Изследване на функция с подробно решение. Как да изследвате функция и да я начертаете

Една от най-важните задачи на диференциалното смятане е развитието често срещани примериизследвания на поведението на функциите.

Ако функцията y = f (x) е непрекъсната на интервала и нейната производна е положителна или равна на 0 в интервала (a, b), тогава y = f (x) се увеличава с (f "(x) 0). Ако функцията y \u003d f (x) е непрекъсната на сегмента и нейната производна е отрицателна или равна на 0 на интервала (a,b), тогава y=f(x) намалява с (f"( x)0)

Интервалите, в които функцията не намалява или не се увеличава, се наричат ​​интервали на монотонност на функцията. Естеството на монотонността на функцията може да се промени само в онези точки от нейната област на дефиниране, в които се променя знакът на първата производна. Точките, в които първата производна на функция изчезва или се прекъсва, се наричат ​​критични точки.

Теорема 1 (1-во достатъчно условие за съществуване на екстремум).

Нека функцията y=f(x) е дефинирана в точката x 0 и нека има квартал δ>0, така че функцията да е непрекъсната на отсечката , диференцируема в интервала (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) и неговата производна запазва постоянен знак на всеки от тези интервали. Тогава ако на x 0 -δ, x 0) и (x 0, x 0 + δ) знаците на производната са различни, тогава x 0 е точка на екстремум и ако съвпадат, тогава x 0 не е точка на екстремум . Освен това, ако при преминаване през точката x0 производната смени знака от плюс на минус (вляво от x 0 се изпълнява f "(x)> 0, тогава x 0 е максималната точка; ако производната смени знака от минус до плюс (вдясно от x 0 се изпълнява от f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Максималните и минималните точки се наричат ​​екстремални точки на функцията, а максимумите и минимумите на функцията се наричат ​​нейни екстремни стойности.

Теорема 2 (необходим критерий за локален екстремум).

Ако функцията y=f(x) има екстремум при текущия x=x 0, тогава или f'(x 0)=0, или f'(x 0) не съществува.
В екстремалните точки на диференцируема функция допирателната към нейната графика е успоредна на оста Ox.

Алгоритъм за изследване на функция за екстремум:

1) Намерете производната на функцията.
2) Намерете критични точки, т.е. точки, където функцията е непрекъсната и производната е нула или не съществува.
3) Разгледайте околността на всяка от точките и разгледайте знака на производната отляво и отдясно на тази точка.
4) Определете координатите на крайните точки, за тази стойност на критичните точки, заместете в тази функция. Използвайки достатъчни екстремни условия, направете подходящи заключения.

Пример 18. Изследвайте функцията y=x 3 -9x 2 +24x

Решение.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Приравнявайки производната към нула, намираме x 1 =2, x 2 =4. В този случай производната е дефинирана навсякъде; следователно, освен двете намерени точки, няма други критични точки.
3) Знакът на производната y "=3(x-2)(x-4) се променя в зависимост от интервала, както е показано на фигура 1. При преминаване през точка x=2, производната променя знака от плюс на минус, а при преминаване през точката x=4 - от минус към плюс.
4) В точка x=2 функцията има максимум y max =20, а в точка x=4 - минимум y min =16.

Теорема 3. (2-ро достатъчно условие за съществуване на екстремум).

Нека f "(x 0) и f "" (x 0) съществуват в точката x 0. Тогава, ако f "" (x 0)> 0, тогава x 0 е минималната точка, а ако f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

На сегмента функцията y \u003d f (x) може да достигне най-малката (най-малко) или най-голямата (най-много) стойност или в критичните точки на функцията, лежаща в интервала (a; b), или в краищата на сегмента.

Алгоритъмът за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция y=f(x) на сегмента:

1) Намерете f "(x).
2) Намерете точките, в които f "(x) = 0 или f" (x) - не съществува, и изберете от тях тези, които лежат вътре в сегмента.
3) Изчислете стойността на функцията y \u003d f (x) в точките, получени в параграф 2), както и в краищата на сегмента и изберете най-големия и най-малкия от тях: те са съответно най-големите ( за най-големите) и най-малките (за най-малките) стойности на функцията на интервала .

Пример 19. Намерете най-голямата стойност на непрекъсната функция y=x 3 -3x 2 -45+225 на отсечката .

