционна. Числото, написано отгоре (вляво), се нарича числител. Този отдолу (вдясно) е знаменателят.

Всъщност дробната черта се оказва знак за деление. Тоест числителят може да се нарече дивидент, а знаменателят - делител.

Какво представляват дробите?

В математиката има само два вида от тях: обикновени и десетични дроби. Учениците се запознават с първите в началните класове, наричайки ги просто „дроби“. Вторите учат в 5 клас. Тогава се появяват тези имена.

Обикновени дроби са всички тези, които са записани като две числа, разделени с черта. Например 4/7. Десетично е число, в което дробната част има позиционен запис и е отделена със запетая от цялото число. Например 4.7. Учениците трябва да са наясно, че двата дадени примера са напълно различни числа.

Всяка проста дроб може да бъде записана като десетична дроб. Това твърдение почти винаги е вярно и обратното. Има правила, които ви позволяват да запишете десетична дроб като обикновена дроб.

Какви подвидове имат тези видове дроби?

По-добре започнете от хронологичен редтъй като те се изучават. На първо място са обикновените дроби. Сред тях могат да се разграничат 5 подвида.

Правилно. Числителят му винаги е по-малък от знаменателя.

погрешно Числителят му е по-голям или равен на знаменателя.

Редуцируем/нередуцируем. Може да е както правилно, така и грешно. Друго нещо е важно дали числителят и знаменателят имат общи множители. Ако има, тогава те трябва да разделят двете части на дробта, тоест да я намалят.

Смесени. Цяло число се присвоява на обичайната му правилна (неправилна) дробна част. И винаги стои отляво.

Композитен. Образува се от две фракции, разделени една на друга. Тоест, той има три дробни характеристики наведнъж.

Десетичните числа имат само два подвида:

окончателен, т.е. този, в който дробната част е ограничена (има край);

infinite - число, чиито цифри след десетичната запетая не завършват (могат да се пишат безкрайно).

Как да преобразувам десетични числа в обикновени?

Ако това е крайно число, тогава се прилага асоциация по правилото - както чувам, така и пиша. Тоест, трябва да го прочетете правилно и да го запишете, но без запетая, но с дробна черта.

Като намек за необходимия знаменател, не забравяйте, че той винаги е една и няколко нули. Последните трябва да бъдат записани толкова, колкото са цифрите в дробната част на въпросното число.

Как да конвертирате десетични дроби в обикновени, ако цялата им част липсва, тоест е равна на нула? Например 0,9 или 0,05. След прилагане на посоченото правило се оказва, че трябва да напишете нула цели числа. Но не е посочено. Остава да запишем само дробните части. За първото число знаменателят ще бъде 10, за второто - 100. Тоест посочените примери ще имат числа като отговори: 9/10, 5/100. Освен това последното се оказва възможно да се намали с 5. Следователно резултатът за него трябва да бъде записан 1/20.

Как да направим обикновена дроб от десетична, ако цялата й част е различна от нула? Например 5,23 или 13,00108. И двата примера четат цялата част и записват нейната стойност. В първия случай това е 5, във втория 13. След това трябва да преминете към дробната част. С тях е необходимо да се извърши същата операция. Първото число има 23/100, второто има 108/100000. Втората стойност трябва да се намали отново. Отговорът е смесени дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как да преобразувам безкраен десетичен знак в обикновена дроб?

Ако е непериодично, тогава такава операция не може да се извърши. Този факт се дължи на факта, че всяка десетична дроб винаги се преобразува или в крайна, или в периодична.

Единственото нещо, което е позволено да се направи с такава дроб е да се закръгли. Но тогава десетичната запетая ще бъде приблизително равна на тази безкрайност. Вече може да се превърне в обикновен. Но обратният процес: преобразуване в десетична - никога няма да даде първоначалната стойност. Тоест безкрайните непериодични дроби не се превеждат в обикновени дроби. Това трябва да се помни.

Как да напишем безкрайна периодична дроб под формата на обикновена?

В тези числа след десетичната запетая винаги се появяват една или повече цифри, които се повтарят. Те се наричат ​​периоди. Например 0,3(3). Тук "3" в периода. Те се класифицират като рационални, тъй като могат да бъдат превърнати в обикновени дроби.