1) Имаме y "=3x 2 -6x-45 на сегмента
2) Производната y" съществува за всички x. Нека намерим точките, където y"=0; получаваме:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Изчислете стойността на функцията в точките x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Само точката x=5 принадлежи на отсечката. Най-голямата от намерените стойности на функцията е 225, а най-малката е числото 50. И така, при max = 225, при max = 50.

Изследване на функция върху изпъкналост

Фигурата показва графиките на две функции. Първият от тях е обърнат с издутина нагоре, вторият - с издутина надолу.

Функцията y=f(x) е непрекъсната на сегмент и диференцируема в интервала (a;b), се нарича изпъкнала нагоре (надолу) на този сегмент, ако за axb нейната графика лежи не по-високо (не по-ниско) от допирателна, начертана във всяка точка M 0 (x 0 ;f(x 0)), където axb.

Теорема 4. Нека функцията y=f(x) има втора производна във всяка вътрешна точка x на отсечката и е непрекъсната в краищата на този сегмент. Тогава, ако неравенството f""(x)0 е изпълнено на интервала (a;b), тогава функцията е изпъкнала надолу на отсечката ; ако неравенството f""(x)0 е изпълнено на интервала (а;b), тогава функцията е изпъкнала нагоре на .

Теорема 5. Ако функцията y = f (x) има втора производна на интервала (a; b) и ако промени знака при преминаване през точката x 0, тогава M (x 0 ; f (x 0)) е преклонна точка.

Правило за намиране на точки на огъване:

1) Намерете точки, където f""(x) не съществува или изчезва.
2) Разгледайте знака f""(x) отляво и отдясно на всяка точка, намерена на първата стъпка.
3) Въз основа на теорема 4 направете заключение.

Пример 20. Намерете точките на екстремум и точките на инфлексия на графиката на функциите y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Имаме f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Очевидно f"(x)=0 за x 1 =0, x 2 =1. Производната при преминаване през точка x=0 сменя знака от минус на плюс, а при преминаване през точка x=1 не сменя знака. Това означава, че x=0 е минималната точка (y min =12) и няма екстремум в точката x=1. След това намираме . Втората производна изчезва в точките x 1 =1, x 2 =1/3. Знаците на втората производна се променят както следва: На лъча (-∞;) имаме f""(x)>0, на интервала (;1) имаме f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Следователно, x= е точката на прегъване на графиката на функцията (преход от изпъкналост надолу към изпъкналост нагоре) и x=1 също е точка на инфлексия (преход от изпъкналост нагоре към изпъкналост надолу). Ако x=, тогава y= ; ако, тогава x=1, y=13.

Алгоритъм за намиране на асимптотата на графика

I. Ако y=f(x) като x → a , тогава x=a е вертикална асимптота.
II. Ако y=f(x) като x → ∞ или x → -∞, тогава y=A е хоризонталната асимптота.
III. За да намерим наклонената асимптота, използваме следния алгоритъм:
1) Изчислете. Ако границата съществува и е равна на b, тогава y=b е хоризонталната асимптота; ако , тогава преминете към втората стъпка.
2) Изчислете. Ако тази граница не съществува, тогава няма асимптота; ако съществува и е равно на k, тогава преминете към третата стъпка.
3) Изчислете. Ако тази граница не съществува, тогава няма асимптота; ако съществува и е равно на b, тогава преминете към четвъртата стъпка.
4) Запишете уравнението на наклонената асимптота y=kx+b.

Пример 21: Намерете асимптота за функция

1)
2)
3)
4) Уравнението на наклонената асимптота има вида

Схемата за изследване на функцията и построяването на нейната графика

I. Намерете домейна на функцията.
II. Намерете пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.
III. Намерете асимптоти.
IV. Намерете точки на възможен екстремум.
V. Намерете критични точки.
VI. Използвайки спомагателния чертеж, изследвайте знака на първата и втората производни. Определете областите на нарастване и намаляване на функцията, намерете посоката на изпъкналостта на графиката, точките на екстремум и точките на прегъване.
VII. Изградете графика, като вземете предвид проучването, проведено в параграфи 1-6.

Пример 22: Начертайте графика на функцията съгласно горната схема

Решение.
I. Доменът на функцията е множеството от всички реални числа, с изключение на x=1.
II. Тъй като уравнението x 2 +1=0 няма реални корени, то графиката на функцията няма пресечни точки с оста Ox, а пресича оста Oy в точката (0; -1).
III. Нека изясним въпроса за съществуването на асимптоти. Изследваме поведението на функцията близо до точката на прекъсване x=1. Тъй като y → ∞ за x → -∞, y → +∞ за x → 1+, то правата x=1 е вертикална асимптота на графиката на функцията.
Ако x → +∞(x → -∞), тогава y → +∞(y → -∞); следователно графиката няма хоризонтална асимптота. Освен това от съществуването на граници

Решавайки уравнението x 2 -2x-1=0, получаваме две точки от възможен екстремум:
x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2

V. За да намерим критичните точки, изчисляваме втората производна:

Тъй като f""(x) не изчезва, няма критични точки.
VI. Изследваме знака на първата и втората производни. Възможни точки на екстремум, които трябва да се вземат предвид: x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2, разделете областта на съществуване на функцията на интервали (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) и (1+√2;+∞).

Във всеки от тези интервали производната запазва знака си: в първия - плюс, във втория - минус, в третия - плюс. Последователността от знаци на първата производна ще бъде записана, както следва: +, -, +.
Получаваме, че функцията на (-∞;1-√2) нараства, на (1-√2;1+√2) намалява и на (1+√2;+∞) се увеличава отново. Точки на екстремум: максимум при x=1-√2, освен това f(1-√2)=2-2√2 минимум при x=1+√2, освен това f(1+√2)=2+2√2. На (-∞;1) графиката е изпъкнала нагоре, а на (1;+∞) - надолу.
VII Нека направим таблица на получените стойности

VIII Въз основа на получените данни изграждаме скица на графиката на функцията

Опорните точки при изследването на функциите и построяването на техните графики са характерни точки - точки на прекъсване, екстремум, прегъване, пресичане с координатните оси. С помощта на диференциално смятане е възможно да се установят характерните особености на промяната на функциите: увеличение и намаляване, максимуми и минимуми, посоката на изпъкналост и вдлъбнатина на графиката, наличие на асимптоти.

Скица на графиката на функциите може (и трябва) да бъде скицирана след намиране на асимптотите и точките на екстремум, като е удобно да се попълни обобщената таблица на изследването на функцията в хода на изследването.

Обикновено се използва следната схема за изследване на функциите.

1.Намерете домейна, интервалите на непрекъснатост и точките на прекъсване на функция.

2.Разгледайте функцията за четно или нечетно (аксиална или централна симетрия на графиката.

3.Намерете асимптоти (вертикални, хоризонтални или наклонени).

4.Намерете и изследвайте интервалите на нарастване и намаляване на функцията, нейните екстремални точки.

5.Намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатина на кривата, нейните точки на огъване.

6.Намерете пресечните точки на кривата с координатните оси, ако съществуват.

7.Съставете обобщена таблица на изследването.

8.Изградете графика, като вземете предвид изследването на функцията, извършено съгласно горните точки.

Пример.Изследване на функция

и го начертайте.

7. Нека направим обобщена таблица на изследването на функцията, където ще въведем всички характерни точки и интервалите между тях. Като се има предвид четността на функцията, получаваме следната таблица:

Днес ви каним да изследвате и начертаете функционална графика с нас. След внимателно проучване на тази статия, няма да ви се налага да се потите дълго време, за да изпълните този вид задача. Не е лесно да се изследва и изгражда графика на функция, работата е обемна, изисква максимално внимание и точност на изчисленията. За да улесним възприемането на материала, постепенно ще изучаваме една и съща функция, ще обясним всички наши действия и изчисления. Добре дошли в невероятния и завладяващ свят на математиката! Отивам!

домейн

За да проучите и начертаете функция, трябва да знаете няколко дефиниции. Функцията е едно от основните (основни) понятия в математиката. Той отразява зависимостта между няколко променливи (две, три или повече) с промени. Функцията също така показва зависимостта на множествата.