Тези, които са се сблъсквали с периодични фракции, знаят, че те могат да бъдат чисти или смесени. В първия случай точката започва веднага от запетаята. Във втория дробната част започва с произволни числа и след това започва повторението.

Правилото, по което трябва да напишете безкраен десетичен знак под формата на обикновена дроб, ще бъде различно за тези два вида числа. Доста лесно е да напишете чисти периодични дроби като обикновени дроби. Както при последните, те трябва да бъдат преобразувани: запишете точката в числителя, а числото 9 ще бъде знаменателят, като се повтаря толкова пъти, колкото цифри има в периода.

Например 0,(5). Числото няма цяло число, така че трябва незабавно да преминете към дробната част. В числителя напишете 5, а в знаменателя - 9. Тоест отговорът ще бъде дробта 5/9.

Правило как да напишете обикновена десетична дроб, която е смесена дроб.

Вижте продължителността на периода. Толкова 9 ще има знаменател.

Запишете знаменателя: първо деветки, след това нули.

За да определите числителя, трябва да напишете разликата на две числа. Всички цифри след десетичната запетая ще бъдат намалени, заедно с точката. Изважда се - без точка е.

Например 0,5(8) - запишете периодичната десетична дроб като обикновена дроб. Дробната част преди точката е една цифра. Така че нула ще бъде едно. В периода също има само една цифра - 8. Тоест има само една деветка. Тоест трябва да напишете 90 в знаменателя.

За да определите числителя от 58, трябва да извадите 5. Получава се 53. Например ще трябва да напишете 53/90 като отговор.

Как се преобразуват обикновените дроби в десетични?

от най-много прост вариантсе оказва числото, в чийто знаменател е числото 10, 100 и т.н. Тогава знаменателят просто се изхвърля и се поставя запетая между дробната и целочислената част.

Има ситуации, когато знаменателят лесно се превръща в 10, 100 и т.н. Например числата 5, 20, 25. Достатъчно е да ги умножите съответно по 2, 5 и 4. Само е необходимо да се умножи не само знаменателят, но и числителят с едно и също число.

За всички останали случаи ще ви бъде полезно едно просто правило: разделете числителя на знаменателя. В този случай можете да получите два отговора: крайна или периодична десетична дроб.

Действия с обикновени дроби

Събиране и изваждане

Учениците ги опознават по-рано от останалите. И отначало дробите имат еднакви знаменатели, а след това различни. Общи правиламоже да се сведе до такъв план.

Намерете най-малкото общо кратно на знаменателите.

Напишете допълнителни множители към всички обикновени дроби.

Умножете числителите и знаменателите по факторите, дефинирани за тях.

Добавете (извадете) числителите на дробите и оставете общия знаменател непроменен.

Ако числителят на умаляваното е по-малък от изваждаемото, тогава трябва да разберете дали имаме смесено число или правилна дроб.

В първия случай целочислената част трябва да вземе единица. Добавете знаменател към числителя на дроб. И след това направете изваждането.

Във втория - е необходимо да се приложи правилото за изваждане от по-малко число към по-голямо. Тоест, извадете модула на умаляваното от модула на изважданото и поставете знака „-“ в отговор.

Погледнете внимателно резултата от събирането (изваждането). Ако получите неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част. Тоест, разделете числителя на знаменателя.

Умножение и деление

За тяхното прилагане не е необходимо дробите да се свеждат до общ знаменател. Това улеснява предприемането на действия. Но все пак трябва да спазват правилата.

Когато умножавате обикновени дроби, е необходимо да вземете предвид числата в числителите и знаменателите. Ако някой числител и знаменател имат общ множител, тогава те могат да бъдат намалени.

Умножете числителите.

Умножете знаменателите.

Ако получите редуцируема дроб, тогава тя трябва да бъде опростена отново.

Когато делите, първо трябва да замените делението с умножение, а делителя (втора дроб) с реципрочна (разменете числителя и знаменателя).

След това продължете както при умножението (започвайки от точка 1).

В задачи, в които трябва да умножите (делите) с цяло число, последното се предполага, че се записва като неправилна дроб. Тоест със знаменател 1. След това продължете както е описано по-горе.



Операции с десетични знаци

Събиране и изваждане

Разбира се, винаги можете да превърнете десетичната дроб в обикновена дроб. И действайте според вече описания план. Но понякога е по-удобно да се действа без този превод. Тогава правилата за тяхното събиране и изваждане ще бъдат абсолютно еднакви.