Представете си, че имаме две променливи, които имат определен диапазон на промяна. И така, y е функция на x, при условие че всяка стойност на втората променлива съответства на една стойност на втората. В този случай променливата y е зависима и се нарича функция. Обичайно е да се казва, че променливите x и y са в За по-голяма яснота на тази зависимост се изгражда графика на функцията. Какво е функционална графика? Това е набор от точки в координатната равнина, където всяка стойност на x съответства на една стойност на y. Графиките могат да бъдат различни - права линия, хипербола, парабола, синусоида и т.н.

Графиката на функциите не може да бъде начертана без проучване. Днес ще се научим как да провеждаме изследвания и да начертаем функционална графика. Много е важно да правите бележки по време на изследването. Така ще бъде много по-лесно да се справите със задачата. Най-удобният план за обучение:

1. домейн.
2. Приемственост.
3. Четно или нечетно.
4. Периодичност.
5. Асимптоти.
6. Нули.
7. Постоянство.
8. Възходящо и низходящо.
9. Крайности.
10. Изпъкналост и вдлъбнатост.

Да започнем с първата точка. Нека намерим областта на дефиниция, тоест на какви интервали съществува нашата функция: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). В нашия случай функцията съществува за всякакви стойности на x, тоест домейнът на дефиниция е R. Това може да се запише като xОР.

Приемственост

Сега ще проучим функцията на прекъсване. В математиката терминът "непрекъснатост" се появява в резултат на изучаването на законите на движението. Какво е безкрайно? Пространство, време, някои зависимости (пример е зависимостта на променливите S и t в задачи за движение), температурата на нагрятия обект (вода, тиган, термометър и т.н.), непрекъсната линия (т.е. който може да се нарисува, без да се сваля от листа молив).

Графиката се счита за непрекъсната, ако не се счупи в даден момент. Един от най-очевидните примери за такава графика е синусоида, която можете да видите на снимката в този раздел. Функцията е непрекъсната в някаква точка x0, ако са изпълнени редица условия:

• функция е дефинирана в дадена точка;
• дясната и лявата граница в дадена точка са равни;
• границата е равна на стойността на функцията в точката x0.

Ако поне едно условие не е изпълнено, се казва, че функцията прекъсва. А точките, в които функцията прекъсва, се наричат ​​точки на прекъсване. Пример за функция, която ще се „счупи“, когато се покаже графично, е: y=(x+4)/(x-3). Освен това y не съществува в точката x = 3 (тъй като е невъзможно да се раздели на нула).

Във функцията, която изучаваме (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) всичко се оказа просто, тъй като графиката ще бъде непрекъсната.

Дори странно

Сега разгледайте функцията за паритет. Нека започнем с малко теория. Четна функция е функция, която удовлетворява условието f (-x) = f (x) за всяка стойност на променливата x (от диапазона от стойности). Примери са:

• модул x (графиката изглежда като галка, ъглополовящата на първата и втората четвърт на графиката);
• x на квадрат (парабола);
• косинус x (косинусова вълна).

Имайте предвид, че всички тези графики са симетрични, когато се гледат по отношение на оста y.

Тогава какво се нарича нечетна функция? Това са онези функции, които отговарят на условието: f (-x) \u003d - f (x) за всяка стойност на променливата x. Примери:

• хипербола;
• кубична парабола;
• синусоида;
• допирателна и така нататък.

Моля, имайте предвид, че тези функции са симетрични спрямо точката (0:0), тоест началото. Въз основа на казаното в този раздел на статията, четната и нечетната функция трябва да има свойството: x принадлежи на набора от дефиниции и -x също.

Нека разгледаме функцията за паритет. Виждаме, че тя не отговаря на нито едно от описанията. Следователно нашата функция не е нито четна, нито нечетна.

Асимптоти

Нека започнем с определение. Асимптота е крива, която е възможно най-близка до графиката, тоест разстоянието от някаква точка клони към нула. Има три вида асимптоти:

• вертикално, тоест успоредно на оста y;
• хоризонтално, т.е. успоредно на оста х;
• наклонена.

Що се отнася до първия тип, тези линии трябва да се търсят в някои точки:

• празнина;
• краища на домейна.

В нашия случай функцията е непрекъсната, а областта на дефиниция е R. Следователно няма вертикални асимптоти.

Графиката на функция има хоризонтална асимптота, която отговаря на следното изискване: ако x клони към безкрайност или минус безкрайност, а границата е равна на определено число (например а). В този случай y=a е хоризонталната асимптота. Няма хоризонтални асимптоти във функцията, която изучаваме.

Наклонена асимптота съществува само ако са изпълнени две условия:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Тогава може да се намери по формулата: y=kx+b. Отново в нашия случай няма наклонени асимптоти.

Функционални нули

Следващата стъпка е да разгледаме графиката на функцията за нули. Също така е много важно да се отбележи, че задачата, свързана с намирането на нулите на функция, се среща не само при изследването и изчертаването на графика на функцията, но и като независима задача и като начин за решаване на неравенства. Може да се наложи да намерите нулите на функция на графика или да използвате математическа нотация.

Намирането на тези стойности ще ви помогне да начертаете функцията по-точно. Казано по-просто, нулата на функцията е стойността на променливата x, при която y = 0. Ако търсите нулите на функция на графика, тогава трябва да обърнете внимание на точките, където графиката се пресича с оста x.

За да намерите нулите на функцията, трябва да решите следното уравнение: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. След като направим необходимите изчисления, получаваме следния отговор:

постоянство на знака

Следващият етап в изследването и изграждането на функция (графика) е намирането на интервали на постоянство на знака. Това означава, че трябва да определим на кои интервали функцията приема положителна стойност и на кои интервали приема отрицателна стойност. Нулите на функциите, намерени в предишния раздел, ще ни помогнат да направим това. И така, трябва да изградим права линия (отделно от графиката) и да разпределим нулите на функцията по нея в правилния ред от най-малкото до най-голямото. Сега трябва да определите кой от получените интервали има знак „+“ и кой има „-“.

В нашия случай функцията приема положителна стойност на интервалите:

• от 1 до 4;
• от 9 до безкрайност.

Отрицателно значение:

• от минус безкрайност до 1;
• от 4 до 9.

Това е сравнително лесно да се определи. Заменете произволно число от интервала във функцията и вижте какъв знак е отговорът (минус или плюс).

Възходяща и намаляваща функция

За да проучим и изградим функция, трябва да знаем къде графиката ще се увеличи (нагоре на Oy) и къде ще падне (пълзи надолу по оста y).

Функцията се увеличава само ако по-голямата стойност на променливата x съответства на по-голямата стойност на y. Тоест, x2 е по-голямо от x1, а f(x2) е по-голямо от f(x1). И ние наблюдаваме напълно противоположно явление при намаляваща функция (колкото повече x, толкова по-малко y). За да определите интервалите на увеличение и намаляване, трябва да намерите следното:

• обхват (вече го имаме);
• производна (в нашия случай: 1/3(3x^2-28x+49);
• решете уравнението 1/3(3x^2-28x+49)=0.

След изчисления получаваме резултата:

Получаваме: функцията се увеличава на интервалите от минус безкрайност до 7/3 и от 7 до безкрайност и намалява на интервала от 7/3 до 7.

Крайности

Изследваната функция y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) е непрекъсната и съществува за всякакви стойности на променливата x. Точката на екстремум показва максимума и минимума на тази функция. В нашия случай няма такива, което значително опростява строителната задача. В противен случай те също се намират с помощта на производната функция. След като намерите, не забравяйте да ги маркирате на графиката.

Изпъкналост и вдлъбнатост

Продължаваме да изучаваме функцията y(x). Сега трябва да го проверим за изпъкналост и вдлъбнатост. Определенията на тези понятия са доста трудни за възприемане, по-добре е да анализирате всичко с примери. За теста: функцията е изпъкнала, ако е ненамаляваща функция. Съгласете се, това е неразбираемо!

Трябва да намерим производната на функцията от втори ред. Получаваме: y=1/3(6x-28). Сега приравняваме дясната страна на нула и решаваме уравнението. Отговор: x=14/3. Намерихме точката на огъване, тоест мястото, където графиката се променя от изпъкнала към вдлъбната или обратно. На интервала от минус безкрайност до 14/3 функцията е изпъкнала, а от 14/3 до плюс безкрайност е вдлъбната. Също така е много важно да се отбележи, че точката на огъване на графиката трябва да е гладка и мека, не трябва да има остри ъгли.