Изравнете броя на цифрите в дробната част на числото, тоест след десетичната запетая. Задайте липсващия брой нули в него.

Напишете дробите така, че запетаята да е под запетаята.

Добавяне (изваждане) като естествени числа.

Махнете запетаята.

Умножение и деление

Важно е, че не е необходимо да добавяте нули тук. Предполага се, че дробите се оставят така, както са дадени в примера. И след това вървете по план.

За умножение трябва да напишете дроби една под друга, без да обръщате внимание на запетаите.

Умножете като естествени числа.

Поставете запетая в отговора, като преброите от десния край на отговора толкова цифри, колкото са в дробните части на двата фактора.

За да разделите, първо трябва да преобразувате делителя: направете го естествено число. Тоест, умножете го по 10, 100 и т.н., в зависимост от това колко цифри има в дробната част на делителя.

Умножете дивидента по същото число.

Разделете десетичната запетая на естествено число.

Поставете запетая в отговора в момента, в който приключи разделянето на цялата част.



Ами ако в един пример има и двата вида дроби?

Да, в математиката често има примери, в които трябва да извършвате операции с обикновени и десетични дроби. Има две възможни решения на тези проблеми. Трябва обективно да претеглите числата и да изберете най-доброто.

Първи начин: представя обикновени десетични знаци

Подходящо е, ако при разделяне или преобразуване се получат крайни фракции. Ако поне едно число дава периодична част, тогава тази техника е забранена. Следователно, дори и да не обичате да работите с обикновени дроби, ще трябва да ги преброите.

Вторият начин: напишете десетичните дроби като обикновени

Тази техника е удобна, ако има 1-2 цифри в частта след десетичната запетая. Ако има повече от тях, може да се получи много голяма обикновена дроб и десетичните записи ще ви позволят да изчислите задачата по-бързо и по-лесно. Следователно винаги е необходимо трезво да се оцени задачата и да се избере най-простият метод за решение.

Дроби, записани във формата 0,8; 0,13; 2,856; 5.2; 0,04 се нарича десетична. Всъщност десетичните дроби са опростено представяне на обикновените дроби. Тази нотация е удобна за използване за всички дроби, чиито знаменатели са 10, 100, 1000 и т.н.

Разгледайте примери (0,5 се чете като нула точка пет);

(0,15 се чете като нула цяло петнадесет стотни);

(5.3 се чете като пет точка три).

Имайте предвид, че в записа на десетична дроб запетая разделя цялата част на числото от дробната, цялата част на правилната дроб е 0. Записът на дробната част на десетичната дроб съдържа толкова цифри, колкото има са нули в знаменателя на съответната обикновена дроб.

Помислете за пример, , , .

В някои случаи може да се наложи естественото число да се разглежда като десетична дроб, в която дробната част е равна на нула. Обичайно е да се записва, че 5 = 5,0; 245 = 245,0 и така нататък. Имайте предвид, че в десетичния запис на естествено число единицата на най-малката цифра е 10 пъти по-малка от единицата на съседната най-значима цифра. Десетичните дроби имат същото свойство. Следователно веднага след десетичната запетая идва десетото място, след това стотното място, след това хилядната позиция и т.н. По-долу са имената на цифрите на числото 31.85431, първите две колони са цялата част, останалите колони са дробната част.

Тази дроб се чете като тридесет и едно цяло осемдесет и пет хиляди четиристотин тридесет и една стохилядна.

Събиране и изваждане на десетични знаци

Първият начин е да преобразувате десетичните числа в общи и да ги добавите.

Както се вижда от примера, този метод е много неудобен и е по-добре да използвате втория метод, който е по-правилен, без да преобразувате десетични дроби в обикновени. За да добавите два знака след десетичната запетая:

• изравняват броя на цифрите след десетичната запетая в термините;
• запишете термините един под друг, така че всяка цифра от втория член да е под съответната цифра от първия член;
• съберете получените числа по същия начин, както добавяте естествени числа;
• поставете запетая под запетаите в термините в получената сума.

Помислете за примери:

• изравняване на намаления и извадения брой цифри след десетичната запетая;
• запишете субтрахенда под умаляваното, така че всеки бит от умаляваното да е под съответния бит на умаляваното;
• извадете по същия начин, както се изваждат естествените числа;
• поставете запетая под запетаите в умаляваното и изважданото в получената разлика.