Определяне на допълнителни точки

Нашата задача е да изследваме и начертаем графиката на функциите. Завършихме проучването, няма да е трудно да начертаем функцията сега. За по-точно и детайлно възпроизвеждане на крива или права линия в координатната равнина можете да намерите няколко помощни точки. Изчисляването им е доста лесно. Например, вземаме x=3, решаваме полученото уравнение и намираме y=4. Или x=5 и y=-5 и така нататък. Можете да вземете толкова допълнителни точки, колкото са ви необходими за изграждане. Намират се поне 3-5 от тях.

Начертаване

Трябваше да проучим функцията (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Всички необходими маркировки в хода на изчисленията бяха направени върху координатната равнина. Всичко, което остава да се направи, е да се изгради графика, тоест да свържете всички точки една с друга. Свързването на точките е плавно и точно, това е въпрос на умение – малко практика и графикът ви ще бъде перфектен.

За цялостно изследване на функцията и начертаване на нейната графика се препоръчва следната схема:
А) намерете областта на дефиниция, точките на прекъсване; проучете поведението на функцията близо до точките на прекъсване (намерете границите на функцията отляво и отдясно в тези точки). Посочете вертикалните асимптоти.
Б) определете четността или нечетността на функцията и направете заключение за наличието на симетрия. Ако , тогава функцията е четна, симетрична по отношение на оста OY; за , функцията е нечетна, симетрична по отношение на началото; и ако е функция от общ вид.
В) намерете точките на пресичане на функцията с координатните оси OY и OX (ако е възможно), определете интервалите на постоянство на функцията. Границите на интервалите на постоянство на знака на функция се определят от точките, в които функцията е равна на нула (нулите на функцията) или не съществува и от границите на областта на дефиниране на тази функция. В интервалите, където графиката на функцията се намира над оста OX и където - под тази ос.
Г) намерете първата производна на функцията, определете нейните нули и интервали на постоянство. В интервалите, където функцията нараства и където намалява. Направете заключение за наличието на екстремуми (точки, където съществуват функцията и производната и при преминаване през които сменя знака. Ако смени знака от плюс на минус, тогава в този момент функцията има максимум, а ако от минус на плюс, след това минимум). Намерете стойности на функциите в точките на екстремум.
E) намерете втората производна, нейните нули и интервали на постоянство. В интервалите, където< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Д) намерете наклонени (хоризонтални) асимптоти, чиито уравнения имат формата ; където
.
В графиката на функцията ще има две наклонени асимптоти и всяка стойност на x at и може да съответства на две стойности на b.
G) намерете допълнителни точки за прецизиране на графиката (ако е необходимо) и изградете графика.

Пример 1 Изследвайте функцията и начертайте нейната графика. Решение: А) област на дефиниция; функцията е непрекъсната в областта на дефиниция; – точка на пречупване, т.к ; . Тогава е вертикалната асимптота.
Б)
тези. y(x) е обща функция.
В) Намираме пресечните точки на графиката с оста OY: задаваме x=0; тогава y(0)=–1, т.е. графиката на функцията пресича оста в точката (0;-1). Нули на функцията (точки на пресичане на графиката с оста OX): приемаме y=0; тогава
.
Дискриминантът на квадратното уравнение е по-малък от нула, така че няма нули. Тогава границата на интервалите на постоянство е точката x=1, където функцията не съществува.
Знакът на функцията във всеки от интервалите се определя по метода на частичните стойности:

От диаграмата се вижда, че в интервала графиката на функцията се намира под оста OX, а в интервала над оста OX.
Г) Откриваме наличието на критични точки.
.
Критичните точки (където или не съществуват) се намират от равенствата и .

Получаваме: x1=1, x2=0, x3=2. Нека създадем помощна таблица

маса 1

(Първият ред съдържа критичните точки и интервалите, на които тези точки са разделени от оста OX; вторият ред показва стойностите на производната в критичните точки и знаците на интервалите. Знаците се определят по метода на частични стойности. Третият ред показва стойностите на функцията y(x) в критичните точки и показва поведението на функцията - нарастваща или намаляваща на съответните интервали на числовата ос. Допълнително наличието на минимум или е посочен максимум.
Д) Намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на функцията.
; ние изграждаме таблица, както в параграф D); само на втория ред записваме знаците, а на третия посочваме вида на издутината. Защото ; тогава критична точкаедно x=1.
таблица 2

Точката x=1 е точката на прегъване.
Д) Намерете наклонени и хоризонтални асимптоти

Тогава y=x е наклонена асимптота.
Ж) Според получените данни изграждаме графика на функцията

1). Обхват на функцията.
Очевидно тази функция е дефинирана на цялата числова права, с изключение на точките “” и “”, т.к в тези точки знаменателят е равен на нула и следователно функцията не съществува, а линиите и са вертикални асимптоти.

2). Поведение на функцията, когато аргументът клони към безкрайност, наличието на точки на прекъсване и проверка за наклонени асимптоти.
Нека първо проверим как се държи функцията, когато се приближава до безкрайността наляво и надясно.

Така при , функцията клони към 1, т.е. е хоризонталната асимптота.
В близост до точките на прекъсване поведението на функцията се дефинира, както следва:


Тези. при приближаване до точките на прекъсване отляво функцията намалява безкрайно, докато отдясно се увеличава безкрайно.
Определяме наличието на наклонена асимптота, като вземем предвид равенството:

Няма наклонени асимптоти.

3). Пресечни точки с координатни оси.
Тук е необходимо да се разгледат две ситуации: да се намери пресечната точка с оста Ox и с оста Oy. Знак за пресичане с оста x е нулевата стойност на функцията, т.е. трябва да решите уравнението:

Това уравнение няма корени, следователно графиката на тази функция няма пресечни точки с оста Ox.
Знак за пресичане с оста Oy е стойността x \u003d 0. В този случай
,
тези. - точката на пресичане на графиката на функцията с оста Oy.

4).Определяне на екстремални точки и интервали на нарастване и намаляване.
За да проучим този проблем, ние дефинираме първата производна:
.
Приравняваме към нула стойността на първата производна.
.
Дроба е нула, когато нейният числител е нула, т.е. .
Нека определим интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

По този начин функцията има една точка на екстремум и не съществува в две точки.
По този начин функцията се увеличава на интервалите и и намалява на интервалите и .

5). Точки на огъване и области на изпъкналост и вдлъбнатина.
Тази характеристика на поведението на функцията се определя с помощта на втората производна. Нека първо определим наличието на точки на огъване. Втората производна на функцията е

За и функцията е вдлъбната;

за и функцията е изпъкнала.

6). Построяване на функционална графика.
Използвайки стойностите, намерени в точки, изграждаме схематична графика на функцията:

Решение
Дадената функция е непериодична функция от общ вид. Неговата графика минава през началото, тъй като .
Домейнът на дадената функция са всички стойности на променливата , с изключение на и , при които знаменателят на дроба изчезва.
Следователно точките и са точки на прекъсване на функцията.
Като ,

Като ,
, то точката е точка на прекъсване от втори вид.
Правите линии и са вертикалните асимптоти на графиката на функцията.
Уравнения на наклонена асимптота , където , .
В ,
.
По този начин, за и графиката на функцията има една асимптота .
Нека намерим интервалите на нарастване и намаляване на функцията и точките на екстремумите.
.
Първата производна на функцията при и , Следователно, при и функцията се увеличава.
За , Следователно, за , функцията намалява.
не съществува за , .
следователно при графиката на функцията е вдлъбната.
В следователно при графиката на функцията е изпъкнала.

При преминаване през точките , , променя знака. Когато , функцията не е дефинирана, следователно графиката на функцията има една точка на прегъване.
Нека построим графика на функцията.

Извършете цялостно проучване и начертайте функционална графика

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Обхват на функцията. Тъй като функцията е дроб, трябва да намерите нулите на знаменателя.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Изключваме единствената точка x=1x=1 от областта за дефиниране на функцията и получаваме:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Нека проучим поведението на функцията в близост до точката на прекъсване. Намерете едностранни граници:

Тъй като границите са равни на безкрайност, точката x=1x=1 е прекъсване от втори вид, правата x=1x=1 е вертикална асимптота.

3) Нека определим пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.

Нека намерим точките на пресичане с ординатната ос OyOy, за които приравняваме x=0x=0:

Така пресечната точка с оста OyOy има координати (0;8)(0;8).

Нека намерим пресечните точки с абсцисната ос OxOx, за които задаваме y=0y=0:

Уравнението няма корени, така че няма пресечни точки с оста OxOx.