Помислете за примери:

В примерите, обсъдени по-горе, може да се види, че събирането и изваждането на десетични дроби се извършва малко по малко, тоест по същия начин, както извършвахме подобни операции с естествени числа. Това е основното предимство на десетичния запис на дробите.

Десетично умножение

За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000 и т.н., е необходимо да преместите запетаята надясно в тази дроб съответно с 1, 2, 3 и т.н. числата. Следователно, ако запетаята се премести надясно с 1, 2, 3 и така нататък числа, тогава фракцията ще се увеличи съответно с 10, 100, 1000 и така нататък пъти. За да умножите два знака след десетичната запетая:

• умножете ги като естествени числа, като игнорирате запетаите;
• в получения продукт отделете със запетая отдясно толкова цифри, колкото има след запетаите в двата фактора заедно.

Има случаи, когато продуктът съдържа по-малко цифри от необходимото за разделяне със запетая, необходимият брой нули се добавят вляво преди този продукт и след това запетаята се премества вляво с необходимия брой цифри.

Помислете за примери: 2 * 4 = 8, след това 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, тогава 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Има случаи, когато един от факторите е равен на 0,1; 0,01; 0,001 и така нататък, по-удобно е да използвате следното правило.

• За да умножите десетична запетая по 0,1; 0,01; 0,001 и т.н., е необходимо да преместите запетаята вляво в тази десетична дроб съответно с 1, 2, 3 и така нататък числа.

Помислете за примери: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Свойствата за умножение на естествените числа важат и за десетичните дроби.

• ab=ba- комутативно свойство на умножението;
• (ab)c = a(bc)- асоциативно свойство на умножението;
• a (b + c) = ab + acе разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането.

Десетично деление

Известно е, че ако разделим естествено число адо естествено число bозначава да се намери такова естествено число ° С, което, когато се умножи по bдава номер а. Това правило остава вярно, ако поне едно от числата a, b, cе десетичен знак.

Помислете за пример, искате да разделите 43,52 на 17 ъгъла, като игнорирате запетаята. В този случай запетаята в частното трябва да се постави непосредствено преди първата цифра след десетичната запетая в използвания дивидент.

Има случаи, когато дивидентът е по-малък от делителя, тогава цялата част от частното е равна на нула. Помислете за пример:

Нека да разгледаме друг интересен пример.

Процесът на разделяне е спрян, защото числата на дивидента са свършили, а остатъкът не е получил нула. Известно е, че десетичната дроб няма да се промени, ако вдясно й се присвои произволен брой нули. Тогава става ясно, че числата на дивидента нямат край.

За да разделите десетична дроб на 10, 100, 1000 и т.н., е необходимо да преместите десетичната запетая наляво в тази дроб с 1, 2, 3 и т.н. числа. Помислете за пример: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0,02; 37,51 : 1000 = 0,03751.

Ако дивидентът и делителят се увеличат едновременно с 10, 100, 1000 и така нататък пъти, тогава частното няма да се промени.

Нека разгледаме един пример: 39,44: 1,6 = 24,65 нека увеличим дивидента и делителя с 10 пъти 394,4: 16 = 24,65 Справедливо е да се отбележи, че е по-лесно да се раздели десетична дроб на естествено число във втория пример.

За да разделите десетичен знак на десетичен знак, трябва:

• преместете запетаите в делителя и в делителя надясно с толкова цифри, колкото се съдържат след десетичната запетая в делителя;
• дели на естествено число.

Помислете за пример: 23,6: 0,02 имайте предвид, че има два знака след десетичната запетая в делителя, следователно умножаваме и двете числа по 100 и получаваме 2360: 2 = 1180, разделяме резултата на 100 и получаваме отговора 11,80 или 23,6: 0, 02 = 11,8.

Десетично сравнение

Има два начина за сравняване на десетични числа. Метод първи, трябва да сравните две десетични дроби 4.321 и 4.32, да изравните броя на десетичните знаци и да започнете да сравнявате малко по малко, десети с десети, стотни със стотни и т.н., като резултат получаваме 4.321\u003e 4.320.

Вторият начин за сравняване на десетични дроби се извършва с помощта на умножение, умножете горния пример по 1000 и сравнете 4321\u003e 4320. Кой метод е по-удобен, всеки избира за себе си.