Обърнете внимание, че x2+8>0x2+8>0 за всеки xx. Следователно, за x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), функцията y>0y>0 (приема положителни стойности, графиката е над оста x), за x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) функция y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функцията не е нито четна, нито нечетна, защото:

5) Изследваме функцията за периодичност. Функцията не е периодична, тъй като е дробна рационална функция.

6) Изследваме функцията за екстремуми и монотонност. За да направим това, намираме първата производна на функцията:

Нека приравним първата производна на нула и да намерим стационарните точки (в които y′=0y′=0):

Получихме три критични точки: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Разделяме цялата област на функцията на интервали по дадени точки и определяме знаците на производната във всеки интервал:

За x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) производната y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

За x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) производната y′>0y′>0, функцията се увеличава на тези интервали.

В този случай x=−2x=−2 е локална минимална точка (функцията намалява и след това се увеличава), x=4x=4 е локална максимална точка (функцията се увеличава и след това намалява).

Нека намерим стойностите на функцията в тези точки:

Така минималната точка е (−2;4)(−2;4), максималната точка е (4;−8)(4;−8).

7) Разглеждаме функцията за извивки и изпъкналост. Нека намерим втората производна на функцията:

Приравнете втората производна към нула:

Полученото уравнение няма корени, така че няма точки на прегъване. Освен това, когато x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 е изпълнено, тоест функцията е вдлъбната, когато x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Изследваме поведението на функцията в безкрайност, тоест при .

Тъй като границите са безкрайни, няма хоризонтални асимптоти.

Нека се опитаме да определим наклонени асимптоти от вида y=kx+by=kx+b. Изчисляваме стойностите на k,bk,b по известните формули:

Открихме, че функцията има една наклонена асимптота y=−x−1y=−x−1.

9) Допълнителни точки. Нека изчислим стойността на функцията в някои други точки, за да построим графика по-точно.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Въз основа на получените данни ще изградим графика, ще я допълним с асимптоти x=1x=1 (синьо), y=−x−1y=−x−1 (зелено) и ще маркираме характерните точки (пресечната точка с y -ос е лилава, крайните точки са оранжеви, допълнителни точки са черни):

Задача 4: Геометрични, Икономически задачи (Нямам представа какви, ето приблизителна селекция от задачи с решение и формули)

Пример 3.23. а

Решение. хи г г
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Тъй като x = a/4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За xa/4 S "> 0 и за x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет най-висока стойностфункции. Така най-благоприятното съотношение на страните при дадените условия на задачата е y = 2x.

Пример 3.24.

Решение.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Пример 3.22.Намерете екстремумите на функцията f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.Тъй като f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x - 2) (x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 = 2 и x 2 = 3. Екстремните точки могат бъде само в тези точки.Така че при преминаване през точка x 1 = 2, производната променя знака от плюс на минус, тогава в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точка x 2 = 3, производната променя знака от минус на плюс, следователно в точката x 2 \u003d 3 функцията има минимум. Изчисляване на стойностите на функцията в точки
x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пример 3.23.В близост е необходимо да се изгради правоъгълна площ каменна стенатака че от три страни е бил ограден с телена мрежа, а от четвъртата страна е прилепнал към стената. За това има а ходови метрирешетки. При какво съотношение на страните ще има платформата най-голяма площ?

Решение.Означете страните на сайта чрез хи г. Площта на сайта е S = xy. Нека бъде ге дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е налице равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = ​​x(a - 2x), където
0 ≤ x ≤ a/2 (дължината и ширината на областта не могат да бъдат отрицателни). S "= a - 4x, a - 4x = 0 за x = a/4, откъдето
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Тъй като x = a/4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За xa/4 S "> 0 и за x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се направи затворен цилиндричен резервоар с вместимост V=16p ≈ 50 m 3 . Какви трябва да са размерите на резервоара (радиус R и височина H), за да се използва най-малко материал за производството му?

Решение.Общата повърхност на цилиндъра е S = 2pR(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Следователно, S(R) = 2p(R2 +16/R). Намираме производната на тази функция:
S "(R) = 2p (2R- 16 / R 2) = 4p (R- 8 / R 2). S " (R) = 0 за R 3 \u003d 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Подобна информация.